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4.2　等差数列
4.2.1　等差数列的概念
第1课时　等差数列的概念及通项公式
[学习目标]　1．借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．(数学抽象)
2．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．(数学抽象)
3．会求等差数列的通项公式．(数学运算)
4．能利用等差数列的通项公式解决相关问题．(数学运算、数学建模)
[讨论交流]　
问题1．等差数列的概念是什么？
问题2．等差中项的定义是什么？
问题3．等差数列的通项公式怎样表示？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　等差数列的概念
探究问题1　观察下列现实生活中的数列，回答下面的问题．
(1)我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，…．
(2)某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列：38，40，42，44，46，…．
(3)全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码(表示以cm为单位的鞋底的长度)由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5．
以上三个问题中的数蕴含三个数列，你能找到它们的共同规律吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
等差数列 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于________常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母________表示
符号 语言 在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)(若an－an－1＝d，n≥2，n∈N*)成立，则称数列{an}为等差数列，常数d称为等差数列的公差
递推 公式 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)
[典例讲评]　1．判断下列数列是不是等差数列？如果是，写出首项a1和公差d．
(1)9，7，5，3，…，－2n＋11，…；
(2)－1，11，23，35，…，12n－13，…；
(3)1，2，4，6，8，10，…；
(4)a，a，a，a，a．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列．
[学以致用]　1．下列数列：
①0，0，0，0；
②0，1，2，3，4；
③1，5，9，13；
④0，1，2，3，…．
其中一定是等差数列的有________个．
探究2　等差中项
探究问题2　若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列吗？反之，是不是也成立？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的________，且2A＝________．
[典例讲评]　2．(1)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　　)
A．2　　　B．3　　　C．6　　　D．9
(2)已知1，x，y，10构成等差数列，则x，y的值分别为________．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　等差中项应用策略
(1)求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝_______．
(2)证三个数成等差数列，只需证中间一个数为两边两数的等差中项，即若a，b，c成等差数列，则有________；反之，若________，则a，b，c成等差数列．
[学以致用]　2．lg (2＋)与lg (2－)的等差中项是________．
探究3　等差数列的通项公式
探究问题3　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？请结合等差数列的定义写出其符号表达式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝________．
2．等差数列和一次函数的关系
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d．
3．由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公差d的影响．
(1)当d＞0时，数列为________数列，如图1；
(2)当d＜0时，数列为递减数列，如图2；
(3)当d＝0时，数列为常数列，如图3．
[典例讲评]　3．(1)(多选)下列判断正确的是(　　)
A．等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列
B．若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)，则数列{an}是等差数列
C．等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率
D．若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0
(2)在等差数列{an}中，求解下列各题：
①已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝________；
②已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝________；
③已知公差为d，a3＝，a7＝－，则a15＝________．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数．这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
2．熟练掌握等差数列通项公式an＝dn＋(a1－d)＝kn＋b是关于n的一次函数型这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性．d＞0时，数列{an}为递增数列；d＝0时，数列{an}为常数列；d＜0时，数列{an}为递减数列．
[学以致用]　3．(1)已知数列{an}为等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线的斜率为________．
(2)在等差数列{an}中，
①已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
②已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4　等差数列的判定与证明
[典例讲评]　4．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[思路引导]　先用an＋1表示bn＋1，再验证bn＋1－bn为常数，最后可求出数列{an}的通项公式．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　本例中若将条件改为“已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝．”求数列{an}的通项公式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　等差数列的三种判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) {an}为等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}为等差数列．
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*) {an}为等差数列．
如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
[学以致用]　4．(源自北师大版教材)判断下面数列是否为等差数列．
(1)an＝2n－1；
(2)an＝(－1)n．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．等差数列{an}中，a1＝2，a3＝8，则公差d＝(　　)
A．4 B．3 C．－4 D．－3
2．若2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，则实数a的值为(　　)
A．－ B． C． D．5
3．(多选)下列命题中，正确的是(　　)
A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列
B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列
C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)
D．数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列
4．在等差数列{an}中，首项为33，若第12项为0，则数列{an}的通项公式为________．
1．知识链：(1)等差数列的有关概念．
(2)等差数列的通项公式．
(3)等差数列通项公式与函数的关系．
(4)等差数列的判定与证明．
2．方法链：方程组法、构造法、定义法．
3．警示牌：(1)在具体应用问题中项数不清．
(2)忽略等差数列通项公式与函数关系中d＝0的情况．
7/7第2课时　等差数列的性质及应用
[学习目标]　1．能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与项有关的性质．(逻辑推理)
2．能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(逻辑推理、数学运算)
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应问题．(数学建模、数学运算)
(教师用书)
《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得构成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位)
[讨论交流]　
问题1．等差数列的子数列是如何定义的？
问题2．等差数列的子数列有什么样的性质？
问题3．等差数列的任意两项间有什么样的数量关系？
问题4．等差数列的“下标和”性质是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　等差数列的性质
探究问题　已知an，am是等差数列{an}中的任意两项，你能利用通项公式建立两者之间的关系吗？
[提示]　由an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋(m－1)d，两式相减得an－am＝(n－m)d，即an＝am＋(n－m)d．
[新知生成]
等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak．
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
【教用·微提醒】　(1){an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q不一定成立，如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4．
(2)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同．
【链接·教材例题】
例5　已知数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t．求证ap＋aq＝as＋at．
分析：只要根据等差数列的定义写出ap，aq，as，at，再利用已知条件即可得证．
[证明]　设数列{an}的公差为d，则
ap＝a1＋(p－1)d，
aq＝a1＋(q－1)d，
as＝a1＋(s－1)d，
at＝a1＋(t－1)d．
所以
ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，
as＋at＝2a1＋(s＋t－2)d．
因为p＋q＝s＋t，
所以ap＋aq＝as＋at．
[典例讲评]　1．(1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值．
(2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值．
(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值．
[解]　(1)法一：设{an}的公差为d，
则解得
故a25＝a1＋24d＝4＋24×＝40．
法二：因为5＋25＝2×15，所以在等差数列{an}中有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40．
法三：因为5，15，25成等差数列，所以a5，a15，a25也成等差数列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40．
(2)由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28．
(3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，设其公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41．
[母题探究]　本例(1)中条件变为“已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8”，求5a4＋a7的值．
[解]　法一：设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，
所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24．
法二：在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，
∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7．
又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5，
∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24．
　(1)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．
(2)等差数列运算的两种常用思路
①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar．
[学以致用]　1．(1)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________．
