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第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用
[学习目标]　1．理解直线与双曲线的位置关系．(数学运算、直观想象)
2．会求解有关弦长问题．(数学运算、逻辑推理)
[讨论交流]　
问题1．直线与双曲线只有1个交点，是不是直线与双曲线相切？
问题2．你了解双曲线的第二定义吗？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　双曲线定义及其应用
探究问题1　通过学习教材P125例5，你有什么发现？
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[新知生成]
双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e＞1)时，这个点的轨迹是双曲线．
[典例讲评]　1．已知动点M(x，y)到定点F(5，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]　动点M(x，y)到定点F(2，0)的距离和它到定直线l：x＝8的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
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　双曲线和椭圆有统一的定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝．当e＞1时，点M的轨迹是双曲线；当0＜e＜1时，这个点的轨迹是椭圆．
[学以致用]　1．双曲线＝1上一点P到右焦点的距离为3，则P到直线x＝的距离为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
探究2　直线与双曲线的位置关系
探究问题2　类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？
探究问题3　当直线与双曲线仅有一个公共点时，该直线与双曲线一定相切吗？
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[新知生成]
直线与双曲线位置关系的判断
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，②
将①代入②，
得Ax2＋Bx＋C＝0．
a．当A＝0时，直线l与双曲线的________平行，直线与双曲线C相交于一点．
b．当A≠0时．
①Δ＞0 直线与双曲线有________公共点，此时直线与双曲线相交；
②Δ＝0 直线与双曲线有________公共点，此时直线与双曲线相切；
③Δ＜0 直线与双曲线________公共点，此时直线与双曲线相离．
[典例讲评]　2．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　1．解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
2．双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
3．注意对直线的斜率是否存在进行讨论．
[学以致用]　2．已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k．
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探究3　弦长公式及中点弦问题
[典例讲评]　3．(1)已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A(2，3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(　　)
A．4x－3y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．3x－4y＋6＝0 D．x－y＋1＝0
(2)斜率为2的直线l与双曲线＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为________．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围．
[学以致用]　3．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为的弦AB．求：
(1)AB的长；
(2)△F2AB的周长．
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1．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　)
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
2．设A，B为双曲线＝1右支上的两点，若线段AB的中点为M(3，6)，则直线AB的方程是(　　)
A．x＋y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－y＋3＝0 D．x－2y＋3＝0
3．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． B．2 C．6 D．4
4．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点为F．若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率e的取值范围是________．
1．知识链：(1)与双曲线有关的轨迹问题．(第二定义)
(2)直线与双曲线的位置关系．
(3)弦长与中点弦问题．
2．方法链：定义法、坐标法、点差法．
3．警示牌：判断直线与双曲线交点个数时，方程联立消元后，忽视对二次项系数讨论．代数计算中的运算失误．
5/5(共41张PPT)
第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用
第三章　圆锥曲线的方程
3.2　双曲线
3.2.2　双曲线的简单几何性质
[学习目标]　1．理解直线与双曲线的位置关系．(数学运算、直观
想象)
2．会求解有关弦长问题．(数学运算、逻辑推理)
整体感知
类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有哪几种位置关系？
[讨论交流]　
问题1．直线与双曲线只有1个交点，是不是直线与双曲线相切？
问题2．你了解双曲线的第二定义吗？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　双曲线定义及其应用
探究问题1　通过学习教材P125例5，你有什么发现？
探究建构
[提示]　当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比值是常数且大于1时，点M的轨迹是双曲线．
[新知生成]
双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e＞1)时，这个点的轨迹是双曲线．
【教用·微提醒】　(1)定点和定直线是相对应的，如定点是右焦点，则定直线为x＝．
(2)距离比是离心率e，若e＞1，则点M的轨迹是双曲线，若0＜e＜1，则点M的轨迹是椭圆．
【链接·教材例题】
例5　动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
[解]　设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合P＝，由此得＝．
将上式两边平方，并化简，得7x2－9y2＝63，
即－＝1．
所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，
实轴长为6、虚轴长为2的双曲线(图3.2-11)．
[典例讲评]　1．已知动点M(x，y)到定点F(5，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
[解]　设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是点的集合
P＝，由此得＝．
将上式两边平方并化简，得9x2－16y2＝144，
即－＝1．所以点M的轨迹是焦点在x轴上，
实轴长为8，虚轴长为6的双曲线．
[母题探究]　动点M(x，y)到定点F(2，0)的距离和它到定直线l：x＝8的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
[解]　设d是点M到直线l：x＝8的距离，
根据题意，动点M的轨迹就是点的集合P＝，
由此得＝，将上式两边平方并化简，得3x2＋4y2＝48，
即＋＝1．
所以，点M的轨迹是焦点在x轴，长轴长为8、短轴长为4的椭圆．
反思领悟　双曲线和椭圆有统一的定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝．当e＞1时，点M的轨迹是双曲线；当0＜e＜1时，这个点的轨迹是椭圆．
[学以致用]　1．双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离为3，则P到直线x＝的距离为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[由双曲线－＝1知a＝3，b＝2，c＝，
离心率e＝＝，右焦点为F(，0)，设P到x＝的距离为d，则＝e，所以d＝＝＝＝．故选C．]
√
探究2　直线与双曲线的位置关系
探究问题2　类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？
[提示]　三种，分别为相交、相切、相离．
探究问题3　当直线与双曲线仅有一个公共点时，该直线与双曲线一定相切吗？
[提示]　不一定．当直线与渐近线平行时，仅有一个交点．
[新知生成]
直线与双曲线位置关系的判断
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)， ①
双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)， ②
将①代入②，得Ax2＋Bx＋C＝0．
a．当A＝0时，直线l与双曲线的______平行，直线与双曲线C相交于一点．
b．当A≠0时．
①Δ＞0 直线与双曲线有____公共点，此时直线与双曲线相交；
②Δ＝0 直线与双曲线有____公共点，此时直线与双曲线相切；
③Δ＜0 直线与双曲线____公共点，此时直线与双曲线相离．
渐近线
两个
一个
没有
【教用·微提醒】　(1)相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交．
(2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行．
[典例讲评]　2．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
[解]　由得(1－k2)x2＋2kx－5＝0．①
(1)直线l与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的根．
∴
解得－＜k＜，且k≠±1，
∴实数k的取值范围为∪(－1，1)∪．
(2)直线l与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解．
当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0．
得k＝±，此时方程①有两个相同的实数解，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，
直线l与双曲线的渐近线平行，方程①化为2x＝5或－2x＝5，故方程①只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点．故当k＝±或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点．
