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高考命题探源(二)
第二章　直线和圆的方程
[命题点分析]　直线与圆的位置关系是近几年高考的热点和重点，每年必考，主要考查判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相切的问题及弦长问题等，以基础题和中档题为主，题型多为选择题、填空题．虽然难度不大，但从趋势来看，其综合性日渐增强，且青睐于多选题，有时也以解答题的形式出现，考查考生的数形结合思想以及转化与化归思想．
探源1　直线与圆、圆与圆的位置关系
【案例1】　(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋　　B．4　　C．1＋3　　D．7
√
C　[将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C．]
[考题来源]　本题来源于教材P91例1，教材题目命题点是判断直线与圆的位置关系并求弦长，本题命题点是已知(x，y)是圆上的点(直线和圆相交或相切)，利用位置关系求最值，难度系数比教材稍高．
[试题评价]　本题以圆的一般方程为载体，考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离等基础知识，体现了考生的逻辑推理、数学运算等核心素养．
【案例2】　(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程_____________________________．
y＝－x＋　[圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3, 4) ，半径为4，
两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，
y＝－x＋
当切线为l时，因为＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t＞0)，
O到l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－x＋，
当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，
由题意解得y＝x－，
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．]
[考题来源]　本题来源于教材P99习题2.5T15，教材题目命题点是判断圆的公切线，求相交圆的公共弦方程，本题命题点是求两外切圆的公切线方程，难度系数比教材稍高，主要考查学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．
[试题评价]　圆与圆的位置关系在高考中也经常涉及，一般考查圆与圆的位置关系的判定、求公切线的条数或公切线方程、求公共弦所在直线的方程或公共弦长等知识，一般以选择、填空题的形式出现，难度系数较低，属于基础题．本题以圆与圆的位置关系的判定和公切线的求解为命题点，主要考查了直线方程以及直线与圆的位置关系等基础知识，属于中等难度试题．
【案例3】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值_________________________________．
2　[设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径R＝2，C到直线l的距离d＝
＝2＝2＝．由S△ABC＝，得××＝＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以为2．]
2　
[考题来源]　本题来源于教材P103复习参考题2T20，两题条件中给出的都是过定点的直线系，并借助弦长公式求参数的值，命题角度高度一致，考查难度稍高于教材．
[试题评价]　试题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离及圆内三角形的性质等．根据题设，利用数形结合思想，厘清三角形面积的要素，问题即可迎刃而解．试题要求只写出一个满足条件的m值即可，具有一定的开放性，属于中档题，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养．
【案例4】　(2020·全国Ⅰ卷)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
B　[将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C(3，0)，半径r＝3．记点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，因为(1－3)2＋22<9，所以点A(1，2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D．易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝
|AC|＝＝2min＝2＝2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B．]
√
[考题来源]　本题来源于教材P103复习参考题2T20．教材题目条件给出的是过定点的直线系方程，求直线被圆截得的最长弦和最短弦长，以及此时参数的值，本题直接给出定点，求最短弦长，比教材原题题目难度稍低，考查比较基础，属于中档题．
[试题评价]　本题以直线与圆的位置关系为载体，考查求所截弦的长度，难度中等，对考生综合应用知识能力要求较高，体现了考生直观想象、逻辑推理等核心素养．
[命题点分析]　圆的方程的求解近几年考查趋势加大，一般考查圆的标准方程和圆的一般方程的求解，大多与圆的性质等知识综合考查，以基础题为主，常以选择、填空题形式出现，难度很小，主要考查学生的计算能力和逻辑分析能力．
直线与圆的方程的综合应用问题在高考中常以直线和圆的位置关系为背景考查最值、定点或定值问题，且常与圆锥曲线(下章学)综合考查，难度一般较大．
探源2　直线与圆的方程及其综合应用
【案例5】　(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
√
√
√
ACD　[设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d
＝＝＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的