(2)已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________．
(1)27　(2)12n－1　25　[(1)法一：由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，
所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27．
法二：设等差数列{an}的公差为d，
则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，
解得d＝－2，
所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27．
(2)由于数列{an}和{bn}都是等差数列，
所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，
又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1．
又a100＝302，b100＝399，
所以
解得1≤n≤25．故{cn}的项数为25．]
探究2　等差数列中项的设法
[典例讲评]　2．(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[解]　(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则
解得所以这三个数为4，3，2．
(2)设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1．
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，
所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4．
　等差数列的设项方法和技巧
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式．
(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d．若有5项、7项……可同理设出．
(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d．若有6项、8项……可同理设出．
[学以致用]　2．已知成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为40，求这四个数．
[解]　设这四个数依次是a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(a，d∈R)．
可得
解得或
所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2．
探究3　等差数列的实际应用
【链接·教材例题】
例3　某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d万元(d为正常数)．已知这台设备的安全使用年限为10年，第11年期间，它的价值将低于购进价值的5%，设备需在这年年初报废．请确定d的取值范围．
分析：这台设备使用满n年时的价值构成一个数列{an}．由题意可知，使用满10年时，这台设备的价值应不小于(220×5%＝)11万元；而第11年年底，这台设备的价值应小于11万元．可以利用{an}的通项公式列不等式求解．
[解]　设使用满n年时，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．由已知条件，得
an＝an－1－d(n≥2)．
由于d是与n无关的常数，所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列．因为购进设备的价值为220万元，所以a1＝220－d，于是
an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd．
根据题意，得
即解这个不等式组，得
19＜d≤20.9．
所以，d的取值范围为19＜d≤20.9．
[典例讲评]　3．《周髀算经》是中国古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为(　　)
A．15.5尺　　　　　　　 B．12.5尺
C．9.5尺 D．6.5尺
D　[设该等差数列为{an}，冬至、小寒、大寒……芒种的日影子长分别记为a1，a2，a3，…，a12，公差为d，由题意可得，
即
解得
所以立夏的日影子长为a10＝a1＋9d＝6.5(尺)．]
　解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
(1)解答等差数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意．②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题．③判型，即判断该数列是否为等差数列．④求解，即求出该问题的数学解．⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中．
(2)解决等差数列实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．
[学以致用]　3．(源自北师大版教材)一个木制梯形架的上、下两底边分别为33 cm，75 cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级．试计算梯形架间各级的宽度．
[解]　记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为{an}，则由梯形中位线的性质，易知相邻三项均成等差数列，即数列{an}成等差数列．依题意，有
a1＝33 cm，a7＝75 cm．
现要求a2，a3，…，a6，即中间5级的宽度．
依等差数列的定义，有
d＝＝＝7(cm)，
所以a2＝33＋7＝40(cm)，a3＝40＋7＝47(cm)，a4＝47＋7＝54(cm)，a5＝54＋7＝61(cm)，a6＝61＋7＝68(cm)．
因此，梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm．
1．在等差数列{an}中，a4＋a6＋a8＋a10＝22，则a1＋a13的值为(　　)
A．－11 B．11 C．22 D．33
B　[由等差数列的性质可知，a4＋a10＝a6＋a8＝a1＋a13，又因为a4＋a6＋a8＋a10＝22，所以2(a1＋a13)＝22，即a1＋a13＝11．故选B．]
2．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有(　　)
A． B．}
C．{an＋1＋an} D．{2an＋n}
ACD　[设等差数列{an}的公差为d，当n≥2时，an－an－1＝d．对于A，an＋1＋3－(an＋3)＝an＋1－an＝d，为常数，因此{an＋3}是等差数列；对于＝(an＋1＋an)(an＋1－an)＝d[2a1＋(2n－1)d]，不为常数，因此}不是等差数列；对于C，(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝an＋2－an＝2d，为常数，因此{an＋1＋an}是等差数列；对于D，2an＋1＋(n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1，为常数，因此{2an＋n}是等差数列．]
3．已知等差数列{an}满足a2＝4，a5＝10，则公差d＝________．
2　[因为{an}是等差数列，所以公差d＝＝＝2．]
4．若数列{2an＋1}是等差数列，其公差d＝1，且a3＝5，则a10＝________．
　[因为{2an＋1}是等差数列，则2a10＋1＝2a3＋1＋7d＝18，所以a10＝．]
课时分层作业(四)　等差数列的性质及应用
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a3＋a9＝26，则a3＋3a7＝(　　)
A．13 B．26 C．39 D．52
D　[因为{an}是等差数列，
所以a3＋a9＝2a6＝26，解得a6＝13，
所以a3＋3a7＝a3＋a7＋2a7＝2(a5＋a7)＝4a6＝52．
故选D．]
2．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝4π，则tan(a3＋a7)＝(　　)
A． B．－ C．－ D．
C　[∵数列{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝4π＝3a5，∴a5＝，则tan (a3＋a7)＝tan 2a5＝tan ＝tan ＝－tan ＝－．
故选C．]
3．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有(　　)
A． B．}
C．{an＋1－an} D．{2an}
ACD　[设等差数列{an}的公差为d．
对于A，(an＋an＋2)－(an－1＋an＋1)＝(an－an－1)＋(an＋2－an＋1)＝2d(n≥2)，所以{an＋an＋2}是以2d为公差的等差数列；
对于＝＝．因为不一定为常数，所以}不一定是等差数列；
对于C，因为an＋1－an＝d，所以{an＋1－an}为等差数列；
对于D，因为2an＋1－2an＝2d，所以{2an}为等差数列．]
4．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a19＋a20＞0，a19a20＜0，则使an＞－a1成立的最大自然数n是(　　)
A．20 B．37 C．38 D．40
C　[因为{an}是等差数列，a19＋a20＞0，a19a20＜0，所以a19，a20异号，所以{an}非常数等差数列而是单调数列，又a1＞0，所以a19＞0，a20＜0，由a19＋a20＞0 a1＋a38＞0，由a20＜0 2a20＜0 a1＋a39＜0，因此使an＞－a1成立的最大自然数n是38．]
5．在等差数列{an}中，若a1－a4－a8－a12＋a15＝，则sin (a3＋a13)的值为(　　)
A． B．1 C．－1 D．0
C　[由等差数列的性质可知，a1＋a15＝a4＋a12，
则a1－a4－a8－a12＋a15＝－a8＝，解得a8＝－，∵a3＋a13＝2a8，∴sin (a3＋a13)＝sin (2a8)＝sin ＝－1．故选C．]
二、填空题
6．已知数列{an}是等差数列，a9＝20，a20＝9，则这个数列的公差d＝________．
－1　[等差数列{an}中，a9＝20，a20＝9，所以公差d＝＝＝－1．]
7．已知{an}为等差数列，a3＋a9＝28，则a13－a20＝________．
7　[设等差数列{an}的公差为d，
因为{an}为等差数列，a3＋a9＝28，所以a6＝＝14．
所以a13－a20＝(a1＋12d)－(a1＋19d)＝(a1＋5d)＝a6＝7．]
8．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a15＝________，若ak＝15，则k＝________．
11　21　[∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝．
又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7．
故d＝＝＝．
∴a15＝a9＋(15－9)d＝7＋6×＝11，∵ak＝a9＋(k－9)d＝15，∴15－7＝(k－9)×，∴k＝21．]
三、解答题
9．若数列{bn}对任意n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．例如cn＝则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1＝a，对于任意n∈N*，都有an＋an＋1＝2n．
(1)求证：数列{an}为准等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：因为an＋an＋1＝2n(n∈N*)①，
所以an＋1＋an＋2＝2(n＋1)②，
②－①得an＋2－an＝2(n∈N*)，
所以数列{an}是公差为2的准等差数列．
(2)因为a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，
所以a1＋a2＝2×1，即a2＝2－a．
因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以2－a为首项，2为公差的等差数列，所以当n为奇数时，an＝a＋×2＝n＋a－1，
当n为偶数时，an＝2－a＋×2＝n－a，
所以an＝
10．已知{an}和{bn}是两个等差数列，且(1≤k≤5)是常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3的值为(　　)
A．64 B．128 C．256 D．512
B　[由题意可得＝，则b5＝64，故b3＝＝＝128．]
11．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝3n－1和bn＝4n－3，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合A∩{n|n≤2 024，n∈N*}中元素的个数为(　　)
A．166 B．168 C．169 D．170
C　[由题意可知，数列{an}为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…，数列{bn}为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，…，
将集合A中的元素由小到大进行排序，构成数列{cn}为5，17，29，…，
易知数列{cn}是首项为5，公差为12的等差数列，则cn＝5＋12(n－1)＝12n－7．
由cn＝12n－7≤2 024，可得n≤169＋，因此，集合A∩{n|n≤2 024，n∈N*}中元素的个数为169．故选C．]
12．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则m＋n的值为________．
　[设方程x2－x＋m＝0 的根是x1，x2，方程x2－x＋n＝0 的根是x3，x4，
∴x1＋x2＝1，x3＋x4＝1，四个根组成等差数列，不妨设为x1，x3，x4，x2，
则x1＝，于是x2＝，m＝x1x2＝，
d＝＝＝，因此x3＝＝，x4＝＝，
∴n＝x3x4＝，m＋n＝＝．]
13．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 024这2 024个数中，能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为________．
135　[因为能被3除余1且被5除余1的数即为能被15除余1的数，故an＝15n－14(n∈N*)，又an≤2 024，解得n＝135．]
14．已知数列{an}满足a1＝2，a3＝8，且2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2) m∈N*，将数列{an}中落在区间(3 m，32m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的通项公式．
