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(共34张PPT)
第2课时　双曲线及其标准方程的应用
第三章　圆锥曲线的方程
3.2　双曲线
3.2.1　双曲线及其标准方程
[学习目标]　1．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
2．双曲线在实际生活中的应用．(数学建模、数学运算)
整体感知
(教师用书)
上节我们研究了双曲线的定义、标准方程．这节我们进一步研究利用双曲线的定义求轨迹方程、求最值及一些与双曲线有关的实际问题．
[讨论交流]　
问题1．双曲线的定义是什么？
问题2．如何建立实际问题的双曲线模型？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　双曲线的实际生活应用
【链接·教材例题】
例2　已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚
2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
探究建构
[分析]　先根据题意判断轨迹的形状．由声速及A，B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸声在以A，B为焦点的双曲线上，因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上．
[解]　如图3.2-5，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合．
设炮弹爆炸点P的坐标为(x，y)，则
|PA|－|PB|＝340×2＝680，即2a＝680，a＝340．
又|AB|＝800，所以2c＝800，c＝400，
b2＝c2－a2＝44 400．
因为|PA|－|PB|＝680＞0，
所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x≥340．
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为－＝1(x≥340)．
【链接·教材例题】
例4　双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图3.2-10(1))．它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)．
[解]　根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3.2-10(2)所示的直角坐标系Oxy，使小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径CC′，BB′都平行于x轴，且|CC′|＝13×2，|BB′|＝25×2．
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，点C的坐标为(13，y)，
则点B的坐标为(25，y－55)．
因为直径AA′是实轴，所以a＝12．又B，C两点都在双曲线上，所以
由方程②，得y＝(负值舍去)．代入方程①，得
－＝1．
化简得19b2＋275b－18 150＝0．　③
解方程③，得
b≈25(负值舍去)．
因此所求双曲线的方程为－＝1．
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟
4 s．已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．
[解]　设爆炸点为P，由已知，得
|PA|－|PB|＝340×4＝1 360(m)．
因为|AB|＝2 km＝2 000 m>1 360 m，|PA|>|PB|，
所以点P在以点A，B为焦点的双曲线并靠近点
B的那一支上．
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系(如图所示)．
由题意可知2a＝1 360，2c＝2 000，得a＝680，c＝1 000，
b2＝c2－a2＝537 600．
因此，点P所在曲线是双曲线的右支，它的方程是－＝1(x>0)．
反思领悟　利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
[学以致用]　1．如图，B地在A地的正东方向6 km处，C地在A地的北偏东60°方向6 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远4 km，则曲线PQ的轨迹方程(以AB中点为原点)是 ；现要在曲线PQ上任一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km．
6－4
－＝1(x≥2)
－＝1(x≥2)　6－4　[以AB所在的直线为x轴，
AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
如图，由题意得|MA|－|MB|＝4＜6，
根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支，故2a＝4，a＝2，2c＝6，c＝3，b＝，所以曲线PQ的轨迹方程为－＝1(x≥2)．因为|AC|＝6＝|MC|＋|MA|－2a≥|AC|－4＝6－4，当且仅当A，M，C三点共线时等号成立．所以这两条公路MB，MC的路程之和最短为(6－4) km．]
探究2　双曲线定义的应用
[典例讲评]　2．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2．若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解]　由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝··sin ∠F1PF2＝×64×＝16．
[母题探究]　1．若将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|·
|PF2|＝32”，求△F1PF2的面积．
2．若将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，求△F1PF2的面积．
[解]　(1)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100．
在△F1PF2中，由余弦定理的推论得cos ∠F1PF2＝
＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，
∴＝＝×32＝16．
(2)由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，|PF2|－|PF1|＝6，
可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，∴＝×4×＝8．
反思领悟　在解与焦点三角形(△PF1F2)有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得|PF1|与|PF2|的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得|PF1|与|PF2|的关系式，从而求出|PF1|与|PF2|的值．但是，一般我们不直接求解出|PF1|，|PF2|，而是根据需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理．
[学以致用]　2．已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积为(　　)
A．4　　　B．8　　　C．24　　　D．48
C　[由题意，得解得
＝10，可得△PF1F2是直角三角形，
则＝·＝24．]
√
探究3　利用双曲线的定义求最值
[典例讲评]　3．已知定点A(3，1)，F是双曲线－＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A． B．5＋4
C．5－4 D．＋4
√
C　[设F1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|－|PF|＝2a，所以|PF|＝|PF1|－2a，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4，
结合图形可得|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝＝5，
当且仅当P，A，F1三点共线时取得等号，即点P在P′处时取得最小值，
所以|PA|＋|PF1|－4≥5－4，
所以－4．]
反思领悟　在求解与双曲线有关的长度问题时，注意定义的应用，在求距离的和时往往需要利用定义进行转化，注意最值取得的条件，往往在三点共线时取到．
[学以致用]　3．已知A(－4，0)，B是圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　)
A．9 　　　　B．2＋6 　　　　C．10 　　　　D．12
√
C　[由题知点C(1，4)，点B在圆C上，
则|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1，
由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，
设A′为双曲线右焦点，
所以由双曲线定义知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6，
所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10．]
1．一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s(声速为340 m/s)，则爆炸点所在曲线可能为(　　)
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一支
C．线段 D．圆
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
B　[设爆炸点为P，由声速为340 m/s，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s，
则|PA|－|PB|＝680；当680＜|AB|时，点P所在的轨迹为双曲线的一支；
当680＝|AB|时，点P所在的轨迹为一条射线．故选B．]
2．已知椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos ∠F1PF2的值是(　　)
A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
2
3
题号
1
4
√
A　[不妨设点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点．
因为P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2．
又P在双曲线上，所以|PF1|－|PF2|＝2．
两式联立，得|PF1|＝＋＝－．
又|F1F2|＝4，所以根据余弦定理可以求得cos ∠F1PF2＝．]
3．已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　)
A．＋4 B．－4
C．－2 D．＋2
