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专题13.11 最短路径（将军饮马）问题（题型分类专项练习）
【题型目录】
【题型1】两定一动型； 【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型；
【题型3】一定两动（垂线段最短）型； 【题型4】两定两动型；
【题型5】一定两动（等线段）转化型.
选择题
【题型1】两定一动型；
1．（2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．13
2．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知中，，，边的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一点，则的周长最小值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
3．（22-23八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，P是直线上的任意一点，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4.5
4．（18-19七年级下·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（　　）
A．15 B．17 C．18 D．20
【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型；
5．（2020·辽宁鞍山·一模）如图，点是内任意点，分别是射线OA，和射线OB上的动点，周长的最小值为8cm，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（18-19八年级上·河南商丘·期末）如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（ ）
A．145° B．110° C．100° D．70°
7．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
8．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型3】一定两动（垂线段最短）型；
9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在锐角中，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是（ ）

A． B．6 C． D．3
10．（20-21八年级上·河北唐山·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（22-23八年级上·江苏镇江·期中）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
12．（20-21八年级上·辽宁大连·期末）如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【题型4】两定两动型；
13．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，锐角∠AOB＝x，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠QNO＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β，x的数量关系正确的是（　　）
A．α﹣β＝2x B．2β+α＝90°+2x
C．β+α＝90°+x D．β+2α＝180°﹣2x
14．（18-19八年级上·河南许昌·期中）如图，，M，N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，记，当的值最小时，关于，的数量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（19-20八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
16．（18-19八年级上·湖北孝感·期中）如图，∠AOB＝20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠OQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（ ）
A．β﹣α＝30° B．β﹣α＝40° C．β+α＝180° D．β+α＝200°
【题型5】一定两动（等线段）转化型.
17．（2022·贵州遵义·二模）如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，点E是BC边上的一个动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为（）
A．2 B． C． D．
18．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在等腰中，，平分，平分，M、N分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（ ）

A．7 B．6 C．5 D．10
19．（22-23九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
20．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，等腰中，，当的值最小时，的面积（ ）

A． B． C． D．
填空题
【题型1】两定一动型；
21．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在中，于点D，垂直平分，交于点，点是上一动点，则的周长的最小值是 ．
22．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点是上任意一点，连接；若，则的周长的最小值为 ．
23．（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是 ．
24．（20-21八年级上·江西赣州·期末）如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型；
25．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，已知，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度，的周长的最小值是 ．

26．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °

27．（21-22八年级上·湖北十堰·期末）如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为 ．
28．（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）已知，点P在的内部，，上有一点M，上有一点N，当的周长取最小值时， ，的周长为 ．
【题型3】一定两动（垂线段最短）型；
29．（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ．
30．（22-23七年级下·广东揭阳·期末）如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．

31．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）在中，，D是边上一点，，E，F分别是边上的动点，则的最小值为 ．
32．（20-21八年级上·浙江台州·期中）如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15 ，OB=5，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，Q是OA上一动点，则PA+PQ的最小值是

【题型4】两定两动型；
33．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，点M、N分别在边上，且，，点P、Q分别在边上，则当取最小值时， ．

34．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ．
35．（20-21八年级上·天津·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）．
36．（22-23八年级上·福建南平·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则α与β的数量关系为 ．
【题型5】一定两动（等线段）转化型.
37．（19-20八年级上·北京房山·期末）已知，点为射线上一点，点为的中点，且.当点在射线上运动时 ，则与和的最小值为 ．
38．（19-20八年级上·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+CE的最小值为 ．
39．（21-22七年级下·四川成都·期末）如图△ABC为等腰三角形，其中∠ABC=∠BAC=30°，以AC为底边作△ACD，其中∠ACD=∠CAD=30°，再以AD为底边作△ADE，其中∠ADE=∠DAE=30°，△ADE两底角的角平分线交于点O，点P为直线AC上的动点，已知|BP DP|最大值为8．则DP+OP的最小值为 ．
40．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ．
试卷第1页，共3页专题13.11 最短路径（将军饮马）问题（题型分类专项练习）
【题型目录】
【题型1】两定一动型； 【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型；
【题型3】一定两动（垂线段最短）型； 【题型4】两定两动型；
【题型5】一定两动（等线段）转化型.
选择题
【题型1】两定一动型；
1．（2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．13
2．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知中，，，边的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一点，则的周长最小值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
3．（22-23八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，P是直线上的任意一点，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4.5
4．（18-19七年级下·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（　　）
A．15 B．17 C．18 D．20
【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型；
5．（2020·辽宁鞍山·一模）如图，点是内任意点，分别是射线OA，和射线OB上的动点，周长的最小值为8cm，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（18-19八年级上·河南商丘·期末）如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（ ）
A．145° B．110° C．100° D．70°
7．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
8．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型3】一定两动（垂线段最短）型；
9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在锐角中，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是（ ）

