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课时分层作业(二十五)　椭圆及其标准方程
一、选择题
1．(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　)
A．当a＝2时，点P的轨迹不存在
B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
2．已知椭圆＝1的焦点在x轴上，若焦距为4，则m等于(　　)
A．4　　　B．5　　　C．7　　　D．8
3．方程＝10，化简的结果是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
4．“1＜m＜3”是“方程＝1表示椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．若椭圆＝1上一点P到左焦点F1的距离为6，F2是右焦点，则△F1PF2的面积是(　　)
A．4　　　B．8　　　C．8　　　D．16
二、填空题
6．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＝1上，则＝________．
7．已知椭圆＝1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为________．
8．设F1，F2分别是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，若a＝2b，则椭圆的标准方程为________．
三、解答题
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)经过两点；
(2)过点，且与椭圆＝1有相同的焦点．
10．已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)，A(－2，0)，B(1，2)，C四个点中恰有三个点在椭圆E上，则椭圆E的方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
11．椭圆＝1()的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆与y轴正半轴的交点，若△AF1F2的面积为，则△AF1F2的周长为(　　)
A．8　　　B．7　　　C．6　　　D．5
12．已知F1，F2是椭圆＝1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下列结论中正确的是(　　)
A．|MF2|的最大值大于3
B．|MF1|·|MF2|的最大值为4
C．∠F1MF2的最大值为60°
D．若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A，B两点，P为直线l上满足|PA|·|PB|＝2的点，则点P的轨迹方程为＝1或＝1
13．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆B：x2＋4x＋y2－32＝0内切，则动圆圆心M的轨迹方程是________．
14．已知椭圆M与椭圆N：＝1有相同的焦点，且椭圆M过点．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
15．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)
3/3(共51张PPT)
3.1.1　椭圆及其标准方程
第三章　圆锥曲线的方程
3.1　椭圆
[学习目标]　1．理解并掌握椭圆的定义．(数学抽象)
2．掌握椭圆的标准方程的推导．(数学运算)
3．会求简单的椭圆的标准方程．(数学运算)
整体感知
(教师用书)
我们对“椭圆形状”并不陌生，如有些汽车油罐横截面的轮廓、天体中一些行星和卫星运行的轨道、篮球在阳光下的投影(如图所示)等．那么，具有怎样特点的曲线是椭圆呢？
[讨论交流]　
问题1．椭圆是如何定义的？要注意哪些问题？
问题2．如何推导椭圆的标准方程？
问题3．椭圆的标准方程有何特征？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　椭圆的定义
探究问题1　取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，
画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，
变化的量是什么？不变的量又是什么？
移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
探究建构
[提示]　椭圆．动点M到两定点F1，F2的距离为变量，即|MF1|，|MF2|，但距离和为常数，即|MF1|＋|MF2|为常数．笔尖到两个定点的距离的和等于常数，即绳长，且该常数大于|F1F2|．
[新知生成]
椭圆的定义
(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于____(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这________叫做椭圆的焦点，_______
________叫做椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a__|F1F2|．
常数
两个定点
两焦点
间的距离
一半
>
【教用·微提醒】　在椭圆定义中，必须2a>|F1F2|，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点轨迹不存在．因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件．
[学以致用]　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆． (　　)
(2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆． (　　)
(3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆． (　　)
(4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (　　)
[提示] ×　因为|PF1|＋|PF2|<|F1F2|，所以点P的轨迹不存在．
[提示] ×　因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以点P的轨迹是线段F1F2．
√
×
×
√
探究2　椭圆的标准方程
探究问题2　椭圆的定义中涉及两个常数|MF1|＋|MF2|和|F1F2|，结合所建坐标系，将这两个常数设为什么形式会给计算带来方便？
[提示]　观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)．根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a．由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因为|MF1|＝，|MF2|＝，