[解]　(1)当n≥2时，an＋1－an＝an－an－1，∴{an}为等差数列，设公差为d．
∵a3－a1＝6＝2d，∴d＝3，∴an＝2＋3(n－1)＝3n－1．
(2)由(1)得3m＜3n－1＜32m，∴3m-1＋＜n＜32m-1＋，∴n＝3m-1＋1，3m-1＋2，3m-1＋3，…，32m-1，∴bm＝32m-1－3m-1．
15．有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？
[解]　设某单位需购买电视机n台．
在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，
由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，
即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元；
购买台数超过18台时，每台售价440元．
到乙商场购买时，
每台售价为800×75%＝600(元)．
比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n)n－600n＝20n(10－n)．
当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少；
当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；
当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少；
当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少．
因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机为10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少．
13/13课时分层作业(三)　等差数列的概念及通项公式
一、选择题
1．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为(　　)
A．公差为2的等差数列
B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列
D．非等差数列
2．已知{an}是等差数列，且a2＋1是a1和a4的等差中项，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2 C．－2 D．－1
3．已知等差数列{an}满足4a3＝3a2，则{an}中一定为零的项是(　　)
A．a6 B．a4 C．a10 D．a12
4．(多选)已知等差数列{an}的公差为－3，若a7＞0，a8＜0，则首项a1的值可能是(　　)
A．18 B．19 C．20 D．21
5．在数列{an}中，a1＝1，a6＝，且数列是等差数列，则a16＝(　　)
A．7 B． C．19 D．
二、填空题
6．在正项等差数列{an}中，a3＝2，则公差d的取值范围是________．
7．在等差数列中，第7项是80及第16项是26，则第34项为________．
8．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，则a13＝________．
三、解答题
9．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7．
(1)求数列的第10项；
(2)112是数列{an}的第几项？
(3)在80到110之间数列{an}有多少项？
10．记等差数列{an}的公差为d(d≥0)，若是与－2的等差中项，则d的值为(　　)
A．0 B． C．1 D．2
11．设首项为的数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，且an＝－SnSn－1(n≥2)，则b2 024等于(　　)
A．4 000 B．2 024 C．4 052 D．4 048
12．设a＞0，b＞0，是a与b的等差中项，则的最小值为(　　)
A．3＋2 B．3－2
C．5 D．
13．已知数列{an}的各项均为正数，a1＝2，an＋1－an＝，则an＝________．
14．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)．
(1)当a2＝－1时，求实数λ及a3；
(2)是否存在实数λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求出它的公差；若不存在，请说明理由．
15．已知数阵中，每行、每列的四个数均成等差数列，如果数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a22＝________．
3/3第2课时　等差数列的性质及应用
[学习目标]　1．能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与项有关的性质．(逻辑推理)
2．能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(逻辑推理、数学运算)
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应问题．(数学建模、数学运算)
[讨论交流]　
问题1．等差数列的子数列是如何定义的？
问题2．等差数列的子数列有什么样的性质？
问题3．等差数列的任意两项间有什么样的数量关系？
问题4．等差数列的“下标和”性质是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　等差数列的性质
探究问题　已知an，am是等差数列{an}中的任意两项，你能利用通项公式建立两者之间的关系吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝________．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak．
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的________，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为________数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为________的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为________的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为________的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为________的等差数列．
[典例讲评]　1．(1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值．
(2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值．
(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　本例(1)中条件变为“已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8”，求5a4＋a7的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．
(2)等差数列运算的两种常用思路
①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar．
[学以致用]　1．(1)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________．
(2)已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________．
探究2　等差数列中项的设法
[典例讲评]　2．(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　等差数列的设项方法和技巧
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式．
(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d．若有5项、7项……可同理设出．
(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d．若有6项、8项……可同理设出．
[学以致用]　2．已知成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为40，求这四个数．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　等差数列的实际应用
[典例讲评]　3．《周髀算经》是中国古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为(　　)
A．15.5尺　　　　　　　 B．12.5尺
C．9.5尺 D．6.5尺
　解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
(1)解答等差数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意．②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题．③判型，即判断该数列是否为等差数列．④求解，即求出该问题的数学解．⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中．
(2)解决等差数列实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．
[学以致用]　3．(源自北师大版教材)一个木制梯形架的上、下两底边分别为33 cm，75 cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级．试计算梯形架间各级的宽度．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．在等差数列{an}中，a4＋a6＋a8＋a10＝22，则a1＋a13的值为(　　)
A．－11 B．11 C．22 D．33
2．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有(　　)
A． B．}
C．{an＋1＋an} D．{2an＋n}
3．已知等差数列{an}满足a2＝4，a5＝10，则公差d＝________．
4．若数列{2an＋1}是等差数列，其公差d＝1，且a3＝5，则a10＝________．
4/4(共70张PPT)
第1课时　等差数列的概念及通项公式
第四章　数列
4.2　等差数列
4.2.1　等差数列的概念
整体感知
[学习目标]　1．借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．(数学抽象)
2．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．(数学抽象)
3．会求等差数列的通项公式．(数学运算)
4．能利用等差数列的通项公式解决相关问题．(数学运算、数学建模)
(教师用书)
彗星是指进入太阳系内亮度和形状会随日距变化而变化的绕日运动的天体，星云雾状的独特外貌，其中最有名的当属哈雷彗星了．在过去300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682，1758，1834，1910，1986．通过这一组数据呈现的规律，你能预测哈雷彗星下一次出现的时间吗？
[讨论交流]　
问题1．等差数列的概念是什么？
问题2．等差中项的定义是什么？
问题3．等差数列的通项公式怎样表示？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　等差数列的概念
探究问题1　观察下列现实生活中的数列，回答下面的问题．
(1)我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，…．
(2)某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列：38，40，42，44，46，…．
[提示]　以(1)为例，2 029－2 017＝12，2 041－2 029＝12，2 053－2 041＝12，2 065－2 053＝12，2 077－2 065＝12，…，后项与前项的差为同一个常数，这个规律也适用于(2)(3)．
(3)全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码(表示以cm为单位的鞋底的长度)由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5．
以上三个问题中的数蕴含三个数列，你能找到它们的共同规律吗？
[新知生成]
等差数列 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于______常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的____，公差通常用字母__表示
符号 语言 在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)(若an－an－1＝d，n≥2，n∈N*)成立，则称数列{an}为等差数列，常数d称为等差数列的公差
递推 公式 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)
同一个
公差
d
【教用·微提醒】　(1)作差的起始项：“从第2项起”，因为第1项没有前一项；
(2)作差的顺序：“每一项与它的前一项的差”，即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒；
(3)等差的含义：“同一个常数”指所有的差都相等，即a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d；
(4)公差d的取值范围：可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列)，它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为(－∞，＋∞)．
[典例讲评]　1．判断下列数列是不是等差数列？如果是，写出首项a1和公差d．
(1)9，7，5，3，…，－2n＋11，…；
(2)－1，11，23，35，…，12n－13，…；
(3)1，2，4，6，8，10，…；
(4)a，a，a，a，a．
[解]　由等差数列的定义，得(1)(2)(4)为等差数列，(3)不是等差数列．
(1)中a1＝9，d＝－2，(2)中a1＝－1，d＝12，(4)中a1＝a，d＝0．
反思领悟　利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列．
[学以致用]　1．下列数列：
①0，0，0，0；
②0，1，2，3，4；
③1，5，9，13；
④0，1，2，3，…．
其中一定是等差数列的有________个．
