资源简介

2.3　直线的交点坐标与距离公式
2.3.1　两条直线的交点坐标
[学习目标]　1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学运算)
2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(数学运算)
(教师用书)
点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，那么我们会有Ax0＋By0＋C＝0，当P(x0，y0)同时在两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0上时，我们会有Aix0＋Biy0＋Ci＝0(i＝1，2)，那么点P就是这两条直线的交点．
下面我们就来研究两直线的交点问题．
[讨论交流]　
问题1．如何通过两条直线的方程确定两条直线的交点坐标？
问题2．两条直线的方程组的解满足什么条件时，两条直线平行、重合？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　求直线的交点坐标
探究问题　已知两条直线l1：x－y＋1＝0，l2：x＋y－2＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标与直线l1，l2的方程有什么关系？
[提示]　直线l1，l2的图象如图所示，点M既在l1上也在l2上．满足直线l1的方程x－y＋1＝0，也满足l2的方程x＋y－2＝0．
即交点是方程组的解．
[新知生成]
两条直线的交点
已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解．
【教用·微提醒】　(1)解方程组时需注意，消元法的使用，可用加减消元或代入消元．
(2)图象可以大致判断交点位置，使解方程组更为准确．
【链接·教材例题】
例1　求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
l1：3x＋4y－2＝0；
l2：2x＋y＋2＝0．
[解]　解方程组得
所以，l1与l2的交点是M(－2，2)(图2.3-1)．
[典例讲评]　1．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　)
A．3x－19y＝0　　　B．19x－3y＝0　　C．19x＋3y＝0　　D．3x＋19y＝0
D　[解方程组得所以两直线的交点为，所以所求直线的斜率为＝－，所以所求直线的方程为y＝－x，即3x＋19y＝0．]
　求与已知两直线的交点有关的问题，先通过解二元一次方程组求出交点坐标，然后再利用其他条件求解．
[学以致用]　1．直线l1：2x－3y＋5＝0与l2：x＋y－10＝0的交点坐标是(　　)
A．(5，5) 　　B．(2，3) 　　C．(3，7) 　　D．(8，5)
A　[解方程组得
故l1与l2的交点坐标为(5，5)．故选A．]
探究2　判断两条直线的位置关系
[新知生成]
两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示：
的解 一组 无数组 无解
直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行
【链接·教材例题】
例2　判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＝0，　 l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0, l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0, l2：6x＋8y－10＝0．
[分析]　解直线l1，l2的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则l1与l2相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则l1∥l2；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则l1与l2重合．
[解]　(1)解方程组
得
所以，l1与l2相交，交点是M．
(2)解方程组
①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2．
(3)解方程组
①×2得6x＋8y－10＝0．
①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
[典例讲评]　2．(源自湘教版教材)判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0．
[解]　(1)解方程组
得
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(－1，－1)．
(2)解方程组
①×2－②得1＝0，矛盾．
由此可知方程组无解，因此直线l1与l2平行．
(3)解方程组
①×2得2x－2y＋2＝0．
说明方程①和方程②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，此时方程组有无数组解，直线l1与l2重合．
　(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0．
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
[学以致用]　2．判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋1＝0；
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0．
[解]　(1)将l1与l2的方程分别化为斜截式可知l1：y＝x＋1，l2：y＝x＋．
因此l1与l2的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
(2)解方程组得x＝－3，y＝－1，
因此，l1与l2相交，而且交点坐标为(－3，－1)．
探究3　直线系过定点
[典例讲评]　3．求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．
[证明]　法一(特殊值法)：取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1，得到直线l2：x＝－3，
故l1与l2的交点为(－3，3)．
将点(－3，3)代入方程左边，
得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，
∴点(－3，3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上，
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3)．
法二(分离参数法)：由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，
整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0．
则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点．
由方程组得