所以＋＝2a．①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得＝2a－．②
对方程②两边平方，得(x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2，整理，得a2－cx＝a，③
对方程③两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
得＋＝1，⑤
由椭圆的定义可知2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以a2－c2＞0．
令b＝，那么方程⑤就是＋＝1(a＞b＞0)．⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
[新知生成]
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0)
焦点 (－c，0)与(c，0) __________与________
a，b，c的关系 c2＝________
＝1(a>b>0)
(0，－c)
(0，c)
a2－b2
【教用·微提醒】　(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴．
(2)两种椭圆＋＝1，＋＝1(a＞b＞0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同．
(3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上．
【链接·教材例题】
例1　已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点，求它的标准方程．
[解]　由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义知c＝2，
2a＝＋＝2，
所以a＝．所以b2＝a2－c2＝10－4＝6．
所以，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
[典例讲评]　1．求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点(1，2)，焦点坐标分别为(0，)，(0，－)；
(2)经过P(－2，1)，Q(，－2)两点．
[解]　(1)法一：由题知：焦点在y轴上，且c＝，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则b2＝a2－3，由椭圆过点(1，2)知＋＝1，解得a2＝6或a2＝2(舍去)．
所以椭圆的标准方程为＋＝1．
法二：因为焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由椭圆定义知，2a＝＋
＝2＋2，
即a＝＋，所以a2＝6．
又c＝，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意，有
解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1．
②当椭圆的焦点在y轴上时，
可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意，有解得
由a＞b＞0，知不合题意，故舍去．
故椭圆的标准方程为＋＝1．
法二：椭圆经过P(－2，1)，Q(，－2)两点，设所求椭圆的方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
把点P，Q代入得解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1．
发现规律　试总结用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．
[提示]　(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1
(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
[学以致用]　2．(源自湘教版教材)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；
(2)焦点坐标为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，2)．
[解]　(1)由于椭圆的焦点在x轴上，
故可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义知2a＝10，所以a＝5．
又因为c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16．
因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
已知焦点坐标及椭圆上一点(3，2)，由椭圆的定义可知2a＝＋＝5＋3＝8，因此a＝4．
又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12．
因此， 所求椭圆的标准方程为＋＝1．
探究3　椭圆定义的应用
[典例讲评]　2．已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解]　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3，
从而|F1F2|＝2c＝6．
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|． ①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|． ②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4．
所以＝·sin 60°＝．
[母题探究]　
1．本例中，“∠F1PF2＝60°”改为“直线PF1与椭圆的另一个交点为Q”，求△PQF2的周长．
[解]　因为P，Q都在椭圆上，由椭圆的定义知
|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a．又因为|PQ|＝|PF1|＋|QF1|，
所以△PQF2的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PF1|＋|QF1|＋|QF2|＋|PF2|＝4a．
故△PQF2的周长为4×2＝8．
2．本例中，将“∠F1PF2＝60°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
[解]　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3．
从而|F1F2|＝2c＝6．
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝4，
所以|PF2|＝4．
