资源简介

(共12张PPT)
微专题5　弦长问题
第三章　圆锥曲线的方程
1．椭圆中与弦长有关的问题是高考的热点，也是难点，主要涉及求弦长以及与弦长有关的最值、范围问题．求解弦长可以先求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解，也可以利用弦长公式求解．求解与弦长有关的最值、范围问题主要有三种方法：
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数单调性、基本不等式等求解．
2．弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时，
|AB|＝＝·
＝·．
【例1】　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是－1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，已知|AB|＝，求直线l的一般式方程．
类型1　弦长问题
[解]　(1)由椭圆C：＋＝1的离心率e＝＝，可得a＝c，
由椭圆上的点到焦点的最小距离是－1，即a－c＝－1，
解得a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，
所以椭圆的方程为＋＝1．
(2)因为直线l的倾斜角为45°，设l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理得5x2＋6mx＋3m2－6＝0，
可得Δ＝36m2－4×5(3m2－6)＝24(5－m2)＞0，解得－＜m＜，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
又由|AB|＝＝
＝＝，解得m＝±1，满足Δ＞0，
所以直线l的一般式方程为x－y－1＝0或x－y＋1＝0．
【例2】　已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆E交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．
类型2　与弦长有关的最值、范围问题
[解]　(1)由题意可知F是椭圆的右焦点，设点F(c，0)，因为直线AF的斜率为，A(0，－2)，所以＝，解得c＝．
又因为＝，b2＝a2－c2，解得a＝2，b＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1．
(2)由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
联立消去y得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
则有Δ＝16(4k2－3)＞0，
即k2＞，x1＋x2＝，x1x2＝．
所以|PQ|＝·
＝·＝．
又点O到直线l的距离d＝，所以S△OPQ＝＝．
设＝t＞0，则4k2＝t2＋3，S△OPQ＝＝≤＝1，
当且仅当t＝2，即＝2，即k＝±时取等号，满足k2＞．
所以当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y＋2＝0．
微专题强化练(五)
点击页面进入…
弦长问题
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS微专题5　弦长问题
1．椭圆中与弦长有关的问题是高考的热点，也是难点，主要涉及求弦长以及与弦长有关的最值、范围问题．求解弦长可以先求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解，也可以利用弦长公式求解．求解与弦长有关的最值、范围问题主要有三种方法：
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数单调性、基本不等式等求解．
2．弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝·＝·．
类型1　弦长问题
【例1】　已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是－1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，已知|AB|＝，求直线l的一般式方程．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
类型2　与弦长有关的最值、范围问题
【例2】　已知点A(0，－2)，椭圆E：＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆E交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2/2微专题5　弦长问题
1．椭圆中与弦长有关的问题是高考的热点，也是难点，主要涉及求弦长以及与弦长有关的最值、范围问题．求解弦长可以先求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解，也可以利用弦长公式求解．求解与弦长有关的最值、范围问题主要有三种方法：
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数单调性、基本不等式等求解．
2．弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时，
|AB|＝＝·＝·．
类型1　弦长问题
【例1】　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是－1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，已知|AB|＝，求直线l的一般式方程．
[解]　(1)由椭圆C：＋＝1的离心率e＝＝，可得a＝c，
由椭圆上的点到焦点的最小距离是－1，即a－c＝－1，
解得a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，
所以椭圆的方程为＋＝1．
(2)因为直线l的倾斜角为45°，设l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理得5x2＋6mx＋3m2－6＝0，
可得Δ＝36m2－4×5(3m2－6)＝24(5－m2)＞0，解得－＜m＜，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
又由|AB|＝＝
＝＝，
解得m＝±1，满足Δ＞0，
所以直线l的一般式方程为x－y－1＝0或x－y＋1＝0．
类型2　与弦长有关的最值、范围问题
【例2】　已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆E交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．
[解]　(1)由题意可知F是椭圆的右焦点，设点F(c，0)，因为直线AF的斜率为，A(0，－2)，所以＝，解得c＝．
又因为＝，b2＝a2－c2，解得a＝2，b＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1．
(2)由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
联立消去y得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
则有Δ＝16(4k2－3)＞0，
即k2＞，x1＋x2＝，x1x2＝．
所以|PQ|＝·
＝·
＝．
又点O到直线l的距离d＝，所以S△OPQ＝＝．
设＝t＞0，则4k2＝t2＋3，
S△OPQ＝＝≤＝1，
当且仅当t＝2，即＝2，即k＝±时取等号，满足k2＞．