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3)．
　1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0．
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
[学以致用]　3．已知直线l1：x＋ay－2a＝0过定点A，直线l2：ax－(2a－3)y－6＝0过定点B，求线段AB的中点C的坐标．
[解]　由直线l1的方程，得x＋a(y－2)＝0，
解方程组得所以定点A(0，2)．
由直线l2的方程，得a(x－2y)＋3y－6＝0，
解方程组
得所以定点B(4，2)．
由中点坐标公式，得所以C(2，2)．
【教用·备选题】　已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限．
[证明]　将直线方程整理为a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0．
因为直线3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交点为，
即直线系恒过第一象限内的定点，
所以无论a为何值，直线总经过第一象限．
1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　)
A．(3，2) 　　B．(2，3) 　　C．(－2，－3) 　　D．(－3，－2)
B　[解方程组得故选B．]
2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　)
A．(－3，－1) 　　B．(－2，－1) 　　C．(－3，1) 　　D．(－2，1)
C　[令m＝1得y＝1，令m＝得x＝－3．故选C．]
3．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________．
2x＋y－4＝0　[设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，
所以k＝＝－2，解得λ＝5．所以所求直线方程为2x＋y－4＝0．]
4．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为________．
10　[将(2，－1)代入3x＋my－1＝0得m＝5，将(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得n＝5，所以m＋n＝10．]
1．知识链：(1)两条直线的交点．
(2)直线过定点问题．
2．方法链：消元法、方程思想．
3．警示牌：解方程组出现计算错误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求两直线的交点坐标？
[提示]　解两直线方程组成的方程组，方程组的解就是交点的坐标．
2．直线方程具有什么特点时，直线恒过定点？
[提示]　当x或y的系数含有字母参数时，直线恒过定点．
3．对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两直线相交、平行和垂直的充要条件是什么？
[提示]　l1与l2相交 A1B2≠A2B1；
l1与l2平行 A1B2＝A2B1；
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
课时分层作业(十七)　两条直线的交点坐标
一、选择题
1．直线y＝x与直线y＝－x＋2的交点坐标为(　　)
A．(－1，－1) B．(1，1)
C．(－1，1) D．(1，－1)
B　[由解得x＝y＝1，所以交点为(1，1)．故选B．]
2．若直线x－ay＝0与直线2x＋y－1＝0的交点为(1，y0)，则实数a的值为(　　)
A．－1 B．－ C．1 D．2
A　[∵直线x－ay＝0与直线2x＋y－1＝0的交点为(1，y0)，
∴解得a＝－1．故选A．]
3．直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则实数k的值为(　　)
A．k≠1且k≠9 B．k≠1且k≠－9
C．k≠－1且k≠9 D．k≠－1且k≠－9
B　[∵直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，
可得两直线不平行，当两直线平行时，3(2k－3)－k·[－(k＋2)]＝0 k2＋8k－9＝0，解得k＝1或k＝－9，∴直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则实数k的值为k≠1且k≠－9．故选B．]
4．若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝(　　)
A．4 B．2 C． D．
A　[直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点，满足：解得
由于该点在直线y＝x＋2上，故＝＋2，解得k＝4．故选A．]
5．若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
A　[联立解得
∴x＝(1－2k)＞0，且y＝k＋＞0，
解得－＜k＜，故选A．]
二、填空题
6．过两直线2 023x－2 022y－1＝0和2 022x＋2 023y＋1＝0的交点且过原点的直线方程为________．
4 045x＋y＝0　[由题意可设，所求的直线方程为2 023x－2 022y－1＋λ(2 022x＋2 023y＋1)＝0，
由于该直线过原点(0，0)，故λ＝1，故所求方程为4 045x＋y＝0．]
7．直线l1：3x－y＋12＝0，l2：3x＋2y－6＝0及y轴所围成的三角形的面积为________．
9　[易知直线l1，l2与y轴的交点坐标分别为(0，12)，(0，3)．
由解得故所求三角形的面积S＝＝9．]
8．若三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形，则实数m的值为________．
2或－2或　[当三条直线交于一点或其中任意两条平行或重合时，它们不能围成三角形．
由解得
将x＝1，y＝－1代入l1的方程，得m＝2．
即当m＝2时，三条直线共点，不能围成三角形．
又m＝－2时，l1∥l2，m＝时，l1∥l3，此时三条直线也不能围成三角形．
故当m＝±2或m＝时，l1，l2和l3不能围成三角形．]
三、解答题
9．已知三条直线l1：3x－4y＋11＝0，l2：x＋2y－3＝0和l3：(2m－3)x－(m＋1)y－2m＋3＝0．
(1)若l1∥l3，求实数m的值；
(2)若三条直线相交于一点，求实数m的值．
[解]　(1)因为l1：3x－4y＋11＝0，l3：(2m－3)x－(m＋1)y－2m＋3＝0且l1∥l3，
所以3×[－(m＋1)]＝－4×(2m－3)，解得m＝3，
经检验，当m＝3时，l1∥l3．
(2)由解得即l1与l2的交点为(－1，2)，
因为三条直线相交于一点，所以点(－1，2)在l3上，
所以(2m－3)×(－1)－(m＋1)×2－2m＋3＝0，解得m＝．
10．(多选)若三条直线2x＋y－4＝0，x－y＋1＝0与ax－y＋2＝0共有两个交点，则实数a的值为(　　)
A．1 B．2 C．－2 D．－1
AC　[由直线2x＋y－4＝0，x－y＋1＝0与ax－y＋2＝0共有两个交点，
所以这三条直线必有两条直线平行，又直线2x＋y－4＝0与x－y＋1＝0不平行，
