资源简介 课时分层作业(二) 集合的表示一、选择题1．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是( )A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}2．集合{x|x2－4x－5＝0}用列举法表示为( )A．{x＝－1，x＝5}B．{x|x＝－1或x＝5}C．{x2－4x－5＝0}D．{－1，5}3．已知集合A＝{x，x∈Z}，则一定有( )A．－1∈A B．∈AC．0∈A D．1 A4．下列集合表示同一集合的是( )A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{2，3}，N＝{3，2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}5．(多选)方程组的解集可表示为( )A．B．C．(2，1)D．{(2，1)}二、填空题6．用描述法表示大于0且小于9的实数x的集合为________．7．若集合{x|x2＋ax＝0}与集合{0，1}相等，则实数a的值为________．8．用列举法表示集合A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N*}为________．三、解答题9．用适当的方法表示下列集合：(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；(3)不等式x－2>6的解构成的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；(5)方程组的解集．10．(2023·上海高考)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x Q}，则M＝( )A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2，3}11．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为( )A．0 B．1 C．0或1 D．212．已知A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，则由a的值构成的集合是( )A．－ B．{－1，－} C．{－1} D．{－}13．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________．14．设集合B＝．(1)试判断元素1和2与集合B的关系；(2)用列举法表示集合B．15．设集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S．(1)请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个．(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．3/3(共31张PPT)第1课时 集合的含义第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念[学习目标] 1．通过实例了解集合与元素的含义，理解元素与集合的“属于”关系．(数学抽象)2．能利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题．(数学运算)3．掌握常用数集的表示符号并会应用．(数学抽象)整体感知[讨论交流] 预习教材P2－P3，并思考以下问题：问题1．集合和元素的概念是什么？问题2．如何用字母表示集合和元素？问题3．元素和集合之间有哪两种关系？问题4．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究1 元素与集合的基本概念探究问题1 阅读下面的例子，思考并回答提出的问题：①1～10之间的所有奇数；②某校高一(1)班所有性格开朗的女生；③所有的平行四边形；④到定点O的距离等于2的所有点．探究建构(1)以上例子中，我们研究的对象分别是什么？(2)哪个例子中的对象划分标准不明确？为什么？(3)上述实例①③④有什么共同的特点？提示：(1)①1，3，5，7，9；②某校高一(1)班性格开朗的每一位女生；③平行四边形；④以O为圆心，以2为半径的圆．(2)②中的对象划分标准不明确，因为“性格开朗”没有明确的界线．(3)实例①③④中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体．[新知生成]1．元素：一般地，我们把________统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2．集合：把一些元素组成的____叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．【教用·微提醒】 研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等．研究对象总体探究2 集合中元素的特征探究问题2 英文单词book的所有字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，则该集合中有几个元素？为什么？提示：能．因为集合中的元素是确定的(确定性)；三个元素．因为集合中的元素是互不相同的(互异性)．探究问题3 分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有什么关系？集合中的元素有没有先后顺序？提示：两个集合相等．集合中的元素没有先后顺序(无序性)．[新知生成]1．集合中元素的特征：______，______，______．2．集合相等：只要构成两个集合的元素是______，我们就称这两个集合是相等的．【教用·微提醒】 集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关．确定性互异性无序性一样的[典例讲评] 1．(1)(多选)以下元素的全体能构成集合的是( )A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流C．方程x2－1＝0的实数根 D．自然数(2)集合M中含有两个元素3和－1，集合N中含有两个元素－1和m2－2m，若集合M与N相等，则m＝________．(1)ACD (2)－1或3 [(1)A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合；B中，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合；C中，方程x2－1＝0的实数根为－1和1，能构成集合；D中，自然数具有确定性，能构成集合．(2)由题意得m2－2m＝3，所以m＝－1或3．]√√√－1或3[母题探究] 若将例1(2)改为“若集合N中含有两个元素－1和m2－2m”，求m的取值范围．[解] 由元素是互不相同的，得m2－2m≠－1，即m≠1．反思领悟 (1)判断一组对象能否构成集合，关键是能否满足确定性、互异性．(2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．求解中注意检验集合中元素的互异性．[学以致用] 1．下列说法中正确的是( )A．在一个集合中可以找到两个相同的元素B．好听的歌能构成一个集合C．方程(x－1)2(x＋2)＝0的所有实数根组成的集合有3个元素D．分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的√D [集合中的元素是互不相同的，故A错误；好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能构成一个集合，故B错误；方程(x－1)2(x＋2)＝0的实数根为－2或1，所以方程(x－1)2(x＋2)＝0的所有实数根组成的集合有2个元素，故C错误；根据集合相等的定义知，两个集合元素相同，则两个集合相等，故D正确．]探究3 元素与集合的关系探究问题4 若集合A是由小于10的质数构成的集合，则2和4与集合A是什么关系？提示：2是集合A中的元素，4不是集合A中的元素．[新知生成]1．元素和集合之间的关系关系 概念 记法 读法属于 如果a是集合A的元素 ______ a属于集合A不属于 如果a不是集合A中的元素 ______ a不属于集合Aa∈Aa A名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集记法 N ____或____ Z __ R【教用·微提醒】 0是自然数，0∈N．2．常用数集及其记法N*N＋Q[典例讲评] 2．(1)用符号“∈”或“ ”填空：____N；|－2|____ N*；0．5____Z；－____Q；3._____Q；π_____R．(2)已知集合A中的元素x满足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围为________．(1)∈ ∈ ∈ ∈ ∈ (2)a>－4 [(1)＝0是自然数；|－2|＝2是正整数；0.5不是整数，不属于整数集；－是有理数；3.