3　[①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．]
3
探究2　等差中项
探究问题2　若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列吗？反之，是不是也成立？
[提示]　若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．反之，若a，b，c成等差数列，则有2b＝a＋c成立．
[新知生成]
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的________，且2A＝______．
等差中项
a＋b
【教用·微提醒】　(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一．
(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝．
(3)等差数列{an}中，an是an－k与an＋k的等差中项，注意序号间的关系．
[典例讲评]　2．(1)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　　)
A．2　　　B．3　　　C．6　　　D．9
(2)已知1，x，y，10构成等差数列，则x，y的值分别为________．
√
4，7
(1)B　(2)4，7　[(1)由已知可得 m＋n＝6 ＝3．
(2)由已知，得x是1和y的等差中项，即2x＝1＋y①，
y是x和10的等差中项，即2y＝x＋10②，
由①②可得x＝4，y＝7．]
发现规律　等差中项应用策略
(1)求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝．
(2)证三个数成等差数列，只需证中间一个数为两边两数的等差中项，即若a，b，c成等差数列，则有____________；反之，若____________，则a，b，c成等差数列．
a＋c＝2b
a＋c＝2b
[学以致用]　2．lg (2＋)与lg (2－)的等差中项是________．
0　[等差中项为＝＝0．]
0
探究3　等差数列的通项公式
探究问题3　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？请结合等差数列的定义写出其符号表达式．
[提示]　设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，
思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…
归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．
当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d＝a1．综上，an＝a1＋(n－1)d．
思路二：a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d，
左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．
当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d＝a1．
综上，an＝a1＋(n－1)d．
[新知生成]
1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝____________．
2．等差数列和一次函数的关系
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d．
a1＋(n－1)d
3．由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公差d的影响．
(1)当d＞0时，数列为____数列，如图1；
(2)当d＜0时，数列为递减数列，如图2；
(3)当d＝0时，数列为常数列，如图3．
递增
【链接·教材例题】
例1　(1)已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}的公差和首项；
(2)求等差数列8，5，2，…的第20项．
分析：(1)已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an－an－1＝d即可求出公差d；(2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项
[解]　(1)当n≥2时，由{an}的通项公式an＝5－2n，可得
an－1＝5－2(n－1)＝7－2n．
于是
d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2．
把n＝1代入通项公式an＝5－2n，得
a1＝5－2×1＝3．
所以，{an}的公差为－2，首项为3．
(2)由已知条件，得
d＝5－8＝－3．
把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得
an＝8－3(n－1)＝11－3n．
把n＝20代入上式，得
a20＝11－3×20＝－49．
所以，这个数列的第20项是－49．
【链接·教材例题】
例2　－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解．
[解]　由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为
an＝－5－4(n－1)＝－4n－1．
令－4n－1＝－401，
解这个关于n的方程，得
n＝100．
所以，－401是这个数列的项，是第100项．
[典例讲评]　3．(1)(多选)下列判断正确的是(　　)
A．等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列
B．若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)，则数列{an}是等差数列
C．等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率
D．若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0
√
√
√
(2)在等差数列{an}中，求解下列各题：
①已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝________；
②已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝________；
③已知公差为d，a3＝，a7＝－，则a15＝________．
10
－
－
(1)BCD　(2)①10　②－　③－　[(1)A项，公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列；B，C，D均正确．
(2)①由题意，得a1＋6×＝8，解得a1＝10．
②依题意可得
解得d＝－．
③由得解得
∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－．]
反思领悟　1．等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数．这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
2．熟练掌握等差数列通项公式an＝dn＋(a1－d)＝kn＋b是关于n的一次函数型这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性．d＞0时，数列{an}为递增数列；d＝0时，数列{an}为常数列；d＜0时，数列{an}为递减数列．
[学以致用]　3．(1)已知数列{an}为等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线的斜率为________．
(2)在等差数列{an}中，
①已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
②已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an．
4
(1)4　[由题意则d＝4，
所以斜率k＝d＝4．]
(2)[解]　①由题意知解得
②设等差数列的公差为d，
由题意知解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*．
探究4　等差数列的判定与证明
[典例讲评]　4．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[思路引导]　先用an＋1表示bn＋1，再验证bn＋1－bn为常数，最后可求出数列{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：bn＋1－bn＝
＝＝＝＝．
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝．
∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2．
∴数列{an}的通项公式为an＝＋2．
[母题探究]　本例中若将条件改为“已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝．”求数列{an}的通项公式．
[解]　由an＋1＝两边取倒数，可得＝，即＝，所以＝，因此数列是公差为的等差数列．
因为a1＝2，所以＝，即数列是首项为，公差为的等差数列，因此＝(n－1)＝n，故an＝．
反思领悟　等差数列的三种判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) {an}为等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}为等差数列．
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*) {an}为等差数列．
如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
[学以致用]　4．(源自北师大版教材)判断下面数列是否为等差数列．
(1)an＝2n－1；(2)an＝(－1)n．
[解]　(1)由an＝2n－1，得an＋1＝2(n＋1)－1，于是an＋1－an＝[2(n＋1)－1]－(2n－1)＝2．
由n∈N*，知这个数列是等差数列．
(2)a2－a1＝1－(－1)＝2，a3－a2＝－1－1＝－2．
因为a2－a1≠a3－a2，所以这个数列不是等差数列．
2
4
3
题号
1
应用迁移
1．等差数列{an}中，a1＝2，a3＝8，则公差d＝(　　)
A．4　　B．3　　C．－4　　D．－3
√
B　[∵等差数列{an}中，a1＝2，a3＝8，
∴a3＝a1＋2d＝8，∴d＝3．故选B．]
2
3
题号
1
4
2．若2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，则实数a的值为(　　)
A．－　　B．　　C．　　D．5
√
D　[由2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，
得2×(2a＋1)＝a－1＋4a－2，解得a＝5．故选D．]
2
3
题号
4
1
3．(多选)下列命题中，正确的是(　　)
A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列
B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列
C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)
D．数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列
√
√
√
2
3
题号
4
1
BCD　[对于A，数列6，4，2，0的公差为－2，A错误；
对于B，数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列，所以B正确；
对于C，由等差数列与函数的关系知C正确．选项D显然正确．故选BCD．]
2
4
3
题号
1
4．在等差数列{an}中，首项为33，若第12项为0，则数列{an}的通项公式为______________．
an＝36－3n　[若a1＝33，a12＝0，则33＋11d＝0，得d＝－3，所以an＝33＋(n－1)×(－3)＝－3n＋36．]
an＝36－3n
1．知识链：(1)等差数列的有关概念．
(2)等差数列的通项公式．
(3)等差数列通项公式与函数的关系．
(4)等差数列的判定与证明．
2．方法链：方程组法、构造法、定义法．
3．警示牌：(1)在具体应用问题中项数不清．
(2)忽略等差数列通项公式与函数关系中d＝0的情况．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．等差数列的概念中，应从哪几个方面理解？
[提示]　任何两个数都一定有等差中项，有且只有一个，这个等差中项就是它们的算术平均数，即a与b的等差中项为．
[提示]　等差数列的概念是非常严密的，要抓住“从第2项起”“后项与前项的差”“同一个常数”三个关键点进行理解．
2．任何两个数都有等差中项吗？
3．如何判断数列为等差数列？
[提示]　判断一个数列为等差数列可用以下几种方法：①定义法：
an＋1－an＝常数；②等差中项法：an＋an＋2＝2an＋1；③通项法：即an＝dn＋b(d，b为常数)．
课时分层作业(三)　等差数列的概念及通项公式
题号
一、选择题
1．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为(　　)
A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
A　[由题意知an＝2n＋1，则an＋1－an＝2．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．已知{an}是等差数列，且a2＋1是a1和a4的等差中项，则{an}的公差为(　　)
A．1　　B．2　　C．－2　　D．－1
√
14
15
B　[由2(a1＋1＋d)＝a1＋a1＋3d，得公差d＝2．故选B．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．已知等差数列{an}满足4a3＝3a2，则{an}中一定为零的项是(　　)
A．a6　　B．a4　　C．a10　　D．a12
√
14
15
A　[由4a3＝3a2，得4(a1＋2d)＝3(a1＋d)，即a1＝－5d，
所以an＝a1＋(n－1)d＝－5d＋(n－1)d＝(n－6)d，所以a6＝0．
故选A．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．(多选)已知等差数列{an}的公差为－3，若a7＞0，a8＜0，则首项a1的值可能是(　　)
A．18　　B．19　　C．20　　D．21
√
14
15
BC　[由题意，可得∴18＜a1＜21．故选BC．]
√
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．在数列{an}中，a1＝1，a6＝，且数列是等差数列，则a16＝(　　)
A．7　　B．　　C．19　　D．
√
14
15
B　[设等差数列的公差为d，则＝＋5d，解得d＝，
