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4.2.2　等差数列的前n项和公式
第1课时　等差数列的前n项和公式
[学习目标]　1．借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．(数学运算)
2．掌握等差数列的前n项和公式．(数学运算)
3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个量求另外两个．(数学运算)
4．构建等差数列求和模型，解决实际问题．(数学建模、数学运算)
[讨论交流]　
问题1．等差数列的前n项和公式是什么？
问题2．如何推导等差数列的前n项和公式？
问题3．求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　等差数列的前n项和公式
探究问题1　据说，200多年前，高斯的算术老师提出了这个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050．
你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究问题2　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求其前n项和Sn
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和 公式 Sn＝ Sn＝
[典例讲评]　1．在等差数列{an}中：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)若a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求等差数列的基本量的方法
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
[学以致用]　1．(源自湘教版教材)已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1 220，求该数列的前n项和．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　利用等差数列前n项和公式判断等差数列
[典例讲评]　2．若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　(变条件)若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝数列{an}不是等差数列．
[学以致用]　2．已知一个数列{an}的前n项和Sn＝25n－2n2＋r．
(1)当r＝0时，求证：该数列{an}是等差数列；
(2)若数列{an}是等差数列，求r满足的条件．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　等差数列前n项和的实际应用
[典例讲评]　3．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　应用等差数列解决实际问题的一般思路
[学以致用]　3．在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板；从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：
(1)第9圈共有多少块石板？
(2)前9圈一共有多少块石板？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝9，a5＝7，则a8＝(　　)
A． B．10 C．11 D．
2．已知等差数列{an}的前5项和S5＝35，且满足a5＝13a1，则等差数列{an}的公差为(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
3．(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．
4．中国古代有这样一道数学题：今有一男子擅长走路，每日增加相同里数，九日走了1 260里，第一日、第四日、第七日所走之和为390里，则该男子第三日走的里数为________．
1．知识链：(1)等差数列前n项和公式的推导过程．
(2)与等差数列前n项和有关的基本运算．
(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列．
(4)等差数列前n项和的实际应用．
2．方法链：倒序相加法、公式法．
3．警示牌：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论．
5/54.2.2　等差数列的前n项和公式
第1课时　等差数列的前n项和公式
[学习目标]　1．借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．(数学运算)
2．掌握等差数列的前n项和公式．(数学运算)
3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个量求另外两个．(数学运算)
4．构建等差数列求和模型，解决实际问题．(数学建模、数学运算)
(教师用书)
为了达到比较好的音响和观赏效果，很多剧场的座位都是排成圆弧形的，如图所示．如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，且中区座位共有8排，第一排有4个座位，后面每一排都比它的前一排多4个座位．你能帮助这个公司算出共需要多少个座位吗？
[讨论交流]　
问题1．等差数列的前n项和公式是什么？
问题2．如何推导等差数列的前n项和公式？
问题3．求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　等差数列的前n项和公式
探究问题1　据说，200多年前，高斯的算术老师提出了这个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050．
你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？
[提示]　对于上述数列，设an＝n，那么高斯的计算方法可以表示为(a1＋a100)＋(a2＋a99)＋…＋(a50＋a51)＝101×50＝5 050．可以发现，高斯在计算中利用了a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51这一特殊关系，这就是上一节我们学过的性质，它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质是配对，将2n个数重新分组配对求和．
探究问题2　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求其前n项和Sn
[提示]　倒序相加法

两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等．
[新知生成]
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和 公式 Sn＝ Sn＝
【链接·教材例题】
例6　已知数列{an}是等差数列．
(1)若a1＝7，a50＝101，求S50；
(2)若a1＝2，a2＝，求S10；
(3)若a1＝，d＝－，Sn＝－5，求n．
分析：对于(1)，可以直接利用公式Sn＝求和；在(2)中，可以先利用a1和a2的值求出d，再利用公式Sn＝na1＋d求和；(3)已知公式Sn＝na1＋d中的a1，d和Sn，解方程即可求得n．
[解]　(1)因为a1＝7，a50＝101，根据公式Sn＝，可得
S50＝＝2700．
(2)因为a1＝2，a2＝，所以d＝．
根据公式Sn＝na1＋d，可得
S10＝10×2＋＝．
(3)把a1＝，d＝－，Sn＝－5代入Sn＝na1＋d，得
－5＝n＋．
整理，得
n2－7n－60＝0．
解得
n＝12，或n＝－5(舍去)．
所以n＝12．
[典例讲评]　1．在等差数列{an}中：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)若a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d．
[解]　(1)由已知得解得
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85．
(2)由已知得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，
∴d＝5．
∴a8＝39，d＝5．
(3)由题意得，Sn＝＝＝－5，
解得n＝15．又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－，∴n＝15，d＝－．
　求等差数列的基本量的方法
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
[学以致用]　1．(源自湘教版教材)已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1 220，求该数列的前n项和．
[解]　记该数列为{an}，公差为d．
由等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d，得
解这个关于a1与d的方程组，得
因此，该数列的前n项和为
Sn＝4n＋×6＝3n2＋n．
探究2　利用等差数列前n项和公式判断等差数列
【链接·教材例题】
例7　已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式(2)后，可得到两个关于a1与d的二元一次方程．解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得a1和d．
[解]　由题意，知
S10＝310，S20＝1220．
把它们代入公式
Sn＝na1＋d，
得
解方程组，得
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差．
[典例讲评]　2．若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由．
[解]　当n＝1时，S1＝a1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5．经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5．数列{an}是等差数列，证明如下：因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，所以数列{an}是等差数列．
[母题探究]　(变条件)若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由．
[解]　∵Sn＝2n2－3n－1①，
∴当n＝1时，S1＝a1＝2－3－1＝－2；
当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1②，
①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5．
经检验，当n＝1时，a1＝－2不满足上式，
故an＝
∵a2－a1＝5，a3－a2＝4，即a2－a1≠a3－a2，∴数列{an}不是等差数列．
　由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝数列{an}不是等差数列．
[学以致用]　2．已知一个数列{an}的前n项和Sn＝25n－2n2＋r．
(1)当r＝0时，求证：该数列{an}是等差数列；
(2)若数列{an}是等差数列，求r满足的条件．
[解]　(1)证明：当r＝0时，Sn＝25n－2n2，
令n＝1，S1＝25－2＝23，
当n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2，
所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n，
此时a1＝27－4＝23，所以an＝27－4n，所以an－an－1＝(27－4n)－27＋4(n－1)＝－4(n≥2)，可得数列{an}是公差为－4的等差数列．
(2)Sn＝25n－2n2＋r，令n＝1，得S1＝25－2＋r＝23＋r，当n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2＋r，
所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n，所以an－an－1＝(27－4n)－27＋4(n－1)＝－4(n≥3)，
可得n≥2时，数列{an}是公差为－4的等差数列，
若数列{an}是等差数列，则a1＝27－4＝23＝23＋r，所以r＝0．
探究3　等差数列前n项和的实际应用
【链接·教材例题】
例8　某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起每排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位．
分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，设数列{an}的前n项和为Sn．由题意可知，{an}是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项．
[解]　设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn．根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800．
由S20＝20a1＋×2＝800，可得
a1＝21．
因此，第1排应安排21个座位．
[典例讲评]　3．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
[解]　从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25．由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－．
25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480．∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．
【教用·备选题】　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%．若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
[解]　设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则
a1＝50＋1 000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)，
…
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10个月应付款55.5元．
由题知，20个月贷款还清．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝×20＝1 105(元)，
即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)．
　应用等差数列解决实际问题的一般思路
[学以致用]　3．在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板；从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：
(1)第9圈共有多少块石板？
(2)前9圈一共有多少块石板？
[解]　(1)设从第1圈到第9圈的石板数构成数列{an}，由题意可知数列{an}是等差数列，其中首项a1＝9，公差d＝9，项数n＝9．
由等差数列的通项公式，得
a9＝a1＋(n－1)d＝9＋(9－1)×9＝81(块)．
(2)由等差数列的前n项和公式，得
