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微专题7　圆锥曲线中的综合问题
圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点、热点和难点，涉及的知识面广，题目综合性强，对思维能力要求比较高．解决的基本思路是利用代数法，从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解．解答过程中主要注意以下三点：
(1)根据条件设出合适的直线方程，当不知道直线是否有斜率时，需要分两种情况讨论．
(2)具体求解时，常用到“根与系数的关系”及“设而不求，整体代入”的方法．
(3)不要忽视判别式的作用，在解题过程中，判别式起到了限制参数范围的作用．
类型1　范围与最值问题
【例1】　(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4．
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值．
[尝试解答]___________________________________________________________
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类型2　定点与定值问题
【例2】　已知点F和直线l：y＝，动点T到点F的距离与到直线l的距离之比为．
(1)求动点T的轨迹C的方程；
(2)过点A(1，2)的直线交C于P，Q两点，若点B的坐标为(1，0)，直线BP，BQ与y轴的交点分别是M，N，证明：线段MN的中点为定点．
[尝试解答]___________________________________________________________
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类型3　探索性问题
【例3】　已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，直线y＝x为C的一条渐近线．
(1)求C的方程；
[尝试解答]___________________________________________________________
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(2)若过点(2，0)的直线与C交于P，Q两点，在x轴上是否存在定点M，使得·为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
[尝试解答]___________________________________________________________
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2/2(共18张PPT)
微专题7　圆锥曲线中的综合问题
第三章　圆锥曲线的方程
圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点、热点和难点，涉及的知识面广，题目综合性强，对思维能力要求比较高．解决的基本思路是利用代数法，从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解．解答过程中主要注意以下三点：
(1)根据条件设出合适的直线方程，当不知道直线是否有斜率时，需要分两种情况讨论．
(2)具体求解时，常用到“根与系数的关系”及“设而不求，整体代入”的方法．
(3)不要忽视判别式的作用，在解题过程中，判别式起到了限制参数范围的作用．
【例1】　(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4．
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值．
类型1　范围与最值问题
[解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，
由Δ1＝16p2－8p>0，得p>．
由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，
所以|AB|＝·＝·＝4，解得p＝2或p＝－(舍去)，
故p＝2．
(2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0)．
因为·＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1)．　 (*)
①当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，
因为∠MFN＝90°，
所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1．
不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1，
由得x2－6x＋1＝0，
得或
代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－2)．
②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m．
由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，
Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，
则
y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝．
又＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0，
所以－＋1＋＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4．
所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1)＝＝
＝＋2＋1．
令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1，因为m2＋k2＋6km＝4，
所以＋6＋1＝>0，
即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋2或t<－3－2，
从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4(3－2)．
综上所述，△MFN面积的最小值为4(3－2)．
【例2】　已知点F(0，)和直线l：y＝，动点T到点F的距离与到直线l的距离之比为．
(1)求动点T的轨迹C的方程；
