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第1课时　数列的概念与简单表示法
第四章　数列
4.1　数列的概念
整体感知
[学习目标]　1．借助实例了解数列的相关概念．(数学抽象)
2．理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的任意项．(逻辑推理)
3．理解数列与函数的关系，能根据数列的前几项写出数列的通项公式．(数学运算、逻辑推理)
(教师用书)
某种树木的分枝生长规律如图所示，你能预计到第6年时，树木的分枝数是多少吗？
年份 1 2 3 4 5 6
分枝数 1 1 2 3 5 ？
[讨论交流]　
问题1．数列的概念是什么？
问题2．什么是数列的通项公式？
问题3．数列与函数之间有什么关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　数列的概念与分类
探究问题1　观察以下几列数：
(1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807．
(2)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2025，2025，…，2025．
(3)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：“7，0，2，5，7，0，2，5，…．”
(4)－2的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－2，4，－8，16，…．
你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？
[提示]　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：(1)(2)项数有限，(3)(4)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)项没有发生变化，(3)项呈现周期性的变化，(4)项的大小交替变化．
[新知生成]
1．数列的概念
(1)一般地，我们把按照__________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的__．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第__项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第__项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用____表示．其中第1项也叫做____．
(2)数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为____．
确定的顺序
项
1
2
an
首项
{an}
2．数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的 个数　 有穷数列 项数____的数列
无穷数列 项数____的数列
按项的 变化趋势　　 递增数列 从第2项起，每一项都____它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都____它的前一项的数列
有限
无限
大于
小于
分类标准 名称 含义
按项的 变化趋势　　 常数列 各项都____的数列
周期数列 项呈现周期性变化
摆动数列 从第2项起，有些项____它的前一项，有些项____它的前一项
相等
大于
小于
【教用·微提醒】　(1)数列不同于集合，其中的项既有顺序，又可重复．
(2){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项，小写字母a也可以换成其他小写字母．
(3)递增(减)数列要确保从第2项起每一项均大于(小于)前一项，不能有例外．
[典例讲评]　1．已知下列数列：
(1)2 016，2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2 024；
(2)1，，…，，…；
(3)1，－，…，，…；
(4)1，0，－1，…，sin ，…；
(5)2，4，8，16，32，…；
(6)－1，－1，－1，－1．
其中，有穷数列是______，无穷数列是___________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________．(填序号)
(1)(6)
(2)(3)(4)(5)
(1)(5)
(2)
(6)
(1)(6)　(2)(3)(4)(5)　(1)(5)　(2)　(6)[(1)是有穷数列且是递增数列；(2)是无穷、递减数列；(3)是无穷数列；(4)是无穷数列；(5)是递增数列且是无穷数列；(6)是有穷数列且是常数列．]
反思领悟　数列的判定方法及其分类
(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；
(2)判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而判断它是有穷还是无穷数列，则看项的个数是有限的还是无限的．
[学以致用]　1．给出下列数列：
(1)1，2，22，23，24，…，263；
(2)－，－，－，…，－，…；
(3)1，2，3，…，10 000；
(4)－1，1，－1，1，－1，1，…；
(5)1，2，3，5，8，13，21，…；
(6)，…．
其中，________为有穷数列，____________为无穷数列，________为递增数列，________为递减数列，________为常数列．(填序号)
(1)(3)
(2)(4)(5)(6)
(1)(3)(5)
(2)
(6)
(1)(3)　(2)(4)(5)(6)　(1)(3)(5)　(2)　(6)　[根据数列的分类，容易得到，(1)(3)为有穷数列，(2)(4)(5)(6)为无穷数列，(1)(3)(5)为递增数列，(2)为递减数列，(6)为常数列．]
探究2　数列的通项公式
探究问题2　我们发现探究问题1中的(1)(2)(4)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？
[提示]　对于(1)，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈{1，2，3，4，5}；
对于(2)，an＝2 025，n∈{x|x是本班学生的学号}；
对于(4)，an＝，n∈N*．
[新知生成]
如果数列{an}的第n项an与它的______之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．表达形式为an＝f (n)．
【教用·微提醒】　数列的通项公式可能有多个，也可能不存在．
序号n
【链接·教材例题】
例2　根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
(1)1，－，－，…；(2)2，0，2，0，…．
[解]　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝．
(2)这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n+1＋1．
[典例讲评]　2．已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)9，99，999，9 999，…；
(3)－，－，－，…；
(4)1，2，1，2，1，2，…．
[解]　(1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1．
(2)各项加上1后，数列变成10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项为10n，故原数列的通项公式为an＝10n－1．
(3)数列的符号负正相间，可用(－1)n调整，分数的分子依次为自然数，而分母则是分子加上1后的平方，故可表示为，所以该数列的通项公式为an＝(－1)n．
(4)法一：可写成分段函数形式：
an＝
法二：an＝＝，
即an＝．
[母题探究]　(1)根据本例中的第(2)题，试写出前4项为3，33，333，3 333的一个通项公式．
(2)试写出前4项为0.9，0.99，0.999，0.999 9的一个通项公式．
[解]　(1)由本例中的第(2)题可知，每一项乘即可，即an＝(10n－1)，n∈N*．
(2)因为a1＝1－0.1；a2＝1－0.01＝1－(0.1)2；
a3＝1－0.001＝1－(0.1)3；a4＝1－0.000 1＝1－(0.1)4，
所以an＝1－(0.1)n，n∈N*．
反思领悟　根据数列的前几项求其通项公式的方法
(1)先统一各项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．
(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或
(－1)n+1调整．
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
[学以致用]　2．(源自人教B版教材)写出以下各数列{an}的一个通项公式．
(1)2，4，6，8，10，…；
(2)1，3，5，7，9，…；
(3)0，2，0，2，0，…；
(4)－，－，－，…．
[解]　(1)观察数列的前5项可知，每一项都是序号的2倍，因此数列的一个通项公式为an＝2n．
(2)因为这个数列每一项都比(1)中数列的对应项小1，因此数列的一个通项公式为an＝2n－1．
(3)因为数列的第1，3，5，…项都是0，而第2，4，…项都是2，因此它的一个通项公式为
an＝
(4)忽略正负号时，数列每一项的分子构成的数列是2，4，6，8，10，…，其中每一个数都是序号的2倍；数列每一项的分母都是分子的平方减去1．又因为负号、正号是交替出现的，因此它的一个通项公式为an＝(－1)n．
探究3　数列与函数的关系
探究问题3　回顾函数的表示方法：列表法、图象法、解析法，并思考：数列可以用上述方法表示吗？
[提示]　可以．但是对于解析法来说，数列不同于连续函数的表示，需要重新作定义．
[新知生成]
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表：
定义域 ____________(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式 数列的通项公式
值域 自变量从1开始，按照______________________时，对应的一列函数值构成
表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)______；(3)______
正整数集N*
从小到大的顺序依次取值
列表法
图象法
【链接·教材例题】
例1　根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．
(1)an＝；(2)an＝cos ．
[解]　(1)当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为1，3，6，10，15．
图象如图4.1-2(1)所示．

(2)当通项公式中的n＝1，2，
3，4，5时，数列{an}的前5项依次为1，0，－1，0，1．
图象如图4.1-2(2)所示．
[典例讲评]　3．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n(n∈N*)，画出它在x轴上方的图象，根据图象求出an的最大值，并在同一平面直角坐标系中画出函数f (x)＝－2x2＋13x的图象，根据图象求出f (x)的最大值，并与an的最大值比较．若用函数来求an＝－2n2＋13n的最大值，应如何处理？
[解]　由－2n2＋13n＞0，可得0＜n＜．
又因为n∈N*，所以n＝1，2，3，4，5，6，分别代入通项公式an，可得a1＝11，a2＝18，a3＝21，a4＝20，a5＝15，a6＝6，
图象为如图所示中的点，
根据图象得a3最大，且a3＝21．
因为f (x)＝－2x2＋13x＝－2＋，
当x＝时，f (x)max＝．
f (x)的图象是如图所示的抛物线，显然＞21．
因为3＜＜4，且离3较近，所以当n＝3时，an取到最大值a3＝－2×32＋13×3＝21．
【教用·备选题】　已知函数f (x)＝2x－2－x，数列{an}满足f (log2an)＝－2n．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论．
[解]　(1)∵f (x)＝2x－2－x，f (log2an)＝
＝－2n，∴an－＝－2n，
＋2nan－1＝0，解得an＝－n±．
∵an＞0，∴an＝－n．
(2)数列{an}是递减数列，理由如下：
∵＝＝＜1，an＞0，
∴an＋1＜an，∴数列{an}是递减数列．
反思领悟　求数列最值的方法
(1)函数的单调性法：令an＝f (n)，通过研究f (n)的单调性来研究最大(小)项．
(2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足
(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值．
[学以致用]　3．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)
A．　　　B．　　　C．4　　　D．0
√
D　[an＝－3＋，由二次函数的性质，得当n＝2或3时，an最大，最大值为0．]
【链接·教材例题】
例3　如果数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
分析：要判断120是不是数列{an}中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得n2＋2n＝120．也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解．
探究4　数列通项公式的应用
[解]　令n2＋2n＝120，
解这个关于n的方程，得
n＝－12(舍去)，或n＝10．
所以，120是数列{an}的项，是第10项．
[典例讲评]　4．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n．
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49是不是该数列的一项？如果是，是哪一项？68是不是该数列的一项呢？
(3)数列{an}中有多少个负数项？
[思路引导]　(1)已知数列的通项公式，将n＝4，n＝6分别代入通项公式可求得a4和a6的值．
(2)假设－49与68是数列中的项．建立n的方程，求出结果观察n是否为正整数即可．
(3)令an＜0，解出n的范围，进而求n．
[解]　(1)a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60．
(2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，
所以n＝7，即－49是该数列的第7项．
令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2．
因为 N*，－2 N*，所以68不是该数列的项．
(3)an＝n(3n－28)，令an＜0，结合n∈N*，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项．
反思领悟　求项或判断某数是否为数列的项的方法
(1)如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以求出数列中的指定项．
