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2024年山东省淄博市中考数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．（4分）下列运算结果是正数的是（　　）
A．3﹣1 B．﹣32 C．﹣|﹣3| D．
2．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆．将30.7万用科学记数法表示为3.07×10n．则n的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（4分）如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A＝110°，则∠D的度数是（　　）
A．40° B．36° C．35° D．30°
5．（4分）数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（　　）
A．95分， B．96分， C．95分，10 D．96分，10
6．（4分）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35m．又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（4分）如图，其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）若设门的高和宽分别是x尺和y尺．则下面所列方程组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（4分）如图所示，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（　　）
A．2 B． C． D．
9．（4分）如图所示，正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y的图象上，直线DG与x，y轴分别相交于点M，N．若这两个正方形的面积之和是，且MD＝4GN．则k的值是（　　）
A．5 B．1 C．3 D．2
10．（4分）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系．
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min；
②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min；
④A，B两地之间的距离是11200m．
其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）
11．（4分）计算：　 　．
12．（4分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，3），将线段AB平移得到线段CD．若点A的对应点是C（1，2），则点B的对应点D的坐标是 　 　．
13．（4分）若多项式4x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 　 　．
14．（4分）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交于点F．若∠ACD＝2∠OEC，，则菱形ABCD的面积为 　 　．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，作直线x＝i（i＝1，2，3，…）与x轴相交于点Ai，与抛物线相交于点Bi，连接AiBi+1，BiAi+1相交于点 i，得△AiBi i和△Ai+1Bi+1 i，若将其面积之比记为ai，则a2024＝　 　．
三、解答题（共8题90分）
16．（10分）解不等式组：，并求所有整数解的和．
17．（10分）如图，已知AB＝CD，点E，F在线段BD上，且AF＝CE．
请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE．
你添加的条件是：　 　（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明AE∥CF．
18．（10分）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值）
19．（10分）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）：
调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程
调查方式 随机问卷调查随机问卷调直
调查对象 随机问卷调直部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在1～3.5h范围内）
调查内容 （1）你的周家条劳动时间（单位，h）是 ①1～1.5②1.5～2③2～2.5④2.5～3⑤3～3.5 （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A．家政B．烹饪C．剪纸D．园艺E．陶艺
调查结果
结合调查信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生人数 　 　名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为 　 　度；
（2）补全周家务劳动时间的频数分布直方图；
（3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；
（4）小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率．
20．（12分）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
21．（12分）如图，一次函数y＝k1x+2的图象与反比例函数y的图象相交于A（m，4），B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO＝2．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积；
（3）根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2的解集．
22．（13分）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了⊙O的内接等腰三角形ABC，AB＝AC．并在BC边上任取一点D（不与点B，C重合），连接AD，然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE．如图①
小明发现：CE与⊙O的位置关系是 　 　，请说明理由：
【实践探究】
连接DE，与AC相交于点F．如图②，小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值．请求出当AB＝3，BC＝6时，CF长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比CD：DB与点F分线段DF所成的比DF：FE始终相等．请予以证明．
23．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点（点A在点B的左侧），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，抛物线与y轴相交于点C．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）已知直线l：y＝3x+9与x，y轴分别相交于点D，E．
①设直线BC与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF＝∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点M作直线BC的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线MB，NC相交于点Q．连接QD，QE．求线段QD+QE的最小值．