(2)过点A(1，2)的直线交C于P，Q两点，若点B的坐标为(1，0)，直线BP，BQ与y轴的交点分别是M，N，证明：线段MN的中点为定点．
类型2　定点与定值问题
[解]　(1)已知动点T到点F的距离与到直线l的距离之比为，
不妨设T(x，y)，此时＝，整理得4x2＋y2＝4，
即＋x2＝1，则动点T的轨迹C的方程为＋x2＝1．
(2)证明：不妨设直线PQ的方程为y＝kx－k＋2，
联立消去y并整理得(4＋k2)x2＋(4k－2k2)x＋k2－4k＝0，
因为Δ＝(4k－2k2)2－4(4＋k2)(k2－4k)＞0，
所以k＞0，不妨设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，
可得直线BP的方程为＝，令x＝0，解得M，
同理得到N，
所以＋＝
＝
＝＝4，
所以＝2，则线段MN的中点坐标为(0，2)，
故线段MN的中点为定点．
【例3】　已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，直线y＝x为C的一条渐近线．
(1)求C的方程；
(2)若过点(2，0)的直线与C交于P，Q两点，在x轴上是否存在定点M，使得·为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
类型3　探索性问题
[解]　(1)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，直线y
＝x为C的一条渐近线，则即即C的方程为x2－＝1．
(2)设在x轴上存在定点M(t，0)，使得为定值．
①当直线PQ与x轴不重合时，设直线PQ的方程为x＝my＋2，
联立消去x可得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，
则
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝，
则·＝(x1－t)(x2－t)＋y1y2＝(my1＋2－t)(my2＋2－t)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(2－t)(y1＋y2)＋(2－t)2＝＋t2－1，
又为定值，则t＋1＝0，即t＝－1，即存在M(－1，0)，使得·为定值0；
②当直线PQ与x轴重合时，P(－1，0)，Q(1，0)，
当M的坐标为(－1，0)时，·＝0．
综合①②可得：
存在点M(－1，0)，使得·为定值．
微专题强化练(七)
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圆锥曲线中的综合问题
（WORD版）
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本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS微专题强化练(七)　圆锥曲线中的综合问题
一、选择题
1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(3，1)在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且△ABF周长的最小值为则p＝(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
2．抛物线W：y2＝3x的焦点为F，顶点为O，其上两点A，B满足OA⊥OB，过O点作OC⊥AB于C，则|CF|的取值范围是(　　)
A．(0，3] B．
C． D．
3．已知椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A，B，点P为椭圆C上不同于A，B两点的动点，若直线PA斜率的取值范围是[1，2]，则直线PB斜率的取值范围是(　　)
A．[－2，－1] B．
C． D．
4．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＜|PF2|，线段PF1的垂直平分线经过点F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为(　　)
A．2　　　B．－2　　　C．6　　　D．－6
5．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为直线x＝－1，直线l1：x－my－＝0与C交于P，Q两点(点P在x轴上方)，与直线x＝－1交于点R，若|QF|＝3，则＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
二、填空题
6．已知双曲线C：x2－＝1的左焦点为F1，点Q，P是双曲线C右支上的动点，则|PF1|+|PQ|的最小值等于________．
7．已知椭圆E：＝1，P为椭圆E的右顶点，直线l交E于A，B两点，且PA⊥PB，则l恒过除P点以外的定点为________．
8．已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，点P为抛物线上的一个动点，则点P到准线l和直线x－y＋5＝0的距离之和的最小值为________，此时点P的坐标为________．
三、解答题
9．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)过点A，焦距为，B(0，b)．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)是否存在过点D的直线l与双曲线C交于M，N两点，使△BMN是以∠MBN为顶角的等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
2/2微专题7　圆锥曲线中的综合问题
圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点、热点和难点，涉及的知识面广，题目综合性强，对思维能力要求比较高．解决的基本思路是利用代数法，从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解．解答过程中主要注意以下三点：
(1)根据条件设出合适的直线方程，当不知道直线是否有斜率时，需要分两种情况讨论．
(2)具体求解时，常用到“根与系数的关系”及“设而不求，整体代入”的方法．
(3)不要忽视判别式的作用，在解题过程中，判别式起到了限制参数范围的作用．
类型1　范围与最值问题
【例1】　(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4．
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值．
[解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，
由Δ1＝16p2－8p>0，得p>．