(2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项．
[学以致用]　4．数列的第5项为(　　)
A．0 B．－1 C． D．－
C　[由题意，可知数列的第5项为(－1)5cos ＝－1×
＝．故选C．]
√
2
4
3
题号
1
应用迁移
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)
A．1，，…
B．－1，－2，－3，－4
C．－1，－，－，－，…
D．1，，…，
√
C　[A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．]
2
3
题号
1
4
2．数列，…的一个通项公式可以是(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
√
D　[根据题意，数列，…，
即，…，
故该数列的一个通项公式可以为．故选D．]
2
3
题号
4
1
3．(多选)下面四个结论中正确的是(　　)
A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})到实数集上的函数
B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C．数列2，4，6，8可表示为{2，4，6，8}
D．对所有的n∈N*，都有an＋3＝an，则数列{an}是以3为周期的周期数列
ABD　[{2，4，6，8}表示一个集合，不是数列，C项错误；ABD正确．故选ABD．]
√
√
√
2
4
3
题号
1
4．已知数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3等于________．
20　[根据题意，数列{an}的通项公式为
an＝
则a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，则a2·a3＝20．]
20
1．知识链：(1)数列的概念与分类．
(2)数列的通项公式．
(3)数列与函数的关系．
2．方法链：观察法、归纳法、联想转化法．
3．警示牌：(1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面．
(2)不注意用(－1)n或(－1)n+1进行调节，不注意分子、分母间的联系．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．数列是怎样定义的？数列中的项具有什么特点？
[提示]　按项数可分为：有穷数列和无穷数列．
按项的变化趋势可以分为：递增数列、周期数列、递减数列、常数列和摆动数列．
相等数列是指项数相等，对应项也相等的数列．
[提示]　数列是按确定的顺序排列的一列数．数列中的项有三个特征：有序性、确定性和可重复性．
2．你是如何对数列进行分类的？相等数列应具备什么条件？
3．所有数列都能写出它的通项公式吗？当数列确定后，它的通项公式唯一吗？你能否各举出一个例子？
[提示]　并不是所有数列都能写出通项公式，如π的近似值数列：3，3.1，3.14，3.141，3.141 5，3.141 59，…．
当数列确定后，它的通项公式也不一定唯一．如数列1，－1，1，－1，1，－1，
…，可以用an＝
也可以用an＝(－1)n+1，an＝sin ，an＝cos [(n－1)π]表示．
课时分层作业(一)　数列的概念与简单表示法
题号
1．是数列，…的(　　)
A．第6项　　B．第7项　　C．第8项　　D．第9项
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
A　[由题意可知，该数列为，…，
故是数列，…的第6项．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．数列－，…的一个通项公式为an＝(　　)
A．(－1)n· B．(－1)n+1·
C．(－1)n· D．(－1)n+1·
√
14
15
C　[通过观察可知，a1＜0，(－1)1＝－1，(－1)2＝1，所以BD选项错误．
对比AC选项，注意到数列的分母的间隔不是常数5，所以A选项错误．
故选C．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．下列说法中正确的是(　　)
A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
B．数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列
C．数列的第k项为1＋
D．数列0，2，4，6，…可记为{2n}
√
14
15
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
C　[对于A，常数列既不是递增数列也不是递减数列，故A错误；
对于B，数列是按顺序排列的，故B说法错误；
对于C，数列的第k项是1＋，故C正确；
对于D，数列中的第1项无法用an＝2n(n∈N*)表示，故D错误．
故选C．]
14
15
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．已知数列{an}的通项公式为an＝2n-1－1，则下列各数是{an}中的项的是(　　)
A．2 047　　B．2 048　　C．2 044　　D．2 041
√
14
15
A　[分别令2n-1－1等于选项中给出的4个数，只有A选项中，求得的n为正整数．故选A．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn，那么“k≥－2”是“{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
√
14
15
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
A　[当k≥－2时，an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－n2－kn＝2n＋1＋k≥2n－1≥1＞0，
∴数列{an}为递增数列，即由“k≥－2”可以推出“{an}为递增数列”，
当数列{an}为递增数列时，an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－n2－kn＝2n＋1＋k＞0，
∴k＞－(2n＋1)恒成立，又[－(2n＋1)]max＝－(2×1＋1)＝－3，
∴k＞－3，即由“{an}为递增数列”推不出“k≥－2”，
∴“k≥－2”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
故选A．]
14
15
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
二、填空题
6．已知数列{an}的通项公式为an＝，则a10＝________，若an＝，则n＝________．
14
15
　12　[，
由，得n(n＋2)＝168，解得n＝12(负值舍去)．]
12
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
7．数列－，…的一个通项公式是an＝________．
14
15
　[＝(－1)1×＝(－1)2×＝(－1)3×
＝(－1)4×，所以一个通项公式是an＝．]
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
8．已知数列{an}的通项公式为an＝，则an的最小值为________，此时n的值为________．
14
15
　3　[依题意，an＝
当n≤3且n∈N*时，an单调递减，所以最小值为a3＝；
当n≥4且n∈N*时，an单调递增，所以最小值为a4＝；
综上，an的最小值为，此时n的值为3．]
3
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
三、解答题
9．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象．
(1)当自变量x依次取1，2，3，…时，函数f (x)＝2x＋1的值构成的数列{an}；
(2)数列{an}的通项公式为an＝
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
[解]　(1)根据题意，依次将x的值代入函数f (x)＝2x＋1，
可得数列的前10项依次为3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，
其图象如图：
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
(2)an＝
则数列的前10项依次为2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，
图象如图：
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
10．(多选)下列四个命题中，正确的有(　　)
A．若数列{an}是递增数列，则数列{an·an＋1}也是递增数列
B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项
C．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n－1
D．数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}是递增数列
√
14
15
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
BD　[对于A，若数列an的前几项为－2，－1，0，1，2，3，则{an·an＋1}不是递增数列，故A错误；
对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，故B正确；
对于C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，
设该数列为{bn}，则其通项公式为bn＝2n(n∈N*)，
因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)，故C错误；
对于D，an＝＝1－，则an＋1－an＝＝＞0，
因此数列{an}是递增数列，故D正确．
故选BD．]
14
15
题号
9
2
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5
3
8
6
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11
12
13
1
11．已知函数f (x)＝(x∈R)，设数列{an}的通项公式为an＝
f (n)(n∈N*)，则下列选项错误的是(　　)
A．f (x)的值域是R
B．an的最小值为a1＝
C．an＜1
D．数列{an}是递增数列
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
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12
13
1
A　[由于函数f (x)＝，所以f (n)＝＝1－2×，
故an＝1－2×，由于∈，
所以an＝1－2×∈，故A错误，C正确；
由于f (x)＝＝1－2×，故函数f (x)为增函数，故数列{an}是递增数列，故D正确；由于函数f (x)为增函数，故an的最小值为a1＝，故B正确．故选A．]
14
15
题号
9
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6
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13
1
12．在数列{an}中，an＝，则an的最大值是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
D　[由题意可得an＝＝．根据对勾函数与复合函数的单调性，y＝在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，所以在{an}中，a1＜a2＜a3，a4＞a5＞a6＞…．当n＝3时，n＋＝，a3＝；
当n＝4时，n＋＝，a4＝，因为＜，
所以an的最大值是a4＝．故选D．]
14
15
题号
9
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1
13．已知数列{an}的通项公式为an＝若ak＝a20(k≠20)，则k＝________．
14
15
1 023　[因为an＝所以a20＝＝210．
因为ak＝a20(k≠20)，显然k不能为偶数，则k为奇数，即k＋1＝210＝1 024，解得k＝1 023．]
1 023
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4．
(1)30是不是数列{an}中的项？70呢？
(2)数列中有多少项是负数？
(3)当n为何值时，an有最小值？求出这个最小值．
14
15
[解]　(1)根据题意，an＝n2－5n＋4，若an＝n2－5n＋4＝30，即n2－5n－26＝0，无正整数解，则30不是数列的项．若an＝n2－5n＋4＝70，即n2－5n－66＝0，解得n＝11或n＝－6(舍)，则70是数列的第11项．
题号
9
2
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5
3
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11
12
13
1
(2)根据题意，an＝n2－5n＋4，若an＝n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4，又由n∈N*，则n＝2或3，所以数列中有2项是负数．
(3)根据题意，an＝n2－5n＋4＝－，
故当n＝2或3时，an有最小值，其最小值为－2．
14
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题号
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1
15．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA4＝________，如果把图2中的直角三角形继续作下去，
记OA1，OA2，…，OAn，…
的长度构成数列{an}，则此
数列的通项公式为an＝________．
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题号
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3
8
6
7
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11
12
13
1
2　　[因为OA1＝A1A2＝1＝A2A3＝A3A4＝…，△OAiAi＋1(i＝1，2，3，…)为直角三角形＝，OA3＝，OA4＝＝2，依此类推可归纳为OAn＝an＝．]
14
15
THANKS(共63张PPT)
第2课时　数列的递推公式及前n项和
第四章　数列
4.1　数列的概念
整体感知
[学习目标]　1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．(数学运算)
2．会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．(逻辑推理、数学运算)
3．会用an与Sn的关系求通项公式．(逻辑推理、数学运算)
(教师用书)
