人教A版高中数学选择性必修第二册 4.2.2 等差数列的前n项和公式(课件+学案+分层作业)

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人教A版高中数学选择性必修第二册 4.2.2 等差数列的前n项和公式(课件+学案+分层作业)

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4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
[学习目标] 1.借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程.(数学运算)
2.掌握等差数列的前n项和公式.(数学运算)
3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能够由其中三个量求另外两个.(数学运算)
4.构建等差数列求和模型,解决实际问题.(数学建模、数学运算)
[讨论交流] 
问题1.等差数列的前n项和公式是什么?
问题2.如何推导等差数列的前n项和公式?
问题3.求等差数列的前n项和时,如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式?
[自我感知] 经过认真的预习,结合对本节课的理解和认知,请画出本节课的知识逻辑体系.
探究1 等差数列的前n项和公式
探究问题1 据说,200多年前,高斯的算术老师提出了这个问题:1+2+3+…+100=?
当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案:
(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5 050.
你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗?
                                  
                                  
                                  
探究问题2 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,如何求其前n项和Sn
                                  
                                  
                                  
[新知生成]
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和 公式 Sn= Sn=
[典例讲评] 1.在等差数列{an}中:
(1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10;
(2)已知a1=4,S8=172,求a8和d;
(3)若a1=,an=-,Sn=-5,求n和d.
[尝试解答]                              
                                  
                                  
                                  
                                  
                                  
 求等差数列的基本量的方法
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.
[学以致用] 1.(源自湘教版教材)已知一个等差数列的前10项和是310,前20项和是1 220,求该数列的前n项和.
[尝试解答]                              
                                  
                                  
                                  
                                  
                                  
探究2 利用等差数列前n项和公式判断等差数列
[典例讲评] 2.若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是不是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.
[尝试解答]                              
                                  
                                  
                                  
                                  
                                  
[母题探究] (变条件)若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是不是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.
                                  
                                  
                                  
                                  
                                  
 由Sn求得通项公式an的特点,若Sn是关于n的二次函数,不含常数项,则由Sn求得an,知数列{an}是等差数列;否则an=数列{an}不是等差数列.
[学以致用] 2.已知一个数列{an}的前n项和Sn=25n-2n2+r.
(1)当r=0时,求证:该数列{an}是等差数列;
(2)若数列{an}是等差数列,求r满足的条件.
                                  
                                  
                                  
                                  
                                  
探究3 等差数列前n项和的实际应用
[典例讲评] 3.某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那么在24小时内能否构筑成第二道防线?
[尝试解答]                              
                                  
                                  
                                  
                                  
                                  
 应用等差数列解决实际问题的一般思路
[学以致用] 3.在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成(如图),最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板;从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问:
(1)第9圈共有多少块石板?
(2)前9圈一共有多少块石板?
                                  
                                  
                                  
                                  
                                  
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=9,a5=7,则a8=(  )
A. B.10 C.11 D.
2.已知等差数列{an}的前5项和S5=35,且满足a5=13a1,则等差数列{an}的公差为(  )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=________.
4.中国古代有这样一道数学题:今有一男子擅长走路,每日增加相同里数,九日走了1 260里,第一日、第四日、第七日所走之和为390里,则该男子第三日走的里数为________.
1.知识链:(1)等差数列前n项和公式的推导过程.
(2)与等差数列前n项和有关的基本运算.
(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列.
(4)等差数列前n项和的实际应用.
2.方法链:倒序相加法、公式法.
3.警示牌:由Sn求通项公式时忽略对n=1的讨论.
5/54.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
[学习目标] 1.借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程.(数学运算)
2.掌握等差数列的前n项和公式.(数学运算)
3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能够由其中三个量求另外两个.(数学运算)
4.构建等差数列求和模型,解决实际问题.(数学建模、数学运算)
(教师用书)
为了达到比较好的音响和观赏效果,很多剧场的座位都是排成圆弧形的,如图所示.如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子,且中区座位共有8排,第一排有4个座位,后面每一排都比它的前一排多4个座位.你能帮助这个公司算出共需要多少个座位吗?
[讨论交流] 
问题1.等差数列的前n项和公式是什么?
问题2.如何推导等差数列的前n项和公式?
问题3.求等差数列的前n项和时,如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式?
[自我感知] 经过认真的预习,结合对本节课的理解和认知,请画出本节课的知识逻辑体系.
探究1 等差数列的前n项和公式
探究问题1 据说,200多年前,高斯的算术老师提出了这个问题:1+2+3+…+100=?
当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案:
(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5 050.
你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗?
[提示] 对于上述数列,设an=n,那么高斯的计算方法可以表示为(a1+a100)+(a2+a99)+…+(a50+a51)=101×50=5 050.可以发现,高斯在计算中利用了a1+a100=a2+a99=…=a50+a51这一特殊关系,这就是上一节我们学过的性质,它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和,从而简化了运算,我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”,其本质是配对,将2n个数重新分组配对求和.
探究问题2 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,如何求其前n项和Sn
[提示] 倒序相加法

两式相加可得2Sn=n(a1+an),即Sn=,上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等.
[新知生成]
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和 公式 Sn= Sn=
【链接·教材例题】
例6 已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1=7,a50=101,求S50;
(2)若a1=2,a2=,求S10;
(3)若a1=,d=-,Sn=-5,求n.
分析:对于(1),可以直接利用公式Sn=求和;在(2)中,可以先利用a1和a2的值求出d,再利用公式Sn=na1+d求和;(3)已知公式Sn=na1+d中的a1,d和Sn,解方程即可求得n.
[解] (1)因为a1=7,a50=101,根据公式Sn=,可得
S50==2700.
(2)因为a1=2,a2=,所以d=.
根据公式Sn=na1+d,可得
S10=10×2+=.
(3)把a1=,d=-,Sn=-5代入Sn=na1+d,得
-5=n+.
整理,得
n2-7n-60=0.
解得
n=12,或n=-5(舍去).
所以n=12.
[典例讲评] 1.在等差数列{an}中:
(1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10;
(2)已知a1=4,S8=172,求a8和d;
(3)若a1=,an=-,Sn=-5,求n和d.
[解] (1)由已知得解得
∴a8=a6+2d=10+2×3=16,
S10=10a1+d=10×(-5)+5×9×3=85.
(2)由已知得S8===172,
解得a8=39,
又∵a8=4+(8-1)d=39,
∴d=5.
∴a8=39,d=5.
(3)由题意得,Sn===-5,
解得n=15.又a15=+(15-1)d=-,
∴d=-,∴n=15,d=-.
 求等差数列的基本量的方法
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.
[学以致用] 1.(源自湘教版教材)已知一个等差数列的前10项和是310,前20项和是1 220,求该数列的前n项和.
[解] 记该数列为{an},公差为d.
由等差数列前n项和公式Sn=na1+d,得
解这个关于a1与d的方程组,得
因此,该数列的前n项和为
Sn=4n+×6=3n2+n.
探究2 利用等差数列前n项和公式判断等差数列
【链接·教材例题】
例7 已知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗?
分析:把已知条件代入等差数列前n项和的公式(2)后,可得到两个关于a1与d的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组,就可以求得a1和d.
[解] 由题意,知
S10=310,S20=1220.
把它们代入公式
Sn=na1+d,

解方程组,得
所以,由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
[典例讲评] 2.若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是不是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.
[解] 当n=1时,S1=a1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5.经检验,当n=1时,a1=-1满足上式,故an=4n-5.数列{an}是等差数列,证明如下:因为an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4,所以数列{an}是等差数列.
[母题探究] (变条件)若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是不是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.
[解] ∵Sn=2n2-3n-1①,
∴当n=1时,S1=a1=2-3-1=-2;
当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)-1②,
①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1)-1]=4n-5.
经检验,当n=1时,a1=-2不满足上式,
故an=
∵a2-a1=5,a3-a2=4,即a2-a1≠a3-a2,∴数列{an}不是等差数列.
 由Sn求得通项公式an的特点,若Sn是关于n的二次函数,不含常数项,则由Sn求得an,知数列{an}是等差数列;否则an=数列{an}不是等差数列.
[学以致用] 2.已知一个数列{an}的前n项和Sn=25n-2n2+r.
(1)当r=0时,求证:该数列{an}是等差数列;
(2)若数列{an}是等差数列,求r满足的条件.
[解] (1)证明:当r=0时,Sn=25n-2n2,
令n=1,S1=25-2=23,
当n≥2时,Sn-1=25(n-1)-2(n-1)2,
所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25(n-1)+2(n-1)2=27-4n,
此时a1=27-4=23,所以an=27-4n,所以an-an-1=(27-4n)-27+4(n-1)=-4(n≥2),可得数列{an}是公差为-4的等差数列.
(2)Sn=25n-2n2+r,令n=1,得S1=25-2+r=23+r,当n≥2时,Sn-1=25(n-1)-2(n-1)2+r,
所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25(n-1)+2(n-1)2=27-4n,所以an-an-1=(27-4n)-27+4(n-1)=-4(n≥3),
可得n≥2时,数列{an}是公差为-4的等差数列,
若数列{an}是等差数列,则a1=27-4=23=23+r,所以r=0.
探究3 等差数列前n项和的实际应用
【链接·教材例题】
例8 某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位,报告厅共有20排座位,从第2排起每排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.
分析:将第1排到第20排的座位数依次排成一列,构成数列{an},设数列{an}的前n项和为Sn.由题意可知,{an}是等差数列,且公差及前20项的和已知,所以可利用等差数列的前n项和公式求首项.
[解] 设报告厅的座位从第1排到第20排,各排的座位数依次排成一列,构成数列{an},其前n项和为Sn.根据题意,数列{an}是一个公差为2的等差数列,且S20=800.
由S20=20a1+×2=800,可得
a1=21.
因此,第1排应安排21个座位.
[典例讲评] 3.某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那么在24小时内能否构筑成第二道防线?
[解] 从第一辆车投入工作算起,各车工作时间(单位:小时)依次设为a1,a2,…,a25.由题意可知,此数列为等差数列,且a1=24,公差d=-.
25辆翻斗车完成的工作量为:a1+a2+…+a25=25×24+25×12×=500,而需要完成的工作量为24×20=480.∵500>480,∴在24小时内能构筑成第二道防线.
【教用·备选题】 某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱?
[解] 设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20,则
a1=50+1 000×1%=60(元),
a2=50+(1 000-50)×1%=59.5(元),

