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(共46张PPT)
3.3.1　抛物线及其标准方程
第三章　圆锥曲线的方程
3.3　抛物线
[学习目标]　1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(数学抽象)
2．会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题．(数学运算、数学建模)
整体感知
(教师用书)
抛物线这个几何对象，我们并不陌生．
例如，从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓球，其运动轨迹是抛物线的一部分，如图所示，二次函数的图象是一条抛物线，等等．
到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？
[讨论交流]　
问题1．选择不同的坐标系，就得到了不同形式的标准方程，抛物线的标准方程有几种形式？
问题2．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象为什么是抛物线？它的焦点坐标和准线方程分别是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　抛物线的定义
探究问题1　如图，把一根直尺固定在画板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AB的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在画板上的F处，用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔尖就描出了一条曲线．在作图的过程中，你能发现点P满足的条件吗？它的轨迹是什么
形状？
探究建构
[提示]　点P运动的过程中，始终有|PF|＝|PB|，即点P与定点F的距离等于它到直线l的距离，点P的轨迹是抛物线．
[新知生成]
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离____的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的____，直线l叫做抛物线的____．
【教用·微提醒】　(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)．
(2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
相等
焦点
准线
[学以致用]　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(3)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(4)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线． (　　)
√
×
√
×
探究2　抛物线的标准方程
探究问题2　如图，已知抛物线的焦点F到准线l的距离为p(p＞0)，试建立适当的平面直角坐标系，使得到的抛物线方程最为简单，并写出此方程．
[提示]　取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与准线l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
则|KF|＝p，焦点F，准线l的方程为x＝－．
设点M(x，y)是抛物线上的任意一点，
点M到准线l的距离为d．
由抛物线的定义可知，抛物线上的点M满足|MF|＝d．
因为|MF|＝，d＝，
所以＝．
将上式两边平方并化简，得
y2＝2px(p＞0)，①
这说明抛物线上的任意一点的坐标都满足方程①；反之，可以证明，以方程①的解为坐标的点都在抛物线上．所以方程①就是抛物线的方程，且最为简单．
[新知生成]
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
_____________ __________ ________
______________ __________ _______
y2＝2px( p>0)
F
x＝－
y2＝－2px( p>0)
F
x＝
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
_____________ _________ ________
______________ __________ _______
x2＝2py( p>0)
F
y＝－
x2＝－2py( p>0)
F
y＝
【教用·微提醒】　(1)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．
(2)标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式．
(3)抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离．
(4)焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
【链接·教材例题】
例1　(1)已知抛物线的标准方程是y2＝6x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点是F(0，－2)，求它的标准方程．
[解]　(1)因为p＝3，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是x＝－．
(2)因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且＝2，p＝4，所以抛物线的标准方程是x2＝－8y．
[典例讲评]　1．(1)已知实数x，y满足＝，其
中常数p＞0，则动点P(x，y)的轨迹是(　　)
A．射线　　B．直线　　C．抛物线　　D．椭圆
(2)试求满足下列条件的抛物线的标准方程：
①过点(－3，2)；
②焦点在直线x－2y－4＝0上．
√
(1)C　[因为＝表示动点P(x，y)到定点F的距离与到定直线l：y＝－的距离相等，且点F不在直线l上，所以由抛物线的定义知动点P(x，y)的轨迹为抛物线．故选C．]
(2)[解]　①因为点(－3，2)在第二象限，
所以抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，
把点(－3，2)的坐标分别代入y2＝－2px(p＞0)和x2＝2py(p＞0)，得4＝－2p×(－3)或9＝2p×2，
即2p＝或2p＝．
所以所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y．
②令x＝0，解得y＝－2；令y＝0，解得x＝4．
故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．
当焦点为(4，0)时，＝4，即2p＝16，
此时抛物线方程为y2＝16x．
当焦点为(0，－2)时，＝2，即2p＝8，
此时抛物线方程为x2＝－8y．
故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y．
反思领悟　
1．抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．
2．求抛物线标准方程时应注意的问题
(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系．
