资源简介

(共20张PPT)
华东师大版九年级数学
指向深度学习的
三角形相似的判定
基础知识和技能：熟练掌握了“两个三角形相似的判定条件”以及“三角形相似的预备定理”，并可以应用上述知识点处理最基本的数学问题。
过程与方法：在推理过程中学会灵活使用数学方法
教学目标
情感态度价值观：让学生经过考察、推理、证明、推导的流程，提高思维的深度参与和达到良好的情感感受，从而达到情感深度学习。
相似三角形的判定（1）
——两角各自相同的2个三角形相似
2.情境创设———活动与体验
情境1
关于画内角为30°的三角形的问题
一、可以画多少个内角为30°的三角形？
二、这些三角形是否相似？
仅有一个角对应相同的两个三角形并不相似。相似三角形的定义要求两个三角形的对应角都相等，并且对应边的比例也相等。仅有一个角相同，并不满足相似三角形的定义。
对于任意两个三角形ΔABC和ΔA′B′C′，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么ΔABC是否相似于ΔA′B′C′？
情境2
严谨判断法：如果两个三角形的两个角都是相同的，那么它们就是相似的。换句话说，如果两个三角形的相应角度相等，就可以认为它们是类似的。
3.新知理解———本质的变式
问题１：若两个三角形中仅有一组对应角相等，那么这两个三角形是否相同？
例1
如图，在直角△ABC和△A'B'C'中，∠C与C'都是直角，∠A=∠A'，求证：△ABC∽△A'B'C'.
2个直角三角形，如果有一个锐角对应相同，那么它就相同。
如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
例2
简单的判别方式：若两个三角形有两个角相等，则称这两个三角形类似。换言之，若两个三角形的对应角相同，则可视为相似。
根据几何学的基本原理，如果两个三角形或三组对应角分别相等，则这两个三角形必然相似。
问题2：若两个等腰三角形的顶角相等，则这两个三角形是否相似？
问题3：若一三角形的顶角小于另一三角形的一个底角，请问这两个等腰三角形是否相同？
问题探究
问题4：若两个等腰三角形存在一个相等的角，那么这两个三角形是否相似？
活动：类比上述过程，尝试设计研究方案，条理清晰即可。
通过系列问题串设问，引导学生思考，深化学生对相似三角形判定定理1的认知，提高几何语言的组织能力。
3.新知理解———本质与变式
4.新知运用———迁移与巩固
例
思考：如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：PA·PB=PC·PD
问题：在研究三角形相似性时，运用了怎样的数学方法？怎样进行讨论？
【解析】
欲证PA·PB=PC·PD，需 ,需 PAC∽ PDB.欲证 PAC∽ PDB，只需∠A=∠D，∠C=∠B。
相似三角形的判定（2）
——两边呈比例角度相当的二个三角形相似
我们学习了哪些证明三角形相似的方法？
参考全等三角形的判定方法SAS，我们可以对以下问题进行深入思考：
1.复习引入
假定有两个三角形，其相应的两条相应的边成正比，而这两条线的相应角也是相等的。从三角形的相似性出发，如果两条相应的两条线成正比，而两条线的相应角也相等，那么这两条线是不是就等于一条线？
2.探究新知
探究1
老师们展示二个三角形纸片，其满足
提出问题：这两个三角形是什么关系？依据是什么？。
严谨判断准则：如果两个三角形的相应的两个角都是相同的，那么这两个三角形就是类似的。
4.应用训练
例1
如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是(　　)
A．∠ABD＝∠C　B．∠ADB＝∠ABC
如图所示，在△边ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，而过P点的直线交AB为中点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为(　　)
A．3
例2
【解析】
【解析】
相似三角形的判定（3）
——在三边成比例的二个三角形相似
现有三种相互平行的直线l ,l ,l ，再画出二种与这三种平行线交叉的直线l ,l （见下图）。分别测量出AB,BC,DE,EF的长度。判定
相等吗？任意平移l ，再次判断与 还相等吗？
1.思考联想
2.类比推理
探究1
如图所表示的，在△边ABC中，DE/BC，而DE又分别交AB，AC的焦点为D，E，所以△DE和△边ABC一样吗
在此前提下，可以认为这两个三角形是相似的。在此基础上，提出了一种简明、高效的判定三角间相似度的方法。
2.探究新知
探究2
自己动手，画出二边成比例的三角形，且比例系数k相等。自主探究并度量两个三角形的角。
这二种三角形是不是相同呢 和周围朋友们进行研究，看看能够得出这样的结果。
判定定理：如果二个三角形在三边呈比例，那么这二个三角形是相似三角形。
3.典例精析
例1
在以下的4×4正方形网格中，每个小正方形的边长均为1单位长度。三角形ABC的顶点均位于这些网格的交点上。找出与△ABC相似的三角形(　　)
在网格图中，每个方格均呈现为边长为一的标准长方形。当点A、B、C、D、E、F均准确落在网格点上，尝试证明△ABC∽△DBF
例2
【解析】
根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，然后再根据三边对应的比例，两三角形的相似选择答案.选B.
