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专题13.7 等边三角形（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】等边三角形定义
三边都相等的三角形叫等边三角形.　　
【要点提示】由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
【知识点二】等边三角形的性质
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
【知识点三】等边三角形的判定
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【知识点四】含30°的直角三角形
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　
【要点提示】这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用等边三角形性质求值与证明
【例1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使．
（1）求的度数？
（2）用尺规作图的方法，过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）求证：．
【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析
【分析】此题综合考查了等边三角形的性质、基本作图和等腰三角形的性质．全等和等腰三角形都是证明线段相等的常用方法．
（1）根据等边三角形的性质和三角形的外角的性质进行求解；
（2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法进行求作；
（3）根据等腰三角形的三线合一进行证明．
（1）解：是等边三角形，
，
又，为的外角，
；
（2）如图所示：
（3）证明：是等边三角形，是中点，
，又，
，
，
又，
．
【变式1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，是等边的边上的中线，以点D为圆心，长为半径画弧交的延长线于E，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握三线合一的性质是解题关键．根据等边三角形的性质，得到，，根据等边对等角的性质，得到，再利用三角形外角的性质求解即可．
解：是等边三角形，是边上的中线，
，，
由作法可知，，
，
是的外角，
，
，
故选：A．
【变式2】（2023·广东清远·一模）如图，等边三角形和等边三角形的边长都是，点，，在同一条直线上，点在线段上，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，连接，证明，可得，所以，当点与点重合时，的值最小，正好等于的长，进而可得的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
解：如图，连接，
∵和都是边长为的等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点与点重合时，的值最小，正好等于的长，
∴的最小值为，
故答案为：．
【题型2】利用等边三角形判定求值与证明
【例2】（21-22八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，．
（1）求证：；
（2）连接，请判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，见解析
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
（1）连接，由垂直平分线的性质可求得，在中，由直角三角形的性质可证得，则可证得结论；
（2）由垂直平分线的性质可求得，且，可证明为等边三角形．
（1）证明：连接，
∵，
∴，
是的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
；
（2）解：是等边三角形，
理由如下：连接．
垂直平分，
∴，
，，
，
∴，
，
是等边三角形．
【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）在中，， ， 则是（ ）
A．锐角且不等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，三角形的三个内角的和等于；熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 根据三角形内角和定理求出和的度数，判断的形状即可．
解：∵，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
故选：D．
【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）在中，，，点在边上，连接．给出下列四种说法：
①当时，一定为等边三角形；
②当时，一定为等边三角形；
③当是等腰三角形时，一定为等边三角形；
④当是等腰三角形时，一定为等腰三角形．
其中正确的说法是 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余，等边三角形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键，由，，得．①当时，由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可判定为等边三角形；②当时，由，得，进而即可判定；③当是等腰三角形，且为顶角时，不是等边三角形；④当是等腰三角形时，得为等边三角形，进而得，即可判断为等腰三角形．从而即可得解．
解：∵，，
∴．
①当时，由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可判定为等边三角形；
②当时，，
∴，
∴为等边三角形；
③当是等腰三角形，且为顶角时，不是等边三角形；
④当是等腰三角形时，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
综上，正确的说法是①②④．
故答案为：①②④．
【题型3】利用含30度的直角三角形边的关系求值与证明
【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在等边中，点D为上一点，．
（1）求证：；
（2）延长交于点F，连接，若，猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质得，然后根据可证明；
（2）先证明垂直平分，再由三线合一得，求出，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得．
解：（1）∵为等边三角形，
∴．
又∵，
∴．
（2）．证明如下：
∵，
∴垂直平分．
∵，
∴平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴在中，．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握30°角所对直角边是斜边一半的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式1】（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，是高，，，则的长是（ ）
A．12 B．8 C．6 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质， 根据两锐角互余得出，，再根据含的直角三角形的性质得出，，最后再根据线段的和差关系即可得出答案．
解：∵在中，，，
∴，
∵是高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式2】（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点连接并延长，交于点有下列说法：①线段是的平分线；②；③点到边的距离与的长相等；④．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②③④
【分析】由由基本作图可知：是的平分线，即可得出①正确，由角平分线的定义以及三角形外角的定义以及性质可得出，可得出②正确，由角平分线的性质定理可得出③正确，由含角的直角三角形性质，以及等角对等边的性质可得出，最后根据三角形的面积公式即可得出④正确．
解：由基本作图可知：是的平分线，故①正确，
∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，故②正确，
∵点D在的角平分线上，
∴点到边的距离与的长相等，故③正确；
∵
∴，，
∵，
∴，故④正确，
∴结论①②③④都正确，
故答案为：①②③④．
【点拨】本题考查了角平分线的定义以及作图，角平分线的性质定理，和含30°角的直角三角形的性质，三角形外角的定义以及性质等知识，掌握这次定理以及性质是解题的关键．
【题型4】利用等边三角形性质与判定求值与证明
【例4】（22-23八年级上·广东湛江·期中）已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）求证：是等边三角形．
【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析．
【分析】本题综合考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．
（1）根据等边三角形性质得出，，，求出，证即可；
（2）根据全等求出，进而求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出，根据证，推出，求出即可．
（1）证明：、都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中
，
，
．
（2）解：，
，
等边三角形，
，
，
，
（3）证明：，
，，，
又点、分别是线段、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，
，
是等边三角形．
【变式1】（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点A，D，再以点A为圆心，长为半径画弧，与弧交于点B，连接、，的延长线交于点C，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由题意得，则可得是等边三角形，则，进而可得，则可得．