S9＝na1＋d＝9×9＋×9＝405(块)．
因此，第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板．
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝9，a5＝7，则a8＝(　　)
A． B．10 C．11 D．
C　[由S3＝9，得a1＋a2＋a3＝3a2＝9，所以a2＝3，
又a5＝7，a2＋a8＝2a5，所以a8＝11．故选C．]
2．已知等差数列{an}的前5项和S5＝35，且满足a5＝13a1，则等差数列{an}的公差为(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
D　[由题意得S5＝5a1＋10d＝35，a5＝a1＋4d＝13a1，解得d＝3，a1＝1．故选D．]
3．(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．
95　[因为数列{an}为等差数列，
则由题意得
解得
则S10＝10a1＋d＝10×(－4)＋45×3＝95．]
4．中国古代有这样一道数学题：今有一男子擅长走路，每日增加相同里数，九日走了1 260里，第一日、第四日、第七日所走之和为390里，则该男子第三日走的里数为________．
120　[由题意可知该男子每天走的里数构成一个等差数列，设这个等差数列为{an}，其公差为d，前n项和为Sn．根据题意可知，S9＝1 260，a1＋a4＋a7＝390．
法一：S9＝＝9a5＝1 260，∴a5＝140．
∵a1＋a4＋a7＝3a4＝390，∴a4＝130，∴d＝a5－a4＝10，∴a3＝a4－d＝120．
法二：由题意知
即解得
∴a3＝a1＋2d＝120．]
1．知识链：(1)等差数列前n项和公式的推导过程．
(2)与等差数列前n项和有关的基本运算．
(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列．
(4)等差数列前n项和的实际应用．
2．方法链：倒序相加法、公式法．
3．警示牌：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．等差数列的前n项和公式有哪几种形式？
[提示]　Sn＝＝na1＋d．另有Sn＝An2＋Bn的形式．
2．常用的数列求和公式有哪些？
[提示]　1＋2＋3＋…＋n＝；
2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2．
高斯的故事
高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．
高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根．幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育．1795－1798年在格丁根大学学习，1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位．从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世．
高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以企及的天赋，最能证明这一点的是高斯10岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去．彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案来自高斯时，才大吃一惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101……共有50对这样的数，用101乘50得到5 050．这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了．
课时分层作业(五)　等差数列的前n项和公式
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且前3项的和为－6，最后3项的和为57，Sn＝85，则n的值为(　　)
A．9 B．10 C．11 D．20
B　[依题意，a1＋a2＋a3＝－6，an－2＋an－1＋an＝57，
所以a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝3(a1＋an)＝51，
所以a1＋an＝17，所以Sn＝85＝×n＝n，解得n＝10．故选B．]
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，3a4－a7＝7，2a7－a9＝6，则S10＝(　　)
A．55 B．60 C．65 D．75
C　[设等差数列{an}的公差为d，∵3a4－a7＝7，2a7－a9＝6，
∴解得a1＝2，d＝1，
∴S10＝10a1＋d＝20＋45d＝65．故选C．]
3．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a5，a7是方程x2＋10x－16＝0的两个根，那么S11的值为(　　)
A．88 B．－88 C．110 D．－55
D　[在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，a5，a7是方程x2＋10x－16＝0的两个根，
∴a5＋a7＝－10，∴S11＝(a1＋a11)＝(a5＋a7)＝×(－10)＝－55．
故选D．]
4．设{an}是公差不为零的等差数列，且＝，则{an}的前6项和为(　　)
A．－2 B．0 C．2 D．4
B　[设数列{an}的公差为＝，整理可得＝0，即2d(a4＋a2)＋2d(a5＋a3)＝0．又∵d≠0，∴a4＋a2＋a5＋a3＝0．∵a4＋a3＝a2＋a5，∴a3＋a4＝0．∴{an}的前6项和为＝3(a3＋a4)＝0．故选B．]
5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．”其大意为：“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的比前一天多7人．”则1 864人全部派遣到位需要的天数为(　　)
A．9 B．16 C．18 D．20
B　[根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，且该数列是首项a1＝64，公差d＝7的等差数列．设1 864人全部派遣到位需要的天数为n，则64n＋×7＝1 864，依次将选项中的n值代入检验得，n＝16满足方程．故选B．]
二、填空题
6．若数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，且a3＋a13＝14，则其前15项和为________．
105　[根据题意，因为2an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}为等差数列．
所以S15＝＝＝＝105．]
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝________．
5　[因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5．]
8．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________．
－1　[等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1．]
三、解答题
9．已知{an}是等差数列，其中a2＝22，a6＝10．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a2＋a4＋a6＋…＋a20的值．
[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a6＝a2＋4d，所以10＝22＋4d，所以d＝－3，a1＝a2－d＝25，所以an＝28－3n(n∈N*)．
(2)因为{an}是等差数列，所以a2，a4，a6，…，a20是首项为a2＝22，公差为－6的等差数列，共有10项，a2＋a4＋a6＋…＋a20＝10×22＋×(－6)＝－50．
10．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝0，a4＝6，则(　　)
A．Sn＝n2－3n B．Sn＝
C．an＝3n－6 D．an＝2n
BC　[设等差数列{an}的公差为d，因为S3＝0，a4＝6，所以解得所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋3(n－1)＝3n－6，Sn＝na1＋d＝－3n＋＝．故选BC．]
11．已知等差数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝1，S7＝5a5，则数列{an}的公差d＝(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．－2
D　[在等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，
由S7＝5a5可得7a1＋d＝5(a1＋4d)，即7＋21d＝5＋20d，
解得d＝－2．故选D．]
12．《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里……”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为(　　)
A．1 235 B．1 800 C．2 600 D．3 000
A　[良马第一天行193里，之后每天比前一天多走13里，
驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，
前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为S4＝＝1 235．
故选A．]
13．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
2 000　[假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为
S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000(米)．]
14．记Sn为数列{an}的前n项和．
(1)若数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，求nan－Sn的表达式；
(2)若数列是公差为的等差数列，证明：{an}是等差数列．
[解]　(1)由已知得an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1，Sn＝＝＝n2，
所以nan－Sn＝n(2n－1)－n2＝n2－n．
(2)证明：∵＝＋(n－1)·＝，
∴nan－Sn＝，∴2nan－2Sn＝n2－n，
当n≥2时，2(n－1)an－1－2Sn－1＝(n－1)2－(n－1)，
两式相减得，2nan－2(n－1)an－1－2(Sn－Sn－1)＝2n－2，
∴2nan－2(n－1)an－1－2an＝2n－2，
∴(2n－2)an－2(n－1)an－1＝2n－2，
∴an－an－1＝1(n≥2)，
∴数列{an}是以1为公差的等差数列．
15．7月，有一新款服装投入某市场．7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件．
(1)7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？
(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．该款服装在社会上流行几天？
[解]　(1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*，1≤n≤31)，最多售出ak件．
由题意知解得
∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件．
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，
∵an＝
∴Sn＝
∵S13＝273>200，
∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13，
当14≤n≤31时，日销售量连续下降，
由an<20，得23≤n≤31，
∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日)．
15/15第2课时　等差数列前n项和的性质及应用
[学习目标]　1．理解等差数列前n项和的性质，并学会应用．(数学运算、逻辑推理)
2．能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值．(数学运算)
(教师用书)
我们知道，等差数列的前n项和公式是一个关于n的二次函数形式，那么等差数列的前n项和是否具有二次函数的性质呢？除此之外，它还有什么样的性质吗？
[讨论交流]　
问题1．等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？
问题2．等差数列{an}中，其前n项和Sn，前2n项和S2n与前3n项和S3n有什么样的关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　等差数列前n项和的性质
探究问题1　等差数列{an}的前n项和为Sn，试探索Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…的关系．
[提示]　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…是一个公差为n2d的等差数列．
探究问题2　在等差数列{an}中，如果项数为2n，那么S偶与S奇之间存在什么样的关系？
[提示]　因为S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，
所以S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＋…＋(a2n－a2n－1)＝nd．
又由等差数列的性质知a1＋a2n－1＝2an，
a2＋a2n＝2an＋1，且S奇＝，S偶＝，所以＝．
[新知生成]
1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d．
2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为．
3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)．
4．项的个数的“奇偶”性质
(1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝．
(2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．
5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝＝·．
[典例讲评]　1．(1)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且＝(n＝1，2，…)，则等于(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110．
(1)B　[因为数列{bn}是等差数列，所以b3＋b18＝b6＋b15，所以＝，
又因为Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且＝(n＝1，2，…)，
所以＝＝＝＝＝．]
(2)[解]　法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S10＝100，S100＝10，
∴解得
∴S110＝110a1＋d＝110×＝－110．
法二：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，
