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第八章　立体几何初步
8.1　基本立体图形
第1课时　多面体
【学习目标】
　　1.理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
　　2.了解棱柱、棱锥、棱台的底面、侧棱、侧面、顶点的意义.
◆ 知识点一　空间几何体
1.空间几何体的定义:如果只考虑这些物体的　　　　和　　　　,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫作空间几何体.
2.多面体:由若干个　　　　　　围成的几何体叫作多面体.围成多面体的各个多边形叫作多面体的　　　　;两个面的公共边叫作多面体的　　　　;棱与棱的公共点叫作多面体的　　　　.
3.旋转体:一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作　　　　,封闭的旋转面围成的几何体叫作　　　　.这条定直线叫作旋转体的轴.
◆ 知识点二　棱柱的结构特征
名 称 定义 图形及表示 相关概念
棱 柱 有两个面互相　　　　,其余各面都是　　　　,并且相邻两个四边形的公共边都互相　　　　　,由这些面所围成的多面体叫作棱柱 如图,可记作棱柱ABCDEF- A'B'C'D'E'F' 底面:两个互相平行的面. 侧面:其余各面. 侧棱:相邻侧面的公共边. 顶点:侧面与底面的公共顶点
1.分类:按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
2.几个特殊的棱柱
(1)直棱柱:　　　　　　　　　　的棱柱(如图①③).
(2)斜棱柱:　　　　　　　　　　的棱柱(如图②④).
(3)正棱柱:底面是正多边形的　　　　(如图③).
(4)平行六面体:底面是　　　　　的四棱柱(如图④).
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面.(　 )
(2)棱柱的侧面是平行四边形,而底面不是平行四边形. (　 )
2.螺栓的头部模型为正六棱柱,如图所示,它有　　　　个顶点,　　　　条棱,互相平行的面有　　　　对,能作为棱柱底面的有　　　　对.
◆ 知识点三　棱锥的结构特征
名 称 定义 图形及表示 相关概念
棱 锥 有一个面是　　　　,其余各面都是有一个公共顶点的　　　　,由这些面所围成的多面体叫作棱锥 如图,可记作棱锥S-ABCD 底面:多边形面. 侧面:有公共顶点的各个三角形面. 侧棱:相邻侧面的公共边. 顶点:各侧面的公共顶点
1.分类:按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫　　　　.
2.正棱锥:底面是　　　　,并且顶点与底面中心的连线　　　　底面的棱锥.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正四面体是四棱锥. (　 )
(2)底面是正多边形的棱锥是正棱锥. (　 )
(3)正棱锥的侧面是等腰三角形. (　 )
(4)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体叫作棱锥. (　 )
2.正五棱锥有　　　　个顶点,　　　　条棱,　　　　个面,　　　　个侧面.
◆ 知识点四　棱台的结构特征
名 称 定义 图形及表示 相关概念
棱 台 用一个　　　　于棱锥底面的平面去截棱锥,我们把底面和截面之间那部分多面体叫作棱台 如图,可记作棱台ABCD-A'B'C'D' 上底面:原棱锥的截面. 下底面:原棱锥的底面. 侧面:其余各面. 侧棱:相邻侧面的公共边. 顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点
分类:由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台……
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)棱台的各侧棱的延长线必定交于一点. (　 )
(2)棱台的侧棱长必相等. (　 )
2.面数最少的棱台为　　　　棱台,共由　　　　个面围成,若过此棱台上底面一个顶点与下底面上不在同一侧棱上的两个顶点作截面,则将此棱台分为两部分,分别为一个　　　　,一个　　　　.
◆ 探究点一　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例1 (1)关于棱台,下列说法正确的是 (　 )
A.两底面可以不相似
B.侧面都是全等的梯形
C.侧棱长一定相等
D.侧棱延长后交于一点
(2)给出下列关于棱柱的说法:
①所有的面都是平行四边形;
②每一个面都不会是三角形;
③两底面平行,并且各侧棱也平行;
④被平行于底面的平面截成的两部分都是棱柱;
⑤棱长都相等的直四棱柱是正方体.
其中正确说法的序号是　　　　.
(3)如果一个四面体的三个面是直角三角形,那么下列三角形中可能成为这个四面体的第四个面的是　　　　.(填序号)
①直角三角形;②锐角三角形;③等腰三角形;④等腰直角三角形.