(3)直线l与双曲线没有公共点，则①式方程无解．
∴
解得k＞或k＜－．
则实数k的取值范围为∪．
反思领悟　1．解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
2．双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
3．注意对直线的斜率是否存在进行讨论．
[学以致用]　2．已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k．
[解]　①当直线l的斜率不存在时，
l：x＝1与双曲线相切，符合题意．
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，
得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0．当4－k2＝0，即k＝±2时，
l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝．
综上，k＝或k＝±2或k不存在时，直线l与双曲线只有一个公共点．
探究3　弦长公式及中点弦问题
【链接·教材例题】
例6　如图3.2-12，过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|．
[解]　由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)．
因为直线AB的倾斜角是30°，且经过右焦点F2，所以直线AB的方程为y＝(x－3)．　　①
由消去y，得5x2＋6x－27＝0．
解方程，得x1＝－3，x2＝．
将x1，x2的值分别代入①，得y1＝－2，y2＝－．
于是，A，B两点的坐标分别为(－3，－2)，．
所以|AB|＝
＝
＝．
[典例讲评]　3．(1)已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A(2，3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(　　)
A．4x－3y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．3x－4y＋6＝0 D．x－y＋1＝0
(2)斜率为2的直线l与双曲线－＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为_____________．
√
y＝2x±
(1)A　(2)y＝2x±　[(1)设弦的两端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝2，
两式相减，得2(x1－x2)·(x1＋x2)－(y1－y2)·(y1＋y2)＝0．
又x1＋x2＝4，y1＋y2＝6，
∴8(x1－x2)－6(y1－y2)＝0 kPQ＝，
因此直线PQ的方程为y－3＝(x－2)，
即4x－3y＋1＝0，经验证，直线4x－3y＋1＝0与双曲线相交．
因此符合题意的直线方程为4x－3y＋1＝0．故选A．
(2)设直线l的方程为y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝2x＋m代入双曲线的方程2x2－3y2－6＝0，得10x2＋12mx＋3m2＋6＝0，
由Δ＞0得m＜－或m＞．
故x1＋x2＝－m， ①
x1x2＝． ②
由已知，得|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋4)·[(x1＋x2)2－4x1x2]＝16， ③
将①②代入③，解得m＝±，满足题意．
∴直线l的方程为y＝2x±．]
反思领悟　双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围．
[学以致用]　3．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为的弦AB．求：
(1)AB的长；
(2)△F2AB的周长．
[解]　(1)∵双曲线的左焦点为F1(－2，0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线AB的方程可设为y＝(x＋2)，联立方程x2－＝1，得8x2－4x－13＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝＝×＝3．
(2)由于F2(2，0)，由(1)可知，不妨设x1＞x2，
则A，B，
则△F2AB的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝3＋＋＝3＋3．
1．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　)
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
A　[易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－22．设A，B为双曲线－＝1上的两点，若线段AB的中点为
M(3，6)，则直线AB的方程是(　　)
A．x＋y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－y＋3＝0 D．x－2y＋3＝0
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
1
4
C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有两式相减，得＝，
因为线段AB的中点为M(3，6)，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝12，
因此由＝ ＝1，
即直线AB的斜率为1，方程为y－6＝x－3 x－y＋3＝0，经检验，该直线与双曲线交于两点，符合题意，故选C．]
3．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． 　　　　B．2 　　　　C．6 　　　　D．4
2
3
题号
4
1
√
D　[由题知双曲线的右焦点为F(2，0)，过点F且与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为y＝±x，将x＝2代入y＝±x得y＝±2＝4．]
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F．若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率e的取值范围是____________．
2
4
3
题号
1
[2，＋∞)　[由题意知≥，则≥3，所以c2－a2≥3a2，
即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2．]
[2，＋∞)　
1．知识链：(1)与双曲线有关的轨迹问题．(第二定义)
(2)直线与双曲线的位置关系．
(3)弦长与中点弦问题．
2．方法链：定义法、坐标法、点差法．
3．警示牌：判断直线与双曲线交点个数时，方程联立消元后，忽视对二次项系数讨论．代数计算中的运算失误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式与直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同，你能写出来吗？
[提示]　完全相同．直线y＝kx＋m与双曲线－＝1相交，其交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝．
2．直线与双曲线只有一个公共点，那么直线与双曲线一定相切吗？
[提示]　直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但直线与双曲线相交，不相切．
课时分层作业(三十一)
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双曲线的标准方程及其性质的应用
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS课时分层作业(三十一)　双曲线的标准方程及其性质的应用
一、选择题
1．已知双曲线方程为x2－＝1，过点P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有(　　)
A．4条　　　B．3条　　　C．2条　　　D．1条
2．已知F1，F2分别是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P为双曲线C上的动点，过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹是(　　)
A．圆　　　B．椭圆　　　C．双曲线　　　D．直线
3．直线l与双曲线x2－＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(3，2)，则直线l的斜率为(　　)
A．3　　　B．6　　　C．8　　　D．12
4．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，过其左焦点F(，0)作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长|AB|
＝(　　)
A．2　　　B．4　　　C．10　　　D．10
5．已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
二、填空题
6．过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．
7．(2024·北京卷)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
8．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．
三、解答题
9．已知双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，且经过点()．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A，B两点，求弦长|AB|．
10．斜率为2的直线l过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点，且与双曲线的两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．()
C．() D．()
11．(多选)已知双曲线C：＝1，点P(1，2)，则(　　)
A．该双曲线的渐近线方程为y＝±x
B．过点(3，0)的直线与双曲线C交于A，B两点，若|AB|＝5，则满足的直线有1条
C．与双曲线C两支各有一个交点的直线的斜率可以是1.1
D．过点P能作4条仅与双曲线C有一个交点的直线
12．设双曲线＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
13．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且过点()．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值．
14．已知双曲线C的渐近线为4x±3y＝0，右焦点为F(5，0)，右顶点为A．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点(与点A不重合)，当·＝0时，求直线l的方程．
3/3第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用
[学习目标]　1．理解直线与双曲线的位置关系．(数学运算、直观想象)
2．会求解有关弦长问题．(数学运算、逻辑推理)
类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有哪几种位置关系？
[讨论交流]　
问题1．直线与双曲线只有1个交点，是不是直线与双曲线相切？