观察某次智力测试中的一道题：数列1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是：
a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝6－3＝3，a4－a3＝10－6＝4，a5－a4＝15－10＝5，
…．
(1)你能写出该数列的第8个数吗？
(2)你能用an＋1与an的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？
[讨论交流]　
问题1．递推公式的含义是什么？
问题2．一般的数列{an}，该如何表示其前n项和？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　数列的递推公式
探究问题1　观察钢管堆放示意图，寻求规律，建立数学模型．
自上而下，第1层钢管数为4，第2层钢管数为5，第3层钢管数为6，第4层钢管数为7，第5层钢管数为8，第6层钢管数为9，第7层钢管数为10．若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出各层的钢管数为一个数列，
且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)，那么相邻两层的钢管数之
间有没有关系？即an＋1与an有没有关系？
探究建构
[提示]　有，an＋1＝an＋1(1≤n≤6，n∈N*)．
[新知生成]
递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
一个式子
【教用·微提醒】　(1)与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．
(2)数列的通项公式和递推公式是给出数列的两种不同表示方法，但它们的用途一致，都能确定一个数列．
【链接·教材例题】
例4　图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式．
[解]　在图4.1-3(1)(2)(3)(4)中，着色三角形的个数依次为
1，3，9，27，
即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1．
因此，这个数列的一个通项公式是an＝3n-1．
【链接·教材例题】
例5　已知数列{an}的首项为a1＝1，递推公式为an＝1＋(n≥2)，写出这个数列的前5项．
[解]　由题意可知
a1＝1，a2＝1＋＝1＋＝2，a3＝1＋＝1＋＝，
a4＝1＋＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝．
[典例讲评]　1．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a6．
[解]　a2＝＝＝－3，a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，a5＝＝＝2，a6＝＝＝－3．
【教用·备选题】　设数列{an}满足a1＝，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，写出这个数列的前5项．
[解]　由题意，a1＝，a2＝＝＝2＋，a3＝＝－，a4＝＝＝2－，a5＝＝．
反思领悟　根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式；若项数很大，则应考虑数列的周期性．
[学以致用]　1．(源自人教B版教材)分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项．
(1)1，2，4，7，11，…；
(2)－1，2，5，8，11，…；
(3)1，－2，4，－8，16，…．
[解]　(1)因为a2－a1＝2－1＝1，
a3－a2＝4－2＝2，
a4－a3＝7－4＝3，
a5－a4＝11－7＝4，
所以an＋1－an＝n，
即an＋1＝an＋n．
从而a6＝a5＋5＝11＋5＝16，a7＝a6＋6＝16＋6＝22．
(2)因为a2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝a5－a4＝3，
所以an＋1－an＝3，
即an＋1＝an＋3．
从而a7＝a6＋3＝a5＋3＋3＝11＋6＝17．
(3)因为＝＝＝＝－2，
所以＝－2．
即an＋1＝－2an．
从而a7＝(－2)a6＝(－2)2a5＝(－2)2×16＝64．
探究2　an与Sn的关系
探究问题2　如果已知数列{an}的前n项和，如何求a6呢？
[提示]　用{an}的前6项和减去前5项和．
[新知生成]
1．数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝_________________．
2．数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
3．数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝
a1＋a2＋…＋an
【教用·微提醒】　由Sn求an，应分n＝1与n≥2两种情况，分别进行计算后，再验证两种情形可否用统一的式子表示．若不能，则用分段的形式表示．
[典例讲评]　2．已知Sn为数列{an}的前n项和，根据条件求{an}的通项公式．
(1)Sn＝3n－7；(2)Sn＝2n2－30n．
[解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝－4，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－7－(3n-1－7)＝2×3n-1，显然a1＝－4不适合上式，
所以an＝
(2)因为Sn＝2n2－30n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32．
显然a1＝－28适合上式，所以an＝4n－32，n∈N*．
[母题探究]　将本例(2)的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an．
[解]　因为Sn＝2n2－30n＋1，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32．
当n＝1时不适合上式．
所以an＝
发现规律　由前n项和求通项公式的步骤
(1)先利用_______，求出a1．
(2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn－1，利用an＝_________(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式．
(3)注意检验_____时的值是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则合并；若不符合，则用分段函数表示通项公式an．
a1＝S1
Sn－Sn－1
n＝1
[学以致用]　2．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{an}的通项公式．
[解]　a1＝S1＝－×12＋×1＝101．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104．
∵n＝1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)．
探究3　利用递推公式求通项公式
[典例讲评]　3．(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＝an－1＋，n∈N*且n≥2，求通项公式an；
(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an．
[思路引导]　(1)先将递推公式变形为an－an－1＝(n≥2)，再利用累加法求通项公式．(2)先将递推公式化为＝(n≥2)，再利用累乘法求通项公式．
[解]　(1)由an－an－1＝(n≥2)得，
a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝．
以上各式累加得，an－a1＝＋…＋＝＋…＋＝1－．
∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－(n∈N*)．
(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，an＝×…××a1＝×…××1＝．
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)．
反思领悟　由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(只适用于选择题、填空题)
(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f (n)( f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法．
②an＋1＝pan(p为非零常数且p≠1)，或an＋1＝f (n)an( f (n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法．
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数且p≠1)，适当变形后转化为第②类解决．
[学以致用]　3．(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，则an＝(　　)
A．2＋ln n　　　　 B．2＋(n－1)ln n
C．2＋n ln n　　 D．1＋n＋ln n
(2)设{an}是首项为1的正项数列，且＋2an＋1an＝0，则通项公式an＝________．
√
(1)A　(2)　[(1)法一(归纳法)：由题意得a1＝2，a2＝2＋ln (1＋1)＝2＋ln 2，
a3＝(2＋ln 2)＋ln ＝2＋ln 3，
a4＝(2＋ln 3)＋ln ＝2＋ln 4，
a5＝(2＋ln 4)＋ln ＝2＋ln 5，…，由此猜想数列的一个通项公式为an＝2＋ln n，经检验符合题意．
法二(迭代法)：由题意得an＝an－1＋ln ＝an－1＋ln (n≥2)，
则an＝an－1＋ln ＝an－2＋ln ＋ln ＝…
＝a1＋ln ＋ln ＋ln ＋…＋ln
＝a1＋ln
＝2＋ln n(n≥2)．
又a1＝2＝2＋ln 1，符合上式．
所以an＝2＋ln n．
法三(累加法)：由题意得an＋1－an＝ln ＝ln (n＋1)－ln n，
因此a1＝2，a2－a1＝ln 2，
a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3，
…，
an－an－1＝ln n－ln (n－1)(n≥2)．
以上各式两边分别相加，
得an＝2＋ln 2＋(ln 3－ln 2)＋(ln 4－ln 3)＋…＋[ln n－ln (n－1)]＝
2＋ln n(n≥2)．
因为a1＝2也适合上式，所以an＝2＋ln n．
(2)由＋2an＋1an＝0，
得[(n＋2)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0，
因为an＞0，所以an＋1＋an＞0，所以(n＋2)an＋1－nan＝0，
所以＝，
所以an＝a1····…·＝1××…×＝(n≥2)，
又a1＝1满足上式，所以an＝．]
2
4
3
题号
1
应用迁移
1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4＝(　　)
A．7　　B．8　　C．9　　D．17
√
A　[∵数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，∴a4＝S4－S3＝(16－1)－(9－1)＝7．故选A．]
2
3
题号
1
4
2．已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，an＝(n≥3)，则数列{an}的前9项和为(　　)
A．35　　B．48　　C．50　　D．51
√
A　[由题意得当n＝3时，a3＝2＋0＝2，当n＝4时，a4＝2×1＝2，当n＝5时，a5＝2＋2＝4，当n＝6时，a6＝2×2＝4，当n＝7时，a7＝2＋4＝6，当n＝8时，a8＝2×4＝8，当n＝9时，a9＝2＋6＝8，所以{an}的前9项和S9＝a1＋a2＋…＋a9＝0＋1＋2＋2＋4＋4＋6＋8＋8＝35．故选A．]
2
3
题号
4
1
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n，则an＝____________．
(n2－n＋4)　[因为an＋1＝an＋n，
所以an＋1－an＝n，
所以a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，an－an－1＝n－1，
以上各式相加可得an－a1＝1＋2＋3＋…＋n－1＝n·(n－1)，
所以an＝n(n－1)＋a1＝n(n－1)＋2＝(n2－n＋4)．]
(n2－n＋4)
2
4
3
题号
1
4．已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，则a4＝________，猜想其通项公式an＝________．
　[∵数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，∴a2＝＝．同理可得a3＝，a4＝．猜想其通项公式an＝．]
1．知识链：(1)数列的递推公式．
(2)数列的前n项和Sn与an的关系．
(3)由递推公式求通项公式．
2．方法链：归纳法、累加法、累乘法、迭代法．
3．警示牌：(1)运用累加法、累乘法时，不注意验证首项是否符合通项公式．
(2)由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．数列的递推公式有什么特点？它与通项公式的区别是什么？
[提示]　n≥2，n∈N*，而不能只是n∈N*，这是因为当n＝1时Sn－1＝S0，数列中S0无意义．
[提示]　数列的递推公式是反映数列的相邻两项或多项之间的关系式，而通项公式是数列中的项与序号之间满足的函数关系式．
2．若数列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？
课时分层作业(二)　数列的递推公式及前n项和
题号
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则a6＝(　　)
A．11　　B．12　　C．13　　D．14
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
C　[由题可知a6＝S6－S5＝62＋2×6－(52＋2×5)＝13，故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝2an＋2n，则此数列的第3项是(　　)
A．4　　B．12　　C．24　　D．32
√
14
15
B　[由题意，a2＝2a1＋21＝4，a3＝2a2＋22＝12．故选B．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4＝(　　)
A．27　　B．81　　C．93　　D．243
√
14
15
B　[根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an．当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，则a4＝3a3＝32a2＝33a1＝81．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．已知数列{an}满足anan＋1＝，a3＝，则a1＝(　　)
