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模块综合测评
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线x＋y－2 024＝0的倾斜角等于(　　)
A．45°　　　B．60°　　　C．120°　　　D．150°
2．已知点P(5，4，－3)，则点P到x轴的距离为(　　)
A．3　　　B．5　　　C．2
3．设双曲线C1：x2－y2＝1，C2：＝1(b＞0)的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则b＝(　　)
A．1　　　B．2　　　C．
4．一入射光线经过点M(2，6)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(－3，4)，则反射光线所在直线方程为(　　)
A．2x－y＋13＝0 B．6x－y＋22＝0
C．x－3y＋15＝0 D．x－6y＋27＝0
5．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则△ABF的面积为(　　)
A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．
6．如图，平面ABC内的小方格均为正方形，点P为平面ABC内的一点，O为平面ABC外一点，设，则m＋n的值为(　　)
A．1　　　　B．－1　　　C．2　　　　D．－2
7．若点A(m，n)在圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 上，则的取值范围为(　　)
A．　　　B．　　　C．[0，4]　　　D．
8．在平面直角坐标系Oxy中，F1，F2分别是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，点T在x轴上，满足，且BF2经过△BF1T的内切圆圆心，则双曲线C的离心率为(　　)
A．　　　B．2　　　C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．圆A的半径为4
B．圆A截y轴所得的弦长为2
C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1
D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离
10．(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)
A．p＝2 B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形
11．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上第一象限内一点，且∠F1PF2＝＝2，F1关于∠F1PF2的平分线的对称点Q恰好在C上，则(　　)
A．C的实轴长为2
B．C的离心率为2
C．△F1PF2的面积为2
D．∠F1PF2的平分线所在直线的方程为x－y－1＝0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．与a＝(2，－1，2)共线且满足a·b＝－9的向量b＝________．
13．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝2x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程是________．
14．直线mx＋y－2＝0(m∈R)与圆C：x2＋y2－2y－1＝0相交于A，B两点，则弦长，则m的值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知A(2，1)，B(0，5)，C(1，－2)，圆M是△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)若直线l过点(1，－5)，且被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．
16．(15分)(2023·北京卷)已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的离心率为＝4．
(1)求E的方程；
(2)点P为第一象限内E上的一个动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N．求证：MN∥CD．
17．(15分)如图，已知圆O∶x2＋y2＝4，过点E(1，0)的直线l与圆O相交于A，B两点．
(1)当|AB|＝时，求直线l的方程；
(2)已知点D在圆O上，C(2，0)，且AB⊥CD，求四边形ACBD面积的最大值．
18．(17分)(2024·天津卷)如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
(1)求证D1N∥平面CB1M；
(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值；
(3)求点B到平面CB1M的距离．
19．(17分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
5/5(共26张PPT)
全书要点速记
要点1　共线、共面向量基本定理
1．共线向量基本定理
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
推论：若存在实数t，使＝(1－t)(O为空间任意一点)，则P，A，B三点共线．
第一章　空间向量与立体几何
2．共面向量基本定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则满足向量关系式(其中x＋y＋z＝1)的点P与点A，B，C共面．
要点2　空间向量数量积的应用
(1)a⊥b a·b＝0，此结论一般用于证明空间中的垂直关系．