(2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数．
(3)注意p的几何意义．
[学以致用]　2．(1)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝_____，准线方程为________．
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为_____________________．
(1)2　x＝－1　(2)x2＝10y，x2＝－10y　[(1)因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，解得p＝2，准线方程为x＝－＝－1．
(2)设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y，x2＝－10y．]
2　
x＝－1
x2＝10y，x2＝－10y
探究3　抛物线定义的应用
[典例讲评]　2．(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
√
(1)A　[由题意知抛物线的准线为x＝－．因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A．]
(2)[解]　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝＝．
[母题探究]
1．若将本例(2)中的“点(0，2)”改为“点A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值．
[解]　将x＝3代入y2＝2x，得y＝±．
所以点A在抛物线y2＝2x的内部．
设点P为其上一点，点P到准线(设为l )x＝－的距离为d，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d．
由图可知，当PA⊥l时，．
即．
2．若将本例(2)中的“点(0，2)”换成“直线l1：3x－4y＋＝0”，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
[解]　如图，作PA1⊥l1于点A1，PQ垂直于准线l于点Q，|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min．
|A1F|＝0的距离d＝＝1．即所求最小值为1．
反思领悟　抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
[学以致用]　3．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为(　　)
A．6 　　　　B．9 　　　　C．12 　　　　D．14
C　[如图所示，
过点A，M，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，M′，D，由抛物线的定义，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，因为点M为AB的中点，且|MM′|＝6，所以|AC|＋|BD|＝12，即|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝12．]
√
探究4　抛物线的实际应用
【链接·教材例题】
例2　一种卫星接收天线如图3.3-3左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图3.3-3(1)．已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为
1 m．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
[解]　如图3.3-3(2)，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，焦点在x轴上．
设抛物线的标准方程是y2＝2px(p＞0)．由已知条件得，点A的坐标是(1，2.4)，代入方程，得2.42＝2p×1，即p＝2.88．
所以，所求抛物线的标准方程是y2＝5.76x，焦点坐标是(1.44，0)．
[典例讲评]　3．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m，已知行车道总宽度AB＝6 m，那么车辆通过隧道的限制高度为(　　)
A．2.25 m 　　　B．2.5 m 　　　C．3.25 m　　　　D．3.5 m
√
C　[取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，
则C(4，－4)，
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，将点C代入抛物线方程得p＝2，∴抛物线方程为x2＝－4y，行车道总宽度AB＝6 m，∴将x＝3代入抛物线方程，得y＝－2.25 m，∴限高为6－2.25－0.5＝3.25(m)．故选C．]
反思领悟　求解抛物线实际应用题的步骤
【教用·备选题】　某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面
4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装
1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
[解]　如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，
所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p＞0)，
则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，所以抛物线方程为x2＝－50y，
即y＝－x2．
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，y＝－×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过，点B(8，－1.28)，
此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
[学以致用]　4．如图，某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
√
A　[如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系Oxy．设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，结合题意可知，该抛物线经过点，则＝2hp，解得p＝，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p＝．]
1．抛物线y2＝－4x的焦点到点A(3，－2)的距离为(　　)
A．2 　　　　B． 　　　　C．2 　　　　D．3
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
C　[抛物线y2＝－4x的焦点F(－1，0)，
则|FA|＝＝2．故选C．]
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，则抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(0，1) 　　　B．(0，2) 　　　C．(1，0) 　　　D．(2，0)