【解析】
例题 （2020·上海中考数学试题）
真题直通
已有证明：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，而CE的延长线和DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H。（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE^2=AB·AE，求证：AG=DF．
【解析】
拓展题目
真题直通
如图，AB.CD交于点M，∠DAB=∠DCB。求证方法：△AMC∽△DMB
1、本节课的学习你有怎样的收获
课堂小结
三种判定:三种判定三角形相似性的方法如下：
1. 若两个三角形的两组对应边分别相等，则这两个三角形相似。
2. 若两个三角形的两组对应边成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。
3. 若两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
三种思想:对比思维、转化思维、分类问题思考
2、在学习过程中，还存在哪些困惑
谢 谢指向深度课程的“相似三角形的判定”教材设计
1.学情分析
“相似三角形的判定”这一篇章，是在学习者们早已熟悉了相似三角形的基本概念以后，更深入探究了三角形相似的判别依据。通过二年多的几何学练习，初三学习者们已初步形成了认识和分类几何图形的能力。经过小组讨论和讨论，部分学生开始可以建立解决问题的基本思路。为了深化学生的数学学习,培养其核心素养,教师需要为学生创造一个有利于观察与探索的几何环境,鼓励他们发表自己的见解和想法,以促进他们数学深度学习的发生。
2.教学目标及重点难点
（1）教学目标
【知识与能力目标】
1. 通过深入探索三角形相似的三个定理，使学生能够亲身体验分析归纳的数学思维过程，从而有效促进学生探究能力和交流技巧的发展。
2.本科生应该熟练地把握“两个三角形相似的判定条件”以及“三角形相似的预备定理”，并可以利用上述知识点处理最基本的数学问题。
【过程与方法目标】
在逻辑推理过程中，灵活运用数学方法至关重要。数学作为一种精确、严谨的工具,有助于我们更深入地理解问题、分析数据,并推导出科学的结论。因此,我们应当熟练掌握各种数学方法,并根据实际情况灵活应用,以提高推理的准确性和效率。
【情感态度价值观目标】
让学习者经过考察、推理、证明、演绎的过程，提高思维的深度参与和达到良好的情感感受，从而实现深度学习
（2）重点难点
教学要点：对三角形的相似判定定理进行了严格阐述，包括“当二个三角形的二角依次等价时，这二个三角形都相同了”、“当二个三角形的二面呈比例的夹角相同时，这二个三角形相同”和“当二个三角形的三边成比例时，这二个三角形相同”等情况。通过理性的分析和官方的语言风格,深入剖析这些定理的内涵和应用,确保学生能够全面理解并掌握其精髓。
教学难点：判定方法的运用
3.教学设计
“相似三角形的判定(1)——两角分别相等的二个三角形相似”
教学设计
（1）温故知新———联想与结构
问题一引导学生解释全等与相似的关系
问题二什么是相似三角形 (抓定义：形状一致.对应角相同且相对边成比例)