(2)|a|2＝a2，此结论一般用于求空间中线段的长度．
(3)cos 〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间角的问题．
(4)|b|cos 〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间中的距离问题．
要点3　空间向量在立体几何中的应用
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则
线线平行 l∥m a∥b a＝kb，k∈R
线面平行 l∥α a⊥u a·u＝0
面面平行 α∥β u∥v u＝kv，k∈R
线线垂直 l⊥m a⊥b a·b＝0
线面垂直 l⊥α a∥u a＝ku，k∈R
注意：(1)线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围都为0≤θ≤．(2)二面角的范围为[0，π]，解题时应具体分析二面角是锐角还是
钝角．
面面垂直 α⊥β u⊥v u·v＝0
线线夹角 l，m的夹角为θ，cos θ＝
线面夹角 l，α的夹角为θ，sin θ＝
面面夹角 α，β的夹角为θ，cos θ＝
要点1　直线的方程
第二章　直线和圆的方程
已知条件 方程 适用范围
点斜式 点P0(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在，即适用于与x轴不垂直的直线
斜截式 斜率k和直线在y轴上的截距为b y＝kx＋b
已知条件 方程 适用范围
两点式 点P1(x1，y1)和P2(x2，y2) ＝ 斜率存在且不为0，即适用于与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 直线在x轴上的截距为a和直线在y轴上的截距为b ＋＝1 斜率存在且不为0，直线不过原点，即适用于不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0) 所有直线
要点2　两条直线的位置关系
位置关系 方程形式
斜截式：y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 一般式：A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
平行 k1＝k2且b1≠b2 或
或＝≠(A2，B2，C2均不为0)
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B2C1－B1C2＝A1C2－A2C1＝0
要点3　平面上的距离公式
(1)任意两点间的距离：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝．
(2)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两条平行直线间的距离：直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A与B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝．
要点4　圆的方程
1．圆的标准方程
圆心为(a，b)，半径为r(r>0)的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
2．圆的一般方程
当D2＋E2－4F >0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，圆心为，半径为．
3．求圆的方程的方法
(1)几何性质法：利用圆的任意弦的垂直平分线过圆心求出圆心，再求圆的方程．
(2)待定系数法：设出圆的标准方程(条件与圆心或半径有关)(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，利用条件求出a，b，r或D，E，F即可．
要点5　直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系的判定方法
关系 相交 相切 相离
几何法 dr
代数法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
说明：d为圆心到直线的距离，r为圆的半径，Δ为直线和圆的方程联立消元后所得一元二次方程的根的判别式．
2．求弦长的方法
(1)利用垂径定理：已知半径r、弦心距d、弦长l，则d 2＋＝r2．
(2)利用弦长公式：联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，
则弦长为．
3．圆的切线方程
(1)经过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0．
4．求切线方程的方法
若切线斜率存在，记为k，且不为0．
(1)几何法：利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，即得切线方程．
(2)代数法：将切线方程与圆的方程联立，消元得一元二次方程，令Δ＝0，求出k，即得切线方程．
注意：过圆外一点的切线有两条，若解出的k值唯一，则应检验是否有一条与x轴垂直的切线．
要点6　圆与圆的位置关系
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
几何法 d >R＋r d＝R＋r R－r代数法 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
说明：d为两圆的圆心距，R，r(R>r)分别为两圆半径，Δ为联立两圆方程消元后所得的一元二次方程的根的判别式．由于利用代数法求出Δ<0或Δ＝0后两圆的位置关系仍不明确，因此一般利用几何法判断两圆的位置关系．
要点1　椭圆、双曲线、抛物线的比较
第三章　圆锥曲线的方程
椭圆 双曲线 抛物线
定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 平面内与一个定点F和一条定直线l
