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2024-2025年度河南省高三年级联考（二）
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不
等式.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 A x 2 x 1 ， B x a x a 3 .，若 A B x 1 x 5 ，则 a （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3

2.已知符号）（表示不平行，向量 a ( 1, 2) ，b (m,m 7) .设命题 p : m (0, ) ，a ）（b ，则（ ）

A. p : m (0, )， a//b ，且 p为真命题

B. p : m (0, ) ，a//b ，且 p为真命题

C. p : m (0, )， a//b ，且 p为假命题

D. p : m (0, ) ，a//b ，且 p为假命题
3.若 a | b | 0，则下列结论一定成立的是（ ）
A. a2b 1 1 ab2 B. 32 2 C. a b
3 D.a c c b
ab a b
4.已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn，且 S3 ma1，则“m 7”是“ an 的公比为 2”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知函数 f (x) log3 x ，若b a 0，且 a，b是 f (x) 的图像与直线 y m(m 0)的两个交点对应的
横坐标，则4a b的最小值为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
6.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块

直角三角板拼出的一个几何图形，其中 | AB | | AC |， | BD | | BC |， BD BC 0 .连接 AD，若

AD xAB yAC，则 x y （ ）
A.1 B.2 C. 2 3D.
2
π π
7.若 a 0， sin 2 x ax bx c 0对 x [0,8]恒成立，则（ ）
6 6
A.a 0 B.b c 0 C. c 0 D.b c 16a
8.已知 A是函数 f (x) xe x 3图象上的一点，点 B在直线 l : x y 3 0 上，则 | AB | 的最小值是（ ）
7 2e 2
A. B.3 C. 2 2 D. 3 2
2e
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.设数列 an ， b an 的前 n项和分别为 Sn，Tn，且bn 3 n ，则下列结论不正确的是（ ）
A.若 an 是递增数列，则 Sn 是递增数列
B.若 an 是递减数列，则 Sn 是递减数列
C.若 an 是递增数列，则 Tn 是递增数列
D.若 an 是递减数列，则 Tn 是递减数列
10.已知 f (3x 1) 为奇函数， f (3) 1，且对任意 x R，都有 f (x 2) f (4 x)，则必有（ ）
A. f (11) 1 B. f (23) 0
C. f (7) 1 D. f (5) 0
11.已知函数 f (x) sin x sin 3x，则（ ）
A. f (x) 的图象关于点 (π,0)中心对称
B. f (x) π的图象关于直线 x 对称
4
8 3 8 3
C. f (x) 的值域为 ,
9 9


D. f (x) π在 ,
3π
上单调递增
2 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12.在△ABC 1中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 a 1，b 3， cosC ，则△ABC外接圆的
3
面积是__________.
13. k (t 1)已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间 t（单位：天）的关系满足指数模型C C0e ，
其中C0 是初始浓度（即 t 1时该污染物的浓度），k是常数.第 2 天（即 t 2）测得该污染物的浓度为 5 摩
尔/升，第 4 天测得该污染物的浓度为 15 摩尔/升，若第 n天测得该污染物的浓度变为 27C0 ，则
n __________.
14.1796 年，年仅 19 岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等
分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为 ，则
16
2 k __________.k 1 1 tan2
2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
在△ABC 4中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c， cos A ， 2acosC 3ccos A .
5
（1）求 sinC的值；
（2）若 a 3，求△ABC的周长.
16.（15 分）
已知函数 f (x) Asin( x ) b(A 0, 0,0 π)的部分图象如图所示.
（1）求 f (x) 的解析式；
（2）求 f (x) 的零点；
f (x) π g(x) g(x) 0, 7π（3 ）将 图象上的所有点向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，求 在
12
上的值
12
域.
17.（15 分）
f (x) a 3
x
已知函数 x ，且 f log6 3 f log 12 2 .3 3 6
（1）求 a的值；
（2）求不等式 2 f x2 3x 1 0 的解集.
18.（17 分）
2
已知函数 f (x) (ax 2)ln(x 1) x 2x .
（1）当 a 0时，求 f (x) 的单调区间与极值；
（2）当 x 0时， f (x) 0恒成立，求a的取值范围.
19.（17 分）
设数列 an 的前 n项和为 Sn，若对任意的 n N ，都有 S2n kSn（ k为非零常数），则称数列 an 为“和
等比数列”，其中 k为和公比.
（1）若 an 2n 3，判断 an 是否为“和等比数列”.
（2）已知 b nn 是首项为 1，公差不为 0 的等差数列，且 bn 是“和等比数列”，cn b ，数列 cn 的前 n2
项和为Tn .
①求 bn 的和公比；
②求Tn；
3n 4
③若不等式Tn 2n 1 ( 1)
nm 2 对任意的 n N 恒成立，求m的取值范围.2
2024-2025年度河南省高三年级联考（二）
数学参考答案
a 1,
1.C 由题意可得 A x 1 x 3 .因为 A B x 1 x 5 ，所以 ，解得 a 2 .
a 3 5