2
3
题号
1
4
√
C　[因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为，准线为x＝－，
由题意可知－＝p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．
故选C．]
3．已知点P是抛物线y2＝－4x上的一个动点，则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)
A．3 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
2
3
题号
4
1
√
C　[依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F．
∵抛物线y2＝－4x，∴F(－1，0)，
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，
则点P到点M(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PM|≥|MF|＝＝．故选C．]
4．若抛物线x2＝28y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0＝____．
2
4
3
题号
1
　[由题知：p＝14，故由焦半径公式得：y0＋＝3y0 y0＝．]
　
1．知识链：(1)抛物线的定义．
(2)抛物线的标准方程的四种形式．
(3)抛物线定义的应用．
(4)抛物线的实际应用．
2．方法链：待定系数法、定义法、数形结合．
3．警示牌：求抛物线的方程时不要混淆抛物线的焦点位置和方程形式．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．抛物线是如何定义的？试写出其标准方程．
[提示]　把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
焦点在x轴上的抛物线标准方程为y2＝±2px(p>0)，
焦点在y轴上的抛物线标准方程为x2＝±2py(p>0)．
2．当抛物线的焦点位置不确定时，如何设抛物线方程？
[提示]　可设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)．
课时分层作业(三十二)
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抛物线及其标准方程
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS3.3　抛物线
3.3.1　抛物线及其标准方程
[学习目标]　1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(数学抽象)
2．会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题．(数学运算、数学建模)
(教师用书)
抛物线这个几何对象，我们并不陌生．
例如，从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓球，其运动轨迹是抛物线的一部分，如图所示，二次函数的图象是一条抛物线，等等．
到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？
[讨论交流]　
问题1．选择不同的坐标系，就得到了不同形式的标准方程，抛物线的标准方程有几种形式？
问题2．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象为什么是抛物线？它的焦点坐标和准线方程分别是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　抛物线的定义
探究问题1　如图，把一根直尺固定在画板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AB的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在画板上的F处，用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔尖就描出了一条曲线．在作图的过程中，你能发现点P满足的条件吗？它的轨迹是什么形状？
[提示]　点P运动的过程中，始终有|PF|＝|PB|，即点P与定点F的距离等于它到直线l的距离，点P的轨迹是抛物线．
[新知生成]
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
【教用·微提醒】　(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)．
(2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
[学以致用]　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(3)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(4)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
探究2　抛物线的标准方程
探究问题2　如图，已知抛物线的焦点F到准线l的距离为p(p＞0)，试建立适当的平面直角坐标系，使得到的抛物线方程最为简单，并写出此方程．
[提示]　取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与准线l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
则|KF|＝p，焦点F，准线l的方程为x＝－．
设点M(x，y)是抛物线上的任意一点，点M到准线l的距离为d．
由抛物线的定义可知，抛物线上的点M满足|MF|＝d．
因为|MF|＝，d＝，
所以＝．
将上式两边平方并化简，得
y2＝2px(p＞0)，①
这说明抛物线上的任意一点的坐标都满足方程①；反之，可以证明，以方程①的解为坐标的点都在抛物线上．所以方程①就是抛物线的方程，且最为简单．
[新知生成]
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) F x＝－
y2＝－2px(p>0) F x＝
x2＝2py(p>0) F y＝－
x2＝－2py(p>0) F y＝
【教用·微提醒】　(1)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．
(2)标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式．
(3)抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离．
(4)焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
【链接·教材例题】
例1　(1)已知抛物线的标准方程是y2＝6x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点是F(0，－2)，求它的标准方程．
[解]　(1)因为p＝3，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是x＝－．
(2)因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且＝2，p＝4，所以抛物线的标准方程是x2＝－8y．