2
3
题号
4
1
√
C　[因为|AF1|－|AF2|＝2，∴＝．则|AP|＋|AF2|＝
的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0．当点A位于点A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为|PF1|＝＝．
故－2，故选C．]
2
3
题号
4
1
4．双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于____．
2
4
3
题号
1
4　[在双曲线x2－y2＝1中，a＝b＝1，c＝，
设P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵∠F1PF2＝60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－|PF1|·|PF2|，即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|，
即|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2＝4．]
4　
1．知识链：(1)双曲线的实际应用．
(2)双曲线定义的应用．
(3)利用双曲线的定义求最值．
2．方法链：坐标法、转化法．
3．警示牌：双曲线在实际生活的应用中，建模出错．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PF1|，|PF2|的最小值分别是多少？
[提示]　|PF1|的最小值为c－a，|PF2|的最小值为a＋c．
课时分层作业(二十九)
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双曲线及其标准方程的应用
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS课时分层作业(二十九)　双曲线及其标准方程的应用
一、选择题
1．人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1．已知双曲线的方程为x2－y2＝1，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点)，∠F1F2P的余弦值大小为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C右支上的一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．24　　　B．36　　　C．48　　　D．96
3．数学让建筑更富艺术的神韵，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象，上、下底面与地面平行．现测得下底面直径AB＝20 米，上底面直径CD＝20 米，AB与CD间的距离为80米，与上、下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为(　　)
A．10米 B．20米
C．10米 D．10米
4．某农户在自家地块开起生态农家乐，如图所示，建设了三个功能区：△ABC为鱼塘休闲区，矩形BCMN为果园种植区，以CM为直径的半圆为住宿区．现农户欲对果园进行施肥，运来一批肥料放置于点A处，要把这批肥料沿鱼塘两侧的道路AB，AC送到矩形BCMN的果园种植区去，若AB＝CB＝2 km，AC＝1 km，该农户在矩形BCMN果园中画定了一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AB运送肥料较近，而另一侧的点沿道路AC运送肥料较近，设这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为(　　)
A．圆　　　B．椭圆　　　C．抛物线　　　D．双曲线
5．设双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，且∠MF1F2＝30°，则△MF1F2的面积为(　　)
A．2　　　B．　　　C．2　　　D．4＋2
二、填空题
6．已知双曲线的两个焦点F1，F2的坐标分别为()和()，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为________．
7．已知F1，F2分别是双曲线C：＝1的左、右焦点，P为双曲线C上的一点．若△PF1F2为直角三角形，则△PF1F2的面积等于________．
8．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且·＝0，则＝________．
三、解答题
9．设F1，F2分别是双曲线＝1的左、右焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上一点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
10．(多选)已知点P在双曲线C：＝1上，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则(　　)
A．|PF1|－|PF2|＝8
B．|PF1|＋|PF2|＝
C．点P到x轴的距离为4
D．∠F1PF2＝
11．若点P在曲线C1：＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是(　　)
A．9　　　B．10　　　C．11　　　D．12
12．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且|AB|＝|BC|＝|CD|＝2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为________．
13．A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km处，C在B北偏西30°方向4 km处，P为敌炮阵地．某时刻，在A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A地距P地远，因此经过4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若A地需炮击P地，则炮击的方向角为北偏东________．
14．某工程队需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
15．如图，P是双曲线＝1(a＞0，b＞0)上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形(焦点三角形)．若∠F1PF2＝θ，求证．
4/4第2课时　双曲线及其标准方程的应用
[学习目标]　1．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
2．双曲线在实际生活中的应用．(数学建模、数学运算)
(教师用书)
上节我们研究了双曲线的定义、标准方程．这节我们进一步研究利用双曲线的定义求轨迹方程、求最值及一些与双曲线有关的实际问题．
[讨论交流]　
问题1．双曲线的定义是什么？
问题2．如何建立实际问题的双曲线模型？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　双曲线的实际生活应用
【链接·教材例题】
例2　已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
[分析]　先根据题意判断轨迹的形状．由声速及A，B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸声在以A，B为焦点的双曲线上，因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上．
[解]　如图3.2-5，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合．
设炮弹爆炸点P的坐标为(x，y)，则
|PA|－|PB|＝340×2＝680，
即2a＝680，a＝340．
又|AB|＝800，所以2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44 400．
因为|PA|－|PB|＝680＞0，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x≥340．
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
－＝1(x≥340)．
【链接·教材例题】
例4　双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图3.2-10(1))．它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)．
[解]　根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3.2-10(2)所示的直角坐标系Oxy，使小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径CC′，BB′都平行于x轴，且|CC′|＝13×2，|BB′|＝25×2．
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y－55)．
因为直径AA′是实轴，所以a＝12．又B，C两点都在双曲线上，所以
由方程②，得y＝(负值舍去)．代入方程①，得
－＝1．
化简得19b2＋275b－18 150＝0．　③
解方程③，得
b≈25(负值舍去)．
因此所求双曲线的方程为－＝1．
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s．已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．
[解]　设爆炸点为P，由已知，得
|PA|－|PB|＝340×4＝1 360(m)．
因为|AB|＝2 km＝2 000 m>1 360 m，|PA|>|PB|，所以点P在以点A，B为焦点的双曲线并靠近点B的那一支上．
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．
由题意可知2a＝1 360，2c＝2 000，得a＝680，c＝1 000，
b2＝c2－a2＝537 600．
因此，点P所在曲线是双曲线的右支，它的方程是－＝1(x>0)．
　利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
[学以致用]　1．如图，B地在A地的正东方向6 km处，C地在A地的北偏东60°方向6 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远4 km，则曲线PQ的轨迹方程(以AB中点为原点)是________；现要在曲线PQ上任一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km．
－＝1(x≥2)　6－4　[以AB所在的直线为x轴，
AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图，由题意得|MA|－|MB|＝4＜6，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支，故2a＝4，a＝2，2c＝6，c＝3，b＝，所以曲线PQ的轨迹方程为－＝1(x≥2)．因为|AC|＝6＝|MC|＋|MA|－2a≥|AC|－4＝6－4，当且仅当A，M，C三点共线时等号成立．所以这两条公路MB，MC的路程之和最短为(6－4) km．]
