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专题12.10 角平分线的性质（精选精练）（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级下·辽宁辽阳·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（24-25八年级上·全国·假期作业）在中，点是内一点，且点到三边的距离相等．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
5．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：
；
点在的平分线上；
，
其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2024·山东烟台·一模）如图，在中，，根据图中尺规作图痕迹，的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，的周长为23，和的角平分线交于点O，且于点D，，则的面积为（ ）
A．23 B．34 C．39 D．46
8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（ ）
A．12 B．8 C． D．10
9．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
10．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，延长到点，延长到点．的角平分线交于点，过点分别作，垂足为，则下列结论正确的有（ ）
①平分；②；③；④．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为12时，的长为 ．
12．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，点在内，于点，于点，且，，则 ．
13．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点D在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点E，连接，则 ．
14．（19-20八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ．

15．（2024·湖南岳阳·二模）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．则的长是 ．
16．（2024·重庆·三模）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为 ．

17．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，平分，为高，的面积为6，，则的长为 ．
18．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，平分，平分，于点E，于点F．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，求的面积．
20．（8分）（2024·广东汕头·二模）如图，已知中，，，，，
（1）作的平分线，交于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设的面积为，的面积为，试求的值．
21．（10分）（23-24八年级下·安徽阜阳·开学考试）如图，在中，，是上一点，于点，且．
（1）求证：平分；
（2）若，求的度数．
22．（10分）（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，于E，于F，若
（1）求证：平分；
（2）直接写出之间的等量关系．
23．（10分）（21-22八年级上·湖北黄冈·期中）如图，，，，、交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）求的度数．（用含α的式子表示）
24．（12分）（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍.
【问题提出】
（1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______．
【问题探究】
（2）①巧翻折，造全等
如图②，在中，是的角平分线，请说明．
小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答；
②构距离，造全等
如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离；
【问题解决】
（3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：作于，
是的角平分线，，
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
过点作于，得到，然后利用的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：过点作于，
是的角平分线，，
，
，
解得．
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了角平分线的判定定理，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可推出是三条角平分线的交点，即是的角平分线，是的角平分线，再利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】到三边的距离相等
是三条角平分线的交点
是的角平分线，是角平分线
，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，可得可供选择的地址有4个．
【详解】解：作直线所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，
如图所示：外角平分线分别相交于点，
且内角平分线相交于点，
∴角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．
故选：D．
5．A
【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质和判定、全等三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和判定．
作可通过角平分线的性质判断；根据角平分线的判定判断；利用和推得，，再根据即可判断，综上即可得解．
【详解】解：作于点，
、分别平分、，
且、、，
，，
，
正确；
且、，
在的平分线上，
正确；
四边形中，，，
，
在和中，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
，
正确；
综上，都正确．
故选：．
6．C
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和，尺规作一个角的平分线．解题的关键是确定点O为三条角平分线的交点．由作图可知，点为三条角平分线的交点，利用角平分线平分角和三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】解：∵中，，
∴，
由作图可知，点O为三条角平分线的交点，
∴，
∴，
∴；
故选C．
7．D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键．
过点O作于E，于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得，再根据三角形面积计算即可．
【详解】解：如图: 过点O作于E，于F，
的平分线交于O，，，，
∴，，
∴，
∴的面积．
故选D．
8．D
【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，再证明，可得，然后由求解即可．
【详解】解：根据题意，可知平分，
∵，，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
9．A
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，证明，，根据题意列方程，解方程即可．
【详解】解：如图，作于，
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
同理，，
设的面积为，由题意得，
，
解得，
即的面积为11，
故选：A
10．D
【分析】①过点作于点，根据角平分线的性质推出即可进行判断；②证，即可进行判断；③根据“平分，平分” 即可进行判断；④由②中全等三角形的性质即可进行判断．
【详解】解：①如图，过点作于点，
∵的平分线交于点P，，，，
，，
，
∴，，
∴平分，故①正确；
②，，
，
，
在和中，
，
，
同理：，
，
，
，故②正确；

③平分，平分，
，，
，③正确；
④由②可知，，
，，
，故④正确．
综上分析可知，正确的有4个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质、全等三角形的判断及性质，三角形外角的性质，四边形内角和定理等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．4
【分析】本题考查了角平分线的性质，过点E作于点F，根据角平分线的性质可得出，由三角形面积可得出，即可求出的长．
【详解】解：过点E作于点F，如图所示．
∵平分，且，
∴．
∵，
即，
∴，
∴．
故答案为：4．
12．/55度
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上．
根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得平分，再根据三角形内角和定理求解．
【详解】∵，，且，
∴
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，掌握角平分线性质和判定是解题的关键．根据角平分线的性质即可求得点E到的距离相等，再利用角平分线的判定即可得到是的角平分线，进而得到的度数．
【详解】解：过点E分别作，，，垂足分别为H，F，G，
∵的平分线与的平分线相交于点E，
∴，
∴是的平分线，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．5
【分析】作于F，根据角平分线的性质求得，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如下图，作于F，

