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课时分层作业(二十四)　圆与圆的位置关系
一、选择题
1．圆x2＋2x＋y2＋8y－8＝0和圆x2－4x＋y2－4y－2＝0的位置关系是(　　)
A．相交　　　B．相切　　　C．相离　　　D．内含
2．已知圆C过圆C1：x2＋y2＋4x－2y－10＝0与圆C2：(x＋3)2＋(y－3)2＝6的公共点，若圆C1，C2的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
3．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，下列说法正确的为(　　)
A．两圆有两条公切线
B．直线AB的方程为y＝2x＋2
C．线段AB的长为
D．圆O上点E，圆M上点F，＋3
4．(多选)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则(　　)
A．|PQ|的最小值为2
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为－
D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0
5．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－4x＋4y－12＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．两圆公共弦所在的直线方程为x－y＋2＝0
B．两圆的位置关系为外切
C．公共弦长为2
D．两圆有四条公切线
二、填空题
6．已知圆C1：(x－a)2＋y2＝36与圆C2：x2＋(y－b)2＝4只有一条公切线，则a2＋b2＝________．
7．已知圆C1：(x－a)2＋(y－1)2＝1与圆C2：x2＋y2＝3交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为60°，则|AB|＝________．
8．与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M的圆的方程为________．
三、解答题
9．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，判断圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系．
10．(多选)已知圆C1：x2＋y2＋2mx－10y＋m2＝0，圆C2：x2＋y2＋4y－5＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．若点(1，1)在圆C1的内部，则－2＜m＜4
B．若m＝2，则圆C1，C2的公共弦所在的直线方程是4x－14y＋9＝0
C．若圆C1，C2外切，则m＝±
D．过点(3，2)作圆C2的切线l，则l的方程是x＝3或7x－24y＋27＝0
11．已知a，b∈R，圆C1：x2＋y2－2x＋4y－b2＋5＝0与圆C2：x2＋y2－2(a－6)x－2ay＋2a2－12a＋27＝0交于不同的两点＝0，则a＝(　　)
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5
12．若圆C1：x2＋y2－2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－2mx＝0(m＞0)的公共弦长为2，则m的值为________．
13．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．
14．已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r＞0)，直线l：x＋2y＝0．
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．
15．已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直线恒过定点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则m2＋n2的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
3/32.5.2　圆与圆的位置关系
[学习目标]　1．了解圆与圆的位置关系．(数学抽象)
2．掌握圆与圆的位置关系的判定方法．(数学运算)
3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．(逻辑推理、数学运算)
[讨论交流]　
问题1．圆与圆之间有怎样的位置关系，如何判定？
问题2．圆与圆相交时，半径、公共弦、圆心距之间有怎样的数量关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　两圆位置关系的判断
探究问题　观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？
(1)圆与圆之间有几种位置关系？
(2)能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？
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[新知生成]
1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 _________ ________ |r1－r2|2．代数法：设两圆的一般方程为：
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 ____个 ____个 ____个
两圆的位置关系 ____ ____或______ ____或______
[典例讲评]　1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切？(2)相交？(3)外离？(4)内含？
[尝试解答]___________________________________________________________
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　试总结判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤．
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[学以致用]　1．已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与C2的位置关系是(　　)
A．相交 B．外离 C．外切 D．内含
2．已知圆M：(x＋1)2＋(y－2a)2＝2与圆N：(x－a)2＋y2＝2相交，则a的取值范围是(　　)
A．(－1，1) B．
C． D．
探究2　相交弦及圆系方程问题
[典例讲评]　2．已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]　
1．本例条件不变，求两圆公共弦所在直线l被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝25所截得的弦长．
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2．本例条件不变，求过两圆的交点且半径最小的圆的方程．