探究2　双曲线定义的应用
[典例讲评]　2．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2．若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解]　由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝··sin ∠F1PF2
＝×64×＝16．
[母题探究]　1．若将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|·|PF2|＝32”，求△F1PF2的面积．
2．若将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，求△F1PF2的面积．
[解]　(1)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100．
在△F1PF2中，由余弦定理的推论得cos ∠F1PF2＝
＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，
∴＝＝×32＝16．
(2)由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，|PF2|－|PF1|＝6，
可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，
∴＝×4×＝8．
　在解与焦点三角形(△PF1F2)有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得|PF1|与|PF2|的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得|PF1|与|PF2|的关系式，从而求出|PF1|与|PF2|的值．但是，一般我们不直接求解出|PF1|，|PF2|，而是根据需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理．
[学以致用]　2．已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积为(　　)
A．4　　　B．8　　　C．24　　　D．48
C　[由题意，得
解得＝10，可得△PF1F2是直角三角形，则＝·＝24．]
探究3　利用双曲线的定义求最值
[典例讲评]　3．已知定点A(3，1)，F是双曲线－＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A． B．5＋4
C．5－4 D．＋4
C　[设F1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|－|PF|＝2a，所以|PF|＝|PF1|－2a，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4，
结合图形可得|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝＝5，
当且仅当P，A，F1三点共线时取得等号，即点P在P′处时取得最小值，
所以|PA|＋|PF1|－4≥5－4，
所以－4．]
　在求解与双曲线有关的长度问题时，注意定义的应用，在求距离的和时往往需要利用定义进行转化，注意最值取得的条件，往往在三点共线时取到．
[学以致用]　3．已知A(－4，0)，B是圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　)
A．9 B．2＋6 C．10 D．12
C　[由题知点C(1，4)，点B在圆C上，
则|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1，
由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，设A′为双曲线右焦点，
所以由双曲线定义知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10．]
1．一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s(声速为340 m/s)，则爆炸点所在曲线可能为(　　)
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一支
C．线段 D．圆
B　[设爆炸点为P，由声速为340 m/s，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s，
则|PA|－|PB|＝680；当680＜|AB|时，点P所在的轨迹为双曲线的一支；
当680＝|AB|时，点P所在的轨迹为一条射线．故选B．]
2．已知椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos ∠F1PF2的值是(　　)
A． B． C． D．
A　[不妨设点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点．
因为P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2．
又P在双曲线上，所以|PF1|－|PF2|＝2．
两式联立，得|PF1|＝＋＝－．
又|F1F2|＝4，所以根据余弦定理可以求得
cos ∠F1PF2＝．]
3．已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　)
A．＋4 B．－4
C．－2 D．＋2
C　[因为|AF1|－|AF2|＝2，∴＝．则|AP|＋|AF2|＝的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0．当点A位于点A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为
|PF1|＝＝．
故－2，故选C．]
4．双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于________．
4　[在双曲线x2－y2＝1中，a＝b＝1，c＝，
设P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵∠F1PF2＝60°，
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－|PF1|·|PF2|，即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|，
即|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2＝4．]
1．知识链：(1)双曲线的实际应用．
(2)双曲线定义的应用．
(3)利用双曲线的定义求最值．
2．方法链：坐标法、转化法．
3．警示牌：双曲线在实际生活的应用中，建模出错．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PF1|，|PF2|的最小值分别是多少？
[提示]　|PF1|的最小值为c－a，|PF2|的最小值为a＋c．
课时分层作业(二十九)　双曲线及其标准方程的应用
一、选择题
1．人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1．已知双曲线的方程为x2－y2＝1，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点)，∠F1F2P的余弦值大小为(　　)
A． B． C． D．
D　[|F1F2|＝2＝m，|PF2|＝n，则m－n＝2，m2＋n2＝(2)2，解得m＝＋1，n＝－1．∴cos ∠F1F2P＝＝．]
2．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C右支上的一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．24 B．36 C．48 D．96
C　[依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由题意及双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝16．
∴＝×16×＝48，故选C．]
3．数学让建筑更富艺术的神韵，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象，上、下底面与地面平行．现测得下底面直径AB＝20 米，上底面直径CD＝20 米，AB与CD间的距离为80米，与上、下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为(　　)
A．10米 B．20米 C．10米 D．10米
B　[建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知D(－10，20)，B(10，－60)，
设双曲线方程为－＝1，
∴
解得a2＝100，b2＝400，
|EF|＝2a＝20，故选B．]
4．某农户在自家地块开起生态农家乐，如图所示，建设了三个功能区：△ABC为鱼塘休闲区，矩形BCMN为果园种植区，以CM为直径的半圆为住宿区．现农户欲对果园进行施肥，运来一批肥料放置于点A处，要把这批肥料沿鱼塘两侧的道路AB，AC送到矩形BCMN的果园种植区去，若AB＝CB＝2 km，AC＝1 km，该农户在矩形BCMN果园中画定了一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AB运送肥料较近，而另一侧的点沿道路AC运送肥料较近，设这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为(　　)
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
D　[由题意，从点A出发经C到界线上一点P，与从A点出发经B到P，所走的路程是一样的．
即|AC|＋|PC|＝|AB|＋|PB|，所以|PC|－|PB|＝|AB|－|AC|．
又由|AB|＝|CB|＝2 km，|AC|＝1 km，
所以|PC|－|PB|＝1＜|CB|＝2．
根据双曲线的定义可知曲线E为双曲线的一部分．故选D．]
5．设双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，且∠MF1F2＝30°，则△MF1F2的面积为(　　)
A．2 B． C．2 D．4＋2
C　[设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
则|F1F2|＝2＝2，
由双曲线的定义可知，m－n＝2，即n＝m－2，
由余弦定理的推论可得，cos 30°＝＝，
∴m2＋12－n2＝6m，∴m2＋12－(m－2)2＝6m，
解得m＝4，∴△MF1F2的面积为×m×2×sin 30°＝2．
故选C．]
二、填空题
6．已知双曲线的两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为________．