从而有(4|PF1|)2 ＝ |PF1|2＋36，
解得|PF1|＝．
所以＝··＝××6＝，
即△F1PF2的面积是．
反思领悟　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝b2tan ．
【教用·备选题】　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝2θ．
(1)求△F1PF2的面积S；
(2)研究△PF1F2的内角∠F1PF2的变化规律．
[解]　(1)如图所示，由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a．
由余弦定理，可得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ
＝(|PF1|＋|PF2|)2－2·|PF1|·|PF2|－2|PF1|·
|PF2|·cos 2θ＝4a2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cos 2θ)
＝4c2，∴|PF1|·|PF2|＝．
∴S＝··sin 2θ＝··sin 2θ
＝·b2＝b2tan θ．
(2)∵∠F1PF2为△PF1F2的内角，
∴2θ∈(0，π)，即θ∈．
令点P顺时针方向由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高逐渐增大，故S逐渐增大，从而tan θ逐渐变大．由θ∈
可知，θ也逐渐变大．由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点P与点B重合时，∠F1PF2达到最大值．
[学以致用]　3．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos ∠F1PF2＝＝(　　)
A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
√
A　[根据题意可得a＝3，b＝，c＝，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∵cos ∠F1PF2＝，
∴cos ∠F1PF2＝＝，又m＋n＝2a＝6，
解得mn＝， ∴()2＝()2，
∴42＝＋2·＝m2＋n2＋mn＝(m＋n)2－mn
＝36－×＝30，
∴|OP|2＝，∴＝．故选A．]
1．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P为C上一点，若|PF1|＝4，则|PF2|＝(　　)
A．6 　　　　B．8 　　　　C．10 　　　　D．12
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
C　[由题意P为C上一点，得|PF1|＋|PF2|＝2×7＝14，因为|PF1|＝4，
所以|PF2|＝14－4＝10．故选C．]
2．已知椭圆C：＋＝1，A(0，－4)，B(0，4)，过A作直线PQ与C交于P，Q两点，则△BPQ的周长为(　　)
A．24 　　　　B．20 　　　　C．16 　　　　D．12
2
3
题号
1
4
√
A　[∵椭圆C：＋＝1，∴a＝6，b＝2，c＝4，且焦点在y轴上，
∴A(0，－4)，B(0，4)为椭圆的焦点，又过A作直线PQ与C交于P，Q两点，
∴△BPQ的周长为|PQ|＋|PB|＋|QB|＝|PA|＋|PB|＋(|QA|＋|QB|)＝4a＝24．故选A．]
3．(多选)对于曲线C：＋＝1，下面四个说法中正确的是(　　)
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
2
3
题号
4
1
√
√
CD　[当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误；当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误；若曲线C是焦
点在y轴上的椭圆，则解得2.5＜k＜4，所以“曲
线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件，
所以C正确；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
解得1＜k＜2.5，所以D正确．故选CD．]
2
3
题号
4
1
4．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4的椭圆方程是____________．
2
4
3
题号
1
＋＝1　[由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，又2b＝4，所以b2＝20，a2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1．]
＋＝1　
1．知识链：(1)椭圆的定义及其应用．
(2)椭圆的标准方程．
2．方法链：分类讨论、待定系数法．
3．警示牌：(1)忽视定义中a，b，c的关系．
(2)混淆不同坐标下椭圆的两种标准方程．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．椭圆是如何定义的？请写出其标准方程．
[提示]　把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
其标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
2．当方程＋＝1表示椭圆时，m，n满足什么条件？当方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆时，m，n又满足什么条件？
[提示]　表示椭圆时，
表示焦点在x轴上的椭圆时，m>n>0，
表示焦点在y轴上的椭圆时，n>m>0．
椭圆标准方程的推理
椭圆标准方程的推理，除了课本给出的两次平方法之外，还有几种方法，选择部分归纳如下：
阅读材料
1．法国数学家洛必达的“和差法”
如图．设长轴|AB|＝2a，短轴|CD|＝2b，焦距|F1F2|＝2c，点P(x，y)是椭圆上任意一点．
因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以可以设|PF1|＝a＋z，|PF2|＝a－z(z为待定参数)，
所以|PF1|2＝(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2，
|PF2|2＝(a－z)2＝(x－c)2＋y2．
两式相减得4az＝4cx，得z＝，
将z＝代入(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2，
并设a2－c2＝b2，整理得＋＝1．
2．英国数学家赖特的“平方差法”
如图，点P(x，y)是椭圆上任意一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由定义得r1＋r2＝2a．
又＝(x＋c)2＋＝(x－c)2＋y2，
两式相减得＝4cx，即(r1－r2)(r1＋r2)＝4cx，
所以r1－r2＝，所以r1＝a＋，r2＝a－．