是无限循环小数，是有理数；π是无理数，属于实数集．(2)因为2∈A，所以2×2＋a>0，即a>－4．]∈∈ ∈∈∈a>－4反思领悟 判断元素与集合关系的2种方法直接法 判断该元素在已知集合中是否出现即可推理法 判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可[学以致用] 2．(1)(多选)下列结论中，正确的是( )A．若a∈N，则 N B．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则∈R(2)若集合A是不等式x－a>0的解集，且2 A，则实数a的取值范围是______．(1)BC (2)a≥2 [(1)A不正确，如a＝1∈N，＝1∈N；D不正确，如a＝－1∈R，无意义；B，C都正确．(2)∵集合A是不等式x－a>0的解集，且2 A，∴2－a≤0，即a≥2．]√√a≥2【教用·备选题】 定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．[解] (1)数集N，Z不是“闭集”，例如，3∈N，2∈N，而＝1.5 N；3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5 Z，故N，Z不是闭集．(2)数集Q，R是“闭集”．由于两个有理数a与b的和，差，积，商，即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，故Q是闭集．同理R也是闭集．1．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A，则A中的元素个数为( )A．4 B．5 C．6 D．7243题号1应用迁移√B [由题意可知，集合A中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个．故选B．]2．(多选)下列关系中，正确的有( )A．∈R B． Q C．|－3|∈N D．∈Q23题号14√AC [是实数，＝2是有理数，|－3|＝3是非负整数，是无理数．因此AC正确，BD错误．故选AC．]√3．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝_____．23题号413 [因为4∈M，且集合M有两个元素3和a＋1，所以4＝a＋1，所以a＝3．]3 4．给出下列说法：①某校高一年级的数学教师组成一个集合；②由－1，0，1，，3，－3组成的集合中有8个元素；③由a，b，c组成的集合与由c，b，a组成的集合是不相同的．其中不正确的是________(填序号)．243题号1②③②③ [①根据集合元素的性质可判断某校高一年级的数学教师具有确定性，能组成一个集合，故①正确；②＝3，由集合中元素的互异性知，这个集合中有6个元素，故②不正确；③两个集合中的元素相同，只是排列顺序不同，由集合中元素的无序性知，它们表示同一个集合，故③不正确．]243题号11．知识链：(1)元素与集合的概念．(2)集合中元素的特征．(3)元素与集合的关系．(4)常用数集的记法．2．方法链：直接法、推理法．3．警示牌：(1)自然数集中容易遗忘0这个元素．(2)集合中忽略互异性的判断．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．集合中的元素有哪些特性，判断一组对象能否构成集合的关键是什么？[提示] 集合中的元素有确定性、互异性和无序性，其中确定性是判断一组对象能否构成集合的关键．2．元素与集合间存在哪些关系？[提示] 元素与集合间只有“属于”和“不属于”两种关系．3．学习了哪些常用数集？[提示] 自然数集(或非负整数集)(N)、正整数集(N*或N＋)、整数集(Z)、有理数集(Q)和实数集(R)．课时分层作业(一)点击页面进入…集合的含义（WORD版）巩固课堂所学 · 激发学习思维夯实基础知识 · 熟悉命题方式自我检测提能 · 及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结THANKS课时分层作业(一) 集合的含义一、选择题1．(多选)下列各组对象能构成集合的有( )A．参加2023年杭州亚运会的全体电竞选手B．未来世界的高科技产品C．小于0的实数D．直角坐标系中横、纵坐标相等的点2．已知集合M由小于5的数构成，则有( )A．3∈M B．－3 MC．0 M D．7∈M3．第24届冬奥会吉祥物“冰墩墩”“雪容融”两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为( )A．3 B．4 C．5 D．64．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是( )A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形5．由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，则a2 024＋b2 024的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4二、填空题6．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b______A，ab________A．(填“∈”或“ ”)7．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有根组成的集合中共有________个元素．8．若集合A中含有两个元素x，x2－2x，则元素x应满足的条件为________．三、解答题9．已知集合A含有两个元素a－3，2a－1，a∈R．(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值．10．由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )A．1 B．－2 C．－1 D．211．由实数x，－x，所组成的集合，最多含元素( )A．2个 B．3个C．4个 D．5个12．已知集合P中的元素x满足：x∈N，且213．已知x∈N，且∈Z，若x的所有取值构成集合M，则集合M中的元素为________．14．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，求的可能取值所组成的集合中所有元素的和．15．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A中不可能只有一个元素．3/31.1 集合的概念第1课时 集合的含义[学习目标] 1．通过实例了解集合与元素的含义，理解元素与集合的“属于”关系．(数学抽象)2．能利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题．(数学运算)3．掌握常用数集的表示符号并会应用．(数学抽象)[讨论交流] 预习教材P2－P3，并思考以下问题：问题1．集合和元素的概念是什么？问题2．如何用字母表示集合和元素？问题3．元素和集合之间有哪两种关系？问题4．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究1 元素与集合的基本概念探究问题1 阅读下面的例子，思考并回答提出的问题：①1～10之间的所有奇数；②某校高一(1)班所有性格开朗的女生；③所有的平行四边形；④到定点O的距离等于2的所有点．(1)以上例子中，我们研究的对象分别是什么？(2)哪个例子中的对象划分标准不明确？为什么？(3)上述实例①③④有什么共同的特点？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[新知生成]1．元素：一般地，我们把________统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2．集合：把一些元素组成的________叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．探究2 集合中元素的特征探究问题2 英文单词book的所有字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，则该集合中有几个元素？为什么？探究问题3 分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有什么关系？集合中的元素有没有先后顺序？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[新知生成]1．集合中元素的特征：________，________，________．2．集合相等：只要构成两个集合的元素是________，我们就称这两个集合是相等的．[典例讲评] 1．(1)(多选)以下元素的全体能构成集合的是( )A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程x2－1＝0的实数根D．自然数(2)集合M中含有两个元素3和－1，集合N中含有两个元素－1和m2－2m，若集合M与N相等，则m＝________．