a10=50+(1 000-9×50)×1%=55.5(元),
即第10个月应付款55.5元.
由题知,20个月贷款还清.
由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列,
所以有S20=×20=1 105(元),
即全部付清后实际付款1 105+150=1 255(元).
 应用等差数列解决实际问题的一般思路
[学以致用] 3.在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成(如图),最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板;从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问:
(1)第9圈共有多少块石板?
(2)前9圈一共有多少块石板?
[解] (1)设从第1圈到第9圈的石板数构成数列{an},由题意可知数列{an}是等差数列,其中首项a1=9,公差d=9,项数n=9.
由等差数列的通项公式,得
a9=a1+(n-1)d=9+(9-1)×9=81(块).
(2)由等差数列的前n项和公式,得
S9=na1+d=9×9+×9=405(块).
因此,第9圈共有81块石板,前9圈一共有405块石板.
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=9,a5=7,则a8=(  )
A. B.10 C.11 D.
C [由S3=9,得a1+a2+a3=3a2=9,所以a2=3,
又a5=7,a2+a8=2a5,所以a8=11.故选C.]
2.已知等差数列{an}的前5项和S5=35,且满足a5=13a1,则等差数列{an}的公差为(  )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
D [由题意得S5=5a1+10d=35,a5=a1+4d=13a1,解得d=3,a1=1.故选D.]
3.(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=________.
95 [因为数列{an}为等差数列,
则由题意得
解得
则S10=10a1+d=10×(-4)+45×3=95.]
4.中国古代有这样一道数学题:今有一男子擅长走路,每日增加相同里数,九日走了1 260里,第一日、第四日、第七日所走之和为390里,则该男子第三日走的里数为________.
120 [由题意可知该男子每天走的里数构成一个等差数列,设这个等差数列为{an},其公差为d,前n项和为Sn.根据题意可知,S9=1 260,a1+a4+a7=390.
法一:S9==9a5=1 260,∴a5=140.
∵a1+a4+a7=3a4=390,∴a4=130,∴d=a5-a4=10,∴a3=a4-d=120.
法二:由题意知
即解得
∴a3=a1+2d=120.]
1.知识链:(1)等差数列前n项和公式的推导过程.
(2)与等差数列前n项和有关的基本运算.
(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列.
(4)等差数列前n项和的实际应用.
2.方法链:倒序相加法、公式法.
3.警示牌:由Sn求通项公式时忽略对n=1的讨论.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.等差数列的前n项和公式有哪几种形式?
[提示] Sn==na1+d.另有Sn=An2+Bn的形式.
2.常用的数列求和公式有哪些?
[提示] 1+2+3+…+n=;
2+4+6+…+2n=n(n+1);
1+3+5+7+…+2n-1=n2.
高斯的故事
高斯是德国数学家、天文学家和物理学家,被誉为历史上伟大的数学家之一,和阿基米德、牛顿并列,同享盛名.
高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭,1855年2月23日卒于格丁根.幼时家境贫困,但聪敏异常,受一贵族资助才进学校受教育.1795-1798年在格丁根大学学习,1798年转入黑尔姆施泰特大学,翌年因证明代数基本定理获博士学位.从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世.
高斯7岁那年,父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学,读书不久,高斯在数学上就显露出了常人难以企及的天赋,最能证明这一点的是高斯10岁那年,教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题,要求学生把1到100的所有整数加起来,教师刚叙述完题目,高斯即刻把写着答案的小石板交了上去.彪特耐尔起初并不在意这一举动,心想这个小家伙又在捣乱,但当他发现全班唯一正确的答案来自高斯时,才大吃一惊.而更使人吃惊的是高斯的算法,他发现:第一个数加最后一个数是101,第二个数加倒数第二个数的和也是101……共有50对这样的数,用101乘50得到5 050.这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法,高斯的才华使彪特耐尔十分激动,下课后特地向校长汇报,并声称自己已经没有什么可教高斯的了.
课时分层作业(五) 等差数列的前n项和公式
一、选择题
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且前3项的和为-6,最后3项的和为57,Sn=85,则n的值为(  )
A.9 B.10 C.11 D.20
B [依题意,a1+a2+a3=-6,an-2+an-1+an=57,
所以a1+a2+a3+an-2+an-1+an=3(a1+an)=51,
所以a1+an=17,所以Sn=85=×n=n,解得n=10.故选B.]
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,3a4-a7=7,2a7-a9=6,则S10=(  )
A.55 B.60 C.65 D.75
C [设等差数列{an}的公差为d,∵3a4-a7=7,2a7-a9=6,
∴解得a1=2,d=1,
∴S10=10a1+d=20+45d=65.故选C.]
3.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,若a5,a7是方程x2+10x-16=0的两个根,那么S11的值为(  )
A.88 B.-88 C.110 D.-55
D [在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,a5,a7是方程x2+10x-16=0的两个根,
∴a5+a7=-10,∴S11=(a1+a11)=(a5+a7)=×(-10)=-55.
故选D.]
4.设{an}是公差不为零的等差数列,且=,则{an}的前6项和为(  )
A.-2 B.0 C.2 D.4
B [设数列{an}的公差为=,整理可得=0,即2d(a4+a2)+2d(a5+a3)=0.又∵d≠0,∴a4+a2+a5+a3=0.∵a4+a3=a2+a5,∴a3+a4=0.∴{an}的前6项和为=3(a3+a4)=0.故选B.]
5.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人.”其大意为:“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的比前一天多7人.”则1 864人全部派遣到位需要的天数为(  )
A.9 B.16 C.18 D.20
B [根据题意设每天派出的人数组成数列{an},且该数列是首项a1=64,公差d=7的等差数列.设1 864人全部派遣到位需要的天数为n,则64n+×7=1 864,依次将选项中的n值代入检验得,n=16满足方程.故选B.]
二、填空题
6.若数列{an}满足2an+1=an+an+2,且a3+a13=14,则其前15项和为________.
105 [根据题意,因为2an+1=an+an+2,所以数列{an}为等差数列.
所以S15====105.]
7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=________.
5 [因为Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+(2k+1)d=2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,所以k=5.]
8.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是________.
-1 [等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn,∴λ=-1.]
三、解答题
9.已知{an}是等差数列,其中a2=22,a6=10.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求a2+a4+a6+…+a20的值.
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d,因为a6=a2+4d,所以10=22+4d,所以d=-3,a1=a2-d=25,所以an=28-3n(n∈N*).
(2)因为{an}是等差数列,所以a2,a4,a6,…,a20是首项为a2=22,公差为-6的等差数列,共有10项,a2+a4+a6+…+a20=10×22+×(-6)=-50.
10.(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=0,a4=6,则(  )
A.Sn=n2-3n B.Sn=
C.an=3n-6 D.an=2n
BC [设等差数列{an}的公差为d,因为S3=0,a4=6,所以解得所以an=a1+(n-1)d=-3+3(n-1)=3n-6,Sn=na1+d=-3n+=.故选BC.]
11.已知等差数列{an},记Sn为数列{an}的前n项和,若a1=1,S7=5a5,则数列{an}的公差d=(  )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
D [在等差数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,a1=1,
由S7=5a5可得7a1+d=5(a1+4d),即7+21d=5+20d,
解得d=-2.故选D.]
12.《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到:“今有良马与驽马发长安,至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里,日增一十三里.驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里……”试问前4天,良马和驽马共走过的路程之和的里数为(  )
A.1 235 B.1 800 C.2 600 D.3 000
A [良马第一天行193里,之后每天比前一天多走13里,
驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里,
前4天,良马和驽马共走过的路程之和的里数为S4==1 235.
故选A.]
13.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为________米.
2 000 [假设20位同学是1号到20号依次排列,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项,20为公差的等差数列,故所有同学往返的总路程为
S=9×20+×20+10×20+×20=2 000(米).]
14.记Sn为数列{an}的前n项和.
(1)若数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,求nan-Sn的表达式;
(2)若数列是公差为的等差数列,证明:{an}是等差数列.
[解] (1)由已知得an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1,Sn===n2,
所以nan-Sn=n(2n-1)-n2=n2-n.
(2)证明:∵=+(n-1)·=,
∴nan-Sn=,∴2nan-2Sn=n2-n,
当n≥2时,2(n-1)an-1-2Sn-1=(n-1)2-(n-1),
两式相减得,2nan-2(n-1)an-1-2(Sn-Sn-1)=2n-2,
∴2nan-2(n-1)an-1-2an=2n-2,
∴(2n-2)an-2(n-1)an-1=2n-2,
∴an-an-1=1(n≥2),
∴数列{an}是以1为公差的等差数列.
15.7月,有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件,以后每天售出的该款服装都比前一天多3件,当日销售量达到最大(只有1天)后,每天售出的该款服装都比前一天少2件,且7月31日当天刚好售出3件.
(1)7月几日该款服装销售最多?最多售出几件?
(2)按规律,当该市场销售此服装达到200件时,社会上就开始流行,而日销售量连续下降并低于20件时,则不再流行.该款服装在社会上流行几天?
[解] (1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*,1≤n≤31),最多售出ak件.
由题意知解得
∴7月13日该款服装销售最多,最多售出39件.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,
∵an=
∴Sn=
∵S13=273>200,
∴当1≤n≤13时,由Sn>200,得12≤n≤13,
当14≤n≤31时,日销售量连续下降,
由an<20,得23≤n≤31,
∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).
15/15第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
[学习目标] 1.理解等差数列前n项和的性质,并学会应用.(数学运算、逻辑推理)
2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.(数学运算)
(教师用书)
我们知道,等差数列的前n项和公式是一个关于n的二次函数形式,那么等差数列的前n项和是否具有二次函数的性质呢?除此之外,它还有什么样的性质吗?
[讨论交流] 
问题1.等差数列前n项和公式有什么样的函数特点?
问题2.等差数列{an}中,其前n项和Sn,前2n项和S2n与前3n项和S3n有什么样的关系?
[自我感知] 经过认真的预习,结合对本节课的理解和认知,请画出本节课的知识逻辑体系.
探究1 等差数列前n项和的性质
探究问题1 等差数列{an}的前n项和为Sn,试探索Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…的关系.
[提示] S2n=a1+a2+…+an+an+1+…+a2n=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(an+nd)=2Sn+n2d,同样我们发现S3n=3Sn+3n2d,这里出现了一个有意思的数列Sn,S2n-Sn=Sn+n2d,S3n-S2n=Sn+2n2d,…是一个公差为n2d的等差数列.
探究问题2 在等差数列{an}中,如果项数为2n,那么S偶与S奇之间存在什么样的关系?
[提示] 因为S奇=a1+a3+a5+…+a2n-1,S偶=a2+a4+a6+…+a2n,
所以S偶-S奇=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2n-a2n-1)=nd.
又由等差数列的性质知a1+a2n-1=2an,
a2+a2n=2an+1,且S奇=,S偶=,所以=.
[新知生成]
1.设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等差数列,且公差为m2d.
2.若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为.
3.在等差数列中,若Sn=m,Sm=n,则Sm+n=-(m+n).
4.项的个数的“奇偶”性质
(1)若等差数列的项数为2n,则S偶-S奇=nd,=.
(2)若等差数列的项数为2n-1,则S奇-S偶=an,=(S奇=nan,S偶=(n-1)an).
5.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则==·.
[典例讲评] 1.(1)已知Sn,Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和,且=(n=1,2,…),则等于(  )
A.   B.   C.   D.
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S10=100,S100=10,求S110.
(1)B [因为数列{bn}是等差数列,所以b3+b18=b6+b15,所以=,
又因为Sn,Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和,且=(n=1,2,…),
所以=====.]
(2)[解] 法一:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
∵S10=100,S100=10,
∴解得
∴S110=110a1+d=110×=-110.
法二:∵S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100,…成等差数列,设公差为d,∴该数列的前10项和为10×100+d=S100=10,
解得d=-22,
∴前11项和为
S110=11×100+×(-22)=-110.
法三:由也是等差数列,构造新的等差数列b1==10,
b10==,
则d=(b10-b1)==-,
所以b11==b10+d==-1,所以S110=-110.
法四:直接利用性质Sn=m,Sm=n,Sm+n=-(m+n),可知S110=-110.
 在解决与等差数列前n项和Sn的性质有关的问题时,恰当运用相关性质可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法:
(1)整体思路:利用公式Sn=,设法求出整体a1+an,再代入求解.
(2)待定系数法:当公差不为0时,利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求出A,B即可;也可以利用是关于n的一次函数,设=an+b(a≠0)进行计算.
(3)利用相关性质中的结论进行求解.
[学以致用] 1.(1)已知数列{an}是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是50,偶数项的和为34,若它的末项比首项小28,则该数列的公差是________.
(2)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{an}的前3m项的和S3m为________.
(1)-4 (2)210 [(1)设共有2m项,由题意得
a2m-a1=(2m-1)d=-28,①
S偶-S奇=md=34-50,②
①②联立得d=-4.
(2)在等差数列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,
∴30,70,S3m-100成等差数列,
∴2×70=30+(S3m-100),
∴S3m=210.]
探究2 等差数列前n项和的最值问题
探究问题3 根据上节课所学,等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点?
[提示] 由Sn=na1+d,可知Sn=n2+n,当d≠0时,Sn是常数项为0的二次函数.该函数的定义域是N*,公差的符号决定了该二次函数图象的开口方向,通常简记为Sn=An2+Bn(A,B∈R且A≠0).
[新知生成]
1.等差数列前n项和的函数特征
等差数列的 前n项和公 式转移到二 次函数的过程 Sn=na1+d,整理得Sn=,所以当d≠0时,Sn可以看成y=x2+x(x∈R)当x=n时的函数值
等差数列的 前n项和公 式与函数 的关系 令A=,B=a1-,则Sn=An2+Bn. (1)当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时,Sn=0是关于n的常函数,{an}是各项为0的常数列. (2)当A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)时,Sn=Bn是关于n的正比例函数,{an}为各项非零的常数列. (3)当A≠0(即d≠0)时,Sn=An2+Bn是关于n的二次函数(常数项为0)
2.等差数列前n项和Sn的最值
(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最小值.
(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最大值.
特别地,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则S1是{Sn}的最大值.
【教用·微提醒】 由于n取正整数,所以Sn不一定是在顶点处取得最值,而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值.
【链接·教材例题】
例9 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=10,公差d=-2,则Sn是否存在最大值?若存在,求Sn的最大值及取得最大值时n的值;若不存在,请说明理由.
分析:由a1>0和d<0,可以证明{an}是递减数列,且存在正整数k,使得当n≥k时,an<0,Sn递减.这样,就把求Sn的最大值转化为求{an}的所有正数项的和.
另一方面,等差数列的前n项和公式可写成Sn=n2+n,所以当d≠0时,Sn可以看成二次函数y=x2+x(x∈R)当x=n时的函数值.如图4.2-4,当d<0时,Sn关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此,可以利用二次函数求相应的n,Sn的值.
解法1:由an+1-an=-2<0,得an+1<an,所以{an}是递减数列.
又由an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12,可知:
当n<6时,an>0;
当n=6时,an=0;
当n>6时,an<0.
所以S1<S2<…<S5=S6>S7>….
也就是说,当n=5或6时,Sn最大.
因为S5=×[2×10+(5-1)×(-2)]=30,所以Sn的最大值为30.
解法2:因为Sn=n2+n=-n2+11n=-+,
所以,当n取与最接近的整数即5或6时,Sn最大,最大值为30.
[典例讲评] 2.数列{an}的前n项和Sn=33n-n2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{an}的前多少项和最大.
[思路引导] (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求{an}的通项公式.(2)利用等差数列前n项和Sn为关于n的二次函数,可利用二次函数求解最值的方法解决.
[解] (1)法一(公式法):当n≥2时,an=Sn-Sn-1=34-2n,
又当n=1时,a1=S1,满足an=34-2n.
故{an}的通项公式为an=34-2n.
法二(结构特征法):由Sn=-n2+33n知Sn是关于n的常数项为0的二次函数,所以{an}是等差数列,由Sn的结构特征知
解得a1=32,d=-2,所以an=34-2n.
(2)法一(公式法):令即所以16≤n≤17.
又a17=0,故数列{an}的前16项或前17项的和最大.
法二(函数性质法):由y=-x2+33x的图象的对称轴为x=,
距离最近的整数为16,17.由Sn=-n2+33n的
图象(图略)可知,数列{an}的前16项或前17项的和最大.
[母题探究] 将例题中的条件“Sn=33n-n2”变为“在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9”,求{an}的前多少项和最大?
[解] 法一:∵S9=S17,a1=25,
∴9×25+d=17×25+d,解得d=-2.
∴Sn=25n+×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169.
∴当n=13时,Sn有最大值169.
∴数列{an}的前13项和最大.
法二:同法一,求出公差d=-2.
∴an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.
∵a1=25>0,
由得
又∵n∈N*,∴当n=13时,Sn取得最大值.
∴数列{an}的前13项和最大.
法三:∵S9=S17,∴a10+a11+…+a17=0.
由等差数列的性质得a13+a14=0.
∵a1>0,∴d<0.∴a13>0,a14<0.
∴当n=13时,Sn取得最大值.
∴数列{an}的前13项和最大.
法四:设Sn=An2+Bn.∵S9=S17,
∴二次函数对称轴为x==13,且开口方向向下,∴当n=13时,Sn取得最大值.
∴数列{an}的前13项和最大.
 1.在等差数列中,求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点,则从第1项起到分界点对应项的各项和为最大(小)值.
(2)借助二次函数的图象及性质求最值.
2.寻求正、负项分界点的方法
寻找正、负项的分界点,可利用等差数列的性质或利用或来寻找.
[学以致用] 2.已知等差数列{an}中,a3+a4=15,a2a5=54,公差d<0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值及相应的n的值.
[解] (1)∵{an}为等差数列,
∴a2+a5=a3+a4,∴
解得或
因为d<0,所以
故解得
∴an=10-(n-1)=11-n.
(2)∵Sn===-n2+n,
又-<0,函数y=-x2+x图象的对称轴为直线x=,
故当n=10或11时,Sn取得最大值,其最大值为55.
探究3 数列{|an|}的前n项和
[典例讲评] 3.(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d,