导入：在研究两个三角形的相似性时,我们主要关注其角和边这两个几何属性。截止目前，我们已学会了什么可以衡量二个三角形相似性的办法
【设计意图】总结全等三角形的判定定理以及已经学习过的相似三角形判别方式，类比猜想提出研究问题，使新增的内容和现有的相应内容形成了非人为实质性的联系，使新增的内容自然地发展起来，同时让他们体会到类比的数学思维方式，懂得数字的思维，提高高阶数学思想的产生。
（2）情境创设———活动与体验
情境一画有一个内角是30°的三角形。
①可以画多少个？
②它们相似吗？
二个三角形若仅有某个角对应相同，则它们不必然相同。
情境2 任意画两个三角形ΔABC与ΔA'B'C',使∠A=∠A′,∠B=∠B′，那么ΔABC∽δA′B′C′吗
学生们经过研究，得出了这二个三角形相似。
于是，我们就获得了一个确定二个三角形相似性的简单方案：假设二个三角形的二组对应角分别相同，那么这二个三角形相同。简而言之，若二角对应相同，则二三角形相同相似。
【设计意图】为了有效培养学生的几何直观与逻辑推理能力,教师应积极引导学生深入探究真理。在教学过程中,教师应设计一系列由特殊到一般、由合情推理到演绎推理的活动,使学生能在实际操作与思维过程中逐步发展其几何直观能力和逻辑推理能力。此外,教师应总结性地说明教学内容,帮助学生梳理混乱的知识点,从而使学生能够掌握最清晰、最简洁的知识体系。采用这些方法，老师不但可以培养他们的逻辑思维，而且可以为学生的终生学习打下扎实的根基。
（3）新知理解———本质与变式
问题一假设二个三角形中仅有一对角是对应等量的，那这二个三角形相同吗
例1：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C与∠C'都是直角，∠A=∠A'，求证：△ABC∽△A'B'C'.
教师们总结并指出，关于二个直角三角形，假如它有一个等量的锐角，那么这二个三角形就是相同的。
例2：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
师总结：通过认真的逻辑推理，我们可以知道，如果二个三角形的三个对应角都相同，那么这二个三角形也必然不同。进一步的，按照相似三角形的特点，这二条三角形的对应面都必然有比例。同时，按照三角形内角和为一百八十度的定理，如果二个三角形中具有二个对应角分别等于，那么就同样能够推理出这二个三角形都是相同的。
问题二顶角相等的，两个等腰三角形相似吗
问题三一个三角的头角等于另一个三角的另一个底角，所以这二个等腰三角形相同吗
问题四和有角相等的，两个等腰三角形相似吗
【设计意图】引导学生理解已学新知并解决例题，核对答案，提高几何语言的组织能力。并通过系列问题串设问，引导学生思考，深化学生对相似三角形判定定理1的认知。
（4）新知运用———迁移与巩固
例1：如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：PA·PB=PC·PD。
【解析】欲证PA·PB=PC·PD，只需要，欲证只需要 PAC∽，欲证 PAC∽ PDB,只需∠A=∠D,∠C=∠B。
例2：如图，在矩形的ABCD中，AB=6，AD=12点E在边AD上，AE=8，点F在边DC上连结BE，EF.当EF的长为多少时,△ABE与△DEF相似.