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母题探究] 若将例1(2)改为“若集合N中含有两个元素－1和m2－2m”，求m的取值范围．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ (1)判断一组对象能否构成集合，关键是能否满足确定性、互异性．(2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．求解中注意检验集合中元素的互异性．[学以致用] 1．下列说法中正确的是( )A．在一个集合中可以找到两个相同的元素B．好听的歌能构成一个集合C．方程(x－1)2(x＋2)＝0的所有实数根组成的集合有3个元素D．分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的探究3 元素与集合的关系探究问题4 若集合A是由小于10的质数构成的集合，则2和4与集合A是什么关系？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[新知生成]1．元素和集合之间的关系关系 概念 记法 读法属于 如果a是集合A的元素 ______ a属于集合A不属于 如果a不是集合A中的元素 ______ a不属于集合A2．常用数集及其记法名称 非负整数 集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理 数集 实数集记法 N __或__ Z __ R[典例讲评] 2．(1)用符号“∈”或“ ”填空：________N；|－2|________ N*；0．5________Z；－________Q；3.________Q；π________R．(2)已知集合A中的元素x满足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围为________．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 判断元素与集合关系的2种方法直接法 判断该元素在已知集合中是否出现即可推理法 判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可[学以致用] 2．(1)(多选)下列结论中，正确的是( )A．若a∈N，则 NB．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈QD．若a∈R，则∈R(2)若集合A是不等式x－a>0的解集，且2 A，则实数a的取值范围是__________．1．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A，则A中的元素个数为( )A．4 B．5 C．6 D．72．(多选)下列关系中，正确的有( )A．∈R B． QC．|－3|∈N D．∈Q3．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________．4．给出下列说法：①某校高一年级的数学教师组成一个集合；②由－1，0，1，，3，－3组成的集合中有8个元素；③由a，b，c组成的集合与由c，b，a组成的集合是不相同的．其中不正确的是________(填序号)．1．知识链：(1)元素与集合的概念．(2)集合中元素的特征．(3)元素与集合的关系．(4)常用数集的记法．2．方法链：直接法、推理法．3．警示牌：(1)自然数集中容易遗忘0这个元素．(2)集合中忽略互异性的判断．5/5(共33张PPT)第2课时 集合的表示第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念[学习目标] 1．掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法．(数学抽象)2．会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合．(数学运算)[讨论交流] 预习教材P3－P5，并思考以下问题：问题1．集合有哪两种表示方法？它们如何定义？问题2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？问题3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？整体感知[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究问题1 观察下面两个集合，思考并回答下列问题：①A是由中国的“五岳”组成的集合；②B是由“方程x2－3x＋2＝0 的所有实数根”组成的集合．(1)集合A，B中的元素能一一列举出来吗？(2)集合A与B除了用自然语言描述外，还可以用什么方式表示呢？如何表示？探究建构提示：(1)能．集合A中的元素为：泰山、华山、衡山、恒山、嵩山；集合B中的元素为1，2．(2)列举法．A＝{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}，B＝{1，2}．[新知生成]把集合的所有元素________出来，并用__________________括起来表示集合的方法叫做列举法．【教用·微提醒】 (1)列举法表示集合，元素与元素之间用“，”隔开．(2)这里集合的“{ }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼．一一列举花括号“{ }”【链接·教材例题】例1 用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0，1}．[典例讲评] 1．用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D．[解] (1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}．(2)小于8的质数有2，3，5，7，所以B＝{2，3，5，7}．(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，所以C＝．(4)由 得所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}．反思领悟 用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．(3)将所有元素用花括号括起来．[学以致用] 1．用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的根组成的集合M；(3)方程组的根组成的集合B；(4)15的正约数组成的集合N．[解] (1)因为－2≤x≤2，x∈Z，所以x＝－2，－1，0，1，2，所以A＝{－2，－1，0，1，2}．(2)因为2和3是方程的根，所以M＝{2，3}．(3)解方程组所以B＝{(3，2)}．(4)因为15的正约数有1，3，5，15，所以N＝{1，3，5，15}．探究2 描述法探究问题2 能否用列举法表示由“不等式x－1>3的解”组成的集合，为什么？提示：不能．不等式x－1>3的解是x>4，因为满足x>4的实数有无数个，且无规律可循，所以x－1>3的解集无法用列举法表示．探究问题3 偶数有什么特征，偶数集如何表示？提示：偶数的特征：x＝2k，k∈Z，偶数集可表示为{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．[新知生成] 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为___________，这种表示集合的方法称为描述法．{x∈A|P(x)}【教用·微提醒】 (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}．(2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的．(3)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应将“m∈N*”写进“{ }”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}．(4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}．【链接·教材例题】例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合：(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合A；(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B．解：(1)设x∈A，则x是一个实数，且x2－2＝0．因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．方程x2－2＝0有两个实数根，因此，用列举法表示为A＝{}．