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§4　二项分布与超几何分布
4.1　二项分布
第1课时　二项分布
一、选择题
1.已知随机变量X服从二项分布B,则P(X=2)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.
2.[2024·北京西城区高二期末] 某一批种子的发芽率为,从中随机选择3颗种子进行播种,那么恰有2颗种子发芽的概率为 (　 )
A. B. C. D.
3.下列说法错误的是 (　 )
A.若一次试验中事件A发生的概率为p,X为n重伯努利试验中事件A发生的次数,则X~B(n,p)
B.在n重伯努利试验中,各次试验的结果相互没有影响
C.对于n重伯努利试验,各次试验中事件发生的概率可以不同
D.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n重伯努利试验中,这个事件恰好发生k次的概率P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n
4.设随机变量X~B(2,p),若P(X≥1)=,则p的值为 (　 )
A. B. C. D.
5.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则随机事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是 (　 )
A.[0.4,1) B.(0,0.4]
C.(0,0.6] D.[0.6,1)
6.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到灰色障碍物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到灰色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是,则小球落入A袋中的概率为 (　 )
A. B. C. D.
7.(多选题)下列试验中不是n重伯努利试验的是 (　 )
A.从含有6个红球,4个白球的袋中,不放回地摸取5次,每次摸出一个球,观察摸到红球的个数
B.某同学连续投篮10次,前几次的命中率较低,之后的命中率越来越高
C.全班30名同学,每人投篮一次
D.在相同的条件下,甲射击10次
8.(多选题)某种产品在进入市场前每件必须进行两轮检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知该产品中的每件第一轮检测不合格的概率为,第二轮检测不合格的概率为,两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售,则每件产品获利40元;若产品不能销售,则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品,记一箱产品获利X元,则下列说法正确的是 (　 )
A.该产品中的每件能销售的概率为
B.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数,则ξ~B
C.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数,则P(ξ=3)=
D.P(X=-80)=
二、填空题
9.一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个球,记下颜色后放回,直到红球出现4次时停止取球,设停止时共取了X次球,则P(X=6)=　　　　　　.(填表达式即可)
10.[2024·浙江宁波九校高二联考] 现有一枚质地不均匀的硬币,若随机抛掷它两次均正面朝上的概率为,则随机抛掷它两次得到一次正面、一次反面朝上的概率为　　　　.
11.已知随机变量X~B(2,p),Y服从0-1分布,若P(X≥1)=0.64,P(Y=1)=p,则P(Y=0)的值为　　　　.
12.某单位组织知识竞赛,按照比赛规则,每位参赛者要回答5道题.假设在5道题中,甲答对每道题的概率都是,且每道题答对与否互不影响,则甲恰好答对其中两道题的概率为　　　　;若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对,则乙在答完前两道题时,这两道题都答对的概率为　　　　.
三、解答题
13.甲、乙两位同学进行三分投篮比赛,甲每次投中的概率为,乙每次投中的概率为,每人分别进行3次投篮.
(1)记甲投中的次数为ξ,求ξ的分布列;
(2)求乙至多投中2次的概率.
14.[2024·福建福州八中高二期末] 牛排主要分为菲力牛排、肉眼牛排、西冷牛排、T骨牛排,某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒,利用牛排的分类标准得到的数据如下:
牛排种类 菲力牛排 肉眼牛排 西冷牛排 T骨牛排
数量/盒 20 30 20 30
(1)用分层随机抽样的方法从这100盒牛排中抽取10盒,再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒,求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率;
(2)将频率视为概率,用样本估计总体,从这批牛排中随机抽取3盒,若X表示抽到的菲力牛排的数量,求X的分布列.
15.如果随机变量X~B,那么P(X=k)取得最大值时,k=　　　　.
16.[2024·辽宁沈阳五校协作体联考] 某校组织数学知识竞赛活动,比赛共有4道必答题,答对一题得4分,答错一题扣2分.学生甲参加了这次活动,假设每道题甲能答对的概率都是,且各题答对与否互不影响.设甲答对的题数为Y,甲答完4道题后的总得分为X.
(1)试建立X关于Y的函数关系式,并求P(X<0);
(2)求X的分布列 .
§4　二项分布与超几何分布
4.1　二项分布
第1课时　二项分布
1.C　[解析] P(X=2)=××=.故选C.