问题2．你了解双曲线的第二定义吗？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　双曲线定义及其应用
探究问题1　通过学习教材P125例5，你有什么发现？
[提示]　当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比值是常数且大于1时，点M的轨迹是双曲线．
[新知生成]
双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e＞1)时，这个点的轨迹是双曲线．
【教用·微提醒】　(1)定点和定直线是相对应的，如定点是右焦点，则定直线为x＝．
(2)距离比是离心率e，若e＞1，则点M的轨迹是双曲线，若0＜e＜1，则点M的轨迹是椭圆．
【链接·教材例题】
例5　动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
[解]　设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合P＝，
由此得＝．
将上式两边平方，并化简，得7x2－9y2＝63，即－＝1．
所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为2的双曲线(图3.2-11)．
[典例讲评]　1．已知动点M(x，y)到定点F(5，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
[解]　设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是点的集合P＝，
由此得＝．
将上式两边平方并化简，得9x2－16y2＝144，
即－＝1．
所以点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为8，虚轴长为6的双曲线．
[母题探究]　动点M(x，y)到定点F(2，0)的距离和它到定直线l：x＝8的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
[解]　设d是点M到直线l：x＝8的距离，
根据题意，动点M的轨迹就是点的集合P＝，
由此得＝，将上式两边平方并化简，得3x2＋4y2＝48，即＋＝1．
所以，点M的轨迹是焦点在x轴，长轴长为8、短轴长为4的椭圆．
　双曲线和椭圆有统一的定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝．当e＞1时，点M的轨迹是双曲线；当0＜e＜1时，这个点的轨迹是椭圆．
[学以致用]　1．双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离为3，则P到直线x＝的距离为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[由双曲线－＝1知a＝3，b＝2，c＝，
离心率e＝＝，右焦点为F(，0)，设P到x＝的距离为d，则＝e，
所以d＝＝＝＝．故选C．]
探究2　直线与双曲线的位置关系
探究问题2　类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？
[提示]　三种，分别为相交、相切、相离．
探究问题3　当直线与双曲线仅有一个公共点时，该直线与双曲线一定相切吗？
[提示]　不一定．当直线与渐近线平行时，仅有一个交点．
[新知生成]
直线与双曲线位置关系的判断
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，②
将①代入②，
得Ax2＋Bx＋C＝0．
a．当A＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．
b．当A≠0时．
①Δ＞0 直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交；
②Δ＝0 直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切；
③Δ＜0 直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离．
【教用·微提醒】　(1)相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交．
(2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行．
[典例讲评]　2．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
[解]　由得(1－k2)x2＋2kx－5＝0．①
(1)直线l与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的根．
∴
解得－＜k＜，且k≠±1，
∴实数k的取值范围为∪(－1，1)∪．
(2)直线l与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解．
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0．
得k＝±，
此时方程①有两个相同的实数解，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，
直线l与双曲线的渐近线平行，方程①化为2x＝5或－2x＝5，故方程①只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点．故当k＝±或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点．
(3)直线l与双曲线没有公共点，则①式方程无解．
∴解得k＞或k＜－．
则实数k的取值范围为∪．
　1．解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
2．双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
3．注意对直线的斜率是否存在进行讨论．
[学以致用]　2．已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k．
[解]　①当直线l的斜率不存在时，
l：x＝1与双曲线相切，符合题意．
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，
得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0．
当4－k2＝0，即k＝±2时，
l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝．
综上，k＝或k＝±2或k不存在时，直线l与双曲线只有一个公共点．
探究3　弦长公式及中点弦问题
【链接·教材例题】
例6　如图3.2-12，过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|．
[解]　由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)．
因为直线AB的倾斜角是30°，且经过右焦点F2，所以直线AB的方程为
y＝(x－3)．　　①
由消去y，得
5x2＋6x－27＝0．
解方程，得x1＝－3，x2＝．
将x1，x2的值分别代入①，得
y1＝－2，y2＝－．
于是，A，B两点的坐标分别为(－3，－2)，．
所以|AB|＝
＝
＝．
[典例讲评]　3．(1)已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A(2，3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(　　)
A．4x－3y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．3x－4y＋6＝0 D．x－y＋1＝0
(2)斜率为2的直线l与双曲线－＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为________．
(1)A　(2)y＝2x±　[(1)设弦的两端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝2，
两式相减，得2(x1－x2)·(x1＋x2)－(y1－y2)·(y1＋y2)＝0．
又x1＋x2＝4，y1＋y2＝6，
∴8(x1－x2)－6(y1－y2)＝0 kPQ＝，
因此直线PQ的方程为y－3＝(x－2)，
即4x－3y＋1＝0，经验证，直线4x－3y＋1＝0与双曲线相交．
因此符合题意的直线方程为4x－3y＋1＝0．故选A．
(2)设直线l的方程为y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝2x＋m代入双曲线的方程2x2－3y2－6＝0，得10x2＋12mx＋3m2＋6＝0，
由Δ＞0得m＜－或m＞．
故x1＋x2＝－m，①
x1x2＝．②
由已知，得|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋4)·[(x1＋x2)2－4x1x2]＝16，③
将①②代入③，解得m＝±，满足题意．
∴直线l的方程为y＝2x±．]
　双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围．
[学以致用]　3．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为的弦AB．求：
(1)AB的长；
(2)△F2AB的周长．
[解]　(1)∵双曲线的左焦点为F1(－2，0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线AB的方程可设为y＝(x＋2)，联立方程x2－＝1，得8x2－4x－13＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝＝×＝3．
(2)由于F2(2，0)，由(1)可知，不妨设x1＞x2，
则A，B，
则△F2AB的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝3＋＋＝3＋3．
1．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　)
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
A　[易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－22．设A，B为双曲线－＝1上的两点，若线段AB的中点为M(3，6)，则直线AB的方程是(　　)
A．x＋y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－y＋3＝0 D．x－2y＋3＝0
C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有两式相减，得＝，
因为线段AB的中点为M(3，6)，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝12，
因此由＝ ＝1，
即直线AB的斜率为1，方程为y－6＝x－3 x－y＋3＝0，经检验，该直线与双曲线交于两点，符合题意，故选C．]
3．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． B．2 C．6 D．4
D　[由题知双曲线的右焦点为F(2，0)，过点F且与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为y＝±x，将x＝2代入y＝±x得y＝±2＝4．]
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F．若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率e的取值范围是________．