把r1＝a＋代入＝(x＋c)2＋y2，并设a2－c2＝b2，整理得＋＝1．
3．英国数学家斯蒂尔的“三角法”
如图，点P(x，y)是椭圆上任意一点，∠PF2G＝θ，
设|PF2|＝z．因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|＝2a－z．
在△PF1F2中，由余弦定理得(2a－z)2＝z2＋4c2－4cz cos θ．
又z cos θ＝c－x，所以(2a－z)2＝z2＋4c2－4c(c－x)，
解得z＝．
在△PGF2中，由勾股定理得z2＝＝y2＋(c－x)2，
令a2－c2＝b2，整理得＋＝1．
通过这些推理方法对比，我们发现只有两次平方法是按照定义构造方程，再对所构造的方程推理化解而得到标准方程的．其他“和差法”“平方差法”“三角法”都有刻意构造的感觉，仅仅是就问题解决问题，没有体现方程和曲线之间关系的思想性．因此，大多数教科书用两次平方法作为标准方程推理方法．
课时分层作业(二十五)
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椭圆及其标准方程
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS3.1　椭圆
3.1.1　椭圆及其标准方程
[学习目标]　1．理解并掌握椭圆的定义．(数学抽象)
2．掌握椭圆的标准方程的推导．(数学运算)
3．会求简单的椭圆的标准方程．(数学运算)
(教师用书)
我们对“椭圆形状”并不陌生，如有些汽车油罐横截面的轮廓、天体中一些行星和卫星运行的轨道、篮球在阳光下的投影(如图所示)等．那么，具有怎样特点的曲线是椭圆呢？
[讨论交流]　
问题1．椭圆是如何定义的？要注意哪些问题？
问题2．如何推导椭圆的标准方程？
问题3．椭圆的标准方程有何特征？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　椭圆的定义
探究问题1　取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，变化的量是什么？不变的量又是什么？移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
[提示]　椭圆．动点M到两定点F1，F2的距离为变量，即|MF1|，|MF2|，但距离和为常数，即|MF1|＋|MF2|为常数．笔尖到两个定点的距离的和等于常数，即绳长，且该常数大于|F1F2|．
[新知生成]
椭圆的定义
(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|．
【教用·微提醒】　在椭圆定义中，必须2a>|F1F2|，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点轨迹不存在．因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件．
[学以致用]　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆．(　　)
(2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆．(　　)
(3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆．(　　)
(4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(　　)
[提示]　(1)√
(2)×　因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以点P的轨迹是线段F1F2．
(3)×　因为|PF1|＋|PF2|<|F1F2|，所以点P的轨迹不存在．
(4)√
探究2　椭圆的标准方程
探究问题2　椭圆的定义中涉及两个常数|MF1|＋|MF2|和|F1F2|，结合所建坐标系，将这两个常数设为什么形式会给计算带来方便？
[提示]　观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)．根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a．由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因为|MF1|＝，|MF2|＝，
所以＋＝2a．①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得＝2a－．②
对方程②两边平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2，整理，得a2－cx＝a，③
对方程③两边平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
得＋＝1，⑤
由椭圆的定义可知2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以a2－c2＞0．
令b＝，那么方程⑤就是＋＝1(a＞b＞0)．⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
[新知生成]
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0)
焦点 (－c，0)与(c，0) (0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
【教用·微提醒】　(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴．
(2)两种椭圆＋＝1，＋＝1(a＞b＞0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同．
(3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上．
【链接·教材例题】
例1　已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点，求它的标准方程．
[解]　由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义知c＝2，2a＝＋
＝2，
所以a＝．
所以b2＝a2－c2＝10－4＝6．
所以，所求椭圆的标准方程为
＋＝1．
[典例讲评]　1．求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点(1，2)，焦点坐标分别为(0，)，(0，－)；
(2)经过P(－2，1)，Q(，－2)两点．
[解]　(1)法一：由题知：焦点在y轴上，且c＝，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则b2＝a2－3，由椭圆过点(1，2)知＋＝1，解得a2＝6或a2＝2(舍去)．
所以椭圆的标准方程为＋＝1．
法二：因为焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由椭圆定义知，2a＝＋＝2＋2，