所以当直线2x＋y－4＝0与ax－y＋2＝0平行时，a＝－2；
当直线x－y＋1＝0与ax－y＋2＝0平行时，a＝1．
综上知，实数a的值为1或－2．故选AC．]
11．已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点(　　)
A． B．
C． D．
D　[由a＋2b＝1，得a＝1－2b，则直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0，整理得x＋3y－b(2x－1)＝0，
所以解得
故直线过定点．]
12．(多选)已知直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．l1与l2的交点坐标是(0，－1)
B．过l1与l2的交点且与l1垂直的直线的方程为x－3y＋13＝0
C．l1，l2与x轴围成的三角形的面积是
D．l1的倾斜角是锐角
BC　[联立解得交点坐标为(－1，4)，所以A错误；由所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直得所求直线的斜率为，由点斜式得y－4＝(x＋1)，即x－3y＋13＝0，所以B正确；l1，l2与x轴围成的三角形的面积S＝××4＝，所以C正确；l1的斜率k1＝－3＜0，所以l1的倾斜角是钝角，所以D错误．]
13．已知直线l1：kx＋y－1＝0，l2：x＋ky＋1＝0，若l1∥l2，则k＝________；若曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点，则实数k的取值范围是________．
1　(－1，1)　[因为l1∥l2，所以k2－1＝0，解得k＝±1，经检验k＝－1时，两直线重合，所以k＝1．
y＝|x|＝
直线l1化为y＝－kx＋1，恒过点(0，1)，画出函数图象，如图．
因为曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点，所以－k＝0或0＜－k＜1或－1＜－k＜0，即－1＜k＜1．]
14．已知直线l1的方程为x＋2y－3＝0，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2．
(1)求直线l1和l2的交点坐标；
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程．
[解]　(1)由直线l1的方程为x＋2y－3＝0，l1⊥l2，可得直线l2的斜率为2，
又l2在x轴上的截距为，即过点，所以直线l2的方程为y＝2，即2x－y－1＝0，
联立l1方程，得解得故交点为(1，1)．
(2)依据题意直线l3在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，
且直线l3经过l1与l2的交点(1，1)，
当直线l3过原点时，l3方程为y＝x，
当直线l3不过原点时，设l3方程为＋＝1，则＝1，解得a＝，
故l3方程为2x＋y＝3，即2x＋y－3＝0，
综上所述，l3的方程为y＝x或2x＋y－3＝0．
15．如图，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．
[解]　设B(x0，y0)，则AB的中点E的坐标为，
由条件可得
得
解得即B(6，4)．
同理可求得C点的坐标为(5，0)．
故所求直线BC的方程为
＝，即4x－y－20＝0．
1/2(共34张PPT)
2.3.1　两条直线的交点坐标
第二章　直线和圆的方程
2.3　直线的交点坐标与距离公式
[学习目标]　1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学运算)
2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(数学运算)
整体感知
(教师用书)
点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，那么我们会有Ax0＋By0＋C＝0，当P(x0，y0)同时在两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2 y＋C2＝0上时，我们会有Ai x0＋Bi y0＋Ci＝0(i＝1，2)，那么点P就是这两条直线的交点．
　　下面我们就来研究两直线的交点问题．
[讨论交流]　
问题1．如何通过两条直线的方程确定两条直线的交点坐标？
问题2．两条直线的方程组的解满足什么条件时，两条直线平行、重合？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　求直线的交点坐标
探究问题　已知两条直线l1：x－y＋1＝0，l2：x＋y－2＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标与直线l1，l2的方程有什么关系？
探究建构
[提示]　直线l1，l2的图象如图所示，点M既在l1上也在l2上．满足直线l1的方程x－y＋1＝0，也满足l2的方程x＋y－2＝0．
即交点是方程组的解．
[新知生成]
两条直线的交点
已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组
的解．
【教用·微提醒】　(1)解方程组时需注意，消元法的使用，可用加减消元或代入消元．
(2)图象可以大致判断交点位置，使解方程组更为准确．
【链接·教材例题】
例1　求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
l1：3x＋4y－2＝0；l2：2x＋y＋2＝0．
[解]　解方程组
得
所以，l1与l2的交点是M(－2，2)(图2.3-1)．
[典例讲评]　1．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　)
A．3x－19y＝0　　　 B．19x－3y＝0　　
C．19x＋3y＝0　　 D．3x＋19y＝0
D　[解方程组得所以两直线的交点
为，所以所求直线的斜率为＝－，所以所求直线的方程为y＝－x，即3x＋19y＝0．]
√
反思领悟　求与已知两直线的交点有关的问题，先通过解二元一次方程组求出交点坐标，然后再利用其他条件求解．
[学以致用]　1．直线l1：2x－3y＋5＝0与l2：x＋y－10＝0的交点坐标是(　　)
A．(5，5) 　　B．(2，3) 　　C．(3，7) 　　D．(8，5)
A　[解方程组得
故l1与l2的交点坐标为(5，5)．故选A．]
√
探究2　判断两条直线的位置关系
[新知生成]
两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示：
的解 一组 无数组 无解
直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1和l2的位置关系 ____ ____ ____
相交
重合
平行
【链接·教材例题】
例2　判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＝0，　 l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0， l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0， l2：6x＋8y－10＝0．