2.A p : m (0, )， a//b，当 (m 7) 2m，即m 7 a 时， //b ，所以 p为真命题.
3.B 当 a 3，b 2时， a2b 18,ab2 12 a2，此时 b ab2 ，则 A 错误.
因为 a | b | 0 1 1 1，所以a b，且 ab 0，所以 2 2 0 ，所以 2 2 ，则 B 正确.a b ab a b
a 2 b 1 a3当 ， 时， 8,b3 1 3 3，此时 a b ，则 C 错误.
当a 2，b 1， c 3时， a c 1， c b 2，此时 a c c b，则 D 错误.
4.A 设 a 的公比为 q，则 S a a a 1 q q2n 3 1 2 3 a1 ma1 .
因为 a 0 1 q q21 ，所以 m .
由m 7 2，得1 q q 7 2，即 q q 6 0 ，解得 q 2或 q 3 .
由q 2 ，得m 7，则“m 7”是“ an 的公比为 2”的必要不充分条件.
5.B 由题意可得0 a 1 b，b 1 ，则 4a b 4 ，当且仅当 4a b 2 时，等号成立.故4a b的最
a
小值为 4.

6.A 如图，以 A为原点，AB，AC的方向分别为 x，y轴的正方向，建立直角坐标系，设 AB 1，则 A(0,0) ，

B(1,0) ，C(0,1)，故 AB (1,0)， AC (0,1) .

作DF AB，交 AB的延长线于点 F .设 | AB | 1，则 | BF | |DF | 1，

所以D(2,1)，所以 AD (2,1) .因为 AD xAB yAC，所以 x 2, y 1，则 x y 1 .
π π π 7π π π7.B 因为 x [0,8]，所以 x , .当 x [0,1)时， sin x 0 ；当 x 1,7 时，6 6 6 6 6 6
sin π x π 0 x (7,8] sin π x π 0 sin π π

；当 时， 2 .因为 x ax bx c 0对 x [0,8]恒
6 6 6 6 6 6
1 b 7 ,
1 2 a成立，所以 ，7 是 ax bx c 0的两根，且a 0，则 故b 8a 0， c 7a 0，
1 c 7 ,
a
b c 15a，b c a 0 .
8.D 由题意可得 f x (x 1)ex .设 g(x) f x ，则 g x (x 2)ex，当 x 1时， f x 0 ，当
x 1时，g x 0，f x x单调递增.因为 f (0) 1，所以 f x (x 1)e 1，得 x 0，此时 A(0,3)，
| AB | 3 3故 min 3 2 .2
9.ABD 当 an n 7时， an 是递增数列，此时 Sn 不是递增数列，则 A 错误.当an n 12时， an
是递减数列，此时 Sn 不是递减数列，则 B 错误.由 an 是递增数列，得 bn 是递增数列，且bn 0，则 Tn
是递增数列，故 C 正确.由 an 是递减数列，得 bn 是递减数列，且bn 0，则 Tn 是递增数列，故 D 错
误.
10.CD 由 f (3x 1) 为奇函数，可得 f ( 3x 1) f (3x 1) ，则 f (x) 的图象关于点 (1,0) 对称.又
f (x 2) f (4 x)，所以 f (x) 的图象关于直线 x 3对称，则 f (x) 是以 8 为周期的周期函数，所以
f (7) f (3) 1， f (5) f (1) 0， f (11) f (3) 1， f (23) f (7) 1，故选 CD.
11.ACD 因为 f (π x) f (π x) sin(π x) sin3(π x) sin(π x) sin3(π x) 0 ，所以 f (x) 的
图象关于点 (π,0)中心对称，则 A 正确.
由题意可得 f (x) sin x sin 3x 2sin 2xcos x，则
f π x

2sin
π π
2x

cos

x

2cos 2xcos
π
x

4 2 4 4
，

f π x 2sin π 2x cos π π π x

2cos 2xcos

x
f ，所以 x f
π
4 2 4 4 4
x
4
，所以 f (x)

π
的图象不关于直线 x 对称，则 B 错误.由题意可得 f (x) 2sin 2xcos x 4sin x 4sin 3x .设
4
t sin x [ 1,1]，则 y g(t) 4t 3 4t ，故 g (t) 12t 2 4 4 3t 2 1 .由 g (t) 0，得
3 3 3 3 3
t 3 ；由 g (t) 0，得 1 t 或 t 1，则 g(t)在 1, 和 ,1 上单调递
3 3 3 3 3 3
3
减，在 ,
3 g( 1) g(1) 0 g 3 8 3 g 3 8 3 上单调递增.因为 ， ， ，所以
3 3 3 9 3 9

g(t) 8 3 8 3 8 3 8 3 π 3π 2 , ，即 f (x) 的值域是 , ，则 C 正确.