(2)设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10B＝{x∈Z|10大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19}．[典例讲评] 2．用描述法表示下列集合：(1)方程－2x2＋x＝0的解组成的集合；(2)大于2小于7的整数；(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D．[解] (1)方程－2x2＋x＝0的解组成的集合可表示为{x|－2x2＋x＝0}．(2)用描述法表示为{x∈Z|2(3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}．反思领悟 用描述法表示集合的2个步骤提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母．[学以致用] 2．下列三个集合：A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？[解] (1)不是．(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R，可以认为集合A表示函数y＝x2＋1中自变量x的取值组成的集合；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以B＝{y|y≥1}，可以认为集合B表示函数y＝x2＋1中因变量y的取值组成的集合；集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对，可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合．【教用·备选题】 中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”请将此三女前三次相会经过的天数组成的集合分别用列举法表示，并将此三女相会经过的天数组成的集合用描述法表示．[解] 因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60，所以三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为{60，120，180}．此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为．探究3 集合表示方法的综合应用[典例讲评] 3．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值．[解] 当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－，符合题意；当a≠0时，原方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，故当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的根为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个根，此时A中只有一个元素．[母题探究] 在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．[解] A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素．当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1．当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，且a≠0，即a>1．故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．反思领悟 若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．[学以致用] 3．已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一个，求m的取值范围．[解] ①当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，解得x＝，符合题意．②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m≥0，得m≤，即当m≤且m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0至少有一个实数根，符合题意．由①②知m≤．1．集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为( )A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}243题号1应用迁移√B [由题意可得x<5，x∈N*，∴x＝1，2，3，4，即用列举法可表示为{1，2，3，4}．故选B．]2．若P＝{(1，1)，(1，2)}，则集合P中元素的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．423题号14√B [集合P中元素为(1，1)，(1，2)，共2个．故选B．]3．集合{1，，…}用描述法可表示为( )A．{x|x≥1} B．{x|x≤} C．{x|x＝} D．{x|x＝，n∈N*}23题号41√D ，…}中的元素满足，所以{1，，…}＝{x|x＝，n∈N*}，故选D．]4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A为___________．243题号1{－1，4} [∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}．]{－1，4}1．知识链：(1)列举法．(2)描述法．(3)集合与方程、不等式的关系．2．方法链：分类讨论．3．警示牌：(1)列举法与描述法的乱用．(2)涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．本节课学习的集合的表示方法有哪些？[提示] 列举法和描述法．2．集合{x|y＝x＋1，x∈R}，{y|y＝x＋1，x∈R}，{(x，y)|y＝x＋1}的含义有什么不同？[提示] (1)前两个集合为数集，后一个集合为点集；(2){x|y＝x＋1，x∈R}表示自变量x的取值组成的集合；{y|y＝x＋1，x∈R}表示因变量y的取值组成的集合；{(x，y)|y＝x＋1}表示函数y＝x＋1图象上的点(x，y)组成的集合．课时分层作业(二)点击页面进入…集合的表示（WORD版）巩固课堂所学 · 激发学习思维夯实基础知识 · 熟悉命题方式自我检测提能 · 及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结THANKS第2课时 集合的表示[学习目标] 1．掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法．(数学抽象)2．会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合．(数学运算)[讨论交流] 预习教材P3－P5，并思考以下问题：问题1．集合有哪两种表示方法？它们如何定义？问题2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？问题3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究1 列举法探究问题1 观察下面两个集合，思考并回答下列问题：①A是由中国的“五岳”组成的集合；②B是由“方程x2－3x＋2＝0 的所有实数根”组成的集合．(1)集合A，B中的元素能一一列举出来吗？(2)集合A与B除了用自然语言描述外，还可以用什么方式表示呢？如何表示？提示：(1)能．集合A中的元素为：泰山、华山、衡山、恒山、嵩山；集合B中的元素为1，2．(2)列举法．A＝{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}，B＝{1，2}．[新知生成]把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．【教用·微提醒】 (1)列举法表示集合，元素与元素之间用“，”隔开．(2)这里集合的“{ }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有“等字眼．【链接·教材例题】例1 用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0，1}．[典例讲评] 1．用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D．[解] (1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}．