A．　　B．　　C．1　　D．2
√
14
15
C　[因为a3＝，anan＋1＝，
所以a2a3＝a2×＝，解得a2＝．
由a1a2＝a1×＝得a1＝1．故选C．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．函数f (x)的定义如表所示，数列{xn}满足x0＝2，且对任意的自然数n均有xn＋1＝f (xn)，则x2 024＝(　　)
A．1　　B．2　　
C．4　　D．5
√
14
15
x 1 2 3 4 5
f (x) 5 1 3 4 2
D　[∵x1＝f (x0)＝f (2)＝1，x2＝f (x1)＝f (1)＝5，x3＝f (x2)＝f (5)＝2，…，∴该数列的周期为3，∴x2 024＝x2＝5．故选D．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
二、填空题
6．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2－2n＋3，则数列{an}的通项公式为an＝_______________．
14
15
　[当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2n2－2n＋3－[2(n－1)2－2(n－1)＋3]＝4n－4，
当n＝1时，a1＝3不符合上式，∴an＝]
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
7．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则a100＝________．
14
15
5 050　[由(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝(n≥2，n∈N*)，
则a100＝a1···…·＝1××…×＝5 050．]
5 050
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
8．已知数列{an}的前n项和为Sn＝log2(3×2n)，则{an}的通项公式为
_________________________．
14
15
an＝　[由已知得当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝log2(3×2n)－log2(3×2n-1)＝log2 ＝log22＝1，又当n＝1时，a1＝S1＝log2(3×2)＝1＋log23≠1，所以{an}的通项公式为an＝]
an＝
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
三、解答题
9．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2－n＋1．
(1)写出a1，a2，a3的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
[解]　(1)因为Sn＝n2－n＋1，取n＝1可得S1＝1，故a1＝1；取n＝2可得S2＝4－2＋1＝3，即a1＋a2＝3，故a2＝2；取n＝3可得S3＝9－3＋1＝7，即a1＋a2＋a3＝7，故a3＝4．所以a1＝1，a2＝2，a3＝4．
(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n＋1－(n－1)2＋(n－1)－1＝2n－2，又a1＝1，不满足上式．
所以数列{an}的通项公式为an＝
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
10．已知各项均为正数的数列{an}满足：a1＝＝an(an＋1＋2an)．则数列{an}的通项公式是an＝(　　)
A．2n+1　　B．2n-1　　C．2n　　D．3n
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
C　[由题意得＝，化简得
(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0，
又an＞0，则an＋1－2an＝0，即＝2，
∴an＝···…···a1＝2n-1×2＝2n，
当n＝1时，a1＝2满足上式，则an＝2n．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
11．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin ，则a2 024＝(　　)
A．11　　B．0　　C．1　　D．2
14
15
B　[由an＋1－an＝sin ，得an＋1＝an＋sin ，
所以a2＝a1＋sin π＝1＋0＝1，a3＝a2＋sin ＝1＋(－1)＝0，
a4＝a3＋sin 2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sin ＝0＋1＝1＝a1，
又sin 的值以4为周期循环出现，所以数列{an}是以4为周期的数列，
所以a2 024＝a4×505＋4＝a4＝0．故选B．]
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
12．已知数列{an}满足a1＝1，＝(n∈N*)，则an＝________．
14
15
　[由＝，得＝2·．
∵a1＝1，∴＝＋…＋＝2＋1＝2＋1＝(n≥2)，当n＝1时，满足上式，∴an＝．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
13．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝a1＋a2＋…＋an－1，则其通项公式为an＝________．
14
15
　[当n＝2时，a2＝a1＝1．当n≥2时，an＝a1＋a2＋…＋an－1①．
当n≥3时，an－1＝a1＋a2＋…＋an－2②．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
①－②得an－an－1＝an－1，则an＝an－1(n≥3)，因此＝(n≥3)，即＝，所以an＝(n≥3)．
当n＝2时，a2＝＝1，当n＝1时，a1＝≠1，
所以an＝]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项公式an．
14
15
[解]　将an＋1＝两边同时取倒数，
得＝，则＝，
即＝，
∴＝＝，…，＝(n≥2)，
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
把以上(n－1)个式子累加，得＝．
∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
又∵a1＝1满足an＝，
∴an＝(n∈N*)．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
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13
1
15．(多选)已知函数f (x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f (an)，n∈N*，则下列说法正确的是(　　)
A．该数列是周期数列且周期为3 B．该数列不是周期数列
C．a2 023＋a2 024＝1 D．a2 023＋a2 024＝
14
15
√
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
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11
12
13
1
BD　[a2＝f ＝－1＝；a3＝f ＝－1＝；
a4＝f ＝＝；a5＝f ＝2×－1＝；
a6＝f ＝2×－1＝；a7＝f ＝＝；
…
∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，但数列{an}并不是周期数列，故A错误，B正确．而a2 023＋a2 024＝a4＋a5＝，∴C错误，D正确．故选BD．]
14
15
THANKS课时分层作业(一)　数列的概念与简单表示法
一、选择题
1．是数列，…的(　　)
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
2．数列－，…的一个通项公式为an＝(　　)
A．(－1)n·
B．(－1)n+1·
C．(－1)n·
D．(－1)n+1·
3．下列说法中正确的是(　　)
A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
B．数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列
C．数列的第k项为1＋
D．数列0，2，4，6，…可记为{2n}
4．已知数列{an}的通项公式为an＝2n-1－1，则下列各数是{an}中的项的是(　　)
A．2 047 B．2 048 C．2 044 D．2 041
5．数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn，那么“k≥－2”是“{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
6．已知数列{an}的通项公式为an＝，则a10＝________，若an＝，则n＝________．
7．数列－，…的一个通项公式是an＝________．
8．已知数列{an}的通项公式为an＝，则an的最小值为________，此时n的值为________．
三、解答题
9．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象．
(1)当自变量x依次取1，2，3，…时，函数f (x)＝2x＋1的值构成的数列{an}；
(2)数列{an}的通项公式为
10．(多选)下列四个命题中，正确的有(　　)
A．若数列{an}是递增数列，则数列{an·an＋1}也是递增数列
B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项
C．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n－1
D．数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}是递增数列
11．已知函数f (x)＝(x∈R)，设数列{an}的通项公式为an＝f (n)(n∈N*)，则下列选项错误的是(　　)
A．f (x)的值域是R
B．an的最小值为a1＝
C．an＜1
D．数列{an}是递增数列
12．在数列{an}中，an＝，则an的最大值是(　　)
A． B． C． D．
13．已知数列{an}的通项公式为an＝若ak＝a20(k≠20)，则k＝________．
14．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4．
(1)30是不是数列{an}中的项？70呢？
(2)数列中有多少项是负数？
(3)当n为何值时，an有最小值？求出这个最小值．
15．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA4＝________，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________．
4/4第2课时　数列的递推公式及前n项和
[学习目标]　1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．(数学运算)
2．会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．(逻辑推理、数学运算)
3．会用an与Sn的关系求通项公式．(逻辑推理、数学运算)
[讨论交流]　
问题1．递推公式的含义是什么？
问题2．一般的数列{an}，该如何表示其前n项和？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　数列的递推公式
探究问题1　观察钢管堆放示意图，寻求规律，建立数学模型．
自上而下，第1层钢管数为4，第2层钢管数为5，第3层钢管数为6，第4层钢管数为7，第5层钢管数为8，第6层钢管数为9，第7层钢管数为10．若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出各层的钢管数为一个数列，且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)，那么相邻两层的钢管数之间有没有关系？即an＋1与an有没有关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
[典例讲评]　1．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a6．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式；若项数很大，则应考虑数列的周期性．
[学以致用]　1．(源自人教B版教材)分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项．
(1)1，2，4，7，11，…；
(2)－1，2，5，8，11，…；
(3)1，－2，4，－8，16，…．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　an与Sn的关系
探究问题2　如果已知数列{an}的前n项和，如何求a6呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝________．
2．数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
3．数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝
[典例讲评]　2．已知Sn为数列{an}的前n项和，根据条件求{an}的通项公式．
(1)Sn＝3n－7；
(2)Sn＝2n2－30n．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　将本例(2)的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由前n项和求通项公式的步骤
(1)先利用________，求出a1．
(2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn－1，利用an＝________(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式．
(3)注意检验________时的值是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则合并；若不符合，则用分段函数表示通项公式an．
[学以致用]　2．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{an}的通项公式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　利用递推公式求通项公式
[典例讲评]　3．(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＝an－1＋，n∈N*且n≥2，求通项公式an；
(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an．