解得a1=13,d=-2.
所以{an}的通项公式为an=13+(n-1)·(-2)=15-2n.
(2)由(1)得|an|=
当n≤7时,Tn=13n+×(-2)=14n-n2,
当n≥8时,Tn=T7+1+3+5+…+(2n-15)=T7+1+3+5+…+[2(n-7)-1]=14×7-72+=98-14n+n2.
综上,Tn=
 1.一般地,数列{an}与数列{|an|}是两个不同的数列,只有当数列{an}的每一项都是非负数时,它们才表示同一个数列.
2.(1)求{|an|}的前n项和,关键在于分清哪些项为正数,哪些项为负数,最终化为去掉绝对值符号后的数列求和;
(2)数列{|an|}的前n项和求解的易错点在于没有分类讨论,最后结果未分段表示.
[学以致用] 3.已知数列{an}的通项公式为an=2n-10,求数列{|an|}的前n项和Tn.
[解] 由an=2n-10≥0,得n≥5,
所以当n≤4时,an<0;当n≥5时,an≥0,
所以当n≤4时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-Sn=-n2+9n;
当n≥5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a4|+|a5|+…+|an|=-(a1+a2+…+a4)+(a5+…+an)=-S4+(Sn-S4)=Sn-2S4=n2-9n+40,
所以Tn=
1.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则=(  )
A. B. C. D.
D [∵等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,=,∴====.]
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=12,S10=48,则S15为(  )
A.84 B.108 C.144 D.156
B [由等差数列的性质知S5,S10-S5,S15-S10也构成等差数列,所以2(S10-S5)=S5+S15-S10,
所以2×(48-12)=12+S15-48,解得S15=108.]
3.若数列{an}的通项公式an=43-3n,则Sn取得最大值时,n=(  )
A.13 B.14 C.15 D.14或15
B [由数列{an}的通项公式an=43-3n,可得该数列为递减数列,且公差为-3,a1=40,
∴Sn==-n2+n.
考虑函数y=-x2+x,易知该函数的图象是开口向下的抛物线,对称轴为直线x=.
又n为正整数,与最接近的一个正整数为14,故Sn取得最大值时,n=14.]
4.已知数列{an}的通项公式为an=-3n+16,则数列{|an|}的前40项和为________.
1 890 [由an=-3n+16可知{an}前5项为正,第6项开始为负,所以|a1|+|a2|+…+|a40|=a1+a2+a3+a4+a5-(a6+a7+…+a40)==35+1 855=1 890.]
1.知识链:(1)等差数列前n项和的最值问题.
(2)等差数列前n项和性质的应用.
(3)数列{|an|}的前n项和.
2.方法链:公式法、构造法、函数法、整体代换法.
3.警示牌:(1)忽视最值问题中n的个数.
(2)等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.等差数列{an}的前n项和Sn有哪几种求最大(小)值的方法?
[提示] (1)通项法:
若a1>0,d<0,则Sn必有最大值,
其中n可用不等式组来确定;
若a1<0,d>0,则Sn必有最小值,其中n可用不等式组来确定.
(2)二次函数法:在等差数列{an}中,由于Sn=na1+d=n2+n,则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值,其中,n值可由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定.
2.等差数列奇数项的和与偶数项的和的性质的推理基础是什么?
[提示] 推理基础是等差数列的性质,如在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;若m+n=2p,则am+an=2ap.
课时分层作业(六) 等差数列前n项和的性质及应用
一、选择题
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a2+a5+a8=15,则S9=(  )
A.15 B.30 C.45 D.60
C [已知Sn是等差数列{an}的前n项和,a2+a5+a8=15,
则3a5=15,则a5=5,则S9=9a5=9×5=45.故选C.]
2.已知等差数列{an}共有21项,若奇数项的和为110,则偶数项的和为(  )
A.100 B.105 C.90 D.95
A [由题意得,
故a11=10,所以偶数项的和为100.故选A.]
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2 023<0,S2 024>0,则当Sn最小时,n的值为(  )
A.1 010 B.1 011 C.1 012 D.2 021
C [因为数列{an}是等差数列,
所以S2 023==2 023a1 012,
S2 024==1 012(a1 012+a1 013),
因为S2 023<0,S2 024>0,所以a1 012<0,a1 013>0,
所以n=1 012时,Sn最小.]
4.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若=,则等于(  )
A.2 B. C.1 D.
D [由题意,可得==·=·====.故选D.]
5.某公司技术部为了激发员工的工作积极性,准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”,投票产生“幸运奖”,按照所得票数(假设每人所得票数各不相同)排名次,发放的奖金数成等差数列.已知前10名共发放2 000元,前20名共发放3 500元,则前30名共发放(  )
A.4 000元 B.4 500元
C.4 800元 D.5 000元
B [由已知可知等差数列中S10=2 000,S20= 3 500,
因为S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,
所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20),
所以2×(3 500-2 000)=2 000+(S30-3 500),解得S30=4 500.]
二、填空题
6.在等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{an}的前 ________项和最大.
5 [设等差数列{an}的公差为d,依题意,a5>0,a4+a7<0,
则a5+a6<0,所以a6<0,d<0,所以{an}的前5项和最大.]
7.已知等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A,偶数项的和为B,且B-A=45,2A=B+615,则an=________.
3n-1 [根据题意,设等差数列{an}的公差为d,
若等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A,偶数项的和为B,且B-A=45,即15d=45,则有d=3;
又由2A=B+615,变形可得
A=B-A+615=45+615=660,
则有A==15a15=660,解得a15=44,则an=a15+(n-15)d=3n-1.]
8.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围为________.
 [由当且仅当n=8时,Sn最大,
知a8>0且a9<0,
于是解得-1<d<-,
故d的取值范围为.]
三、解答题
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a6=-5,S4=-62.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
[解] (1)因为a6=-5,S4=-62,设公差为d,
所以a1+5d=-5,4a1+6d=-62,
解得a1=-20,d=3,
所以an=a1+(n-1)d=3n-23(n∈N*).
(2)令an=3n-23≥0,解得n≥,
当n≤7时,an<0,当n≥8时,an>0,
所以当n≤7时,Tn=-a1-a2-…-an=-(a1+a2+…+an)=-,
当n≥8时,Tn=-a1-a2-…-a7+a8+a9+…+an
=-2(a1+a2+…+a7)+(a1+a2+…+an)=+154,
所以Tn=(n∈N*).
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a5=-18,S9=-72,Sn取最小值时,n的值为(  )
A.11或12 B.12
C.13 D.12或13
D [设等差数列{an}的公差为d,
因为a3+a5=-18,S9=-72,
则有解得
所以an=n-13,令an=n-13≤0,则n≤13,
又a13=0,所以当n=12或13时,Sn取最小值.]
11.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目,请给出答案:把100个面包分给5个人,使每人所得面包个数成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份为(  )
A. B. C. D.
A [设分的面包,从小到大依次为a1,a2,a3,a4,a5,依题意得(a3+a4+a5)=a1+a2,
故3a1+9d=7(2a1+d),2d=11a1,由S5=5a3=5(a1+2d)=100,
得a1+2d=12a1=20,解得a1=.故选A.]
12.(多选)已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn,S2 022<S2 023且S2 023>S2 024,则(  )
A.在数列{an}中,a1最大
B.在数列{an}中,S2 023最大
C.a2 024>0
D.当n≥2 024时,an<0
ABD [因为S2 022<S2 023且S2 023>S2 024,
所以S2 023-S2 022=a2 023>0,S2 024-S2 023=a2 024<0,
则等差数列{an}的公差d=a2 024-a2 023<0,
则在数列{an} 中,a1 最大,S2 023最大,故A正确,B正确;
因为a2 024<0,故C错误;因为a2 023>0,a2 024<0,d<0,
则当n≥2 024时,an<0,故D正确.故选ABD.]
13.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,对任意正整数n,an+2-an=2+cos nπ,Sn为{an}的前n项和,则S100=________.
5 050 [当n为奇数时,an+2-an=1,即数列{an}的奇数项是以1为首项,1为公差的等差数列;
当n为偶数时,an+2-an=3,即数列{an}的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列,
所以S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)==5 050.]
14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=-2,S10=25.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值.
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d,
由a4=-2,S10=25,得a1+3d=-2,10a1+d=25,解得a1=-11,d=3,
所以an=a1+(n-1)d=3n-14.
(2)法一:由d=3知{an}是递增数列,
当n≤4时,an<0;当n≥5时,an>0.
所以当n=4时,Sn最小,最小值为S4=4a1+×d=-26.
法二:Sn=na1+d=n2-n=-,又n∈N*,所以当n=4时,Sn最小,最小值为-26.
15.已知数列{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和,a8=4,________.
(1)判断2 024是不是数列{an}中的项,并说明理由;
(2)求Sn的最小值.
从①S11=-22,②S5=S6中任选一个,补充在上面的问题中并作答.
[解] 若选①,
(1)设数列{an}的公差为d,
则解得
所以an=a1+(n-1)d=3n-20.
令3n-20=2 024,得n=681 N*,
所以2 024不是数列{an}中的项.
(2)令an=3n-20>0,解得n>,
所以当n≤6时,an<0.
故当n=6时,Sn取到最小值,为S6=6a1+15d=-57.
若选②,
(1)设数列{an}的公差为d,