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　1．两圆的公共弦问题
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
2．过两圆的交点的圆的方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[学以致用]　3．(多选)若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－m)2＋(y－n)2＝4的公共弦AB的长为2，则下列结论正确的有(　　)
A．m2＋n2＝4
B．直线AB的方程为mx＋ny－2＝0
C．AB中点的轨迹方程为x2＋y2＝3
D．四边形AC1BC2的面积为
探究3　圆与圆的综合问题
[典例讲评]　3．求圆C1：(x＋1)2＋(y＋3)2＝1与C2：(x－3)2＋(y＋1)2＝9的公切线的方程．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　1．处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切和外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
2．合理运用代数法与几何法处理直线与圆、圆与圆的问题，建立模型，利用方程思想或数形结合思想求解．
[学以致用]　4．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6y＋5＝0的公切线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________．
1．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，则圆C1与圆C2的位置关系为(　　)
A．相交 B．外切 C．内切 D．内含
2．圆x2＋y2－1＝0与圆x2＋y2－4x＝0的公共弦所在直线的方程为(　　)
A．4x－1＝0 B．4y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－1＝0
3．若圆C1：x2＋y2－2x－m＝0与圆C2：x2＋y2＋4y＋m＝0恰有2条公切线，则m的取值范围为(　　)
A．(0，4) B．(－1，4)
C．(－1，0) D．[0，4)
4．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为________．
1．知识链：(1)两圆的位置关系．
(2)两圆的公共弦．
(3)圆系方程．
(4)圆与圆的综合问题．
2．方法链：几何法、代数法、待定系数法．
3．警示牌：易混淆内切和外切．
6/6(共48张PPT)
2.5.2　圆与圆的位置关系
第二章　直线和圆的方程
2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
[学习目标]　1．了解圆与圆的位置关系．(数学抽象)
2．掌握圆与圆的位置关系的判定方法．(数学运算)
3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．(逻辑推理、数学运算)
整体感知
(教师用书)
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生．日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食．我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？
前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
[讨论交流]　
问题1．圆与圆之间有怎样的位置关系，如何判定？
问题2．圆与圆相交时，半径、公共弦、圆心距之间有怎样的数量关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　两圆位置关系的判断
探究问题　观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？
探究建构
(1)圆与圆之间有几种位置关系？
(2)能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？
[提示]　(1)5种．
(2)可以，借助圆的方程可以通过代数法和几何法两种途径．
[新知生成]
1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2 的关系 _________ _________ |r1－r2|< d<______ __________ _________
d >r1＋r2
d＝r1＋r2
r1＋r2
d<|r1－r2|
d＝|r1－r2|
2．代数法：设两圆的一般方程为：
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 __个 __个 __个
两圆的位置关系 ____ ____或____ ____或____
2
1
0
相交
外切
内切
外离
内含
【教用·微提醒】　(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系．
(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法．
(3)两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线．
【链接·教材例题】
例5　已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系．
[分析]　思路1：圆C1与圆C2的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；
思路2：借助图形，可以依据圆心距与两半径的和r1＋r2或两半径的差的绝对值|r1－r2|的大小关系，判断两圆的位置关系．
解法1：将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组
①－②，得x＋2y－1＝0，　③
由③，得y＝．
把上式代入①，并整理，得x2－2x－3＝0．　④
方程④的根的判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0，
所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2，把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2．
因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交．
解法2：把圆C1的方程化成标准方程，
得(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，
圆C1的圆心是(－1，－4)，半径r1＝5．
把圆C2的方程化成标准方程，
得(x－2)2＋(y－2)2＝10，
圆C2的圆心是(2，2)，半径r2＝．
圆C1与圆C2的圆心距为＝3．
圆C1与圆C2的两半径之和r1＋r2＝5＋，两半径长之差r1－r2＝5－．
因为5－＜3＜5＋，即r1－r2＜3＜r1＋r2，所以圆C1与圆C2相交(图2.5-6)，它们有两个公共点A，B．