[思路引导]　(1)先将递推公式变形为an－an－1＝(n≥2)，再利用累加法求通项公式．(2)先将递推公式化为＝(n≥2)，再利用累乘法求通项公式．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(只适用于选择题、填空题)
(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f (n)(f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法．
②an＋1＝pan(p为非零常数且p≠1)，或an＋1＝f (n)an(f (n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法．
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数且p≠1)，适当变形后转化为第②类解决．
[学以致用]　3．(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，则an＝(　　)
A．2＋ln n　　　　 B．2＋(n－1)ln n
C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n
(2)设{an}是首项为1的正项数列，且＋2an＋1an＝0，则通项公式an＝________．
1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4＝(　　)
A．7 B．8 C．9 D．17
2．已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，an＝(n≥3)，则数列{an}的前9项和为(　　)
A．35 B．48 C．50 D．51
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n，则an＝________．
4．已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，则a4＝________，猜想其通项公式an＝________．
1．知识链：(1)数列的递推公式．
(2)数列的前n项和Sn与an的关系．
(3)由递推公式求通项公式．
2．方法链：归纳法、累加法、累乘法、迭代法．
3．警示牌：(1)运用累加法、累乘法时，不注意验证首项是否符合通项公式．
(2)由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况．
5/54.1　数列的概念
第1课时　数列的概念与简单表示法
[学习目标]　1．借助实例了解数列的相关概念．(数学抽象)
2．理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的任意项．(逻辑推理)
3．理解数列与函数的关系，能根据数列的前几项写出数列的通项公式．(数学运算、逻辑推理)
(教师用书)
某种树木的分枝生长规律如图所示，你能预计到第6年时，树木的分枝数是多少吗？
年份 1 2 3 4 5 6
分枝数 1 1 2 3 5 ？
[讨论交流]　
问题1．数列的概念是什么？
问题2．什么是数列的通项公式？
问题3．数列与函数之间有什么关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　数列的概念与分类
探究问题1　观察以下几列数：
(1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807．
(2)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2025，2025，…，2025．
(3)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：“7，0，2，5，7，0，2，5，…．”
(4)－2的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－2，4，－8，16，…．
你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？
[提示]　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：(1)(2)项数有限，(3)(4)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)项没有发生变化，(3)项呈现周期性的变化，(4)项的大小交替变化．
[新知生成]
1．数列的概念
(1)一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
(2)数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}．
2．数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的 个数　 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的 变化趋 势　　 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
周期数列 项呈现周期性变化
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
【教用·微提醒】　(1)数列不同于集合，其中的项既有顺序，又可重复．
(2){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项，小写字母a也可以换成其他小写字母．
(3)递增(减)数列要确保从第2项起每一项均大于(小于)前一项，不能有例外．
[典例讲评]　1．已知下列数列：
(1)2 016，2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2 024；
(2)1，，…，，…；
(3)1，－，…，，…；
(4)1，0，－1，…，sin ，…；
(5)2，4，8，16，32，…；
(6)－1，－1，－1，－1．
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________．(填序号)
(1)(6)　(2)(3)(4)(5)　(1)(5)　(2)　(6)[(1)是有穷数列且是递增数列；(2)是无穷、递减数列；(3)是无穷数列；(4)是无穷数列；(5)是递增数列且是无穷数列；(6)是有穷数列且是常数列．]
　数列的判定方法及其分类
(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；
(2)判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而判断它是有穷还是无穷数列，则看项的个数是有限的还是无限的．
[学以致用]　1．给出下列数列：
(1)1，2，22，23，24，…，263；
(2)－，－，－，…，－，…；
(3)1，2，3，…，10 000；
(4)－1，1，－1，1，－1，1，…；
(5)1，2，3，5，8，13，21，…；
(6)，…．
其中，________为有穷数列，________为无穷数列，________为递增数列，________为递减数列，________为常数列．(填序号)
(1)(3)　(2)(4)(5)(6)　(1)(3)(5)　(2)　(6)　[根据数列的分类，容易得到，(1)(3)为有穷数列，(2)(4)(5)(6)为无穷数列，(1)(3)(5)为递增数列，(2)为递减数列，(6)为常数列．]
探究2　数列的通项公式
探究问题2　我们发现探究问题1中的(1)(2)(4)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？
[提示]　对于(1)，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈{1，2，3，4，5}；
对于(2)，an＝2 025，n∈{x|x是本班学生的学号}；
对于(4)，an＝，n∈N*．
[新知生成]
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．表达形式为an＝f (n)．
【教用·微提醒】　数列的通项公式可能有多个，也可能不存在．
【链接·教材例题】
例2　根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
(1)1，－，－，…；
(2)2，0，2，0，…．
[解]　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝．
(2)这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n+1＋1．
[典例讲评]　2．已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)9，99，999，9 999，…；
(3)－，－，－，…；
(4)1，2，1，2，1，2，…．
[解]　(1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1．
(2)各项加上1后，数列变成10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项为10n，故原数列的通项公式为an＝10n－1．
(3)数列的符号负正相间，可用(－1)n调整，分数的分子依次为自然数，而分母则是分子加上1后的平方，故可表示为，所以该数列的通项公式为an＝(－1)n．
(4)法一：可写成分段函数形式：
an＝
法二：an＝＝，
即an＝．
[母题探究]　(1)根据本例中的第(2)题，试写出前4项为3，33，333，3 333的一个通项公式．
(2)试写出前4项为0.9，0.99，0.999，0.999 9的一个通项公式．
[解]　(1)由本例中的第(2)题可知，每一项乘即可，即an＝(10n－1)，n∈N*．
(2)因为a1＝1－0.1；a2＝1－0.01＝1－(0.1)2；
a3＝1－0.001＝1－(0.1)3；a4＝1－0.000 1＝1－(0.1)4，
所以an＝1－(0.1)n，n∈N*．
　根据数列的前几项求其通项公式的方法
(1)先统一各项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．
(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n+1调整．
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
[学以致用]　2．(源自人教B版教材)写出以下各数列{an}的一个通项公式．
(1)2，4，6，8，10，…；
(2)1，3，5，7，9，…；
(3)0，2，0，2，0，…；
(4)－，－，－，…．
[解]　(1)观察数列的前5项可知，每一项都是序号的2倍，因此数列的一个通项公式为an＝2n．
(2)因为这个数列每一项都比(1)中数列的对应项小1，因此数列的一个通项公式为an＝2n－1．
(3)因为数列的第1，3，5，…项都是0，而第2，4，…项都是2，因此它的一个通项公式为
an＝
(4)忽略正负号时，数列每一项的分子构成的数列是2，4，6，8，10，…，其中每一个数都是序号的2倍；数列每一项的分母都是分子的平方减去1．又因为负号、正号是交替出现的，因此它的一个通项公式为an＝(－1)n．
探究3　数列与函数的关系
探究问题3　回顾函数的表示方法：列表法、图象法、解析法，并思考：数列可以用上述方法表示吗？
[提示]　可以．但是对于解析法来说，数列不同于连续函数的表示，需要重新作定义．
[新知生成]
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表：
定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式 数列的通项公式
值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成
表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法
【链接·教材例题】
例1　根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．
(1)an＝；(2)an＝cos ．
[解]　(1)当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为1，3，6，10，15．
图象如图4.1-2(1)所示．
(2)当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为
1，0，－1，0，1．
图象如图4.1-2(2)所示．
[典例讲评]　3．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n(n∈N*)，画出它在x轴上方的图象，根据图象求出an的最大值，并在同一平面直角坐标系中画出函数f (x)＝－2x2＋13x的图象，根据图象求出f (x)的最大值，并与an的最大值比较．若用函数来求an＝－2n2＋13n的最大值，应如何处理？
[解]　由－2n2＋13n＞0，可得0＜n＜．
又因为n∈N*，所以n＝1，2，3，4，5，6，分别代入通项公式an，可得a1＝11，a2＝18，a3＝21，a4＝20，a5＝15，a6＝6，
图象为如图所示中的点，
根据图象得a3最大，且a3＝21．
因为f (x)＝－2x2＋13x＝－2＋，
当x＝时，f (x)max＝．
f (x)的图象是如图所示的抛物线，显然＞21．
因为3＜＜4，且离3较近，所以当n＝3时，an取到最大值a3＝－2×32＋13×3＝21．
【教用·备选题】　已知函数f (x)＝2x－2－x，数列{an}满足f (log2an)＝－2n．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论．
[解]　(1)∵f (x)＝2x－2－x，f (log2an)＝＝－2n，
∴an－＝－2n，
＋2nan－1＝0，解得an＝－n±．
∵an＞0，∴an＝－n．
(2)数列{an}是递减数列，理由如下：
∵＝＝＜1，an＞0，
∴an＋1＜an，∴数列{an}是递减数列．
　求数列最值的方法
(1)函数的单调性法：令an＝f (n)，通过研究f (n)的单调性来研究最大(小)项．
(2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值．
[学以致用]　3．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)
A．　　　B．　　　C．4　　　D．0
D　[an＝－3＋，由二次函数的性质，得当n＝2或3时，an最大，最大值为0．]
探究4　数列通项公式的应用
【链接·教材例题】
例3　如果数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
分析：要判断120是不是数列{an}中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得n2＋2n＝120．也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解．
[解]　令n2＋2n＝120，
解这个关于n的方程，得
n＝－12(舍去)，或n＝10．
所以，120是数列{an}的项，是第10项．
[典例讲评]　4．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n．