解得d＝－22，
∴前11项和为
S110＝11×100＋×(－22)＝－110．
法三：由也是等差数列，构造新的等差数列b1＝＝10，
b10＝＝，
则d＝(b10－b1)＝＝－，
所以b11＝＝b10＋d＝＝－1，所以S110＝－110．
法四：直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110．
　在解决与等差数列前n项和Sn的性质有关的问题时，恰当运用相关性质可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法：
(1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解．
(2)待定系数法：当公差不为0时，利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可；也可以利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算．
(3)利用相关性质中的结论进行求解．
[学以致用]　1．(1)已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．
(2)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m为________．
(1)－4　(2)210　[(1)设共有2m项，由题意得
a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，①
S偶－S奇＝md＝34－50，②
①②联立得d＝－4．
(2)在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30，70，S3m－100成等差数列，
∴2×70＝30＋(S3m－100)，
∴S3m＝210．]
探究2　等差数列前n项和的最值问题
探究问题3　根据上节课所学，等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？
[提示]　由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是N*，公差的符号决定了该二次函数图象的开口方向，通常简记为Sn＝An2＋Bn(A，B∈R且A≠0)．
[新知生成]
1．等差数列前n项和的函数特征
等差数列的 前n项和公 式转移到二 次函数的过程 Sn＝na1＋d，整理得Sn＝，所以当d≠0时，Sn可以看成y＝x2＋x(x∈R)当x＝n时的函数值
等差数列的 前n项和公 式与函数 的关系 令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn． (1)当A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)时，Sn＝0是关于n的常函数，{an}是各项为0的常数列． (2)当A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数，{an}为各项非零的常数列． (3)当A≠0(即d≠0)时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(常数项为0)
2．等差数列前n项和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．
(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
【教用·微提醒】　由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值．
【链接·教材例题】
例9　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由．
分析：由a1＞0和d＜0，可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k，使得当n≥k时，an＜0，Sn递减．这样，就把求Sn的最大值转化为求{an}的所有正数项的和．
另一方面，等差数列的前n项和公式可写成Sn＝n2＋n，所以当d≠0时，Sn可以看成二次函数y＝x2＋x(x∈R)当x＝n时的函数值．如图4.2-4，当d＜0时，Sn关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点．因此，可以利用二次函数求相应的n，Sn的值．
解法1：由an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an，所以{an}是递减数列．
又由an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12，可知：
当n＜6时，an＞0；
当n＝6时，an＝0；
当n＞6时，an＜0．
所以S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…．
也就是说，当n＝5或6时，Sn最大．
因为S5＝×[2×10＋(5－1)×(－2)]＝30，所以Sn的最大值为30．
解法2：因为Sn＝n2＋n＝－n2＋11n＝－＋，
所以，当n取与最接近的整数即5或6时，Sn最大，最大值为30．
[典例讲评]　2．数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前多少项和最大．
[思路引导]　(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求{an}的通项公式．(2)利用等差数列前n项和Sn为关于n的二次函数，可利用二次函数求解最值的方法解决．
[解]　(1)法一(公式法)：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1，满足an＝34－2n．
故{an}的通项公式为an＝34－2n．
法二(结构特征法)：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的常数项为0的二次函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n．
(2)法一(公式法)：令即所以16≤n≤17．
又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
法二(函数性质法)：由y＝－x2＋33x的图象的对称轴为x＝，
距离最近的整数为16，17．由Sn＝－n2＋33n的
图象(图略)可知，数列{an}的前16项或前17项的和最大．
[母题探究]　将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求{an}的前多少项和最大？
[解]　法一：∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d＝17×25＋d，解得d＝－2．
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169．
∴当n＝13时，Sn有最大值169．
∴数列{an}的前13项和最大．
法二：同法一，求出公差d＝－2．
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27．
∵a1＝25>0，
由得
又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn取得最大值．
∴数列{an}的前13项和最大．
法三：∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0．
由等差数列的性质得a13＋a14＝0．
∵a1>0，∴d<0．∴a13>0，a14<0．
∴当n＝13时，Sn取得最大值．
∴数列{an}的前13项和最大．
法四：设Sn＝An2＋Bn．∵S9＝S17，
∴二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，∴当n＝13时，Sn取得最大值．
∴数列{an}的前13项和最大．
　1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第1项起到分界点对应项的各项和为最大(小)值．
(2)借助二次函数的图象及性质求最值．
2．寻求正、负项分界点的方法
寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找．
[学以致用]　2．已知等差数列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d＜0．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值及相应的n的值．
[解]　(1)∵{an}为等差数列，
∴a2＋a5＝a3＋a4，∴
解得或
因为d＜0，所以
故解得
∴an＝10－(n－1)＝11－n．
(2)∵Sn＝＝＝－n2＋n，
又－＜0，函数y＝－x2＋x图象的对称轴为直线x＝，
故当n＝10或11时，Sn取得最大值，其最大值为55．
探究3　数列{|an|}的前n项和
[典例讲评]　3．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn．
[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，
则
解得a1＝13，d＝－2．
所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n．
(2)由(1)得|an|＝
当n≤7时，Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2，
当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2．
综上，Tn＝
　1．一般地，数列{an}与数列{|an|}是两个不同的数列，只有当数列{an}的每一项都是非负数时，它们才表示同一个数列．
2．(1)求{|an|}的前n项和，关键在于分清哪些项为正数，哪些项为负数，最终化为去掉绝对值符号后的数列求和；
(2)数列{|an|}的前n项和求解的易错点在于没有分类讨论，最后结果未分段表示．
[学以致用]　3．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－10，求数列{|an|}的前n项和Tn．
[解]　由an＝2n－10≥0，得n≥5，
所以当n≤4时，an＜0；当n≥5时，an≥0，
所以当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－Sn＝－n2＋9n；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a4|＋|a5|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋a4)＋(a5＋…＋an)＝－S4＋(Sn－S4)＝Sn－2S4＝n2－9n＋40，
所以Tn＝
1．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝(　　)
A． B． C． D．
D　[∵等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，＝，∴＝＝＝＝．]
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝12，S10＝48，则S15为(　　)
A．84 B．108 C．144 D．156
B　[由等差数列的性质知S5，S10－S5，S15－S10也构成等差数列，所以2(S10－S5)＝S5＋S15－S10，
所以2×(48－12)＝12＋S15－48，解得S15＝108．]
3．若数列{an}的通项公式an＝43－3n，则Sn取得最大值时，n＝(　　)
A．13 B．14 C．15 D．14或15
B　[由数列{an}的通项公式an＝43－3n，可得该数列为递减数列，且公差为－3，a1＝40，
∴Sn＝＝－n2＋n．
考虑函数y＝－x2＋x，易知该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝．
又n为正整数，与最接近的一个正整数为14，故Sn取得最大值时，n＝14．]
4．已知数列{an}的通项公式为an＝－3n＋16，则数列{|an|}的前40项和为________．
1 890　[由an＝－3n＋16可知{an}前5项为正，第6项开始为负，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a40|＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－(a6＋a7＋…＋a40)＝＝35＋1 855＝1 890．]
1．知识链：(1)等差数列前n项和的最值问题．
(2)等差数列前n项和性质的应用．
(3)数列{|an|}的前n项和．
2．方法链：公式法、构造法、函数法、整体代换法．
3．警示牌：(1)忽视最值问题中n的个数．
(2)等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．等差数列{an}的前n项和Sn有哪几种求最大(小)值的方法？
[提示]　(1)通项法：
若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，
其中n可用不等式组来确定；
若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其中n可用不等式组来确定．
(2)二次函数法：在等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值，其中，n值可由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定．
2．等差数列奇数项的和与偶数项的和的性质的推理基础是什么？
[提示]　推理基础是等差数列的性质，如在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．
课时分层作业(六)　等差数列前n项和的性质及应用
一、选择题
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＋a5＋a8＝15，则S9＝(　　)
A．15 B．30 C．45 D．60
C　[已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a5＋a8＝15，
则3a5＝15，则a5＝5，则S9＝9a5＝9×5＝45．故选C．]
2．已知等差数列{an}共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为(　　)
A．100 B．105 C．90 D．95
A　[由题意得，
故a11＝10，所以偶数项的和为100．故选A．]
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 023＜0，S2 024＞0，则当Sn最小时，n的值为(　　)
A．1 010 B．1 011 C．1 012 D．2 021
C　[因为数列{an}是等差数列，
所以S2 023＝＝2 023a1 012，
S2 024＝＝1 012(a1 012＋a1 013)，
因为S2 023＜0，S2 024＞0，所以a1 012＜0，a1 013＞0，
所以n＝1 012时，Sn最小．]
4．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则等于(　　)
A．2 B． C．1 D．
D　[由题意，可得＝＝·＝·＝＝＝＝．故选D．]
5．某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照所得票数(假设每人所得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等差数列．已知前10名共发放2 000元，前20名共发放3 500元，则前30名共发放(　　)
A．4 000元 B．4 500元
C．4 800元 D．5 000元
