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第九章　统计
9.1　随机抽样
9.1.1　简单随机抽样
【学习目标】
　　1.了解随机抽样的必要性和重要性,理解随机抽样的目的和基本要求.
　　2.会用两种简单随机抽样方法(抽签法和随机数法)进行抽样.
　　3.掌握用样本平均数估计总体平均数的方法.
◆ 知识点一　普查与抽样调查
1.普查与抽样调查
调查 方式 全面调查 (普查) 抽样调查
定义 对　　　　　　　都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查 根据一定目的,从总体中抽取　　　　进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查
相关 概念 总体:在一个调查中,　　　　　　的全体称为总体(为了强调调查目的,也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体) 样本:从总体中抽取的那部分　　　　　　称为样本
个体:组成总体的每一个　　　　　　称为个体 (把调查对象的某些指标的全体作为总体时,每一个调查对象的相应指标作为个体) 样本量:样本中包含的　　　　称为样本容量,简称样本量
优、 缺点 优点是精确,缺点是不宜经常进行,需要耗费巨大的财力、物力 优点是花费少、效率高、易操作,缺点是不够精确
2.样本数据:调查样本获得的变量值称为样本的观测数据,简称样本数据.
◆ 知识点二　简单随机抽样
1.简单随机抽样的概念
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中　　　抽取n(1≤n如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都　　　,我们把这样的抽样方法叫作放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的　　　　被抽到的概率都　　　　,我们把这样的抽样方法叫作不放回简单随机抽样
简单随机抽样:放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为　　　　　　　.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
2.与放回简单随机抽样比较,不放回简单随机抽样的　　　　.除非特殊声明,本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样.
3.最常用的简单随机抽样的方法有两种:　　　　和　　　　　.
◆ 知识点三　抽签法与随机数法
1.抽签法
抽签法的具体操作步骤:
(1)给总体中的N个个体编号;
(2)制作号签,并将号签放在一个不透明容器中;
(3)充分搅拌均匀;
(4)从中不放回地逐个抽取n次,得到容量为n的样本.
2.随机数法
随机数法的步骤:给总体的N个个体依次编号,例如1~N,用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本,重复上述过程,直到抽足样本所需要的个数.
产生随机数的方法:
(1)用随机试验生成随机数.
(2)用信息技术生成随机数:
①用　　　　生成随机数;
②用　　　　软件生成随机数;
③用R统计软件生成随机数.
3.抽签法与随机数法的异同点
抽签法 随机数法
不同点 ①抽签法比随机数法简单; ②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况 随机数法适用于总体中的个体数相对较多的情况
相同点 ①都是简单随机抽样,并且要求被抽取样本的总体的个数有限; ②都是从总体中逐个不放回地抽取
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验,适合用抽签法. (　 )
(2)从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验,适合用抽签法. (　 )
(3)从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验,适合用随机数法. (　 )
◆ 知识点四　样本平均数与总体平均数
1.概念:
(1)总体平均数的定义:一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称==　　　　　为总体均值,又称　　　　　　.
(2)总体均值的加权平均数形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式 =　　　　　　.
(3)样本平均数的定义:如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称==yi为样本均值,又称　　　　　　　.
2.样本平均数与总体平均数的关系
(1)样本平均数的求得往往比较简单易行,而当总体中的个体数比较多时,计算其平均数比较费时麻烦.
(2)样本是总体中的部分数据,随着选取样本的不同,其平均数也不一定　　　　,但总体平均数是一个确定的值.
(3)在随机抽样中,一般用　　　　　去估计总体平均数.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)总体平均数是总体的一项重要特征. (　 )
(2)对于一组数据,样本平均数与总体平均数一定相等. (　 )
◆ 知识点五　总体比例与样本比例
1.总体比例的定义
总体中具有某种特征的个体数占总体容量的比例称为总体比例,通常记作P.
2.样本比例的定义
样本中具有此种特征的个体数占样本量的比例称为样本比例,通常记作p.
3.在简单随机抽样中,用样本平均数可以估计　　　　 ,用样本中的比例p可以估计　　　　　　　P.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在简单随机抽样中,可以用样本平均数估计总体平均数. (　 )
(2)在简单随机抽样中,可以用样本中的比例估计总体中的比例. (　 )
(3)在样本数据1,1,2,2,1,2,1,2,2,1,1,2,1,1,1,2,1,1,2,2中,1所占的比例是0.55. (　 )
◆ 探究点一　普查与抽样调查
例1 (1)从某年级的500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析,下列说法错误的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.500名学生的体重是总体
B.每名学生的体重是个体
C.抽取的60名学生的体重是一个样本
D.抽取的60名学生的体重是样本量
(2)下列调查项目中,哪些适宜普查 哪些适宜抽样调查
①在中学生中,喜欢阅读大学生、中学生写的小说的学生分别所占的百分比;
②“五一”期间,乘坐火车的人比平时多很多,铁路部门要了解所有旅客是否都是购票乘车的;
③即将进入市场的大量猪肉是否符合防疫标准;
④全国观众对中央电视台“春节联欢晚会”的满意程度.