解得
所以an=2n-12.
令2n-12=2 024,解得n=1 018∈N*,
所以2 024是数列{an}中的项.
(2)令2n-12>0,得n>6,所以当n≤6时,an≤0.
故当n=6或n=5时,Sn取到最小值,为S5=S6=-30.
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第1课时 等差数列的前n项和公式
第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
整体感知
[学习目标] 1.借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程.(数学运算)
2.掌握等差数列的前n项和公式.(数学运算)
3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能够由其中三个量求另外两个.(数学运算)
4.构建等差数列求和模型,解决实际问题.(数学建模、数学运算)
(教师用书)
为了达到比较好的音响和观赏效果,很多剧场的座位都是排成圆弧形的,如图所示.如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子,且中区座位共有8排,第一排有4个座位,后面每一排都比它的前一排多4个座位.你能帮助这个公司算出共需要多少个座位吗?
[讨论交流] 
问题1.等差数列的前n项和公式是什么?
问题2.如何推导等差数列的前n项和公式?
问题3.求等差数列的前n项和时,如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式?
[自我感知] 经过认真的预习,结合对本节课的理解和认知,请画出本节课的知识逻辑体系.
探究建构
探究1 等差数列的前n项和公式
探究问题1 据说,200多年前,高斯的算术老师提出了这个问题:
1+2+3+…+100=?
当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案:
(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5 050.
你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗?
[提示] 对于上述数列,设an=n,那么高斯的计算方法可以表示为(a1+a100)+(a2+a99)+…+(a50+a51)=101×50=5 050.可以发现,高斯在计算中利用了a1+a100=a2+a99=…=a50+a51这一特殊关系,这就是上一节我们学过的性质,它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和,从而简化了运算,我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”,其本质是配对,将2n个数重新分组配对求和.
探究问题2 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,如何求其前n项和Sn
[提示] 倒序相加法

两式相加可得2Sn=n(a1+an),即Sn=,上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等.
[新知生成]
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和 公式 Sn= Sn=
【链接·教材例题】
例6 已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1=7,a50=101,求S50;
(2)若a1=2,a2=,求S10;
(3)若a1=,d=-,Sn=-5,求n.
分析:对于(1),可以直接利用公式Sn=求和;在(2)中,可以先利用a1和a2的值求出d,再利用公式Sn=na1+d求和;(3)已知公式Sn=na1+d中的a1,d和Sn,解方程即可求得n.
[解] (1)因为a1=7,a50=101,根据公式Sn=,可得
S50==2700.
(2)因为a1=2,a2=,所以d=.
根据公式Sn=na1+d,可得S10=10×2+=.
(3)把a1=,d=-,Sn=-5代入Sn=na1+d,得
-5=n+.
整理,得
n2-7n-60=0.
解得
n=12,或n=-5(舍去).
所以n=12.
[典例讲评] 1.在等差数列{an}中:
(1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10;
(2)已知a1=4,S8=172,求a8和d;
(3)若a1=,an=-,Sn=-5,求n和d.
[解] (1)由已知得解得
∴a8=a6+2d=10+2×3=16,
S10=10a1+d=10×(-5)+5×9×3=85.
(2)由已知得S8===172,
解得a8=39,
又∵a8=4+(8-1)d=39,
∴d=5.∴a8=39,d=5.
(3)由题意得,Sn===-5,
解得n=15.又a15=+(15-1)d=-,
∴d=-,∴n=15,d=-.
反思领悟 求等差数列的基本量的方法
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.
[学以致用] 1.(源自湘教版教材)已知一个等差数列的前10项和是310,前20项和是1 220,求该数列的前n项和.
[解] 记该数列为{an},公差为d.
由等差数列前n项和公式Sn=na1+d,得
解这个关于a1与d的方程组,得
因此,该数列的前n项和为Sn=4n+×6=3n2+n.
【链接·教材例题】
例7 已知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗?
分析:把已知条件代入等差数列前n项和的公式(2)后,可得到两个关于a1与d的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组,就可以求得a1和d.
探究2 利用等差数列前n项和公式判断等差数列
[解] 由题意,知
S10=310,S20=1220.
把它们代入公式Sn=na1+d,