[典例讲评]　1．(1)已知实数x，y满足＝，其中常数p＞0，则动点P(x，y)的轨迹是(　　)
A．射线　　B．直线　　C．抛物线　　D．椭圆
(2)试求满足下列条件的抛物线的标准方程：
①过点(－3，2)；
②焦点在直线x－2y－4＝0上．
(1)C　[因为＝表示动点P(x，y)到定点F的距离与到定直线l：y＝－的距离相等，且点F不在直线l上，所以由抛物线的定义知动点P(x，y)的轨迹为抛物线．故选C．]
(2)[解]　①因为点(－3，2)在第二象限，
所以抛物线的标准方程可设为
y2＝－2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，
把点(－3，2)的坐标分别代入y2＝－2px(p＞0)和x2＝2py(p＞0)，得4＝－2p×(－3)或9＝2p×2，
即2p＝或2p＝．
所以所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y．
②令x＝0，解得y＝－2；
令y＝0，解得x＝4．
故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．
当焦点为(4，0)时，＝4，即2p＝16，
此时抛物线方程为y2＝16x．
当焦点为(0，－2)时，＝2，即2p＝8，
此时抛物线方程为x2＝－8y．
故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y．
　
1．抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．
2．求抛物线标准方程时应注意的问题
(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系．
(2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数．
(3)注意p的几何意义．
[学以致用]　2．(1)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝________，准线方程为________．
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为________．
(1)2　x＝－1　(2)x2＝10y，x2＝－10y　[(1)因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，解得p＝2，准线方程为x＝－＝－1．
(2)设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y，x2＝－10y．]
探究3　抛物线定义的应用
[典例讲评]　2．(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
(1)A　[由题意知抛物线的准线为x＝－．因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A．]
(2)[解]　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝＝．
[母题探究]
1．若将本例(2)中的“点(0，2)”改为“点A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值．
[解]　将x＝3代入y2＝2x，
得y＝±．
所以点A在抛物线y2＝2x的内部．
设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d．
由图可知，当PA⊥l时，．
即．
2．若将本例(2)中的“点(0，2)”换成“直线l1：3x－4y＋＝0”，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
[解]　如图，作PA1⊥l1于点A1，PQ垂直于准线l于点Q，|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min．
＝0的距离d＝＝1．即所求最小值为1．
　抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
[学以致用]　3．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．14
C　[如图所示，
过点A，M，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，M′，D，由抛物线的定义，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，因为点M为AB的中点，且|MM′|＝6，所以|AC|＋|BD|＝12，即|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝12．]
探究4　抛物线的实际应用
【链接·教材例题】
例2　一种卫星接收天线如图3.3-3左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图3.3-3(1)．已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为1 m．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
[解]　如图3.3-3(2)，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，焦点在x轴上．
设抛物线的标准方程是y2＝2px(p＞0)．由已知条件得，点A的坐标是(1，2.4)，代入方程，得2.42＝2p×1，
即p＝2.88．
所以，所求抛物线的标准方程是y2＝5.76x，焦点坐标是(1.44，0)．
[典例讲评]　3．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m，已知行车道总宽度AB＝6 m，那么车辆通过隧道的限制高度为(　　)
A．2.25 m B．2.5 m C．3.25 m D．3.5 m
C　[取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则C(4，－4)，
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，将点C代入抛物线方程得p＝2，∴抛物线方程为x2＝－4y，行车道总宽度AB＝6 m，∴将x＝3代入抛物线方程，得y＝－2.25 m，∴限高为6－2.25－0.5＝3.25(m)．故选C．]
　求解抛物线实际应用题的步骤
【教用·备选题】　某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
[解]　如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p＞0)，
则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2．
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，y＝－×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过，点B(8，－1.28)，
此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
[学以致用]　4．如图，某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A． B． C． D．