故＝＋15d＝1＋6＝7，即a16＝．故选B．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
二、填空题
6．在正项等差数列{an}中，a3＝2，则公差d的取值范围是________．
14
15
[0，1)　[依题意可得a1＝a3－2d＝2－2d＞0，则d＜1，
又等差数列{an}各项为正，则d≥0，所以0≤d＜1．]
[0，1)
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
7．在等差数列中，第7项是80及第16项是26，则第34项为________．
14
15
－82　[设该数列为{an}，其公差为d，根据题意，有
解得a1＝116，d＝－6，所以第34项为a34＝a1＋33d＝116－33×6＝－82．]
－82
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
8．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，则a13＝________．
14
15
168　[由an＋1＝an＋2＋1，
得an＋1＋1＝(＋1)2，
∴＝＋1，
又a1＝0，∴{}是以1为首项，1为公差的等差数列，
则＝1＋(n－1)＝n，
所以an＝n2－1，所以a13＝168．]
168
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
三、解答题
9．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7．
(1)求数列的第10项；
(2)112是数列{an}的第几项？
(3)在80到110之间数列{an}有多少项？
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
[解]　设等差数列{an}的公差为d，
则解得
(1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25．
(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
由112＝3n－5，解得n＝39，39∈N*．
所以112是数列{an}的第39项．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
(3)由80＜3n－5＜110，解得28 ＜n＜38 ，
因为n∈N*，所以n的取值为29，30，…，38，共10个，即在80到110之间数列{an}有10项．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
10．记等差数列{an}的公差为d(d≥0)，若是与－2的等差中项，则d的值为(　　)
A．0　　B．　　C．1　　D．2
√
14
15
C　[等差数列{an}的公差为是与－2的等差中项，
－2＝＋(a1＋2d)2－2＝2(a1＋d)2，
解得d＝1(舍负)．故选C．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
11．设首项为的数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，且an＝－SnSn－1
(n≥2)，则b2 024等于(　　)
A．4 000　　B．2 024　　C．4 052　　D．4 048
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
C　[由bn＝，an＝－SnSn－1(n≥2)，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以Sn－Sn－1＝－SnSn－1，
可得＝(n≥2)，
又＝＝2，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，
所以＝2＋(n－1)×＝，得bn＝＝2n＋4，
所以b2 024＝2×2 024＋4＝4 052．故选C．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
12．设a＞0，b＞0，是a与b的等差中项，则的最小值为(　　)
A．3＋2　　 B．3－2
C．5　　 D．
√
14
15
A　[由是a与b的等差中项，得a＋b＝1，又a＞0，b＞0，
所以＝(a＋b)＝3＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，即a＝2－，b＝－1时，等号成立，
所以的最小值为3＋2．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
13．已知数列{an}的各项均为正数，a1＝2，an＋1－an＝，则an＝________．
14
15
2　[由题意，得＝＝4，所以数列}是以4为首项，4为公差的等差数列，所以＝4＋4(n－1)＝4n，则an＝2．]
2
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)．
(1)当a2＝－1时，求实数λ及a3；
(2)是否存在实数λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求出它的公差；若不存在，请说明理由．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
[解]　(1)因为a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，
所以λ＝．
所以a3＝－a2＋22＝．
(2)不存在．理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)，
所以a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16．
若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，即λ2－7λ＋13＝0．
因为Δ＝49－4×13＜0，所以方程无实数解．
所以不存在实数λ，使数列{an}为等差数列．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
15．已知数阵 中，每行、每列的四个数均成等差
数列，如果数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a22＝________．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
　[设第三行的四个数的公差为d3，因为a31＝1，a34＝7，所以a34＝a31＋3d3，解得d3＝2，所以a32＝1＋2＝3，因为第二列的四个数成等差数列，所以a22是a12，a32的等差中项，所以a22＝＝＝．]
14
15
THANKS课时分层作业(四)　等差数列的性质及应用
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a3＋a9＝26，则a3＋3a7＝(　　)
A．13 B．26 C．39 D．52
2．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝4π，则tan(a3＋a7)＝(　　)
A． B．－ C．－ D．
3．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有(　　)
A． B．}
C．{an＋1－an} D．{2an}
4．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a19＋a20＞0，a19a20＜0，则使an＞－a1成立的最大自然数n是(　　)
A．20 B．37 C．38 D．40
5．在等差数列{an}中，若a1－a4－a8－a12＋a15＝，则sin (a3＋a13)的值为(　　)
A． B．1 C．－1 D．0
二、填空题
6．已知数列{an}是等差数列，a9＝20，a20＝9，则这个数列的公差d＝________．
7．已知{an}为等差数列，a3＋a9＝28，则a13－a20＝________．
8．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a15＝________，若ak＝15，则k＝________．
三、解答题
9．若数列{bn}对任意n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．例如cn＝则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1＝a，对于任意n∈N*，都有an＋an＋1＝2n．
(1)求证：数列{an}为准等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
10．已知{an}和{bn}是两个等差数列，且(1≤k≤5)是常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3的值为(　　)
A．64 B．128 C．256 D．512
11．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝3n－1和bn＝4n－3，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合A∩{n|n≤2 024，n∈N*}中元素的个数为(　　)
A．166 B．168 C．169 D．170
12．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则m＋n的值为________．
13．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 024这2 024个数中，能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为________．
14．已知数列{an}满足a1＝2，a3＝8，且2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2) m∈N*，将数列{an}中落在区间(3 m，32m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的通项公式．
15．有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？
3/34.2　等差数列
4.2.1　等差数列的概念
第1课时　等差数列的概念及通项公式
[学习目标]　1．借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．(数学抽象)
2．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．(数学抽象)
3．会求等差数列的通项公式．(数学运算)
4．能利用等差数列的通项公式解决相关问题．(数学运算、数学建模)
(教师用书)
彗星是指进入太阳系内亮度和形状会随日距变化而变化的绕日运动的天体，星云雾状的独特外貌，其中最有名的当属哈雷彗星了．在过去300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682，1758，1834，1910，1986．通过这一组数据呈现的规律，你能预测哈雷彗星下一次出现的时间吗？
[讨论交流]　
问题1．等差数列的概念是什么？
问题2．等差中项的定义是什么？
问题3．等差数列的通项公式怎样表示？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　等差数列的概念
探究问题1　观察下列现实生活中的数列，回答下面的问题．
(1)我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，…．
(2)某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列：38，40，42，44，46，…．
(3)全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码(表示以cm为单位的鞋底的长度)由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5．
以上三个问题中的数蕴含三个数列，你能找到它们的共同规律吗？
[提示]　以(1)为例，2 029－2 017＝12，2 041－2 029＝12，2 053－2 041＝12，2 065－2 053＝12，2 077－2 065＝12，…，后项与前项的差为同一个常数，这个规律也适用于(2)(3)．
[新知生成]
等差数列 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
符号 语言 在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)(若an－an－1＝d，n≥2，n∈N*)成立，则称数列{an}为等差数列，常数d称为等差数列的公差
递推 公式 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)
【教用·微提醒】　(1)作差的起始项：“从第2项起”，因为第1项没有前一项；
(2)作差的顺序：“每一项与它的前一项的差”，即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒；
(3)等差的含义：“同一个常数”指所有的差都相等，即a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d；
(4)公差d的取值范围：可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列)，它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为(－∞，＋∞)．
[典例讲评]　1．判断下列数列是不是等差数列？如果是，写出首项a1和公差d．
(1)9，7，5，3，…，－2n＋11，…；
(2)－1，11，23，35，…，12n－13，…；
(3)1，2，4，6，8，10，…；
(4)a，a，a，a，a．
[解]　由等差数列的定义，得(1)(2)(4)为等差数列，(3)不是等差数列．
(1)中a1＝9，d＝－2，(2)中a1＝－1，d＝12，(4)中a1＝a，d＝0．
　利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列．
[学以致用]　1．下列数列：
①0，0，0，0；
②0，1，2，3，4；
③1，5，9，13；
④0，1，2，3，…．
其中一定是等差数列的有________个．
3　[①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．]
探究2　等差中项
探究问题2　若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列吗？反之，是不是也成立？
[提示]　若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．反之，若a，b，c成等差数列，则有2b＝a＋c成立．
[新知生成]
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b．