[分析]　解直线l1，l2的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则l1与l2相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则l1∥l2；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则l1与l2重合．
[解]　(1)解方程组
得
所以，l1与l2相交，交点是M．
(2)解方程组
①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2．
(3)解方程组
①×2得6x＋8y－10＝0．
①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
[典例讲评]　2．(源自湘教版教材)判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0．
[解]　(1)解方程组得
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(－1，－1)．
(2)解方程组
①×2－②得1＝0，矛盾．
由此可知方程组无解，因此直线l1与l2平行．
(3)解方程组
①×2得2x－2y＋2＝0．
说明方程①和方程②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，此时方程组有无数组解，直线l1与l2重合．
反思领悟　(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，
即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0．
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
[学以致用]　2．判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋1＝0；
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0．
[解]　(1)将l1与l2的方程分别化为斜截式可知l1：y＝x＋1，l2：y＝x＋．
因此l1与l2的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
(2)解方程组得x＝－3，y＝－1，
因此，l1与l2相交，而且交点坐标为(－3，－1)．
探究3　直线系过定点
[典例讲评]　3．求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．
[证明]　法一(特殊值法)：取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1，得到直线l2：x＝－3，故l1与l2的交点为(－3，3)．
将点(－3，3)代入方程左边，
得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，
∴点(－3，3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上，
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3)．
法二(分离参数法)：由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，
整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0．
则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点．
由方程组得
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3)．
反思领悟　1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0．
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
[学以致用]　3．已知直线l1：x＋ay－2a＝0过定点A，直线l2：ax－(2a－3)y－6＝0过定点B，求线段AB的中点C的坐标．
[解]　由直线l1的方程，得x＋a(y－2)＝0，
解方程组得所以定点A(0，2)．
由直线l2的方程，得a(x－2y)＋3y－6＝0，
解方程组得所以定点B(4，2)．
由中点坐标公式，得所以C(2，2)．
【教用·备选题】　已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限．
[证明]　将直线方程整理为a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0．
因为直线3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交点为，
即直线系恒过第一象限内的定点，
所以无论a为何值，直线总经过第一象限．
1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　)
A．(3，2) 　　B．(2，3) 　　C．(－2，－3) 　　D．(－3，－2)
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
B　[解方程组得故选B．]
2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　)
A．(－3，－1) 　　 B．(－2，－1) 　　
C．(－3，1) 　　 D．(－2，1)
2
3
题号
1
4
√
C　[令m＝1得y＝1，令m＝得x＝－3．故选C．]
3．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________．
2
3
题号
4
1
2x＋y－4＝0　[设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，
所以k＝＝－2，解得λ＝5．所以所求直线方程为2x＋y－4＝0．]
2x＋y－4＝0　
4．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为_____．
2
4
3
题号
1
10　[将(2，－1)代入3x＋my－1＝0得m＝5，将(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得n＝5，所以m＋n＝10．]
10　
1．知识链：(1)两条直线的交点．
(2)直线过定点问题．
2．方法链：消元法、方程思想．
3．警示牌：解方程组出现计算错误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求两直线的交点坐标？
[提示]　解两直线方程组成的方程组，方程组的解就是交点的坐标．
2．直线方程具有什么特点时，直线恒过定点？
[提示]　当x或y的系数含有字母参数时，直线恒过定点．
3．对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两直线相交、平行和垂直的充要条件是什么？
[提示]　l1与l2相交 A1B2≠A2B1；
l1与l2平行 A1B2＝A2B1；
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