B　[由已知可知等差数列中S10＝2 000，S20＝ 3 500，
因为S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
所以2×(3 500－2 000)＝2 000＋(S30－3 500)，解得S30＝4 500．]
二、填空题
6．在等差数列{an}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，则{an}的前 ________项和最大．
5　[设等差数列{an}的公差为d，依题意，a5＞0，a4＋a7＜0，
则a5＋a6＜0，所以a6＜0，d＜0，所以{an}的前5项和最大．]
7．已知等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B－A＝45，2A＝B＋615，则an＝________．
3n－1　[根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B－A＝45，即15d＝45，则有d＝3；
又由2A＝B＋615，变形可得
A＝B－A＋615＝45＋615＝660，
则有A＝＝15a15＝660，解得a15＝44，则an＝a15＋(n－15)d＝3n－1．]
8．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
　[由当且仅当n＝8时，Sn最大，
知a8＞0且a9＜0，
于是解得－1＜d＜－，
故d的取值范围为．]
三、解答题
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6＝－5，S4＝－62．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn．
[解]　(1)因为a6＝－5，S4＝－62，设公差为d，
所以a1＋5d＝－5，4a1＋6d＝－62，
解得a1＝－20，d＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－23(n∈N*)．
(2)令an＝3n－23≥0，解得n≥，
当n≤7时，an＜0，当n≥8时，an＞0，
所以当n≤7时，Tn＝－a1－a2－…－an＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－，
当n≥8时，Tn＝－a1－a2－…－a7＋a8＋a9＋…＋an
＝－2(a1＋a2＋…＋a7)＋(a1＋a2＋…＋an)＝＋154，
所以Tn＝(n∈N*)．
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a5＝－18，S9＝－72，Sn取最小值时，n的值为(　　)
A．11或12 B．12
C．13 D．12或13
D　[设等差数列{an}的公差为d，
因为a3＋a5＝－18，S9＝－72，
则有解得
所以an＝n－13，令an＝n－13≤0，则n≤13，
又a13＝0，所以当n＝12或13时，Sn取最小值．]
11．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为(　　)
A． B． C． D．
A　[设分的面包，从小到大依次为a1，a2，a3，a4，a5，依题意得(a3＋a4＋a5)＝a1＋a2，
故3a1＋9d＝7(2a1＋d)，2d＝11a1，由S5＝5a3＝5(a1＋2d)＝100，
得a1＋2d＝12a1＝20，解得a1＝．故选A．]
12．(多选)已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，S2 022＜S2 023且S2 023＞S2 024，则(　　)
A．在数列{an}中，a1最大
B．在数列{an}中，S2 023最大
C．a2 024＞0
D．当n≥2 024时，an＜0
ABD　[因为S2 022＜S2 023且S2 023＞S2 024，
所以S2 023－S2 022＝a2 023＞0，S2 024－S2 023＝a2 024＜0，
则等差数列{an}的公差d＝a2 024－a2 023＜0，
则在数列{an} 中，a1 最大，S2 023最大，故A正确，B正确；
因为a2 024＜0，故C错误；因为a2 023＞0，a2 024＜0，d＜0，
则当n≥2 024时，an＜0，故D正确．故选ABD．]
13．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对任意正整数n，an＋2－an＝2＋cos nπ，Sn为{an}的前n项和，则S100＝________．
5 050　[当n为奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列；
当n为偶数时，an＋2－an＝3，即数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，
所以S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝＝5 050．]
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝－2，S10＝25．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值．
[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，
由a4＝－2，S10＝25，得a1＋3d＝－2，10a1＋d＝25，解得a1＝－11，d＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－14．
(2)法一：由d＝3知{an}是递增数列，
当n≤4时，an＜0；当n≥5时，an＞0．
所以当n＝4时，Sn最小，最小值为S4＝4a1＋×d＝－26．
法二：Sn＝na1＋d＝n2－n＝－，又n∈N*，所以当n＝4时，Sn最小，最小值为－26．
15．已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，________．
(1)判断2 024是不是数列{an}中的项，并说明理由；
(2)求Sn的最小值．
从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
[解]　若选①，
(1)设数列{an}的公差为d，
则解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－20．
令3n－20＝2 024，得n＝681 N*，
所以2 024不是数列{an}中的项．
(2)令an＝3n－20＞0，解得n＞，
所以当n≤6时，an＜0．
故当n＝6时，Sn取到最小值，为S6＝6a1＋15d＝－57．
若选②，
(1)设数列{an}的公差为d，
则
解得
所以an＝2n－12．
令2n－12＝2 024，解得n＝1 018∈N*，
所以2 024是数列{an}中的项．
(2)令2n－12＞0，得n＞6，所以当n≤6时，an≤0．
故当n＝6或n＝5时，Sn取到最小值，为S5＝S6＝－30．
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第1课时　等差数列的前n项和公式
第四章　数列
4.2　等差数列
4.2.2　等差数列的前n项和公式
整体感知
[学习目标]　1．借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．(数学运算)
2．掌握等差数列的前n项和公式．(数学运算)
3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个量求另外两个．(数学运算)
4．构建等差数列求和模型，解决实际问题．(数学建模、数学运算)
(教师用书)
为了达到比较好的音响和观赏效果，很多剧场的座位都是排成圆弧形的，如图所示．如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，且中区座位共有8排，第一排有4个座位，后面每一排都比它的前一排多4个座位．你能帮助这个公司算出共需要多少个座位吗？
[讨论交流]　
问题1．等差数列的前n项和公式是什么？
问题2．如何推导等差数列的前n项和公式？
问题3．求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　等差数列的前n项和公式
探究问题1　据说，200多年前，高斯的算术老师提出了这个问题：
1＋2＋3＋…＋100＝？
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050．
你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？
[提示]　对于上述数列，设an＝n，那么高斯的计算方法可以表示为(a1＋a100)＋(a2＋a99)＋…＋(a50＋a51)＝101×50＝5 050．可以发现，高斯在计算中利用了a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51这一特殊关系，这就是上一节我们学过的性质，它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质是配对，将2n个数重新分组配对求和．
探究问题2　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求其前n项和Sn
[提示]　倒序相加法

两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等．
[新知生成]
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和 公式 Sn＝ Sn＝
【链接·教材例题】
例6　已知数列{an}是等差数列．
(1)若a1＝7，a50＝101，求S50；
(2)若a1＝2，a2＝，求S10；
(3)若a1＝，d＝－，Sn＝－5，求n．
分析：对于(1)，可以直接利用公式Sn＝求和；在(2)中，可以先利用a1和a2的值求出d，再利用公式Sn＝na1＋d求和；(3)已知公式Sn＝na1＋d中的a1，d和Sn，解方程即可求得n．
[解]　(1)因为a1＝7，a50＝101，根据公式Sn＝，可得
S50＝＝2700．
(2)因为a1＝2，a2＝，所以d＝．
根据公式Sn＝na1＋d，可得S10＝10×2＋＝．
(3)把a1＝，d＝－，Sn＝－5代入Sn＝na1＋d，得
－5＝n＋．
整理，得
n2－7n－60＝0．
解得
n＝12，或n＝－5(舍去)．
所以n＝12．
[典例讲评]　1．在等差数列{an}中：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)若a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d．
[解]　(1)由已知得解得
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85．
(2)由已知得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，
∴d＝5．∴a8＝39，d＝5．
(3)由题意得，Sn＝＝＝－5，
解得n＝15．又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－，∴n＝15，d＝－．
反思领悟　求等差数列的基本量的方法
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
[学以致用]　1．(源自湘教版教材)已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1 220，求该数列的前n项和．
[解]　记该数列为{an}，公差为d．
由等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d，得
解这个关于a1与d的方程组，得
因此，该数列的前n项和为Sn＝4n＋×6＝3n2＋n．
【链接·教材例题】
例7　已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式(2)后，可得到两个关于a1与d的二元一次方程．解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得a1和d．
探究2　利用等差数列前n项和公式判断等差数列
[解]　由题意，知
S10＝310，S20＝1220．
把它们代入公式Sn＝na1＋d，
得
解方程组，得
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差．
[典例讲评]　2．若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由．
[解]　当n＝1时，S1＝a1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5．经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5．数列{an}是等差数列，证明如下：因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，所以数列{an}是等差数列．
[母题探究]　(变条件)若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由．
[解]　∵Sn＝2n2－3n－1①，
∴当n＝1时，S1＝a1＝2－3－1＝－2；
当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1②，
①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5．
经检验，当n＝1时，a1＝－2不满足上式，
故an＝
∵a2－a1＝5，a3－a2＝4，即a2－a1≠a3－a2，∴数列{an}不是等差数列．
反思领悟　由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝
数列{an}不是等差数列．
[学以致用]　2．已知一个数列{an}的前n项和Sn＝25n－2n2＋r．
(1)当r＝0时，求证：该数列{an}是等差数列；
(2)若数列{an}是等差数列，求r满足的条件．
[解]　(1)证明：当r＝0时，Sn＝25n－2n2，
令n＝1，S1＝25－2＝23，
当n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2，
所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n，
此时a1＝27－4＝23，所以an＝27－4n，所以an－an－1＝(27－4n)－27＋4(n－1)＝－4(n≥2)，可得数列{an}是公差为－4的等差数列．
(2)Sn＝25n－2n2＋r，令n＝1，得S1＝25－2＋r＝23＋r，当n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2＋r，
所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n，所以
an－an－1＝(27－4n)－27＋4(n－1)＝－4(n≥3)，
可得n≥2时，数列{an}是公差为－4的等差数列，
若数列{an}是等差数列，则a1＝27－4＝23＝23＋r，所以r＝0．
【链接·教材例题】
例8　某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起每排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位．
分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，设数列{an}的前n项和为Sn．由题意可知，{an}是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项．
探究3　等差数列前n项和的实际应用
[解]　设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn．根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800．