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49是不是该数列的一项？如果是，是哪一项？68是不是该数列的一项呢？
(3)数列{an}中有多少个负数项？
[思路引导]　(1)已知数列的通项公式，将n＝4，n＝6分别代入通项公式可求得a4和a6的值．
(2)假设－49与68是数列中的项．建立n的方程，求出结果观察n是否为正整数即可．
(3)令an＜0，解出n的范围，进而求n．
[解]　(1)a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60．
(2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，
所以n＝7，即－49是该数列的第7项．
令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2．
因为 N*，－2 N*，所以68不是该数列的项．
(3)an＝n(3n－28)，令an＜0，结合n∈N*，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项．
　求项或判断某数是否为数列的项的方法
(1)如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以求出数列中的指定项．
(2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项．
[学以致用]　4．数列的第5项为(　　)
A．0 B．－1 C． D．－
C　[由题意，可知数列的第5项为(－1)5cos ＝－1×＝．故选C．]
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)
A．1，，…
B．－1，－2，－3，－4
C．－1，－，－，－，…
D．1，，…，
C　[A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．]
2．数列，…的一个通项公式可以是(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
D　[根据题意，数列，…，
即，…，
故该数列的一个通项公式可以为．故选D．]
3．(多选)下面四个结论中正确的是(　　)
A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})到实数集上的函数
B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C．数列2，4，6，8可表示为{2，4，6，8}
D．对所有的n∈N*，都有an＋3＝an，则数列{an}是以3为周期的周期数列
ABD　[{2，4，6，8}表示一个集合，不是数列，C项错误；ABD正确．故选ABD．]
4．已知数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3等于________．
20　[根据题意，数列{an}的通项公式为
an＝
则a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，则a2·a3＝20．]
1．知识链：(1)数列的概念与分类．
(2)数列的通项公式．
(3)数列与函数的关系．
2．方法链：观察法、归纳法、联想转化法．
3．警示牌：(1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面．
(2)不注意用(－1)n或(－1)n+1进行调节，不注意分子、分母间的联系．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．数列是怎样定义的？数列中的项具有什么特点？
[提示]　数列是按确定的顺序排列的一列数．数列中的项有三个特征：有序性、确定性和可重复性．
2．你是如何对数列进行分类的？相等数列应具备什么条件？
[提示]　按项数可分为：有穷数列和无穷数列．
按项的变化趋势可以分为：递增数列、周期数列、递减数列、常数列和摆动数列．
相等数列是指项数相等，对应项也相等的数列．
3．所有数列都能写出它的通项公式吗？当数列确定后，它的通项公式唯一吗？你能否各举出一个例子？
[提示]　并不是所有数列都能写出通项公式，如π的近似值数列：3，3.1，3.14，3.141，3.141 5，3.141 59，…．
当数列确定后，它的通项公式也不一定唯一．如数列1，－1，1，－1，1，－1，…，可以用an＝
也可以用an＝(－1)n+1，an＝sin ，an＝cos [(n－1)π]表示．
课时分层作业(一)　数列的概念与简单表示法
一、选择题
1．是数列，…的(　　)
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
A　[由题意可知，该数列为，…，
故是数列，…的第6项．故选A．]
2．数列－，…的一个通项公式为an＝(　　)
A．(－1)n·
B．(－1)n+1·
C．(－1)n·
D．(－1)n+1·
C　[通过观察可知，a1＜0，(－1)1＝－1，(－1)2＝1，所以BD选项错误．
对比AC选项，注意到数列的分母的间隔不是常数5，所以A选项错误．
故选C．]
3．下列说法中正确的是(　　)
A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
B．数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列
C．数列的第k项为1＋
D．数列0，2，4，6，…可记为{2n}
C　[对于A，常数列既不是递增数列也不是递减数列，故A错误；
对于B，数列是按顺序排列的，故B说法错误；
对于C，数列的第k项是1＋，故C正确；
对于D，数列中的第1项无法用an＝2n(n∈N*)表示，故D错误．
故选C．]
4．已知数列{an}的通项公式为an＝2n-1－1，则下列各数是{an}中的项的是(　　)
A．2 047 B．2 048 C．2 044 D．2 041
A　[分别令2n-1－1等于选项中给出的4个数，只有A选项中，求得的n为正整数．故选A．]
5．数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn，那么“k≥－2”是“{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[当k≥－2时，an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－n2－kn＝2n＋1＋k≥2n－1≥1＞0，
∴数列{an}为递增数列，即由“k≥－2”可以推出“{an}为递增数列”，
当数列{an}为递增数列时，an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－n2－kn＝2n＋1＋k＞0，
∴k＞－(2n＋1)恒成立，又[－(2n＋1)]max＝－(2×1＋1)＝－3，
∴k＞－3，即由“{an}为递增数列”推不出“k≥－2”，
∴“k≥－2”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
故选A．]
二、填空题
6．已知数列{an}的通项公式为an＝，则a10＝________，若an＝，则n＝________．
　12　[，
由，得n(n＋2)＝168，解得n＝12(负值舍去)．]
7．数列－，…的一个通项公式是an＝________．
　[＝(－1)1×＝(－1)2×＝(－1)3×＝(－1)4×，所以一个通项公式是an＝．]
8．已知数列{an}的通项公式为an＝，则an的最小值为________，此时n的值为________．
　3　[依题意，an＝
当n≤3且n∈N*时，an单调递减，所以最小值为a3＝；
当n≥4且n∈N*时，an单调递增，所以最小值为a4＝；
综上，an的最小值为，此时n的值为3．]
三、解答题
9．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象．
(1)当自变量x依次取1，2，3，…时，函数f (x)＝2x＋1的值构成的数列{an}；
(2)数列{an}的通项公式为
an＝
[解]　(1)根据题意，依次将x的值代入函数f (x)＝2x＋1，
可得数列的前10项依次为3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，
其图象如图：
(2)an＝
则数列的前10项依次为2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，
图象如图：
10．(多选)下列四个命题中，正确的有(　　)
A．若数列{an}是递增数列，则数列{an·an＋1}也是递增数列
B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项
C．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n－1
D．数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}是递增数列
BD　[对于A，若数列an的前几项为－2，－1，0，1，2，3，则{an·an＋1}不是递增数列，故A错误；
对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，故B正确；
对于C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，
设该数列为{bn}，则其通项公式为bn＝2n(n∈N*)，
因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)，故C错误；
对于D，an＝＝1－，则an＋1－an＝＝＞0，
因此数列{an}是递增数列，故D正确．
故选BD．]
11．已知函数f (x)＝(x∈R)，设数列{an}的通项公式为an＝f (n)(n∈N*)，则下列选项错误的是(　　)
A．f (x)的值域是R
B．an的最小值为a1＝
C．an＜1
D．数列{an}是递增数列
A　[由于函数f (x)＝，所以f (n)＝＝1－2×，
故an＝1－2×，由于∈，
所以an＝1－2×∈，故A错误，C正确；
由于f (x)＝＝1－2×，故函数f (x)为增函数，故数列{an}是递增数列，故D正确；由于函数f (x)为增函数，故an的最小值为a1＝，故B正确．
故选A．]
12．在数列{an}中，an＝，则an的最大值是(　　)
A． B． C． D．
D　[由题意可得an＝＝．根据对勾函数与复合函数的单调性，y＝在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，所以在{an}中，a1＜a2＜a3，a4＞a5＞a6＞…．当n＝3时，n＋＝，a3＝；
当n＝4时，n＋＝，a4＝，因为＜，
所以an的最大值是a4＝．故选D．]
13．已知数列{an}的通项公式为an＝若ak＝a20(k≠20)，则k＝________．
1 023　[因为an＝所以a20＝＝210．
因为ak＝a20(k≠20)，显然k不能为偶数，则k为奇数，即k＋1＝210＝1 024，解得k＝1 023．]
14．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4．
(1)30是不是数列{an}中的项？70呢？
(2)数列中有多少项是负数？
(3)当n为何值时，an有最小值？求出这个最小值．
[解]　(1)根据题意，an＝n2－5n＋4，若an＝n2－5n＋4＝30，即n2－5n－26＝0，无正整数解，则30不是数列的项．若an＝n2－5n＋4＝70，即n2－5n－66＝0，解得n＝11或n＝－6(舍)，则70是数列的第11项．
(2)根据题意，an＝n2－5n＋4，若an＝n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4，又由n∈N*，则n＝2或3，所以数列中有2项是负数．
(3)根据题意，an＝n2－5n＋4＝－，
故当n＝2或3时，an有最小值，其最小值为－2．
15．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA4＝________，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________．
2　　[因为OA1＝A1A2＝1＝A2A3＝A3A4＝…，△OAiAi＋1(i＝1，2，3，…)为直角三角形＝，OA3＝，OA4＝＝2，依此类推可归纳为OAn＝an＝．]
17/17课时分层作业(二)　数列的递推公式及前n项和
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则a6＝(　　)
A．11 B．12 C．13 D．14
2．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝2an＋2n，则此数列的第3项是(　　)
A．4 B．12 C．24 D．32
3．设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4＝(　　)
A．27 B．81 C．93 D．243
4．已知数列{an}满足anan＋1＝，a3＝，则a1＝(　　)
A． B． C．1 D．2
5．函数f (x)的定义如表所示，数列{xn}满足x0＝2，且对任意的自然数n均有xn＋1＝f (xn)，则x2 024＝(　　)
x 1 2 3 4 5
f (x) 5 1 3 4 2
A．1 B．2 C．4 D．5
二、填空题
6．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2－2n＋3，则数列{an}的通项公式为an＝________．
7．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则a100＝________．
8．已知数列{an}的前n项和为Sn＝log2(3×2n)，则{an}的通项公式为________．
三、解答题
9．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2－n＋1．
(1)写出a1，a2，a3的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
10．已知各项均为正数的数列{an}满足：a1＝＝an(an＋1＋2an)．则数列{an}的通项公式是an＝(　　)
A．2n+1 B．2n-1 C．2n D．3n
11．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin ，则a2 024＝(　　)
A．11 B．0 C．1 D．2
12．已知数列{an}满足a1＝1，＝(n∈N*)，则an＝________．
13．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝a1＋a2＋…＋an－1，则其通项公式为an＝________．
14．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项公式an．
15．(多选)已知函数f (x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f (an)，n∈N*，则下列说法正确的是(　　)
A．该数列是周期数列且周期为3
B．该数列不是周期数列
C．a2 023＋a2 024＝1
D．a2 023＋a2 024＝
3/34.1　数列的概念
第1课时　数列的概念与简单表示法
[学习目标]　1．借助实例了解数列的相关概念．(数学抽象)
2．理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的任意项．(逻辑推理)