【【分析】(1)由四边形ABCD为长方形，易得∠A=∠D=90°，即为EF⊥BE，利用同角的余角相等,即可得∠DEF=∠ABE,则可证得△ABE∽△DEF；
（2）由（1）：△DZ，按相似三角形的对应边成比值，即可得，又由AB=6，AD=12，AE=8，通过勾股定理得到BE的长度，由DE=AB-AE，得到DE的长度，进而得到EF的长度为。
问题在探究三角形相似的判定时，使用了什么数学思路 研究方法是什么？
【设计意图】为确保学生在学习过程中能够稳步提升推理能力和应用意识,我们将遵循循序渐进、由易到难的教学策略。在练习过程中,我们将引导学生逐步深入,使他们在不断挑战自我中增强解决问题的能力。同时,我们还将注重培养学生的整体思考能力,并教授他们如何运用类比迁移的方法,从而更加高效地掌握新知识。通过这种尝试，我们希望他们可以充分成长，变成具有逻辑性思想与创造力的大学生。
“相似三角形的判定(2)——两边成比例且夹角相等的二个三角形相似”教学设计
（1）复习引入
问题一我们掌握了什么证明三角形相似的办法
问题二类比全等三角形判定中的SAS准则，我们必须思考以下问题：如果二三角的二组相对边长呈比例，而这二组边间的角度相同，则这二个三角是不是相同
引出问题：在这堂课下，接着探讨相似三角形的问题判定
【设计意图】总结已学的三角形相似判定方式，采用对比三角形全等的判定方法，推断相似三角形的判定方式，建立新旧知识之间的桥梁，从而引出本课的研讨主题。
（2）探究新知
探究1 利用三角形纸片进行探究
老师曾展示过二个三角形纸片，学生提出疑问：这二个三角之间是什么联系 依据是什么？
(动作：其中一个三角形纸片用小型磁铁粘结到黑板上并标上数字A，B，C)，让学生在另一三角的基石上做一个三角△A′B′C′，让其满足
让学生判断这两个三角形是否相似，请同学们拿出上节课让准备好的两个三角形的纸片，动手操作完成△A′B′C′的制作。然后再通过测量角，证明二个三角形是不是相同；也可以通过三角形中位线的特性判断而形成的三角形和原三角形能否相似。
探究2 利用教具进行探究
两条直木条钉在一起，长蓝边与短蓝边的比等于长红边与短红边的比值为2，判断两个三角形是否相似？依据是什么？
根据已知,当两个三角形的对应边之比为1:2或2:一，当它们的夹角相等时，这二个三角形都是相同的。但是，问题进一步询问，假设二边三角形的二边比率相同(不管这个比率是什么)，同时它的角度又相同，所以这二个三角形是不是仍然相同。
通过深入分析和推导，人们能够得到这样结果：当二种三角形的二边相等成比例，而且它们间的角度相同时，这二种三角形是相同的。这是一个重要的数学定理,它为我们判断三角形的相似性提供了有力的工具。
这样，我们才能确定的判定，假如二三角的二边比率相同(不管这个比率是什么)，同时它的角度也相同，所以这二三角是相同的。
【设计意图】通过类比证明两角相等的两个三角形相似的方法,使学生深刻感受在作全等和证明相似过程中所面临的挑战。进而,引导学生采用一种更为实际的策略,即首先构建相似关系,然后在此基础上证明全等,从而解决相关定理的证明问题。这些方式不但表现出严谨和合理的思考方法，而且训练了他们的逻辑推理能力。
（3）定理证明
教师提问：通过前面的实践活动，你打算如何证明呢？
在ΔABC和ΔA'B'C'中，已知∠A=∠A'，=，求证ΔABC∽ΔA'B'C'.教师结合活动体验的过程，设计问题串：
问题1　ΔABC与ΔA'B'C'是怎样建立联系的？也就是说如何把二条三角形变换到一个形状上
学生自然想到采用平移的方式可将两个三角形放在一起.
问题2　如何平移？具体操作？辅助线如何体现？
学生根据已有的知识经验，能够想到：先保证一边相等，如AB=A'D，并过D作平行线DE∥B'C'，交A'C'点于E，如下图.
问题3　中介三角形△A'DE分别与△ABC和△A'B'C'有什么关系呢？
学生通过全等三角形的判定定理，与判定三角形相似的预备定理易于知道：△ABC≌△A'DE，△A'DE∽△A'B'C'.
问题4　根据上述的思考过程，你能否书写规范的证明过程？动手试试.
问题5　用数学的语言如何表达？
学生根据已有的经验，用图形、文字和符号三种语言表达获得的结论。学生经动手尝试，小组讨论后，发现该定理的注意事项———该角必须是夹角.