课时分层作业(十七)
点击页面进入…
两条直线的交点坐标
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS课时分层作业(十七)　两条直线的交点坐标
一、选择题
1．直线y＝x与直线y＝－x＋2的交点坐标为(　　)
A．(－1，－1) B．(1，1)
C．(－1，1) D．(1，－1)
2．若直线x－ay＝0与直线2x＋y－1＝0的交点为(1，y0)，则实数a的值为(　　)
A．－1　　　B．－　　　C．1　　　D．2
3．直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则实数k的值为(　　)
A．k≠1且k≠9 B．k≠1且k≠－9
C．k≠－1且k≠9 D．k≠－1且k≠－9
4．若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝(　　)
A．4　　　B．2　　　 C．　　　D．
5．若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
6．过两直线2 023x－2 022y－1＝0和2 022x＋2 023y＋1＝0的交点且过原点的直线方程为________．
7．直线l1：3x－y＋12＝0，l2：3x＋2y－6＝0及y轴所围成的三角形的面积为________．
8．若三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形，则实数m的值为________．
三、解答题
9．已知三条直线l1：3x－4y＋11＝0，l2：x＋2y－3＝0和l3：(2m－3)x－(m＋1)y－2m＋3＝0．
(1)若l1∥l3，求实数m的值；
(2)若三条直线相交于一点，求实数m的值．
10．(多选)若三条直线2x＋y－4＝0，x－y＋1＝0与ax－y＋2＝0共有两个交点，则实数a的值为(　　)
A．1　　　B．2　　　C．－2　　　D．－1
11．已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点(　　)
A．　　　 B．
C．　　　 D．
12．(多选)已知直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．l1与l2的交点坐标是(0，－1)
B．过l1与l2的交点且与l1垂直的直线的方程为x－3y＋13＝0
C．l1，l2与x轴围成的三角形的面积是
D．l1的倾斜角是锐角
13．已知直线l1：kx＋y－1＝0，l2：x＋ky＋1＝0，若l1∥l2，则k＝________；若曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点，则实数k的取值范围是________．
14．已知直线l1的方程为x＋2y－3＝0，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2．
(1)求直线l1和l2的交点坐标；
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程．
15．如图，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．
3/32.3　直线的交点坐标与距离公式
2.3.1　两条直线的交点坐标
[学习目标]　1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学运算)
2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(数学运算)
[讨论交流]　
问题1．如何通过两条直线的方程确定两条直线的交点坐标？
问题2．两条直线的方程组的解满足什么条件时，两条直线平行、重合？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　求直线的交点坐标
探究问题　已知两条直线l1：x－y＋1＝0，l2：x＋y－2＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标与直线l1，l2的方程有什么关系？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[新知生成]
两条直线的交点
已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组________________的解．
[典例讲评]　1．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　)
A．3x－19y＝0　　 B．19x－3y＝0
C．19x＋3y＝0 D．3x＋19y＝0
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　求与已知两直线的交点有关的问题，先通过解二元一次方程组求出交点坐标，然后再利用其他条件求解．
[学以致用]　1．直线l1：2x－3y＋5＝0与l2：x＋y－10＝0的交点坐标是(　　)
A．(5，5) B．(2，3)
C．(3，7) D．(8，5)
探究2　判断两条直线的位置关系
[新知生成]
两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示：
的解 一组 无数组 无解
直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1和l2的位置关系 ____ ____ ____
[典例讲评]　2．(源自湘教版教材)判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0．
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
[学以致用]　2．判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋1＝0；
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
探究3　直线系过定点
[典例讲评]　3．求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0．
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
[学以致用]　3．已知直线l1：x＋ay－2a＝0过定点A，直线l2：ax－(2a－3)y－6＝0过定点B，求线段AB的中点C的坐标．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　)
A．(3，2) B．(2，3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　)
A．(－3，－1) B．(－2，－1)
C．(－3，1) D．(－2，1)
3．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________．
4．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为________．
1．知识链：(1)两条直线的交点．
(2)直线过定点问题．
2．方法链：消元法、方程思想．
3．警示牌：解方程组出现计算错误．
4/4

展开更多......

收起↑