3．理解数列与函数的关系，能根据数列的前几项写出数列的通项公式．(数学运算、逻辑推理)
[讨论交流]　
问题1．数列的概念是什么？
问题2．什么是数列的通项公式？
问题3．数列与函数之间有什么关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　数列的概念与分类
探究问题1　观察以下几列数：
(1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807．
(2)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2025，2025，…，2025．
(3)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：“7，0，2，5，7，0，2，5，…．”
(4)－2的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－2，4，－8，16，…．
你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．数列的概念
(1)一般地，我们把按照________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第________项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第________项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用________表示．其中第1项也叫做________．
(2)数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为________．
2．数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的 个数　 有穷数列 项数________的数列
无穷数列 项数________的数列
按项的 变化趋 势　　 递增数列 从第2项起，每一项都________它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都________它的前一项的数列
常数列 各项都________的数列
周期数列 项呈现周期性变化
摆动数列 从第2项起，有些项________它的前一项，有些项________它的前一项
[典例讲评]　1．已知下列数列：
(1)2 016，2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2 024；
(2)1，，…，，…；
(3)1，－，…，，…；
(4)1，0，－1，…，sin ，…；
(5)2，4，8，16，32，…；
(6)－1，－1，－1，－1．
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________．(填序号)
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　数列的判定方法及其分类
(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；
(2)判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而判断它是有穷还是无穷数列，则看项的个数是有限的还是无限的．
[学以致用]　1．给出下列数列：
(1)1，2，22，23，24，…，263；
(2)－，－，－，…，－，…；
(3)1，2，3，…，10 000；
(4)－1，1，－1，1，－1，1，…；
(5)1，2，3，5，8，13，21，…；
(6)，…．
其中，________为有穷数列，________为无穷数列，________为递增数列，________为递减数列，________为常数列．(填序号)
探究2　数列的通项公式
探究问题2　我们发现探究问题1中的(1)(2)(4)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
如果数列{an}的第n项an与它的________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．表达形式为an＝f (n)．
[典例讲评]　2．已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)9，99，999，9 999，…；
(3)－，－，－，…；
(4)1，2，1，2，1，2，…．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　(1)根据本例中的第(2)题，试写出前4项为3，33，333，3 333的一个通项公式．
(2)试写出前4项为0.9，0.99，0.999，0.999 9的一个通项公式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　根据数列的前几项求其通项公式的方法
(1)先统一各项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．
(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n+1调整．
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
[学以致用]　2．(源自人教B版教材)写出以下各数列{an}的一个通项公式．
(1)2，4，6，8，10，…；
(2)1，3，5，7，9，…；
(3)0，2，0，2，0，…；
(4)－，－，－，…．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　数列与函数的关系
探究问题3　回顾函数的表示方法：列表法、图象法、解析法，并思考：数列可以用上述方法表示吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表：
定义域 ________(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式 数列的通项公式
值域 自变量从1开始，按照________时，对应的一列函数值构成
表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)________；(3)________
[典例讲评]　3．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n(n∈N*)，画出它在x轴上方的图象，根据图象求出an的最大值，并在同一平面直角坐标系中画出函数f (x)＝－2x2＋13x的图象，根据图象求出f (x)的最大值，并与an的最大值比较．若用函数来求an＝－2n2＋13n的最大值，应如何处理？
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求数列最值的方法
(1)函数的单调性法：令an＝f (n)，通过研究f (n)的单调性来研究最大(小)项．
(2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值．
[学以致用]　3．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)
A．　　　B．　　　C．4　　　D．0
探究4　数列通项公式的应用
[典例讲评]　4．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n．
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49是不是该数列的一项？如果是，是哪一项？68是不是该数列的一项呢？
(3)数列{an}中有多少个负数项？
[思路引导]　(1)已知数列的通项公式，将n＝4，n＝6分别代入通项公式可求得a4和a6的值．
(2)假设－49与68是数列中的项．建立n的方程，求出结果观察n是否为正整数即可．
(3)令an＜0，解出n的范围，进而求n．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求项或判断某数是否为数列的项的方法
(1)如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以求出数列中的指定项．
(2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项．
[学以致用]　4．数列的第5项为(　　)
A．0 B．－1 C． D．－
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)
A．1，，…
B．－1，－2，－3，－4
C．－1，－，－，－，…
D．1，，…，
2．数列，…的一个通项公式可以是(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
3．(多选)下面四个结论中正确的是(　　)
A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})到实数集上的函数
B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C．数列2，4，6，8可表示为{2，4，6，8}
D．对所有的n∈N*，都有an＋3＝an，则数列{an}是以3为周期的周期数列
4．已知数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3等于________．
1．知识链：(1)数列的概念与分类．
(2)数列的通项公式．
(3)数列与函数的关系．
2．方法链：观察法、归纳法、联想转化法．
3．警示牌：(1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面．
(2)不注意用(－1)n或(－1)n+1进行调节，不注意分子、分母间的联系．
7/7第2课时　数列的递推公式及前n项和
[学习目标]　1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．(数学运算)
2．会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．(逻辑推理、数学运算)
3．会用an与Sn的关系求通项公式．(逻辑推理、数学运算)
(教师用书)
观察某次智力测试中的一道题：数列1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是：
a2－a1＝3－1＝2，
a3－a2＝6－3＝3，
a4－a3＝10－6＝4，
a5－a4＝15－10＝5，
…．
(1)你能写出该数列的第8个数吗？
(2)你能用an＋1与an的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？
[讨论交流]　
问题1．递推公式的含义是什么？
问题2．一般的数列{an}，该如何表示其前n项和？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　数列的递推公式
探究问题1　观察钢管堆放示意图，寻求规律，建立数学模型．
自上而下，第1层钢管数为4，第2层钢管数为5，第3层钢管数为6，第4层钢管数为7，第5层钢管数为8，第6层钢管数为9，第7层钢管数为10．若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出各层的钢管数为一个数列，且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)，那么相邻两层的钢管数之间有没有关系？即an＋1与an有没有关系？
[提示]　有，an＋1＝an＋1(1≤n≤6，n∈N*)．
[新知生成]
递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
【教用·微提醒】　(1)与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．
(2)数列的通项公式和递推公式是给出数列的两种不同表示方法，但它们的用途一致，都能确定一个数列．
【链接·教材例题】
例4　图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式．
[解]　在图4.1-3(1)(2)(3)(4)中，着色三角形的个数依次为
1，3，9，27，
即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1．
因此，这个数列的一个通项公式是
an＝3n-1．
【链接·教材例题】
例5　已知数列{an}的首项为a1＝1，递推公式为an＝1＋(n≥2)，写出这个数列的前5项．
[解]　由题意可知
a1＝1，
a2＝1＋＝1＋＝2，
a3＝1＋＝1＋＝，
a4＝1＋＝1＋＝，
a5＝1＋＝1＋＝．
[典例讲评]　1．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a6．
[解]　a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2，
a6＝＝＝－3．
【教用·备选题】　设数列{an}满足a1＝，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，写出这个数列的前5项．
[解]　由题意，a1＝，a2＝＝＝2＋，a3＝＝－，a4＝＝＝2－，a5＝＝．
　根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式；若项数很大，则应考虑数列的周期性．
[学以致用]　1．(源自人教B版教材)分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项．
(1)1，2，4，7，11，…；
(2)－1，2，5，8，11，…；
(3)1，－2，4，－8，16，…．
[解]　(1)因为a2－a1＝2－1＝1，
a3－a2＝4－2＝2，
a4－a3＝7－4＝3，
a5－a4＝11－7＝4，
所以an＋1－an＝n，
即an＋1＝an＋n．
从而a6＝a5＋5＝11＋5＝16，a7＝a6＋6＝16＋6＝22．
(2)因为a2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝a5－a4＝3，
所以an＋1－an＝3，
即an＋1＝an＋3．
从而a7＝a6＋3＝a5＋3＋3＝11＋6＝17．
(3)因为＝＝＝＝－2，
所以＝－2．
即an＋1＝－2an．
从而a7＝(－2)a6＝(－2)2a5＝(－2)2×16＝64．
探究2　an与Sn的关系
探究问题2　如果已知数列{an}的前n项和，如何求a6呢？
[提示]　用{an}的前6项和减去前5项和．
[新知生成]
1．数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．
2．数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
3．数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝
【教用·微提醒】　由Sn求an，应分n＝1与n≥2两种情况，分别进行计算后，再验证两种情形可否用统一的式子表示．若不能，则用分段的形式表示．
[典例讲评]　2．已知Sn为数列{an}的前n项和，根据条件求{an}的通项公式．
(1)Sn＝3n－7；
(2)Sn＝2n2－30n．
[解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝－4，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－7－(3n-1－7)＝2×3n-1，显然a1＝－4不适合上式，