(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹
椭圆 双曲线 抛物线
标准 方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0)
几何 图形
椭圆 双曲线 抛物线
集合 表示 {M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|>0} {M|||MF2|－|MF1||＝2a，0<2a<|F1F2|} {M||MF|＝点M到直线l的距离}
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(－c，0)，F2(c，0) F
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(－a，0)，A2(a，0) O(0，0)
椭圆 双曲线 抛物线
中心 原点(0，0) 原点(0，0) 无
离心率 01 e＝1
通径长 2p
焦半径 |MF1|＝a＋exM，|MF2|＝a－exM 当点M在右支上时，|MF1|＝a＋exM， |MF2|＝－a＋exM； 当点M在左支上时，|MF1|＝－a－exM，|MF2|＝a－exM |MF|＝＋xM
要点2　椭圆、双曲线的焦点三角形的相关结论
1．椭圆
设F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．则
(1)当且仅当a2≥2b2时，椭圆上存在以P为直角顶点的直角三角形，其中，当a2＝2b2时，直角顶点为短轴端点．
(2)离心率e＝＝，e＝．
(3)|PF1|·|PF2|＝＝b2tan ．
2．双曲线
设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．则
(1)离心率e＝＝，e＝．
(2)|PF1|·|PF2|＝＝．
要点3　抛物线焦点弦的相关结论
已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，PQ为过焦点F的弦，其中P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且弦PQ所在直线的倾斜角为θ．则
(1)焦点弦长|PQ|＝x1＋x2＋p，且以焦点弦为直径的圆和准线相切．
(2)P，Q的横坐标之积、纵坐标之积均为定值：x1x2＝，y1y2＝－p2．
(3)|PF|＝＝＝，＋＝，S△OPQ＝(O为抛物线的顶点)．
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夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS第一章　空间向量与立体几何
要点1　共线、共面向量基本定理
1．共线向量基本定理
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
推论：若存在实数t，使＝(1－t)(O为空间任意一点)，则P，A，B三点共线．
2．共面向量基本定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则满足向量关系式(其中x＋y＋z＝1)的点P与点A，B，C共面．
要点2　空间向量数量积的应用
(1)a⊥b a·b＝0，此结论一般用于证明空间中的垂直关系．
(2)|a|2＝a2，此结论一般用于求空间中线段的长度．
(3)cos 〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间角的问题．
(4)|b|cos 〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间中的距离问题．
要点3　空间向量在立体几何中的应用
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则
线线平行 l∥m a∥b a＝kb，k∈R
线面平行 l∥α a⊥u a·u＝0
面面平行 α∥β u∥v u＝kv，k∈R
线线垂直 l⊥m a⊥b a·b＝0
线面垂直 l⊥α a∥u a＝ku，k∈R
面面垂直 α⊥β u⊥v u·v＝0
线线夹角 l，m的夹角为θ，cos θ＝
线面夹角 l，α的夹角为θ，sin θ＝
面面夹角 α，β的夹角为θ，cos θ＝
注意：(1)线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围都为0≤θ≤．(2)二面角的范围为[0，π]，解题时应具体分析二面角是锐角还是钝角．
第二章　直线和圆的方程
要点1　直线的方程
已知条件 方程 适用范围
点斜式 点P0(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在，即适用于与x轴不垂直的直线
斜截式 斜率k和直线在y轴上的截距为b y＝kx＋b
两点式 点P1(x1，y1)和P2(x2，y2) ＝ 斜率存在且不为0，即适用于与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 直线在x轴上的截距为a和直线在y轴上的截距为b ＋＝1 斜率存在且不为0，直线不过原点，即适用于不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 所有直线
要点2　两条直线的位置关系
位置关系 方程形式
斜截式： y＝k1x＋b1， y＝k2x＋b2 一般式： A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
平行 k1＝k2且b1≠b2 或 或＝≠(A2，B2，C2均不为0)
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B2C1－B1C2＝A1C2－A2C1＝0
要点3　平面上的距离公式
(1)任意两点间的距离：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝．