A　[如图所示，
以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系Oxy．设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，结合题意可知，该抛物线经过点，则＝2hp，解得p＝，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p＝．]
1．抛物线y2＝－4x的焦点到点A(3，－2)的距离为(　　)
A．2 B． C．2 D．3
C　[抛物线y2＝－4x的焦点F(－1，0)，
则|FA|＝＝2．故选C．]
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，则抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(0，1) B．(0，2) C．(1，0) D．(2，0)
C　[因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为，准线为x＝－，
由题意可知－＝p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．
故选C．]
3．已知点P是抛物线y2＝－4x上的一个动点，则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)
A．3 B． C． D．
C　[依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F．
∵抛物线y2＝－4x，∴F(－1，0)，
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，
则点P到点M(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PM|≥|MF|＝＝．故选C．]
4．若抛物线x2＝28y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0＝________．
　[由题知：p＝14，故由焦半径公式得：y0＋＝3y0 y0＝．]
1．知识链：(1)抛物线的定义．
(2)抛物线的标准方程的四种形式．
(3)抛物线定义的应用．
(4)抛物线的实际应用．
2．方法链：待定系数法、定义法、数形结合．
3．警示牌：求抛物线的方程时不要混淆抛物线的焦点位置和方程形式．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．抛物线是如何定义的？试写出其标准方程．
[提示]　把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
焦点在x轴上的抛物线标准方程为y2＝±2px(p>0)，
焦点在y轴上的抛物线标准方程为x2＝±2py(p>0)．
2．当抛物线的焦点位置不确定时，如何设抛物线方程？
[提示]　可设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)．
课时分层作业(三十二)　抛物线及其标准方程
一、选择题
1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切，则圆C的圆心的轨迹为(　　)
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
A　[设圆心C的坐标为(x，y)，圆C的半径为r，圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为A，因为圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切，
所以|CA|＝r＋1，C到直线y＝－2的距离d＝r，所以|CA|＝d＋1，即动点C到定点A的距离等于到定直线y＝－3的距离，由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．故选A．]
2．抛物线C：y2＝mx过点(－2，)，则抛物线C的准线方程为(　　)
A．x＝ B．x＝－　　　C．y＝ D．y＝－
A　[将点(－2，)代入抛物线C可得m＝－，即有y2＝－x，
则抛物线C的准线方程为x＝，故选A．]
3．石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型．如图，这是一座石拱桥，桥洞弧线可近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水面距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是(　　)
A．1米 B．2米 C．4米 D．8米
B　[设抛物线C：x2＝－2py(p＞0)，
由题意可知点(4，－4)在抛物线C上，
则－2p×(－4)＝42，解得p＝2，
∴抛物线C的焦点到准线的距离是2米．故选B．]
4．圆x2－4x＋y2－2y＝0的圆心在抛物线y2＝2px上，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A． B．　　C． D．(1，0)
A　[圆x2－4x＋y2－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5的圆心为(2，1)，
把(2，1)代入y2＝2px，可得1＝4p，即p＝，可得抛物线为y2＝x，
故焦点坐标为．故选A．]
5．若点A在焦点为F的抛物线y2＝4x上，且|AF|＝2，点P为直线x＝－1上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A．2 B．2＋ C．2＋2 D．4
A　[抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线x＝－1，
|AF|＝xA＋1＝2，xA＝1，则＝4，yA＝±2，不妨设A(1，2)，
F(1，0)关于直线x＝－1的对称点为F′(－3，0)，
由于|PF|＝|PF′|，所以当A，P，F′三点共线时|PA|＋|PF|最小，
所以＝2．故选A．
]
二、填空题
6．已知抛物线C：x＝4y2，则抛物线C的焦点坐标为________．
　[抛物线C：x＝4y2，即y2＝x，所以抛物线C的焦点坐标为．]
7．(2023·全国乙卷)已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则点A到C的准线的距离为________．
　[将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－，所以点A到准线的距离为1－＝．]
8．如图所示，抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的标准方程为________，水面下降1米，水面宽是________米．
　
x2＝－4y　4　[设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由抛物线经过点(2，－2)，可得8＝－2p×(－2)，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝－4y．当y＝－3时，x2＝12，解得x＝±2，所以水面下降1米后，水面宽是4米．]
三、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线x－2y－4＝0上．
(1)求该抛物线的方程；
(2)若该抛物线上点A的横坐标为2，求点A到该抛物线焦点的距离．