2.C　[解析] 由题意可知,种子发芽的颗数X~B,所以恰好有2颗种子发芽的概率为××=,故选C.
3.C　[解析] 一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验为n重伯努利试验,在n重伯努利试验中,各次试验的结果相互之间没有影响,各次试验中事件发生的概率相同,故B中说法正确,C中说法错误;由二项分布的定义可知,A中说法正确,D中说法正确.故选C.
4.A　[解析] ∵X~B(2,p),∴P(X=0)=(1-p)2,∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,解得p=或p=(舍去),故选A.
5.A　[解析] 由题知,随机事件A发生的次数服从二项分布,则p(1-p)3≤p2(1-p)2,解得p≥0.4,又06.C　[解析] 当小球3次遇到灰色障碍物时,若有1次向左和2次向右下落或2次向左和1次向右下落,则小球将落入A袋,所以所求概率为××+××=.故选C.
7.ABC　[解析] 对于A,每次摸到红球的概率不相等,不是n重伯努利试验;对于B,该同学每次的命中率不相等,不是n重伯努利试验;对于C,全班每名同学投篮的命中率不相等,不是n重伯努利试验;对于D,在相同的条件下,甲射击10次,每次的命中率都相等,是n重伯努利试验.故选ABC.
8.ABD　[解析] 对于选项A,该产品中的每件能销售的概率为×=,故选项A正确;对于选项B,由选项A可得每件产品能销售的概率均为,一箱中有4件产品,则ξ~B,故选项B正确;对于选项C,由题意得P(ξ=3)=××=,故选项C不正确;对于选项D,由题意知,当X=-80时,4件产品中有2件能销售,有2件不能销售,所以P(X=-80)=××=,故选项D正确.故选ABD.
9.　[解析] 由题意可知,每次取球时取到白球的概率为,取到红球的概率为.在第4次取到红球时,若共取了6次球,则最后一次取到红球且在前5次中有3次取到红球,故P(X=6)=.
10.-1 　[解析] 设抛掷这枚硬币一次,正面朝上的概率为p,则反面朝上的概率为1-p,则抛掷它两次均正面朝上的概率为p2=,可得p=,所以随机抛掷它两次得到一次正面、一次反面朝上的概率为p(1-p)=2××=-1.
11.0.6　[解析] P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=p(1-p)+p2=0.64,解得p=0.4或p=1.6(舍去),则P(Y=0)=1-P(Y=1)=1-p=1-0.4=0.6.
12.　　[解析] 设甲能够答对X道题,则X~B,所以P(X=2)==.若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对,则乙在答完前两道题时,这两道题都答对的概率为=.
13.解:(1)ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=×=,P(ξ=1)=××=,P(ξ=2)=××=,P(ξ=3)=×=,则ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
(2)“乙至多投中2次”的对立事件为“乙3次全部投中”,则乙至多投中2次的概率为1-×=.
14.解:(1)用分层随机抽样的方法从这100盒牛排中抽取10盒,则抽到的T骨牛排有3盒,非T骨牛排有7盒,再从中随机抽取4盒,则恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率为==.
(2)这100盒牛排中菲力牛排有20盒,所以从中随机抽取1盒,抽到菲力牛排的频率为=,
将此频率视为概率,则从这批牛排中随机抽取3盒,抽到的菲力牛排的数量X~B,
则P(X=0)=××=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=××=.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
15.10　[解析] 因为X~B,所以P(X=k)==·,由组合数的性质可知当k=10时,最大,此时P(X=k)取得最大值.
16.解:(1)由题意得,X=4Y-2(4-Y)=6Y-8,由X=6Y-8<0,得Y<,所以Y的可能取值为0,1,因为Y~B,所以P(X<0)=P(Y=0)+P(Y=1)=+××=.
(2)由题意得,Y~B.
结合(1)可得X,Y的对应值如表所示:
Y 0 1 2 3 4
X -8 -2 4 10 16
于是,P(X=-8)=P(Y=0)==,
P(X=-2)=P(Y=1)=××=,
P(X=4)=P(Y=2)=××=,
P(X=10)=P(Y=3)=××=,
P(X=16)=P(Y=4)==.
所以X的分布列为
X -8 -2 4 10 16
P

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