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10.1.3　古典概型
【学习目标】
　　1.会计算古典概型中的简单随机事件的概率.
　　2.在解决问题的过程中,提升数学抽象、数学建模、数学运算素养.
◆ 知识点一　古典概型的概念
1.事件的概率
对随机事件发生可能性大小的　　　　(数值)称为事件的概率,事件A的概率用　　　　表示.
2.古典概型
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(1)有限性:样本空间的样本点只有　　　　;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性　　　　.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等. (　 )
(2)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的.(　 )
(3)“在适宜条件下种下一粒种子,观察它是否发芽”是古典概型. (　 )
(4)袋中装有大小均匀的四个红球、三个白球和两个黑球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相等.(　 )
2.某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的所有可能结果只有有限个:命中10环、命中9环、…、命中1环和脱靶.你认为这是古典概型吗 为什么
◆ 知识点二　古典概型的概率计算
1.计算公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=　　　　=.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点　　　　.
2.计算样本点个数时要注意两个区别
(1)“无序”与“有序”的区别:“无序”指取出的元素没有先后次序,常用“任取”表述,“有序”指取出的元素有先后次序,常用“依次取出”表述,但是“任取”样本空间中样本点的个数可以按没有次序去计算,也可以按有次序去计算;
(2)“有放回”与“无放回”的区别:“有放回”中取出的元素可以重复,“无放回”中取出的元素不可以重复.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛两枚质地均匀的硬币,该试验的样本点有“两枚都正面朝上”“两枚都反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”,共3个. (　 )
(2)古典概型的概率公式为P(A)=,其中k为事件A包含的样本点个数,n为样本空间Ω包含的样本点个数. (　 )
(3)从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为. (　 )
◆ 探究点一　古典概型的判定
例1 袋中有大小相同的3个白球,2个红球,2个黄球,每个球有一个区别于其他球的编号,从中随机摸出1个球.
(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典慨型
(2)把球的颜色作为划分样本点的依据,有多少个样本点 以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型
变式 下列问题是古典概型的是 (　 )
A.小杨种下一粒种子,求种子能长出果实的概率
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点
C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中,任选一名志愿者参加跳高项目,求甲被选中的概率
D.抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止,抛掷的次数作为样本点
[素养小结]
判断试验是不是古典概型,关键看是否符合两大特征:有限性和等可能性.
◆ 探究点二　古典概型的概率
例2 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,事件A=“两数之和为8”,事件B=“两数之和是3的倍数”,事件C=“两个数均为偶数”.
(1)写出该试验的样本空间Ω,并求事件A发生的概率;
(2)求事件B发生的概率;
(3)求事件A与事件C至少有一个发生的概率.
变式1 掷一枚质地均匀的骰子,出现3点或5点的概率为　　　　.
变式2 [2024·河南南阳六校高一期末] 某学校开设了街舞、围棋、武术三个社团,三个社团参加的人数如下表所示:
社团 街舞 围棋 武术
人数 48 42 30
为调查社团活动开展情况,学校社团管理部采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个样本,已知从围棋社团抽取的同学比从街舞社团抽取的同学少1人.
(1)求三个社团分别抽取的人数;
(2)已知从围棋社团抽取的同学中有2名女同学,若从围棋社团被抽取的同学中随机选出2人担任该社团活动监督的职务,求至少有1名女同学担任监督职务的概率.
[素养小结]
1.求古典概型的基本方法:
首先,判断每个样本点发生的可能性是否相等,并用字母A表示所求事件;其次,求出样本空间Ω包含的样本点的个数n及事件A包含的样本点的个数k;最后,利用公式P(A)==,求出事件A发生的概率.
2.求概率时,若事件可以表示成有序数对的形式,则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示,也可以采用数形结合法用图表表示,使问题变得更为直观.
◆ 探究点三　较复杂的古典概型
例3 袋子中有5个大小、质地完全相同的球,其中红球3个,白球2个.
(1)从中有放回地依次随机摸出2个球,求第一次摸到白球的概率;
(2)从中无放回地依次随机摸出2个球,求第二次摸到白球的概率;
(3)若同时随机摸出2个球,求至少摸到一个白球的概率.
变式 袋中有形状、大小完全相同的4个小球,4个小球的标号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中一次随机摸出2个小球,求摸出的2个小球的标号之和为奇数的概率.
(2)从袋中每次随机摸出1个小球,有放回地摸两次.甲、乙约定:若两次摸出的小球的标号之和为奇数,则甲胜,反之,则乙胜.你认为此游戏是否公平 说明你的理由.
[素养小结]
解题时要注意是“有放回抽取”还是“不放回抽取”,若是“有放回抽取”,则在每次抽取之前,产品种类及个数都不发生变化,因此某件产品被抽到的概率也不变;若是“不放回抽取”(假设每次抽取的结果都可知),则在每次抽取之前,所剩产品种类及个数都在发生变化,因此某件产品被抽到的概率也在不断变化.
拓展 袋中装有6个形状、大小完全相同的球,其中黑球2个、白球2个、红球2个,规定取出1个黑球记0分,取出1个白球记1分,取出1个红球记2分,抽取这些球的时候,谁也无法看到球的颜色.首先由甲取出3个球,并不再将它们放回原袋中,然后由乙取出剩余的3个球,规定取出球的总得分多者获胜.