[典例讲评]　1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切？(2)相交？(3)外离？(4)内含？
[解]　圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1．
所以|C1C2|＝＝a．
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．
(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含．
发现规律　试总结判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤．
[提示]　(1)将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径．
(2)计算两圆圆心的距离d．
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合．
[学以致用]　1．已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与C2的位置关系是(　　)
A．相交 　　　　B．外离 　　　　C．外切 　　　　D．内含
B　[法一：画出两圆，如图所示，由图可直观得出两圆外离．
法二：圆C1的半径r1＝1，圆C2的半径r2＝1，且两圆的圆心距d＝＝2＞1＋1，即d＞r1＋r2，故两圆外离．
√
法三：将两圆的方程联立，得到方程组
消去x2，y2，得x－y－2＝0，将其代入圆C1的方程中，消去y得2x2－4x＋3＝0，所以Δ＝16－4×2×3＝－8＜0，所以方程无实数解，即两圆相离．
因为两圆半径相等，所以不会出现内含的情况，故两圆外离．]
2．已知圆M：(x＋1)2＋(y－2a)2＝(－1)2与圆N：(x－a)2＋y2＝(＋1)2相交，则a的取值范围是(　　)
A．(－1，1) B．∪
C． D．∪
D　[圆M的圆心为M(－1，2a)，半径为－1，圆N的圆心为N(a，0)，半径为＋1．
依题意可得＋1－(－1)＜＋1＋－1，即2＜＜2，解得a∈∪．故选D．]
√
探究2　相交弦及圆系方程问题
[典例讲评]　2．已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
[解]　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标是方程组的解．
①－②，得x－y＋4＝0．
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
又圆C1的圆心(－3，0)，r＝，
∴C1到直线AB的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝5，即两圆的公共弦长为5．
(2)法一：解方程组
得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4．
则＝，
解得a＝，故圆心为，半径为．
故圆的方程为＋＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0．
法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0，
解得λ＝－7．
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0．
[母题探究]　
1．本例条件不变，求两圆公共弦所在直线l被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝25所截得的弦长．
[解]　圆C3的圆心为C3(1，1)，半径R＝5，圆心到直线l的距离d′＝＝2，由条件知R2－d′2＝52－(2)2＝17．
所以直线l被圆C3截得的弦长为2．
2．本例条件不变，求过两圆的交点且半径最小的圆的方程．
[解]　根据条件可知，所求的圆就是以AB为直径的圆．
∵AB所在直线方程为x－y＋4＝0，
C1C2所在直线方程为x＋y＋3＝0．
∴由得圆心，
由本例(1)解析知|AB|＝5，∴半径r＝，
故所求圆的方程为＋＝．
反思领悟　1．两圆的公共弦问题
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
2．过两圆的交点的圆的方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[学以致用]　3．(多选)若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－m)2＋(y－n)2＝4的公共弦AB的长为2，则下列结论正确的有(　　)
A．m2＋n2＝4
B．直线AB的方程为mx＋ny－2＝0
C．AB中点的轨迹方程为x2＋y2＝3
D．四边形AC1BC2的面积为
√
√
AB　[根据题意，依次分析选项：对于A，圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－m)2＋(y－n)2＝4，两圆的方程相减可得：2mx＋2ny－m2－n2＝0，
即两圆公共弦的方程为2mx＋2ny－m2－n2＝0，
圆C1：x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径R＝2，
圆心C1到直线2mx＋2ny－m2－n2＝0的距离d＝＝，
而两个圆的公共弦AB的长为2，
则有＝4－，变形可得m2＋n2＝4，A正确；
对于B，由于两圆公共弦的方程为2mx＋2ny－m2－n2＝0，且m2＋n2＝4，
故两圆公共弦的方程为2mx＋2ny－4＝0，变形可得mx＋ny－2＝0，B正确；
对于C，设AB的中点坐标为(x，y)，
由于C1C2垂直平分AB，则C1到AB中点的距离就是C1到直线AB的距离，则有x2＋y2＝1，即AB中点的轨迹方程为x2＋y2＝1，C错误；
对于D，两圆的半径相等，则四边形AC1BC2为菱形，其面积S＝2×＝2，D错误．故选AB．]
探究3　圆与圆的综合问题
[典例讲评]　3．求圆C1：(x＋1)2＋(y＋3)2＝1与C2：(x－3)2＋(y＋1)2＝9的公切线的方程．
[解]　因为圆C1的圆心为C1(－1，－3)，半径r1＝1，圆C2的圆心为C2(3，－1)，半径r2＝3，所以|C1C2|＝＝＞4，
所以圆C1与圆C2相离，所以有4条公切线，如图所示．
当公切线的斜率不存在时，直线x＝0是两圆的一条公切线．
当公切线的斜率存在时，设公切线方程为y＝kx＋b，
C1(－1，－3)到直线y＝kx＋b的距离为＝1，
C2(3，－1)到直线y＝kx＋b的距离为＝3，所以|3k＋1＋b|＝3|b－k＋3|，
所以3k＋1＋b＝3b－3k＋9或3k＋1＋b＝－3b＋3k－9，整理得3k＝b＋4或b＝－．
当b＝－时，＝＝＝1，解得k＝－，公切线方程为3x＋4y＋10＝0；
当3k＝b＋4时，＝＝＝3，所以(5＋2b)2＝(b＋4)2＋9，所以b2＋4b＝0，所以b＝0或b＝－4，
当b＝0时，k＝，公切线方程为4x－3y＝0，
当b＝－4时，k＝0，公切线方程为y＝－4．
综上，公切线的方程为x＝0或y＝－4或4x－3y＝0或3x＋4y＋10＝0．
反思领悟　1．处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切和外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
