资源简介 课时分层作业(十八) 两点间的距离公式一、选择题1．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则＝( )A． B． C．3 D．22．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是( )A．2 B．3 C． D．3．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( )A． B． C． D．4．已知点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是( )A．－ B．－ C． D．5．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是( )A．(－4，5) B．(－1，2)C．(－3，4) D．(1，－5)二、填空题6．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________．7．若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点距离的最小值是________．8．点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标是________．三、解答题9．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值．10．已知x，y∈R，S＝，则S的最小值是( )A．0 B．2 C．4 D．11．点D(－2，－2)到直线l：2x－y＋mx－m＝0(m∈R)距离的最大值为( )A．5 B． C．2 D．312．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝________．13．设A(－3，1)，B(2，4)，点P在x轴上，使得|PA|＋|PB|取到的最小值为________，此时的点P坐标为________．14．如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：2＝2|BD|2．15．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°．根据以上性质，则F(x，y)＝的最小值为( )A．4 B．2＋2C．3＋2 D．4＋22/22.3.2 两点间的距离公式[学习目标] 1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(数学抽象)2．会用坐标法证明简单的平面几何问题．(逻辑推理)(教师用书)在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现计划在公路上某处建一个公共站点C，以方便居住在两个小区的住户出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？[讨论交流] 问题1．两点间距离公式是如何推导的？问题2．“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤是什么？[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究1 两点间的距离公式探究问题1 在数轴上已知两点M，N，如何求M，N两点之间的距离？[提示] |MN|＝|xM－xN|．探究问题2 已知平面内的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何利用勾股定理计算|P1P2|？[提示] (1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|＝|x2－x1|；(2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|＝|y2－y1|；(3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝．即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝．[新知生成]两点间的距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．(2)两点间距离的特殊情况①原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝．②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|．③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|．注：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．【教用·微提醒】 此公式与两点的先后顺序无关．【链接·教材例题】例3 已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．[解] 设所求点为P(x，0)，则|PA|＝＝，|PB|＝＝．由|PA|＝|PB|，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11．解得x＝1．所以，所求点为P(1，0)，且|PA|＝＝2．[典例讲评] 1．(源自北师大版教材)如图所示，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)．(1)试判断△ABC的形状；(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．[解] (1)根据两点间的距离公式，得|AB|＝＝，|BC|＝＝2，|CA|＝＝5．因为()2＋(2)2＝＝|CA|2，所以△ABC是直角三角形．(2)因为BC的中点D的横坐标x＝＝2，纵坐标y＝＝－1，所以BC边上中线的长|AD|＝＝2． 1．对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝＝·＝(k为直线P1P2的斜率)．2．若已知两点间的距离及两点的坐标，并且坐标中含有参数，则可利用两点间的距离公式列方程求出参数．[学以致用] 1．已知点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5，求a的值．[解] ∵点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5，∴＝5，即5a2－3a－8＝0，解得a＝－1或a＝．探究2 坐标法的应用【链接·教材例题】例4 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．[分析] 首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．证明 如图2.3-4，四边形ABCD是平行四边形．以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．在 ABCD中，点A的坐标是(0，0)，设点B的坐标为(a，0)，点D的坐标为(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a＋b，c)．由两点间的距离公式，得|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2，|AB|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2．所以|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AB|2＋|AD|2＝a2＋b2＋c2．所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．[典例讲评] 2．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．求证：|AC|＝|BD|．[证明] 如图所示，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．∴|AC|＝＝，|BD|＝＝．故|AC|＝|BD|． 坐标法及其应用(1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算．②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．(2)利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：①建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上．②用坐标表示有关的量．③将几何关系转化为坐标运算．④把代数运算结果“翻译”成几何关系．[学以致用] 2．求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．