【设计意图】在定理教学中，不仅要让学生掌握定理本身，还要让学生体验定理形成的思维过程，发展深度思维。通过教师设置递进式的问题串，学生结合活动与体验的经历，从动手实践获得的感性认识升华为逻辑推理的理性思考，推动思维的纵深发展．这样还会发展学生的数学推理素养和提升数学思维的品质，增强数学学习的主动性和积极性，感受到证明过程的合理性和自然性.
（4）应用训练
例子1：如图，点D在△的边AC上，要判定△和△差不多，加一个条件下，不恰当的情况是()
A．∠ABD＝∠C　B．∠ADB＝∠ABC C.＝ D.＝
【解析】
∵∠A是公共角．
∴当∠=∠或∠=∠时，△(有二角对应相同的三角形相似)；故A和B正确；
当＝时，△ADB∽△ABC(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)；故D正确；
当＝时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误．
故选C.
例子2：如图所示，在△边ABC中，AB=6，AC=4，P为AC的中点，而过P点的直线交AB为中点Q，如果以A、P、Q为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相同，则Q的长度为()
A．3　　　B．3或　　　C.
【解析】当△ABC∽△AQP时，
＝，即＝，AQ＝3；
当△ABC∽△APQ时，＝，
即＝，
AQ＝，
故选B.
【教学目标】帮助学习者完成知识点概括和整理，并保证其扎实掌握学习内容。随着精心设计的训练，我们将更加加深学习者对相似三角形判定规律的认识和应用。同时,我们致力于培养学生分析问题和解决问题的能力,使他们在解决问题的过程中形成清晰的思维逻辑,并享受成功带来的满足感。
“相似三角形的判定(3)——三边成比例的两个三角形相似”教学设计
（1）思考联想
首先，学校会采用提问的形式，指导他们总结相似三角形的概念和特点。
问题 教师在PPT上画出三条互相平行的直线l ,l ,l ，再画出两条与这三条平行线相交的直线l ,l （见下图）。分别测量出AB,BC,DE,EF的长度。判定与相等吗？任意平移l ，再次判断与还相等吗？
当l //l //l 时，有与，与,与,与相等。
【设计意图】通过复习以前的知识，引出新授课，让学生重温已有的数学知识框架。同时问题中预备知识的引入唤醒学生的回忆，使学生建立起前后知识的紧密联系。
（2）类比推理
探究一如图所示，在△边中，DE/BC，且DE分别交AB，AC于点为D，E，那么，△DE和△边相似吗
解析：按照定义，如果证明了△ACE，则应该有对应角分别等于，且对应边对应有比例，即。
经过预备定理的学习，学生们应能理解对应边之间的比例关系。为了进一步巩固这一知识点，我们将组织小组讨论，鼓励学生通过自主探究和合作交流的方式，深入研究并验证对应边比例相等的结论。
探究2要求学生亲自动手,绘制两个对应边成比例的三角形,并确保比例系数k保持一致。随后,我们将引导学生自主探究这两个三角形的角度,并鼓励他们通过度量来验证自己的发现。这样的实验活动将促进学生更加深刻地认识三角形的特点，增强学生的研究能力与协作精神。
问题 这两个三角形是否相似？和周围朋友进行探讨，看看可以得到一样的结果。
总结可以得出：如果二个三角形在三边呈比例，那么这二个三角形相同相似。
【设计意图】在课堂上,通过精心构建的情境,我们鼓励学生进行独立思考,积极探索并自主解决数学问题。学生在这个过程中,通过类比推理和自主探究,能够更深刻地理解和掌握判定定理,同时也能有效激发他们的学习兴趣。另外，学校还采取小组协作沟通的形式，积极培育学生的团队协作精神。在课堂练习环节，学生们有机会逐步加强对定理的掌握与运用，并以此培养学生的数理创新能力。
（3）典例精析
例一下列4×4的大方块网格中，小方块的边长都是1，而三角形的顶点也在格点上，故和△ABC相同的三角形所在的网格形状为()
(A)　(B)　(C)　(D)
【解析根据勾股定理求出△ABC的三边,并求出三边之比,然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比,然后再根据三边对应成比例，两三角形的相似选择答案.选B.