[解]　(1)x－2y－4＝0中，令y＝0，解得x＝4，则焦点坐标为(4，0)，
故设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，故＝4，解得p＝8，
故抛物线的方程为y2＝16x．
(2)设点A到该抛物线焦点的距离为h，
由抛物线的定义可知：h＝xA＋＝2＋4＝6．
10．已知P为抛物线y＝x2上的动点，A的最小值为(　　)
A． B． C． D．
C　[由题意知，A为抛物线的焦点．设点P到准线y＝－＝d＋|PB|，d＋|PB|的最小值为B到准线的距离，所以当PB垂直于准线时取最小值．故最小值为2＋＝．]
11．(多选)若点A(2，1)到抛物线C：y＝ax2的准线的距离为4，则C的方程可能是(　　)
A．x2＝20y B．x2＝－20y
C．x2＝12y D．x2＝－12y
BC　[由题意得C：x2＝y，所以C的准线方程为y＝－．
因为A到C的准线的距离为4，
当a＞0时，1＋＝4，解得a＝；
当a＜0时，－1－＝4，解得a＝－．则C的方程是x2＝－20y或 x2＝12y．
故选BC．]
12．(多选)已知P(x，y)为抛物线x2＝4y上一动点，则(　　)
A．准线为l：x＝－1
B．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离
C．点P到直线y＝－x－2距离的最小值等于
D．＋的最小值为6
BCD　[P(x，y)为抛物线x2＝4y上一动点，
因为抛物线x2＝4y的焦点为F(0，1)，准线为l：y＝－1，
由抛物线的定义可知存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离，故A错误，B正确．
点P到直线y＝－x－2的距离d＝＝＝，
当x＝－2时，dmin＝＝，故C正确．
设点A(1，5)到准线l：y＝－1的距离为d，P到准线l：y＝－1的距离为d1，
则＋＝|PF|＋|PA|＝d1＋|PA|≥d＝5＋1＝6，D正确．
故选BCD．]
13．如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2 cm时，水面宽度为6 cm，当水面再上升1 cm时，水面宽度为________cm．
3　[建立如图所示的平面直角坐标系，
设高脚杯的轴截面所在抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，
由题意可得A(3，2)，代入抛物线方程，可得9＝4p，即p＝，
则抛物线方程为x2＝y，由题意可知B的纵坐标为3，则＝×3＝，
即xB＝，∴当水面再上升1 cm时，水面宽度为3 cm．]
14．(源自北师大版教材)某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边围成，尺寸如图所示(单位：m)．某卡车载一集装箱，车宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？说明理由．
[解]　如图所示，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(3，－3)．
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．
将点A的坐标代入上式，得9＝6p，即2p＝3．
所以抛物线的标准方程为x2＝－3y．
将x＝1.5代入抛物线的标准方程，得y＝－0.75，则5－0.75＝4.25<4.5．
这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于BD，所以此车不能安全通过隧道．
15．已知抛物线Z：x2＝4y的焦点为F，圆F：x2＋(y－1)2＝4与抛物线Z在第一象限的交点为P，直线l：x＝t(0＜t＜m)与抛物线Z的交点为A，直线l与圆F在第一象限的交点为B，则m＝________，△FAB周长的取值范围为________．
2　(4，6)　[如图所示，设直线l与抛物线Z的准线交于点C，
由
解得所以m＝2．
由解得
所以A，
由
解得
所以B(t，1＋)，
由抛物线的定义得|AF|＝|AC|，
所以△FAB的周长＝|FA|＋|FB|＋|AB|
＝|AC|＋|AB|＋|BF|＝|BC|＋2＝＋4．
因为t∈(0，2)，所以＋4∈(4，6)．]
18/18课时分层作业(三十二)　抛物线及其标准方程
一、选择题
1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切，则圆C的圆心的轨迹为(　　)
A．抛物线　　　B．双曲线　　　C．椭圆　　　D．圆
2．抛物线C：y2＝mx过点()，则抛物线C的准线方程为(　　)
A．x＝ B．x＝－
C．y＝ D．y＝－
3．石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型．如图，这是一座石拱桥，桥洞弧线可近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水面距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是(　　)
A．1米　　　B．2米　　　C．4米　　　D．8米
4．圆x2－4x＋y2－2y＝0的圆心在抛物线y2＝2px上，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．(1，0)
5．若点A在焦点为F的抛物线y2＝4x上，且|AF|＝2，点P为直线x＝－1上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A．2　　　B．2＋　　　C．2＋2　　　D．4
二、填空题
6．已知抛物线C：x＝4y2，则抛物线C的焦点坐标为________．
7．(2023·全国乙卷)已知点A()在抛物线C：y2＝2px上，则点A到C的准线的距离为________．
8．如图所示，抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的标准方程为________，水面下降1米，水面宽是________米．
　
三、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线x－2y－4＝0上．
(1)求该抛物线的方程；
(2)若该抛物线上点A的横坐标为2，求点A到该抛物线焦点的距离．
10．已知P为抛物线y＝x2上的动点，AB()的最小值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
11．(多选)若点A(2，1)到抛物线C：y＝ax2的准线的距离为4，则C的方程可能是(　　)
A．x2＝20y B．x2＝－20y C．x2＝12y D．x2＝－12y
12．(多选)已知P(x，y)为抛物线x2＝4y上一动点，则(　　)
A．准线为l：x＝－1
B．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离
C．点P到直线y＝－x－2距离的最小值等于
D．的最小值为6
13．如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2 cm时，水面宽度为6 cm，当水面再上升1 cm时，水面宽度为________cm．
14．(源自北师大版教材)某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边围成，尺寸如图所示(单位：m)．某卡车载一集装箱，车宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？说明理由．