【教用·微提醒】　(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一．
(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝．
(3)等差数列{an}中，an是an－k与an＋k的等差中项，注意序号间的关系．
[典例讲评]　2．(1)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　　)
A．2　　　B．3　　　C．6　　　D．9
(2)已知1，x，y，10构成等差数列，则x，y的值分别为________．
(1)B　(2)4，7　[(1)由已知可得 m＋n＝6 ＝3．
(2)由已知，得x是1和y的等差中项，即2x＝1＋y①，
y是x和10的等差中项，即2y＝x＋10②，
由①②可得x＝4，y＝7．]
　等差中项应用策略
(1)求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝．
(2)证三个数成等差数列，只需证中间一个数为两边两数的等差中项，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列．
[学以致用]　2．lg (2＋)与lg (2－)的等差中项是________．
0　[等差中项为＝＝0．]
探究3　等差数列的通项公式
探究问题3　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？请结合等差数列的定义写出其符号表达式．
[提示]　设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，
思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…
归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．
当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d＝a1．
综上，an＝a1＋(n－1)d．
思路二：a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d，
左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．
当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d＝a1．
综上，an＝a1＋(n－1)d．
[新知生成]
1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d．
2．等差数列和一次函数的关系
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d．
3．由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公差d的影响．
(1)当d＞0时，数列为递增数列，如图1；
(2)当d＜0时，数列为递减数列，如图2；
(3)当d＝0时，数列为常数列，如图3．
【链接·教材例题】
例1　(1)已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}的公差和首项；
(2)求等差数列8，5，2，…的第20项．
分析：(1)已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an－an－1＝d即可求出公差d；(2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项．
[解]　(1)当n≥2时，由{an}的通项公式an＝5－2n，可得
an－1＝5－2(n－1)＝7－2n．
于是
d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2．
把n＝1代入通项公式an＝5－2n，得
a1＝5－2×1＝3．
所以，{an}的公差为－2，首项为3．
(2)由已知条件，得
d＝5－8＝－3．
把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得
an＝8－3(n－1)＝11－3n．
把n＝20代入上式，得
a20＝11－3×20＝－49．
所以，这个数列的第20项是－49．
【链接·教材例题】
例2　－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解．
[解]　由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为
an＝－5－4(n－1)＝－4n－1．
令－4n－1＝－401，
解这个关于n的方程，得
n＝100．
所以，－401是这个数列的项，是第100项．
[典例讲评]　3．(1)(多选)下列判断正确的是(　　)
A．等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列
B．若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)，则数列{an}是等差数列
C．等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率
D．若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0
(2)在等差数列{an}中，求解下列各题：
①已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝________；
②已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝________；
③已知公差为d，a3＝，a7＝－，则a15＝________．
(1)BCD　(2)①10　②－　③－　[(1)A项，公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列；B，C，D均正确．
(2)①由题意，得a1＋6×＝8，解得a1＝10．
②依题意可得
解得d＝－．
③由得解得
∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－．]
　1．等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数．这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
2．熟练掌握等差数列通项公式an＝dn＋(a1－d)＝kn＋b是关于n的一次函数型这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性．d＞0时，数列{an}为递增数列；d＝0时，数列{an}为常数列；d＜0时，数列{an}为递减数列．
[学以致用]　3．(1)已知数列{an}为等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线的斜率为________．
(2)在等差数列{an}中，
①已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
②已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an．
(1)4　[由题意则d＝4，
所以斜率k＝d＝4．]
(2)[解]　①由题意知
解得
②设等差数列的公差为d，
由题意知解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*．
探究4　等差数列的判定与证明
[典例讲评]　4．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[思路引导]　先用an＋1表示bn＋1，再验证bn＋1－bn为常数，最后可求出数列{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：bn＋1－bn＝
＝＝＝＝．
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝．
∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2．
∴数列{an}的通项公式为an＝＋2．
[母题探究]　本例中若将条件改为“已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝．”求数列{an}的通项公式．
[解]　由an＋1＝两边取倒数，可得＝，即＝，所以＝，因此数列是公差为的等差数列．
因为a1＝2，所以＝，即数列是首项为，公差为的等差数列，因此＝(n－1)＝n，故an＝．
　等差数列的三种判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) {an}为等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}为等差数列．
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*) {an}为等差数列．
如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
[学以致用]　4．(源自北师大版教材)判断下面数列是否为等差数列．
(1)an＝2n－1；
(2)an＝(－1)n．
[解]　(1)由an＝2n－1，得an＋1＝2(n＋1)－1，于是an＋1－an＝[2(n＋1)－1]－(2n－1)＝2．
由n∈N*，知这个数列是等差数列．
(2)a2－a1＝1－(－1)＝2，a3－a2＝－1－1＝－2．
因为a2－a1≠a3－a2，所以这个数列不是等差数列．
1．等差数列{an}中，a1＝2，a3＝8，则公差d＝(　　)
A．4 B．3 C．－4 D．－3
B　[∵等差数列{an}中，a1＝2，a3＝8，
∴a3＝a1＋2d＝8，∴d＝3．故选B．]
2．若2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，则实数a的值为(　　)
A．－ B． C． D．5
D　[由2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，
得2×(2a＋1)＝a－1＋4a－2，解得a＝5．故选D．]
3．(多选)下列命题中，正确的是(　　)
A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列
B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列
C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)
D．数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列
BCD　[对于A，数列6，4，2，0的公差为－2，A错误；
对于B，数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列，所以B正确；
对于C，由等差数列与函数的关系知C正确．选项D显然正确．故选BCD．]
4．在等差数列{an}中，首项为33，若第12项为0，则数列{an}的通项公式为________．
an＝36－3n　[若a1＝33，a12＝0，则33＋11d＝0，得d＝－3，所以an＝33＋(n－1)×(－3)＝－3n＋36．]
1．知识链：(1)等差数列的有关概念．
(2)等差数列的通项公式．
(3)等差数列通项公式与函数的关系．
(4)等差数列的判定与证明．
2．方法链：方程组法、构造法、定义法．
3．警示牌：(1)在具体应用问题中项数不清．
(2)忽略等差数列通项公式与函数关系中d＝0的情况．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．等差数列的概念中，应从哪几个方面理解？
[提示]　等差数列的概念是非常严密的，要抓住“从第2项起”“后项与前项的差”“同一个常数”三个关键点进行理解．
2．任何两个数都有等差中项吗？
[提示]　任何两个数都一定有等差中项，有且只有一个，这个等差中项就是它们的算术平均数，即a与b的等差中项为．
3．如何判断数列为等差数列？
[提示]　判断一个数列为等差数列可用以下几种方法：①定义法：an＋1－an＝常数；②等差中项法：an＋an＋2＝2an＋1；③通项法：即an＝dn＋b(d，b为常数)．
课时分层作业(三)　等差数列的概念及通项公式
一、选择题
1．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为(　　)
A．公差为2的等差数列
B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列
D．非等差数列
A　[由题意知an＝2n＋1，则an＋1－an＝2．故选A．]
2．已知{an}是等差数列，且a2＋1是a1和a4的等差中项，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2 C．－2 D．－1
B　[由2(a1＋1＋d)＝a1＋a1＋3d，得公差d＝2．故选B．]
3．已知等差数列{an}满足4a3＝3a2，则{an}中一定为零的项是(　　)
A．a6 B．a4 C．a10 D．a12
A　[由4a3＝3a2，得4(a1＋2d)＝3(a1＋d)，即a1＝－5d，
所以an＝a1＋(n－1)d＝－5d＋(n－1)d＝(n－6)d，所以a6＝0．
故选A．]
4．(多选)已知等差数列{an}的公差为－3，若a7＞0，a8＜0，则首项a1的值可能是(　　)
A．18 B．19 C．20 D．21
BC　[由题意，可得∴18＜a1＜21．故选BC．]
5．在数列{an}中，a1＝1，a6＝，且数列是等差数列，则a16＝(　　)
A．7 B． C．19 D．
B　[设等差数列的公差为d，则＝＋5d，解得d＝，
故＝＋15d＝1＋6＝7，即a16＝．故选B．]
二、填空题
6．在正项等差数列{an}中，a3＝2，则公差d的取值范围是________．
[0，1)　[依题意可得a1＝a3－2d＝2－2d＞0，则d＜1，
又等差数列{an}各项为正，则d≥0，所以0≤d＜1．]
7．在等差数列中，第7项是80及第16项是26，则第34项为________．
－82　[设该数列为{an}，其公差为d，根据题意，有
解得a1＝116，d＝－6，所以第34项为a34＝a1＋33d＝116－33×6＝－82．]
8．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，则a13＝________．
168　[由an＋1＝an＋2＋1，
得an＋1＋1＝(＋1)2，
∴＝＋1，
又a1＝0，
∴{}是以1为首项，1为公差的等差数列，
则＝1＋(n－1)＝n，
所以an＝n2－1，所以a13＝168．]
三、解答题
9．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7．
(1)求数列的第10项；
(2)112是数列{an}的第几项？
(3)在80到110之间数列{an}有多少项？
[解]　设等差数列{an}的公差为d，
则解得
(1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25．
(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
由112＝3n－5，解得n＝39，39∈N*．