例二网格图上，每个方格都是边长为一的长方形.若A，B，C，D，E，F均为格点，试图△ABC∽.
【解析】∵AC＝，BC＝＝，AB＝4，DF＝＝2，EF＝＝2，ED＝8，∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF.
方法总结：判断三角形相似性的一个可靠办法就是：当问题给出了二个三角形的三边长后，我们就可以依次求解这二个三角形对应边的关系，并观测这些关系是不是相同。在进行计算时,务必确保最长边与最长边相对应,最短边与最短边相对应。
【教学目标】采用完成例题的形式，让学习者可以充分、深刻地认识和牢固掌握新学的基础知识，尤其是，在相似三角形的判定定理的应用上，取得了熟练水准。此外,这种方式还能有效促进学生对于新知内容的记忆,进一步巩固学习成果。
并通过教师的评价与总结，学生更加巩固本节课所学内容，清楚地了解到本节课的重难点，在今后的练习中会格外注意。
4.真题直通
例题(2020·上海中考数学试题)所已知： 如图，在菱形ABCD中，点E、F依次在边AB、AD上，BE=DF，而CE的延长线与DA的延长线于点G，CF的延长线与BA的延长线于点H.
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE^2=AB·AE，求证：AG=DF．
【【分析】(1)要证△BEC∽△，从图可知，虽然已经有了公共角，但只要有方法推出∠=∠H就可以解决；】（2）利用平行线分线段成比例定理得到线段比例式,再将题中已知的等式进行变形,并结合已知条件容易解决问题。
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CD∥AB，
又∵DF=BE，
∴△CDF≌CBE（SAS），
∴∠DCF=∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H=∠DCF，
∴∠BCE=∠H，
又∵∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH．
（2）证明：∵BE^2=AB·AE，
∴BE/AB=AE/EB，
∵AG∥BC，
∴AE/BE=EG/EC，
∵AB∥CD，
∴AG/AD=EG/EC，
∴AG/AD=AE/BE=BE/AB，
即AG/AD=BE/AB，
∵DF=BE，AD=AB，
∴AG=BE=DF，
即AG=DF．
拓展题目如图，与AB.CD相交于点M，∠=∠。 求证：△AMC∽△DMB
4.设计反思
深度学习对于学习者来说，也离不开老师的深入课程指导。在数学定理的教学中,教师应全面考量学生的既有知识、经验及思维层次,设计多样化的教学活动,旨在体现深度学习的特质。这些活动应涵盖实践操作、参与体验、互动交流、理性探索及反思总结等过程,从而让学生在这些活动中自然而然地形成和发展数学思维。采用这些方法，学习者可以了解研究问题的思考方式，从而领会数理思维，从而培育学生的数理核心素质，从而达到立德树人的教学目标。
当前的主要课程，源于华东师大版九年级课程“23.3.2相似三角形的判定”。本节课从三角形的几何属性入手,运用分类讨论和类比思维,着重从角的关系（数量关系）出发,研究相似三角形的三种判定定理，从而阐述该定理的意义。在教学过程中，学习者经过了通过观察发现、测试推测、证明与验证的整体教学路径。通过指导学生总结本节课程的学习策略，渗透公理化思想，为以后学习相似三角形的其他判定定理打下坚实基础。同时,激发学生对下节课内容的兴趣,使他们在课堂之外仍能带着数学问题深入思考,实现从“学会”向“会学”的转变,发挥学生的主观能动性和创造力，进而提高数学核心素质。指向深度学习的“相似三角形”作业设计
【作业设计理念及预期】深度学习，作为教师培育与提升学生核心素养的关键途径，是在教师的科学引领下，学生紧密围绕学习主题，以积极主动的态度参与、构建知识，体验成功，并实现全面发展的综合性学习过程。此过程中，联想与结构、活动与体验、本质与变式、迁移与应用等核心特征得到充分体现。
本次教学内容是本节教学内容源于华东师大版九年级教材“23.3.2相似三角形的判定”，立足于深度学习视角下进行教学设计，使学生经历观察、猜想、验证、推理的过程，促进思维的深层参与和获得良好的情感体验，提升数学思维的品质，培养学生的数学核心素养。本次作业的设计，依然遵循着促进学生深度学习的理念。我们充分考虑了学生的现有基础，并依据其最近的发展状况，构建了多层次、多样化的弹性作业结构，旨在满足不同类型学生的需求。作业的主要目标是训练学生理解和应用两角对应相等的两个三角形相似的判定定理，从而达到熟练运用的水平。在此过程中，我们还注重渗透建模思想和转化思想的应用，以培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
1.新知应用【设计意图】通过精心策划习题训练，我们力求帮助学生深化对本节课新知识的领悟与记忆。此外，我们也期望通过持续的练习，能够逐步培养和提升学生的图形观察与分析能力，使他们能够依据问题的具体条件，精确地识别并恰当运用三角形相似判定定理所需的各项条件。
（1）判断下列说法是否正确.