平分，，，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
，
故答案为：5
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．
15．
【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，先根据作图过程判断平分，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进而可得，由此可解．
【详解】解：由作图过程可知平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，过点C作交的延长线于点F，证明，则，证明，则，得到，即可得到的长．
【详解】解：过点C作交的延长线于点F，

∵平分，于点E，于F，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：
17．3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形．
延长，过点A作于点F，易得，则，进而推出，，则，通过证明，得出，结合三角形的面积公式，即可解答．
【详解】解：延长，过点A作于点F，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∵的面积为6，
∴，
解得：，
故答案为：3．
18．/70度
【分析】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于是解题的关键．连接，过作，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，由等腰三角形性质得出，最后利用外角性质即可得到答案．
【详解】解：连接，过作，如图所示：
∵平分，平分，
，
∴平分，
∴，
∵平分，平分，
∴，
，
，
∴，
∴，
∵将纸片沿折叠，点A落在点处，
∴，
∴，
，
∴，
是的一个外角，
∴，
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，角平分线的性质：
（1）根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论；
（2）利用角平分线性质得出，再利用三角形面积公式即可求出．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴．
（2）解：平分，，，，
∴．
∵，
∴．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作角平分线、角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟练掌握尺规作角平分线、角平分线的性质定理是解题的关键；
（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，得到弧与角的两边的交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，连接点和这个交点即可；
（2）根据角平分线的性质定理，得出中，边上的高，再利用三角形的面积公式计算求值即可．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求，
（2）解：∵平分，，
∴中，边上的高，
∵，，
∴，，
∴．
21．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据已知条件结合角平分线性质定理的逆定理即可证明；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余求解．
此题主要考查了角平分线性质的运用和直角三角形性质的运用．题目比较简单，属于基础题．
【详解】（1）证明：，，，
点在的平分线上，
平分．
（2）解：，，
，
平分，
22．(1)见解析
(2)结论：，见解析部分
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（1）根据相“”定理得出，故可得出，所以平分；
（2）由（1）中可知平分，故可得出，所以，故．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∴在和中，
，
∴
∴，
∵
∴平分；
（2）解：结论：
理由：∵
∴
∵
∴
∵，
∵
即：．
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由条件根据可证明，则结论得证；
（2）过点作于，于，可证明，可证得，利用角平分线的判定可证明结论；
（3）由（1）可得，再利用三角形内角及外角的性质可求得．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：过点作于，于，
，
，
在和中，
，
，
，
于，于，
平分；
（3）解：，
，
，
，
，
由（2）得平分，
，
即．
24．（1）；（2）①见解析；②点到的距离是；（3），理由见解析
【分析】（1）直接利用证明即可得出；
（2）①根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答；
②如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得,即为的中点，进而求得的长即可；
（3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：（1）证明：

根据作图可得，
又，
∴，
∴，
即；
故答案为：；
（2）①在上截取．连接DE，
∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴．
∴；
②如图：过点作，垂足为点，
和的平分线，交于点，
，即，
，即点到的距离是；
（3），理由如下：
，
，
，是的两条角平分线，且，交于点．
，
；
在上截取，连接，则，
，，
∵，
，
，
，
又，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．专题12.10 角平分线的性质（精选精练）（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级下·辽宁辽阳·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（24-25八年级上·全国·假期作业）在中，点是内一点，且点到三边的距离相等．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
5．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：
；
点在的平分线上；
，
其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2024·山东烟台·一模）如图，在中，，根据图中尺规作图痕迹，的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，的周长为23，和的角平分线交于点O，且于点D，，则的面积为（ ）
A．23 B．34 C．39 D．46
8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（ ）
A．12 B．8 C． D．10
9．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
10．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，延长到点，延长到点．的角平分线交于点，过点分别作，垂足为，则下列结论正确的有（ ）
①平分；②；③；④．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为12时，的长为 ．
12．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，点在内，于点，于点，且，，则 ．
13．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点D在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点E，连接，则 ．
14．（19-20八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ．

15．（2024·湖南岳阳·二模）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．则的长是 ．
16．（2024·重庆·三模）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为 ．

17．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，平分，为高，的面积为6，，则的长为 ．
18．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，平分，平分，于点E，于点F．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，求的面积．
20．（8分）（2024·广东汕头·二模）如图，已知中，，，，，
（1）作的平分线，交于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设的面积为，的面积为，试求的值．
21．（10分）（23-24八年级下·安徽阜阳·开学考试）如图，在中，，是上一点，于点，且．
（1）求证：平分；
（2）若，求的度数．
22．（10分）（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，于E，于F，若
（1）求证：平分；
（2）直接写出之间的等量关系．
23．（10分）（21-22八年级上·湖北黄冈·期中）如图，，，，、交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）求的度数．（用含α的式子表示）
24．（12分）（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍.
【问题提出】
（1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______．
【问题探究】
（2）①巧翻折，造全等
如图②，在中，是的角平分线，请说明．
小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答；
②构距离，造全等
如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离；
【问题解决】
（3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由．
试卷第1页，共3页

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