2．合理运用代数法与几何法处理直线与圆、圆与圆的问题，建立模型，利用方程思想或数形结合思想求解．
[学以致用]　4．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6y＋5＝0的公切线有(　　)
A．1条 　　　　B．2条 　　　　C．3条 　　　　D．4条
√
C　[由圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6y＋5＝0，
可得圆C2的标准方程为x2＋(y－3)2＝4，圆心坐标为(0，3)，半径为2．
圆C1与圆C2的圆心距为3，等于两个圆的半径之和，
所以圆C1与圆C2外切，故圆C1与圆C2的公切线有3条．故选C．]
5．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是__________________________________________．
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
[设圆C的半径为r，
又圆心距d＝＝5，
∴当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36．]
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
【链接·教材例题】
例6　已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍．试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系．
[分析]　我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系．
[解]　如图2.5-7，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．由AB＝4，得A(－2，0)，B(2，0)．
设点M的坐标为(x，y)，由|MA|＝，得
＝×，
化简，得x2－12x＋y2＋4＝0，即(x－6)2＋y2＝32．
所以点M的轨迹是以P(6，0)为圆心，
半径为4的一个圆(图2.5-7)．
因为两圆的圆心距为|PO|＝6，两圆的半径分别为r1＝2，r2＝4＜r2＋r1，所以点M的轨迹与圆O相交．
1．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，则圆C1与圆C2的位置关系为(　　)
A．相交　　B．外切　　C．内切　　D．内含
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
B　[由圆C1方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，得圆心为(2，3)，半径r1＝2，
由圆C2方程(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，得圆心为(－1，－1)，半径r2＝3，
则两圆的圆心距为＝5＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2外切．故选B．]
2．圆x2＋y2－1＝0与圆x2＋y2－4x＝0的公共弦所在直线的方程为(　　)
A．4x－1＝0 B．4y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－1＝0
2
3
题号
1
4
√
A　[两圆方程相减，消去二次项得4x－1＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程．]
3．若圆C1：x2＋y2－2x－m＝0与圆C2：x2＋y2＋4y＋m＝0恰有2条公切线，则m的取值范围为(　　)
A．(0，4) B．(－1，4)
C．(－1，0) D．[0，4)
2
3
题号
4
1
√
B　[圆C1：x2＋y2－2x－m＝0 (x－1)2＋y2＝1＋m，
圆C2：x2＋y2＋4y＋m＝0 x2＋(y＋2)2＝4－m，
则|C1C2|＝＝，1＋m＞0，4－m＞0，
∵两圆恰有2条公切线，
∴圆C1与圆C2相交，
∴－＜＋，
解得－1＜m＜4，∴m的取值范围为(－1，4)．]
2
3
题号
4
1
4．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为___________________．
2
4
3
题号
1
x2＋y2－3x＋y－1＝0　[设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，
则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，
把圆心坐标代入直线l的方程2x＋4y－1＝0，可得λ＝，
故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0．]
x2＋y2－3x＋y－1＝0　
1．知识链：(1)两圆的位置关系．
(2)两圆的公共弦．
(3)圆系方程．
(4)圆与圆的综合问题．
2．方法链：几何法、代数法、待定系数法．
3．警示牌：易混淆内切和外切．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断两圆的位置关系有哪些方法？
[提示]　(1)几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系；
(2)代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题．
2．两圆相切时，圆心距和两圆半径有怎样的关系？
[提示]　圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，
两圆外切时，|O1O2|＝r1＋r2；
两圆内切时，|O1O2|＝|r1－r2|．
3．两圆相交时，如何求两圆的公共弦长？
[提示]　求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
课时分层作业(二十四)
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圆与圆的位置关系
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
s
THANKS2.5.2　圆与圆的位置关系
[学习目标]　1．了解圆与圆的位置关系．(数学抽象)
2．掌握圆与圆的位置关系的判定方法．(数学运算)
3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．(逻辑推理、数学运算)
(教师用书)
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生．日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食．我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？
前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
[讨论交流]　
问题1．圆与圆之间有怎样的位置关系，如何判定？
问题2．圆与圆相交时，半径、公共弦、圆心距之间有怎样的数量关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　两圆位置关系的判断