距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，故A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜－4
＝1，故B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝
＝＝3
＝3，故C，D都正确．
综上，选ACD．]
[考题来源]　本题来源于教材P98习题2.5T12．教材题目求解的是圆上动点到三个定点的距离的平方和的最大值和最小值，而考题是圆上动点到定直线的距离的最大值和最小值，以及过定点的直线与圆有公共点时与定直线的夹角的最值求解，难度系数比教材原题要高，属于中高档题．
[试题评价]　试题考查圆的方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查数形结合思想、转化与化归思想，体现了数学运算、直观想象等核心素养．
THANKS探源1　直线与圆、圆与圆的位置关系
[命题点分析]　直线与圆的位置关系是近几年高考的热点和重点，每年必考，主要考查判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相切的问题及弦长问题等，以基础题和中档题为主，题型多为选择题、填空题．虽然难度不大，但从趋势来看，其综合性日渐增强，且青睐于多选题，有时也以解答题的形式出现，考查考生的数形结合思想以及转化与化归思想．
【案例1】　(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋　　B．4　　C．1＋3　　D．7
[尝试解答]___________________________________________________________
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[考题来源]　本题来源于教材P91例1，教材题目命题点是判断直线与圆的位置关系并求弦长，本题命题点是已知(x，y)是圆上的点(直线和圆相交或相切)，利用位置关系求最值，难度系数比教材稍高．
[试题评价]　本题以圆的一般方程为载体，考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离等基础知识，体现了考生的逻辑推理、数学运算等核心素养．
【案例2】　(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[考题来源]　本题来源于教材P99习题2.5T15，教材题目命题点是判断圆的公切线，求相交圆的公共弦方程，本题命题点是求两外切圆的公切线方程，难度系数比教材稍高，主要考查学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．
[试题评价]　圆与圆的位置关系在高考中也经常涉及，一般考查圆与圆的位置关系的判定、求公切线的条数或公切线方程、求公共弦所在直线的方程或公共弦长等知识，一般以选择、填空题的形式出现，难度系数较低，属于基础题．本题以圆与圆的位置关系的判定和公切线的求解为命题点，主要考查了直线方程以及直线与圆的位置关系等基础知识，属于中等难度试题．
【案例3】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[考题来源]　本题来源于教材P103复习参考题2T20，两题条件中给出的都是过定点的直线系，并借助弦长公式求参数的值，命题角度高度一致，考查难度稍高于教材．
[试题评价]　试题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离及圆内三角形的性质等．根据题设，利用数形结合思想，厘清三角形面积的要素，问题即可迎刃而解．试题要求只写出一个满足条件的m值即可，具有一定的开放性，属于中档题，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养．
【案例4】　(2020·全国Ⅰ卷)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
[尝试解答]___________________________________________________________
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[考题来源]　本题来源于教材P103复习参考题2T20．教材题目条件给出的是过定点的直线系方程，求直线被圆截得的最长弦和最短弦长，以及此时参数的值，本题直接给出定点，求最短弦长，比教材原题题目难度稍低，考查比较基础，属于中档题．
[试题评价]　本题以直线与圆的位置关系为载体，考查求所截弦的长度，难度中等，对考生综合应用知识能力要求较高，体现了考生直观想象、逻辑推理等核心素养．
探源2　直线与圆的方程及其综合应用
[命题点分析]　圆的方程的求解近几年考查趋势加大，一般考查圆的标准方程和圆的一般方程的求解，大多与圆的性质等知识综合考查，以基础题为主，常以选择、填空题形式出现，难度很小，主要考查学生的计算能力和逻辑分析能力．
直线与圆的方程的综合应用问题在高考中常以直线和圆的位置关系为背景考查最值、定点或定值问题，且常与圆锥曲线(下章学)综合考查，难度一般较大．
【案例5】　(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
[尝试解答]___________________________________________________________
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[考题来源]　本题来源于教材P98习题2.5T12．教材题目求解的是圆上动点到三个定点的距离的平方和的最大值和最小值，而考题是圆上动点到定直线的距离的最大值和最小值，以及过定点的直线与圆有公共点时与定直线的夹角的最值求解，难度系数比教材原题要高，属于中高档题．
[试题评价]　试题考查圆的方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查数形结合思想、转化与化归思想，体现了数学运算、直观想象等核心素养．
4/4探源1　直线与圆、圆与圆的位置关系
[命题点分析]　直线与圆的位置关系是近几年高考的热点和重点，每年必考，主要考查判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相切的问题及弦长问题等，以基础题和中档题为主，题型多为选择题、填空题．虽然难度不大，但从趋势来看，其综合性日渐增强，且青睐于多选题，有时也以解答题的形式出现，考查考生的数形结合思想以及转化与化归思想．