－y2＝1　[设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则c＝．
令|PF1|＝m，|PF2|＝n，m2＋n2＝20，
因为△PF1F2的面积为1，所以mn＝2．
又|m－n|＝2a，所以m2－2mn＋n2＝4a2，
所以a2＝4，b2＝c2－a2＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1．]
7．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，P为双曲线C上的一点．若△PF1F2为直角三角形，则△PF1F2的面积等于________．
或9　[不妨设点P(x，y)在双曲线的右支上，当∠PF2F1＝90°时，x＝5，得y＝±＝，所以△PF1F2的面积为×10×＝；当∠F1PF2＝90°时，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，又|PF1|－|PF2|＝2a＝8，可得|PF1||PF2|＝18，所以△PF1F2的面积为＝×18＝9．综上所述，△PF1F2的面积为或9．]
8．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且PF1·PF2＝0，则|PF1＋PF2|＝________．
2　[由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)．
设点P(x，y)，则PF1＝(－－x，－y)，PF2＝(－x，－y)．
∵PF1·PF2＝0，
∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10．
∴|PF1＋PF2|＝
＝＝2．]
三、解答题
9．设F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上一点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[解]　(1)由题意知a＝3，b＝4，c＝5，
设点M到另一个焦点的距离为m，
由双曲线定义可知|m－16|＝2a＝6，解得m＝10或m＝22，
即点M到另一个焦点的距离为10或22．
(2)P是双曲线左支上的点，则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，
则|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF1|2＝36，
将|PF1|·|PF2|＝32代入，
可得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100，
即|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，
所以△F1PF2为直角三角形，
所以＝＝×32＝16．
10．(多选)已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则(　　)
A．|PF1|－|PF2|＝8
B．|PF1|＋|PF2|＝
C．点P到x轴的距离为4
D．∠F1PF2＝
BC　[由双曲线C：－＝1，得a＝4，b＝3，
则c＝＝5，
由双曲线的定义可知，||PF1|－|PF2||＝2a＝8，故A错误；
设点P(xP，yP)，则＝＝＝20，
∴|yP|＝4，故C正确；由双曲线的对称性，不妨取点P，
得|PF2|＝＝＝|PF2|＋2a＝＋8＝，∴＝＋＝，故B正确；
由余弦定理的推论得cos ∠F1PF2＝＝≠，
∴∠F1PF2≠，故D错误．故选BC．]
11．若点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是(　　)
A．9 B．10 C．11 D．12
B　[在双曲线C1中，a＝4，b＝3，c＝5，易知两圆圆心分别为双曲线C1的两个焦点，
记点F1(－5，0)，F2(5，0)，当|PQ|－|PR|取最大值时，P在双曲线C1的左支上，如图所示，
所以|PQ|－|PR|≤|PF2|＋1－(|PF1|－1)＝|PF2|－|PF1|＋2＝2a＋2＝10．故选B．]
12．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且|AB|＝|BC|＝|CD|＝2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为________．
x2－＝1　[设所求双曲线的标准方程为－＝1，a＞0，b＞0，则根据题意可得a＝1，点在双曲线上，∴－＝1，∴b2＝，
∴所求双曲线的方程为x2－＝1．]
13．A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km处，C在B北偏西30°方向4 km处，P为敌炮阵地．某时刻，在A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A地距P地远，因此经过4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若A地需炮击P地，则炮击的方向角为北偏东________．
30°　[如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则B(－3，0)，A(3，0)，C(－5，2)．
因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．
由题可知直线BC的斜率kBC＝－，BC的中点坐标为(－4，)，记D(－4，)，所以直线PD：y－＝(x＋4)．①
又B地比A地晚4 s发现信号，故－＝4，即|PB|－|PA|＝4＜|AB|＝6，故P在以A，B为焦点的双曲线的右支上．
设P(x，y)，x＞0，y＞0，则其所在双曲线的方程为－＝1(x≥2)．②
由①②，得x＝8，y＝5，所以P(8，5)．
因此直线PA的斜率kPA＝＝．
故炮击的方向角为北偏东30°．]
14．某工程队需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
[解]　如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设点M沿AP，BP到点P的路程相等，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，
即|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50，这说明点M的轨迹是以A，B为焦点的双曲线右支上的一段，且a＝25．
在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|AP|·|BP|cos 60°＝17 500，即|AB|＝50，
从而c2＝＝4 375，b2＝3 750，
所以点M所在曲线的方程为－＝1(x≥25)，
即在运土时，以点M的轨迹为分界线，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工．
15．如图，P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形(焦点三角形)．若∠F1PF2＝θ，求证＝．
[证明]　在△PF1F2中，因为∠F1PF2＝θ，则由双曲线的定义及余弦定理得，
||PF1|－|PF2||＝2a |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，①
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ＝|F1F2|2＝4c2，②
由②－①得2|PF1|·|PF2|·(1－cos θ)＝4c2－4a2，
则|PF1|·|PF2|＝．
又＝··sin θ，
从而＝b2·＝．
1/2课时分层作业(二十八)　双曲线及其标准方程
一、选择题
1．已知动点P到点M(1，0)，N(－1，0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
2．双曲线－y2＝1的焦点坐标为(　　)
A．(±1，0) B．
C． D．
3．若椭圆＝1(m＞0)与双曲线＝1(m＞0)有相同的焦点，则m的值是(　　)
A． B．1或2
C．1或 D．1
4．“k＞4”是“方程＝1表示的曲线是双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知双曲线C的焦点与椭圆E：＝1的上、下顶点相同，且经过E的焦点，则C的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
二、填空题
6．过点(3，2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的双曲线方程为________．
7．若点P在双曲线＝1上，且点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点P的纵坐标为________，点P与双曲线的左焦点的距离为________．
8．双曲线Γ经过两点A，B，则双曲线Γ的标准方程是________．
三、解答题
9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型．
10．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则(　　)
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
11．与圆x2＋y2＝4及圆x2＋y2－8x－6y＋24＝0都外切的圆的圆心在(　　)
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上　
C．一条直线上 D．一个圆上
12．已知点M，N＝4．则动点P的轨迹方程为(　　)
A．－y2＝1 B．－y2＝1
C．－y2＝1(x≥2) D．－y2＝1(x≤－2)
13．动点P与点F1(0，5)，F2(0，－5)满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程为________．
14．在面积为12的△PEF中，已知tan ∠PEF＝，tan ∠PFE＝－2，试建立适当平面直角坐标系，求出分别以E，F为左、右焦点且过点P的双曲线方程．
15．已知P为双曲线＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若＋8，则△MF1F2的面积为(　　)
A．2　　　B．10　　　C．8　　　D．5
3/33.2　双曲线
3.2.1　双曲线及其标准方程
第1课时　双曲线及其标准方程
[学习目标]　1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(数学抽象、直观想象)
2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(数学运算)
[讨论交流]　
问题1．双曲线的定义中有怎样的限制条件？
问题2．双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有怎样的区别与联系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　双曲线的定义
探究问题1　做下面一个试验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