[证明] 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点．设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，则|AB|＝|c|．又由中点坐标公式，得D，E，∴|DE|＝＝，∴|DE|＝，即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．【教用·备选题】 如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形．试用坐标法证明|AE|＝|CD|．[证明] 如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系Oxy．设△ABD和△BCE的边长分别为a和c．则A(－a，0)，C(c，0)，E，D，由距离公式，得|AE|＝＝，|CD|＝＝，所以|AE|＝|CD|．1．已知两点M(0，3)，N(4，0)，则|MN|＝( )A．3 B．5 C．9 D．25B [因为M(0，3)，N(4，0)，则|MN|＝＝5．故选B．]2．以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是( )A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．以上都不是C [因为|AB|＝＝＝＝2，|BC|＝＝＝＝4＝＝＝2，所以|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以△ABC为直角三角形．故选C．]3．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为________． [BC的中点坐标为(0，1)，则BC边上的中线长为＝．]1．知识链：(1)两点间的距离公式．(2)坐标法证明平面几何问题．2．方法链：待定系数法、坐标法．3．警示牌：(1)已知距离求参数易漏解．(2)用坐标法解决平面几何问题时，坐标系建立不恰当，造成坐标确定困难，线段长度计算烦琐．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．试写出两点间的距离公式．[提示] P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式|P1P2|＝．2．试写出利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤．[提示] (1)建立坐标系，用坐标表示有关的量．(2)进行有关代数运算．(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论．笛卡儿与解析几何解析几何的创立适应了17世纪科学技术发展的迫切需要．法国数学家笛卡儿(Descartes，1596－1650)是解析几何的创始人之一．笛卡儿的中心思想是使代数和几何结合起来．把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程．解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑．它促进了微积分的创立，从此数学进入了变量数学的新时期．解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究．这种方法具有一般性，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系．从此代数和几何互相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展．课时分层作业(十八) 两点间的距离公式一、选择题1．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则＝( )A． B． C．3 D．2D [∵A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，∴|AC|＝＝4，|CB|＝＝2，∴＝＝2．故选D．]2．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是( )A．2 B．3 C． D．C [由中点坐标公式可得：BC边的中点D，即．由两点之间的距离公式可得|AD|＝＝．故选C．]3．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( )A． B． C． D．C [直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B＝．]4．已知点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是( )A．－ B．－ C． D．C [因为A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，所以|AB|＝＝＝＝，所以当a＝取得最小值．]5．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是( )A．(－4，5) B．(－1，2)C．(－3，4) D．(1，－5)BC [设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且＝，两式联立解得或故选BC．]二、填空题6．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________． [由题意知kAB＝＝b－a＝1，所以|AB|＝＝．]7．若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点距离的最小值是________． [由两点间的距离公式得P到原点的距离为＝＝，所以最小值为＝．]8．点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标是________．(2，10)或(－10，10) [∵点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，∴设点M的坐标为(x，10)，或(x，－10)，由距离公式可得(x＋4)2＋(10－2)2＝100，①或(x＋4)2＋(－10－2)2＝100，②由①解得x＝2或x＝－10，方程②无实数解，∴点M的坐标是(2，10)或(－10，10)．]三、解答题9．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值．[解] 由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，令x＝0，有y＝，则B，故AB的中点为，∵线段AB的中点到原点的距离为，∴＝，解得a＝±2．10．已知x，y∈R，S＝＋，则S的最小值是( )A．0 B．2 C．4 D．B [S＝＋可以看作是点(x，y)到点(－1，0)与点(1，0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2．]11．点D(－2，－2)到直线l：2x－y＋mx－m＝0(m∈R)距离的最大值为( )A．5 B． C．2 D．3A [直线l：2x－y＋m(x－1)＝0，令解得所以直线l过定点A(1，2)，所以直线l表示过定点(1，2)的直线，如图，当DA⊥l时，|DA|表示点到直线的距离，当DA不垂直于l时，|DB|表示点到直线的距离，显然|DB|＜|DA|，所以点D到直线l距离的最大值为|DA|＝＝5，所以点D到直线l距离的最大值为|DA|＝5．故选A．]12．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝________．10 [以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，设A(4a，0)，B(0，4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)，所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2，|PC|2＝a2＋b2，于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10＝10．]13．设A(－3，1)，B(2，4)，点P在x轴上，使得|PA|＋|PB|取到的最小值为________，此时的点P坐标为________．5 (－2，0) [由题意得，点A(－3，1)关于x轴的对称点为A′(－3，－1)，|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|(当且仅当A′，P，B三点共线时取等号)，又B(2，4)，则|A′B|＝＝5，∴直线A′B的方程为＝，即x－y＋2＝0，∴当|PA|＋|PB|取最小值时，点P为直线x－y＋2＝0与x轴的交点，∴P(－2，0)．]14．如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：2＝2|BD|2．