解方程组,得
所以,由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
[典例讲评] 2.若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是不是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.
[解] 当n=1时,S1=a1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5.经检验,当n=1时,a1=-1满足上式,故an=4n-5.数列{an}是等差数列,证明如下:因为an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4,所以数列{an}是等差数列.
[母题探究] (变条件)若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是不是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.
[解] ∵Sn=2n2-3n-1①,
∴当n=1时,S1=a1=2-3-1=-2;
当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)-1②,
①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1)-1]=4n-5.
经检验,当n=1时,a1=-2不满足上式,
故an=
∵a2-a1=5,a3-a2=4,即a2-a1≠a3-a2,∴数列{an}不是等差数列.
反思领悟 由Sn求得通项公式an的特点,若Sn是关于n的二次函数,不含常数项,则由Sn求得an,知数列{an}是等差数列;否则an=
数列{an}不是等差数列.
[学以致用] 2.已知一个数列{an}的前n项和Sn=25n-2n2+r.
(1)当r=0时,求证:该数列{an}是等差数列;
(2)若数列{an}是等差数列,求r满足的条件.
[解] (1)证明:当r=0时,Sn=25n-2n2,
令n=1,S1=25-2=23,
当n≥2时,Sn-1=25(n-1)-2(n-1)2,
所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25(n-1)+2(n-1)2=27-4n,
此时a1=27-4=23,所以an=27-4n,所以an-an-1=(27-4n)-27+4(n-1)=-4(n≥2),可得数列{an}是公差为-4的等差数列.
(2)Sn=25n-2n2+r,令n=1,得S1=25-2+r=23+r,当n≥2时,Sn-1=25(n-1)-2(n-1)2+r,
所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25(n-1)+2(n-1)2=27-4n,所以
an-an-1=(27-4n)-27+4(n-1)=-4(n≥3),
可得n≥2时,数列{an}是公差为-4的等差数列,
若数列{an}是等差数列,则a1=27-4=23=23+r,所以r=0.
【链接·教材例题】
例8 某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位,报告厅共有20排座位,从第2排起每排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.
分析:将第1排到第20排的座位数依次排成一列,构成数列{an},设数列{an}的前n项和为Sn.由题意可知,{an}是等差数列,且公差及前20项的和已知,所以可利用等差数列的前n项和公式求首项.
探究3 等差数列前n项和的实际应用
[解] 设报告厅的座位从第1排到第20排,各排的座位数依次排成一列,构成数列{an},其前n项和为Sn.根据题意,数列{an}是一个公差为2的等差数列,且S20=800.
由S20=20a1+×2=800,可得
a1=21.
因此,第1排应安排21个座位.
[典例讲评] 3.某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那么在24小时内能否构筑成第二道防线?
[解] 从第一辆车投入工作算起,各车工作时间(单位:小时)依次设为a1,a2,…,a25.由题意可知,此数列为等差数列,且a1=24,公差d=-.
25辆翻斗车完成的工作量为:a1+a2+…+a25=25×24+25×12×=500,而需要完成的工作量为24×20=480.∵500>480,∴在24小时内能构筑成第二道防线.
【教用·备选题】 某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱?
[解] 设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20,则
a1=50+1 000×1%=60(元),
a2=50+(1 000-50)×1%=59.5(元),

a10=50+(1 000-9×50)×1%=55.5(元),
即第10个月应付款55.5元.
由题知,20个月贷款还清.
由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列,
所以有S20=×20=1 105(元),
即全部付清后实际付款1 105+150=1 255(元).
反思领悟 应用等差数列解决实际问题的一般思路
[学以致用] 3.在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成(如图),最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板;从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问:
(1)第9圈共有多少块石板?
(2)前9圈一共有多少块石板?
[解] (1)设从第1圈到第9圈的石板数构成数列{an},由题意可知数列{an}是等差数列,其中首项a1=9,公差d=9,项数n=9.
由等差数列的通项公式,得
a9=a1+(n-1)d=9+(9-1)×9=81(块).
(2)由等差数列的前n项和公式,得
S9=na1+d=9×9+×9=405(块).
因此,第9圈共有81块石板,前9圈一共有405块石板.
2
4
3
题号
1
应用迁移
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=9,a5=7,则a8=(  )
A.  B.10  C.11  D.

C [由S3=9,得a1+a2+a3=3a2=9,所以a2=3,
又a5=7,a2+a8=2a5,所以a8=11.故选C.]
2
3
题号
1
4
2.已知等差数列{an}的前5项和S5=35,且满足a5=13a1,则等差数列{an}的公差为(  )
A.-3  B.-1  C.1  D.3

D [由题意得S5=5a1+10d=35,a5=a1+4d=13a1,解得d=3,a1=1.故选D.]
2
3
题号
4
1
3.(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=________.
95 [因为数列{an}为等差数列,
则由题意得
解得
则S10=10a1+d=10×(-4)+45×3=95.]
95
2
4
3
题号
1
4.中国古代有这样一道数学题:今有一男子擅长走路,每日增加相同里数,九日走了1 260里,第一日、第四日、第七日所走之和为390里,则该男子第三日走的里数为________.
120 [由题意可知该男子每天走的里数构成一个等差数列,设这个等差数列为{an},其公差为d,前n项和为Sn.根据题意可知,S9=1 260,a1+a4+a7=390.
法一:S9==9a5=1 260,∴a5=140.
∵a1+a4+a7=3a4=390,∴a4=130,∴d=a5-a4=10,∴a3=a4-d=120.
120
2
4
3
题号
1
法二:由题意知
即解得
∴a3=a1+2d=120.]
1.知识链:(1)等差数列前n项和公式的推导过程.
(2)与等差数列前n项和有关的基本运算.
(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列.
(4)等差数列前n项和的实际应用.
2.方法链:倒序相加法、公式法.
3.警示牌:由Sn求通项公式时忽略对n=1的讨论.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.等差数列的前n项和公式有哪几种形式?
[提示] 1+2+3+…+n=;
2+4+6+…+2n=n(n+1);
1+3+5+7+…+2n-1=n2.
[提示] Sn==na1+d.另有Sn=An2+Bn的形式.
2.常用的数列求和公式有哪些?
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高斯的故事
高斯是德国数学家、天文学家和物理学家,被誉为历史上伟大的数学家之一,和阿基米德、牛顿并列,同享盛名.
高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭,1855年2月23日卒于格丁根.幼时家境贫困,但聪敏异常,受一贵族资助才进学校受教育.1795-1798年在格丁根大学学习,1798年转入黑尔姆施泰特大学,翌年因证明代数基本定理获博士学位.从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世.
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高斯7岁那年,父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学,读书不久,高斯在数学上就显露出了常人难以企及的天赋,最能证明这一点的是高斯10岁那年,教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题,要求学生把1到100的所有整数加起来,教师刚叙述完题目,高斯即刻把写着答案的小石板交了上去.彪特耐尔起初并不在意这一举动,心想这个小家伙又在捣乱,但当他发现全班唯一正确的答案来自高斯
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时,才大吃一惊.而更使人吃惊的是高斯的算法,他发现:第一个数加最后一个数是101,第二个数加倒数第二个数的和也是101……共有50对这样的数,用101乘50得到5 050.这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法,高斯的才华使彪特耐尔十分激动,下课后特地向校长汇报,并声称自己已经没有什么可教高斯的了.
课时分层作业(五) 等差数列的前n项和公式
题号
一、选择题
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且前3项的和为-6,最后3项的和为57,Sn=85,则n的值为(  )
A.9  B.10  C.11  D.20
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13

14
15
B [依题意,a1+a2+a3=-6,an-2+an-1+an=57,
所以a1+a2+a3+an-2+an-1+an=3(a1+an)=51,
所以a1+an=17,所以Sn=85=×n=n,解得n=10.故选B.]
题号
2
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2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,3a4-a7=7,2a7-a9=6,则S10=(  )
A.55  B.60  C.65  D.75

14
15
C [设等差数列{an}的公差为d,∵3a4-a7=7,2a7-a9=6,
∴解得a1=2,d=1,
∴S10=10a1+d=20+45d=65.故选C.]
题号
3
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1
3.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,若a5,a7是方程x2+10x-16=0的两个根,那么S11的值为(  )
A.88  B.-88  C.110  D.-55

14
15
D [在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,a5,a7是方程x2+10x-16=0的两个根,
∴a5+a7=-10,∴S11=(a1+a11)=(a5+a7)=×(-10)=
-55.故选D.]
题号
4
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1
4.设{an}是公差不为零的等差数列,且=,则{an}的前6项和为(  )
A.-2  B.0  C.2  D.4

14
15
B [设数列{an}的公差为=,整理可得=0,即2d(a4+a2)+2d(a5+a3)=0.又∵d≠0,∴a4+a2+a5+a3=0.∵a4+a3=a2+a5,∴a3+a4=0.∴{an}的前6项和为=3(a3+a4)=0.故选B.]
题号
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1
5.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人.”其大意为:“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的比前一天多7人.”则1 864人全部派遣到位需要的天数为(  )
A.9  B.16  C.18  D.20

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题号
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1
B [根据题意设每天派出的人数组成数列{an},且该数列是首项a1=64,公差d=7的等差数列.设1 864人全部派遣到位需要的天数为n,则64n+×7=1 864,依次将选项中的n值代入检验得,n=16满足方程.故选B.]
14
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题号
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3
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1
二、填空题
6.若数列{an}满足2an+1=an+an+2,且a3+a13=14,则其前15项和为________.
14
15
105 [根据题意,因为2an+1=an+an+2,所以数列{an}为等差数列.
所以S15====105.]
105
题号
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7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=________.
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5 [因为Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+(2k+1)d=2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,所以k=5.]
5
题号
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1
8.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是________.
14
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-1 [等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn,∴λ=-1.]
-1
题号
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1
三、解答题
9.已知{an}是等差数列,其中a2=22,a6=10.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求a2+a4+a6+…+a20的值.
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题号
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[解] (1)设等差数列{an}的公差为d,因为a6=a2+4d,所以10=22+4d,所以d=-3,a1=a2-d=25,所以an=28-3n(n∈N*).
(2)因为{an}是等差数列,所以a2,a4,a6,…,a20是首项为a2=22,公差为-6的等差数列,共有10项,a2+a4+a6+…+a20=10×22+×(-6)=-50.
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题号
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1
10.(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=0,a4=6,则(  )
A.Sn=n2-3n   B.Sn=
C.an=3n-6   D.an=2n