所以112是数列{an}的第39项．
(3)由80＜3n－5＜110，解得28＜n＜38，
因为n∈N*，所以n的取值为29，30，…，38，共10个，即在80到110之间数列{an}有10项．
10．记等差数列{an}的公差为d(d≥0)，若是与－2的等差中项，则d的值为(　　)
A．0 B． C．1 D．2
C　[等差数列{an}的公差为是与－2的等差中项，
－2＝＋(a1＋2d)2－2＝2(a1＋d)2，
解得d＝1(舍负)．故选C．]
11．设首项为的数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，且an＝－SnSn－1(n≥2)，则b2 024等于(　　)
A．4 000 B．2 024 C．4 052 D．4 048
C　[由bn＝，an＝－SnSn－1(n≥2)，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以Sn－Sn－1＝－SnSn－1，
可得＝(n≥2)，
又＝＝2，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，
所以＝2＋(n－1)×＝，得bn＝＝2n＋4，
所以b2 024＝2×2 024＋4＝4 052．故选C．]
12．设a＞0，b＞0，是a与b的等差中项，则的最小值为(　　)
A．3＋2 B．3－2
C．5 D．
A　[由是a与b的等差中项，得a＋b＝1，又a＞0，b＞0，
所以＝(a＋b)＝3＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，即a＝2－，b＝－1时，等号成立，
所以的最小值为3＋2．]
13．已知数列{an}的各项均为正数，a1＝2，an＋1－an＝，则an＝________．
2　[由题意，得＝＝4，所以数列}是以4为首项，4为公差的等差数列，所以＝4＋4(n－1)＝4n，则an＝2．]
14．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)．
(1)当a2＝－1时，求实数λ及a3；
(2)是否存在实数λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求出它的公差；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)因为a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，
所以λ＝．
所以a3＝－a2＋22＝．
(2)不存在．理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)，
所以a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16．
若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，即λ2－7λ＋13＝0．
因为Δ＝49－4×13＜0，所以方程无实数解．
所以不存在实数λ，使数列{an}为等差数列．
15．已知数阵中，每行、每列的四个数均成等差数列，如果数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a22＝________．
　[设第三行的四个数的公差为d3，因为a31＝1，a34＝7，所以a34＝a31＋3d3，解得d3＝2，所以a32＝1＋2＝3，因为第二列的四个数成等差数列，所以a22是a12，a32的等差中项，所以a22＝＝＝．]
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第2课时　等差数列的性质及应用
第四章　数列
4.2　等差数列
4.2.1　等差数列的概念
整体感知
[学习目标]　1．能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与项有关的性质．(逻辑推理)
2．能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(逻辑推理、数学运算)
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应问题．(数学建模、数学运算)
(教师用书)
《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得构成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位)
[讨论交流]　
问题1．等差数列的子数列是如何定义的？
问题2．等差数列的子数列有什么样的性质？
问题3．等差数列的任意两项间有什么样的数量关系？
问题4．等差数列的“下标和”性质是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
[提示]　由an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋(m－1)d，两式相减得an－am＝(n－m)d，即an＝am＋(n－m)d．
探究1　等差数列的性质
探究问题　已知an，am是等差数列{an}中的任意两项，你能利用通项公式建立两者之间的关系吗？
[新知生成]
等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝_______．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak．
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的__，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
ap＋aq
和
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为____数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为__的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为____的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为_________的等差数列．
等差
d
cd
2d
pd1＋qd2
【教用·微提醒】　(1){an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q不一定成立，如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4．
(2)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同．
【链接·教材例题】
例5　已知数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t．求证ap＋aq＝as＋at．
分析：只要根据等差数列的定义写出ap，aq，as，at，再利用已知条件即可得证．
[证明]　设数列{an}的公差为d，则
ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，
as＝a1＋(s－1)d，at＝a1＋(t－1)d．
所以
ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，
as＋at＝2a1＋(s＋t－2)d．
因为p＋q＝s＋t，
所以ap＋aq＝as＋at．
[典例讲评]　1．(1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值．
(2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值．
(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值．
[解]　(1)法一：设{an}的公差为d，
则解得
故a25＝a1＋24d＝4＋24×＝40．
法二：因为5＋25＝2×15，所以在等差数列{an}中有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40．
法三：因为5，15，25成等差数列，所以a5，a15，a25也成等差数列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40．
(2)由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28．
(3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，设其公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41．
[母题探究]　本例(1)中条件变为“已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8”，求5a4＋a7的值．
[解]　法一：设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，
所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24．
法二：在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，
∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7．
又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5，
∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24．
反思领悟　(1)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．
(2)等差数列运算的两种常用思路
①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar．
[学以致用]　1．(1)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________．
(2)已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________．
27
12n－1
25
(1)27　(2)12n－1　25　[(1)法一：由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，
所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27．
法二：设等差数列{an}的公差为d，
则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，
解得d＝－2，
所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27．
(2)由于数列{an}和{bn}都是等差数列，
所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，
又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1．
又a100＝302，b100＝399，
所以
解得1≤n≤25．故{cn}的项数为25．]
探究2　等差数列中项的设法
[典例讲评]　2．(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为
－8，求这四个数．
[解]　(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则
解得所以这三个数为4，3，2．
(2)设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意得2a＝2且(a－3d )(a＋3d )＝－8，
即a＝1，a2－9d 2＝－8，
所以d 2＝1，所以d＝1或d＝－1．
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，
所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4．
反思领悟　等差数列的设项方法和技巧
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式．
(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d．若有5项、7项……可同理设出．
(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d．若有6项、8项……可同理设出．
[学以致用]　2．已知成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为40，求这四个数．
[解]　设这四个数依次是a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(a，d∈R)．
可得
解得或
所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2．
【链接·教材例题】
例3　某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d万元(d为正常数)．已知这台设备的安全使用年限为10年，第11年期间，它的价值将低于购进价值的5%，设备需在这年年初报废．请确定d的取值范围．
探究3　等差数列的实际应用
分析：这台设备使用满n年时的价值构成一个数列{an}．由题意可知，使用满10年时，这台设备的价值应不小于(220×5%＝)11万元；而第11年年底，这台设备的价值应小于11万元．可以利用{an}的通项公式列不等式求解．
[解]　设使用满n年时，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．由已知条件，得an＝an－1－d(n≥2)．
由于d是与n无关的常数，所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列．因为购进设备的价值为220万元，所以a1＝220－d，于是
an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd．
根据题意，得即解这个不等式组，得
19＜d≤20.9．
所以，d的取值范围为19＜d≤20.9．
[典例讲评]　3．《周髀算经》是中国古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为(　　)
A．15.5尺　　　　　　　 B．12.5尺
C．9.5尺　　 D．6.5尺
√
D　[设该等差数列为{an}，冬至、小寒、大寒……芒种的日影子长分别记为a1，a2，a3，…，a12，公差为d，由题意可得，
即
解得
所以立夏的日影子长为a10＝a1＋9d＝6.5(尺)．]
反思领悟　解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