A． B．6 C． D．3
10．（20-21八年级上·河北唐山·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（22-23八年级上·江苏镇江·期中）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
12．（20-21八年级上·辽宁大连·期末）如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【题型4】两定两动型；
13．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，锐角∠AOB＝x，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠QNO＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β，x的数量关系正确的是（　　）
A．α﹣β＝2x B．2β+α＝90°+2x
C．β+α＝90°+x D．β+2α＝180°﹣2x
14．（18-19八年级上·河南许昌·期中）如图，，M，N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，记，当的值最小时，关于，的数量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（19-20八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
16．（18-19八年级上·湖北孝感·期中）如图，∠AOB＝20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠OQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（ ）
A．β﹣α＝30° B．β﹣α＝40° C．β+α＝180° D．β+α＝200°
【题型5】一定两动（等线段）转化型.
17．（2022·贵州遵义·二模）如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，点E是BC边上的一个动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为（）
A．2 B． C． D．
18．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在等腰中，，平分，平分，M、N分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（ ）

A．7 B．6 C．5 D．10
19．（22-23九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
20．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，等腰中，，当的值最小时，的面积（ ）

A． B． C． D．
填空题
【题型1】两定一动型；
21．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在中，于点D，垂直平分，交于点，点是上一动点，则的周长的最小值是 ．
22．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点是上任意一点，连接；若，则的周长的最小值为 ．
23．（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是 ．
24．（20-21八年级上·江西赣州·期末）如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型；
25．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，已知，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度，的周长的最小值是 ．

26．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °

27．（21-22八年级上·湖北十堰·期末）如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为 ．
28．（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）已知，点P在的内部，，上有一点M，上有一点N，当的周长取最小值时， ，的周长为 ．
【题型3】一定两动（垂线段最短）型；
29．（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ．
30．（22-23七年级下·广东揭阳·期末）如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．

31．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）在中，，D是边上一点，，E，F分别是边上的动点，则的最小值为 ．
32．（20-21八年级上·浙江台州·期中）如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15 ，OB=5，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，Q是OA上一动点，则PA+PQ的最小值是

【题型4】两定两动型；
33．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，点M、N分别在边上，且，，点P、Q分别在边上，则当取最小值时， ．

34．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ．
35．（20-21八年级上·天津·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）．
36．（22-23八年级上·福建南平·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则α与β的数量关系为 ．
【题型5】一定两动（等线段）转化型.
37．（19-20八年级上·北京房山·期末）已知，点为射线上一点，点为的中点，且.当点在射线上运动时 ，则与和的最小值为 ．
38．（19-20八年级上·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+CE的最小值为 ．
39．（21-22七年级下·四川成都·期末）如图△ABC为等腰三角形，其中∠ABC=∠BAC=30°，以AC为底边作△ACD，其中∠ACD=∠CAD=30°，再以AD为底边作△ADE，其中∠ADE=∠DAE=30°，△ADE两底角的角平分线交于点O，点P为直线AC上的动点，已知|BP DP|最大值为8．则DP+OP的最小值为 ．
40．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键．
先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E，
∴，
∵的周长是18，，
∴的周长，
点P在直线上，如图，连接，