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[新知生成]
文字语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
符号语言 ||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|)
焦点 定点________
焦距 ________的距离
[典例讲评]　1．已知点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是(　　)
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
[尝试解答]___________________________________________________________
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　在双曲线的定义中，注意三个关键点：(1)在平面内．(2)差的绝对值．(3)存在定值且定值小于两定点间距离．在这三个条件中，缺少任何一个条件，动点轨迹就不是双曲线．
[学以致用]　1．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则点P的轨迹是(　　)
A．双曲线　　　 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
探究2　双曲线的标准方程
探究问题2　回顾求椭圆标准方程的过程，有哪些经验值得借鉴？通过类比如何建立适当的坐标系，得出双曲线的标准方程？
探究问题3　设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以经过F1，F2两点的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
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[新知生成]
双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ________________ ________________
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) ____________
a，b，c的关系 c2＝________
[典例讲评]　2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)c＝6，焦点在x轴上，且过点A(－5，2)；
(2)经过两点A，B．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤．
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[学以致用]　2．(源自湘教版教材)已知双曲线两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且双曲线经过点P(3，－2)，该双曲线的标准方程为________．
3．与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点的双曲线的标准方程为________．
探究3　双曲线标准方程的识别
[典例讲评]　3．若方程＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是(　　)
A．2＜k＜5 B．k＞5
C．k＜2或k＞5 D．以上答案均不对
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]　若该方程表示焦点在x轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
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　方程表示双曲线的条件
(1)对于方程＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
[学以致用]　4．“m＞2”是“方程＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
1．已知F1(－3，0)，F2(3，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则点P的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．不存在 D．一条射线
2．“0＜k＜1”是“方程＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．双曲线－y2＝1与椭圆＝1的焦点相同，则a等于(　　)
A．1 B．－2 C．1或－2 D．2
4．如果双曲线＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一焦点F2的距离是________．
1．知识链：(1)双曲线的定义．
(2)双曲线的标准方程及其推导．
(3)双曲线标准方程的识别．
2．方法链：待定系数法、分类讨论法．
3．警示牌：(1)易忽略双曲线的定义中的2a＜|F1F2|或把双曲线的一支误认为双曲线的两支．
(2)易忽略对双曲线焦点位置的判断．
5/5(共40张PPT)
第1课时　双曲线及其标准方程
第三章　圆锥曲线的方程
3.2　双曲线
3.2.1　双曲线及其标准方程
[学习目标]　1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(数学抽象、直观想象)
2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(数学运算)
整体感知
(教师用书)
双曲线是一种很优美的曲线，就好像人的身形一样婉转婀娜．在实际生活中，双曲线也有着广泛的应用，例如很多工程建筑就是仿照双曲线的外形特点而设计的，在兼具美学的情况下又保证了建筑物的坚实程度．我们已经学习过椭圆的相关知识，那么双曲线又有着怎样的定义、方程与几何性质呢？让我们慢慢揭开它的神秘面纱吧！
[讨论交流]　
问题1．双曲线的定义中有怎样的限制条件？
问题2．双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有怎样的区别与联系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　双曲线的定义
探究问题1　做下面一个试验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
探究建构
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
[提示]　双曲线、曲线上的点满足条件：||MF1|－|MF2||＝常数＜|F1F2|．
[新知生成]
文字语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
符号语言 ||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|)
焦点 定点_________
焦距 ________的距离
差的绝对值
F1，F2
两焦点间
【教用·微提醒】　(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
[典例讲评]　1．已知点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是(　　)
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线
D　[依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，
因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；
当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线．]
√
反思领悟　在双曲线的定义中，注意三个关键点：(1)在平面内．(2)差的绝对值．(3)存在定值且定值小于两定点间距离．在这三个条件中，缺少任何一个条件，动点轨迹就不是双曲线．
[学以致用]　1．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则点P的轨迹是(　　)
A．双曲线　　B．双曲线的一支　　C．直线 　　D．一条射线
D　[F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹为一条射线．]
√
探究2　双曲线的标准方程
探究问题2　回顾求椭圆标准方程的过程，有哪些经验值得借鉴？通过类比如何建立适当的坐标系，得出双曲线的标准方程？
[提示]　设P(x，y)是双曲线上一点，F1(－c，0)，F2(c，0)，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，因为|PF1|＝，
|PF2|＝，所以－＝±2a，①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，
得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1．
由双曲线的定义知，2c＞2a，即c＞a，所以c2－a2＞0，
类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b＞0，代入上式，
得－＝1(a＞0，b＞0)．
探究问题3　设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以经过F1，F2两点的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
[提示]　－＝1(a＞0，b＞0)．
[新知生成]
双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ______________________ ____________________
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) ____________________
a，b，c的关系 c2＝_______
＝1(a>0，b>0)
＝1(a>0，b>0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a2＋b2
【教用·微提醒】　(1)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上，即x2，y2的系数异号．
(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线定形的条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．其中c＞a，c＞b，而a，b无大小要求．
【链接·教材例题】
例1　已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
[解]　因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
－＝1(a＞0，b＞0)．
由2c＝10，2a＝6，得c＝5，又a＝3，因此b2＝52－32＝16．
