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专题14.1 幂的运算（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】同底数幂的乘法法则
　(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
【要点提示】
同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
【知识点2】幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
【要点提示】
公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
【知识点3】积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
【要点提示】
公式的推广： (为正整数).
逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
【知识点4】注意事项
底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【题型目录】
【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算...........................................2;
【题型2】幂的乘方运算及逆运算.................................................3;
【题型3】积的乘方运算及逆运算.................................................3;
【题型4】幂的混合运算.........................................................4;
【题型5】幂的运算的应用.......................................................4;
【题型6】直通中考.............................................................5;
【题型7】拓展与延伸...........................................................5.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算
【例1】（23-24七年级上·河南周口·期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢 我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究．
（1）探究
根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律
①，
②，
③，
（2）规律
（都是正整数）．
即______．（文字表达）
（3）应用
①计算；
②把看成一个整体，计算．
【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算（　　　）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，则 ．
【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）（1）已知，求的值；
（2）若，求a的值．
【变式1】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）已知，则x的值为 ．
【题型2】幂的乘方运算及逆运算
【例3】（21-22七年级上·上海·期末）计算：．
【变式1】（2022·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．若 ,则 ．
【例4】（2023八年级上·全国·专题练习）（1）若，求的值；
（2）若，求x的值．
【变式1】已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）已知，则 ．
【题型3】积的乘方运算及逆运算
【例5】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）
（1） ; （2）
【变式1】（2022·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（20-21七年级下·江苏扬州·期末）已知am＝10，bm＝2，则（ab）m＝ ．
【例6】（2023九年级·全国·专题练习）用简便方法计算：
(1)； (2)．
【变式1】（22-23七年级下·河北沧州·期中）若为正整数．且，则的值为（ ）
A．4 B．16 C．64 D．192
【变式2】已知，则= ．
【题型4】幂的混合运算
【例7】（21-22八年级上·全国·课后作业）计算：
（1）； （2）．
【变式1】（20-21七年级下·甘肃兰州·阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A．－3xy·（－2xy）2＝12x3y3 B．4x2·（－2x3）2＝16x12
C．（－a2）·a3＝a6 D．2a2b·（－ab）2＝2a4b3
【变式2】已知，则 = .（用含的代数式表示）
【题型5】幂的运算的应用
【例8】（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（，为正整数）．
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
(1)已知，，，请把，，用“”连接起来： ；
(2)若，，求的值；
(3)计算：．
【变式1】（21-22八年级上·河南三门峡·期末）下列运算中，错误的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（20-21九年级下·湖南永州·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简， ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型6】直通中考
【例9】（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例10】（2024·山东烟台·中考真题）下列运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【题型7】拓展延伸
【例11】（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为
【例12】（19-20七年级下·江苏南京·期中）观察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（　　）
A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0
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专题14.1 幂的运算（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】同底数幂的乘法法则
　(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
【要点提示】
同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
【知识点2】幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
【要点提示】
公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
【知识点3】积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
【要点提示】
公式的推广： (为正整数).
逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
【知识点4】注意事项
底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【题型目录】
【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算...........................................2;
【题型2】幂的乘方运算及逆运算.................................................4;
【题型3】积的乘方运算及逆运算.................................................7;
【题型4】幂的混合运算.........................................................9;
【题型5】幂的运算的应用.......................................................11;
【题型6】直通中考.............................................................13;
【题型7】拓展与延伸...........................................................14.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算
【例1】（23-24七年级上·河南周口·期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢 我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究．
（1）探究
根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律
①，
②，
③，
（2）规律
（都是正整数）．
即__________________________．（文字表达）
（3）应用
①计算；
②把看成一个整体，计算．
【答案】（1）①8；②6；③（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加（3）①；②
【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用.掌握同底数幂的乘法公式的计算公式是关键；
（1）（2）（3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可；
解：（1）①，
②，
③，
故答案为：
（2），
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
（3）①；
②
【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算（　　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，把看作一个整体，利用同底数幂的乘法法则即可求解．解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘法法则．
解：，
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，则 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，将变形为：，从而得出，再求出x的值即可．
解：，
∵，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：4．
【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）（1）已知，求的值；
（2）若，求a的值．
【答案】（1）24；（2）
【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键；
（1）由，再代入数据计算即可；
（2）由，再建立方程求解即可．
解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
解得．
【变式1】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则．
解：由，
故选：．