[2，＋∞)　[由题意知≥，则≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2．]
1．知识链：(1)与双曲线有关的轨迹问题．(第二定义)
(2)直线与双曲线的位置关系．
(3)弦长与中点弦问题．
2．方法链：定义法、坐标法、点差法．
3．警示牌：判断直线与双曲线交点个数时，方程联立消元后，忽视对二次项系数讨论．代数计算中的运算失误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式与直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同，你能写出来吗？
[提示]　完全相同．直线y＝kx＋m与双曲线－＝1相交，其交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝．
2．直线与双曲线只有一个公共点，那么直线与双曲线一定相切吗？
[提示]　直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但直线与双曲线相交，不相切．
课时分层作业(三十一)　双曲线的标准方程及其性质的应用
一、选择题
1．已知双曲线方程为x2－＝1，过点P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有(　　)
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
B　[因为双曲线方程为x2－＝1，则P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条．]
2．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P为双曲线C上的动点，过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．直线
A　[如图，
点F2关于∠F1PF2的角平分线PQ的对称点M在PF1上，故|F1M|＝|PF1|－|PM|＝|PF1|－|PF2|＝2a，又OQ是△F2F1M的中位线，故|OQ|＝a，所以点Q的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆．故选A．]
3．直线l与双曲线x2－＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(3，2)，则直线l的斜率为(　　)
A．3 B．6 C．8 D．12
B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又线段AB的中点为M(3，2)，
则x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
则 (x1＋x2)(x1－x2)－＝0，
化简得·＝4 ＝4×＝4×＝6，
即kAB＝6．故选B．]
4．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，过其左焦点F(－，0)作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长|AB|＝(　　)
A．2 B．4 C．10 D．10
C　[因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，所以＝，即b＝a．
因为左焦点F(－，0)，
所以c＝，
所以c2＝a2＋b2＝3a2＝3，
所以a2＝1，b2＝2，
所以双曲线C的方程为x2－＝1，
直线l的方程为y＝2(x＋)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去y，可得x2＋4x＋7＝0，
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝7，
所以|AB|＝·
＝×＝×＝10．
故选C．]
5．已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
B　[由已知易得直线l的斜率k＝＝1，
设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则－＝1，①
－＝1，②
x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，
由①②得＝，从而＝1，
又因为a2＋b2＝c2＝9，
故a2＝4，b2＝5，
所以E的方程为－＝1．]
二、填空题
6．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．
2　[令x＝－c，得y2＝＝．
由题意得a＋c＝，即a2＋ac＝c2－a2，
∴－－2＝0，
∴＝2或＝－1(舍去)，即离心率为2．]
7．(2024·北京卷)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
　[由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±．]
8．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．
±1　[由消去y得x2－2mx－m2－2＝0．则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m)．
又点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1．]
三、解答题
9．已知双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，且经过点(3，－2)．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A，B两点，求弦长|AB|．
[解]　(1)因为双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，
所以可设双曲线的方程为2x2－y2＝λ(λ≠0)．
又因为双曲线经过点(3，－2)，代入方程可得λ＝6，
所以所求双曲线的方程为－＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题及(1)知，过右焦点F(3，0)且倾斜角为60°的直线方程为y＝(x－3)，
联立消去y，得x2－18x＋33＝0，因为Δ＞0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝18，x1x2＝33，所以|AB|＝＝·＝2＝16＝16．
10．斜率为2的直线l过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且与双曲线的两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(1，)
C．(1，) D．(，＋∞)
D　[设双曲线的右焦点为F，如图所示，
结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即b>2a，因此该双曲线的离心率e＝＝＝>＝．故选D．]
11．(多选)已知双曲线C：－＝1，点P(1，2)，则(　　)
A．该双曲线的渐近线方程为y＝±x
B．过点(3，0)的直线与双曲线C交于A，B两点，若|AB|＝5，则满足的直线有1条
C．与双曲线C两支各有一个交点的直线的斜率可以是1.1
D．过点P能作4条仅与双曲线C有一个交点的直线
ACD　[对于A，双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
对于B，由于双曲线的实轴长为2a＝4，c＝3，
所以过焦点F与左、右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4，＋∞)，
所以存在关于x轴对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，故B错误；
对于C，由于双曲线的渐近线的斜率为±，焦点在x轴上，
若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈，
因为1.1∈，故C正确；
对于D，由于点P(1，2)在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示：
故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切，故D正确．故选ACD．]
12．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
　[双曲线－＝1的右顶点A(3，0)，右焦点F(5，0)，渐近线方程为y＝±x．不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，
解得x＝，y＝－，
∴B．
∴S△AFB＝＝＝×(5－3)×＝．]
13．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且过点(－3，2)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值．
[解]　(1)由题意可知双曲线的焦点为(－2，0)和(2，0)，
根据定义有2a＝－＝2，
解得a＝1，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，c2＝4，b2＝3，
故所求双曲线C的方程为x2－＝1．
(2)因为双曲线C的方程为x2－＝1，所以其渐近线方程为y＝±x．
由消去y整理得(3－k2)x2－4kx－7＝0，
①当3－k2＝0，即k＝±时，此时直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点，符合题意；
②当3－k2≠0即k≠±时，由Δ＝(－4k)2＋4×7×(3－k2)＝0，解得k＝±，
此时直线l与双曲线相切，符合题意．
综上所述：符合题意的k的所有取值为±，±．
14．已知双曲线C的渐近线为4x±3y＝0，右焦点为F(5，0)，右顶点为A．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点(与点A不重合)，当＝0时，求直线l的方程．
[解]　(1)双曲线C的渐近线4x±3y＝0化为±＝0，
设双曲线C的方程为－＝λ(λ＞0)，
即－＝1，又双曲线C的右焦点为F(5，0)，则9λ＋16λ＝52，解得λ＝1，
∴双曲线C的标准方程为－＝1．
(2)由(1)知，A(3，0)，设直线l的方程为y＝x＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然m≠－3，
联立得7x2－18mx－(9m2＋144)＝0，
显然Δ＞0，x1＋x2＝，x1x2＝－，
而＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，
则＝(x1－3)(x2－3)＋(x1＋m)(x2＋m)
＝2x1x2＋(m－3)(x1＋x2)＋m2＋9
＝＋m2＋9＝0，
化简得7m2－54m－225＝0，
即(7m－75)(m＋3)＝0，
而m≠－3，解得m＝，
∴直线l的方程为y＝x＋，即7x－7y＋75＝0．
13/163.2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
[学习目标]　1．掌握双曲线的简单几何性质．(数学抽象、直观想象)
2．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(数学抽象)
[讨论交流]　
问题1．双曲线有哪些几何性质？
问题2．双曲线的离心率与双曲线的形状有怎样的联系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　双曲线的几何性质
探究问题1　已知双曲线C的方程为x2－＝1，根据这个方程完成下列任务：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称；