2024年山东省淄博市中考数学试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．A 2．C 3．B 4．C 5．D 6．A
7．D 8．A 9．C 10．B
二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）
11． 12．（3，4） 13．±12 14．96 15．
三、解答题（共8题90分）
16．（10分）解：，
解不等式①得：x＜1；
解不等式②得：x＞﹣4，
∴原不等式组的解集﹣4＜x＜1，
∴不等式组所有整数解的和为﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0＝﹣6．
17．（10分）解：当选择①BF＝DE时，△ABF≌△CDE，证明如下：
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SSS），
∴∠B＝∠D，
∴AE∥CF；
当选择②∠BAF＝∠DCE时，△ABF≌△CDE，证明如下：
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS）；
∴∠B＝∠D，
∴AE∥CF；
当选择③AF＝CF时，不能判定△ABF≌△CDE，
故答案为：①（答案不唯一）．
18．（10分）解：由对话可得a＝﹣3，b＝2，
原式
，
当a＝﹣3，b＝2时，
原式．
19．（10分）解：（1）参与本次问卷调查的学生人数为20÷20%＝100（名）．
在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为360°126°．
故答案为：100；126．
（2）周家条劳动时间是③2～2.5的人数为100﹣10﹣20﹣35﹣10＝25（人）．
补全周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示．
（3）800176（人）．
∴估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数约176人．
（4）列表如下：
A B C D E
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） （C，E）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） （D，E）
E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） （E，E）
共有25种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴两人恰好选到同一门课程的概率为．
20．（12分）解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：32（1+x）2＝50，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，
由题意得：m（160040）＝240000，
整理得：m2﹣500m+60000＝0，
解得：m1＝200，m2＝300（不符合题意，舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
21．（12分）解：（1）由y＝k1x+2得D（0，2），
∵tan∠ACO＝2，
∴2，
∴C（﹣1，0），
代入y＝k1x+2得k1＝2，
∴一次函数解析式为y＝2x+2．
过A作AM⊥x轴，如图1．
∴tan∠ACO2，
∵AM＝4，
∴CM＝2，
∴OM＝1，
∴A（1，4），
代入y得k2＝4，
∴反比例函数解析式为y．
（2）如图2：过A作AN∥y轴，交BE于N．
联立y＝2x+2和y得x2+x﹣2＝0，
∴x＝﹣2或1，
∴B（﹣2，﹣2）．
∴BD2，
∴DE＝DB＝2，
∴OE4，
∴E（4，0），
设直线BE解析式为y＝mx+n，
∴，
∴m，n，
∴直线BE解析式为yx，
∴N（1，﹣1），
∴△ABE面积（4+1）（4+2）＝15．
（3）看图得：当﹣2＜x＜0或x＞1时，k1x+2，即2x+2．
22．（13分）解：操作发现：
连接CO并延长交⊙O于点M，连接AM，
∵MC是⊙O直径，
∴∠MAC＝90°，
∴∠AMC+∠ACM＝90° 由旋转的性质得∠B＝∠ACE，
∵∠B＝∠AMC，
∴∠ACE＝∠AMC，
∵OCE＝∠ACM+∠ACE＝∠ACM+∠AMC＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE与⊙O相切；
实践探究：由旋转的性质得：∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD即∠BAC＝∠DAE，
∵AB＝AC，
∴，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠B＝∠ADE＝∠ACB，
∵∠ADC＝∠ADE+∠CDF＝∠B+∠BAD，
∴∠CDF＝∠BAD，
∴△ABD∽△DCF，
∴，
设BD＝x，
则CD＝6﹣x，
∴，
∴CF（6﹣x）（x﹣3）2，
∵0，
∴当x＝3时，CF有最大值为 ；
问题解决：证明：过点E作EN∥BC交AC于点N，
∴∠ENC＝∠ACB，
由旋转的性质知：∠B＝∠ACE，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ACE，
∴∠ENC＝∠ACE，
∴EN＝CE，
由旋转的性质得：△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴BD＝EN，
∵EN∥BC，
∴△CDF∽△NEF，
∴，
∵BD＝EN，
∴．
23．（13分）解：（1）∵x1，x2是x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点，
∴，
解得，
∴抛物线函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①存在，理由如下：
∵直线y＝3x+9与x、y轴分别交于点D、E，
∴x＝0时，y＝9，
y＝0时，3x+9＝0，x＝﹣3，
∴点D（﹣3，0）、E（0，9），
∴OD＝3，OE＝9，
∴tan∠OED，
由抛物线可知：当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠FCE＝∠OCB＝45°，
∵∠DFB是△CEF的外角，
∴∠DFB＝∠FCE+∠FEC＝45°+∠FEC，
∵∠DFB＝∠PBF＝∠CBO+∠PBQ＝45°+∠PBQ，
∴∠PBQ＝∠FEC，
∴tan∠PBQ，
设P（m，﹣m2+2m+3），则BQ＝3﹣m，PQ＝m2﹣2m﹣3，
∴，
∴m＝3（舍去）或，
∴P（，）；
②∵过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N，
设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN的解析式 为：y＝﹣x+n，
设直线BM的解析式为y＝k1x+m，
将B（3，0）代入得3k1+m＝0，
解得：m＝﹣3k1，
∴直线BM的解析式为y＝k1x﹣3k1，
设直线CN的解析式为y＝k2x+m1，
将C（0，3）代入得m1＝3，
∴直线CN的解析式为y＝k2x+3；
联立方程组，得x2﹣3x+n﹣3＝0，
∴x1+x2＝3，
将M（x1，y1）代入y＝k1x﹣3k1，y＝﹣x2+2x+3 得：
，
∴（k1﹣2）x﹣3（k1+1）＝0，
∴（x1﹣3）[x1+（k1+1）]＝0，
解得：k1＝﹣1﹣x1，
将N（x2，y2）代入y＝k2x+3，y＝﹣x2+2x+3 得：
，
∴（ k2﹣2）x2＝0，
∴x2（x2+k2﹣2）＝0，
解得：k2＝2﹣x2，
联立方程组，
得出xQ，
∴点Q在直线x上运动，
在y＝3x+9中，令x＝0，则y＝9，即E（0，9），
如图，作点E关于直线x的对称点E'，连接DE'交直线x于Q'，连接EQ'，则E'（3，9），
由轴对称性质可得EQ'＝EQ'，
∴QD+QE的最小值＝DQ'+EQ'＝DQ'+E'Q'＝DE'，
由两点之间线段最短可得：线段QD+QE的最小值为DE'，
∵DE'，
∴线段QD+QE的最小值为．
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