变式 (1)下列调查方式中合适的是 (　 )
A.了解一批节能灯的使用寿命,采用普查的方式
B.调查你所在班级同学的身高,采用抽样调查的方式
C.调查长江某段水域的水质情况,采用抽样调查的方式
D.调查全市中学生每天的就寝时间,采用普查的方式
(2)交警在某高速公路的某路段随机观测6辆车的行驶速度,观测结果如下:
车序号 1 2 3 4 5 6
速度(km/h) 115 98 105 100 80 78
①交警采取的是　　　　调查的方式.
②为了强调调查目的,这次调查的样本是　　　　　　　　,个体是　　　　　　　　.
[素养小结]
一般地,如果调查对象较少,容易调查,那么适合普查;如果调查对象较多或者具有破坏性,那么适合抽样调查.
◆ 探究点二　简单随机抽样的理解
例2 (1)(多选题)关于简单随机抽样的特点有以下几种说法,其中正确的是 (　 )
A.要求总体中的个体数有限
B.从总体中逐个抽取
C.这是一种不放回抽样
D.每个个体被抽到的概率不相等,与先后顺序有关
(2)下面的抽样方法是简单随机抽样吗 为什么
①从无数个个体中抽取50个个体作为样本;
②国家跳水队挑出最优秀的10名跳水队员;
③一彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中不放回地逐个抽出7个号签.
变式 (1)对于简单随机抽样,每个个体被抽到的概率 (　 )
A.相等 B.不相等
C.不确定 D.与抽取的次数有关
(2)(多选题)下列抽样方法是简单随机抽样的有 (　 )
A.从20名同学中逐个抽取5名同学参加义务劳动
B.从20个零件中一次性批量随机抽取3个进行质量检验
C.某班有45名同学,指定成绩最好的5名同学参加学校组织的某项活动
D.中国福利彩票30选7,得到7个彩票中奖号码
[素养小结]
简单随机抽样的三个特征:
(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的;
(2)抽取的样本是从总体中不放回逐个抽取的;
(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样.
如果这三个特征有一个不满足,就不是简单随机抽样.
◆ 探究点三　抽签法和随机数法的应用
例3 某大学为了支援我国西部教育事业,决定从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组.请用抽签法和随机数法设计抽样方案.
变式 (1)抽签法中确保样本具有代表性的关键是 (　 )
A.总体中的个体数较少
B.搅拌均匀
C.逐一抽取
D.抽取后不放回
(2)某市举行以“国防教育”为主题的中小学演讲比赛,若将报名的80位学生编号为00,01,02,…,78,79,利用科学计算器依次生成一组随机数如下:
45　67　32　12　12　31　08　07　34　52　35　21　01　12　51　29
32　04　92　34　49　35　82　00　36　23　48　69　69　38　74　81
若利用这组随机数来抽取样本,选取方法是从产生的随机数的第1行第4列开始向右读,则选出来的第6个个体的编号为　　　　.
[素养小结]
(1)应用抽签法时号签要搅拌均匀.
(2)当总体容量较大,样本容量不大时,可用随机数法抽取样本.
◆ 探究点四　样本平均数与总体平均数的计算及应用
例4 (1)甲在某随机试验中得到一组数据6,8,8,9,8,9,8,8,7,9.关于这组数据,下列说法中错误的是 (　 )
A.小于8的数所占的比例为0.2
B.平均数为8
C.不大于8的数所占的比例为0.7
D.平均数为8.5
(2)若是x1,x2,…,x100的平均数,a是x1,x2,…,x20的平均数,b是x21,x22,…,x100的平均数,则下列各式中正确的是 (　 )
A.=a+b B.=a+b
C.=a+b D.=
(3)某校在“爱护地球,绿化祖国”的创建活动中,组织学生开展植树造林活动,为了解全校学生的植树情况,学校随机抽查了100名学生的植树情况,将调查数据整理如下表:
植树棵树 4 5 6 8 10
人数 28 22 25 16 9
由表可知这100名学生平均每人植树　　　　棵;若该校共有1000名学生,则可估计该校学生的植树总棵数是　　　　.
变式 某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否合格,现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验.
(1)质监局对该公司生产的袋装牛奶的质量检验指标有两个:一是每袋牛奶的质量满足500±5 g;二是样本的平均质量≥500 g.同时满足这两个指标,才认为该公司生产的袋装牛奶合格,否则不合格.经过检测,得到10袋袋装牛奶的质量(单位:g)为502,500,499,497,503,499,501,500,498,499.
计算这个样本的平均数,并按照以上标准判断该公司生产的袋装牛奶的质量是否合格.
(2)该公司对质监局的这种检验方法并不认可,公司自己的质检部门随机抽取了100袋袋装牛奶,按照(1)中的标准,统计得到这100袋袋装牛奶的质量都满足500±5 g,样本的平均质量为500.4 g,你认为质监局和该公司质检部门的检验结果哪一个更可靠 为什么
[素养小结]
求平均数时,直接运用公式计算即可,对于加权平均数一定要注意各个数据的数量.