所以当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y＋2＝0．
微专题强化练(五)　弦长问题
一、选择题
1．已知F1(－2，0)，F2(2，0)是椭圆C的焦点，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|最小为6，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
C　[由＝6，c＝2及a2＝b2＋c2，得a2＝16，b2＝12，故选C．]
2．已知椭圆C：＋＝1，F为椭圆C的右焦点，过原点O且斜率不为0的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，则△PQF面积的最大值为(　　)
A．1 B．2 C．2 D．
D　[画出图象如图所示，
由于|OF|＝c＝1，
所以S△PQF＝max等于椭圆的短轴长，所以△PQF的面积的最大值为(S△PQF)max＝×2b＝bc＝．]
3．直线y＝kx－1被椭圆C：＋y2＝1截得的最长的弦长为(　　)
A．3 B． C．2 D．
B　[联立
可得(1＋5k2)x2－10kx＝0，
解得x＝0或x＝，
则弦长l＝·，
令1＋5k2＝t(t≥1)，
则l＝10·
＝2
＝2，
当t＝，即k＝±时，
l取得最大值2×＝．]
4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
B　[设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋m，
由
消去y得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，
由Δ＝(8m)2－4×5×4(m2－1)＝80－16m2＞0，得0≤m2＜5．
则x1＋x2＝－，x1x2＝．
∴|AB|＝
＝·
＝·
＝·，
∴当m＝0时，．]
5．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则(　　)
A．椭圆的焦距为
B．椭圆方程为＋y2＝1
C．|AB|＝
D．S△OAB＝
BC　[因为△AF1B的周长为8，所以4a＝8，得a＝2，因为y＝x－过右焦点F2，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以椭圆的焦距为2，故A错误；
椭圆方程为＋y2＝1，故B正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得5x2－8x＋8＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝＝＝＝＝，故C正确；
原点到直线y＝x－的距离d＝＝，
所以S△OAB＝＝××＝，故D错误．]
二、填空题
6．椭圆C：＋＝1的右焦点为F，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF的面积的最大值为________．
4　[在椭圆C中，a＝2，b＝2，
则c＝＝2，则F(2，0)，
由题意可知，A，B关于原点对称，
当A，B为椭圆C短轴的端点时，△ABF的面积取得最大值，且最大值为×c×2b＝4．]
7．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝．若|AB|＝4，|BC|＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为________．
　[不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意知2a＝4，a＝2．
∵∠CBA＝＝，∴不妨设点C的坐标为(－1，1)．
∵点C在椭圆上，∴＋＝1，∴b2＝，∴c2＝a2－b2＝4－＝，c＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为．]
三、解答题
8．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，1)，焦距为2．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(0，－2)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，且|BC|＝，求k的值．
[解]　(1)由题意知，b＝1，c＝，所以a2＝b2＋c2＝4，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1．
(2)过点P(0，－2)且斜率为k的直线方程为y＝kx－2，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
联立方程得消去y得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
Δ＝256k2－48(1＋4k2)＝64k2－48＞0，
解得k＜－或k＞，
由根与系数的关系得，x1＋x2＝，x1x2＝，
|BC|＝·＝·＝，
整理得68k4＋9k2－77＝0，解得k2＝1或k2＝－(舍去)，
所以k＝±1．
9．在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
[解]　(1)由题意得
∴
∴椭圆C的方程为＋＝1．
(2)设直线AB的方程为y＝－x＋m，
联立
得3x2－4mx＋2m2－6＝0，
∴
∴|AB|＝＝，
原点到直线AB的距离d＝．
∴S△OAB＝××
＝≤·
＝．
当且仅当m＝±时，等号成立，此时满足Δ＞0，
∴△AOB面积的最大值为．
7/7微专题强化练(五)　弦长问题
一、选择题
1．已知F1(－2，0)，F2(2，0)是椭圆C的焦点，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|最小为6，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
2．已知椭圆C：＝1，F为椭圆C的右焦点，过原点O且斜率不为0的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，则△PQF面积的最大值为(　　)
A．1　　　B．2　　　C．2
3．直线y＝kx－1被椭圆C：＋y2＝1截得的最长的弦长为(　　)
A．3　　　B．　　　C．2　　　D．
4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
5．(多选)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则(　　)
A．椭圆的焦距为
B．椭圆方程为＋y2＝1
C．|AB|＝
D．S△OAB＝
二、填空题
6．椭圆C：＝1的右焦点为F，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF的面积的最大值为________．
7．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝．若|AB|＝4，|BC|＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为________．
三、解答题
8．已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，1)，焦距为2．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(0，－2)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，且|BC|＝，求k的值．
9．在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
2/2

展开更多......

收起↑