(2)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两条平行直线间的距离：直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A与B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝．
要点4　圆的方程
1．圆的标准方程
圆心为(a，b)，半径为r(r>0)的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
2．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，圆心为，半径为．
3．求圆的方程的方法
(1)几何性质法：利用圆的任意弦的垂直平分线过圆心求出圆心，再求圆的方程．
(2)待定系数法：设出圆的标准方程(条件与圆心或半径有关)(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，利用条件求出a，b，r或D，E，F即可．
要点5　直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系的判定方法
关系 相交 相切 相离
几何法 dr
代数法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
说明：d为圆心到直线的距离，r为圆的半径，Δ为直线和圆的方程联立消元后所得一元二次方程的根的判别式．
2．求弦长的方法
(1)利用垂径定理：已知半径r、弦心距d、弦长l，则d2＋＝r2．
(2)利用弦长公式：联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，则弦长为．
3．圆的切线方程
(1)经过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＋D··＋F＝0．
4．求切线方程的方法
若切线斜率存在，记为k，且不为0．
(1)几何法：利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，即得切线方程．
(2)代数法：将切线方程与圆的方程联立，消元得一元二次方程，令Δ＝0，求出k，即得切线方程．
注意：过圆外一点的切线有两条，若解出的k值唯一，则应检验是否有一条与x轴垂直的切线．
要点6　圆与圆的位置关系
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
几何法 d>R＋r d＝R＋r R－r代数法 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
说明：d为两圆的圆心距，R，r(R>r)分别为两圆半径，Δ为联立两圆方程消元后所得的一元二次方程的根的判别式．由于利用代数法求出Δ<0或Δ＝0后两圆的位置关系仍不明确，因此一般利用几何法判断两圆的位置关系．
第三章　圆锥曲线的方程
要点1　椭圆、双曲线、抛物线的比较
椭圆 双曲线 抛物线
定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹
标准方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0)
几何图形
集合表示 {M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|>0} {M|||MF2|－|MF1||＝2a，0<2a<|F1F2|} {M||MF|＝点M到直线l的距离}
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(－c，0)，F2(c，0) F
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(－a，0)，A2(a，0) O(0，0)
中心 原点(0，0) 原点(0，0) 无
离心率 01 e＝1
通径长 2p
焦半径 |MF1|＝a＋exM，|MF2|＝a－exM 当点M在右支上时， |MF1|＝a＋exM， |MF2|＝－a＋exM； 当点M在左支上时，|MF1|＝－a－exM， |MF2|＝a－exM |MF|＝＋xM
要点2　椭圆、双曲线的焦点三角形的相关结论
1．椭圆
设F1，F2是椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．则
(1)当且仅当a2≥2b2时，椭圆上存在以P为直角顶点的直角三角形，其中，当a2＝2b2时，直角顶点为短轴端点．
(2)离心率e＝．
(3)|PF1|·|PF2|＝＝b2tan ．
2．双曲线
设F1，F2是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．则
(1)离心率e＝．
(2)|PF1|·|PF2|＝．
要点3　抛物线焦点弦的相关结论
已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，PQ为过焦点F的弦，其中P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且弦PQ所在直线的倾斜角为θ．则
(1)焦点弦长|PQ|＝x1＋x2＋p，且以焦点弦为直径的圆和准线相切．
(2)P，Q的横坐标之积、纵坐标之积均为定值：x1x2＝，y1y2＝－p2．
(3)|PF|＝＝＝，S△OPQ＝抛物线的顶点)．
6/6第一章　空间向量与立体几何
要点1　共线、共面向量基本定理
1．共线向量基本定理
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
推论：若存在实数t，使＝(1－t)(O为空间任意一点)，则P，A，B三点共线．
2．共面向量基本定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则满足向量关系式(其中x＋y＋z＝1)的点P与点A，B，C共面．
要点2　空间向量数量积的应用
(1)a⊥b a·b＝0，此结论一般用于证明空间中的垂直关系．