变式 [2024·广东佛山高一期中] 下列说法不正确的是 (　 )
A.正棱锥的底面是正多边形,侧面都是等腰三角形
B.棱台的各侧棱延长线必交于一点
C.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台
D.棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形
[素养小结]
辨析棱柱、棱锥、棱台的结构特征主要抓住以下几个方面:(1)底面的形状,底面间的平行关系;(2)侧棱的相等关系、侧棱间的平行关系;(3)侧面的形状,侧面间的平行关系、相等关系等.
◆ 探究点二　多面体的识别和判断
例2 如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1.用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分形成的几何体还是棱柱吗 如果是,是几棱柱 如果不是,说明理由.
变式 (多选题)[2024·江苏无锡高一期中] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,F为C1D1上靠近D1的三等分点,过E,F的平面将正方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分,则所得几何体可能是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.三棱锥 B.直三棱柱
C.三棱台 D.四棱柱
[素养小结]
解答此类题目的关键是正确掌握棱柱、棱锥、棱台的几何特征,在利用几何体的概念进行判断时,要紧扣定义,注意几何体间的联系与区别.不要认为底面就一定是所给图中位于上下位置的面.
◆ 探究点三　多面体的表面展开图
例3 请画出如图所示的几何体的表面展开图.
例4 如图是两个几何体的表面展开图,请问对应的各是什么几何体
变式 (1)如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是 (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.①③ B.②④
C.③④ D.①②
(2)如图,A,B,C是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图上的点,则在正方体盒子中,∠ABC= (　 )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
[素养小结]
(1)绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,再依次画出各侧面,便可得到其表面展开图.
(2)由展开图复原几何体:通常给出多面体的表面展开图来判断是由哪一个多面体展开得到的,求解时可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图.
第八章　立体几何初步
8.1　基本立体图形
第1课时　多面体
【课前预习】
知识点一
1.形状　大小　2.平面多边形　面　棱　顶点
3.旋转面　旋转体
知识点二
平行　四边形　平行
2.(1)侧棱垂直于底面　(2)侧棱不垂直于底面　(3)直棱柱
(4)平行四边形
诊断分析
1.(1)×　(2)×　[解析] (1)如图①,正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行,但不是底面.
①
(2)如图②,四棱柱的底面ABCD是平行四边形.
②
2.12　18　4　1　[解析] 因为螺栓的头部模型为正六棱柱,所以它有12个顶点,18条棱,其中有4对互相平行的面,能作为棱柱底面的只有1对.
知识点三
多边形　三角形
1.四面体　2.正多边形　垂直于
诊断分析
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)正四面体是三棱锥.
(2)底面是正多边形的棱锥不一定是正棱锥,因为不能保证顶点与底面中心的连线垂直于底面.
(4)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体叫作棱锥是错误的,因为缺少条件:这些三角形有一个公共顶点.反例如图.
2.6　10　6　5
知识点四
平行
诊断分析
1.(1)√　(2)×　[解析] (1) 棱台是由棱锥截得的,所以各侧棱的延长线必定交于一点.
(2)棱台的侧棱长不一定相等.
2.三　5　三棱锥　四棱锥
【课中探究】
探究点一
例1　(1)D　(2)③④　(3)①②③④　[解析] (1)只有D符合棱台的特征.
(2)①错误,底面可以不是平行四边形;②错误,底面可以是三角形;由棱柱的定义可知③正确;④正确,被平行于底面的平面截成的两部分都是棱柱;⑤错误,当直四棱柱的底面是菱形时,也满足条件,但不是正方体.故填③④.
(3)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,几何体D1-ADC是有三个面是直角三角形的四面体,可知△ACD1为等边三角形,所以②③正确.几何体D1-ABD是有四个面是直角三角形的四面体,且△ADD1为等腰直角三角形,所以①④正确.故填①②③④.
变式　C　[解析] 对于A,正棱锥的底面是正多边形,侧面都是等腰三角形,故A中说法正确;对于B,根据棱台的定义可得,棱台的各侧棱延长线必交于一点,故B中说法正确;对于C,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台,故C中说法不正确;对于D,棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形,故D中说法正确.故选C.
探究点二
例2　解:截面BCFE上方的部分是三棱柱BEB1-CFC1,其中△BEB1和△CFC1是底面.截面BCFE下方的部分是四棱柱ABEA1-DCFD1,其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面.