(2)小于8的质数有2，3，5，7，所以B＝{2，3，5，7}．(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，所以C＝．(4)由得所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}． 用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．(3)将所有元素用花括号括起来．[学以致用] 1．用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的根组成的集合M；(3)方程组的根组成的集合B；(4)15的正约数组成的集合N．[解] (1)因为－2≤x≤2，x∈Z，所以x＝－2，－1，0，1，2，所以A＝{－2，－1，0，1，2}．(2)因为2和3是方程的根，所以M＝{2，3}．(3)解方程组所以B＝{(3，2)}．(4)因为15的正约数有1，3，5，15，所以N＝{1，3，5，15}．探究2 描述法探究问题2 能否用列举法表示由”不等式x－1>3的解“组成的集合，为什么？提示：不能．不等式x－1>3的解是x>4，因为满足x>4的实数有无数个，且无规律可循，所以x－1>3的解集无法用列举法表示．探究问题3 偶数有什么特征，偶数集如何表示？提示：偶数的特征：x＝2k，k∈Z，偶数集可表示为{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．[新知生成] 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．【教用·微提醒】 (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}．(2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的．(3)所有描述的内容都要写在花括号内，如”{x∈Z|x＝2m}，m∈N*“不符合要求，应将”m∈N*“写进”{ }“中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}．(4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}．【链接·教材例题】例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合：(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合A；(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B．解：(1)设x∈A，则x是一个实数，且x2－2＝0．因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．方程x2－2＝0有两个实数根，因此，用列举法表示为A＝{}．(2)设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10B＝{x∈Z|10大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19}．[典例讲评] 2．用描述法表示下列集合：(1)方程－2x2＋x＝0的解组成的集合；(2)大于2小于7的整数；(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D．[解] (1)方程－2x2＋x＝0的解组成的集合可表示为{x|－2x2＋x＝0}．(2)用描述法表示为{x∈Z|2(3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}． 用描述法表示集合的2个步骤提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母．[学以致用] 2．下列三个集合：A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？[解] (1)不是．(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R，可以认为集合A表示函数y＝x2＋1中自变量x的取值组成的集合；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以B＝{y|y≥1}，可以认为集合B表示函数y＝x2＋1中因变量y的取值组成的集合；集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对，可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合．【教用·备选题】 中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”请将此三女前三次相会经过的天数组成的集合分别用列举法表示，并将此三女相会经过的天数组成的集合用描述法表示．[解] 因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60，所以三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为{60，120，180}．此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为．探究3 集合表示方法的综合应用[典例讲评] 3．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值．[解] 当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－，符合题意；当a≠0时，原方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，故当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的根为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个根，此时A中只有一个元素．[母题探究] 在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．[解] A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素．当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1．当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，且a≠0，即a>1．故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}． 若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．[学以致用] 3．已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一个，求m的取值范围．[解] ①当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，解得x＝，符合题意．②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m≥0，得m≤，即当m≤且m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0至少有一个实数根，符合题意．由①②知m≤．1．集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为( )A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}B [由题意可得x<5，x∈N*，∴x＝1，2，3，4，即用列举法可表示为{1，2，3，4}．故选B．]2．若P＝{(1，1)，(1，2)}，则集合P中元素的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4B [集合P中元素为(1，1)，(1，2)，共2个．故选B．]3．集合{1，，…}用描述法可表示为( )A．{x|x≥1} B．{x|x≤} C．{x|x＝} D．{x|x＝，n∈N*}D ，…}中的元素满足，所以{1，，…}＝{x|x＝，n∈N*}，故选D．]4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A为________．{－1，4} [∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}．]1．知识链：(1)列举法．(2)描述法．(3)集合与方程、不等式的关系．2．方法链：分类讨论．3．警示牌：(1)列举法与描述法的乱用．(2)涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．