所以，双曲线的标准方程为－＝1．
[典例讲评]　2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)c＝6，焦点在x轴上，且过点A(－5，2)；
(2)经过两点A(－7，－6)，B(，－3)．
[解]　(1)由题意，设所求双曲线的标准方程为－＝1，a＞0，b＞0，
由题意得
解得a2＝20，b2＝16，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1．
(2)法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
因为点A，B在双曲线上，所以
解得所以双曲线的标准方程为x2－＝1．
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
因为点A，B在双曲线上，所以
该方程组无解．
所以双曲线的标准方程为x2－＝1．
法二：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
因为点A，B在此双曲线上，
所以解得m＝1，n＝－，
所以所求双曲线方程为x2－＝1．
发现规律　试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤．
[提示]　(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
【教用·备选题】　已知圆C：(x＋3)2＋y2＝4及点A(3，0)，Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为__________．
x2－＝1　[由AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，
得|MA|＝|MQ|，又圆的半径为2，所以||MC|－|MA||＝2＜|AC|＝6，
故点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线，所以2a＝2，2c＝6，
所以a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8．
又焦点在x轴上，故动点M的轨迹方程为x2－＝1．]
x2－＝1　
[学以致用]　2．(源自湘教版教材)已知双曲线两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且双曲线经过点P(3，－2)，该双曲线的标准方程为____________．
y2－＝1　[由于双曲线的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
已知焦点F1，F2及双曲线上一点P，由双曲线的定义可知2a＝|PF2|－|PF1|＝－3＝5－3＝2，因此a＝1．
又因为c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3．
因此，所求双曲线的标准方程为y2－＝1．]
y2－＝1
3．与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)的双曲线的标准方程为 ．
－＝1　[法一：因为焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20．①
因为双曲线经过点(3，2)，所以－＝1． ②
由①②得a2＝12，b2＝8，
所以双曲线的标准方程为－＝1．
－＝1　
法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4＜λ＜16)．
因为双曲线经过点(3，2)，所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
所以双曲线的标准方程为－＝1．]
探究3　双曲线标准方程的识别
[典例讲评]　3．若方程＋＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是(　　)
A．2＜k＜5 　　B．k＞5 　C．k＜2或k＞5 　D．以上答案均不对
C　[由题意知(k－2)(5－k)＜0，即(k－2)(k－5)＞0，
解得k＞5或k＜2．则实数k的取值范围是k＞5或k＜2．
故选C．]
√
[母题探究]　若该方程表示焦点在x轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
[解]　方程表示焦点在x轴上的双曲线，
则有解得k＞5．
因此实数k的取值范围是(5，＋∞)．
反思领悟　方程表示双曲线的条件
(1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
[学以致用]　4．“m＞2”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A　[方程－＝1表示双曲线，则(m－2)·(m－1)＞0，解得m＜1或m＞2，所以“m＞2”是“方程－＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A．]
√
1．已知F1(－3，0)，F2(3，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则点P的轨迹是(　　)
A．双曲线 　B．双曲线的一支　　C．不存在 D．一条射线
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
B　[F1(－3，0)，F2(3，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4．
因为|F1F2|＝6＞4，则动点P的轨迹满足双曲线的定义．
|PF1|－|PF2|＝4＞0，则点P的轨迹是双曲线的一支．故选B．]
2．“0＜k＜1”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2
3
题号
1
4
√
A　[若方程表示双曲线，则(k－1)(k＋2)＜0，得－2＜k＜1，
即“0＜k＜1”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A．]
3．双曲线－y2＝1与椭圆＋＝1的焦点相同，则a等于(　　)
A．1 　　　　B．－2 　　　　C．1或－2 　　　　D．2
2
3
题号
4
1
√
A　[因为双曲线－y2＝1与椭圆＋＝1的焦点相同，
则a＋1＋1＝4－a2，且a＋1＞0，4＞a2，解得a＝－2(舍)或a＝1，故选A．]
4．如果双曲线－＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一焦点F2的距离是________．
2
4
3
题号
1
22　[由题意得||PF1|－|PF2||＝2a＝16，
又|PF1|＝6，所以|PF2|＝22．]
22　
1．知识链：(1)双曲线的定义．
(2)双曲线的标准方程及其推导．
(3)双曲线标准方程的识别．
2．方法链：待定系数法、分类讨论法．
3．警示牌：(1)易忽略双曲线的定义中的2a＜|F1F2|或把双曲线的一支误认为双曲线的两支．
(2)易忽略对双曲线焦点位置的判断．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．双曲线是如何定义的？请写出它的标准方程．
[提示]　定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．
标准方程：－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)．
2．方程－＝1表示双曲线，则m，n满足的条件是什么？若方程表示焦点在x轴(y轴)上的双曲线，则m，n满足什么条件？
[提示]　(1)若表示双曲线，则满足mn>0．
(2)若表示焦点在x轴上的双曲线，则满足
(3)若表示焦点在y轴上的双曲线，则满足
课时分层作业(二十八)
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双曲线及其标准方程
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS第2课时　双曲线及其标准方程的应用
[学习目标]　1．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
2．双曲线在实际生活中的应用．(数学建模、数学运算)
[讨论交流]　
问题1．双曲线的定义是什么？
问题2．如何建立实际问题的双曲线模型？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　双曲线的实际生活应用
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s．已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
[学以致用]　1．如图，B地在A地的正东方向6 km处，C地在A地的北偏东60°方向河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远4 km，则曲线PQ的轨迹方程(以AB中点为原点)是________；现要在曲线PQ上任一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km．
探究2　双曲线定义的应用
[典例讲评]　2．已知双曲线＝1的左、右焦点分别是F1，F2．若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]
1．若将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|·|PF2|＝32”，求△F1PF2的面积．
_____________________________________________________________________
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_____________________________________________________________________
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2．若将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，求△F1PF2的面积．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
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_____________________________________________________________________
　在解与焦点三角形(△PF1F2)有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得|PF1|与|PF2|的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得|PF1|与|PF2|的关系式，从而求出|PF1|与|PF2|的值．但是，一般我们不直接求解出|PF1|，|PF2|，而是根据需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理．