即a＝＋，所以a2＝6．
又c＝，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意，有
解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1．
②当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意，有解得
由a＞b＞0，知不合题意，故舍去．
故椭圆的标准方程为＋＝1．
法二：椭圆经过P(－2，1)，Q(，－2)两点，设所求椭圆的方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
把点P，Q代入得解得所以椭圆的标准方程为＋＝1．
　试总结用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．
[提示]　(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
[学以致用]　2．(源自湘教版教材)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；
(2)焦点坐标为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，2)．
[解]　(1)由于椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义知2a＝10，所以a＝5．
又因为c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16．
因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
已知焦点坐标及椭圆上一点(3，2)，由椭圆的定义可知2a＝＋＝5＋3＝8，因此a＝4．
又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12．
因此， 所求椭圆的标准方程为＋＝1．
探究3　椭圆定义的应用
[典例讲评]　2．已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解]　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3，
从而|F1F2|＝2c＝6．
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|．②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4．
所以＝·sin 60°＝．
[母题探究]　
1．本例中，“∠F1PF2＝60°”改为“直线PF1与椭圆的另一个交点为Q”，求△PQF2的周长．
[解]　因为P，Q都在椭圆上，由椭圆的定义知
|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a．
又因为|PQ|＝|PF1|＋|QF1|，
所以△PQF2的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PF1|＋|QF1|＋|QF2|＋|PF2|＝4a．
故△PQF2的周长为4×2＝8．
2．本例中，将“∠F1PF2＝60°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
[解]　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3．
从而|F1F2|＝2c＝6．
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由椭圆定义知
|PF1|＋|PF2|＝4，
所以|PF2|＝4．
从而有(4)2＝|PF1|2＋36，
解得|PF1|＝．
所以＝··＝××6＝，即△F1PF2的面积是．
　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝b2tan ．
【教用·备选题】　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝2θ．
(1)求△F1PF2的面积S；
(2)研究△PF1F2的内角∠F1PF2的变化规律．
[解]　(1)如图所示，由椭圆的定义，可得
|PF1|＋|PF2|＝2a．
由余弦定理，可得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2·|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ＝4a2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cos 2θ)＝4c2，
∴|PF1|·|PF2|＝．
∴S＝··sin 2θ＝··sin 2θ＝·b2＝b2tan θ．
(2)∵∠F1PF2为△PF1F2的内角，
∴2θ∈(0，π)，即θ∈．
令点P顺时针方向由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高逐渐增大，故S逐渐增大，从而tan θ逐渐变大．由θ∈可知，θ也逐渐变大．由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点P与点B重合时，∠F1PF2达到最大值．
[学以致用]　3．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos ∠F1PF2＝＝(　　)
A． B． C． D．
A　[根据题意可得a＝3，b＝，c＝，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∵cos ∠F1PF2＝，
∴cos ∠F1PF2＝＝，又m＋n＝2a＝6，解得mn＝，
∴()2＝()2，
∴42＝2＋2·＝m2＋n2＋mn＝(m＋n)2－mn＝36－×＝30，
∴|OP|2＝，∴＝．故选A．]
1．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P为C上一点，若|PF1|＝4，则|PF2|＝(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
C　[由题意P为C上一点，得|PF1|＋|PF2|＝2×7＝14，因为|PF1|＝4，
所以|PF2|＝14－4＝10．
故选C．]
2．已知椭圆C：＋＝1，A(0，－4)，B(0，4)，过A作直线PQ与C交于P，Q两点，则△BPQ的周长为(　　)
A．24 B．20 C．16 D．12
A　[∵椭圆C：＋＝1，∴a＝6，b＝2，c＝4，且焦点在y轴上，
∴A(0，－4)，B(0，4)为椭圆的焦点，又过A作直线PQ与C交于P，Q两点，
∴△BPQ的周长为|PQ|＋|PB|＋|QB|＝|PA|＋|PB|＋(|QA|＋|QB|)＝4a＝24．
故选A．]
3．(多选)对于曲线C：＋＝1，下面四个说法中正确的是(　　)
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