由S20＝20a1＋×2＝800，可得
a1＝21．
因此，第1排应安排21个座位．
[典例讲评]　3．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
[解]　从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25．由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－．
25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480．∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．
【教用·备选题】　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%．若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
[解]　设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则
a1＝50＋1 000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)，
…
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10个月应付款55.5元．
由题知，20个月贷款还清．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝×20＝1 105(元)，
即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)．
反思领悟　应用等差数列解决实际问题的一般思路
[学以致用]　3．在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板；从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：
(1)第9圈共有多少块石板？
(2)前9圈一共有多少块石板？
[解]　(1)设从第1圈到第9圈的石板数构成数列{an}，由题意可知数列{an}是等差数列，其中首项a1＝9，公差d＝9，项数n＝9．
由等差数列的通项公式，得
a9＝a1＋(n－1)d＝9＋(9－1)×9＝81(块)．
(2)由等差数列的前n项和公式，得
S9＝na1＋d＝9×9＋×9＝405(块)．
因此，第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板．
2
4
3
题号
1
应用迁移
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝9，a5＝7，则a8＝(　　)
A．　　B．10　　C．11　　D．
√
C　[由S3＝9，得a1＋a2＋a3＝3a2＝9，所以a2＝3，
又a5＝7，a2＋a8＝2a5，所以a8＝11．故选C．]
2
3
题号
1
4
2．已知等差数列{an}的前5项和S5＝35，且满足a5＝13a1，则等差数列{an}的公差为(　　)
A．－3　　B．－1　　C．1　　D．3
√
D　[由题意得S5＝5a1＋10d＝35，a5＝a1＋4d＝13a1，解得d＝3，a1＝1．故选D．]
2
3
题号
4
1
3．(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．
95　[因为数列{an}为等差数列，
则由题意得
解得
则S10＝10a1＋d＝10×(－4)＋45×3＝95．]
95
2
4
3
题号
1
4．中国古代有这样一道数学题：今有一男子擅长走路，每日增加相同里数，九日走了1 260里，第一日、第四日、第七日所走之和为390里，则该男子第三日走的里数为________．
120　[由题意可知该男子每天走的里数构成一个等差数列，设这个等差数列为{an}，其公差为d，前n项和为Sn．根据题意可知，S9＝1 260，a1＋a4＋a7＝390．
法一：S9＝＝9a5＝1 260，∴a5＝140．
∵a1＋a4＋a7＝3a4＝390，∴a4＝130，∴d＝a5－a4＝10，∴a3＝a4－d＝120．
120
2
4
3
题号
1
法二：由题意知
即解得
∴a3＝a1＋2d＝120．]
1．知识链：(1)等差数列前n项和公式的推导过程．
(2)与等差数列前n项和有关的基本运算．
(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列．
(4)等差数列前n项和的实际应用．
2．方法链：倒序相加法、公式法．
3．警示牌：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．等差数列的前n项和公式有哪几种形式？
[提示]　1＋2＋3＋…＋n＝；
2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2．
[提示]　Sn＝＝na1＋d．另有Sn＝An2＋Bn的形式．
2．常用的数列求和公式有哪些？
阅读材料·拓展数学视野
高斯的故事
高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．
高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根．幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育．1795－1798年在格丁根大学学习，1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位．从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世．
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高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以企及的天赋，最能证明这一点的是高斯10岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去．彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案来自高斯
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时，才大吃一惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101……共有50对这样的数，用101乘50得到5 050．这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了．
课时分层作业(五)　等差数列的前n项和公式
题号
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且前3项的和为－6，最后3项的和为57，Sn＝85，则n的值为(　　)
A．9　　B．10　　C．11　　D．20
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
B　[依题意，a1＋a2＋a3＝－6，an－2＋an－1＋an＝57，
所以a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝3(a1＋an)＝51，
所以a1＋an＝17，所以Sn＝85＝×n＝n，解得n＝10．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，3a4－a7＝7，2a7－a9＝6，则S10＝(　　)
A．55　　B．60　　C．65　　D．75
√
14
15
C　[设等差数列{an}的公差为d，∵3a4－a7＝7，2a7－a9＝6，
∴解得a1＝2，d＝1，
∴S10＝10a1＋d＝20＋45d＝65．故选C．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a5，a7是方程x2＋10x－16＝0的两个根，那么S11的值为(　　)
A．88　　B．－88　　C．110　　D．－55
√
14
15
D　[在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，a5，a7是方程x2＋10x－16＝0的两个根，
∴a5＋a7＝－10，∴S11＝(a1＋a11)＝(a5＋a7)＝×(－10)＝
－55．故选D．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．设{an}是公差不为零的等差数列，且＝，则{an}的前6项和为(　　)
A．－2　　B．0　　C．2　　D．4
√
14
15
B　[设数列{an}的公差为＝，整理可得＝0，即2d(a4＋a2)＋2d(a5＋a3)＝0．又∵d≠0，∴a4＋a2＋a5＋a3＝0．∵a4＋a3＝a2＋a5，∴a3＋a4＝0．∴{an}的前6项和为＝3(a3＋a4)＝0．故选B．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．”其大意为：“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的比前一天多7人．”则1 864人全部派遣到位需要的天数为(　　)
A．9　　B．16　　C．18　　D．20
√
14
15
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
B　[根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，且该数列是首项a1＝64，公差d＝7的等差数列．设1 864人全部派遣到位需要的天数为n，则64n＋×7＝1 864，依次将选项中的n值代入检验得，n＝16满足方程．故选B．]
14
15
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
二、填空题
6．若数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，且a3＋a13＝14，则其前15项和为________．
14
15
105　[根据题意，因为2an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}为等差数列．
所以S15＝＝＝＝105．]
105
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝________．
14
15
5　[因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5．]
5
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
8．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________．
14
15
－1　[等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1．]
－1
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
三、解答题
9．已知{an}是等差数列，其中a2＝22，a6＝10．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a2＋a4＋a6＋…＋a20的值．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a6＝a2＋4d，所以10＝22＋4d，所以d＝－3，a1＝a2－d＝25，所以an＝28－3n(n∈N*)．
(2)因为{an}是等差数列，所以a2，a4，a6，…，a20是首项为a2＝22，公差为－6的等差数列，共有10项，a2＋a4＋a6＋…＋a20＝10×22＋×(－6)＝－50．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
10．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝0，a4＝6，则(　　)
A．Sn＝n2－3n　　 B．Sn＝
C．an＝3n－6　　 D．an＝2n
√
14
15
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
BC　[设等差数列{an}的公差为d，因为S3＝0，a4＝6，所以
解得所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋
3(n－1)＝3n－6，Sn＝na1＋d＝－3n＋＝．故选BC．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
11．已知等差数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝1，S7＝5a5，则数列{an}的公差d＝(　　)
A．1　　B．2　　C．－1　　D．－2
√
14
15
D　[在等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，
由S7＝5a5可得7a1＋d＝5(a1＋4d)，即7＋21d＝5＋20d，
解得d＝－2．故选D．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
12．《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里……”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为(　　)
A．1 235　　B．1 800　　C．2 600　　D．3 000
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
A　[良马第一天行193里，之后每天比前一天多走13里，
驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，
前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为S4＝＝1 235．
故选A．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
13．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
14
15
2 000
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
2 000　[假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为
S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000(米)．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14．记Sn为数列{an}的前n项和．
(1)若数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，求nan－Sn的表达式；
(2)若数列是公差为的等差数列，证明：{an}是等差数列．
14
15
[解]　(1)由已知得an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1，Sn＝＝＝n2，
所以nan－Sn＝n(2n－1)－n2＝n2－n．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
(2)证明：∵＝＋(n－1)·＝，
∴nan－Sn＝，∴2nan－2Sn＝n2－n，
当n≥2时，2(n－1)an－1－2Sn－1＝(n－1)2－(n－1)，
两式相减得，2nan－2(n－1)an－1－2(Sn－Sn－1)＝2n－2，
∴2nan－2(n－1)an－1－2an＝2n－2，