【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）已知，则x的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式，熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键．
解：∵，
∴，
故，
解得：
故答案为：3．
【题型2】幂的乘方运算及逆运算
【例3】（21-22七年级上·上海·期末）计算：．
【答案】
【分析】先计算幂的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可．
解：
．
【点拨】本题考查了整式的运算法则，解题的关键是熟记幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项的知识．
【变式1】（2022·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则逐项计算即可判断选择．
解：，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算正确，符合题意；
，故D计算错误，不符合题意．
故选C．
【点拨】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方．熟练掌握各运算法则是解题关键．
【变式2】．若 ,则 ．
【答案】
【分析】根据已知条件可得，根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．
解：∵
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
【例4】（2023八年级上·全国·专题练习）（1）若，求的值；
（2）若，求x的值．
【答案】（1）72；（2）5
【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可；
（2）把变形为，得到关于x的方程，解方程即可得到答案；
熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则，并利用整体思想是解题的关键．
解：（1）∵，
∴
；
（2），
，
，
，
，
．
【变式1】已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把a、b、c三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a、b、c的大小关系．
解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511，
又∵，
∴．
故选：A．
【点拨】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同．
【变式2】（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）已知，则 ．
【答案】16
【分析】直接根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算法则进行计算即可得到答案．
解：∵，
∴
故答案为：16．
【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【题型3】积的乘方运算及逆运算
【例5】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）
（1） ; （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据同底数幂乘法法则及幂的乘方计算法则计算，再合并同类项即可；
（2）根据积的乘方计算法则去括号，再合并同类项即可．
解：（1）
；
（2）
．
【点拨】此题考查了整式的计算，正确掌握同底数幂乘法法则及幂的乘方计算法则、积的乘方计算法则、合并同类项法则是解题的关键．
【变式1】（2022·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，单项式乘多项式及合并同类项的法则逐一判断即可．
解：A、，计算正确，故此选项符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
【变式2】（20-21七年级下·江苏扬州·期末）已知am＝10，bm＝2，则（ab）m＝ ．
【答案】20
【分析】根据积的乘方计算法则解答．
解：∵am＝10，bm＝2，
∴（ab）m＝，
故答案为：20．
【点拨】此题考查积的乘方计算法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把结果相乘，熟记法则是解题的关键．
【例6】（2023九年级·全国·专题练习）用简便方法计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）原式逆用积的乘方运算法则进行计算即可；
（2）先将变形为，再逆用积的乘方运算法则进行计算即可．
解：（1）
；
（2）
．
【点拨】本题主要考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式1】（22-23七年级下·河北沧州·期中）若为正整数．且，则的值为（ ）
A．4 B．16 C．64 D．192
【答案】D
【分析】根据积的乘方以及逆运算对式子进行化简求解即可．
解：
，
故选D．
【点拨】此题考查了幂的有关运算，解题的关键是熟练掌握幂的有关运算法则．同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方．
【变式2】已知，则= ．
【答案】8．
【分析】根据积的乘方和幂的乘方的逆运算，把等式变形，根据指数相同求解即可．
解：，
根据积的乘方和幂的乘方，等式可变形为：，
即，
，
解得，
故答案为：8．
【点拨】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是把等式恰当变形，依据底数相同，指数也相同列方程．
【题型4】幂的混合运算
【例7】（21-22八年级上·全国·课后作业）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可；
（3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可．
解：（1），
=，
=，
=；
（2），
=，
=，
=，
=．
【点拨】本题考查整式的幂指数运算，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项是解题关键．
【变式1】（20-21七年级下·甘肃兰州·阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A．－3xy·（－2xy）2＝12x3y3 B．4x2·（－2x3）2＝16x12
C．（－a2）·a3＝a6 D．2a2b·（－ab）2＝2a4b3
【答案】D
【分析】根据幂的运算法则逐一计算，可得结果．
解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确；
故选D．
【点拨】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式2】已知，则 = .（用含的代数式表示）
【答案】
解：∵2x=a，3x=t，
∴24x=（23×3）x=23x×3x=（2x）3×3x=a3t．
故答案为a3t．
【题型5】幂的运算的应用
【例8】（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（，为正整数）．
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
(1)已知，，，请把，，用“”连接起来： ；
(2)若，，求的值；
(3)计算：．
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】（）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小；
（）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解；
（）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再计算即可求解；
本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则，掌握法则的逆用是解题的关键．
（1）解：∵，
，
．
又∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：
，
，
∵，，
∴原式，
，
；
（3）解：
，
，
，
，
，
，
．
【变式1】（21-22八年级上·河南三门峡·期末）下列运算中，错误的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用同底数幂的乘法运算法则，合并同类项的法则对各式进行运算，即可得出结果．
解：（1），故（1）错误；
（2），故（2）错误；
（3），故（3）错误；
（4），故（4）错误，
综上所述，错误的个数为4个，
故选：D．
【点拨】本题主要考查同底数幂的乘法运算法则、合并同类项运算等知识，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式2】（20-21九年级下·湖南永州·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简， ．
【答案】
【分析】先具体计算出S1，S2，S3，S4的值，得出面积规律，表示S2021，再设①，两边都乘以，得到②，利用① ②，求解S，从而可得答案．
解：∵
设①
②
①-②得，
故答案为：．
【点拨】本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型6】直通中考
【例9】（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．
解：由题意得：，
∴，
∴，
故选：A．
【例10】（2024·山东烟台·中考真题）下列运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；
根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可
解：A．，故选项不符合题意；
B． ，故选项不符合题意；
C．，故选项不符合题意；
D．，故选项符合题意；
故选：D．
【题型7】拓展延伸
【例11】（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为
【答案】D
【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．
设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项．
解：设一个三位数与一个两位数分别为和
如图：
则由题意得：
，
∴，即，
∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；
当时，则，如图：
，
∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意；
B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
∴上面的数应为，如图：
∴运算结果可以表示为：，
∴D选项符合题意，
当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意，
故选：D．
【例12】（19-20七年级下·江苏南京·期中）观察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（　　）
A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0
【答案】D
【分析】存在3种情况：一种是指数为0，底数不为0；第二种是底数为1，指数为任意值；第三种是底数为－1，指数为偶数，分别求解可得．
解：情况一：指数为0，底数不为0
即：a+2=0，2a－1≠0
解得：a=－2
情况二：底数为1，指数为任意值
即：2a－1=1
解得：a=1
情况三：底数为－1，指数为偶数
即：2a－1=－1，解得a=0
代入a+2=2，为偶数，成立
故答案为：D
【点拨】本题考查0指数和底数为±1的指数的特点，本题底数为－1的情况容易遗漏，需要关注．
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