(2)|a|2＝a2，此结论一般用于求空间中线段的长度．
(3)cos 〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间角的问题．
(4)|b|cos 〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间中的距离问题．
要点3　空间向量在立体几何中的应用
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则
线线平行 l∥m a∥b a＝kb，k∈R
线面平行 l∥α a⊥u a·u＝0
面面平行 α∥β u∥v u＝kv，k∈R
线线垂直 l⊥m a⊥b a·b＝0
线面垂直 l⊥α a∥u a＝ku，k∈R
面面垂直 α⊥β u⊥v u·v＝0
线线夹角 l，m的夹角为θ，cos θ＝
线面夹角 l，α的夹角为θ，sin θ＝
面面夹角 α，β的夹角为θ，cos θ＝
注意：(1)线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围都为0≤θ≤．(2)二面角的范围为[0，π]，解题时应具体分析二面角是锐角还是钝角．
第二章　直线和圆的方程
要点1　直线的方程
已知条件 方程 适用范围
点斜式 点P0(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在，即适用于与x轴不垂直的直线
斜截式 斜率k和直线在y轴上的截距为b y＝kx＋b
两点式 点P1(x1，y1)和P2(x2，y2) ＝ 斜率存在且不为0，即适用于与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 直线在x轴上的截距为a和直线在y轴上的截距为b ＋＝1 斜率存在且不为0，直线不过原点，即适用于不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 所有直线
要点2　两条直线的位置关系
位置关系 方程形式
斜截式： y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 一般式： A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
平行 k1＝k2且b1≠b2 或 或＝≠(A2，B2，C2均不为0)
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B2C1－B1C2＝A1C2－A2C1＝0
要点3　平面上的距离公式
(1)任意两点间的距离：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝．
(2)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两条平行直线间的距离：直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A与B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝．
要点4　圆的方程
1．圆的标准方程
圆心为(a，b)，半径为r(r>0)的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
2．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，圆心为，半径为．
3．求圆的方程的方法
(1)几何性质法：利用圆的任意弦的垂直平分线过圆心求出圆心，再求圆的方程．
(2)待定系数法：设出圆的标准方程(条件与圆心或半径有关)(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，利用条件求出a，b，r或D，E，F即可．
要点5　直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系的判定方法
关系 相交 相切 相离
几何法 dr
代数法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
说明：d为圆心到直线的距离，r为圆的半径，Δ为直线和圆的方程联立消元后所得一元二次方程的根的判别式．
2．求弦长的方法
(1)利用垂径定理：已知半径r、弦心距d、弦长l，则d2＋＝r2．
(2)利用弦长公式：联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，则弦长为．
3．圆的切线方程
(1)经过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0．
4．求切线方程的方法
若切线斜率存在，记为k，且不为0．
(1)几何法：利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，即得切线方程．
(2)代数法：将切线方程与圆的方程联立，消元得一元二次方程，令Δ＝0，求出k，即得切线方程．
注意：过圆外一点的切线有两条，若解出的k值唯一，则应检验是否有一条与x轴垂直的切线．
要点6　圆与圆的位置关系
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
几何法 d>R＋r d＝R＋r R－r代数法 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
说明：d为两圆的圆心距，R，r(R>r)分别为两圆半径，Δ为联立两圆方程消元后所得的一元二次方程的根的判别式．由于利用代数法求出Δ<0或Δ＝0后两圆的位置关系仍不明确，因此一般利用几何法判断两圆的位置关系．
第三章　圆锥曲线的方程
要点1　椭圆、双曲线、抛物线的比较
椭圆 双曲线 抛物线
定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹
标准方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0)
几何图形