∴(2n－2)an－2(n－1)an－1＝2n－2，
∴an－an－1＝1(n≥2)，
∴数列{an}是以1为公差的等差数列．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
15．7月，有一新款服装投入某市场．7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件．
(1)7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？
(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．该款服装在社会上流行几天？
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
[解]　(1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*，1≤n≤31)，最多售出ak件．
由题意知解得
∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，
∵an＝
∴Sn＝
∵S13＝273>200，
∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13，
当14≤n≤31时，日销售量连续下降，
由an<20，得23≤n≤31，
∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日)．
14
15
THANKS课时分层作业(六)　等差数列前n项和的性质及应用
一、选择题
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＋a5＋a8＝15，则S9＝(　　)
A．15 B．30 C．45 D．60
2．已知等差数列{an}共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为(　　)
A．100 B．105 C．90 D．95
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 023＜0，S2 024＞0，则当Sn最小时，n的值为(　　)
A．1 010 B．1 011 C．1 012 D．2 021
4．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则等于(　　)
A．2 B． C．1 D．
5．某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照所得票数(假设每人所得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等差数列．已知前10名共发放2 000元，前20名共发放3 500元，则前30名共发放(　　)
A．4 000元 B．4 500元
C．4 800元 D．5 000元
二、填空题
6．在等差数列{an}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，则{an}的前 ________项和最大．
7．已知等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B－A＝45，2A＝B＋615，则an＝________．
8．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
三、解答题
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6＝－5，S4＝－62．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn．
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a5＝－18，S9＝－72，Sn取最小值时，n的值为(　　)
A．11或12 B．12
C．13 D．12或13
11．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为(　　)
A． B． C． D．
12．(多选)已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，S2 022＜S2 023且S2 023＞S2 024，则(　　)
A．在数列{an}中，a1最大
B．在数列{an}中，S2 023最大
C．a2 024＞0
D．当n≥2 024时，an＜0
13．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对任意正整数n，an＋2－an＝2＋cos nπ，Sn为{an}的前n项和，则S100＝________．
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝－2，S10＝25．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值．
15．已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，________．
(1)判断2 024是不是数列{an}中的项，并说明理由；
(2)求Sn的最小值．
从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
3/3课时分层作业(五)　等差数列的前n项和公式
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且前3项的和为－6，最后3项的和为57，Sn＝85，则n的值为(　　)
A．9 B．10 C．11 D．20
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，3a4－a7＝7，2a7－a9＝6，则S10＝(　　)
A．55 B．60 C．65 D．75
3．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a5，a7是方程x2＋10x－16＝0的两个根，那么S11的值为(　　)
A．88 B．－88 C．110 D．－55
4．设{an}是公差不为零的等差数列，且＝，则{an}的前6项和为(　　)
A．－2 B．0 C．2 D．4
5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．”其大意为：“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的比前一天多7人．”则1 864人全部派遣到位需要的天数为(　　)
A．9 B．16 C．18 D．20
二、填空题
6．若数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，且a3＋a13＝14，则其前15项和为________．
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝________．
8．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________．
三、解答题
9．已知{an}是等差数列，其中a2＝22，a6＝10．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a2＋a4＋a6＋…＋a20的值．
10．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝0，a4＝6，则(　　)
A．Sn＝n2－3n B．Sn＝
C．an＝3n－6 D．an＝2n
11．已知等差数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝1，S7＝5a5，则数列{an}的公差d＝(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．－2
12．《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里……”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为(　　)
A．1 235 B．1 800 C．2 600 D．3 000
13．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
14．记Sn为数列{an}的前n项和．
(1)若数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，求nan－Sn的表达式；
(2)若数列是公差为的等差数列，证明：{an}是等差数列．
15．7月，有一新款服装投入某市场．7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件．
(1)7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？
(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．该款服装在社会上流行几天？
3/3(共73张PPT)
第2课时　等差数列前n项和的性质及应用
第四章　数列
4.2　等差数列
4.2.2　等差数列的前n项和公式
整体感知
[学习目标]　1．理解等差数列前n项和的性质，并学会应用．(数学运算、逻辑推理)
2．能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值．(数学运算)
(教师用书)
我们知道，等差数列的前n项和公式是一个关于n的二次函数形式，那么等差数列的前n项和是否具有二次函数的性质呢？除此之外，它还有什么样的性质吗？
[讨论交流]　
问题1．等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？
问题2．等差数列{an}中，其前n项和Sn，前2n项和S2n与前3n项和S3n有什么样的关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　等差数列前n项和的性质
探究问题1　等差数列{an}的前n项和为Sn，试探索Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…的关系．
[提示]　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…是一个公差为n2d的等差数列．
[提示]　因为S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，
所以S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＋…＋(a2n－a2n－1)＝nd．
又由等差数列的性质知a1＋a2n－1＝2an，
a2＋a2n＝2an＋1，且S奇＝，S偶＝，所以＝．
探究问题2　在等差数列{an}中，如果项数为2n，那么S偶与S奇之间存在什么样的关系？
[新知生成]
1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d．
2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为．
3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)．
4．项的个数的“奇偶”性质
(1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝．
(2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．
5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝＝·．
[典例讲评]　1．(1)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且＝(n＝1，2，…)，则等于(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110．
√
(1)B　[因为数列{bn}是等差数列，所以b3＋b18＝b6＋b15，所以＝，
又因为Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且＝(n＝1，2，…)，
所以＝＝＝＝＝．]
(2)[解]　法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S10＝100，S100＝10，
∴解得
∴S110＝110a1＋d＝110×＝－110．
法二：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，
解得d＝－22，
∴前11项和为S110＝11×100＋×(－22)＝－110．
法三：由也是等差数列，构造新的等差数列b1＝＝10，
b10＝＝，
则d＝(b10－b1)＝＝－，
所以b11＝＝b10＋d＝＝－1，所以S110＝－110．
法四：直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝
－110．
反思领悟　在解决与等差数列前n项和Sn的性质有关的问题时，恰当运用相关性质可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法：
(1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解．
(2)待定系数法：当公差不为0时，利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可；也可以利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算．
(3)利用相关性质中的结论进行求解．
[学以致用]　1．(1)已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．
(2)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m为________．
－4
210
(1)－4　(2)210　[(1)设共有2m项，由题意得
a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，①
S偶－S奇＝md＝34－50，②
①②联立得d＝－4．
(2)在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30，70，S3m－100成等差数列，
∴2×70＝30＋(S3m－100)，
∴S3m＝210．]
探究2　等差数列前n项和的最值问题
探究问题3　根据上节课所学，等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？
[提示]　由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是N*，公差的符号决定了该二次函数图象的开口方向，通常简记为Sn＝An2＋Bn(A，B∈R且A≠0)．
[新知生成]
1．等差数列前n项和的函数特征
等差数列的 前n项和公 式转移到二 次函数的过程 Sn＝na1＋d，整理得Sn＝，所以当d≠0时，Sn可以看成y＝x2＋x(x∈R)当x＝n时的函数值
等差数列的 前n项和公 式与函数 的关系 令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn．
(1)当A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)时，Sn＝0是关于n的常函数，{an}是各项为0的常数列．
(2)当A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数，{an}为各项非零的常数列．
(3)当A≠0(即d≠0)时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数
(常数项为0)