探究问题　观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？
(1)圆与圆之间有几种位置关系？
(2)能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？
[提示]　(1)5种．
(2)可以，借助圆的方程可以通过代数法和几何法两种途径．
[新知生成]
1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|2．代数法：设两圆的一般方程为：
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
【教用·微提醒】　(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系．
(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法．
(3)两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线．
【链接·教材例题】
例5　已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系．
[分析]　思路1：圆C1与圆C2的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；
思路2：借助图形，可以依据圆心距与两半径的和r1＋r2或两半径的差的绝对值|r1－r2|的大小关系，判断两圆的位置关系．
解法1：将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组
①－②，得
x＋2y－1＝0，　③
由③，得
y＝．
把上式代入①，并整理，得
x2－2x－3＝0．　④
方程④的根的判别式
Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0，
所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2，把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2．
因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交．
解法2：把圆C1的方程化成标准方程，得
(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，
圆C1的圆心是(－1，－4)，半径r1＝5．
把圆C2的方程化成标准方程，得
(x－2)2＋(y－2)2＝10，
圆C2的圆心是(2，2)，半径r2＝．
圆C1与圆C2的圆心距为
＝3．
圆C1与圆C2的两半径之和r1＋r2＝5＋，两半径长之差r1－r2＝5－．
因为5－＜3＜5＋，即r1－r2＜3＜r1＋r2，所以圆C1与圆C2相交(图2.5-6)，它们有两个公共点A，B．
[典例讲评]　1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切？(2)相交？(3)外离？(4)内含？
[解]　圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1．
所以|C1C2|＝＝a．
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．
(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含．
　试总结判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤．
[提示]　(1)将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径．
(2)计算两圆圆心的距离d．
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合．
[学以致用]　1．已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与C2的位置关系是(　　)
A．相交 B．外离 C．外切 D．内含
B　[法一：画出两圆，如图所示，由图可直观得出两圆外离．
法二：圆C1的半径r1＝1，圆C2的半径r2＝1，且两圆的圆心距d＝＝2＞1＋1，即d＞r1＋r2，故两圆外离．
法三：将两圆的方程联立，得到方程组
消去x2，y2，得x－y－2＝0，将其代入圆C1的方程中，消去y得2x2－4x＋3＝0，所以Δ＝16－4×2×3＝－8＜0，所以方程无实数解，即两圆相离．
因为两圆半径相等，所以不会出现内含的情况，故两圆外离．]
2．已知圆M：(x＋1)2＋(y－2a)2＝(－1)2与圆N：(x－a)2＋y2＝(＋1)2相交，则a的取值范围是(　　)
A．(－1，1) B．∪
C． D．∪
D　[圆M的圆心为M(－1，2a)，半径为－1，圆N的圆心为N(a，0)，半径为＋1．
依题意可得＋1－(－1)＜＋1＋－1，即2＜＜2，解得a∈∪．故选D．]
探究2　相交弦及圆系方程问题
[典例讲评]　2．已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
[解]　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标是方程组
的解．
①－②，得x－y＋4＝0．
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
又圆C1的圆心(－3，0)，r＝，
∴C1到直线AB的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝5，
即两圆的公共弦长为5．
(2)法一：解方程组
得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4．
则＝，
解得a＝，故圆心为，半径为．
故圆的方程为＋＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0．
法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0，
解得λ＝－7．
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0．
[母题探究]　
1．本例条件不变，求两圆公共弦所在直线l被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝25所截得的弦长．
[解]　圆C3的圆心为C3(1，1)，半径R＝5，圆心到直线l的距离d′＝＝2，由条件知R2－d′2＝52－(2)2＝17．
所以直线l被圆C3截得的弦长为2．
2．本例条件不变，求过两圆的交点且半径最小的圆的方程．
[解]　根据条件可知，所求的圆就是以AB为直径的圆．
∵AB所在直线方程为x－y＋4＝0，
C1C2所在直线方程为x＋y＋3＝0．
∴由得圆心，
由本例(1)解析知|AB|＝5，∴半径r＝，
故所求圆的方程为＋＝．
　1．两圆的公共弦问题
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
2．过两圆的交点的圆的方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[学以致用]　3．(多选)若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－m)2＋(y－n)2＝4的公共弦AB的长为2，则下列结论正确的有(　　)