当 x ,

时，t sin x ,1 .
9 9 9 9 2 4
2
t sin x π , 3π
3 π 3π
因为 在 上单调递减，且 g(t)在 ,1 上单调递减，所以 f (x) 在 , 上单调递增， 2 4 3 2 4
则 D 正确.
9π
12. 2由余弦定理可得 c a2 b2 2abcosC 1 9 2 1 1 3 8，则 c 2 2 .因为 cosC 1 ，
4 3 3
sinC 2 2所以 ，则△ABC c 3 2 9π外接圆的半径 R ，故 ABC外接圆的面积为 πR .
3 2sinC 2 4
3
C ek 5, ln3 ln (n 1)
13.7 由题意可得 0 则 e2k 3，解得 k .因为C k (n 1) 2C 3k 0
e 27C0 ，即C0e 27C0 ，所
0e 15, 2
ln 3(n 1)
以 e 2 27 ln3，所以 (n 1) ln 27 3ln3，解得 n 7 .
2
2π k kπ 1
14.15 由题可知 ，则1 tan2 1 tan2
17 2 17 cos2 kπ
，
17
16 2 16 kπ 16 2 2kπ
16 2kπ
则
k 1 1 tan2 k
2 cos 1 cos 16 cos .
k 1 17 k 1 17 k 1 17
2
16
2sin π cos 2kπ
16
sin (2k 1)π sin (2k 1)π 33π π π由 sin sin 2sin ，17 k 1 17 k 1 17 17 17 17 17
16
得 cos 2kπ 1，故原式 16 1 15 .
k 1 17
2
15.解：（1）因为 cos A 4 ，且0 A π，所以 sin A 1 4 3 .5 5 5
因为 2acosC 3ccos A，所以 2sin AcosC 3sinC cos A，
3
所以 2 cosC 3 4 sinC，即 cosC 2sinC .
5 5
2
因为 sin C cos2C 1 2，所以 sin C 1 .
5
因为0 C π ，所以 sinC 5 .
5
3 4 5 2 5
（2）由（1）可知 sin A ， cos A ， sinC ， cosC ，
5 5 5 5
则 sin B sin(A C) sin AcosC cos AsinC 3 2 5 4 5 2 5 .
5 5 5 5 5
a b c
由正弦定理可得 ，
sin A sin B sinC
b asin B 2 5 c asinC则 ， 5 ，故△ABC的周长为 a b c 3 3 5 .
sin A sin A
3 ( 1) 3 ( 1)
16.解：（1）由图可知 A 2，b 1，
2 2
f (x) 的最小正周期T 2 7π π 2π π .因为T ，且 0 ，所以 2 .
12 12 | |
π
因为 f (x) 的图象经过点 ,3
f π ，所以 2sin
π
12 12
2 1 3，
12
sin π π π π即 1，所以 2kπ (k Z) ，即 2kπ (k Z) .
6 6 2 3
因为0 π π π ，所以 .故 f (x) 2sin 2x 1 .3 3
（2）令 f (x) 0 π 1 π π，得 sin 2x ，则 2x 2kπ (k Z) 或 2x
π
2kπ 5π (k Z)，
3 2 3 6 3 6
解得 x kπ π kπ 7π 或 (k Z)，故 f (x) π 7π的零点为 kπ 或 kπ (k Z) .
4 12 4 12
π π
（3）由题意可得 g(x) 2sin 2 x 1 2sin
π
12 3
2x 1 .
6
x 0, 7π 2x π π 4π 因为 ，所以 , . 12 6 6 3
2x π π π π 当 ，即 x 时， g(x) 取得最大值 g
6 2 6 6
3；