2．等差数列前n项和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最__值．
(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最__值．
特别地，若a1>0，d>0，则__是{Sn}的最__值；若a1<0，d<0，则___是{Sn}的最大值．
小
大
S1
小
S1
【教用·微提醒】　由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值．

【链接·教材例题】
例9　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由．
分析：由a1＞0和d＜0，可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k，使得当n≥k时，an＜0，Sn递减．这样，就把求Sn的最大值转化为求{an}的所有正数项的和．
另一方面，等差数列的前n项和公式可写成Sn＝n2＋n，所以当d≠0时，Sn可以看成二次函数y＝x2＋x(x∈R)当x＝n时的函数值．如图4.2-4，当d＜0时，Sn关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点．因此，可以利用二次函数求相应的n，Sn的值．
解法1：由an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an，所以{an}是递减数列．
又由an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12，可知：
当n＜6时，an＞0；
当n＝6时，an＝0；
当n＞6时，an＜0．
所以S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…．
也就是说，当n＝5或6时，Sn最大．
因为S5＝×[2×10＋(5－1)×(－2)]＝30，所以Sn的最大值为30．
解法2：因为Sn＝n2＋n＝－n2＋11n＝－＋，
所以，当n取与最接近的整数即5或6时，Sn最大，最大值为30．
[典例讲评]　2．数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前多少项和最大．
[思路引导]　(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求{an}的通项公式．(2)利用等差数列前n项和Sn为关于n的二次函数，可利用二次函数求解最值的方法解决．
[解]　(1)法一(公式法)：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1，满足an＝34－2n．
故{an}的通项公式为an＝34－2n．
法二(结构特征法)：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的常数项为0的二
次函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n．
(2)法一(公式法)：令即所以16≤n≤17．
又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
法二(函数性质法)：由y＝－x2＋33x的图象的对称轴为x＝，
距离最近的整数为16，17．由Sn＝－n2＋33n的
图象(图略)可知，数列{an}的前16项或前17项的和最大．
[母题探究]　将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求{an}的前多少项和最大？
[解]　法一：∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d＝17×25＋d，解得d＝－2．
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169．
∴当n＝13时，Sn有最大值169．
∴数列{an}的前13项和最大．
法二：同法一，求出公差d＝－2．
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27．
∵a1＝25>0，
由得
又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn取得最大值．
∴数列{an}的前13项和最大．
法三：∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0．
由等差数列的性质得a13＋a14＝0．
∵a1>0，∴d<0．∴a13>0，a14<0．
∴当n＝13时，Sn取得最大值．
∴数列{an}的前13项和最大．
法四：设Sn＝An2＋Bn．∵S9＝S17，
∴二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，∴当n＝13时，Sn取得最大值．
∴数列{an}的前13项和最大．
反思领悟　1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第1项起到分界点对应项的各项和为最大(小)值．
(2)借助二次函数的图象及性质求最值．
2．寻求正、负项分界点的方法
寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找．
[学以致用]　2．已知等差数列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d＜0．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值及相应的n的值．
[解]　(1)∵{an}为等差数列，
∴a2＋a5＝a3＋a4，∴
解得或
因为d＜0，所以
故解得
∴an＝10－(n－1)＝11－n．
(2)∵Sn＝＝＝－n2＋n，
又－＜0，函数y＝－x2＋x图象的对称轴为直线x＝，
故当n＝10或11时，Sn取得最大值，其最大值为55．
探究3　数列{|an|}的前n项和
[典例讲评]　3．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn．
[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，
则
解得a1＝13，d＝－2．
所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n．
(2)由(1)得|an|＝
当n≤7时，Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2，
当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2．
综上，Tn＝
反思领悟　1．一般地，数列{an}与数列{|an|}是两个不同的数列，只有当数列{an}的每一项都是非负数时，它们才表示同一个数列．
2．(1)求{|an|}的前n项和，关键在于分清哪些项为正数，哪些项为负数，最终化为去掉绝对值符号后的数列求和；
(2)数列{|an|}的前n项和求解的易错点在于没有分类讨论，最后结果未分段表示．
[学以致用]　3．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－10，求数列{|an|}的前n项和Tn．
[解]　由an＝2n－10≥0，得n≥5，
所以当n≤4时，an＜0；当n≥5时，an≥0，
所以当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－Sn＝－n2＋9n；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a4|＋|a5|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋a4)＋(a5＋…＋an)＝－S4＋(Sn－S4)＝Sn－2S4＝n2－9n＋40，
所以Tn＝
2
4
3
题号
1
应用迁移
1．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则
＝(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
√
D　[∵等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，＝，∴＝＝＝＝．]
2
3
题号
1
4
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝12，S10＝48，则S15为(　　)
A．84　　B．108　　C．144　　D．156
√
B　[由等差数列的性质知S5，S10－S5，S15－S10也构成等差数列，所以2(S10－S5)＝S5＋S15－S10，
所以2×(48－12)＝12＋S15－48，解得S15＝108．]
2
3
题号
4
1
3．若数列{an}的通项公式an＝43－3n，则Sn取得最大值时，n＝(　　)
A．13　　B．14　　C．15　　D．14或15
√
2
3
题号
4
1
B　[由数列{an}的通项公式an＝43－3n，可得该数列为递减数列，且公差为－3，a1＝40，
∴Sn＝＝－n2＋n．
考虑函数y＝－x2＋x，易知该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝．
又n为正整数，与最接近的一个正整数为14，故Sn取得最大值时，n＝14．]
2
4
3
题号
1
4．已知数列{an}的通项公式为an＝－3n＋16，则数列{|an|}的前40项和为________．
1 890　[由an＝－3n＋16可知{an}前5项为正，第6项开始为负，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a40|＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－(a6＋a7＋…＋a40)＝＝35＋1 855＝1 890．]
1 890
1．知识链：(1)等差数列前n项和的最值问题．
(2)等差数列前n项和性质的应用．
(3)数列{|an|}的前n项和．
2．方法链：公式法、构造法、函数法、整体代换法．
3．警示牌：(1)忽视最值问题中n的个数．
(2)等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．等差数列{an}的前n项和Sn有哪几种求最大(小)值的方法？
[提示]　(1)通项法：
若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，其中n可用不等式组来确定；
若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其中n可用不等式组来确定．
(2)二次函数法：在等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值，其中，n值可由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定．
2．等差数列奇数项的和与偶数项的和的性质的推理基础是什么？
[提示]　推理基础是等差数列的性质，如在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．
课时分层作业(六)　等差数列前n项和的性质及应用
题号
一、选择题
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＋a5＋a8＝15，则S9＝(　　)
A．15　　B．30　　C．45　　D．60
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
C　[已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a5＋a8＝15，
则3a5＝15，则a5＝5，则S9＝9a5＝9×5＝45．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．已知等差数列{an}共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为(　　)
A．100　　B．105　　C．90　　D．95
√
14
15
A　[由题意得，
故a11＝10，所以偶数项的和为100．故选A．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 023＜0，S2 024＞0，则当Sn最小时，n的值为(　　)
A．1 010　　B．1 011　　C．1 012　　D．2 021
√
14
15
C　[因为数列{an}是等差数列，
所以S2 023＝＝2 023a1 012，
S2 024＝＝1 012(a1 012＋a1 013)，
因为S2 023＜0，S2 024＞0，所以a1 012＜0，a1 013＞0，
所以n＝1 012时，Sn最小．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则等于(　　)
A．2　　B．　　C．1　　D．
√
14
15
D　[由题意，可得＝＝·＝·＝＝＝＝．故选D．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照所得票数(假设每人所得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等差数列．已知前10名共发放2 000元，前20名共发放3 500元，则前30名共发放(　　)
A．4 000元　　 B．4 500元
C．4 800元　　 D．5 000元
√
14
15
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
B　[由已知可知等差数列中S10＝2 000，S20＝ 3 500，
因为S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
所以2×(3 500－2 000)＝2 000＋(S30－3 500)，解得S30＝4 500．]
14
15
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
二、填空题
6．在等差数列{an}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，则{an}的前 ________项和最大．
14
15
5　[设等差数列{an}的公差为d，依题意，a5＞0，a4＋a7＜0，
则a5＋a6＜0，所以a6＜0，d＜0，所以{an}的前5项和最大．]
5
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
7．已知等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B－A＝45，2A＝B＋615，则an＝________．
14
15
3n－1　[根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B－A＝45，即15d＝45，则有d＝3；
又由2A＝B＋615，变形可得
A＝B－A＋615＝45＋615＝660，
则有A＝＝15a15＝660，解得a15＝44，则an＝a15＋(n－15)d＝3n－1．]
3n－1
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
8．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则d的取值范围为______________．
14
15
　[由当且仅当n＝8时，Sn最大，
知a8＞0且a9＜0，
于是解得－1＜d＜－，
故d的取值范围为．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
三、解答题
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6＝－5，S4＝－62．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn．
14
15
[解]　(1)因为a6＝－5，S4＝－62，设公差为d，
所以a1＋5d＝－5，4a1＋6d＝－62，