【案例1】　(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋　　B．4　　C．1＋3　　D．7
C　[将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C．]
[考题来源]　本题来源于教材P91例1，教材题目命题点是判断直线与圆的位置关系并求弦长，本题命题点是已知(x，y)是圆上的点(直线和圆相交或相切)，利用位置关系求最值，难度系数比教材稍高．
[试题评价]　本题以圆的一般方程为载体，考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离等基础知识，体现了考生的逻辑推理、数学运算等核心素养．
【案例2】　(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．
y＝－x＋　[圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3, 4) ，半径为4，
两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，
当切线为l时，因为＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t＞0)，
O到l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－x＋，
当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，
由题意
解得y＝x－，
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．]
[考题来源]　本题来源于教材P99习题2.5T15，教材题目命题点是判断圆的公切线，求相交圆的公共弦方程，本题命题点是求两外切圆的公切线方程，难度系数比教材稍高，主要考查学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．
[试题评价]　圆与圆的位置关系在高考中也经常涉及，一般考查圆与圆的位置关系的判定、求公切线的条数或公切线方程、求公共弦所在直线的方程或公共弦长等知识，一般以选择、填空题的形式出现，难度系数较低，属于基础题．本题以圆与圆的位置关系的判定和公切线的求解为命题点，主要考查了直线方程以及直线与圆的位置关系等基础知识，属于中等难度试题．
【案例3】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________．
2　[设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径R＝2，C到直线l的距离d＝＝2＝2＝．由S△ABC＝，得××＝＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以为2．]
[考题来源]　本题来源于教材P103复习参考题2T20，两题条件中给出的都是过定点的直线系，并借助弦长公式求参数的值，命题角度高度一致，考查难度稍高于教材．
[试题评价]　试题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离及圆内三角形的性质等．根据题设，利用数形结合思想，厘清三角形面积的要素，问题即可迎刃而解．试题要求只写出一个满足条件的m值即可，具有一定的开放性，属于中档题，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养．
【案例4】　(2020·全国Ⅰ卷)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
B　[将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C(3，0)，半径r＝3．记点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，因为(1－3)2＋22<9，所以点A(1，2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D．易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝|AC|＝＝2min＝2＝2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B．]
[考题来源]　本题来源于教材P103复习参考题2T20．教材题目条件给出的是过定点的直线系方程，求直线被圆截得的最长弦和最短弦长，以及此时参数的值，本题直接给出定点，求最短弦长，比教材原题题目难度稍低，考查比较基础，属于中档题．
[试题评价]　本题以直线与圆的位置关系为载体，考查求所截弦的长度，难度中等，对考生综合应用知识能力要求较高，体现了考生直观想象、逻辑推理等核心素养．
探源2　直线与圆的方程及其综合应用
[命题点分析]　圆的方程的求解近几年考查趋势加大，一般考查圆的标准方程和圆的一般方程的求解，大多与圆的性质等知识综合考查，以基础题为主，常以选择、填空题形式出现，难度很小，主要考查学生的计算能力和逻辑分析能力．
直线与圆的方程的综合应用问题在高考中常以直线和圆的位置关系为背景考查最值、定点或定值问题，且常与圆锥曲线(下章学)综合考查，难度一般较大．
【案例5】　(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
ACD　[设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，故A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜－4＝1，故B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3＝3，故C，D都正确．综上，选ACD．
]
[考题来源]　本题来源于教材P98习题2.5T12．教材题目求解的是圆上动点到三个定点的距离的平方和的最大值和最小值，而考题是圆上动点到定直线的距离的最大值和最小值，以及过定点的直线与圆有公共点时与定直线的夹角的最值求解，难度系数比教材原题要高，属于中高档题．
[试题评价]　试题考查圆的方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查数形结合思想、转化与化归思想，体现了数学运算、直观想象等核心素养．
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