∵点P在的垂直平分线上，
∴，
∴，
故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，由三角形周长公式得到的周长，故当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵边的垂直平分线分别交，于点，，
∴，
∴的周长，
∴当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长，
∴的周长的最小值为，
故选C．
3．B
【分析】如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质推出，由此得当P、A、B三点共线时，此时P与D点重合，的最小值为．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴要使最小，即要使最小，
∴当P、A、B三点共线时，此时P与D点重合，的最小值为，
故选:B．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据点与点关于对称，即可得出，当点与点重合时，，此时的周长最小，根据与的长即可得到周长的最小值．
【详解】解：是以为底边的等腰三角形，平分，
垂直平分，
点与点关于对称，
，
如图所示，当点与点重合时，，
此时的周长最小，
，，的周长为30，
，
周长的最小值为，
故选：．
【点拨】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
5．A
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是8cm，
∴PM+PN+MN=8，
∴DM+CN+MN=8，
即CD=8=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
6．B
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长=P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°．
【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则
OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，∠NPO=∠NP2O，
∴∠P1OM=∠MOP，∠NOP=∠N O P2，
根据轴对称的性质，可得MP=P1M，PN=P2N，则
△PMN的周长的最小值=P1P2，
∴∠P1OP2=2∠AOB=70°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=110°，
∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=110°，
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1=110°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
7．C
【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题．
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．
∴，，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴M、C、N共线，
∵，
∵，
∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小，
最小值为，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选：C．
【点拨】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
8．D
【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得．
【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F，
则，，
∴，
∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，
∵四边形中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径．
9．C
【分析】在上截取，连接，作，交于，由含的直角三角形可得，可证，可得，易知，易知当点，点，点三点共线，且垂直时，的值最小，即，进而求得答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
在上截取，连接，作，交于，
∵，，
∴，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点，点，点三点共线，且垂直时，的值最小，
即：，
∴的最小值为．
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是最短路径问题，全等三角形的判定及性质，含的直角三角形的性质，掌握最短路径的确定方法是解题的关键．
10．B
【分析】作N关于的对称点，连结，与交于点O，过点C作于点E，根据角平分线的性质可得，则，根据两点之间线段最短可得的最小值为，再根据垂线段最短，的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度，最后由的面积求出，即可求解．
【详解】解：如图，作N关于的对称点，连结，与交于点O，过C作于E，
∵平分
∴在上，且
∴，
∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线，
∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度，
∵ 的面积为 10
∴
∴
故选B．
【点拨】本题主要考查了最短路径问题， 角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
11．C
【分析】作，垂足为H，交于M点，过M点作，垂足为N，则为所求的最小值，根据是的平分线可知，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，作，垂足为H，交于M点，过M点作，垂足为N．
是的平分线，
，
，
是点B到直线的最短距离（垂线段最短），
是的最小值，
，，
，
故选C．
【点拨】本题考查的是轴对称—最短路线问题、角平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
12．C
【分析】过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值，再利用等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图：
过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，
根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，
AF＝FC，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ECF＝30°．
故选：C．
【点拨】本题考查最短路径问题——垂线段最短，等边三角形的性质，根据垂线段最短找到点E、F是解题的关键．
13．A
【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则此时MP+PQ+QN最小，易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，再结合∠OPM=∠NPQ=∠AOB+∠OQP，∠OQP=∠AQN=∠AOB+∠ONQ，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，
连接交于Q，交于P，则此时的值最小．
此时，，．
∵∠OPM=∠NPQ=∠AOB+∠OQP，∠OQP=∠AQN=∠AOB+∠ONQ，
∴，，
∴，即：，
故选：A．
【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．B
【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，KD∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，由此即可解决问题．
【详解】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则此时的值最小．
易知，．
∵，，
∴．
故选：B.
【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．D
【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，则由轴对称知识可知，所以依据垂线段最短知：当在一条直线上，且时，取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出.
【详解】解：∵，平分，
∴，
作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，
则，，，，，
∴，，，，
当在一条直线上，且时，取最小值，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D.
【点拨】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键.
16．D
【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，可得MP+PQ+QN最小，根据轴对称的性质可得∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形内角和及外角性质即可得答案.
【详解】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，
∴NQ=NQ′，PM=PM′，∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∴MP+PQ+QN最小，
∵∠OQN＝180°﹣20°﹣∠ONQ，∠OPM＝∠NPQ＝20°+∠OQP，∠OQP＝∠AQN＝20°+∠ONQ，
∴α+β＝180°﹣20°﹣∠ONQ+20°+20°+∠ONQ＝200°．
故选D．
【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键.
17．B
【分析】当AF⊥AB时，AF的值最小，过D作DG⊥BC，可证∠ADF=∠DEG，进一步证明△DEG≌△GFA可求解．
【详解】解：当AF⊥AB时，AF的值最小，过D作DG⊥BC，
∵DG⊥BC，AF⊥AB
∴∠DGB=∠DGE=∠DAF=90°
∴∠B+∠BDG=90°，∠GDE+∠DEG=90°
∵△ABC和△DEF都是等边三角形
∴DF=EF，∠B=∠FDE=60°，∠BDG=30°
∴∠ADF+∠GDE=180°-∠BDG-∠FDE=180°-60°-30°=90°
∴∠ADF=∠DEG
又∵∠DGE=∠DAF=90°，DE=DF
∴△DEG≌△FDA（AAS）
∴AF=DG
故选：B．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18．C
【分析】过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为．延长两线交于点G，证明，，根据全等三角形的性质，得到．
【详解】过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为，