CD　[当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误；当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误；若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得2.5＜k＜4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件，所以C正确；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1＜k＜2.5，所以D正确．故选CD．]
4．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4的椭圆方程是________．
＋＝1　[由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，又2b＝4，所以b2＝20，a2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1．]
1．知识链：(1)椭圆的定义及其应用．
(2)椭圆的标准方程．
2．方法链：分类讨论、待定系数法．
3．警示牌：(1)忽视定义中a，b，c的关系．
(2)混淆不同坐标下椭圆的两种标准方程．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．椭圆是如何定义的？请写出其标准方程．
[提示]　把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
其标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
2．当方程＋＝1表示椭圆时，m，n满足什么条件？当方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆时，m，n又满足什么条件？
[提示]　表示椭圆时，
表示焦点在x轴上的椭圆时，m>n>0，
表示焦点在y轴上的椭圆时，n>m>0．
椭圆标准方程的推理
椭圆标准方程的推理，除了课本给出的两次平方法之外，还有几种方法，选择部分归纳如下：
1．法国数学家洛必达的“和差法”
如图．设长轴|AB|＝2a，短轴|CD|＝2b，焦距|F1F2|＝2c，点P(x，y)是椭圆上任意一点．
因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以可以设|PF1|＝a＋z，|PF2|＝a－z(z为待定参数)，
所以|PF1|2＝(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2，
|PF2|2＝(a－z)2＝(x－c)2＋y2．
两式相减得4az＝4cx，得z＝，
将z＝代入(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2，并设a2－c2＝b2，整理得＋＝1．
2．英国数学家赖特的“平方差法”
如图，点P(x，y)是椭圆上任意一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由定义得r1＋r2＝2a．
又＝(x＋c)2＋＝(x－c)2＋y2，
两式相减得＝4cx，即(r1－r2)(r1＋r2)＝4cx，
所以r1－r2＝，所以r1＝a＋，r2＝a－．
把r1＝a＋代入＝(x＋c)2＋y2，并设a2－c2＝b2，整理得＋＝1．
3．英国数学家斯蒂尔的“三角法”
如图，点P(x，y)是椭圆上任意一点，∠PF2G＝θ，设|PF2|＝z．
因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|＝2a－z．
在△PF1F2中，由余弦定理得(2a－z)2＝z2＋4c2－4cz cos θ．
又z cos θ＝c－x，所以(2a－z)2＝z2＋4c2－4c(c－x)，
解得z＝．
在△PGF2中，由勾股定理得z2＝＝y2＋(c－x)2，
令a2－c2＝b2，整理得＋＝1．
通过这些推理方法对比，我们发现只有两次平方法是按照定义构造方程，再对所构造的方程推理化解而得到标准方程的．其他“和差法”“平方差法”“三角法”都有刻意构造的感觉，仅仅是就问题解决问题，没有体现方程和曲线之间关系的思想性．因此，大多数教科书用两次平方法作为标准方程推理方法．
课时分层作业(二十五)　椭圆及其标准方程
一、选择题
1．(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　)
A．当a＝2时，点P的轨迹不存在
B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
AC　[当a＝2时，2a＝4＜|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8＞|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误．]
2．已知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，若焦距为4，则m等于(　　)
A．4 B．5 C．7 D．8
A　[∵椭圆＋＝1的焦点在x轴上，焦距为4，
∴10－m－m＋2＝4，解得m＝4，满足题意．故选A．]
3．方程＋＝10，化简的结果是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
B　[方程＋＝10，
表示平面内到定点F1(2，0)，F2(－2，0)的距离的和是常数10(10＞4)的点的轨迹，
∴它的轨迹是以F1，F2为焦点，2a＝10，焦距2c＝4的椭圆，
∴a＝5，c＝2，b＝＝，∴椭圆的方程是＋＝1．故选B．]
4．“1＜m＜3”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　[若方程＋＝1表示椭圆，
则满足
即
即1＜m＜3且m≠2，此时1＜m＜3成立，即必要性成立，
当m＝2时，满足1＜m＜3，但此时方程＋＝1为＋＝1，表示圆，不是椭圆，不满足条件，即充分性不成立．
故“1＜m＜3”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．]
5．若椭圆＋＝1上一点P到左焦点F1的距离为6，F2是右焦点，则△F1PF2的面积是(　　)
A．4 B．8 C．8 D．16
C　[由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝10，
又|PF1|＝6，∴|PF2|＝4，又|F1F2|＝2＝6，
∴由余弦定理的推论可得：cos ∠F1PF2＝＝，
∴sin ∠F1PF2＝＝，
∴＝＝8．故选C．]
二、填空题
6．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________．
　[利用椭圆定义得|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10，
由正弦定理得＝＝＝．]