A．m2＋n2＝4
B．直线AB的方程为mx＋ny－2＝0
C．AB中点的轨迹方程为x2＋y2＝3
D．四边形AC1BC2的面积为
AB　[根据题意，依次分析选项：对于A，圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－m)2＋(y－n)2＝4，两圆的方程相减可得：2mx＋2ny－m2－n2＝0，
即两圆公共弦的方程为2mx＋2ny－m2－n2＝0，
圆C1：x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径R＝2，
圆心C1到直线2mx＋2ny－m2－n2＝0的距离d＝＝，
而两个圆的公共弦AB的长为2，
则有＝4－，变形可得m2＋n2＝4，A正确；
对于B，由于两圆公共弦的方程为2mx＋2ny－m2－n2＝0，且m2＋n2＝4，
故两圆公共弦的方程为2mx＋2ny－4＝0，变形可得mx＋ny－2＝0，B正确；
对于C，设AB的中点坐标为(x，y)，
由于C1C2垂直平分AB，则C1到AB中点的距离就是C1到直线AB的距离，则有x2＋y2＝1，即AB中点的轨迹方程为x2＋y2＝1，C错误；
对于D，两圆的半径相等，则四边形AC1BC2为菱形，其面积S＝2×＝2，D错误．故选AB．]
探究3　圆与圆的综合问题
[典例讲评]　3．求圆C1：(x＋1)2＋(y＋3)2＝1与C2：(x－3)2＋(y＋1)2＝9的公切线的方程．
[解]　因为圆C1的圆心为C1(－1，－3)，半径r1＝1，圆C2的圆心为C2(3，－1)，半径r2＝3，所以|C1C2|＝＝＞4，
所以圆C1与圆C2相离，所以有4条公切线，如图所示．
当公切线的斜率不存在时，直线x＝0是两圆的一条公切线．
当公切线的斜率存在时，设公切线方程为y＝kx＋b，
C1(－1，－3)到直线y＝kx＋b的距离为＝1，
C2(3，－1)到直线y＝kx＋b的距离为＝3，所以|3k＋1＋b|＝3|b－k＋3|，
所以3k＋1＋b＝3b－3k＋9或3k＋1＋b＝－3b＋3k－9，整理得3k＝b＋4或b＝－．
当b＝－时，＝＝＝1，解得k＝－，公切线方程为3x＋4y＋10＝0；
当3k＝b＋4时，＝＝＝3，所以(5＋2b)2＝(b＋4)2＋9，所以b2＋4b＝0，所以b＝0或b＝－4，
当b＝0时，k＝，公切线方程为4x－3y＝0，
当b＝－4时，k＝0，公切线方程为y＝－4．
综上，公切线的方程为x＝0或y＝－4或4x－3y＝0或3x＋4y＋10＝0．
　1．处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切和外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
2．合理运用代数法与几何法处理直线与圆、圆与圆的问题，建立模型，利用方程思想或数形结合思想求解．
[学以致用]　4．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6y＋5＝0的公切线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
C　[由圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6y＋5＝0，
可得圆C2的标准方程为x2＋(y－3)2＝4，圆心坐标为(0，3)，半径为2．
圆C1与圆C2的圆心距为3，等于两个圆的半径之和，
所以圆C1与圆C2外切，故圆C1与圆C2的公切线有3条．故选C．]
5．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________．
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
[设圆C的半径为r，
又圆心距d＝＝5，
∴当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36．]
【链接·教材例题】
例6　已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍．试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系．
[分析]　我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系．
[解]　如图2.5-7，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．由AB＝4，得A(－2，0)，B(2，0)．
设点M的坐标为(x，y)，由|MA|＝，得
＝×，
化简，得x2－12x＋y2＋4＝0，即(x－6)2＋y2＝32．
所以点M的轨迹是以P(6，0)为圆心，半径为4的一个圆(图2.5-7)．
因为两圆的圆心距为|PO|＝6，两圆的半径分别为r1＝2，r2＝4＜r2＋r1，所以点M的轨迹与圆O相交．
1．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，则圆C1与圆C2的位置关系为(　　)
A．相交　　B．外切　　C．内切　　D．内含
B　[由圆C1方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，得圆心为(2，3)，半径r1＝2，
由圆C2方程(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，得圆心为(－1，－1)，半径r2＝3，
则两圆的圆心距为＝5＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2外切．
故选B．]
2．圆x2＋y2－1＝0与圆x2＋y2－4x＝0的公共弦所在直线的方程为(　　)
A．4x－1＝0 B．4y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－1＝0
A　[两圆方程相减，消去二次项得4x－1＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程．]
3．若圆C1：x2＋y2－2x－m＝0与圆C2：x2＋y2＋4y＋m＝0恰有2条公切线，则m的取值范围为(　　)
A．(0，4) B．(－1，4)
C．(－1，0) D．[0，4)
B　[圆C1：x2＋y2－2x－m＝0 (x－1)2＋y2＝1＋m，
圆C2：x2＋y2＋4y＋m＝0 x2＋(y＋2)2＝4－m，
则|C1C2|＝＝，1＋m＞0，4－m＞0，
∵两圆恰有2条公切线，
∴圆C1与圆C2相交，
∴－＜＋，
解得－1＜m＜4，∴m的取值范围为(－1，4)．]
4．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为________．
x2＋y2－3x＋y－1＝0　[设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，
则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，
把圆心坐标代入直线l的方程2x＋4y－1＝0，可得λ＝，
故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0．]
1．知识链：(1)两圆的位置关系．
(2)两圆的公共弦．
(3)圆系方程．
(4)圆与圆的综合问题．