[证明] 如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系．设B(b，c)，C(a，0)，依题意得A(－a，0)．2＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，所以2＝2|BD|2．15．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°．根据以上性质，则F(x，y)＝＋＋的最小值为( )A．4 B．2＋2C．3＋2 D．4＋2B [由两点间的距离公式得，F(x，y)＝＋＋是点P(x，y)到点B(2，0)，A(－1＋，1－)，C(0，2)的距离之和，即求点P(x，y)到点(2，0)，(－1＋，1－)，(0，2)的距离之和的最小值，取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，M为BC的中点．∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，所以∠BPM＝∠CPM＝60°，所以BP＝CP＝＝＝，PM＝BPsin 30°＝，AP＝AM－PM＝2－，所以最小值为BP＋CP＋AP＝＋＋2－＝2＋2．故选B．]1/2(共31张PPT)2.3.2 两点间的距离公式第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式[学习目标] 1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(数学抽象)2．会用坐标法证明简单的平面几何问题．(逻辑推理)整体感知(教师用书)在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现计划在公路上某处建一个公共站点C，以方便居住在两个小区的住户出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？[讨论交流] 问题1．两点间距离公式是如何推导的？问题2．“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤是什么？[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究1 两点间的距离公式探究问题1 在数轴上已知两点M，N，如何求M，N两点之间的距离？探究建构[提示] |MN|＝|xM－xN|．探究问题2 已知平面内的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何利用勾股定理计算|P1P2|？[提示] (1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|＝|x2－x1|；(2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|＝|y2－y1|；(3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝．即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝．[新知生成]两点间的距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．(2)两点间距离的特殊情况①原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝．②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝_______．③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝_______．注：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．【教用·微提醒】 此公式与两点的先后顺序无关．|x2－x1||y2－y1|【链接·教材例题】例3 已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．[解] 设所求点为P(x，0)，则|PA|＝＝，|PB|＝＝．由|PA|＝|PB|，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11．解得x＝1．所以，所求点为P(1，0)，且|PA|＝＝2．[典例讲评] 1．(源自北师大版教材)如图所示，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)．(1)试判断△ABC的形状；(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．[解] (1)根据两点间的距离公式，得|AB|＝＝，|BC|＝＝2，|CA|＝＝5．因为()2＋(2)2＝()2＝|CA|2，所以△ABC是直角三角形．(2)因为BC的中点D的横坐标x＝＝2，纵坐标y＝＝－1，所以BC边上中线的长|AD|＝＝2．反思领悟 1．对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝＝·＝(k为直线P1P2的斜率)．2．若已知两点间的距离及两点的坐标，并且坐标中含有参数，则可利用两点间的距离公式列方程求出参数．[学以致用] 1．已知点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5，求a的值．[解] ∵点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5，∴＝5，即5a2－3a－8＝0，解得a＝－1或a＝．探究2 坐标法的应用【链接·教材例题】例4 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．[分析] 首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．证明 如图2.3-4，四边形ABCD是平行四边形．以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．在 ABCD中，点A的坐标是(0，0)，设点B的坐标为(a，0)，点D的坐标为(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a＋b，c)．由两点间的距离公式，得|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2，|AB|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2．所以|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AB|2＋|AD|2＝a2＋b2＋c2．所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．[典例讲评] 2．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．求证：|AC|＝|BD|．[证明] 如图所示，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．∴|AC|＝＝，|BD|＝＝．故|AC|＝|BD|．反思领悟 坐标法及其应用(1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算．②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．(2)利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：①建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上．②用坐标表示有关的量．③将几何关系转化为坐标运算．④把代数运算结果“翻译”成几何关系．[学以致用] 2．求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．[证明] 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点．设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，则|AB|＝|c|．又由中点坐标公式，得D，E，∴|DE|＝＝，∴|DE|＝，即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．【教用·备选题】 如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形．试用坐标法证明|AE|＝|CD|．[证明] 如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系Oxy．设△ABD和△BCE的边长分别为a和c．则A(－a，0)，C(c，0)，E，D，由距离公式，得|AE|＝＝，|CD|＝＝，所以|AE|＝|CD|．