本节课学习的集合的表示方法有哪些？[提示] 列举法和描述法．2．集合{x|y＝x＋1，x∈R}，{y|y＝x＋1，x∈R}，{(x，y)|y＝x＋1}的含义有什么不同？[提示] (1)前两个集合为数集，后一个集合为点集；(2){x|y＝x＋1，x∈R}表示自变量x的取值组成的集合；{y|y＝x＋1，x∈R}表示因变量y的取值组成的集合；{(x，y)|y＝x＋1}表示函数y＝x＋1图象上的点(x，y)组成的集合．课时分层作业(二) 集合的表示一、选择题1．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是( )A．{x|y＝3x＋1}B．{y|y＝3x＋1}C．{(x，y)|y＝3x＋1}D．{y＝3x＋1}C [因为集合是点集，所以代表元素是(x，y)，所以用描述法表示为{(x，y)|y＝3x＋1}．故选C．]2．集合{x|x2－4x－5＝0}用列举法表示为( )A．{x＝－1，x＝5}B．{x|x＝－1或x＝5}C．{x2－4x－5＝0}D．{－1，5}D [根据题意，解x2－4x－5＝0可得x＝－1或5，用列举法表示为{－1，5}．]3．已知集合A＝{x，x∈Z}，则一定有( )A．－1∈A B．∈A C．0∈A D．1 AC [因为－1<0<，且0∈Z，所以0∈A．]4．下列集合表示同一集合的是( )A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{2，3}，N＝{3，2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}B [选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合；选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合；选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．]5．(多选)方程组的解集可表示为( )A．B．C．(2，1)D．{(2，1)}ABD [由故结合选项可知ABD均正确．]二、填空题6．用描述法表示大于0且小于9的实数x的集合为________．{x∈R|0＜x＜9} [大于0且小于9的实数x的集合为{x∈R |07．若集合{x|x2＋ax＝0}与集合{0，1}相等，则实数a的值为________．－1 [由题意，x2＋ax＝0的根为0，1，利用根与系数的关系得0＋1＝－a，所以a＝－1．]8．用列举法表示集合A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N*}为________．{(0，3)，(1，2)，(2，1)} [集合A是由方程x＋y＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1．故A＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}．]三、解答题9．用适当的方法表示下列集合：(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；(3)不等式x－2>6的解构成的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；(5)方程组的解集．[解] (1){0，－1}．(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}．(3){x|x>8}．(4){1，2，3，4，5，6}．(5)解集用描述法表示为 ，解集用列举法表示为{(2，－1)}．10．(2023·上海高考)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x Q}，则M＝( )A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2，3}A [∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P且x Q}，∴M＝{1}．故选A．]11．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为( )A．0 B．1 C．0或1 D．2C [集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个根．当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一根，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1．所以实数k的值为0或1．]12．已知A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，则由a的值构成的集合是( )A．－ B．{－1，－} C．{－1} D．{－}D [∵－3∈A，A＝{a－2，2a2＋5a，12}，∴解得a＝－．故由a的值构成的集合是{－}．]13．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填”是“或”不是“)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________．不是 {1，2，}(答案不唯一) [由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A．若集合中有三个元素，故必有a＝，即a＝±1，故可取的集合有{1，2，}，{－1，3，}等．]14．设集合B＝．(1)试判断元素1和2与集合B的关系；(2)用列举法表示集合B．[解] (1)当x＝1时，＝2∈N；当x＝2时， N，所以1∈B，2 B．(2)因为∈N，x∈N，所以2＋x只能取2，3，6，所以x只能取0，1，4，所以B＝{0，1，4}．15．设集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S．(1)请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个．(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．[解] (1)若集合S中只有一个元素，则只需满足x＝10－x，故x＝5，则S＝{5}，若集合S中有两个元素，则S＝{1，9}符合条件，(答案不唯一)若集合S中有三个元素，则S＝{1，5，9}符合条件；(答案不唯一)(2)由于S中的元素是成对的，6个元素只要确定3个，另外的3个自然就确定了，因为5＋5＝10，5＝5，所以三个不同的元素应在1，2，3，4中选出(也可以在6，7，8，9中选出)，选法有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4，四种，所以一共有四个：S＝{1，2，3，7，8，9}或S＝{1，2，4，6，8，9}或S＝{1，3，4，6，7，9}或S＝{2，3，4，6，7，8}．11/11第2课时 集合的表示[学习目标] 1．掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法．(数学抽象)2．会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合．(数学运算)[讨论交流] 预习教材P3－P5，并思考以下问题：问题1．集合有哪两种表示方法？它们如何定义？问题2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？问题3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究1 列举法探究问题1 观察下面两个集合，思考并回答下列问题：①A是由中国的“五岳”组成的集合；②B是由“方程x2－3x＋2＝0 的所有实数根”组成的集合．(1)集合A，B中的元素能一一列举出来吗？(2)集合A与B除了用自然语言描述外，还可以用什么方式表示呢？如何表示？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[新知生成]把集合的所有元素________出来，并用____________括起来表示集合的方法叫做列举法．[典例讲评] 1．用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D．[尝试解答]______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．(3)将所有元素用花括号括起来．[学以致用] 1．用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的根组成的集合M；(3)方程组的根组成的集合B；(4)15的正约数组成的集合N．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究2 描述法探究问题2 能否用列举法表示由“不等式x－1>3的解”组成的集合，为什么？