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题号
9
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1
BC [设等差数列{an}的公差为d,因为S3=0,a4=6,所以
解得所以an=a1+(n-1)d=-3+
3(n-1)=3n-6,Sn=na1+d=-3n+=.故选BC.]
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题号
9
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1
11.已知等差数列{an},记Sn为数列{an}的前n项和,若a1=1,S7=5a5,则数列{an}的公差d=(  )
A.1  B.2  C.-1  D.-2

14
15
D [在等差数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,a1=1,
由S7=5a5可得7a1+d=5(a1+4d),即7+21d=5+20d,
解得d=-2.故选D.]
题号
9
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1
12.《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到:“今有良马与驽马发长安,至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里,日增一十三里.驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里……”试问前4天,良马和驽马共走过的路程之和的里数为(  )
A.1 235  B.1 800  C.2 600  D.3 000

14
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题号
9
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5
3
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1
A [良马第一天行193里,之后每天比前一天多走13里,
驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里,
前4天,良马和驽马共走过的路程之和的里数为S4==1 235.
故选A.]
14
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题号
9
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1
13.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为________米.
14
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2 000
题号
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1
2 000 [假设20位同学是1号到20号依次排列,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项,20为公差的等差数列,故所有同学往返的总路程为
S=9×20+×20+10×20+×20=2 000(米).]
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题号
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1
14.记Sn为数列{an}的前n项和.
(1)若数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,求nan-Sn的表达式;
(2)若数列是公差为的等差数列,证明:{an}是等差数列.
14
15
[解] (1)由已知得an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1,Sn===n2,
所以nan-Sn=n(2n-1)-n2=n2-n.
题号
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1
(2)证明:∵=+(n-1)·=,
∴nan-Sn=,∴2nan-2Sn=n2-n,
当n≥2时,2(n-1)an-1-2Sn-1=(n-1)2-(n-1),
两式相减得,2nan-2(n-1)an-1-2(Sn-Sn-1)=2n-2,
∴2nan-2(n-1)an-1-2an=2n-2,
∴(2n-2)an-2(n-1)an-1=2n-2,
∴an-an-1=1(n≥2),
∴数列{an}是以1为公差的等差数列.
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题号
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1
15.7月,有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件,以后每天售出的该款服装都比前一天多3件,当日销售量达到最大(只有1天)后,每天售出的该款服装都比前一天少2件,且7月31日当天刚好售出3件.
(1)7月几日该款服装销售最多?最多售出几件?
(2)按规律,当该市场销售此服装达到200件时,社会上就开始流行,而日销售量连续下降并低于20件时,则不再流行.该款服装在社会上流行几天?
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题号
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1
[解] (1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*,1≤n≤31),最多售出ak件.
由题意知解得
∴7月13日该款服装销售最多,最多售出39件.
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题号
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1
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,
∵an=
∴Sn=
∵S13=273>200,
∴当1≤n≤13时,由Sn>200,得12≤n≤13,
当14≤n≤31时,日销售量连续下降,
由an<20,得23≤n≤31,
∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).
14
15
THANKS课时分层作业(六) 等差数列前n项和的性质及应用
一、选择题
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a2+a5+a8=15,则S9=(  )
A.15 B.30 C.45 D.60
2.已知等差数列{an}共有21项,若奇数项的和为110,则偶数项的和为(  )
A.100 B.105 C.90 D.95
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2 023<0,S2 024>0,则当Sn最小时,n的值为(  )
A.1 010 B.1 011 C.1 012 D.2 021
4.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若=,则等于(  )
A.2 B. C.1 D.
5.某公司技术部为了激发员工的工作积极性,准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”,投票产生“幸运奖”,按照所得票数(假设每人所得票数各不相同)排名次,发放的奖金数成等差数列.已知前10名共发放2 000元,前20名共发放3 500元,则前30名共发放(  )
A.4 000元 B.4 500元
C.4 800元 D.5 000元
二、填空题
6.在等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{an}的前 ________项和最大.
7.已知等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A,偶数项的和为B,且B-A=45,2A=B+615,则an=________.
8.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围为________.
三、解答题
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a6=-5,S4=-62.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a5=-18,S9=-72,Sn取最小值时,n的值为(  )
A.11或12 B.12
C.13 D.12或13
11.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目,请给出答案:把100个面包分给5个人,使每人所得面包个数成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份为(  )
A. B. C. D.
12.(多选)已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn,S2 022<S2 023且S2 023>S2 024,则(  )
A.在数列{an}中,a1最大
B.在数列{an}中,S2 023最大
C.a2 024>0
D.当n≥2 024时,an<0
13.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,对任意正整数n,an+2-an=2+cos nπ,Sn为{an}的前n项和,则S100=________.
14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=-2,S10=25.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值.
15.已知数列{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和,a8=4,________.
(1)判断2 024是不是数列{an}中的项,并说明理由;
(2)求Sn的最小值.
从①S11=-22,②S5=S6中任选一个,补充在上面的问题中并作答.
3/3课时分层作业(五) 等差数列的前n项和公式
一、选择题
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且前3项的和为-6,最后3项的和为57,Sn=85,则n的值为(  )
A.9 B.10 C.11 D.20
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,3a4-a7=7,2a7-a9=6,则S10=(  )
A.55 B.60 C.65 D.75
3.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,若a5,a7是方程x2+10x-16=0的两个根,那么S11的值为(  )
A.88 B.-88 C.110 D.-55
4.设{an}是公差不为零的等差数列,且=,则{an}的前6项和为(  )
A.-2 B.0 C.2 D.4
5.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人.”其大意为:“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的比前一天多7人.”则1 864人全部派遣到位需要的天数为(  )
A.9 B.16 C.18 D.20
二、填空题
6.若数列{an}满足2an+1=an+an+2,且a3+a13=14,则其前15项和为________.
7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=________.
8.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是________.
三、解答题
9.已知{an}是等差数列,其中a2=22,a6=10.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求a2+a4+a6+…+a20的值.
10.(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=0,a4=6,则(  )
A.Sn=n2-3n B.Sn=
C.an=3n-6 D.an=2n
11.已知等差数列{an},记Sn为数列{an}的前n项和,若a1=1,S7=5a5,则数列{an}的公差d=(  )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
12.《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到:“今有良马与驽马发长安,至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里,日增一十三里.驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里……”试问前4天,良马和驽马共走过的路程之和的里数为(  )
A.1 235 B.1 800 C.2 600 D.3 000
13.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为________米.
14.记Sn为数列{an}的前n项和.
(1)若数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,求nan-Sn的表达式;
(2)若数列是公差为的等差数列,证明:{an}是等差数列.
15.7月,有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件,以后每天售出的该款服装都比前一天多3件,当日销售量达到最大(只有1天)后,每天售出的该款服装都比前一天少2件,且7月31日当天刚好售出3件.
(1)7月几日该款服装销售最多?最多售出几件?
(2)按规律,当该市场销售此服装达到200件时,社会上就开始流行,而日销售量连续下降并低于20件时,则不再流行.该款服装在社会上流行几天?
3/3(共73张PPT)
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
整体感知
[学习目标] 1.理解等差数列前n项和的性质,并学会应用.(数学运算、逻辑推理)
2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.(数学运算)
(教师用书)
我们知道,等差数列的前n项和公式是一个关于n的二次函数形式,那么等差数列的前n项和是否具有二次函数的性质呢?除此之外,它还有什么样的性质吗?
[讨论交流] 
问题1.等差数列前n项和公式有什么样的函数特点?
问题2.等差数列{an}中,其前n项和Sn,前2n项和S2n与前3n项和S3n有什么样的关系?
[自我感知] 经过认真的预习,结合对本节课的理解和认知,请画出本节课的知识逻辑体系.
探究建构
探究1 等差数列前n项和的性质
探究问题1 等差数列{an}的前n项和为Sn,试探索Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…的关系.
[提示] S2n=a1+a2+…+an+an+1+…+a2n=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(an+nd)=2Sn+n2d,同样我们发现S3n=3Sn+3n2d,这里出现了一个有意思的数列Sn,S2n-Sn=Sn+n2d,S3n-S2n=Sn+2n2d,…是一个公差为n2d的等差数列.
[提示] 因为S奇=a1+a3+a5+…+a2n-1,S偶=a2+a4+a6+…+a2n,
所以S偶-S奇=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2n-a2n-1)=nd.
又由等差数列的性质知a1+a2n-1=2an,
a2+a2n=2an+1,且S奇=,S偶=,所以=.
探究问题2 在等差数列{an}中,如果项数为2n,那么S偶与S奇之间存在什么样的关系?
[新知生成]
1.设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等差数列,且公差为m2d.
2.若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为.
3.在等差数列中,若Sn=m,Sm=n,则Sm+n=-(m+n).
4.项的个数的“奇偶”性质
(1)若等差数列的项数为2n,则S偶-S奇=nd,=.
(2)若等差数列的项数为2n-1,则S奇-S偶=an,=(S奇=nan,S偶=(n-1)an).
5.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则==·.
[典例讲评] 1.(1)已知Sn,Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和,且=(n=1,2,…),则等于(  )
A.   B.   C.   D.
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S10=100,S100=10,求S110.

