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8.2　立体图形的直观图
【学习目标】
　　1.了解平行投影的意义,掌握斜二测画法.
　　2.能用斜二测画法画出基本立体图形的直观图.
◆ 知识点一　斜二测画法
1.直观图的认识
(1)直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图,实际上是把不完全在同一平面内的点的集合,用　　　　　　　的点表示.
(2)在立体几何中,立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的　　　　　　.
2.利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)相等的角在直观图中相等. (　 )
(2)通常情况下把椭圆作为圆的直观图. (　 )
(3)水平放置的正方形的直观图还是一个正方形.(　 )
(4)水平放置的平面图形中相等的线段在直观图中仍相等. (　 )
2.由直观图还原平面图形时,直观图中平行于x'轴、y'轴的线段在平面图形中长度如何变化
◆ 知识点二　简单几何体的直观图的画法
画几何体的直观图时,与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都　　　　的z轴,并且使平行于z轴的线段的平行性和长度　　　　.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)图①是一个正方体的直观图. (　 )
(2)若图②是一个长方体的直观图,则原长方体的高为2. (　 )
◆ 探究点一　画平面图形的直观图
例1 画出如图所示的水平放置的直角梯形(其中OB∥CD,OD⊥OB)的直观图.
变式 如图所示,在水平放置的△ABC中,BC=8 cm,BC边上的高AD=6 cm,试用斜二测画法画出其直观图.
◆ 探究点二　画空间几何体的直观图
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体的直观图.
变式 画底面半径为2 cm,高为4 cm的圆锥的直观图.
[素养小结]
简单几何体直观图的画法
(1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系.
(2)画底面:根据平面图形直观图的画法确定底面.
(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.
◆ 探究点三　直观图的有关计算
例3 已知水平放置的△ABC按照斜二测画法画出的直观图△A'B'C'如图所示,其中B'C'=4,A'B'=2,画出△ABC的原图并求其面积.
变式 (1)如图所示的△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,其中A'O'=B'O'=C'O'=1,则原△ABC是一个 (　 )
　　 　　　　　 　　　　　
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形ABCD的直观图,得到四边形A'B'C'D',如图所示,已知A'B'=3,B'C'=1,A'D'=3,且A'D'∥B'C'.
①求原平面图形ABCD的面积;
②将原平面图形ABCD绕BC旋转一周,判断所形成的几何体的形状.
[素养小结]
由直观图还原为平面图形的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段,且平行于x'轴的线段还原时长度不变,平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.由此可得,直观图面积S'与原图形面积S的关系为S'=S或S=2S'.
8.2　立体图形的直观图
【课前预习】
知识点一
1.(1)同一平面内　(2)平面图形
2.45°　135°　水平面　x'轴或y'轴的线段　保持原长度不变
一半
诊断分析
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　[解析] (1)如正方形(四个内角都相等)的直观图为平行四边形(相邻的内角互补,相对的内角相等).
(2)生活经验告诉我们,水平放置的圆看起来像椭圆,因此我们一般用椭圆作为圆的直观图.
(3)水平放置的正方形的直观图是一个平行四边形.
(4)水平放置的正方形的直观图中邻边不相等.
2.解:在直观图中平行于x'轴的线段在平面图形中长度不变,但平行于y'轴的线段在平面图形中长度变为原来的2倍.
知识点二
垂直　都不变
诊断分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)被遮挡住的三条棱应画为虚线,如图所示.
(2)原长方体中的高线与z轴平行,而与z轴平行的线段在直观图中长度都不变,所以原长方体的高还是1.
【课中探究】
探究点一
例1　解:在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图①.画出相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=OD,过点D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC,连接B'C',如图②.擦去辅助线,所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直观图,如图③.
变式　解:(1)在△ABC中建立如图①所示的平面直角坐标系xOy,
再建立如图②所示的坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.
(2)在坐标系x'O'y'中,在x'轴上截取O'B',O'C',使O'B'=OB,O'C'=OC;在y'轴上截取O'A',使O'A'=OA.
(3)连接A'B',C'A',擦去辅助线,得到△A'B'C',即为△ABC的直观图(如图③所示).
探究点二
例2　解:(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°,如图①.
(2)画底面.以O为中点,在x轴上取线段MN(MO=ON),使MN=4 cm,在y轴上取线段PQ(PO=OQ),使PQ=1.5 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD就是长方体的底面的直观图,如图②.
(3)画侧棱.过A,B,C,D四点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA',BB',CC',DD',如图③.
(4)成图.顺次连接A',B',C',D'(如图④),并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线),就可得到长方体的直观图,如图⑤.
变式　解:(1)如图所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.
(2)以O为中点,在x轴上取线段AB,使OA=OB=2 cm.利用椭圆模板画椭圆,使其经过A,B两点,这个椭圆就是圆锥的底面的直观图.
(3)在Oz上取点V,使OV=4 cm.
(4)连接VA,VB,整理得到圆锥的直观图,如图.
探究点三
例3　解:画出△ABC的原图如图所示,其中∠ABC=90°,AB=BC=4,则S△ABC=×4×4=8.
变式　(1)C　[解析] 将水平放置的△ABC的直观图还原,如图所示,可知AO=2A'O'=2,OB=OC=B'O'=C'O'=1,AO⊥BC,由勾股定理有AB=AC==.因为AB=AC=>2=BC,所以△ABC是等腰三角形,不是等边三角形.由大边对大角可知,△ABC中最大角的余弦值为=>0,即△ABC中最大角是锐角,所以△ABC是锐角三角形,不是直角三角形.综上所述,只有C选项符合题意.故选C.
(2)解:①将直观图还原得平面图形ABCD,如图,因为A'B'=3,B'C'=1,A'D'=3,且A'D'∥B'C',
所以AB=3,BC=2,AD=6,且AD∥BC,AB⊥AD,
原平面图形ABCD为直角梯形,故原平面图形ABCD的面积S==12.
②将原平面图形ABCD绕BC旋转一周,所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的部分,如图.

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