1．已知两点M(0，3)，N(4，0)，则|MN|＝( )A．3 B．5 C．9 D．25应用迁移√B [因为M(0，3)，N(4，0)，则|MN|＝＝5．故选B．]2．以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是( )A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．以上都不是√C [因为|AB|＝＝＝＝2，|BC|＝＝＝＝4＝＝＝2，所以|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以△ABC为直角三角形．故选C．]3．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为________． [BC的中点坐标为(0，1)，则BC边上的中线长为＝．] 1．知识链：(1)两点间的距离公式．(2)坐标法证明平面几何问题．2．方法链：待定系数法、坐标法．3．警示牌：(1)已知距离求参数易漏解．(2)用坐标法解决平面几何问题时，坐标系建立不恰当，造成坐标确定困难，线段长度计算烦琐．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．试写出两点间的距离公式．[提示] P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式|P1P2|＝．2．试写出利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤．[提示] (1)建立坐标系，用坐标表示有关的量．(2)进行有关代数运算．(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论．笛卡儿与解析几何解析几何的创立适应了17世纪科学技术发展的迫切需要．法国数学家笛卡儿(Descartes，1596－1650)是解析几何的创始人之一．笛卡儿的中心思想是使代数和几何结合起来．把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程．阅读材料解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑．它促进了微积分的创立，从此数学进入了变量数学的新时期．解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究．这种方法具有一般性，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系．从此代数和几何互相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展．课时分层作业(十八)点击页面进入…两点间的距离公式（WORD版）巩固课堂所学 · 激发学习思维夯实基础知识 · 熟悉命题方式自我检测提能 · 及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结wTHANKS2.3.2 两点间的距离公式[学习目标] 1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(数学抽象)2．会用坐标法证明简单的平面几何问题．(逻辑推理)[讨论交流] 问题1．两点间距离公式是如何推导的？问题2．“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤是什么？[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究1 两点间的距离公式探究问题1 在数轴上已知两点M，N，如何求M，N两点之间的距离？探究问题2 已知平面内的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何利用勾股定理计算|P1P2| _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[新知生成]两点间的距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．(2)两点间距离的特殊情况①原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝．②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝______．③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝______．注：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．[典例讲评] 1．(源自北师大版教材)如图所示，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)．(1)试判断△ABC的形状；(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．[尝试解答]_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1．对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝·＝(k为直线P1P2的斜率)．2．若已知两点间的距离及两点的坐标，并且坐标中含有参数，则可利用两点间的距离公式列方程求出参数．[学以致用] 1．已知点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5，求a的值．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究2 坐标法的应用[典例讲评] 2．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．求证：|AC|＝|BD|．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 坐标法及其应用(1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算．②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．(2)利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：①建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上．②用坐标表示有关的量．③将几何关系转化为坐标运算．④把代数运算结果“翻译”成几何关系．[学以致用] 2．求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．已知两点M(0，3)，N(4，0)，则|MN|＝( )A．3 B．5 C．9 D．252．以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是( )A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．以上都不是3．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为________．1．知识链：(1)两点间的距离公式．(2)坐标法证明平面几何问题．2．方法链：待定系数法、坐标法．3．警示牌：(1)已知距离求参数易漏解．(2)用坐标法解决平面几何问题时，坐标系建立不恰当，造成坐标确定困难，线段长度计算烦琐．笛卡儿与解析几何解析几何的创立适应了17世纪科学技术发展的迫切需要．法国数学家笛卡儿(Descartes，1596－1650)是解析几何的创始人之一．笛卡儿的中心思想是使代数和几何结合起来．把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程．解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑．它促进了微积分的创立，从此数学进入了变量数学的新时期．解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究．这种方法具有一般性，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系．从此代数和几何互相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展．5/5 展开更多...... 收起↑ 资源列表 22 第二章 2.3 2.3.2 两点间的距离公式 原卷版.docx 22 第二章 2.3 2.3.2 两点间的距离公式 解析版.docx 22 第二章 2.3 2.3.2 两点间的距离公式.pptx 课时分层作业18 两点间的距离公式 原卷版.docx
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