延长两线交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴的最小值为5，
故选D．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定性质，垂线段最短原理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理是解题的关键．
19．D
【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．
【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示：
在中，，
∴，
∵
＝，
∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，
此时，，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为12，
故选：D．
【点拨】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．
20．C
【分析】过点作，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得，则，连接交于，在中，由三角形三边关系可得，则、、三点共线时，的值最小，即的值最小，证明，根据全等三角形的性质得，过点作于，根据含角的直角三角形的性质求出，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：过点作，使，连接，

∵，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
连接交于，
在中，由三角形三边关系可得，则、、三点共线时，的值最小，即的值最小，
∵，
，
在和中，
，
，
，
过点作于，
，
，
的面积为．
故选：C．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的三边关系、最短距离问题、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
21．
【分析】本题主要考查了轴对称 最短路线问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
连接，根据垂直平分线的性质以及轴对称的性质求解即可．
【详解】解：如图：连接，
∵于点D，
∴，即，即,
∵垂直平分，
∴，
∴,即是的最小值为8，
∴的周长的最小值为．
故答案为：．
22．19
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形三边关系，先根据作图过程得出直线是的垂直平分线，即，根据三角形三边关系：，则点E在上时，此时，故的周长有最小值，且为，即可作答．
【详解】解：如图：连接
∵在中，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，
∴直线是的垂直平分线
∴
根据三角形三边关系：
当点E在上时，此时
则的周长有最小值，且为
故答案为：19
23．4
【分析】连接，则，则易得的最小值为线段的长，从而问题得以解决．
【详解】解：连接，如图，
是的垂直平分线，
，
，
当点在线段上时，的最小值为线段的长，
，
的最小值为4．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，两点间线段最短等知识，利用线段垂直平分线的性质得到是问题的关键．
24．
【分析】如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵为直线上一动点，
∴，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题考查轴对称—最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形三边关系，三角形的面积与周长等知识，解题的关键是确定．
25．
【分析】分别作出点关于，两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与，的交点即为所确定的点；连接，，，由轴对称的性质得：，，，证得是等边三角形，即可得到结论．
【详解】解：①分别作点关于，的对称点，；连接，，分别交，于点、点，则此时的周长最小．
连接，，，
由轴对称的性质得：，
，，
，
，
是等边三角形，
，，，
∴，
的周长，
故答案为：，．
【点拨】此题主要考查了轴对称最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点．
26．150
【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．
，
，
，，且，，
故答案为：150．
【点拨】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
27．160°
【分析】要使周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作点A关于BC和CD的对称点，即可得到，进而求得，即可得到答案．
【详解】
作点A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，
则即为周长最小值
，
故答案为：160°．
【点拨】本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
28． /120度 4
【分析】作P关于直线的对称点，作P关于直线的对称点，连接，交于M，交于N，则此时的周长最小，连接，，和分别与和交于C，D，根据对称的性质得到，，，，，可证明是等边三角形，得到，继而推出的周长为，利用四边形内角和求出，利用三角形内角和求出，根据等边对等角求出，再利用角的和差求出结果．
【详解】解：如图，作P关于直线的对称点，作P关于直线的对称点，连接，交于M，交于N，则此时的周长最小，连接，，和分别与和交于C，D，
∵P关于直线的对称点，P关于直线的对称点，
∴，，，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的最小周长为，
∵，，
∴，，
在四边形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，4．

【点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题，对称的性质，等边对等角，等边三角形的性质和判定的应用，三角形内角和，关键是找出符合条件的M、N点的位置，题目比较好，但有一定的难度．
29．
【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于对称点，连接，则，由得当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解．
【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点，
∴在上，
连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，
∵在锐角三角形中，，的面积为7，
∴，
∴ ，
即的最小值为，
故答案为：．
30．
【分析】作点关于的对称点，延长至，使，连接，交于，此时的值最小，就是的长，证明即可．
【详解】解：作点关于的对称点，延长至，使，连接，交于，此时的值最小，就是的长，

，，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
点E为边上的中点，
，
，即的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了轴对称，最短路径问题和直角三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的性质作出对称点，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质与判定的灵活运用．
31．5
【分析】延长作，连接，由点到直线的距离可知当时有最小值，根据30度角的直角三角形性质作答即可．
【详解】解：延长作，连接，
此时，
∵最小，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了求最短距离，含30度角的直角三角形的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
32．
【分析】在射线OB上截取一点Q′，使得OQ′＝OQ，则△OPQ≌△OPQ′，可得PQ＝PQ′．作AH⊥OB于H．可得PA＋PQ＝PA＋PQ′，推出当A、P、Q′共线，且垂直OB时，PA＋PQ′的值最小，最小值为AH．
【详解】解：在射线OB上截取一点Q′，使得OQ′＝OQ，则△OPQ≌△OPQ′，可得PQ＝PQ′．作AH⊥OB于H．