15．已知抛物线Z：x2＝4y的焦点为F，圆F：x2＋(y－1)2＝4与抛物线Z在第一象限的交点为P，直线l：x＝t(0＜t＜m)与抛物线Z的交点为A，直线l与圆F在第一象限的交点为B，则m＝________，△FAB周长的取值范围为________．
3/33.3　抛物线
3.3.1　抛物线及其标准方程
[学习目标]　1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(数学抽象)
2．会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题．(数学运算、数学建模)
[讨论交流]　
问题1．选择不同的坐标系，就得到了不同形式的标准方程，抛物线的标准方程有几种形式？
问题2．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象为什么是抛物线？它的焦点坐标和准线方程分别是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　抛物线的定义
探究问题1　如图，把一根直尺固定在画板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AB的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在画板上的F处，用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔尖就描出了一条曲线．在作图的过程中，你能发现点P满足的条件吗？它的轨迹是什么形状？
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[新知生成]
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．
[学以致用]　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(3)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(4)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线． (　　)
探究2　抛物线的标准方程
探究问题2　如图，已知抛物线的焦点F到准线l的距离为p(p＞0)，试建立适当的平面直角坐标系，使得到的抛物线方程最为简单，并写出此方程．
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[新知生成]
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
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[典例讲评]　1．(1)已知实数x，y满足，其中常数p＞0，则动点P(x，y)的轨迹是(　　)
A．射线　 B．直线　 C．抛物线 　D．椭圆
(2)试求满足下列条件的抛物线的标准方程：
①过点(－3，2)；
②焦点在直线x－2y－4＝0上．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　1．抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．
2．求抛物线标准方程时应注意的问题
(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系．
(2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数．
(3)注意p的几何意义．
[学以致用]　2．(1)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝________，准线方程为________．
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为________．
探究3　抛物线定义的应用
[典例讲评]　2．(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)
A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．8
[尝试解答]___________________________________________________________
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(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]
1．若将本例(2)中的“点(0，2)”改为“点A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值．
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2．若将本例(2)中的“点(0，2)”换成“直线l1：3x－4y＋＝0”，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
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　抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
[学以致用]　3．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．14
探究4　抛物线的实际应用
[典例讲评]　3．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m，已知行车道总宽度AB＝6 m，那么车辆通过隧道的限制高度为(　　)
A．2.25 m B．2.5 m C．3.25 m D．3.5 m
[尝试解答]___________________________________________________________
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　求解抛物线实际应用题的步骤
[学以致用]　4．如图，某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A． B． C． D．
1．抛物线y2＝－4x的焦点到点A(3，－2)的距离为(　　)
A．2 B． C．2 D．3
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，则抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(0，1) B．(0，2)
C．(1，0) D．(2，0)
3．已知点P是抛物线y2＝－4x上的一个动点，则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)
A．3 B． C． D．
4．若抛物线x2＝28y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0＝________．
1．知识链：(1)抛物线的定义．
(2)抛物线的标准方程的四种形式．
(3)抛物线定义的应用．
(4)抛物线的实际应用．
2．方法链：待定系数法、定义法、数形结合．
3．警示牌：求抛物线的方程时不要混淆抛物线的焦点位置和方程形式．
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