2x π 4π x 7π g(x) g 7π当 ，即 时， 取得最小值 1 3 .
6 3 12 12
g(x) 0, 7π 故 在 上的值域为 1 3,3 . 12
a 3x a 32 x
17.解：（1）因为 f (x) 9a 3a x ，所以 f (2 x) ，3 3 32 x 3 3x 1 9 3x 3
f (x) f (2 x) a 3
x 3a
则 x a .3 3 3x 3
又 log6 3 log612 log6 36 2 ，所以 f log6 3 f log612 a，从而 a 2 .
f (x) 2 3
x 6
（2）由（1）可知 x 2 x ，显然 f (x) 在R上单调递增.3 3 3 3
因为 f (0) 1 ，所以由 2 f x2 3x 1 0 ，可得 f x2 3x2 f (0) ，
2
则 x 3x 0，解得 x 3或 x 0，
故不等式 2 f x2 3x 1 0 的解集为 ( , 3) (0, ) .
18. 2解：（1）当 a 0 时， f (x) 2ln(x 1) x 2x，其定义域为 ( 1, )，
2
f x 2 2x 2 x 2x x(x 2)则 .
x 1 x 1 x 1
当 x ( 1,0) 时， f x 0， f x 的单调递增区间为 ( 1,0)，
当 x (0, ) 时， f x 0 ， f x 的单调递减区间为 (0, )，
故 f (x) 的极大值为 f (0) 0，无极小值.
（2）设 t x 1，t [1, )，g(t) (at 2 a) ln t t 2 1 2 a，t [1, )，则 g (t) a ln t 2t a .
t
2
设 h(t) g (t) ，则 h (t) a 2 a 2t at a 2 2 2 .t t t 2
设m(t) 2t 2 a at a 2 ，则函数m(t) 的图象关于直线 t 对称.
4
①当 a 2时，m(t) 在[1, )上单调递减.
因为m(1) 2a 4 0，所以m(t) 2t 2 at a 2 0 在[1, )上恒成立，即 h (t) 0在[1, )上恒成
立，则h(t)在[1, )上单调递减，即 g (t) 在[1, )上单调递减，
所以 g (t) g (1) 0，所以 g(t)在[1, )上单调递减，则 g(t) g(1) 0，即 f (x) 0在[0, )上恒成
立，故a 2符合题意.
②当 a 2时，m(t) 在[1, )上单调递减或在[1, )上先增后减，
因为m(1) 2a 4 0，所以存在 t0 1，使得m t0 0 .
当 t 1,t0 时，m(t) 0，即 h (t) 0，所以 g (t) 在 1,t0 上单调递增.
因为 g (1) 0，所以 g (t) 0在 1,t0 上恒成立，所以 g(t)在 1,t0 上单调递增，则 g t0 g(1) 0，故
a 2不符合题意.
综上，a的取值范围为 ( ,2] .
19.解：（1）因为 an 2n 3，所以 an 1 2n 1，所以 an 1 an 2 .
因为 a1 1，所以 an 是首项为-1，公差为 2 的等差数列，
S 4n2S 4n 4n 4则 n n
2 2n，所以 S2n 4n
2 4n，所以 2n .
S 2n n 2n n 2
4n 4
因为 不是常数，所以 a
n 2 n
不是“和等比数列”.
（2）①设等差数列 bn 的公差为 d ，前 n项和为 Sn，
S nb n(n 1) d d则 n2 1 d n 1 n
2
，所以 S2n 2dn (2 d )n .2 2 2
因为 bn 是“和等比数列”，所以 S2n kS 2dn2 (2 d )n
kd n2 k kdn，即

n，2 2
2d kd , 2 k 4,
所以 解得 即 bn 的和公比为 4.
2 d k kd , d 2,
2
n
②由①可知bn 1 2(n 1) 2n 1，则 cn 22n 1
，
T 1 2 3 n 1 1 2 n 1 n所以 n 3 5 2n 1 ，所以 T ，2 2 2 2 22 n 23 25 22n 1 22n 1
1 n
1
1
2 22 3T 1 1 1 1 n

所以
n
4 n 2 23 25

22 n 1

22 n 1

1 1
2 n 1 ，
2
22
3T 2 3n 4 8 3n 4即 n 2n 1 ，所以Tn .4 3 3 2 9 9 22n 1
P T 3n 4 8 3n 4 3n 4 8 10 3n 4③设 n n 22n 1

9 9 22n 1 22n 1

9 9 22n 1
，
P 10 3n 7 10 3n 4 5(n 1)n 1 Pn 9 22n 1
0 .
9 22n 1 4n
3n 4
不等式T nn 2n 1 ( 1) m 2 对任意的 n N 恒成立，即不等式 Pn ( 1)
nm 2 对任意的 n N
2
恒成
立.
当n为奇数时， m 2 Pn P1 3，则m 1；min
1 3
当n为偶数时，m 2 Pn P2 ，则m .min 2 2
m 1, 3 综上， 的取值范围是 .
2

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