∴PA＋PQ＝PA＋PQ′，
∴当A、P、Q′共线，且垂直OB时，PA＋PQ′的值最小，最小值为AH，
在Rt△ABH中，∵OB＝AB＝5，∠ABH＝30°，
∴AH＝AB＝，
∴PA＋PQ的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查轴对称 最短问题、等腰三角形的性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
33．20
【分析】作M关于的对称点，作N关于的对称点，连接，即为的最小值；证出为等边三角形，为等边三角形，得出，即为的面积．
【详解】解：作M关于的对称点，作N关于的对称点，如图所示：
连接，

则，
即为的最小值．
根据轴对称的定义可知：，，
∴为等边三角形，为等边三角形，
∴，
∵，，
∴
．
故答案为：20．
【点拨】本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，属于填空题中的压轴题，通过轴对称变换找到取最小值时P，Q的位置是解题的关键．
34．
【分析】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，
，，
，
，
故答案为：．
35．50
【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，可知此时最小，此时，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．
【详解】解：作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，如图所示．
根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，,
∴，
∴，
故答案为：50．
36．
【分析】作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于P，交于Q，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于P，交于Q，则最小，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
37．
【分析】作点D关于OA的对称点D′，连接CD′交OA于点P′，连接DP,，根据轴对称的性质得到P′D′=P′D，此时DP′+CP′=CD′即为PC+PD的最小值，根据已知条件计算求出结果即可．
【详解】解：作点D关于OA的对称点D′，连接CD′交OA于点P′，连接DP′，根据轴对称的性质得到P′D′=P′D，此时DP′+CP′=CD′即为PC+PD的最小值.
设DD′与OA交于点E，
∵∠O=30°，OD=3，由对称性可知∠DEO=90°,
∴∠ODE=60°，DE=OD=,
∴DD′=2DE=3,∴DD′=CD，
∴∠D′=∠DCD′=∠ODE=30°，∴∠EDP′=∠D′=30°，
∴∠ODP′=∠ODE+∠EDP′=90°，
∴在Rt△ODP′中，∠O=30°，OD=3，∴DP′=
∴CP′=2DP′=2
∴DP′+CP′=3
故与和的最小值为3
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，两点之间线段最短的性质．得出动点所在的位置是解题的关键．
38．/1.5
【分析】作构造，再过点D作交于点E，，所以最小，根据含直角三角形的性质即可求得的长．
【详解】解∶如图，过点C作，过点D作交于点E，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴的最小值为，
故答案为．
【点拨】本题考查了最短路径以及含30度角的直角三角形，解决本题的关键是构造适当的辅助线．
39．4
【分析】作点D关于直线AC的对称点D'，连接DD'交AC于点P，此时|BP DP|最大，求得AD=AD'=CD=CD'=BD'sin30°=4， 证明△D'AD是等边三角形，推出DD'=4，证明△ODD'≌△OAD' (SSS)，据此即可求解．
【详解】解：作点D关于直线AC的对称点D'，连接DD'交AC于点P， 连接 CD'，
由三角形两边之差小于第三边可知，此时|BP DP|最大，
∴BD'=|BP DP|max=8，
连接OD'，交AC于点H，当P在H时，DP+OP最小；
由题意可得：∠CBA=∠CAB=∠CDA=∠CAD=∠CD'A=∠CAD'=30°，
∴∠BCD'=120°-∠ACD'=90°，
∴AD=AD'=CD=CD'=BD'sin30°=4，
∵∠D'AD=60°，
∴△D'AD是等边三角形，
∴DD'=4，
∵OA是∠DAE的角平分线，DO是∠ADE的角平分线，
∴∠OAD=∠ODA=15°，
∴∠D'AO=75°，
∵，
∴△ODD'≌△OAD' (SSS)，
∴∠AOD'=∠DOD'=75°，
∴∠D'OA=∠D'AO=75°，
∴D'O=D'A=4，
∴(DP+OP)min =4，
故答案为：4
【点拨】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
40．4
【分析】由等腰中，，可得，由平分，可得，如图，作，使，连接，则，证明，则，，，可知当三点共线时，最小，即，证明是等边三角形，则，进而可求．
【详解】解：∵等腰中，，
∴，
∵平分，
∴，
如图，作，使，连接，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴当三点共线时，最小，即，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键．

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