由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，
所以|AB|＝·＝·＝4，解得p＝2或p＝－(舍去)，
故p＝2．
(2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0)．
因为·＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1)．　(*)
①当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，
因为∠MFN＝90°，
所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1．
不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1，
由得x2－6x＋1＝0，
得或
代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－2)．
②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m．
由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，
Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，
则
y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝．
又＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0，
所以－＋1＋＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4．
所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1)
＝＝
＝＋2＋1．
令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1，
因为m2＋k2＋6km＝4，
所以＋6＋1＝>0，
即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋2或t<－3－2，
从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4(3－2)．
综上所述，△MFN面积的最小值为4(3－2)．
类型2　定点与定值问题
【例2】　已知点F(0，)和直线l：y＝，动点T到点F的距离与到直线l的距离之比为．
(1)求动点T的轨迹C的方程；
(2)过点A(1，2)的直线交C于P，Q两点，若点B的坐标为(1，0)，直线BP，BQ与y轴的交点分别是M，N，证明：线段MN的中点为定点．
[解]　(1)已知动点T到点F的距离与到直线l的距离之比为，
不妨设T(x，y)，此时＝，整理得4x2＋y2＝4，
即＋x2＝1，则动点T的轨迹C的方程为＋x2＝1．
(2)证明：不妨设直线PQ的方程为y＝kx－k＋2，
联立消去y并整理得(4＋k2)x2＋(4k－2k2)x＋k2－4k＝0，
因为Δ＝(4k－2k2)2－4(4＋k2)(k2－4k)＞0，
所以k＞0，不妨设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，
可得直线BP的方程为＝，令x＝0，解得M，
同理得到N，
所以＋＝
＝
＝＝4，
所以＝2，则线段MN的中点坐标为(0，2)，
故线段MN的中点为定点．
类型3　探索性问题
【例3】　已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，直线y＝x为C的一条渐近线．
(1)求C的方程；
(2)若过点(2，0)的直线与C交于P，Q两点，在x轴上是否存在定点M，使得·为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，直线y＝x为C的一条渐近线，则即即C的方程为x2－＝1．
(2)设在x轴上存在定点M(t，0)，使得为定值．
①当直线PQ与x轴不重合时，设直线PQ的方程为x＝my＋2，
联立消去x可得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，
则
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
则·＝(x1－t)(x2－t)＋y1y2＝(my1＋2－t)(my2＋2－t)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(2－t)(y1＋y2)＋(2－t)2＝＋t2－1，
又为定值，则t＋1＝0，即t＝－1，即存在M(－1，0)，使得·为定值0；
②当直线PQ与x轴重合时，P(－1，0)，Q(1，0)，
当M的坐标为(－1，0)时，·＝0．
综合①②可得：
存在点M(－1，0)，使得·为定值．
微专题强化练(七)　圆锥曲线中的综合问题
一、选择题
1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(3，1)在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且△ABF周长的最小值为4＋，则p＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
B　[如图，过点B作准线的垂线，垂足为M′，交y轴于M1，抛物线为C：y2＝2px(p＞0)，准线的方程为x＝－．
B到准线的距离为|BM′|，则由抛物线的定义可知|BF|＝|BM′|，
所以△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|BA|＋|BM′|＋|AF|≥|AH|＋|AF|＝4＋，
∵|AH|＝3＋＝＝，
∴3＋＋＝4＋，∵p＞0，∴p＝2．
故选B．
2．抛物线W：y2＝3x的焦点为F，顶点为O，其上两点A，B满足OA⊥OB，过O点作OC⊥AB于C，则|CF|的取值范围是(　　)
A．(0，3] B．
C． D．
C　[抛物线W：y2＝3x的焦点为F，
设直线AB的方程为x＝my＋n，n≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由可得y2－3my－3n＝0，Δ＝9m2＋12n＞0，则y1＋y2＝3m，y1y2＝－3n，
由OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，即＋y1y2＝0，即n2－3n＝0，解得n＝3，
则直线AB：x＝my＋3恒过定点P(3，0)，由OC⊥AB，可得OC⊥CP，
即C的轨迹为以OP为直径的圆(除去原点)，即方程为＋y2＝(x≠0)，
所以，即．故选C．]