①所有的直角三角形都相似.（）
②所有的等腰直角三角形都相似.（）
③所有的等边三角形都相似.（）
④有一个角是50°的等腰三角形相似.（）
如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加
一个适当的条件是（）（填一个即可）
（3）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似的三角形一共有（）
A、1对B、2对C、3对D、4对
（4）1、下列命题中，真命题是()
A.两边及一个角对应相等的两个三角形全等
B.两个等边三角形一定相似
C.两个直角三角形一定相似
D.两个等腰三角形一定相似
（5）已知，P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，
求证：△ADM∽△MCP。
（6）在△ABC和△A＇B＇C＇中，AB=3cm，BC=6cm，CA=5cm，A＇B＇=3cm，B＇C＇=2.5cm，A＇C＇=1.5cm，则下列说法中，错误的是（）
A、△ABC与△A＇B＇C＇相似
B、AB与A＇B＇是对应边
C、相似比为2：1
D、AB与A＇C＇是对应边
（7）网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A、B、C、D、E、F都是格点，试证明：△ABC∽△DEF。
2.知识强化【设计意图】采用渐进式的教学方法，引导学生深入思考三角形相似的必要条件。我们鼓励学生积极探寻解决问题的策略，通过独立思考和团队合作等数学活动，培养学生的协作互助精神，并提升他们的数学交流和表达能力。
（1）已知：如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（　　）
A.1对B.2对　　C.3对D.4对
（2）如图，△ABC中，边AC、BD的中点分别为E、F，BF,CD相交与点G，FG=2，则CF长为（）
A.4B.4.5C.5D.6
（3）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且
①求证：△ACD∽△CBD；②求∠ACB的大小。
（4）如图，桌台ABCD上，AD为260cm，AB为130cm，这是小丁将E点的球击到F点位，回弹后落到了D点，此时AE=60cm。
①证明：①证明：△ BEF∽ CDF；②确定 CF的长度
3.拓展提升【设计意图】引导学生梳理深化本节课内容中三角形相似判定命题的基本思路“构全等、证相似”，让学生体会一题多解的不同的证明方法的异同，让学生在总结、反思中，深刻理解多解归一的数学解题思想，发展学生的逻辑推理能力。检测学生的学习效果，实现教学评一体化。
（1）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.
E是AC上一点，AE=5，
ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.
4.实际情境运用【设计意图】在现代教育体系之中，我们对于学生能力的培育予以了高度重视，而非仅仅局限于知识的单方面灌输。特别值得一提的是，将课堂所学灵活运用到现实情境之中，已成为评判学生综合素质不可或缺的关键指标。鉴于此，我们精心策划了一系列与实际情境紧密结合的教学活动，其目的在于使学生能够将课堂所学与实际生活相融合，进而锤炼其知识运用与实践操作能力。
（1）小明站在距离大楼底部30米的地方，他观察到大楼的顶部和底部之间的角度为60°。如果小明身高为1.5米，并且他和大楼在同一水平线上，那么大楼的实际高度是多少？

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