探究问题3 偶数有什么特征，偶数集如何表示？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[新知生成] 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为________，这种表示集合的方法称为描述法．[典例讲评] 2．用描述法表示下列集合：(1)方程－2x2＋x＝0的解组成的集合；(2)大于2小于7的整数；(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D．[尝试解答]_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 用描述法表示集合的2个步骤提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母．[学以致用] 2．下列三个集合：A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究3 集合表示方法的综合应用[典例讲评] 3．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值．[尝试解答]_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母题探究] 在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．[学以致用] 3．已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一个，求m的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为( )A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}2．若P＝{(1，1)，(1，2)}，则集合P中元素的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．43．集合{1，，…}用描述法可表示为( )A．{x|x≥1} B．{x|x≤}C．{x|x＝} D．{x|x＝，n∈N*}4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A为________．1．知识链：(1)列举法．(2)描述法．(3)集合与方程、不等式的关系．2．方法链：分类讨论．3．警示牌：(1)列举法与描述法的乱用．(2)涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程．5/51.1 集合的概念第1课时 集合的含义[学习目标] 1．通过实例了解集合与元素的含义，理解元素与集合的“属于”关系．(数学抽象)2．能利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题．(数学运算)3．掌握常用数集的表示符号并会应用．(数学抽象)[讨论交流] 预习教材P2－P3，并思考以下问题：问题1．集合和元素的概念是什么？问题2．如何用字母表示集合和元素？问题3．元素和集合之间有哪两种关系？问题4．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究1 元素与集合的基本概念探究问题1 阅读下面的例子，思考并回答提出的问题：①1～10之间的所有奇数；②某校高一(1)班所有性格开朗的女生；③所有的平行四边形；④到定点O的距离等于2的所有点．(1)以上例子中，我们研究的对象分别是什么？(2)哪个例子中的对象划分标准不明确？为什么？(3)上述实例①③④有什么共同的特点？提示：(1)①1，3，5，7，9；②某校高一(1)班性格开朗的每一位女生；③平行四边形；④以O为圆心，以2为半径的圆．(2)②中的对象划分标准不明确，因为“性格开朗”没有明确的界线．(3)实例①③④中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体．[新知生成]1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．【教用·微提醒】 研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等．探究2 集合中元素的特征探究问题2 英文单词book的所有字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，则该集合中有几个元素？为什么？提示：能．因为集合中的元素是确定的(确定性)；三个元素．因为集合中的元素是互不相同的(互异性)．探究问题3 分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有什么关系？集合中的元素有没有先后顺序？提示：两个集合相等．集合中的元素没有先后顺序(无序性)．[新知生成]1．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性．2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．【教用·微提醒】 集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关．[典例讲评] 1．(1)(多选)以下元素的全体能构成集合的是( )A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程x2－1＝0的实数根D．自然数(2)集合M中含有两个元素3和－1，集合N中含有两个元素－1和m2－2m，若集合M与N相等，则m＝________．(1)ACD (2)－1或3 [(1)A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合；B中，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合；C中，方程x2－1＝0的实数根为－1和1，能构成集合；D中，自然数具有确定性，能构成集合．(2)由题意得m2－2m＝3，所以m＝－1或3．][母题探究] 若将例1(2)改为“若集合N中含有两个元素－1和m2－2m”，求m的取值范围．[解] 由元素是互不相同的，得m2－2m≠－1，即m≠1． (1)判断一组对象能否构成集合，关键是能否满足确定性、互异性．(2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．求解中注意检验集合中元素的互异性．[学以致用] 1．下列说法中正确的是( )A．在一个集合中可以找到两个相同的元素B．好听的歌能构成一个集合C．方程(x－1)2(x＋2)＝0的所有实数根组成的集合有3个元素D．分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的D [集合中的元素是互不相同的，故A错误；好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能构成一个集合，故B错误；方程(x－1)2(x＋2)＝0的实数根为－2或1，所以方程(x－1)2(x＋2)＝0的所有实数根组成的集合有2个元素，故C错误；根据集合相等的定义知，两个集合元素相同，则两个集合相等，故D正确．]探究3 元素与集合的关系探究问题4 若集合A是由小于10的质数构成的集合，则2和4与集合A是什么关系？提示：2是集合A中的元素，4不是集合A中的元素．[新知生成]1．元素和集合之间的关系关系 概念 记法 读法属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A不属于 如果a不是集合A中的元素 a A a不属于集合A2．常用数集及其记法名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集记法 N N*或N＋ Z Q R【教用·微提醒】 0是自然数，0∈N．[典例讲评] 2．(1)用符号“∈”或“ ”填空：________N；|－2|________ N*；0．5________Z；－________Q；3.________Q；π________R．(2)已知集合A中的元素x满足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围为________．(1)∈ ∈ ∈ ∈ ∈ (2)a>－4 [(1)＝0是自然数；|－2|＝2是正整数；0.5不是整数，不属于整数集；－是有理数；3.是无限循环小数，是有理数；π是无理数，属于实数集．(2)因为2∈A，所以2×2＋a>0，即a>－4．] 判断元素与集合关系的2种方法直接法 判断该元素在已知集合中是否出现即可推理法 判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可[学以致用] 2．(1)(多选)下列结论中，正确的是( )A．若a∈N，则 N B．