3．已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，点P为椭圆C上不同于A，B两点的动点，若直线PA斜率的取值范围是[1，2]，则直线PB斜率的取值范围是(　　)
A．[－2，－1] B．
C． D．
D　[由题意得A(－2，0)，B(2，0)，
设P(x0，y0)，则＋＝1，
其中x0≠±2，
所以kPA·kPB＝·＝＝＝＝－，又因为直线PA斜率的取值范围是[1，2]，所以直线PB斜率的取值范围是．]
4．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＜|PF2|，线段PF1的垂直平分线经过点F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则－的最小值为(　　)
A．2 B．－2 C．6 D．－6
B　[设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可设P在第二象限，
椭圆和双曲线的焦点在x轴上，且椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可得m＋n＝2a1，－m＋n＝2a2，由线段PF1的垂直平分线经过点F2，可得n＝2c，则c－a2＜m＜2c，又e1＝，e2＝，
则－＝－＝－＝＋2－－4≥2－4＝－2，当且仅当＝2－，即m＝c时，上式取得最小值－2，故选B．]
5．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为直线x＝－1，直线l1：x－my－＝0与C交于P，Q两点(点P在x轴上方)，与直线x＝－1交于点R，若|QF|＝3，则＝(　　)
A． B． C． D．
C　[如图，设抛物线C的焦点为F，∵抛物线C：y2＝2px的准线为直线x＝－1，
∴＝1，p＝2，∴F(1，0)，∴抛物线C的方程为y2＝4x，
联立可得y2－4my－4＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∴y1y2＝－4＝1＋x2＝3，∴x2＝2，∴y2＝－2，
∴y1＝＝，∴x1＝＝＝1＋x1＝1＋＝，
过P，Q分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，
则＝＝＝＝＝．
故选C．]
二、填空题
6．已知双曲线C：x2－＝1的左焦点为F1，点Q(0，2)，P是双曲线C右支上的动点，则|PF1|+|PQ|的最小值等于________．
6　[如图，根据双曲线的性质可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
得|PF1|＝|PF2|＋2，
所以|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋|PQ|＋2≥|QF2|＋2，
而Q(0，2)，F2(2，0)，
所以|QF2|＝＝4，
所以最小值为6．]
7．已知椭圆E：＋＝1，P为椭圆E的右顶点，直线l交E于A，B两点，且PA⊥PB，则l恒过除P点以外的定点为________．
　[由题意知，直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋n，
代入椭圆方程，消去x可得(m2＋4)y2＋2mny＋n2－16＝0，Δ＝16(4m2－n2＋16)＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＋y2＝－，y1y2＝，
x1x2＝m2y1y2＋mn(y1＋y2)＋n2，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2n，由PA⊥PB，P(4，0)，
可得＝(x1－4，y1)，＝(x2－4，y2)，＝0，即(x1－4，y1)·(x2－4，y2)＝0，可得x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋16＝0，m2y1y2＋mn(y1＋y2)＋n2－4m(y1＋y2)－8n＋y1y2＋16＝0，
代入y1＋y2＝－，y1y2＝，
化简整理可得5n2－32n＋48＝0，
解得n＝，n＝4(舍去)，即x＝my＋，恒过定点．]
8．已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，点P为抛物线上的一个动点，则点P到准线l和直线x－y＋5＝0的距离之和的最小值为________，此时点P的坐标为________．
3　(3－2，2－2)　[如图所示，过点P分别向l和x－y＋5＝0作垂线，垂足分别为P1，P2，
因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，由抛物线的定义得：|PP1|＝|PF|，
所以只需要求|PF|＋|PP2|的最小值即可．
当且仅当F，P，P2三点共线时|PF|＋|PP2|最小，且最小值为点F到直线x－y＋5＝0的距离，即＝3．此时直线x－y＋5＝0与直线FP垂直，所以kFP＝－1，所以直线FP的方程为y＝－(x－1)，直线FP与抛物线C：y2＝4x联立得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，且0＜x＜1，x＝3－2，y＝2－2，故点P(3－2，2－2)．]
三、解答题
9．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点A(2，1)，焦距为2，B(0，b)．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)是否存在过点D的直线l与双曲线C交于M，N两点，使△BMN是以∠MBN为顶角的等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由题得c＝．
又点A(2，1)在双曲线上，
所以得
所以双曲线C的标准方程为－y2＝1．
(2)由(1)知B(0，1)，直线l的斜率一定存在．
当直线l的斜率为0时，直线l：y＝0，符合题意；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为y＝k，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(1－4k2)x2－12k2x－(9k2＋4)＝0．
由题意，得即k2<且k2≠，
又x1＋x2＝，x1x2＝－，
则y1＋y2＝k(x1＋x2＋3)＝．
要使△BMN是以∠MBN为顶角的等腰三角形，则点B在MN的垂直平分线上．
又MN的中点坐标为，
所以－＝＝，
解得k＝或k＝－2(舍去)，
此时直线l的方程为2x－16y＋3＝0．
所以存在满足题意的直线l，且直线l的方程为y＝0或2x－16y＋3＝0．
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