所以an＝
(2)因为Sn＝2n2－30n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32．
显然a1＝－28适合上式，所以an＝4n－32，n∈N*．
[母题探究]　将本例(2)的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an．
[解]　因为Sn＝2n2－30n＋1，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32．
当n＝1时不适合上式．
所以an＝
　由前n项和求通项公式的步骤
(1)先利用a1＝S1，求出a1．
(2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式．
(3)注意检验n＝1时的值是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则合并；若不符合，则用分段函数表示通项公式an．
[学以致用]　2．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{an}的通项公式．
[解]　a1＝S1＝－×12＋×1＝101．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104．
∵n＝1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)．
探究3　利用递推公式求通项公式
[典例讲评]　3．(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＝an－1＋，n∈N*且n≥2，求通项公式an；
(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an．
[思路引导]　(1)先将递推公式变形为an－an－1＝(n≥2)，再利用累加法求通项公式．(2)先将递推公式化为＝(n≥2)，再利用累乘法求通项公式．
[解]　(1)由an－an－1＝(n≥2)得，
a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝．
以上各式累加得，an－a1＝＋…＋＝＋…＋＝1－．
∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－(n∈N*)．
(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，an＝×…××a1＝×…××1＝．
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)．
　由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(只适用于选择题、填空题)
(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f (n)(f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法．
②an＋1＝pan(p为非零常数且p≠1)，或an＋1＝f (n)an(f (n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法．
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数且p≠1)，适当变形后转化为第②类解决．
[学以致用]　3．(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，则an＝(　　)
A．2＋ln n　　　　 B．2＋(n－1)ln n
C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n
(2)设{an}是首项为1的正项数列，且＋2an＋1an＝0，则通项公式an＝________．
(1)A　(2)　[(1)法一(归纳法)：由题意得a1＝2，a2＝2＋ln (1＋1)＝2＋ln 2，
a3＝(2＋ln 2)＋ln ＝2＋ln 3，
a4＝(2＋ln 3)＋ln ＝2＋ln 4，
a5＝(2＋ln 4)＋ln ＝2＋ln 5，…，由此猜想数列的一个通项公式为an＝2＋ln n，经检验符合题意．
法二(迭代法)：由题意得an＝an－1＋ln ＝an－1＋ln (n≥2)，
则an＝an－1＋ln ＝an－2＋ln ＋ln ＝…
＝a1＋ln ＋ln ＋ln ＋…＋ln
＝a1＋ln
＝2＋ln n(n≥2)．
又a1＝2＝2＋ln 1，符合上式．
所以an＝2＋ln n．
法三(累加法)：由题意得an＋1－an＝ln ＝ln (n＋1)－ln n，
因此a1＝2，
a2－a1＝ln 2，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
…，
an－an－1＝ln n－ln (n－1)(n≥2)．
以上各式两边分别相加，
得an＝2＋ln 2＋(ln 3－ln 2)＋(ln 4－ln 3)＋…＋[ln n－ln (n－1)]＝2＋ln n(n≥2)．
因为a1＝2也适合上式，所以an＝2＋ln n．
(2)由＋2an＋1an＝0，
得[(n＋2)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0，
因为an＞0，所以an＋1＋an＞0，所以(n＋2)an＋1－nan＝0，
所以＝，
所以an＝a1····…·＝1××…×＝(n≥2)，
又a1＝1满足上式，所以an＝．]
1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4＝(　　)
A．7 B．8 C．9 D．17
A　[∵数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，∴a4＝S4－S3＝(16－1)－(9－1)＝7．故选A．]
2．已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，an＝(n≥3)，则数列{an}的前9项和为(　　)
A．35 B．48 C．50 D．51
A　[由题意得当n＝3时，a3＝2＋0＝2，当n＝4时，a4＝2×1＝2，当n＝5时，a5＝2＋2＝4，当n＝6时，a6＝2×2＝4，当n＝7时，a7＝2＋4＝6，当n＝8时，a8＝2×4＝8，当n＝9时，a9＝2＋6＝8，所以{an}的前9项和S9＝a1＋a2＋…＋a9＝0＋1＋2＋2＋4＋4＋6＋8＋8＝35．故选A．]
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n，则an＝________．
(n2－n＋4)　[因为an＋1＝an＋n，
所以an＋1－an＝n，
所以a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，an－an－1＝n－1，
以上各式相加可得an－a1＝1＋2＋3＋…＋n－1＝n·(n－1)，
所以an＝n(n－1)＋a1＝n(n－1)＋2＝(n2－n＋4)．]
4．已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，则a4＝________，猜想其通项公式an＝________．
　[∵数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，∴a2＝＝．同理可得a3＝，a4＝．猜想其通项公式an＝．]
1．知识链：(1)数列的递推公式．
(2)数列的前n项和Sn与an的关系．
(3)由递推公式求通项公式．
2．方法链：归纳法、累加法、累乘法、迭代法．
3．警示牌：(1)运用累加法、累乘法时，不注意验证首项是否符合通项公式．
(2)由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．数列的递推公式有什么特点？它与通项公式的区别是什么？
[提示]　数列的递推公式是反映数列的相邻两项或多项之间的关系式，而通项公式是数列中的项与序号之间满足的函数关系式．
2．若数列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？
[提示]　n≥2，n∈N*，而不能只是n∈N*，这是因为当n＝1时Sn－1＝S0，数列中S0无意义．
课时分层作业(二)　数列的递推公式及前n项和
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则a6＝(　　)
A．11 B．12 C．13 D．14
C　[由题可知a6＝S6－S5＝62＋2×6－(52＋2×5)＝13，故选C．]
2．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝2an＋2n，则此数列的第3项是(　　)
A．4 B．12 C．24 D．32
B　[由题意，a2＝2a1＋21＝4，a3＝2a2＋22＝12．故选B．]
3．设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4＝(　　)
A．27 B．81 C．93 D．243
B　[根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an．当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，则a4＝3a3＝32a2＝33a1＝81．]
4．已知数列{an}满足anan＋1＝，a3＝，则a1＝(　　)
A． B． C．1 D．2
C　[因为a3＝，anan＋1＝，
所以a2a3＝a2×＝，解得a2＝．
由a1a2＝a1×＝得a1＝1．故选C．]
5．函数f (x)的定义如表所示，数列{xn}满足x0＝2，且对任意的自然数n均有xn＋1＝f (xn)，则x2 024＝(　　)
x 1 2 3 4 5
f (x) 5 1 3 4 2
A．1 B．2 C．4 D．5
D　[∵x1＝f (x0)＝f (2)＝1，x2＝f (x1)＝f (1)＝5，x3＝f (x2)＝f (5)＝2，…，∴该数列的周期为3，∴x2 024＝x2＝5．故选D．]
二、填空题
6．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2－2n＋3，则数列{an}的通项公式为an＝________．
　[当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2n2－2n＋3－[2(n－1)2－2(n－1)＋3]＝4n－4，
当n＝1时，a1＝3不符合上式，
∴an＝]
7．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则a100＝________．
5 050　[由(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝(n≥2，n∈N*)，
则a100＝a1···…·＝1××…×＝5 050．]
8．已知数列{an}的前n项和为Sn＝log2(3×2n)，则{an}的通项公式为________．
an＝　[由已知得当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝log2(3×2n)－log2(3×2n-1)＝log2 ＝log22＝1，又当n＝1时，a1＝S1＝log2(3×2)＝1＋log23≠1，所以{an}的通项公式为an＝]
三、解答题
9．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2－n＋1．
(1)写出a1，a2，a3的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)因为Sn＝n2－n＋1，取n＝1可得S1＝1，故a1＝1；取n＝2可得S2＝4－2＋1＝3，即a1＋a2＝3，故a2＝2；取n＝3可得S3＝9－3＋1＝7，即a1＋a2＋a3＝7，故a3＝4．所以a1＝1，a2＝2，a3＝4．
(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n＋1－(n－1)2＋(n－1)－1＝2n－2，又a1＝1，不满足上式．
所以数列{an}的通项公式为an＝
10．已知各项均为正数的数列{an}满足：a1＝＝an(an＋1＋2an)．则数列{an}的通项公式是an＝(　　)
A．2n+1 B．2n-1 C．2n D．3n
C　[由题意得＝，化简得
(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0，
又an＞0，则an＋1－2an＝0，即＝2，
∴an＝···…···a1＝2n-1×2＝2n，
当n＝1时，a1＝2满足上式，则an＝2n．]
11．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin ，则a2 024＝(　　)
A．11 B．0 C．1 D．2
B　[由an＋1－an＝sin ，得an＋1＝an＋sin ，
所以a2＝a1＋sin π＝1＋0＝1，a3＝a2＋sin ＝1＋(－1)＝0，a4＝a3＋sin 2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sin ＝0＋1＝1＝a1，
又sin 的值以4为周期循环出现，所以数列{an}是以4为周期的数列，
所以a2 024＝a4×505＋4＝a4＝0．故选B．]
12．已知数列{an}满足a1＝1，＝(n∈N*)，则an＝________．
　[由＝，得＝2·．
∵a1＝1，∴＝＋…＋＝2＋1＝2＋1＝(n≥2)，当n＝1时，满足上式，
∴an＝．]
13．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝a1＋a2＋…＋an－1，则其通项公式为an＝________．
　[当n＝2时，a2＝a1＝1．当n≥2时，an＝a1＋a2＋…＋an－1①．
当n≥3时，an－1＝a1＋a2＋…＋an－2②．
①－②得an－an－1＝an－1，则an＝an－1(n≥3)，因此＝(n≥3)，即＝，所以an＝(n≥3)．
当n＝2时，a2＝＝1，当n＝1时，a1＝≠1，
所以an＝]
14．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项公式an．
[解]　将an＋1＝两边同时取倒数，
得＝，则＝，
即＝，
∴＝＝，…，＝(n≥2)，
把以上(n－1)个式子累加，得＝．
∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
又∵a1＝1满足an＝，
∴an＝(n∈N*)．
15．(多选)已知函数f (x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f (an)，n∈N*，则下列说法正确的是(　　)
A．该数列是周期数列且周期为3
B．该数列不是周期数列
C．a2 023＋a2 024＝1
D．a2 023＋a2 024＝
BD　[a2＝f ＝－1＝；
a3＝f ＝－1＝；
a4＝f ＝＝；
a5＝f ＝2×－1＝；
a6＝f ＝2×－1＝；
a7＝f ＝＝；
…
∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，但数列{an}并不是周期数列，故A错误，B正确．而a2 023＋a2 024＝a4＋a5＝，∴C错误，D正确．故选BD．]
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