[学以致用]　2．已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积为(　　)
A．4　 　B．8　 　C．24 　　D．48
探究3　利用双曲线的定义求最值
[典例讲评]　3．已知定点A(3，1)，F是双曲线＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A． B．5＋4
C．5－4 D．＋4
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
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　在求解与双曲线有关的长度问题时，注意定义的应用，在求距离的和时往往需要利用定义进行转化，注意最值取得的条件，往往在三点共线时取到．
[学以致用]　3．已知A(－4，0)，B是圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　)
A．9 B．2＋6 C．10 D．12
1．一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s(声速为340 m/s)，则爆炸点所在曲线可能为(　　)
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一支
C．线段 D．圆
2．已知椭圆＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos ∠F1PF2的值是(　　)
A． B． C． D．
3．已知F1，F2分别为双曲线＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　)
A．＋4 B．－4
C． D．
4．双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于________．
1．知识链：(1)双曲线的实际应用．
(2)双曲线定义的应用．
(3)利用双曲线的定义求最值．
2．方法链：坐标法、转化法．
3．警示牌：双曲线在实际生活的应用中，建模出错．
4/43.2　双曲线
3.2.1　双曲线及其标准方程
第1课时　双曲线及其标准方程
[学习目标]　1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(数学抽象、直观想象)
2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(数学运算)
(教师用书)
双曲线是一种很优美的曲线，就好像人的身形一样婉转婀娜．在实际生活中，双曲线也有着广泛的应用，例如很多工程建筑就是仿照双曲线的外形特点而设计的，在兼具美学的情况下又保证了建筑物的坚实程度．我们已经学习过椭圆的相关知识，那么双曲线又有着怎样的定义、方程与几何性质呢？让我们慢慢揭开它的神秘面纱吧！
[讨论交流]　
问题1．双曲线的定义中有怎样的限制条件？
问题2．双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有怎样的区别与联系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　双曲线的定义
探究问题1　做下面一个试验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
[提示]　双曲线、曲线上的点满足条件：||MF1|－|MF2||＝常数＜|F1F2|．
[新知生成]
文字语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
符号语言 ||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|)
焦点 定点F1，F2
焦距 两焦点间的距离
【教用·微提醒】　(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
[典例讲评]　1．已知点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是(　　)
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
D　　[依题意得|F1F2|＝10，
当a＝3时，
因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，
故点P的轨迹为双曲线的右支；
当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，
故点P的轨迹为一条射线．]
　在双曲线的定义中，注意三个关键点：(1)在平面内．(2)差的绝对值．(3)存在定值且定值小于两定点间距离．在这三个条件中，缺少任何一个条件，动点轨迹就不是双曲线．
[学以致用]　1．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则点P的轨迹是(　　)
A．双曲线　　　B．双曲线的一支　　　C．直线 　　　D．一条射线
D　[F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹为一条射线．]
探究2　双曲线的标准方程
探究问题2　回顾求椭圆标准方程的过程，有哪些经验值得借鉴？通过类比如何建立适当的坐标系，得出双曲线的标准方程？
[提示]　设P(x，y)是双曲线上一点，F1(－c，0)，F2(c，0)，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，因为|PF1|＝，
|PF2|＝，
所以－＝±2a，①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，
得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1．
由双曲线的定义知，2c＞2a，即c＞a，
所以c2－a2＞0，
类比椭圆标准方程的建立过程，
令b2＝c2－a2，其中b＞0，代入上式，
得－＝1(a＞0，b＞0)．
探究问题3　设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以经过F1，F2两点的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
[提示]　－＝1(a＞0，b＞0)．
[新知生成]
双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
【教用·微提醒】　(1)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上，即x2，y2的系数异号．
(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线定形的条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．其中c＞a，c＞b，而a，b无大小要求．
【链接·教材例题】
例1　已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
[解]　因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
－＝1(a＞0，b＞0)．
由2c＝10，2a＝6，得c＝5，又a＝3，因此b2＝52－32＝16．
所以，双曲线的标准方程为－＝1．
[典例讲评]　2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)c＝6，焦点在x轴上，且过点A(－5，2)；
(2)经过两点A(－7，－6)，B(，－3)．
[解]　(1)由题意，设所求双曲线的标准方程为－＝1，a＞0，b＞0，
由题意得
解得a2＝20，b2＝16，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1．
(2)法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
因为点A，B在双曲线上，所以
解得所以双曲线的标准方程为x2－＝1．
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
因为点A，B在双曲线上，所以
该方程组无解．
所以双曲线的标准方程为x2－＝1．
法二：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
因为点A，B在此双曲线上，
所以解得m＝1，n＝－，
所以所求双曲线方程为x2－＝1．
　试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤．
[提示]　(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
【教用·备选题】　已知圆C：(x＋3)2＋y2＝4及点A(3，0)，Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为________．
x2－＝1　[由AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，
得|MA|＝|MQ|，又圆的半径为2，
所以||MC|－|MA||＝2＜|AC|＝6，
故点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线，
所以2a＝2，2c＝6，
所以a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8．
又焦点在x轴上，故动点M的轨迹方程为x2－＝1．]
[学以致用]　2．(源自湘教版教材)已知双曲线两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且双曲线经过点P(3，－2)，该双曲线的标准方程为________．
y2－＝1　[由于双曲线的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
已知焦点F1，F2及双曲线上一点P，由双曲线的定义可知2a＝|PF2|－|PF1|＝－3＝5－3＝2，因此a＝1．
又因为c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3．
因此，所求双曲线的标准方程为y2－＝1．]
3．与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)的双曲线的标准方程为________．
－＝1　[法一：因为焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
所以c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20．①
因为双曲线经过点(3，2)，
所以－＝1．②
由①②得a2＝12，b2＝8，
所以双曲线的标准方程为－＝1．
法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4＜λ＜16)．
因为双曲线经过点(3，2)，所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
所以双曲线的标准方程为－＝1．]
探究3　双曲线标准方程的识别
[典例讲评]　3．若方程＋＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是(　　)