(3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；
(4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点．
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[新知生成]
1．双曲线的几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a，或x≤－a；y∈R ____________
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：____________，________
轴长 实轴长：2a；虚轴长：________
渐近线 y＝±x y＝________
离心率 e＝________，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c的关系 c2＝________(c>a>0，c>b>0)
2．等轴双曲线
实轴和虚轴________的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为________，离心率为________．
[典例讲评]　1．(源自湘教版教材)求双曲线＝1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率，并画出该双曲线的草图．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]　若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
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　由双曲线方程研究几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式，确定焦点位置，进而确定a，b的值是关键．
(2)由c2＝a2＋b2(易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆)求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长．
(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用．如过双曲线＝1的左焦点F1(－c，0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|＝．
[学以致用]　1．双曲线C：＝1与双曲线D：＝－1具有相同的(　　)
A．焦点　　　　 B．实轴长
C．离心率 D．渐近线
探究2　由双曲线的几何性质求标准方程
[典例讲评]　2．(1)与椭圆＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)求满足下列条件的双曲线的标准方程：
①双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4；
②双曲线E与双曲线＝1有共同的渐近线，并且经过点．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)与双曲线＝1或＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为＝λ(λ＞0)或＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
[学以致用]　2．求下列双曲线的方程．
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
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(2)过点(2，0)，与双曲线＝1的离心率相等．
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探究3　求双曲线的离心率
[典例讲评]　3．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，以F为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为A，B．若∠AFB＝60°，则该双曲线的离心率为(　　)
A．　 　B．　 　C．　 　D．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　结合椭圆离心率的求法，试总结双曲线离心率的求解方法．
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[学以致用]　3．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
1．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是(　　)
A．x2－＝1
B．y2－＝1
C．＝1，或＝1
D．x2－＝1，或y2－＝1
2．(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　)
A．实轴长为8 B．虚轴长为4
C．焦距为6 D．离心率为
3．如图，双曲线E：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与其右支交于P，Q两点，已知|PF1|＝2|PF2|且∠PF1F2＝∠F1QP，则双曲线E的离心率为(　　)
A．3 B．2 C． D．
4．请写出渐近线方程为y＝±x的一个双曲线方程________．
1．知识链：(1)双曲线的几何性质．
(2)等轴双曲线．
(3)双曲线的离心率．
2．方法链：待定系数法、直接法、方程法．
3．警示牌：由双曲线的几何性质求其方程时，对于焦点的位置应考虑全面．
6/6(共42张PPT)
第1课时　双曲线的简单几何性质
第三章　圆锥曲线的方程
3.2　双曲线
3.2.2　双曲线的简单几何性质
[学习目标]　1．掌握双曲线的简单几何性质．(数学抽象、直观想象)
2．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(数学抽象)
整体感知
(教师用书)
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质．
[讨论交流]　
问题1．双曲线有哪些几何性质？
问题2．双曲线的离心率与双曲线的形状有怎样的联系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　双曲线的几何性质
探究问题1　已知双曲线C的方程为x2－＝1，根据这个方程完成下列任务：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称；
(3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；
(4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点．
探究建构
[提示]　(1)|x|≥1，y∈R，双曲线C位于直线x＝－1及其左侧和直线x＝1及其右侧的区域；
(2)双曲线C关于x轴、y轴轴对称，关于原点中心对称；
(3)与x轴交于(±1，0)，与y轴无交点；
(4)|x|增大，|y|随着增大，随着|x|的增大，曲线无限接近y＝±2x．
[新知生成]
1．双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
性质 范围 x≥a，或x≤－a；y∈R ______________________
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：___________，
_________
轴长 实轴长：2a；虚轴长：_____
渐近线 y＝±x y＝_______
离心率 e＝___，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c的关系 c2＝_________ (c>a>0，c>b>0)
y≤－a，或y≥a；x∈R
A1(0，－a)
A2(0，a)
2b
±x
a2＋b2
2．等轴双曲线
实轴和虚轴____的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为_______，
离心率为____．
等长
y＝±x
【教用·微提醒】　对于双曲线－＝1：
(1)范围：说明双曲线位于直线x＝－a及其左侧和直线x＝a及其右侧的区域．
(2)顶点：是双曲线与实轴的交点，只有两个，与焦点在同一坐标轴上．线段A1A2叫双曲线的实轴，也存在着虚轴B1B2(并不虚)．
(3)离心率：e是表示双曲线的焦距与实轴长的比值．也可用e＝，e越大，双曲线“张口”越开阔．
(4)渐近线：是双曲线特有的性质，实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交．
双曲线－＝λ(λ≠0)的渐近线都是－＝0．
【链接·教材例题】
例3　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
[解]　把双曲线的方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1．
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0，5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x．
[典例讲评]　1．(源自湘教版教材)求双曲线－＝1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率，并画出该双曲线的
草图．
[解]　由双曲线方程可得实半轴长a＝3，虚半轴长b＝4，
c＝＝＝5，于是焦点坐标为(－5，0)，(5，0)．
渐近线方程为y＝±x＝±x，离心率e＝＝．
为画出双曲线的草图，在坐标系中画出渐近线y＝±x，顶点(±3，0)．算出双曲线在第一象限内一点的坐标，例如取x＝5，算出y＝≈5.33，可知点(5，±5.33)在双曲线上．将y轴右边已知的三点(5，5.33)，(3，0)，(5，－5.33)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，就画出了双曲线的一支．由对称性可画出位于y轴左边的另一支，如图所示．
[母题探究]　若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
[解]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x．
反思领悟　由双曲线方程研究几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式，确定焦点位置，进而确定a，b的值是关键．
(2)由c2＝a2＋b2(易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆)求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长．
(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用．
如过双曲线－＝1的左焦点F1(－c，0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|＝．
[学以致用]　1．双曲线C：－＝1与双曲线D：－＝－1具有相同的(　　)
A．焦点　　　B．实轴长　　　C．离心率　　　D．渐近线
D　[将双曲线D：－＝－1化为标准方程得D：－＝1，
对于双曲线C：－＝1，a2＝4，b2＝3，c2＝7，焦点坐标为(±，0)，实轴长为2a＝4，离心率为e＝，渐近线方程为y＝±x，
对于双曲线D：－＝1，a2＝3，b2＝4，c2＝7，焦点坐标为(0，±)，实轴长为2a＝2，离心率为e＝＝，渐近线方程为y＝±x，
故双曲线C：－＝1与双曲线D：－＝－1具有相同的渐近线．故选D．]
√