解得a1＝－20，d＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－23(n∈N*)．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
(2)令an＝3n－23≥0，解得n≥，
当n≤7时，an＜0，当n≥8时，an＞0，
所以当n≤7时，Tn＝－a1－a2－…－an＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－，
当n≥8时，Tn＝－a1－a2－…－a7＋a8＋a9＋…＋an
＝－2(a1＋a2＋…＋a7)＋(a1＋a2＋…＋an)＝＋154，
所以Tn＝(n∈N*)．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a5＝－18，S9＝－72，Sn取最小值时，n的值为(　　)
A．11或12　　 B．12
C．13　　 D．12或13
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
D　[设等差数列{an}的公差为d，
因为a3＋a5＝－18，S9＝－72，
则有解得
所以an＝n－13，令an＝n－13≤0，则n≤13，
又a13＝0，所以当n＝12或13时，Sn取最小值．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
11．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
A　[设分的面包，从小到大依次为a1，a2，a3，a4，a5，依题意得(a3＋a4＋a5)＝a1＋a2，
故3a1＋9d＝7(2a1＋d)，2d＝11a1，由S5＝5a3＝5(a1＋2d )＝100，
得a1＋2d＝12a1＝20，解得a1＝．故选A．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
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13
1
12．(多选)已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，S2 022＜S2 023且
S2 023＞S2 024，则(　　)
A．在数列{an}中，a1最大
B．在数列{an}中，S2 023最大
C．a2 024＞0
D．当n≥2 024时，an＜0
√
14
15
√
√
题号
9
2
4
5
3
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7
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11
12
13
1
ABD　[因为S2 022＜S2 023且S2 023＞S2 024，
所以S2 023－S2 022＝a2 023＞0，S2 024－S2 023＝a2 024＜0，
则等差数列{an}的公差d＝a2 024－a2 023＜0，
则在数列{an} 中，a1 最大，S2 023最大，故A正确，B正确；
因为a2 024＜0，故C错误；因为a2 023＞0，a2 024＜0，d＜0，
则当n≥2 024时，an＜0，故D正确．故选ABD．]
14
15
题号
9
2
4
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13
1
13．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对任意正整数n，an＋2－an＝2＋cos nπ，Sn为{an}的前n项和，则S100＝________．
14
15
5 050　[当n为奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列；
当n为偶数时，an＋2－an＝3，即数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，
所以S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝＝5 050．]
5 050
题号
9
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5
3
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1
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝－2，S10＝25．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值．
14
15
[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，
由a4＝－2，S10＝25，得a1＋3d＝－2，10a1＋d＝25，解得a1＝－11，d＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－14．
题号
9
2
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3
8
6
7
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13
1
(2)法一：由d＝3知{an}是递增数列，
当n≤4时，an＜0；当n≥5时，an＞0．
所以当n＝4时，Sn最小，最小值为S4＝4a1＋×d＝－26．
法二：Sn＝na1＋d＝n2－n＝－，又n∈N*，所以当n＝4时，Sn最小，最小值为－26．
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题号
9
2
4
5
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1
15．已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，________．
(1)判断2 024是不是数列{an}中的项，并说明理由；
(2)求Sn的最小值．
从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
14
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题号
9
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3
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1
[解]　若选①，
(1)设数列{an}的公差为d，
则解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－20．
令3n－20＝2 024，得n＝681 N*，
所以2 024不是数列{an}中的项．
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题号
9
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3
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11
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1
(2)令an＝3n－20＞0，解得n＞，
所以当n≤6时，an＜0．
故当n＝6时，Sn取到最小值，为S6＝6a1＋15d＝－57．
若选②，
(1)设数列{an}的公差为d，
则解得
所以an＝2n－12．
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题号
9
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1
令2n－12＝2 024，解得n＝1 018∈N*，
所以2 024是数列{an}中的项．
(2)令2n－12＞0，得n＞6，所以当n≤6时，an≤0．
故当n＝6或n＝5时，Sn取到最小值，为S5＝S6＝－30．
14
15
THANKS第2课时　等差数列前n项和的性质及应用
[学习目标]　1．理解等差数列前n项和的性质，并学会应用．(数学运算、逻辑推理)
2．能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值．(数学运算)
[讨论交流]　
问题1．等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？
问题2．等差数列{an}中，其前n项和Sn，前2n项和S2n与前3n项和S3n有什么样的关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　等差数列前n项和的性质
探究问题1　等差数列{an}的前n项和为Sn，试探索Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…的关系．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究问题2　在等差数列{an}中，如果项数为2n，那么S偶与S奇之间存在什么样的关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d．
2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为．
3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)．
4．项的个数的“奇偶”性质
(1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝．
(2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．
5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝＝·．
[典例讲评]　1．(1)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且＝(n＝1，2，…)，则等于(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　在解决与等差数列前n项和Sn的性质有关的问题时，恰当运用相关性质可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法：
(1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解．
(2)待定系数法：当公差不为0时，利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可；也可以利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算．
(3)利用相关性质中的结论进行求解．
[学以致用]　1．(1)已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．
(2)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m为________．
探究2　等差数列前n项和的最值问题
探究问题3　根据上节课所学，等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．等差数列前n项和的函数特征
等差数列的 前n项和公 式转移到二 次函数的过程 Sn＝na1＋d，整理得Sn＝，所以当d≠0时，Sn可以看成y＝x2＋x(x∈R)当x＝n时的函数值
等差数列的 前n项和公 式与函数 的关系 令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn． (1)当A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)时，Sn＝0是关于n的常函数，{an}是各项为0的常数列． (2)当A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数，{an}为各项非零的常数列． (3)当A≠0(即d≠0)时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(常数项为0)
2．等差数列前n项和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最________值．
(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最________值．
特别地，若a1>0，d>0，则________是{Sn}的最________值；若a1<0，d<0，则________是{Sn}的最大值．
[典例讲评]　2．数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前多少项和最大．
[思路引导]　(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求{an}的通项公式．(2)利用等差数列前n项和Sn为关于n的二次函数，可利用二次函数求解最值的方法解决．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求{an}的前多少项和最大？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第1项起到分界点对应项的各项和为最大(小)值．
(2)借助二次函数的图象及性质求最值．
2．寻求正、负项分界点的方法
寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找．
[学以致用]　2．已知等差数列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d＜0．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值及相应的n的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　数列{|an|}的前n项和
[典例讲评]　3．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．一般地，数列{an}与数列{|an|}是两个不同的数列，只有当数列{an}的每一项都是非负数时，它们才表示同一个数列．
2．(1)求{|an|}的前n项和，关键在于分清哪些项为正数，哪些项为负数，最终化为去掉绝对值符号后的数列求和；
(2)数列{|an|}的前n项和求解的易错点在于没有分类讨论，最后结果未分段表示．
[学以致用]　3．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－10，求数列{|an|}的前n项和Tn．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝(　　)
A． B． C． D．
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝12，S10＝48，则S15为(　　)
A．84 B．108 C．144 D．156
3．若数列{an}的通项公式an＝43－3n，则Sn取得最大值时，n＝(　　)
A．13 B．14 C．15 D．14或15
4．已知数列{an}的通项公式为an＝－3n＋16，则数列{|an|}的前40项和为________．
1．知识链：(1)等差数列前n项和的最值问题．
(2)等差数列前n项和性质的应用．
(3)数列{|an|}的前n项和．
2．方法链：公式法、构造法、函数法、整体代换法．
3．警示牌：(1)忽视最值问题中n的个数．
(2)等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列．
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