A．2＜k＜5 B．k＞5 C．k＜2或k＞5 D．以上答案均不对
C　[由题意知(k－2)(5－k)＜0，
即(k－2)(k－5)＞0，
解得k＞5或k＜2．
则实数k的取值范围是k＞5或k＜2．
故选C．]
[母题探究]　若该方程表示焦点在x轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
[解]　方程表示焦点在x轴上的双曲线，
则有解得k＞5．
因此实数k的取值范围是(5，＋∞)．
　方程表示双曲线的条件
(1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
[学以致用]　4．“m＞2”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[方程－＝1表示双曲线，则(m－2)·(m－1)＞0，解得m＜1或m＞2，所以“m＞2”是“方程－＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A．]
1．已知F1(－3，0)，F2(3，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则点P的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．不存在 D．一条射线
B　[F1(－3，0)，F2(3，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4．
因为|F1F2|＝6＞4，则动点P的轨迹满足双曲线的定义．
|PF1|－|PF2|＝4＞0，则点P的轨迹是双曲线的一支．故选B．]
2．“0＜k＜1”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A　[若方程表示双曲线，则(k－1)(k＋2)＜0，得－2＜k＜1，
即“0＜k＜1”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件．
故选A．]
3．双曲线－y2＝1与椭圆＋＝1的焦点相同，则a等于(　　)
A．1 B．－2 C．1或－2 D．2
A　[因为双曲线－y2＝1与椭圆＋＝1的焦点相同，
则a＋1＋1＝4－a2，且a＋1＞0，4＞a2，解得a＝－2(舍)或a＝1，故选A．]
4．如果双曲线－＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一焦点F2的距离是________．
22　[由题意得||PF1|－|PF2||＝2a＝16，
又|PF1|＝6，所以|PF2|＝22．]
1．知识链：(1)双曲线的定义．
(2)双曲线的标准方程及其推导．
(3)双曲线标准方程的识别．
2．方法链：待定系数法、分类讨论法．
3．警示牌：(1)易忽略双曲线的定义中的2a＜|F1F2|或把双曲线的一支误认为双曲线的两支．
(2)易忽略对双曲线焦点位置的判断．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．双曲线是如何定义的？请写出它的标准方程．
[提示]　定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．
标准方程：－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)．
2．方程－＝1表示双曲线，则m，n满足的条件是什么？若方程表示焦点在x轴(y轴)上的双曲线，则m，n满足什么条件？
[提示]　(1)若表示双曲线，则满足mn>0．
(2)若表示焦点在x轴上的双曲线，则满足
(3)若表示焦点在y轴上的双曲线，则满足
课时分层作业(二十八)　双曲线及其标准方程
一、选择题
1．已知动点P到点M(1，0)，N(－1，0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
C　[由题知||PM|－|PN||＝2，且|MN|＝2，则点P的轨迹是两条射线，故选C．]
2．双曲线－y2＝1的焦点坐标为(　　)
A．(±1，0) B．(±，0)
C．(±，0) D．(±，0)
C　[由双曲线－y2＝1，可知a＝，b＝1，c＝，所以双曲线的焦点坐标为(±，0)．故选C．]
3．若椭圆＋＝1(m＞0)与双曲线－＝1(m＞0)有相同的焦点，则m的值是(　　)
A． B．1或2 C．1或 D．1
D　[由题意可得焦点在x轴上，可得0＜m＜2，
则＝，解得m＝1．故选D．]
4．“k＞4”是“方程＋＝1表示的曲线是双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[若曲线＋＝1表示双曲线，
则(k－2)·(4－k)＜0，解得k＞4或k＜2．
“k＞4”能推出“k＞4或k＜2”，满足充分性；
“k＞4或k＜2”不能推出“k＞4”，不满足必要性；
故“k＞4”是“方程＋＝1表示的曲线是双曲线”的充分不必要条件．
故选A．]
5．已知双曲线C的焦点与椭圆E：＋＝1的上、下顶点相同，且经过E的焦点，则C的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
C　[已知椭圆E：＋＝1的上、下顶点坐标为(0，4)，(0，－4)，焦点坐标为(0，3)，(0，－3)，又双曲线C的焦点与椭圆E：＋＝1的上、下顶点相同，且经过E的焦点，设双曲线方程为－＝1，a＞0，b＞0，
则a＝3，c＝4，b＝＝，则C的方程为－＝1．故选C．]
二、填空题
6．过点(3，2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的双曲线方程为________．
－＝1　[椭圆3x2＋8y2＝24，即＋＝1，可得椭圆的焦点坐标为(－，0)，(，0)，
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则c2＝a2＋b2＝5，又－＝1，
解得a＝，b＝，所以双曲线的方程为－＝1．]
7．若点P在双曲线－＝1上，且点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点P的纵坐标为________，点P与双曲线的左焦点的距离为________．
±3　11　[记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，设P(xP，yP)．因为点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，所以xP＝＝2，所以－＝1，解得yP＝±3，所以|PF2|＝3．由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，所以|PF1|＝11．]
8．双曲线Γ经过两点A(－，－)，B，则双曲线Γ的标准方程是________．
x2－＝1　[设双曲线方程为：mx2－ny2＝1，mn＞0．
由双曲线过A，B两点，得
解得
所以双曲线的标准方程为x2－＝1．]
三、解答题
9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型．
[解]　(1)当k＝0时，方程为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心为原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
10．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则(　　)
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
ACD　[对于A，当m＞n＞0时，有＞＞0，
方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，由m＝n＞0，方程变形为x2＋y2＝，
该方程表示半径为的圆，故B错误；
对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，故C正确；
对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，故D正确．故选ACD．]
11．与圆x2＋y2＝4及圆x2＋y2－8x－6y＋24＝0都外切的圆的圆心在(　　)
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上　
C．一条直线上 D．一个圆上
B　[圆x2＋y2＝4的圆心F1(0，0)，半径为2，
圆x2＋y2－8x－6y＋24＝0可化为(x－4)2＋(y－3)2＝1，圆心F2(4，3)，半径为1，
设所求圆的圆心为P，半径为r，
由题意可知|PF1|＝r＋2，|PF2|＝r＋1，
则|PF1|－|PF2|＝1＜|F1F2|，
故由双曲线的定义可知，所求圆的圆心的轨迹为双曲线的一支．
故选B．]
12．已知点M(－，0)，N(，0)，动点P满足条件|PM|-|PN|＝4．则动点P的轨迹方程为(　　)
A．－y2＝1(x≥)
B．－y2＝1(x≤－)
C．－y2＝1(x≥2)
D．－y2＝1(x≤－2)
C　[由点M(－，0)，N(，0)，可得|MN|＝2，
又由|PM|－|PN|＝4，可得|PM|－|PN|＝4＜|MN|＝2，
根据双曲线的定义，可得点P的轨迹为以M，N为焦点的双曲线的右支，
且2a＝4，2c＝2，可得a＝2，c＝，则b2＝c2－a2＝1，
所以点P的轨迹方程为－y2＝1(x≥2)．
故选C．]
13．动点P与点F1(0，5)，F2(0，－5)满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程为________．
－＝1(y≤－3)　[由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝10知，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，
得c＝5，2a＝6，
∴a＝3，∴b2＝16，
故动点P的轨迹方程是－＝1(y≤－3)．]
14．在面积为12的△PEF中，已知tan ∠PEF＝，tan ∠PFE＝－2，试建立适当平面直角坐标系，求出分别以E，F为左、右焦点且过点P的双曲线方程．
[解]　以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，
设以E，F为焦点且过点P的双曲线方程为－＝1，
焦点为E(－c，0)，F(c，0)．设直线PF的倾斜角为α，
由tan ∠PEF＝，tan ∠EFP＝－2，tan α＝tan(π－∠EFP)＝2，
得直线PE和直线PF的方程分别为y＝(x＋c)和y＝2(x－c)．
将上述两方程联立，解得x＝c，y＝c，即点P坐标为．
在△EFP中，|EF|＝2c，EF上的高为点P的纵坐标，
由题设条件S△EFP＝c2＝12，∴c＝3，即点P坐标为(5，4)．
由两点间的距离公式可得|PE|＝＝4＝＝2，
∴a＝．
又b2＝c2－a2＝4，
故所求双曲线的方程为－＝1．
15．已知P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若＋8，则△MF1F2的面积为(　　)
A．2 B．10 C．8 D．5
B　[设△PF1F2的内切圆的半径为R，
由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5．
因为＋8，
所以R＝8，即aR＝8，所以R＝2，
所以＝·2c·R＝10．]
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