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2024年山东省日照市中考数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填在括号里。
1．（3分）实数，0，，1.732中无理数是（　　）
A． B．0 C． D．1.732
2．（3分）交通运输部2024年4月发布的全国港口货物吞吐量数据显示，日照港2024年第一季度吞吐量为15493万吨，居全国主要港口第6位．将数据154930000用科学记数法表示为（　　）
A．15.493×107 B．1.5493×108
C．0.15493×109 D．15493×104
3．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O．若∠1＝40°，∠2＝120°，则∠COM的度数为（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
4．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（　　）
A．主视图会发生改变
B．左视图会发生改变
C．俯视图会发生改变
D．三种视图都会发生改变
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（2a2）3＝6a6 B．a3﹣a2＝a
C．a3 a4＝a12 D．a4÷a3＝a
6．（3分）某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（　　）
A．9，9 B．14，9 C．14，8.5 D．9，8.5
7．（3分）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（　　）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托＝5尺）
A． B．
C． D．
8．（3分）已知，实数x1，x2（x1≠x2）是关于x的方程kx2+2kx+1＝0（k≠0）的两个根．若，则k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
9．（3分）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（　　）
（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．41m B．42m C．48m D．51m
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．无法确定
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①abc＜0；②a+c＝b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1） （x﹣5）；④当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：2，4，进行第1次构造，得到新的一列数：2，6，4，第2次构造后，得到一列数：2，8，6，10，4，…，第n次构造后得到一列数：2，x1，x2，x3，…，xk，4，记an＝2+x1+x2+x3+ +xk+4．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（　　）
A．a3＝84 B．为偶数
C．an+1＝3an﹣6 D．k＝2n﹣1
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分.不需写出解答过程，请将答案直接写在横线上。
13．（3分）计算：|2|20240＝　 　．
14．（3分）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形 　 　边形．
15．（3分）已知一次函数y1＝ax（a≠0）和y2x+1，当x≤1时，函数y2的图象在函数y1的图象上方，则a的取值范围为 　 　．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），是矩形OABC的顶点，点M，N分别为边AB，OC上的点，将矩形OABC沿直线MN折叠，使点B的对应点B'在边OA的中点处，点C的对应点C′在反比例函数y（k≠0）的图象上，则k＝　 　．
三、解答题：本题共6个小题，满分72分.请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（1）解不等式组：；
（2）先化简，再求值：（），其中x满足x2﹣2x﹣1＝0．
18．（10分）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年5月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表：
单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分
团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
a．甲、乙两班五个单项得分折线图：
b．丙班五个单项得分表：
项目 一 三 三 四 五
得分 78 m 94 90 92
根据以上信息，回答下列问题：
（1）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，求丙班第二个单项的得分m；
（2）若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是　 　班；（填“甲”“乙”或“丙”）
（3）获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有A，B，C三种图书可供选择．请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率．
19．（12分）如图，以 ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点H．
（1）由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是 　 　；
（2）求证：CB＝CH；
（3）若AB＝4，AG＝2GD，∠ABC＝60°，求△BCH的面积．
20．（12分）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的；
【问题解决】
问题一：求出A，B两种书架的单价；
问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
21．（14分）如图1，AB为⊙O的直径，AB＝12，C是⊙O上异于A，B的任一点，连接AC，BC，过点A作射线AD⊥AC，D为射线AD上一点，连接CD．
【特例感知】
（1）若BC＝6，则AC＝　 　；
（2）若点C，D在直线AB同侧，且∠ADC＝∠B，求证：四边形ABCD是平行四边形；
【深入探究】
若在点C运动过程中，始终有tan∠ADC，连接OD．
（3）如图2，当CD与⊙O相切时，求OD的长度；
（4）求OD长度的取值范围．
22．（14分）已知二次函数y＝﹣x2+（2a+4）x﹣a2﹣4a（a为常数）．
（1）求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）当a+1≤x≤2a+5（a≥﹣1）时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式；
（3）若二次函数图象对称轴为直线x＝1，该函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为CD的中点，过点M的直线l（直线l不过C，D两点）与二次函数图象交于E，F两点，直线CE与直线DF相交于点P．