探究2　由双曲线的几何性质求标准方程
[典例讲评]　2．(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 　D．－＝1
(2)求满足下列条件的双曲线的标准方程：
①双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4；
②双曲线E与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(3，－2)．
√
(1)B　[∵椭圆＋＝1的焦点坐标为(±3，0)，
∴双曲线的焦点在x轴上，且c＝3，∵e＝，
∴a＝2，
∵c2＝a2＋b2，∴b2＝9－4＝5，
∴双曲线的方程为－＝1．故选B．]
(2)[解]　①已知双曲线C的焦点在y轴上，所以可设C的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
又C的渐近线方程为y＝±2x，所以±x＝±2x，即a＝2b，
由C的两顶点之间的距离为4，得2a＝4，所以a＝2，b＝1．
故双曲线C的标准方程为－x2＝1；
②因为双曲线E与双曲线－＝1有共同的渐近线，
所以可设双曲线E的方程为－＝k，k≠0，
因为双曲线E过点(3，－2)，则－＝k，解得k＝－2，
故双曲线E的标准方程为－＝1．
反思领悟　1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)与双曲线－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
[学以致用]　2．求下列双曲线的方程．
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)过点(2，0)，与双曲线－＝1的离心率相等．
[解]　(1)由题意设所求双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)
由解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1．
(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ＞0)，
将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝，
故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，
可设其方程为－＝λ(λ＞0)，
将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝－＜0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1．
探究3　求双曲线的离心率
[典例讲评]　3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，以F为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为A，B．若∠AFB＝60°，则该双曲线的离心率为(　　)
A．　　　B． 　　　　C．　　　D．
√
D　[如图．因为∠AFB＝60°，|FB|＝|FA|＝a，所以△AFB为正三角形，
所以F(c，0)到直线bx－ay＝0的距离为
|FH|＝，所以＝，
因为a2＋b2＝c2，所以b＝，
所以c2＝a2，所以e＝＝．
故选D．]
发现规律　结合椭圆离心率的求法，试总结双曲线离心率的求解方法．
[提示]　(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
【教用·备选题】　已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线E上一点，PF2⊥F1F2，∠F1PF2的平分线与x轴交于点Q，＝，则双曲线E的离心率为(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．
√
B　[作出图形，如图所示．
∵PF2⊥F1F2，∴＝＝，
即＝，在△PQF1，△PQF2中，
由正弦定理得＝，＝．
∵PQ平分∠F1PF2，∴∠QPF1＝∠QPF2，
即sin ∠QPF1＝sin ∠QPF2，
且sin ∠PQF1＝sin(π－∠PQF2)＝sin ∠PQF2，
故＝，则＝，∴＝＝，
又∵|PF2|＝＝|PF2|＋2a＝＋2a，∴＝，
整理得b2＝3a2，故c2－a2＝3a2，即c2＝4a2，
∴c＝2a，即e＝＝2．故选B．]
[学以致用]　3．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
　
　[由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1，
得y＝±，即A＝10，|AF2|＝＝5，
又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝．]
1．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是(　　)
A．x2－＝1 B．y2－＝1
C．－＝1，或－＝1 D．x2－＝1，或y2－＝1
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
D　[实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是x2－＝1或y2－＝1，故选D．]
2．(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　)
A．实轴长为8 B．虚轴长为4
C．焦距为6 D．离心率为
2
3
题号
1
4
√
ABD　[双曲线方程x2－8y2＝32化成标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为．]
√
√
3．如图，双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的
左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与其右
支交于P，Q两点，已知|PF1|＝2|PF2|且∠PF1F2
＝∠F1QP，则双曲线E的离心率为(　　)
A．3 　　　　B．2 　　　　C． 　　　　D．
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
B　[由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＝2|PF2|，
则|PF1|＝2|PF2|＝4a，已知∠PF1F2＝∠F1QP，又∠F1PF2＝∠QPF1，则△PF1F2∽△QPF1，则＝＝，
即|PQ|＝8a，|QF2|＝6a，|QF1|＝8a，|F1F2|＝4a，
则e＝＝＝2．
故选B．]
4．请写出渐近线方程为y＝±x的一个双曲线方程__________
____________．
2
4
3
题号
1
x2－＝1(答案不唯一)　[不妨设双曲线的焦点在x轴上，由渐近线方程为y＝±x，得＝，
取a＝1，得b＝．
∴双曲线方程为x2－＝1．]
x2－＝1
(答案不唯一)
1．知识链：(1)双曲线的几何性质．
(2)等轴双曲线．
(3)双曲线的离心率．
2．方法链：待定系数法、直接法、方程法．
3．警示牌：由双曲线的几何性质求其方程时，对于焦点的位置应考虑全面．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何根据双曲线的方程研究其几何性质？
[提示]　(1)把双曲线方程化为标准形式；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
2．离心率e和有怎样的关系？
[提示]　e2＝1＋．
3．如何用待定系数法设出与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程？
[提示]　可设为－＝λ(λ≠0)．
课时分层作业(三十)
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双曲线的简单几何性质
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS课时分层作业(三十)　双曲线的简单几何性质
一、选择题
1．与双曲线C：－y2＝1共渐近线，且经过点()的双曲线的标准方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
2．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．
3．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±y＝0 D．2x±y＝0
4．已知F1，F2分别是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若∠F1PF2＝ac，则双曲线C的离心率为(　　)
A．　　　B．－1　　　C．　　　D．2
5．(多选)已知点F1，F2是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线C位于第一象限内一点，若·＝0，＝则下列结论正确的是(　　)
A．△PF1F2的面积为a2
B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为x±2y＝0
D．若双曲线C的焦距为2，则双曲线C的方程为x2－＝1
二、填空题
6．离心率为的双曲线与椭圆＝1的焦点相同，则双曲线方程是________．
7．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，以OF为直径的圆与双曲线C的渐近线交于不同于原点O的A，B两点．若四边形AOBF的面积为(a2＋b2)，则双曲线C的渐近线方程为________．
8．已知双曲线＝1(a＞－2)的离心率为2，则a＝________．
三、解答题
9．求中心在原点，适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点在x轴上，两顶点间的距离是10，且经过点(10，3)；
(2)一个焦点坐标为(5，0)，一条渐近线方程为3x－4y＝0．
10．已知双曲线C：()，M()是直线bx－ay＋4a＝0上任意一点，若圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝8与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)
A． B．(1，2]
C．(2，＋∞) D．
11．(多选)已知双曲线M：＝1(a＞b＞0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是(　　)
A．M的离心率为
B．M的标准方程为－y2＝1
C．M的渐近线方程为y＝±x
D．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点
12．(多选)已知双曲线C：＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝点P是C上一点，则(　　)
A．C的离心率为
B．若PF1⊥x轴，则|PF1|＝8
C．若|PF1|＝2|PF2|，则|PO|＝(其中O为坐标原点)
D．点P到C的两条渐近线的距离之积为
13．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，渐近线在第一象限的部分上存在一点P，且|OP|＝，则该双曲线的离心率为________．
14．已知F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．
15．已知F1，F2是双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，F1关于双曲线的渐近线的对称点在以F2为圆心，4b为半径的圆上，则双曲线的离心率e＝________．