7．已知椭圆＋＝1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为________．
7　[椭圆＋＝1中2a＝10，
∵椭圆＋＝1上的点P到一个焦点的距离为3，∴P到另一个焦点的距离为10－3＝7．]
8．设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，若a＝2b，则椭圆的标准方程为________．
＋y2＝1　[∵a＝2b，a2＝b2＋c2，∴c2＝3b2，
又∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b，
∵|PF1|·|PF2|＝2，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，解得b2＝1，则a2＝4，
故椭圆的标准方程为＋y2＝1．]
三、解答题
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
[解]　(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
则解得
故椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)由已知椭圆方程可得焦点坐标为(0，±4)，则可设所求的椭圆方程为＋＝1(其中m＞16)，
代入点(，－)，解得m＝20或m＝4(舍去)，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
10．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，A(－2，0)，B(1，2)，C，D四个点中恰有三个点在椭圆E上，则椭圆E的方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
B　[因为C与D关于x轴对称，所以点C，D在椭圆上，点B不在椭圆上，点A在椭圆上，所以解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆E的方程为＋＝1．故选B．]
11．椭圆＋＝1(a＞)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆与y轴正半轴的交点，若△AF1F2的面积为，则△AF1F2的周长为(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
C　[由椭圆＋＝1(a＞)知b＝，设半焦距为c，则△AF1F2的面积S＝·b＝c，由题意得c＝，∴c＝1，a＝＝2，
由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，
又|F1F2|＝2c＝2，则△AF1F2的周长为4＋2＝6．
故选C．]
12．已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下列结论中正确的是(　　)
A．|MF2|的最大值大于3
B．|MF1|·|MF2|的最大值为4
C．∠F1MF2的最大值为60°
D．若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A，B两点，P为直线l上满足|PA|·|PB|＝2的点，则点P的轨迹方程为＋＝1或＋＝1
BCD　[由椭圆方程得a2＝4，b2＝3，所以c2＝1，
所以F1(－1，0)，F2(1，0)．
选项A中，|MF2|max＝a＋c＝3，A错误；
选项B中，|MF1|·|MF2|≤＝4，当且仅当|MF1|＝|MF2|时取等号，B正确；
选项C中，当点M为椭圆与y轴的交点时，∠F1MF2取得最大值，取M(0，)，
得tan ＝，
所以＝30°，∠F1MF2＝60°，C正确；
选项D中，设P(x，y)，A(x1，y)，B(－x1，y)．
因为|PA|·|PB|＝2，所以|x－x1|·|x＋x1|＝2，
所以＝2，即＝x2＋2或＝x2－2．
又由题意知＋＝1，
所以＋＝1或＋＝1，
化简得＋＝1或＋＝1，D正确．故选BCD．]
13．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆B：x2＋4x＋y2－32＝0内切，则动圆圆心M的轨迹方程是________．
＋＝1　[圆B的方程化为标准方程形式为(x＋2)2＋y2＝36，
其圆心为B(－2，0)，半径R＝6．
设动圆圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，
由题意可知，|MB|＝R－r，又r＝|MA|，所以|MB|＝R－|MA|，故|MB|＋|MA|＝6＞|AB|＝4．由椭圆的定义知，点M的轨迹是以B(－2，0)，A(2，0)为焦点的椭圆．设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a＝3，c＝2，b＝＝，所以动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1．]
14．已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
[解]　(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)，
则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为＋y2＝1．
(2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为＝1，解得y0＝±．
又＋＝1，所以＝，x0＝±，
所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，．
15．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B
两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)
[解]　(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2，
∴曲线C的标准方程为＋＝1．
(2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，由B(2，0)，|PB|＝3，得＝3，
∴解得或
∴点P的坐标为(2，3)或(2，－3)．
18/183.1　椭圆
3.1.1　椭圆及其标准方程
[学习目标]　1．理解并掌握椭圆的定义．(数学抽象)
2．掌握椭圆的标准方程的推导．(数学运算)
3．会求简单的椭圆的标准方程．(数学运算)
[讨论交流]　
问题1．椭圆是如何定义的？要注意哪些问题？
问题2．如何推导椭圆的标准方程？
问题3．椭圆的标准方程有何特征？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　椭圆的定义
探究问题1　取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，变化的量是什么？不变的量又是什么？移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