(1)B [因为数列{bn}是等差数列,所以b3+b18=b6+b15,所以=,
又因为Sn,Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和,且=(n=1,2,…),
所以=====.]
(2)[解] 法一:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
∵S10=100,S100=10,
∴解得
∴S110=110a1+d=110×=-110.
法二:∵S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100,…成等差数列,设公差为d,∴该数列的前10项和为10×100+d=S100=10,
解得d=-22,
∴前11项和为S110=11×100+×(-22)=-110.
法三:由也是等差数列,构造新的等差数列b1==10,
b10==,
则d=(b10-b1)==-,
所以b11==b10+d==-1,所以S110=-110.
法四:直接利用性质Sn=m,Sm=n,Sm+n=-(m+n),可知S110=
-110.
反思领悟 在解决与等差数列前n项和Sn的性质有关的问题时,恰当运用相关性质可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法:
(1)整体思路:利用公式Sn=,设法求出整体a1+an,再代入求解.
(2)待定系数法:当公差不为0时,利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求出A,B即可;也可以利用是关于n的一次函数,设=an+b(a≠0)进行计算.
(3)利用相关性质中的结论进行求解.
[学以致用] 1.(1)已知数列{an}是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是50,偶数项的和为34,若它的末项比首项小28,则该数列的公差是________.
(2)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{an}的前3m项的和S3m为________.
-4
210
(1)-4 (2)210 [(1)设共有2m项,由题意得
a2m-a1=(2m-1)d=-28,①
S偶-S奇=md=34-50,②
①②联立得d=-4.
(2)在等差数列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,
∴30,70,S3m-100成等差数列,
∴2×70=30+(S3m-100),
∴S3m=210.]
探究2 等差数列前n项和的最值问题
探究问题3 根据上节课所学,等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点?
[提示] 由Sn=na1+d,可知Sn=n2+n,当d≠0时,Sn是常数项为0的二次函数.该函数的定义域是N*,公差的符号决定了该二次函数图象的开口方向,通常简记为Sn=An2+Bn(A,B∈R且A≠0).
[新知生成]
1.等差数列前n项和的函数特征
等差数列的 前n项和公 式转移到二 次函数的过程 Sn=na1+d,整理得Sn=,所以当d≠0时,Sn可以看成y=x2+x(x∈R)当x=n时的函数值
等差数列的 前n项和公 式与函数 的关系 令A=,B=a1-,则Sn=An2+Bn.
(1)当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时,Sn=0是关于n的常函数,{an}是各项为0的常数列.
(2)当A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)时,Sn=Bn是关于n的正比例函数,{an}为各项非零的常数列.
(3)当A≠0(即d≠0)时,Sn=An2+Bn是关于n的二次函数
(常数项为0)
2.等差数列前n项和Sn的最值
(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最__值.
(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最__值.
特别地,若a1>0,d>0,则__是{Sn}的最__值;若a1<0,d<0,则___是{Sn}的最大值.


S1

S1
【教用·微提醒】 由于n取正整数,所以Sn不一定是在顶点处取得最值,而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值.

【链接·教材例题】
例9 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=10,公差d=-2,则Sn是否存在最大值?若存在,求Sn的最大值及取得最大值时n的值;若不存在,请说明理由.
分析:由a1>0和d<0,可以证明{an}是递减数列,且存在正整数k,使得当n≥k时,an<0,Sn递减.这样,就把求Sn的最大值转化为求{an}的所有正数项的和.
另一方面,等差数列的前n项和公式可写成Sn=n2+n,所以当d≠0时,Sn可以看成二次函数y=x2+x(x∈R)当x=n时的函数值.如图4.2-4,当d<0时,Sn关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此,可以利用二次函数求相应的n,Sn的值.
解法1:由an+1-an=-2<0,得an+1<an,所以{an}是递减数列.
又由an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12,可知:
当n<6时,an>0;
当n=6时,an=0;
当n>6时,an<0.
所以S1<S2<…<S5=S6>S7>….
也就是说,当n=5或6时,Sn最大.
因为S5=×[2×10+(5-1)×(-2)]=30,所以Sn的最大值为30.
解法2:因为Sn=n2+n=-n2+11n=-+,
所以,当n取与最接近的整数即5或6时,Sn最大,最大值为30.
[典例讲评] 2.数列{an}的前n项和Sn=33n-n2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{an}的前多少项和最大.
[思路引导] (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求{an}的通项公式.(2)利用等差数列前n项和Sn为关于n的二次函数,可利用二次函数求解最值的方法解决.
[解] (1)法一(公式法):当n≥2时,an=Sn-Sn-1=34-2n,
又当n=1时,a1=S1,满足an=34-2n.
故{an}的通项公式为an=34-2n.
法二(结构特征法):由Sn=-n2+33n知Sn是关于n的常数项为0的二
次函数,所以{an}是等差数列,由Sn的结构特征知
解得a1=32,d=-2,所以an=34-2n.
(2)法一(公式法):令即所以16≤n≤17.
又a17=0,故数列{an}的前16项或前17项的和最大.
法二(函数性质法):由y=-x2+33x的图象的对称轴为x=,
距离最近的整数为16,17.由Sn=-n2+33n的
图象(图略)可知,数列{an}的前16项或前17项的和最大.
[母题探究] 将例题中的条件“Sn=33n-n2”变为“在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9”,求{an}的前多少项和最大?
[解] 法一:∵S9=S17,a1=25,
∴9×25+d=17×25+d,解得d=-2.
∴Sn=25n+×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169.
∴当n=13时,Sn有最大值169.
∴数列{an}的前13项和最大.
法二:同法一,求出公差d=-2.
∴an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.
∵a1=25>0,
由得
又∵n∈N*,∴当n=13时,Sn取得最大值.
∴数列{an}的前13项和最大.
法三:∵S9=S17,∴a10+a11+…+a17=0.
由等差数列的性质得a13+a14=0.
∵a1>0,∴d<0.∴a13>0,a14<0.
∴当n=13时,Sn取得最大值.
∴数列{an}的前13项和最大.
法四:设Sn=An2+Bn.∵S9=S17,
∴二次函数对称轴为x==13,且开口方向向下,∴当n=13时,Sn取得最大值.
∴数列{an}的前13项和最大.
反思领悟 1.在等差数列中,求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点,则从第1项起到分界点对应项的各项和为最大(小)值.
(2)借助二次函数的图象及性质求最值.
2.寻求正、负项分界点的方法
寻找正、负项的分界点,可利用等差数列的性质或利用或来寻找.
[学以致用] 2.已知等差数列{an}中,a3+a4=15,a2a5=54,公差d<0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值及相应的n的值.
[解] (1)∵{an}为等差数列,
∴a2+a5=a3+a4,∴
解得或
因为d<0,所以
故解得
∴an=10-(n-1)=11-n.
(2)∵Sn===-n2+n,
又-<0,函数y=-x2+x图象的对称轴为直线x=,
故当n=10或11时,Sn取得最大值,其最大值为55.
探究3 数列{|an|}的前n项和
[典例讲评] 3.(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d,

解得a1=13,d=-2.
所以{an}的通项公式为an=13+(n-1)·(-2)=15-2n.
(2)由(1)得|an|=
当n≤7时,Tn=13n+×(-2)=14n-n2,
当n≥8时,Tn=T7+1+3+5+…+(2n-15)=T7+1+3+5+…+[2(n-7)-1]=14×7-72+=98-14n+n2.
综上,Tn=
反思领悟 1.一般地,数列{an}与数列{|an|}是两个不同的数列,只有当数列{an}的每一项都是非负数时,它们才表示同一个数列.
2.(1)求{|an|}的前n项和,关键在于分清哪些项为正数,哪些项为负数,最终化为去掉绝对值符号后的数列求和;
(2)数列{|an|}的前n项和求解的易错点在于没有分类讨论,最后结果未分段表示.
[学以致用] 3.已知数列{an}的通项公式为an=2n-10,求数列{|an|}的前n项和Tn.
[解] 由an=2n-10≥0,得n≥5,
所以当n≤4时,an<0;当n≥5时,an≥0,
所以当n≤4时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-Sn=-n2+9n;
当n≥5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a4|+|a5|+…+|an|=-(a1+a2+…+a4)+(a5+…+an)=-S4+(Sn-S4)=Sn-2S4=n2-9n+40,
所以Tn=
2
4
3
题号
1
应用迁移
1.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则
=(  )
A.  B.  C.  D.

D [∵等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,=,∴====.]
2
3
题号
1
4
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=12,S10=48,则S15为(  )
A.84  B.108  C.144  D.156

B [由等差数列的性质知S5,S10-S5,S15-S10也构成等差数列,所以2(S10-S5)=S5+S15-S10,
所以2×(48-12)=12+S15-48,解得S15=108.]
2
3
题号
4
1
3.若数列{an}的通项公式an=43-3n,则Sn取得最大值时,n=(  )
A.13  B.14  C.15  D.14或15

2
3
题号
4
1
B [由数列{an}的通项公式an=43-3n,可得该数列为递减数列,且公差为-3,a1=40,
∴Sn==-n2+n.
考虑函数y=-x2+x,易知该函数的图象是开口向下的抛物线,对称轴为直线x=.
又n为正整数,与最接近的一个正整数为14,故Sn取得最大值时,n=14.]
2
4
3
题号
1
4.已知数列{an}的通项公式为an=-3n+16,则数列{|an|}的前40项和为________.
1 890 [由an=-3n+16可知{an}前5项为正,第6项开始为负,所以|a1|+|a2|+…+|a40|=a1+a2+a3+a4+a5-(a6+a7+…+a40)==35+1 855=1 890.]
1 890
1.知识链:(1)等差数列前n项和的最值问题.
(2)等差数列前n项和性质的应用.
(3)数列{|an|}的前n项和.
2.方法链:公式法、构造法、函数法、整体代换法.
3.警示牌:(1)忽视最值问题中n的个数.
(2)等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.等差数列{an}的前n项和Sn有哪几种求最大(小)值的方法?
[提示] (1)通项法:
若a1>0,d<0,则Sn必有最大值,其中n可用不等式组来确定;
若a1<0,d>0,则Sn必有最小值,其中n可用不等式组来确定.
(2)二次函数法:在等差数列{an}中,由于Sn=na1+d=n2+n,则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值,其中,n值可由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定.
2.等差数列奇数项的和与偶数项的和的性质的推理基础是什么?
[提示] 推理基础是等差数列的性质,如在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;若m+n=2p,则am+an=2ap.
课时分层作业(六) 等差数列前n项和的性质及应用
题号
一、选择题
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a2+a5+a8=15,则S9=(  )
A.15  B.30  C.45  D.60
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13

14
15
C [已知Sn是等差数列{an}的前n项和,a2+a5+a8=15,
则3a5=15,则a5=5,则S9=9a5=9×5=45.故选C.]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2.已知等差数列{an}共有21项,若奇数项的和为110,则偶数项的和为(  )
A.100  B.105  C.90  D.95

14
15
A [由题意得,
故a11=10,所以偶数项的和为100.故选A.]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2 023<0,S2 024>0,则当Sn最小时,n的值为(  )
A.1 010  B.1 011  C.1 012  D.2 021

14
15
C [因为数列{an}是等差数列,
所以S2 023==2 023a1 012,
S2 024==1 012(a1 012+a1 013),
因为S2 023<0,S2 024>0,所以a1 012<0,a1 013>0,
所以n=1 012时,Sn最小.]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若=,则等于(  )
A.2  B.  C.1  D.