第九章　统计
9.1　随机抽样
9.1.1　简单随机抽样
【课前预习】
知识点一
1.每一个调查对象　一部分个体　调查对象　个体　调查对象
个体数
知识点二
1.逐个　相等　各个个体　相等　简单随机抽样
2.效率更高
3.抽签法　随机数法
知识点三
2.(2)①计算器　②电子表格
诊断分析
(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)总体容量较大,不适合用抽签法.
(2)总体容量较小,适合用抽签法.
(3)总体容量较大,适合用随机数法.
知识点四
1.(1)Yi　总体平均数　(2)fiYi
(3)样本平均数
2.(2)相同　(3)样本平均数
诊断分析
(1)√　(2)×
知识点五
3.总体平均数　总体中的比例
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)√　[解析] (3)样本数据中1所占的比例是=0.55.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)D　[解析] 样本量为60,故D中说法错误.
(2)解:①④适宜抽样调查,②③适宜普查.
变式　(1)C　(2)①抽样　②6辆车的行驶速度　每1辆车的行驶速度　[解析] (1)对于A,要了解一批节能灯的使用寿命,因为调查具有毁损性,所以宜采用抽样调查的方式,故A错误;对于B,要调查你所在班级同学的身高,因为人数较少,所以宜采用普查的方式,故B错误;对于C,对长江某段水域的水质情况的调查宜采用抽样调查的方式,故C正确;对于D,对全市中学生每天的就寝时间的调查宜采用抽样调查的方式,故D错误.故选C.
(2)①交警采取的是抽样调查的方式.②这次调查的样本是6辆车的行驶速度,个体是每1辆车的行驶速度.
探究点二
例2　(1)ABC　[解析] 简单随机抽样,除具有选项A,B,C中三个特点外,还具有等可能性,即每个个体被抽到的概率都相等,与先后顺序无关.
(2)解:①不是简单随机抽样,因为简单随机抽样要求总体中的个体数是有限的.
②不是简单随机抽样,因为这10名跳水队员是挑选出来的(最优秀的),总体中每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机抽样中“等可能性”的要求.
③是简单随机抽样,因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能的抽样.
变式　(1)A　(2)ABD　[解析] (1)由简单随机抽样的概念可知,每个个体被抽到的概率相等,与抽取的次数无关.
(2)根据简单随机抽样的定义知,A,B,D是简单随机抽样;C不是简单随机抽样,因为5名同学是指定的,不是随机抽取的,不符合“等可能性”.故选ABD.
探究点三
例3　解:抽签法:
(1)先将18名志愿者进行编号,号码为1,2,3,…,18;
(2)把号码写在形状和大小都相同的号签上;
(3)将号签放在某个不透明的箱子里充分搅拌,使之均匀;
(4)从箱子中逐个抽取6个号签,并记录上面的号码;
(5)与这6个号签上的号码对应的6名志愿者就构成一个样本.
随机数法:
(1)先将18名志愿者进行编号,号码为01,02,03,…,18;
(2)利用工具(转盘、科学计算器或计算机等)产生01,02,…,18中的随机数,产生的数是几,就选第几号个体;
(3)重复第二步,若生成的随机数重复,则剔除重复的号码并重新产生随机数,凡不在01~18中的数跳过去不取,直至选出6个样本.
变式　(1)B　(2)52　[解析] (1)总体中的个体数较少、逐一抽取、抽取后不放回均是简单随机抽样的特点,但不是确保样本具有代表性的关键.故选B.
(2)由题意得,抽取的编号依次为73,21,21(重复,舍去),23,10,73(重复,舍去),45,23(重复,舍去),52,所以选出来的第6个个体的编号为52.
探究点四
例4　(1)D　(2)A　(3)5.9　5900　[解析] (1)把这一组数据从小到大排列为6,7,8,8,8,8,8,9,9,9,则小于8的数所占的比例为0.2;不大于8的数所占的比例为0.7;平均数为×(6+7+8+8+8+8+8+9+9+9)=8.故选D.
(2)=×(20a+80b)=a+b.故选A.
(3)由表可知这100名学生平均每人植树(4×28+5×22+6×25+8×16+10×9)÷100=5.9(棵).若该校共有1000名学生,则可估计该校学生的植树总棵数是5.9×1000=5900.
变式　解:(1)样本平均数=×(502+500+499+497+503+499+501+500+498+499)=499.8<500,所以该公司生产的袋装牛奶的质量不合格.
(2)该公司质检部门的检验结果更可靠.因为质监局抽取的样本量较小,不能很好地反映总体,该公司的质检部门抽取的样本量较大.一般来说,样本量较大的样本的估计效果会好于样本量较小的样本的估计效果,尤其是当样本量不大时,增加样本量可以较好地提高估计的效果.

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