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则∈R(2)若集合A是不等式x－a>0的解集，且2 A，则实数a的取值范围是__________．(1)BC (2)a≥2 [(1)A不正确，如a＝1∈N，＝1∈N；D不正确，如a＝－1∈R，无意义；B，C都正确．(2)∵集合A是不等式x－a>0的解集，且2 A，∴2－a≤0，即a≥2．]【教用·备选题】 定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．[解] (1)数集N，Z不是“闭集”，例如，3∈N，2∈N，而＝1.5 N；3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5 Z，故N，Z不是闭集．(2)数集Q，R是“闭集”．由于两个有理数a与b的和，差，积，商，即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，故Q是闭集．同理R也是闭集．1．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A，则A中的元素个数为( )A．4 B．5 C．6 D．7B [由题意可知，集合A中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个．故选B．]2．(多选)下列关系中，正确的有( )A．∈R B． Q C．|－3|∈N D．∈QAC [是实数，＝2是有理数，|－3|＝3是非负整数，是无理数．因此AC正确，BD错误．故选AC．]3．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________．3 [因为4∈M，且集合M有两个元素3和a＋1，所以4＝a＋1，所以a＝3．]4．给出下列说法：①某校高一年级的数学教师组成一个集合；②由－1，0，1，，3，－3组成的集合中有8个元素；③由a，b，c组成的集合与由c，b，a组成的集合是不相同的．其中不正确的是________(填序号)．②③ [①根据集合元素的性质可判断某校高一年级的数学教师具有确定性，能组成一个集合，故①正确；②＝3，由集合中元素的互异性知，这个集合中有6个元素，故②不正确；③两个集合中的元素相同，只是排列顺序不同，由集合中元素的无序性知，它们表示同一个集合，故③不正确．]1．知识链：(1)元素与集合的概念．(2)集合中元素的特征．(3)元素与集合的关系．(4)常用数集的记法．2．方法链：直接法、推理法．3．警示牌：(1)自然数集中容易遗忘0这个元素．(2)集合中忽略互异性的判断．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．集合中的元素有哪些特性，判断一组对象能否构成集合的关键是什么？[提示] 集合中的元素有确定性、互异性和无序性，其中确定性是判断一组对象能否构成集合的关键．2．元素与集合间存在哪些关系？[提示] 元素与集合间只有“属于”和“不属于”两种关系．3．学习了哪些常用数集？[提示] 自然数集(或非负整数集)(N)、正整数集(N*或N＋)、整数集(Z)、有理数集(Q)和实数集(R)．课时分层作业(一) 集合的含义一、选择题1．(多选)下列各组对象能构成集合的有( )A．参加2023年杭州亚运会的全体电竞选手B．未来世界的高科技产品C．小于0的实数D．直角坐标系中横、纵坐标相等的点ACD [对于A，“2023年杭州亚运会的全体电竞选手”的标准确定，能构成集合；对于B，未来世界的高科技产品不具有确定性，不能构成一个集合；对于C，小于0是一个明确的标准，能构成集合；对于D，直角坐标系中横、纵坐标相等的点具有确定性，可以构成集合．]2．已知集合M由小于5的数构成，则有( )A．3∈M B．－3 M C．0 M D．7∈MA [∵3<5，∴3是集合M中的元素，故3∈M．故选A．]3．第24届冬奥会吉祥物“冰墩墩”“雪容融“两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为( )A．3 B．4 C．5 D．6C [由集合中元素的互异性知，两个”墩“相同，去掉一个，”容““融”不同都保留，所以有5个元素．故选C．]4．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是( )A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形D [根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形．故选D．]5．由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，则a2 024＋b2 024的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4B [由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得解得(不满足集合元素的互异性，舍去)．所以a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋0＝1．]二、填空题6．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b______A，ab________A．(填“∈”或“ ”) ∈ [∵a是偶数，b是奇数，∴a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b A，ab∈A．]7．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有根组成的集合中共有________个元素．2 [由x2－1＝0，得x＝±1，由x＋1＝0，得x＝－1，所以两个方程的根组成的集合共有2个元素．]8．若集合A中含有两个元素x，x2－2x，则元素x应满足的条件为________．x≠0且x≠3 [由集合中元素的互异性可得x2－2x≠x，解得x≠0且x≠3．]三、解答题9．已知集合A含有两个元素a－3，2a－1，a∈R．(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值．[解] (1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1．若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，实数a的值为0或－1．(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1．当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意．综上，实数a的值为1．10．由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )A．1 B．－2 C．－1 D．2C [由题意知，a2≠4且2－a≠4且a2≠2－a，解得a≠±2且a≠1，结合选项知C正确．故选C．]11．由实数x，－x，所组成的集合，最多含元素( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个A [在x，－x，中，＝－x．又|x|要么等于x，要么等于－x，故集合中最多含2个元素．]12．已知集合P中的元素x满足：x∈N，且26 3，4，5 [因为x∈N，213．已知x∈N，且∈Z，若x的所有取值构成集合M，则集合M中的元素为________．0，1，2，5 [因为x∈N，且∈Z，则x＋1＝1，2，3，6，即x＝0，1，2，5，所以集合M中的元素是0，1，2，5．]14．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，求的可能取值所组成的集合中所有元素的和．[解] 当a，b同正时，＝1＋1＝2．当a，b同负时，＝－1－1＝－2．当a，b异号时，＝0．∴的可能取值所组成的集合中元素共有3个，且3个元素的和为2＋(－2)＋0＝0．15．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A中不可能只有一个元素．[证明] (1)由题意知，若a∈A，则∈A．又因为2∈A，所以＝－1∈A．因为－1∈A，所以∈A．因为∈A，所以＝2∈A．所以A中另外两个元素为－1，．(2)若A中只有一个元素，则a＝，即a2－a＋1＝0，方程无实数根．所以a≠，即集合A中不可能只有一个元素．10/10 展开更多...... 收起↑ 资源列表 01 第一章 1.1 第1课时 集合的含义 (2).docx 01 第一章 1.1 第1课时 集合的含义.docx 01 第一章 1.1 第1课时 集合的含义.pptx 02 第一章 1.1 第2课时 集合的表示 (2).docx 02 第一章 1.1 第2课时 集合的表示.docx 02 第一章 1.1 第2课时 集合的表示.pptx 课时分层作业1 集合的含义.docx 课时分层作业2 集合的表示.docx
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