变式　ABC　[解析] 如图①, 连接DE,DF,则平面DEF截正方体ABCD-A1B1C1D1可得三棱锥D-D1EF,故A正确; 如图②,过E作EG⊥AD,垂足为G,过F作FH⊥CD,垂足为H,连接GH,则平面EFHG截正方体ABCD-A1B1C1D1可得直三棱柱D1EF-DGH,故B正确;如图③,延长D1D至P,连接PE,PF,分别与AD,CD交于M,N,连接MN,则平面EFNM截正方体ABCD-A1B1C1D1可得三棱台DMN-D1EF,故C正确; EF将正方形A1B1C1D1分成一个三角形和一个五边形,所以不可能得到四棱柱.故选ABC.
探究点三
例3　解:展开图如图所示.(答案不唯一)
例4　解:根据表面展开图a,b,可得两个几何体分别如图①②所示,其中①为五棱柱,②为三棱台.
变式　(1)C　(2)C　[解析] (1)可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现①②可折成正四面体,③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.故选C.
(2)根据展开图复原几何体,易知AB,BC,CA分别为三个全等的正方形的对角线,所以AB=BC=CA,所以△ABC是等边三角形,所以∠ABC=60°,故选C.第2课时　旋转体、组合体
【学习目标】
　　1.理解圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征.
　　2.了解圆柱、圆锥、圆台的底面、母线、侧面、轴的意义.
　　3.了解简单组合体及其结构特征,能根据条件判断几何体的类型.
◆ 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的结构特征
定义及相关概念 图形及表示
圆 柱 1.定义:以　　　　　　所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆柱 图中的圆柱记作圆柱O'O
2.相关概念: 圆柱的轴:　　　　轴. 圆柱的底面:　　　　　　的边旋转而成的圆面. 圆柱的侧面:　　　　　　的边旋转而成的曲面. 圆柱侧面的母线:无论旋转到什么位置,　　　　　　的边
圆 锥 3.定义:以直角三角形的　　　　　　所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆锥 图中的圆锥记作圆锥SO
4.相关概念: 圆锥的轴:旋转轴. 圆锥的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面. 侧面:直角三角形的斜边旋转而成的　　　　面. 母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边
圆 台 5.定义:用　　　　　　　　的平面去截圆锥,　　　　　　之间的部分叫作圆台 图中的圆台记作圆台O'O
6.相关概念: 圆台的轴:旋转轴. 圆台的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面. 圆台的侧面:不垂直于轴的边旋转而成的曲面. 母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在圆柱的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线. (　 )
(2)以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥. (　 )
(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆. (　 )
(4)圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面半径. (　 )
2.图中的物体叫作圆台,除了旋转得到以外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢
◆ 知识点二　球的结构特征
球 图形及表示
定义:半圆以　　　　　　　所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫作　　　　,球面所围成的旋转体叫作　　　　,简称球 图中的球 表示为球O
相关概念: 球心:半圆的圆心. 半径:连接球心和球面上任意一点的线段. 直径:连接球面上两点并且经过球心的线段
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)球是以任意一条直线为旋转轴,将半圆旋转所形成的几何体. (　 )
(2)连接球面上两点的线段叫作球的直径. (　 )
(3)过球的球心作球的截面,所得截面的半径与球的半径相等. (　 )
◆ 知识点三　简单组合体
1.概念:由　　　　　　　组合而成,这些几何体称作简单组合体.现实世界中的物体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的物体组合而成.
2.两种基本形式:一种是由简单几何体　　　　而成;一种是由简单几何体　　　　或　　　　一部分而成.
【诊断分析】 请指出如图所示的几何体是由哪些简单几何体组合而成的
◆ 探究点一　旋转体的结构特征
例1 [2024·哈尔滨九中高一期中] 下列说法正确的是 (　 )
A.以直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D.圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的半径大于圆锥的高
变式 (多选题)下列说法中正确的是 (　 )
A.经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
B.圆台的任意两条母线的延长线可能相交,也可能不相交
C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D.圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形
[素养小结]
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的化归与转化思想.
◆ 探究点二　简单组合体的结构特征
例2 观察图中的几何体,分析它们是由哪些简单几何体组成的.
变式1 (多选题)对于如图所示的几何体,以下说法正确的是 (　 )
A.该几何体是一个多面体
B.该几何体有9条棱和5个顶点
C.该几何体有7个面
D.该几何体是旋转体
变式2 如图所示,在平面曲边图形ABCDE中,曲边DE为四分之一圆周,且圆心在AE上,AB,BC,CD为线段,CD∥AE,该曲边图形绕AE所在的直线旋转一周,得到的几何体是由哪些简单几何体组成的
◆ 探究点三　空间几何体的表面展开与折叠
例3 [2024·安徽淮南二中高一期中] 如图,底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,四条侧棱相等,且PA=AB,E,F分别为棱PA和PC上的点,PE=3,PF=6,F处有只蚂蚁欲沿该四棱锥的侧面爬行到E处,求蚂蚁爬行的最短距离.