1/33.2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
[学习目标]　1．掌握双曲线的简单几何性质．(数学抽象、直观想象)
2．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(数学抽象)
(教师用书)
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质．
[讨论交流]　
问题1．双曲线有哪些几何性质？
问题2．双曲线的离心率与双曲线的形状有怎样的联系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　双曲线的几何性质
探究问题1　已知双曲线C的方程为x2－＝1，根据这个方程完成下列任务：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称；
(3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；
(4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点．
[提示]　(1)|x|≥1，y∈R，双曲线C位于直线x＝－1及其左侧和直线x＝1及其右侧的区域；
(2)双曲线C关于x轴、y轴轴对称，关于原点中心对称；
(3)与x轴交于(±1，0)，与y轴无交点；
(4)|x|增大，|y|随着增大，随着|x|的增大，曲线无限接近y＝±2x．
[新知生成]
1．双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a，或x≤－a；y∈R y≤－a，或y≥a；x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
轴长 实轴长：2a；虚轴长：2b
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
2．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为．
【教用·微提醒】　对于双曲线－＝1：
(1)范围：说明双曲线位于直线x＝－a及其左侧和直线x＝a及其右侧的区域．
(2)顶点：是双曲线与实轴的交点，只有两个，与焦点在同一坐标轴上．线段A1A2叫双曲线的实轴，也存在着虚轴B1B2(并不虚)．
(3)离心率：e是表示双曲线的焦距与实轴长的比值．也可用e＝，e越大，双曲线“张口”越开阔．
(4)渐近线：是双曲线特有的性质，实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交．
双曲线－＝λ(λ≠0)的渐近线都是－＝0．
【链接·教材例题】
例3　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
[解]　把双曲线的方程9y2－16x2＝144化为标准方程
－＝1．
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0，5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x．
[典例讲评]　1．(源自湘教版教材)求双曲线－＝1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率，并画出该双曲线的草图．
[解]　由双曲线方程可得实半轴长a＝3，虚半轴长b＝4，
c＝＝＝5，于是焦点坐标为(－5，0)，(5，0)．
渐近线方程为y＝±x＝±x，离心率e＝＝．
为画出双曲线的草图，在坐标系中画出渐近线y＝±x，顶点(±3，0)．算出双曲线在第一象限内一点的坐标，例如取x＝5，算出y＝≈5.33，可知点(5，±5.33)在双曲线上．将y轴右边已知的三点(5，5.33)，(3，0)，(5，－5.33)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，就画出了双曲线的一支．由对称性可画出位于y轴左边的另一支，如图所示．
[母题探究]　若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
[解]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝±x，
即y＝±x．
　由双曲线方程研究几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式，确定焦点位置，进而确定a，b的值是关键．
(2)由c2＝a2＋b2(易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆)求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长．
(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用．
如过双曲线－＝1的左焦点F1(－c，0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|＝．
[学以致用]　1．双曲线C：－＝1与双曲线D：－＝－1具有相同的(　　)
A．焦点　　　B．实轴长　　　C．离心率　　　D．渐近线
D　[将双曲线D：－＝－1化为标准方程得D：－＝1，
对于双曲线C：－＝1，a2＝4，b2＝3，c2＝7，焦点坐标为(±，0)，实轴长为2a＝4，离心率为e＝，渐近线方程为y＝±x，
对于双曲线D：－＝1，a2＝3，b2＝4，c2＝7，焦点坐标为(0，±)，实轴长为2a＝2，离心率为e＝＝，渐近线方程为y＝±x，
故双曲线C：－＝1与双曲线D：－＝－1具有相同的渐近线．故选D．]
探究2　由双曲线的几何性质求标准方程
[典例讲评]　2．(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
(2)求满足下列条件的双曲线的标准方程：
①双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4；
②双曲线E与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(3，－2)．
(1)B　[∵椭圆＋＝1的焦点坐标为(±3，0)，
∴双曲线的焦点在x轴上，且c＝3，
∵e＝，
∴a＝2，
∵c2＝a2＋b2，
∴b2＝9－4＝5，
∴双曲线的方程为－＝1．
故选B．]
(2)[解]　①已知双曲线C的焦点在y轴上，所以可设C的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
又C的渐近线方程为y＝±2x，所以±x＝±2x，即a＝2b，
由C的两顶点之间的距离为4，得2a＝4，所以a＝2，b＝1．
故双曲线C的标准方程为－x2＝1；
②因为双曲线E与双曲线－＝1有共同的渐近线，
所以可设双曲线E的方程为－＝k，k≠0，
因为双曲线E过点(3，－2)，则－＝k，解得k＝－2，
故双曲线E的标准方程为－＝1．
　1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)与双曲线－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
[学以致用]　2．求下列双曲线的方程．
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)过点(2，0)，与双曲线－＝1的离心率相等．
[解]　(1)由题意设所求双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)
由解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1．
(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ＞0)，
将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝，
故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，
可设其方程为－＝λ(λ＞0)，
将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝－＜0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1．
探究3　求双曲线的离心率
[典例讲评]　3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，以F为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为A，B．若∠AFB＝60°，则该双曲线的离心率为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
D　[如图．因为∠AFB＝60°，|FB|＝|FA|＝a，所以△AFB为正三角形，
所以F(c，0)到直线bx－ay＝0的距离为|FH|＝，所以＝，
因为a2＋b2＝c2，所以b＝，所以c2＝a2，所以e＝＝．
故选D．]
　结合椭圆离心率的求法，试总结双曲线离心率的求解方法．
[提示]　(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
【教用·备选题】　已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线E上一点，PF2⊥F1F2，∠F1PF2的平分线与x轴交于点Q，＝，则双曲线E的离心率为(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．
B　[作出图形，如图所示．
∵PF2⊥F1F2，∴＝＝，即＝，在△PQF1，△PQF2中，由正弦定理得＝，＝．
∵PQ平分∠F1PF2，∴∠QPF1＝∠QPF2，即sin ∠QPF1＝sin ∠QPF2，
且sin ∠PQF1＝sin(π－∠PQF2)＝sin ∠PQF2，
故＝，则＝，∴＝＝，
又∵|PF2|＝＝|PF2|＋2a＝＋2a，∴＝，整理得b2＝3a2，故c2－a2＝3a2，即c2＝4a2，
∴c＝2a，即e＝＝2．故选B．]
[学以致用]　3．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
　[由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1，
得y＝±，即A＝10，|AF2|＝＝5，
又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝．]
1．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是(　　)
A．x2－＝1
B．y2－＝1
C．－＝1，或－＝1
D．x2－＝1，或y2－＝1
D　[实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是x2－＝1或y2－＝1，
故选D．]
2．(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　)
A．实轴长为8 B．虚轴长为4
C．焦距为6 D．离心率为
ABD　[双曲线方程x2－8y2＝32化成标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为．]
3．如图，双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与其右支交于P，Q两点，已知|PF1|＝2|PF2|且∠PF1F2＝∠F1QP，则双曲线E的离心率为(　　)
A．3 B．2 C． D．
B　[由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＝2|PF2|，
则|PF1|＝2|PF2|＝4a，已知∠PF1F2＝∠F1QP，又∠F1PF2＝∠QPF1，
则△PF1F2∽△QPF1，
则＝＝，
即|PQ|＝8a，|QF2|＝6a，|QF1|＝8a，|F1F2|＝4a，则e＝＝＝2．
故选B．]