14
15
D [由题意,可得==·=·====.故选D.]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5.某公司技术部为了激发员工的工作积极性,准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”,投票产生“幸运奖”,按照所得票数(假设每人所得票数各不相同)排名次,发放的奖金数成等差数列.已知前10名共发放2 000元,前20名共发放3 500元,则前30名共发放(  )
A.4 000元   B.4 500元
C.4 800元   D.5 000元

14
15
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
B [由已知可知等差数列中S10=2 000,S20= 3 500,
因为S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,
所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20),
所以2×(3 500-2 000)=2 000+(S30-3 500),解得S30=4 500.]
14
15
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
二、填空题
6.在等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{an}的前 ________项和最大.
14
15
5 [设等差数列{an}的公差为d,依题意,a5>0,a4+a7<0,
则a5+a6<0,所以a6<0,d<0,所以{an}的前5项和最大.]
5
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
7.已知等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A,偶数项的和为B,且B-A=45,2A=B+615,则an=________.
14
15
3n-1 [根据题意,设等差数列{an}的公差为d,
若等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A,偶数项的和为B,且B-A=45,即15d=45,则有d=3;
又由2A=B+615,变形可得
A=B-A+615=45+615=660,
则有A==15a15=660,解得a15=44,则an=a15+(n-15)d=3n-1.]
3n-1
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
8.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围为______________.
14
15
 [由当且仅当n=8时,Sn最大,
知a8>0且a9<0,
于是解得-1<d<-,
故d的取值范围为.]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
三、解答题
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a6=-5,S4=-62.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
14
15
[解] (1)因为a6=-5,S4=-62,设公差为d,
所以a1+5d=-5,4a1+6d=-62,
解得a1=-20,d=3,
所以an=a1+(n-1)d=3n-23(n∈N*).
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
(2)令an=3n-23≥0,解得n≥,
当n≤7时,an<0,当n≥8时,an>0,
所以当n≤7时,Tn=-a1-a2-…-an=-(a1+a2+…+an)=-,
当n≥8时,Tn=-a1-a2-…-a7+a8+a9+…+an
=-2(a1+a2+…+a7)+(a1+a2+…+an)=+154,
所以Tn=(n∈N*).
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a5=-18,S9=-72,Sn取最小值时,n的值为(  )
A.11或12   B.12
C.13   D.12或13

14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
D [设等差数列{an}的公差为d,
因为a3+a5=-18,S9=-72,
则有解得
所以an=n-13,令an=n-13≤0,则n≤13,
又a13=0,所以当n=12或13时,Sn取最小值.]
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11.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目,请给出答案:把100个面包分给5个人,使每人所得面包个数成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份为(  )
A.  B.  C.  D.

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A [设分的面包,从小到大依次为a1,a2,a3,a4,a5,依题意得(a3+a4+a5)=a1+a2,
故3a1+9d=7(2a1+d),2d=11a1,由S5=5a3=5(a1+2d )=100,
得a1+2d=12a1=20,解得a1=.故选A.]
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12.(多选)已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn,S2 022<S2 023且
S2 023>S2 024,则(  )
A.在数列{an}中,a1最大
B.在数列{an}中,S2 023最大
C.a2 024>0
D.当n≥2 024时,an<0

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ABD [因为S2 022<S2 023且S2 023>S2 024,
所以S2 023-S2 022=a2 023>0,S2 024-S2 023=a2 024<0,
则等差数列{an}的公差d=a2 024-a2 023<0,
则在数列{an} 中,a1 最大,S2 023最大,故A正确,B正确;
因为a2 024<0,故C错误;因为a2 023>0,a2 024<0,d<0,
则当n≥2 024时,an<0,故D正确.故选ABD.]
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13.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,对任意正整数n,an+2-an=2+cos nπ,Sn为{an}的前n项和,则S100=________.
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5 050 [当n为奇数时,an+2-an=1,即数列{an}的奇数项是以1为首项,1为公差的等差数列;
当n为偶数时,an+2-an=3,即数列{an}的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列,
所以S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)==5 050.]
5 050
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14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=-2,S10=25.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值.
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[解] (1)设等差数列{an}的公差为d,
由a4=-2,S10=25,得a1+3d=-2,10a1+d=25,解得a1=-11,d=3,
所以an=a1+(n-1)d=3n-14.
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(2)法一:由d=3知{an}是递增数列,
当n≤4时,an<0;当n≥5时,an>0.
所以当n=4时,Sn最小,最小值为S4=4a1+×d=-26.
法二:Sn=na1+d=n2-n=-,又n∈N*,所以当n=4时,Sn最小,最小值为-26.
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15.已知数列{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和,a8=4,________.
(1)判断2 024是不是数列{an}中的项,并说明理由;
(2)求Sn的最小值.
从①S11=-22,②S5=S6中任选一个,补充在上面的问题中并作答.
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[解] 若选①,
(1)设数列{an}的公差为d,
则解得
所以an=a1+(n-1)d=3n-20.
令3n-20=2 024,得n=681 N*,
所以2 024不是数列{an}中的项.
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(2)令an=3n-20>0,解得n>,
所以当n≤6时,an<0.
故当n=6时,Sn取到最小值,为S6=6a1+15d=-57.
若选②,
(1)设数列{an}的公差为d,
则解得
所以an=2n-12.
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令2n-12=2 024,解得n=1 018∈N*,
所以2 024是数列{an}中的项.
(2)令2n-12>0,得n>6,所以当n≤6时,an≤0.
故当n=6或n=5时,Sn取到最小值,为S5=S6=-30.
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THANKS第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
[学习目标] 1.理解等差数列前n项和的性质,并学会应用.(数学运算、逻辑推理)
2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.(数学运算)
[讨论交流] 
问题1.等差数列前n项和公式有什么样的函数特点?
问题2.等差数列{an}中,其前n项和Sn,前2n项和S2n与前3n项和S3n有什么样的关系?
[自我感知] 经过认真的预习,结合对本节课的理解和认知,请画出本节课的知识逻辑体系.
探究1 等差数列前n项和的性质
探究问题1 等差数列{an}的前n项和为Sn,试探索Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…的关系.
                                  
                                  
                                  
探究问题2 在等差数列{an}中,如果项数为2n,那么S偶与S奇之间存在什么样的关系?
                                  
                                  
                                  
[新知生成]
1.设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等差数列,且公差为m2d.
2.若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为.
3.在等差数列中,若Sn=m,Sm=n,则Sm+n=-(m+n).
4.项的个数的“奇偶”性质
(1)若等差数列的项数为2n,则S偶-S奇=nd,=.
(2)若等差数列的项数为2n-1,则S奇-S偶=an,=(S奇=nan,S偶=(n-1)an).
5.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则==·.
[典例讲评] 1.(1)已知Sn,Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和,且=(n=1,2,…),则等于(  )
A.   B.   C.   D.
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S10=100,S100=10,求S110.
[尝试解答]                              
                                  
                                  
                                  
                                  
                                  
 在解决与等差数列前n项和Sn的性质有关的问题时,恰当运用相关性质可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法:
(1)整体思路:利用公式Sn=,设法求出整体a1+an,再代入求解.
(2)待定系数法:当公差不为0时,利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求出A,B即可;也可以利用是关于n的一次函数,设=an+b(a≠0)进行计算.
(3)利用相关性质中的结论进行求解.
[学以致用] 1.(1)已知数列{an}是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是50,偶数项的和为34,若它的末项比首项小28,则该数列的公差是________.
(2)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{an}的前3m项的和S3m为________.
探究2 等差数列前n项和的最值问题
探究问题3 根据上节课所学,等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点?
                                  
                                  
                                  
[新知生成]
1.等差数列前n项和的函数特征
等差数列的 前n项和公 式转移到二 次函数的过程 Sn=na1+d,整理得Sn=,所以当d≠0时,Sn可以看成y=x2+x(x∈R)当x=n时的函数值
等差数列的 前n项和公 式与函数 的关系 令A=,B=a1-,则Sn=An2+Bn. (1)当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时,Sn=0是关于n的常函数,{an}是各项为0的常数列. (2)当A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)时,Sn=Bn是关于n的正比例函数,{an}为各项非零的常数列. (3)当A≠0(即d≠0)时,Sn=An2+Bn是关于n的二次函数(常数项为0)
2.等差数列前n项和Sn的最值
(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最________值.
(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最________值.
特别地,若a1>0,d>0,则________是{Sn}的最________值;若a1<0,d<0,则________是{Sn}的最大值.
[典例讲评] 2.数列{an}的前n项和Sn=33n-n2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{an}的前多少项和最大.
[思路引导] (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求{an}的通项公式.(2)利用等差数列前n项和Sn为关于n的二次函数,可利用二次函数求解最值的方法解决.
[尝试解答]                              
                                  
                                  
                                  
                                  
                                  
[母题探究] 将例题中的条件“Sn=33n-n2”变为“在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9”,求{an}的前多少项和最大?
                                  
                                  
                                  
                                  
                                  
 1.在等差数列中,求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点,则从第1项起到分界点对应项的各项和为最大(小)值.
(2)借助二次函数的图象及性质求最值.
2.寻求正、负项分界点的方法
寻找正、负项的分界点,可利用等差数列的性质或利用或来寻找.
[学以致用] 2.已知等差数列{an}中,a3+a4=15,a2a5=54,公差d<0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值及相应的n的值.
                                  
                                  
                                  
                                  
                                  
探究3 数列{|an|}的前n项和
[典例讲评] 3.(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
[尝试解答]                              
                                  
                                  
                                  
                                  
                                  
 1.一般地,数列{an}与数列{|an|}是两个不同的数列,只有当数列{an}的每一项都是非负数时,它们才表示同一个数列.
2.(1)求{|an|}的前n项和,关键在于分清哪些项为正数,哪些项为负数,最终化为去掉绝对值符号后的数列求和;
(2)数列{|an|}的前n项和求解的易错点在于没有分类讨论,最后结果未分段表示.
[学以致用] 3.已知数列{an}的通项公式为an=2n-10,求数列{|an|}的前n项和Tn.
                                  
                                  
                                  
                                  
                                  
1.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则=(  )
A. B. C. D.
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=12,S10=48,则S15为(  )
A.84 B.108 C.144 D.156
3.若数列{an}的通项公式an=43-3n,则Sn取得最大值时,n=(  )
A.13 B.14 C.15 D.14或15
4.已知数列{an}的通项公式为an=-3n+16,则数列{|an|}的前40项和为________.
1.知识链:(1)等差数列前n项和的最值问题.
(2)等差数列前n项和性质的应用.
(3)数列{|an|}的前n项和.
2.方法链:公式法、构造法、函数法、整体代换法.
3.警示牌:(1)忽视最值问题中n的个数.
(2)等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列.
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