(1)解答等差数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意．②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题．③判型，即判断该数列是否为等差数列．④求解，即求出该问题的数学解．⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中．
(2)解决等差数列实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．
[学以致用]　3．(源自北师大版教材)一个木制梯形架的上、下两底边分别为33 cm，75 cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级．试计算梯形架间各级的宽度．
[解]　记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为{an}，则由梯形中位线的性质，易知相邻三项均成等差数列，即数列{an}成等差数列．依题意，有
a1＝33 cm，a7＝75 cm．
现要求a2，a3，…，a6，即中间5级的宽度．
依等差数列的定义，有
d＝＝＝7(cm)，
所以a2＝33＋7＝40(cm)，a3＝40＋7＝47(cm)，a4＝47＋7＝54(cm)，a5＝54＋7＝61(cm)，a6＝61＋7＝68(cm)．
因此，梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40 cm，47 cm，54 cm，
61 cm，68 cm．
2
4
3
题号
1
应用迁移
1．在等差数列{an}中，a4＋a6＋a8＋a10＝22，则a1＋a13的值为(　　)
A．－11　　B．11　　C．22　　D．33
√
B　[由等差数列的性质可知，a4＋a10＝a6＋a8＝a1＋a13，又因为a4＋a6＋a8＋a10＝22，所以2(a1＋a13)＝22，即a1＋a13＝11．故选B．]
2
3
题号
1
4
2．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有(　　)
A． B．}
C．{an＋1＋an}　　 D．{2an＋n}
√
ACD　[设等差数列{an}的公差为d，当n≥2时，an－an－1＝d．对于A，an＋1＋3－(an＋3)＝an＋1－an＝d，为常数，因此{an＋3}是等差数列；对于＝(an＋1＋an)(an＋1－an)＝d[2a1＋(2n－1)d]，不为常数，因此}不是等差数列；对于C，(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝an＋2－an＝2d，为常数，因此{an＋1＋an}是等差数列；对于D，2an＋1＋(n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1，为常数，因此{2an＋n}是等差数列．]
√
√
2
3
题号
4
1
3．已知等差数列{an}满足a2＝4，a5＝10，则公差d＝________．
2　[因为{an}是等差数列，所以公差d＝＝＝2．]
2
2
4
3
题号
1
4．若数列{2an＋1}是等差数列，其公差d＝1，且a3＝5，则a10＝________．
　[因为{2an＋1}是等差数列，则2a10＋1＝2a3＋1＋7d＝18，所以a10＝．]
课时分层作业(四)　等差数列的性质及应用
题号
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a3＋a9＝26，则a3＋3a7＝(　　)
A．13　　B．26　　C．39　　D．52
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
D　[因为{an}是等差数列，
所以a3＋a9＝2a6＝26，解得a6＝13，
所以a3＋3a7＝a3＋a7＋2a7＝2(a5＋a7)＝4a6＝52．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝4π，则tan(a3＋a7)＝(　　)
A．　　B．－　　C．－　　D．
√
14
15
C　[∵数列{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝4π＝3a5，∴a5＝，则tan (a3＋a7)＝tan 2a5＝tan ＝tan ＝－tan ＝－．
故选C．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有(　　)
A． B．}
C．{an＋1－an}　　 D．{2an}
√
14
15
√
√
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
ACD　[设等差数列{an}的公差为d．
对于A，(an＋an＋2)－(an－1＋an＋1)＝(an－an－1)＋(an＋2－an＋1)＝2d(n≥2)，所以{an＋an＋2}是以2d为公差的等差数列；
对于＝＝．因为不一定为常数，所以}不一定是等差数列；
对于C，因为an＋1－an＝d，所以{an＋1－an}为等差数列；
对于D，因为2an＋1－2an＝2d，所以{2an}为等差数列．]
14
15
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a19＋a20＞0，a19a20＜0，则使an＞－a1成立的最大自然数n是(　　)
A．20　　B．37　　C．38　　D．40
√
14
15
C　[因为{an}是等差数列，a19＋a20＞0，a19a20＜0，所以a19，a20异号，所以{an}非常数等差数列而是单调数列，又a1＞0，所以a19＞0，a20＜0，由a19＋a20＞0 a1＋a38＞0，由a20＜0 2a20＜0 a1＋a39＜0，因此使an＞－a1成立的最大自然数n是38．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．在等差数列{an}中，若a1－a4－a8－a12＋a15＝，则sin (a3＋a13)的值为(　　)
A．　　B．1　　C．－1　　D．0
√
14
15
C　[由等差数列的性质可知，a1＋a15＝a4＋a12，
则a1－a4－a8－a12＋a15＝－a8＝，解得a8＝－，∵a3＋a13＝2a8，∴sin (a3＋a13)＝sin (2a8)＝sin ＝－1．故选C．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
二、填空题
6．已知数列{an}是等差数列，a9＝20，a20＝9，则这个数列的公差d＝________．
14
15
－1　[等差数列{an}中，a9＝20，a20＝9，所以公差d＝＝＝－1．]
－1
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
7．已知{an}为等差数列，a3＋a9＝28，则a13－a20＝________．
14
15
7　[设等差数列{an}的公差为d，
因为{an}为等差数列，a3＋a9＝28，所以a6＝＝14．
所以a13－a20＝(a1＋12d)－(a1＋19d)＝(a1＋5d)＝a6＝7．]
7
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
8．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a15＝______，若ak＝15，则k＝________．
14
15
11　21　[∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝．
又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7．
故d＝＝＝．
∴a15＝a9＋(15－9)d＝7＋6×＝11，∵ak＝a9＋(k－9)d＝15，∴15－7＝(k－9)×，∴k＝21．]
11
21
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
三、解答题
9．若数列{bn}对任意n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．例如cn＝则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1＝a，对于任意n∈N*，都有an＋an＋1＝2n．
(1)求证：数列{an}为准等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
[解]　(1)证明：因为an＋an＋1＝2n(n∈N*)①，
所以an＋1＋an＋2＝2(n＋1)②，
②－①得an＋2－an＝2(n∈N*)，
所以数列{an}是公差为2的准等差数列．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
(2)因为a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，
所以a1＋a2＝2×1，即a2＝2－a．
因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以2－a为首项，2为公差的等差数列，所以当n为奇数时，an＝a＋×2＝n＋a－1，
当n为偶数时，an＝2－a＋×2＝n－a，
所以an＝
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10．已知{an}和{bn}是两个等差数列，且(1≤k≤5)是常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3的值为(　　)
A．64　　B．128　　C．256　　D．512
√
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B　[由题意可得＝，则b5＝64，故b3＝＝＝128．]
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11．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝3n－1和bn＝4n－3，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合A∩{n|n≤2 024，n∈N*}中元素的个数为(　　)
A．166　　B．168　　C．169　　D．170
√
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C　[由题意可知，数列{an}为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…，数列{bn}为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，…，
将集合A中的元素由小到大进行排序，构成数列{cn}为5，17，29，…，
易知数列{cn}是首项为5，公差为12的等差数列，则cn＝5＋12(n－1)＝12n－7．
由cn＝12n－7≤2 024，可得n≤169＋，因此，集合A∩{n|n≤
2 024，n∈N*}中元素的个数为169．故选C．]
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12．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则m＋n的值为________．
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　[设方程x2－x＋m＝0 的根是x1，x2，方程x2－x＋n＝0 的根是x3，x4，
∴x1＋x2＝1，x3＋x4＝1，四个根组成等差数列，不妨设为x1，x3，x4，x2，
则x1＝，于是x2＝，m＝x1x2＝，
d＝＝＝，因此x3＝＝，x4＝＝，
∴n＝x3x4＝，m＋n＝＝．]
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13．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 024这2 024个数中，能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为________．
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135　[因为能被3除余1且被5除余1的数即为能被15除余1的数，故an＝15n－14(n∈N*)，又an≤2 024，解得n＝135．]
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14．已知数列{an}满足a1＝2，a3＝8，且2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2) m∈N*，将数列{an}中落在区间(3 m，32m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的通项公式．
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[解]　(1)当n≥2时，an＋1－an＝an－an－1，∴{an}为等差数列，设公差为d．
∵a3－a1＝6＝2d，∴d＝3，∴an＝2＋3(n－1)＝3n－1．
(2)由(1)得3m＜3n－1＜32m，∴3m-1＋＜n＜32m-1＋，∴n＝3m-1＋1，3m-1＋2，3m-1＋3，…，32m-1，∴bm＝32m-1－3m-1．
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15．有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？
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[解]　设某单位需购买电视机n台．
在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，
由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，
即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元；
购买台数超过18台时，每台售价440元．
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到乙商场购买时，
每台售价为800×75%＝600(元)．
比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n)n－600n＝20n(10－n)．
当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少；
当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；
当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少；
当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少．
因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机为10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少．
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