4．请写出渐近线方程为y＝±x的一个双曲线方程________．
x2－＝1(答案不唯一)　[不妨设双曲线的焦点在x轴上，由渐近线方程为y＝±x，得＝，
取a＝1，得b＝．
∴双曲线方程为x2－＝1．]
1．知识链：(1)双曲线的几何性质．
(2)等轴双曲线．
(3)双曲线的离心率．
2．方法链：待定系数法、直接法、方程法．
3．警示牌：由双曲线的几何性质求其方程时，对于焦点的位置应考虑全面．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何根据双曲线的方程研究其几何性质？
[提示]　(1)把双曲线方程化为标准形式；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
2．离心率e和有怎样的关系？
[提示]　e2＝1＋．
3．如何用待定系数法设出与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程？
[提示]　可设为－＝λ(λ≠0)．
课时分层作业(三十)　双曲线的简单几何性质
一、选择题
1．与双曲线C：－y2＝1共渐近线，且经过点(2，)的双曲线的标准方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
D　[根据题意，设要求的双曲线方程为－y2＝t(t≠0)，
又由双曲线经过点(2，)，则－6＝t，解可得t＝－2，
则要求的双曲线的标准方程为－＝1．
故选D．]
2．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．
C　[设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，
则|F1F2|＝2c＝8，
|PF1|＝＝10，
|PF2|＝＝6，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，
则e＝＝2．
故选C．]
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±y＝0 D．2x±y＝0
C　[∵双曲线的方程是－＝1(a＞0，b＞0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．
又∵离心率为e＝＝2，
∴c＝2a，
∴b＝＝a，
由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0，故选C．]
4．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若∠F1PF2＝＝ac，则双曲线C的离心率为(　　)
A． B．－1 C． D．2
A　[设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则＝mn·sin 60°＝ac，
∴mn＝4ac，由余弦定理可得|F1F2|2＝4c2＝m2＋n2－mn＝(m－n)2＋mn，
由双曲线的定义可知m－n＝2a，∴4c2＝4a2＋4ac，即c2－a2＝ac，
∴e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍)．故选A．]
5．(多选)已知点F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线C位于第一象限内一点，若PF1·PF2＝0，|PF1|＝2|PF2|，则下列结论正确的是(　　)
A．△PF1F2的面积为a2
B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为x±2y＝0
D．若双曲线C的焦距为2，则双曲线C的方程为x2－＝1
BD　[对于A，由定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又∵|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
由已知∠F1PF2＝90°，可得△PF1F2的面积为＝×4a×2a＝4a2，故A错误；对于B，由勾股定理得(2a)2＋(4a)2＝(2c)2，即5a2＝c2，
∴e＝＝＝，故B正确；对于C，∵b2＝c2－a2＝4a2，∴＝4，即＝2，
∴双曲线C的渐近线方程为2x±y＝0，故C错误；
对于D，由双曲线C的焦距为2，得c＝，从而a2＝1，b2＝4，
∴双曲线C的方程为x2－＝1，故D正确．故选BD．]
二、填空题
6．离心率为的双曲线与椭圆＋＝1的焦点相同，则双曲线方程是________．
－＝1　[由题知在椭圆中c2＝40－15＝25，
∴焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，
∴双曲线中，焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，c＝5，
∵e＝＝，∴a＝3，a2＝9，b2＝c2－a2＝16．
故双曲线的方程为－＝1．]
7．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，以OF为直径的圆与双曲线C的渐近线交于不同于原点O的A，B两点．若四边形AOBF的面积为(a2＋b2)，则双曲线C的渐近线方程为________．
y＝±x　[由题意得OA⊥AF，双曲线C的焦点F到C的渐近线y＝±x的距离为＝b，则|AF|＝b，∴|OA|＝a，即ab＝(a2＋b2)，∴＝1，
故双曲线C的渐近线方程为y＝±x．]
8．已知双曲线－＝1(a＞－2)的离心率为2，则a＝________．
－1　[由a＞－2，可得a＋2＞0，又由离心率为2，
可得e2＝＝4，解得a＝－1．]
三、解答题
9．求中心在原点，适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点在x轴上，两顶点间的距离是10，且经过点(10，3)；
(2)一个焦点坐标为(5，0)，一条渐近线方程为3x－4y＝0．
[解]　(1)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为两顶点间的距离是10，且经过点(10，3)，
则解得则双曲线的标准方程为－＝1．
(2)因为一个焦点坐标为(5，0)，可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，且c＝5，
由一条渐近线方程为3x－4y＝0，可得y＝x，则＝，
设a＝4k，b＝3k，k＞0，则c2＝a2＋b2 52＝(4k)2＋(3k)2，解得k＝1，
则a＝4，b＝3，所以双曲线的标准方程为－＝1．
10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，M(x0，y0)是直线bx－ay＋4a＝0上任意一点，若圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝8与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)
A．(1，] B．(1，2]
C．(2，＋∞) D．[，＋∞)
A　[双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，
∵M(x0，y0)是直线bx－ay＋4a＝0上任意一点，
则直线bx－ay＋4a＝0与直线bx－ay＝0间的距离d＝＝，
∵圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝8与双曲线C的右支没有公共点，
∴d≥2，则≥2，即e＝≤，又e＞1，
故e的取值范围为(1，]．故选A．]
11．(多选)已知双曲线M：－＝1(a＞b＞0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是(　　)
A．M的离心率为
B．M的标准方程为－y2＝1
C．M的渐近线方程为y＝±x
D．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点
AD　[已知双曲线M的方程为－＝1(a＞b＞0)，
则双曲线M的渐近线方程为y＝±x，又双曲线M的两条渐近线的夹角为60°，
则＝或＝，又a＞b＞0，双曲线M的焦距为4，
则即对于选项A，M的离心率为＝＝，
即选项A正确；
对于选项B，双曲线M的标准方程为－y2＝1，
即选项B错误；
对于选项C，M的渐近线方程为y＝±x，
即选项C错误；
对于选项D，直线x＋y－2＝0经过点(2，0)，
则直线x＋y－2＝0经过M的右焦点，即选项D正确．故选AD．]
12．(多选)已知双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P是C上一点，则(　　)
A．C的离心率为
B．若PF1⊥x轴，则|PF1|＝8
C．若|PF1|＝2|PF2|，则|PO|＝(其中O为坐标原点)
D．点P到C的两条渐近线的距离之积为
ACD　[已知双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，
又|F1F2|＝2，所以a2＋a2＋3＝5，解得a2＝1，故双曲线C：x2－＝1．
对于A，双曲线C的离心率e＝＝＝，故A正确；
对于B，由题可得F1(－，0)，又PF1⊥x轴，所以xP＝－，
则5－＝1，解得yP＝±4，所以|PF1|＝4，故B错误；
对于C，因为|PF1|＝2|PF2|，且|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，
所以|PO|＝＝，故C正确；对于D，设P(x0，y0)，
则－＝1，因为双曲线C的渐近线方程为x－＝0或x＋＝0，
所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为·＝＝，故D正确．故选ACD．]
13．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，渐近线在第一象限的部分上存在一点P，且|OP|＝，则该双曲线的离心率为________．
2　[由双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，可得渐近线方程为y＝±x，
设点P的坐标为＝＋＝c2，
解得＝a2，即x0＝a，所以点P的坐标为(a，b)，
又因为直线PF1的斜率为，所以＝，可得b＝a＋c，
两边平方得3b2＝a2＋c2＋2ac，即c2－ac－2a2＝0，
两边同时除以a2，可得e2－e－2＝0，即(e－2)(e＋1)＝0，
解得e＝2或e＝－1(舍去)．]
14．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．
[解]　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|，
所以＝＝≥8a，当且仅当＝|PF2|，
即|PF2|＝2a时取等号，
所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a，
因为|PF1|－|PF2|＝2a<2c，|PF1|＋|PF2|＝6a≥2c，所以1<≤3，
所以e∈(1，3]．
15．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，F1关于双曲线的渐近线的对称点在以F2为圆心，4b为半径的圆上，则双曲线的离心率e＝________．
　[不妨取双曲线的一支渐近线y＝x．设点F1关于渐近线y＝x的对称点为点G，
且y＝x与直线F1G交于点H，则OH为线段F1G的中垂线，
所以|OF1|＝|OG|＝|OF2|＝c，设渐近线y＝x的倾斜角为θ，则∠F1OH＝∠GOH＝θ，则∠GOF2＝π－2θ，由点G在以F2为圆心，4b为半径的圆上，则|F2G|＝4b，
所以在△GOF2中，由余弦定理的推论得cos (π－2θ)＝＝1－，
又cos(π－2θ)＝－cos 2θ＝1－2cos2θ，所以1－2cos2θ＝1－，得cos2θ＝，
又tan θ＝ ，则cos θ＝＝，则cos2θ＝，所以＝，
得4b2＝a2，所以e2＝＝＝，得e＝．]
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