本题主要考查这了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．
解：由题意得，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
故选：B
【变式2】（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，，，是内的两点，平分，．
（1） °；
（2）若，，则的长为 cm．
【答案】 30 16
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，理解等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．
（1）设与交于，的延长线交于，证为等边三角形得，根据等腰三角形的性质得，，然后再中由三角形的内角和定理可得出的度数，进而可得的度数，
（2）先根据等边三角形的性质得，则，在中根据得，由此可得，，由此可得的长．
解：（1）设与交于，的延长线交于，如图所示：
为等边三角形，
，
在中，，平分，
，，
为直角三角形，
，
，
故答案为：30．
（2）为等边三角形，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
故答案为：16．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键．
（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可．
解：（1）证明：在与中，
，
所以；
（2）解：因为，，
所以，，
所以是等边三角形．
所以．
【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为 ．
【答案】12
【分析】过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，在中，，，当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．
解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示：
在中，，
，
，
当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，
此时，，
是等边三角形，
，
在中，
，，，
，
，
，
，
，
的最小值为12，
故答案为：12．
【点拨】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
2、拓展延伸
【例1】（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在等边中，点E为边上任意一点，点D在边的延长线上，且．
（1）当点E为的中点时（如图1），则有__________（填“>”“<”或“=”）；
（2）如图2，若点E为上任意一点，猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
（3）在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，若的边长为2，，直接写出的长．
【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的长为2或6
【分析】（1）根据三线合一定理和三角形外角的性质证明即可得到答案；
（2）过作交于，先证明是等边三角形，再证明即可得到答案；
（3）分在的延长线和在的延长线上两种情况讨论求解即可．
解：（1）解：∵三角形是等边三角形，点是的中点，
∴平分，，
，
又，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图，过作交于，
∵是等边三角形，
，
∴，
即．
∴是等边三角形．
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：∵三角形是等边三角形，
，
如图所示：当在的延长线上时，过点作交直线于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当在的延长线上时，如图，过点作交延长线于，
同理可以求得，
，
，
故的长为2或6．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
【例2】（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形；
（3）如图3，当，且时，求证：．
【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论；
（2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形；
（3）延长交于，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案．
解：（1）证明：∵平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形；
（3）证明：如图3，延长、交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
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专题13.7 等边三角形（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】等边三角形定义
三边都相等的三角形叫等边三角形.　　
【要点提示】由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
【知识点二】等边三角形的性质
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
【知识点三】等边三角形的判定
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【知识点四】含30°的直角三角形
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　
【要点提示】这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用等边三角形性质求值与证明
【例1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使．
（1）求的度数？
（2）用尺规作图的方法，过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）求证：．
【变式1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，是等边的边上的中线，以点D为圆心，长为半径画弧交的延长线于E，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·广东清远·一模）如图，等边三角形和等边三角形的边长都是，点，，在同一条直线上，点在线段上，则的最小值为 ．
【题型2】利用等边三角形判定求值与证明
【例2】（21-22八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，．
（1）求证：；
（2）连接，请判断的形状，并说明理由．
【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）在中，， ， 则是（ ）
A．锐角且不等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）在中，，，点在边上，连接．给出下列四种说法：
①当时，一定为等边三角形；
②当时，一定为等边三角形；
③当是等腰三角形时，一定为等边三角形；
④当是等腰三角形时，一定为等腰三角形．
其中正确的说法是 ．（填序号）
【题型3】利用含30度的直角三角形边的关系求值与证明
【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在等边中，点D为上一点，．
（1）求证：；
（2）延长交于点F，连接，若，猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想．
【变式1】（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，是高，，，则的长是（ ）
A．12 B．8 C．6 D．
【变式2】（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点连接并延长，交于点有下列说法：①线段是的平分线；②；③点到边的距离与的长相等；④．其中正确结论的序号是 ．
【题型4】利用等边三角形性质与判定求值与证明
【例4】（22-23八年级上·广东湛江·期中）已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）求证：是等边三角形．
【变式1】（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点A，D，再以点A为圆心，长为半径画弧，与弧交于点B，连接、，的延长线交于点C，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2】（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，，，是内的两点，平分，．
（1） °；
（2）若，，则的长为 cm．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为 ．
2、拓展延伸
【例1】（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在等边中，点E为边上任意一点，点D在边的延长线上，且．
（1）当点E为的中点时（如图1），则有__________（填“>”“<”或“=”）；
（2）如图2，若点E为上任意一点，猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
（3）在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，若的边长为2，，直接写出的长．
【例2】（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形；
（3）如图3，当，且时，求证：．
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