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[新知生成]
椭圆的定义
(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这________叫做椭圆的焦点，________叫做椭圆的焦距，焦距的________称为半焦距．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a________|F1F2|．
[学以致用]　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆． (　　)
(2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆． (　　)
(3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆． (　　)
(4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (　　)
探究2　椭圆的标准方程
探究问题2　椭圆的定义中涉及两个常数|MF1|＋|MF2|和|F1F2|，结合所建坐标系，将这两个常数设为什么形式会给计算带来方便？
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[新知生成]
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ________________ ＝1(a＞b＞0)
焦点 (－c，0)与(c，0) ________与________
a，b，c的关系 c2＝________
[典例讲评]　1．求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点(1，2)，焦点坐标分别为；
(2)经过P，Q两点．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　试总结用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．
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[学以致用]　2．(源自湘教版教材)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；
(2)焦点坐标为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，2)．
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探究3　椭圆定义的应用
[典例讲评]　2．已知P为椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]　
1．本例中，“∠F1PF2＝60°”改为“直线PF1与椭圆的另一个交点为Q”，求△PQF2的周长．
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2．本例中，将“∠F1PF2＝60°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
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　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝b2tan ．
[学以致用]　3．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，cos ∠F1PF2＝＝(　　)
A． B． C． D．
1．已知F1，F2分别是椭圆C：＝(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
2．已知椭圆C：＝1，A(0，－4)，B(0，4)，过A作直线PQ与C交于P，Q两点，则△BPQ的周长为(　　)
A．24 B．20 C．16 D．12
3．(多选)对于曲线C：＝1，下面四个说法中正确的是(　　)
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
4．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4的椭圆方程是________．
1．知识链：(1)椭圆的定义及其应用．
(2)椭圆的标准方程．
2．方法链：分类讨论、待定系数法．
3．警示牌：(1)忽视定义中a，b，c的关系．
(2)混淆不同坐标下椭圆的两种标准方程．
椭圆标准方程的推理
椭圆标准方程的推理，除了课本给出的两次平方法之外，还有几种方法，选择部分归纳如下：
1．法国数学家洛必达的“和差法”
如图．设长轴|AB|＝2a，短轴|CD|＝2b，焦距|F1F2|＝2c，点P(x，y)是椭圆上任意一点．
因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以可以设|PF1|＝a＋z，|PF2|＝a－z(z为待定参数)，
所以|PF1|2＝(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2，
|PF2|2＝(a－z)2＝(x－c)2＋y2．
两式相减得4az＝4cx，得z＝，
将z＝代入(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2，并设a2－c2＝b2，整理得＝1．
2．英国数学家赖特的“平方差法”
如图，点P(x，y)是椭圆上任意一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由定义得r1＋r2＝2a．
又＝(x＋c)2＋＝(x－c)2＋y2，
两式相减得＝4cx，即(r1－r2)(r1＋r2)＝4cx，
所以r1－r2＝，所以r1＝a＋．
把r1＝a＋代入＝(x＋c)2＋y2，并设a2－c2＝b2，整理得＝1．
3．英国数学家斯蒂尔的“三角法”
如图，点P(x，y)是椭圆上任意一点，∠PF2G＝θ，设|PF2|＝z．
因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|＝2a－z．
在△PF1F2中，由余弦定理得(2a－z)2＝z2＋4c2－4cz cos θ．
又z cos θ＝c－x，所以(2a－z)2＝z2＋4c2－4c(c－x)，解得z＝．
在△PGF2中，由勾股定理得z2＝＝y2＋(c－x)2，
令a2－c2＝b2，整理得＝1．
通过这些推理方法对比，我们发现只有两次平方法是按照定义构造方程，再对所构造的方程推理化解而得到标准方程的．其他“和差法”“平方差法”“三角法”都有刻意构造的感觉，仅仅是就问题解决问题，没有体现方程和曲线之间关系的思想性．因此，大多数教科书用两次平方法作为标准方程推理方法．
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