①求证：点P在一条定直线上；
②若S△COPS△ABP，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由．
2024年山东省日照市中考数学试题参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填在括号里。
1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6．A 7．A
8．B 9．B 10．A 11．C 12．D
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分.不需写出解答过程，请将答案直接写在横线上。
13．1 14．8 15．a 16．
三、解答题：本题共6个小题，满分72分.请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）解：（1），
解不等式①，得x＜6，
解不等式②，得x，
∴不等式组的解集为：x＜6；
（2）（）
，
∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴原式．
18．（10分）解：（1）去掉最高分86分，最低分80分后，m（84+83+82）＝83（分），
所以丙班第二个单项得分为83分；
（2）由统计图和统计表可以看出乙班五项成绩波动较小，整体发挥稳定性最好，
故答案为：乙；
（3）树状图略，
由图可知共有9种等可能的情况，两个班选择同一种图书的情况共有3种，
∴P．
19．（12分）（1）解：由作图可知，∠1与∠2的数量关系是∠1＝∠2，
故答案为：∠1＝∠2；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠CHB，
由作图可知，∠1＝∠2，
∴∠CHB＝∠2，
∴CB＝CH；
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∴∠2＝∠AGB，
由作图可知，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠AGB，
∴AG＝AB＝4，
∵AG＝2GD，
∴GD＝2，
∴BC＝AD＝AG+GD＝4+2＝6，
由（2）可知，CH＝CB＝6，
过点H作HK⊥BC，交BC的延长线于点K，
则∠HKC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠HCK＝∠ABC＝60°，
在Rt△HCK中，HK＝CH sin∠HCK＝63，
∴S△BCHBC HK6×39．
20．（12分）解：问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是（1+20%）x元，
根据题意得：6，
解得：x＝1000，
经检验，x＝1000是所列方程的解，且符合题意，
∴（1+20%）x＝（1+20%）×1000＝1200．
答：A种书架的单价是1200元，B种书架的单价是1000元；
问题二：∵现需购进20个书架用于摆放书籍，且购买a个A种书架，
∴购买（20﹣a）个B种书架．
∵购买A种书架数量不少于B种书架数量的，
∴a（20﹣a），
解得：a≥8．
∵购买总费用为w元，A种书架的单价是1200元，B种书架的单价是1000元，
∴w＝1200a+1000（20﹣a），
即w＝200a+20000，
∵200＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝8时，w取得最小值，此时20﹣a＝20﹣8＝12，
∴费用最少时的购买方案为：购买8个A种书架，12个B种书架；
问题三：根据题意得：（1200﹣m）×8+（1000m）×12＝21120，
解得：m＝120．
答：m的值为120．
21．（14分）（1）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC6，
故答案为：6；
（2）证明：∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝∠BCA＝90°，
∴AD∥BC，
∵∠ADC＝∠B，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）解：在Rt△ACD中，
∵tan∠ADC，
∴∠ADC＝60°，∠ACD＝30°，
如图2，连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
又∵∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACD＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠OCB＝∠ACD＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝AB sin30°＝6，
在Rt△ACD中，CD4，
∴在Rt△COD中，OD2；
（4）解：如图3，过点A作射线AF⊥AB，作射线OF满足∠AOF＝60°，射线AF与OF交于点F，连接OC、CF，
在Rt△AOF中，AF＝OA tan60°OA，
∵tan∠ADC，
∴，
∵AF，
∴，
∵∠DAC＝∠OAF＝90°，
∴∠DAC+∠CAO＝∠OAF+∠CAO，即∠DAO＝∠CAF，
∴△CAF∽△DAO，
∴，即FC，
在Rt△AOF中，
∵，
∴12，
又∵|OF﹣OC|≤CF≤OF+OC，
∴6≤CF≤18，
∴2OD．
22．（14分）（1）证明：当y＝0时，
﹣x2+（2a+4）x﹣a2﹣4a＝0，
∴（x﹣a）（x﹣a﹣4）＝0，
∴x1＝a，x2＝a+4，
∴不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）解：∵y＝﹣（x﹣a﹣2）2+4，
∴抛物线的顶点是（a+2，4），
∵a≥﹣1，
∴（2a+5）﹣（a+2）＝a+3≥2，
∴a+1＜a+2＜2a+5，
∴y最大＝4，y最小＝﹣（a+3）2+4，
∵当a+1≤x≤2a+5（a≥﹣1）时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，
∴4+（a+3）2﹣4＝9，
∴a＝﹣6或a＝0（舍去），
∴y＝﹣（x+6﹣2）2+4＝﹣（x﹣4）2+4；
（3）①证明：如图，
作FG⊥CD于G，作FH⊥对称轴x＝1于点H，作PQ⊥CD于Q，作PV⊥FH于V，作DW⊥FH于W，
∵对称轴x＝a+2＝1，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，D（2，3），M（1，3），
设E（m，﹣m2+2x+3），F（n，﹣n2+2n+3），
∵CD∥FH，
∴∠FMG＝∠MFH，
∴tan∠FMG＝tan∠MFH，
∴，
∴，
化简得，
（m﹣n）（mn﹣m﹣n+2）＝0，
∵m﹣n≠0，
∴mn﹣m﹣n+2＝0，
∴mn＝m+n﹣2，
设P（x，y），
同理可得，
，
∴，，
∴x，y
把mn＝m+n﹣2代入y＝5，
∴点P在一条定直线上y＝5上；
②解：由﹣x2+2x+3＝0得，
x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵yP＝5，
∴S△ABP，
∵S△COPS△ABP，
∴，
∴6，
∴xP+±4，
当xP＝4时，
，
又mn﹣m﹣n+2＝0，
∴或（舍去），
当n＝﹣1时，﹣n2+2n+3＝﹣1﹣2+3＝0，
∴F（﹣1，0），
∵M（1，3），
∴直线l的解析式为：y，
当x＝﹣4时，
，
∴或（舍去），
∴，
∴F（），
∴直线l的解析式为：yx，
综上所述：当S△COPS△ABP时，直线l的解析式为：y或yx．
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