集合表示 {M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|>0} {M|||MF2|－|MF1||＝2a，0<2a<|F1F2|} {M||MF|＝点M到直线l的距离}
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(－c，0)，F2(c，0) F
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(－a，0)，A2(a，0) O(0，0)
中心 原点(0，0) 原点(0，0) 无
离心率 01 e＝1
通径长 2p
焦半径 |MF1|＝a＋exM，|MF2|＝a－exM 当点M在右支上时， |MF1|＝a＋exM， |MF2|＝－a＋ exM； 当点M在左支上时，|MF1|＝－a－exM， |MF2|＝a－exM |MF|＝＋xM
要点2　椭圆、双曲线的焦点三角形的相关结论
1．椭圆
设F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．则
(1)当且仅当a2≥2b2时，椭圆上存在以P为直角顶点的直角三角形，其中，当a2＝2b2时，直角顶点为短轴端点．
(2)离心率e＝＝，e＝．
(3)|PF1|·|PF2|＝＝b2tan ．
2．双曲线
设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．则
(1)离心率e＝＝，e＝．
(2)|PF1|·|PF2|＝＝．
要点3　抛物线焦点弦的相关结论
已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，PQ为过焦点F的弦，其中P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且弦PQ所在直线的倾斜角为θ．则
(1)焦点弦长|PQ|＝x1＋x2＋p，且以焦点弦为直径的圆和准线相切．
(2)P，Q的横坐标之积、纵坐标之积均为定值：x1x2＝，y1y2＝－p2．
(3)|PF|＝＝＝，＋＝，S△OPQ＝(O为抛物线的顶点)．
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线x＋y－2 024＝0的倾斜角等于(　　)
A．45° B．60° C．120° D．150°
C　[直线x＋y－2 024＝0可化为y＝－x＋2 024，
则直线的斜率为－，所以直线的倾斜角等于120°．故选C．]
2．已知点P(5，4，－3)，则点P到x轴的距离为(　　)
A．3 B．5 C．2 D．
B　[∵点P(5，4，－3)，∴点P到x轴的距离为＝5．故选B．]
3．设双曲线C1：x2－y2＝1，C2：－＝1(b＞0)的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则b＝(　　)
A．1 B．2 C． D．
A　[由双曲线C1：x2－y2＝1，可得其离心率为e1＝，
又由双曲线C2：－＝1(b＞0)，可得其离心率为e2＝＝，
因为e2＝e1，可得＝×，解得b＝1．故选A．]
4．一入射光线经过点M(2，6)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(－3，4)，则反射光线所在直线方程为(　　)
A．2x－y＋13＝0 B．6x－y＋22＝0
C．x－3y＋15＝0 D．x－6y＋27＝0
D　[∵光线经过点M(2，6)，设M关于直线l：x－y＋3＝0的对称点K(x，y)，
∴即K(3，5)，
∵N(－3，4)，∴直线NK的斜率为：＝，
∴反射光线所在直线的方程是：y－4＝(x＋3)，即x－6y＋27＝0，故选D．]
5．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则△ABF的面积为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．
B　[由题意得，F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝2，即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标满足xA＋1＝2，可得xA＝1，所以A(1，±2)，由各点坐标易知∠AFB＝90°，所以S△ABF＝＝×2×2＝2．故选B．]
6．如图，平面ABC内的小方格均为正方形，点P为平面ABC内的一点，O为平面ABC外一点，设，则m＋n的值为(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
B　[由题知，∵A，P，B，C四点共面，
根据平面向量基本定理，不妨设，(x，y∈R)，
则＋x＋y＝(1－x－y)，∵，∴∴m＋n＝1－x－y＋x＝1－y＝－1．故选B．]
7．若点A(m，n)在圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 上，则的取值范围为(　　)
A． B．
C．[0，4] D．
B　[因为点A(m，n)在圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 上，
则的几何意义为圆上点与定点P(－4，0)的斜率，
圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝16，如图所示，
由题意可知切线的斜率存在且PB的斜率为0，设圆C的切线方程为y＝k(x＋4)，
则＝4，解得k＝0或k＝，故k的取值范围为．故选B．]
8．在平面直角坐标系Oxy中，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，点T在x轴上，满足＝3AF2，且BF2经过△BF1T的内切圆圆心，则双曲线C的离心率为(　　)
A． B．2 C． D．
C　[设|AF1|＝m，∴|AF2|＝m＋2a，∵＝3AF2，
∴＝＝＝，
∴|AB|＝2m，|BF2|＝3m－2a，|BT|＝3m＋6a，|F2T|＝4c，