(1)求甲、乙成平局的概率;
(2)从概率的角度分析取球的顺序是否影响比赛的公平性.
10.1.3　古典概型
【课前预习】
知识点一
1.度量　P(A)
2.(1)有限个　(2)相等
诊断分析
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　[解析] (1)∵古典概型中具有等可能性,∴每一个样本点出现的可能性相等,故正确.
(2)∵古典概型中的任何两个样本点都不能同时发生,∴都是互斥的,故正确.
2.解:不是古典概型.虽然试验的所有可能结果只有11个,但命中10环、命中9环、…、命中1环和脱靶的出现不是等可能的,所以不满足古典概型的等可能性.
知识点二
1.　个数
诊断分析
(1)×　(2)√　(3)×
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)是古典概型,因为样本点个数有限,而且每个样本点发生的可能性相等,所以是古典概型.
(2)把球的颜色作为划分样本点的依据,可得到“取得1个白球”“取得1个红球”“取得1个黄球”3个样本点.样本点个数有限,但“取得1个白球”的可能性与“取得1个红球”或“取得1个黄球”的可能性不相等,即不满足等可能性,故不是古典概型.
变式　C　[解析] A选项,种子长出果实,不长出果实的发生不是等可能的,故A选项不是古典概型;B选项,取出的正整数不满足“有限性”,所以B选项不是古典概型;C选项,在甲、乙、丙、丁4名志愿者中,任选一名志愿者参加跳高项目,样本空间的样本点是有限的,且每个样本点的发生是等可能的,所以C选项是古典概型;D选项,抛掷的次数不满足“等可能性”,所以D选项不是古典概型.故选C.
探究点二
例2　解:(1)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,
该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共有36个样本点.
事件A=“两数之和为8”包含的样本点为(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个,
∴事件A发生的概率P(A)=.
(2)∵事件B=“两数之和是3的倍数”,∴事件B包含的样本点有12个,分别为(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),∴事件B发生的概率P(B)==.
(3)事件A与事件C至少有一个发生包含的样本点有11个,分别为(2,2),(2,4),(2,6),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(6,2),(6,4),(6,6),∴事件A与事件C至少有一个发生的概率为P(A∪C)=.
变式1　　[解析] 出现3点或5点的概率P==.
变式2　解:(1)设抽样比为x,则由比例分配的分层随机抽样法可知,街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为48x,42x,30x.由题意得48x-42x=1,解得x=,
故街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为48×=8,42×=7,30×=5.
(2)由(1)知,从围棋社团抽取的同学有7人,其中2名女同学记为A,B,5名男同学记为C,D,E,F,G.
从7人中随机选出2人担任该社团活动监督的职务,则样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G)},共包含21个样本点.
记事件M=“至少有1名女同学担任监督职务”,则M= {(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G)},共包含11个样本点,所以P(M)=,
故至少有1名女同学担任监督职务的概率为.
探究点三
例3　解:(1)记3个红球的编号分别为1,2,3,2个白球的编号分别为4,5,则在有放回情况下,
第一次摸球时有5种等可能的结果,对应第一次摸球的每个可能结果,第二次摸球时都有5种等可能的结果.将两次摸球的结果配对,组成25种等可能的结果.
如表1所示.
表1
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
第一次摸到白球的可能结果有10种,见表中后两行.　　
记A= “第一次摸到白球”,则P(A)==.
(2)在无放回情况下,第一次摸球时有5种等可能的结果,对应第一次摸球的每个可能结果,第二次摸球时都有4种等可能的结果.将两次摸球的结果配对,组成20种等可能的结果,如表2所示.
表2
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5)
3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) ×
第二次摸到白球的可能结果有8种,见表中后两列.
记B= “第二次摸到白球”,则P(B)==.
(3)“同时摸出2个球”的可能结果有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,
其中至少摸到一个白球包含的可能结果有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共7种,
记C= “至少摸到一个白球”,则P(C)=.
变式　解:(1)从袋中一次随机摸出2个小球,该试验的样本空间Ω1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共包含6个样本点,
设事件A=“摸出的2个小球的标号之和为奇数”,则 A={(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)},共包含4个样本点,
故P(A)==.
(2)从袋中每次随机摸出1个小球,有放回地摸两次,则该试验的样本空间Ω2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共包含16个样本点,
设事件B=“两次摸出的小球的标号之和为奇数”,则B={(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)},共包含8个样本点,所以P(B)==,
同理得两次摸出的小球的标号之和为偶数的概率为,所以甲、乙获胜的概率均为,故此游戏公平.
拓展　解:(1)记黑球为1,2,白球为3,4,红球为5,6,甲从中取出3个球,样本空间Ω={123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456},共包含20个样本点,当甲、乙成平局时,甲取出的3个球是1个黑球、1个白球、1个红球,共包含8个样本点,故甲、乙成平局的概率P1==.
(2)甲获胜时,得分只能是4分或5分,即取出的是2个红球、1个白球或1个红球、2个白球或2个红球、1个黑球,共包含6个样本点,故甲获胜的概率P2==,同理,乙获胜的概率P3==,所以P2=P3,故取球的顺序不影响比赛的公平性.

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