2．方法链：几何法、代数法、待定系数法．
3．警示牌：易混淆内切和外切．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断两圆的位置关系有哪些方法？
[提示]　(1)几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系；
(2)代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题．
2．两圆相切时，圆心距和两圆半径有怎样的关系？
[提示]　圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，
两圆外切时，|O1O2|＝r1＋r2；
两圆内切时，|O1O2|＝|r1－r2|．
3．两圆相交时，如何求两圆的公共弦长？
[提示]　求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
课时分层作业(二十四)　圆与圆的位置关系
一、选择题
1．圆x2＋2x＋y2＋8y－8＝0和圆x2－4x＋y2－4y－2＝0的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．内含
A　[方程x2＋2x＋y2＋8y－8＝0可化为(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，
所以圆x2＋2x＋y2＋8y－8＝0的圆心坐标为(－1，－4)，半径r1＝5，方程x2－4x＋y2－4y－2＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝10，
所以圆x2－4x＋y2－4y－2＝0的圆心坐标为(2，2)，半径r2＝，
所以两圆的圆心距为＝3，
又r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－，5－＜3＜5＋，
所以圆x2＋2x＋y2＋8y－8＝0与圆x2－4x＋y2－4y－2＝0相交．故选A．]
2．已知圆C过圆C1：x2＋y2＋4x－2y－10＝0与圆C2：(x＋3)2＋(y－3)2＝6的公共点，若圆C1，C2的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为(　　)
A． B． C． D．
B　[由两圆C1：x2＋y2＋4x－2y－10＝0与圆C2：(x＋3)2＋(y－3)2＝6，
作差得，两圆C1，C2的公共弦方程为x－2y＋11＝0，
∵圆C2的半径为，圆C2的圆心(－3，3)到直线(公共弦)的距离为d＝＝，∴弦长为2＝2．
又圆C1，C2的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为π．故选B．]
3．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的为(　　)
A．两圆有两条公切线
B．直线AB的方程为y＝2x＋2
C．线段AB的长为
D．圆O上点E，圆M上点F，＋3
ACD　[对于A，圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2；圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的圆心M(－2，1)，半径为1，因为2－1＜|OM|＝＜2＋1，所以两圆相交，两圆有两条公切线，故A正确；对于B，因为圆O：x2＋y2＝4，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，两圆作差得4x－2y＋4＝－4即y＝2x＋4，所以直线AB的方程为y＝2x＋4，故B错误；
对于C，圆O的圆心为(0，0)，半径为2，则圆心到直线AB：y＝2x＋4的距离d＝＝＝2＝，故C正确；
对于D，圆M的圆心M(－2，1)，半径为1，所以|EF|max＝|OM|＋2＋1＝＋3，故D正确．故选ACD．]
4．(多选)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则(　　)
A．|PQ|的最小值为2
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为－
D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0
BC　[由已知C1(0，0)，半径为r＝1，圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝1，故C2(3，－4)，半径R＝1，∴圆心距|C1C2|＝＝5，
又∵P在圆C1上，Q在圆C2上，则|PQ|的最小值为|PQ|min＝|C1C2|－R－r＝3，最大值为|PQ|max＝|C1C2|＋R＋r＝7，故A错误、B正确；两圆圆心所在的直线斜率为＝＝－，C正确；圆心距|C1 C2|＝＝5＞R＋r＝2，则两圆外离，无相交弦，D错误．故选BC．]
5．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－4x＋4y－12＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．两圆公共弦所在的直线方程为x－y＋2＝0
B．两圆的位置关系为外切
C．公共弦长为2
D．两圆有四条公切线
AC　[圆C1：x2＋y2＝4的圆心为C1(0，0)，半径r1＝2，
圆C2：x2＋y2－4x＋4y－12＝0的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝20，
则圆C2的圆心为C2(2，－2)，半径r2＝2，
所以|C1C2|＝2，因为2－2＜＋2，
所以两圆的位置关系为相交，有两条公切线，故选项B，D错误；
两圆方程相减得x－y＋2＝0，即公共弦所在的直线方程，故A正确；
圆心C1到公共弦的距离为d＝＝，
所以公共弦长l＝2＝2，故C正确．故选AC．]
二、填空题
6．已知圆C1：(x－a)2＋y2＝36与圆C2：x2＋(y－b)2＝4只有一条公切线，则a2＋b2＝________．
16　[圆C1：(x－a)2＋y2＝36的圆心为C1(a，0)，半径r1＝6，
圆C2：x2＋(y－b)2＝4的圆心为(0，b)，半径r2＝2，
因为圆C1：(x－a)2＋y2＝36与圆C2：x2＋(y－b)2＝4只有一条公切线，
所以两圆相内切，所以|C1C2|＝r1－r2，即＝4，所以a2＋b2＝16．]
7．已知圆C1：(x－a)2＋(y－1)2＝1与圆C2：x2＋y2＝3交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为60°，则|AB|＝________．
　[因为圆C1：(x－a)2＋(y－1)2＝1与圆C2：x2＋y2＝3交于A，B两点，
则两圆方程相减可得－2ax＋a2－2y＋3＝0，即直线AB方程为－2ax－2y＋a2＋3＝0，
又因为直线AB的倾斜角为60°，则斜率k＝，
又因为k＝－＝－a，即－a＝，则a＝－，所以直线AB方程为2x－2y＋6＝0，即x－y＋3＝0．
圆心C2(0，0)到直线AB的距离为d＝＝，
所以|AB|＝2＝．]
8．与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程为________．
(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36　[设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则＝r＋1．①