BF2经过△BF1T的内切圆圆心，∴BF2是∠F1BT的平分线，
∴＝＝，∴3m＋6a＝2×3m，∴m＝2a，
∴|AB|＝|BF2|＝|AF2|，∴△ABF2是正三角形，
在△BF1F2中，由余弦定理有(2c)2＝(6a)2＋(4a)2－2×6a×4a×，
∴4c2＝28a2，∴e＝＝，故选C．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．圆A的半径为4
B．圆A截y轴所得的弦长为2
C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1
D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离
BC　[把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4，
所以圆A的圆心坐标为(1，0)，半径为2，A错误；
圆A截y轴所得的弦长为2×＝2，B正确；
圆心(1，0)到直线3x－4y＋12＝0的距离为3，
故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C正确；
圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为B(4，4)，半径为3，
则点A与点B之间的距离为＝5，
圆A与圆B相切，D错误．故选BC．]
10．(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
AC　[由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0)．
对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p＝2，所以A选项正确．
对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1对于C，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为，半径r＝＝＝＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C选项正确．
对于D，由两点间距离公式可得|OM|＝＝＝，故D选项错误．故选AC．]
11．已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上第一象限内一点，且∠F1PF2＝＝2，F1关于∠F1PF2的平分线的对称点Q恰好在C上，则(　　)
A．C的实轴长为2
B．C的离心率为2
C．△F1PF2的面积为2
D．∠F1PF2的平分线所在直线的方程为x－y－1＝0
ACD　[由题意，在C：－＝1(a＞0，b＞0)中，
∵F1关于∠F1PF2的平分线的对称点Q恰好在C上，∴P，F2，Q三点共线，且|PF1|＝|PQ|，
∵∠F1PF2＝，∴＝|F1Q|＝|PQ|．
设|PF1|＝|F1Q|＝|PQ|＝m，|PF2|＝n，根据双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝m－n＝2a，
|QF1|－|QF2|＝m－(m－n)＝2a，解得m＝4a，n＝2a，即|PF2|＝|QF2|＝2a，∴PQ⊥F1F2．
在△F1PF2中，根据勾股定理可得，16a2＝4a2＋12，解得a＝1，∴C的实轴长为2，所以A正确；又a＝1，c＝，∴C的离心率为，所以B不正确；
△F1PF2的面积为×2×2＝2，∴C正确；∵PQ⊥F1F2，∴P(，2)，
∵∠F1PF2＝，易得∠F1PF2的平分线的倾斜角为，∴∠F1PF2的平分线所在直线的方程为y－2＝(x－)，即x－y－1＝0，所以D正确．故选ACD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．与a＝(2，－1，2)共线且满足a·b＝－9的向量b＝________．
(－2，1，－2)　[依题意设b＝λa＝(2λ，－λ，2λ)(λ∈R)，所以a·b＝4λ＋λ＋4λ＝－9，解得λ＝－1．故b＝(－2，1，－2)．]
13．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝2x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程是________．
17x－6y＋25＝0　[设点A的坐标为(a，b)，由题意可得解得
即点A，直线AB的斜率为kAB＝＝－，当l2⊥AB时，点B到直线l2的距离最大，此时直线l2的方程为y－＝，即17x－6y＋25＝0．]
14．直线mx＋y－2＝0(m∈R)与圆C：x2＋y2－2y－1＝0相交于A，B两点，则弦长，则m的值为________．
2　±1　[直线mx＋y－2＝0(m∈R)恒过圆C：x2＋(y－1)2＝2内的定点M(0，2)，又r＝，圆心C(0，1)到直线的距离d≤|CM|＝1，∴|AB|＝2≥2，
即弦长|AB|的最小值为2．
S△ABC＝r2sin ∠ACB＝，
即∠ACB＝或．
若∠ACB＝，则圆心到弦AB的距离为＞1＝|CM|，故不符合题意；
若∠ACB＝，
圆心到直线的距离为＜1＝|CM|，
设弦AB的中点为N，
又|CM|＝1，故∠NCM＝，
即直线的倾斜角为，则m的值为±1．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知A(2，1)，B(0，5)，C(1，－2)，圆M是△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)若直线l过点(1，－5)，且被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．
[解]　(1)设圆M的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆M过A(2，1)，B(0，5)，C(1，－2)三点，所以
解得