变式 如图,在圆锥SO中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA的中点.从点A拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点M.
(1)求绳子的最短长度;
(2)绳子长度最短时,求顶点S到绳子的最短距离.
[素养小结]
在几何体的表面上求连接两点的曲线长的最短问题,常转化为求其展开图中相应的线段长,即用“化曲为直”的方法转化为平面问题来处理.
拓展 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AC=2,AA1=3,D,E分别是棱BB1,CC1上的动点,则AD+DE+EA1的最小值是 (　 )
A.
B.5
C.7
D.3
第2课时　旋转体、组合体
【课前预习】
知识点一
1.矩形的一边
2.旋转　垂直于轴　平行于轴　平行于轴
3.一条直角边　4.曲
5.平行于圆锥底面　底面与截面
诊断分析
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)根据圆柱母线的定义可知错误.
(2)以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周才能得到圆锥.
(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是由线段绕一端点旋转一周得到的,都是圆.
(4)圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长,大于圆锥的底面半径.
2.解:类比棱台的定义,圆台还可以是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分.
知识点二
它的直径　球面　球体
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)根据球的定义可知,半圆以它的直径所在的直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫作球面,球面所围成的旋转体叫球.
(2)连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的直径.
(3)连接球心(即为截面圆圆心)和球面上任意一点(取截面圆上一点)的线段叫作半径,由此可知所得截面的半径与球的半径相等.
知识点三
1.简单几何体　2.拼接　截去　挖去
诊断分析
解:图①是一个四棱锥和一个长方体构成的,这是多面体与多面体的组合体;图②是一个圆台挖去一个圆锥构成的,这是旋转体与旋转体的组合体;图③是一个球挖去一个长方体构成的,这是旋转体与多面体的组合体.
【课中探究】
探究点一
例1　D　[解析] 对于A,以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是两个圆锥的组合体,A错误;对于B,以直角梯形不垂直于底边的腰所在直线为轴旋转一周形成的旋转体不是圆台,B错误;对于C,圆锥只有一个底面,C错误;对于D,圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的半径等于圆锥的母线长,大于圆锥的高,D正确.故选D.
变式　ACD　[解析] 对于A,如图,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面,故A正确;对于B,由圆台的定义得,圆台的任意两条母线的延长线交于一点,故B错误;显然,C,D均正确.故选ACD.
探究点二
例2　解:图①是由一个四棱柱挖去一个三棱柱组成的几何体.图②是由一个四棱柱和一个圆柱拼接而成的几何体.图③是由一个四棱柱与一个半圆柱拼接,并在相接处挖去一个圆柱组成的几何体.
变式1　AB　[解析] 对于A,由多面体的定义可知该几何体是一个多面体,故A正确;对于B,由题图易知该几何体有9条棱和5个顶点,故B正确;对于C,该几何体有6个面,故C错误;对于D,该几何体是多面体,不是旋转体,故D错误.故选AB.
变式2　解:线段AB,BC,CD及曲线DE绕AE所在的直线旋转一周,分别形成圆锥、圆台和圆柱的侧面和半球面,如图所示.故得到的几何体由圆锥、圆台、圆柱和半球组成.
探究点三
例3　解:因为底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,四条侧棱相等,且PA=AB,
所以四棱锥P-ABCD是正四棱锥且所有的棱都相等.
将侧面ABP与侧面BCP展开到同一平面内,如图所示,连接EF.
在△PEF中,PE=3,PF=6,∠EPF=120°,
由余弦定理得EF2=PE2+PF2-2PE·PF·cos∠EPF=9+36-2×3×6×=63,可得EF=3,
所以蚂蚁爬行的最短距离为3.
变式　解:将圆锥的侧面展开,如图所示,
则的长m=2πr=2π,∠ASA'===.
(1)连接AM,由题意知,绳长的最小值为展开图中线段AM的长,可得AM===2.
(2)当绳长最短时,在展开图中,过点S作AM的垂线,垂足为Q,则SQ的长即为顶点S到绳子的最短距离.
由三角形的等面积法得SQ===.
拓展　D　[解析] 将直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开,如图所示.易知当A,D,E,A1四点共线时,AD+DE+EA1取得最小值,最小值为==3.故选D.

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