又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，
故＝，②
＝r．③
解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6．
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36．]
三、解答题
9．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，判断圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系．
[解]　把圆M的方程化成标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，
所以M(0，a)，r1＝a，
所以点M到直线x＋y＝0的距离d＝．
由题意可得＋2＝a2，又a＞0，所以a＝2，
所以M(0，2)，r1＝2，又N(1，1)，r2＝1，
所以|MN|＝＜r1＋r2，
所以两圆相交．
10．(多选)已知圆C1：x2＋y2＋2mx－10y＋m2＝0，圆C2：x2＋y2＋4y－5＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．若点(1，1)在圆C1的内部，则－2＜m＜4
B．若m＝2，则圆C1，C2的公共弦所在的直线方程是4x－14y＋9＝0
C．若圆C1，C2外切，则m＝±
D．过点(3，2)作圆C2的切线l，则l的方程是x＝3或7x－24y＋27＝0
BCD　[对于A，由点(1，1)在圆C1的内部，得1＋1＋2m－10＋m2＜0，解得－4＜m＜2，故A错误；
对于B，若m＝2，则圆C1：x2＋y2＋4x－10y＋4＝0，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是4x－14y＋9＝0，故B正确；
对于C，圆C1的标准方程为(x＋m)2＋(y－5)2＝25，圆心为C1(－m，5)，半径r1＝5，圆C2的标准方程为x2＋(y＋2)2＝9，圆心为C2(0，－2)，半径r2＝3，
若圆C1，C2外切，则|C1C2|＝r1＋r2，即＝5＋3，解得m＝±，故C正确；
对于D，当l的斜率不存在时，l的方程是x＝3，圆心C2到l的距离d＝3＝r2，满足要求．
当l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－3)＋2，圆心C2到l的距离d＝＝r2＝3，解得k＝，所以l的方程是7x－24y＋27＝0，故D正确．故选BCD．]
11．已知a，b∈R，圆C1：x2＋y2－2x＋4y－b2＋5＝0与圆C2：x2＋y2－2(a－6)x－2ay＋2a2－12a＋27＝0交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若＋＝0，则a＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
C　[圆C1：x2＋y2－2x＋4y－b2＋5＝0，即为(x－1)2＋(y＋2)2＝b2，即有圆心C1为(1，－2)，半径为|b|，圆C2：x2＋y2－2(a－6)x－2ay＋2a2－12a＋27＝0，
即为[x－(a－6)]2＋(y－a)2＝9，即有圆心C2为(a－6，a)，半径为3．
由＋＝0，即为＝|OB|，
由于C1C2垂直平分AB，即有C1C2经过原点，即为＝，即a＝4．
故选C．]
12．若圆C1：x2＋y2－2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－2mx＝0(m＞0)的公共弦长为2，则m的值为________．
　[联立x2＋y2－2x＋2y－2＝0和x2＋y2－2mx＝0，两式相减得(m－1)x＋y－1＝0，由题得两圆公共弦长l＝2，圆C1：x2＋y2－2x＋2y－2＝0的圆心为(1，－1)，半径r为＝2，圆心(1，－1)到直线(m－1)x＋y－1＝0的距离为＝，
所以＝＝＝，平方后整理得，2m2－3＝0，
即m2＝，所以m＝或m＝－(舍去)．]
13．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．
y＝－x＋或y＝x－或x＝－1(从这三条公切线中挑一条作答即可)　[圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3, 4) ，半径为4，
两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t＞0)，
O到l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－x＋，
当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，
由题意
解得y＝x－，
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．]
14．已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r＞0)，直线l：x＋2y＝0．
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．
[解]　(1)由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0，0)，半径r1＝2，
又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r＞0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，
两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0．
因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，
所以此时相交弦过圆心C1(0，0)，
即r2＝9(r＞0)，解得r＝3．
(2)设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，所以＋＝，由圆心到直线x＋2y＝0的距离等于圆的半径，可得＝，
解得λ＝1，
故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0．
15．已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直线恒过定点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则m2＋n2的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
C　[因为圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直线为k(x＋y)－4－2y＝0，
由公共弦所在直线过定点可得解得即a＝2，b＝－2．
即直线过定点(2，－2)．
由题意可得P(2，－2)，
所以m＋n＝1，
所以(m＋n)2＝1，
即m2＋n2＋2mn＝1，而2mn≤m2＋n2，当且仅当m＝n＝时等号成立，所以1≤2(m2＋n2)，
可得m2＋n2≥．]
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