所以圆M的一般式方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0．
(2)由(1)可知圆心为M(－3，1)，半径r＝5，
又l被圆M截得的弦长为6，所以圆心M到直线l的距离d＝＝4，
当直线l的斜率不存在时，l过点(1，－5)，所以l的方程为x＝1，圆心M到直线l的距离d＝4，故x＝1满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋5＝k(x－1)，即kx－y－k－5＝0，由点到直线的距离公式可得＝4，解得k＝－，直线l的方程为5x＋12y＋55＝0．综上所述，直线l的方程为x＝1或5x＋12y＋55＝0．
16．(15分)(2023·北京卷)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为＝4．
(1)求E的方程；
(2)点P为第一象限内E上的一个动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N．求证：MN∥CD．
[解]　(1)由题意可得：2b＝4，e＝＝，a2＝b2＋c2，
解得b＝2，a2＝9，
∴椭圆E的方程为＋＝1．
(2)证明：A(0，2)，B(－3，0)，C(0，－2)，D(3，0)，
直线BC的方程为＋＝1，化为2x＋3y＋6＝0．
设直线AP的方程为：y＝kx＋2(k＜0)，
∴N．
联立化为(4＋9k2)x2＋36kx＝0，
解得x＝0或－，
∴P．
直线PD的方程为：y＝(x－3)，即y＝(x－3)，
与2x＋3y＋6＝0联立，解得x＝，y＝．
∴M．
∴kMN＝＝，
kCD＝，
∴MN∥CD．
17．(15分)如图，已知圆O∶x2＋y2＝4，过点E(1，0)的直线l与圆O相交于A，B两点．
(1)当|AB|＝时，求直线l的方程；
(2)已知点D在圆O上，C(2，0)，且AB⊥CD，求四边形ACBD面积的最大值．
[解]　(1)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时|AB|＝2＝2，不符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，
∴圆心O到直线l的距离d＝，
∵|AB|＝，∴＝＝2，解得k＝±，
∴直线l的方程为y＝±(x－1)．
(2)当直线AB与x轴垂直时，|AB|＝2＝4，
∴四边形ACBD的面积S＝＝4；
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，k≠0(当k＝0时，四边形ACBD不存在)，即kx－y－k＝0，k≠0，
则直线CD的方程为y＝－(x－2)，
即x＋ky－2＝0，
点O到直线AB的距离为，点O到直线CD的距离为，
∴|AB|＝2＝2，
|CD|＝2＝4，
则四边形ACBD的面积S＝＝×2×4＝4，
令k2＋1＝t＞1，
∴S＝4
＝4∈(0，4)，
∴四边形ABCD面积的最大值为4．
18．(17分)(2024·天津卷)如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
(1)求证D1N∥平面CB1M；
(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值；
(3)求点B到平面CB1M的距离．
[解]　(1)证明：取CB1中点P，连接NP，MP，
由N是B1C1的中点，故NP∥CC1，且NP＝由M是DD1的中点，故D1M＝且D1M∥CC1，
则有D1M∥NP，D1M＝NP，故四边形D1MPN是平行四边形，故D1N∥MP．
又MP 平面CB1M，D1N 平面CB1M，
故D1N∥平面CB1M．
(2)由题意知，AA1，AB，AD两两垂直，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(2，0，2)，M(0，1，1)，C(1，1，0)，C1(1，1，2)，
则有＝(1，－1，2)，＝(－1，0，1)，＝(0，0，2)．
设平面CB1M与平面BB1C1C的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)，
则有
分别取x1＝x2＝1，则有y1＝3，z1＝1，y2＝1，z2＝0，
即m＝(1，3，1)，n＝(1，1，0)，
设平面CB1M与平面BB1C1C的夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝，
故平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为．　
(3)由＝(0，0，2)，平面CB1M的法向量m＝(1，3，1)，
则有，
即点B到平面CB1M的距离为．
19．(17分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
[解]　(1)因为点A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4．
因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2，又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5，
故椭圆C的方程为＋＝1．
(2)由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由
得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0，
则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝．
直线AP：y＝(x＋2)，令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝，
则yM＋yN＝2×
＝2×
＝2×
＝2×
＝2×
＝6．
所以MN的中点的纵坐标为＝3，所以MN的中点为定点(0，3)．
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