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8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1　平面
【学习目标】
　　1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.
　　2.了解平面的基本性质,即基本事实1、基本事实2、基本事实3.
　　3.掌握空间中点与直线、点与平面位置关系的分类及表示.
◆ 知识点一　平面
1.平面的概念:几何里所说的平面就是从桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来的,是向　　　　　　　　　　　　　　.
2.平面的画法与表示
平面 水平放置 竖直放置
画法
表示 ①希腊字母:平面α,平面β,平面γ; ②平行四边形的四个顶点:平面　　　　; ③平行四边形的对角顶点:平面AC或平面BD
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面就是平行四边形. (　 )
(2)两个平面拼在一起,要比一个平面大. (　 )
(3)空间图形中,后引的辅助线都是虚线.(　 )
◆ 知识点二　点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
文字语言 符号语言 图形语言
点与 直线 A在l上 A∈l
A在l外 A l
点与 平面 A在α内 A∈α
A在α外 A α
直线与 直线 l,m相交于A l∩m=A
直线与 平面 l在α内 l α
l在α外 l α
平面与 平面 α,β相交于l α∩β=l
◆ 知识点三　平面的基本性质
1.三个基本事实
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实1 过　　　　　　　　　　的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α,使A,B,C∈α ①确定平面的依据; ②判定点线共面
基本 事实2 如果一条直线上的　　　　在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l α ①确定直线在平面内的依据; ②判定点在平面内
基本 事实3 如果两个不重合的平面有　　　公共点,那么它们有且只有　　　　　　　的公共直线 P∈α,且P∈β α∩β=l,且P∈l ①判定两平面相交的依据; ②判定点在直线上
2.三个推论
推论1　经过一条直线和　　　　　　　　一点,有且只有一个平面,如图(1).
推论2　经过两条　　　　直线,有且只有一个平面,如图(2).
推论3　经过两条　　　　直线,有且只有一个平面,如图(3).
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)自行车有一个脚撑就可站稳. (　 )
(2)若线段AB在平面α内,则直线AB可能不在平面α内. (　 )
(3)两个平面的交线可能是一条线段. (　 )
(4)若平面α与平面β有公共点,则公共点不止一个. (　 )
◆ 探究点一　对平面概念的理解
例1 下列说法正确的是 (　 )
A.铺的很平的一张白纸是一个平面
B.平面是矩形或平行四边形
C.两个平面叠在一起比一个平面厚
D.平面的直观图一般画成平行四边形
变式 下列说法正确的是 (　 )
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋面就是一个平面
D.一个平面可以将空间分成两部分
◆ 探究点二　立体几何三种语言的相互转化
例2 用符号表示下列语句,并画出相应的图形:
(1)点A在平面α内,点B在平面α外;
(2)直线a经过平面α外的一点M;
(3)直线a既在平面α内,又在平面β内.
变式 (1)若点A在平面α内,直线l在平面α内,点A不在直线l上,则下列描述中,正确的是 (　 )
A.A∈l,l α且A α
B.A l,l α且A∈α
C.A l,l∈α且A∈α
D.A l,l α且A α
(2)如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系.
①点C与平面β:　　　　;
②点A与平面α:　　　　;
③直线AB与平面α:　　　　;
④直线CD与平面α:　　　　;
⑤平面α与平面β:　　　　　.
◆ 探究点三　共点、共线问题
角度1　三线共点问题
例3 如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β,求证:AB,CD,l三线共点.
变式 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,P,Q,R分别在棱AB,BB',CC'上,且DP,RQ相交于点O,求证:DP,RQ,BC三线共点.
角度2　三点共线问题
例4 已知ABCD是空间四边形,如图所示,M,N,E,F分别是AB,AD,BC,CD上的点,若直线MN与直线EF相交于点O,证明:B,D,O三点共线.
变式 若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是　　　　.
[素养小结]
(1)证明线共点问题常用的方法是先证明其中两条直线交于一点,再证明这一点在其余的直线上,在证明后者时,往往依据基本事实3,从而只需证明此点在两个平面的交线上.
(2)点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要证明依据是基本事实3,解决此类问题常用以下两种方法:
①首先找出两个相交平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知,这些点都在这两个平面的交线上;
②选择其中两点,确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上.
◆ 探究点四　共面问题
例5 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,E,F分别是BC,PC的中点,点G在PD上,且PG=PD,证明:A,E,F,G四点共面.
变式 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)AA1与CC1是否能确定一个平面
(2)点B,C1,D是否能确定一个平面
(3)画出平面AA1C1C与平面BC1D,平面ACD1与平面BC1D的交线.
[素养小结]
证明共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据是基本事实1、基本事实2及推论.通常有两种方法:(1)先由部分元素确定一个平面,再证明其余元素也在该平面内;(2)先由有关的点、线确定平面α,再由其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
拓展 求证:两两相交但不过同一点的四条直线共面.
8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1　平面
【课前预习】
知识点一
1.四周无限延展的　2.ABCD
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)平面是向四周无限延展的.
知识点三
1.不在一条直线上　两个点　一个　一条过该点
2.这条直线外　相交　平行
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (1)因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点在一个平面上,且这三个着地点不在同一条直线上,所以根据推论1知自行车有一个脚撑就可站稳.
(2)由线段AB在平面α内知,直线AB上至少有两点在平面α内,则由基本事实2知,直线AB在平面α内.
(3)由基本事实3知,两个平面的交线是一条直线.
【课中探究】
探究点一
例1　D　[解析] 根据平面的定义得,平面是向四周无限延展的,且平面是没有厚度的,所以选项A,B,C都是错误的,D是正确的.故选D.
变式　D　[解析] 我们用平行四边形来表示平面,但不能说平行四边形是一个平面,平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形,它是不可以无限延展的,故A不正确;平面图形和平面是完全不同的两个概念,平面图形是有大小的,它是不可以无限延展的,故B不正确;太平洋再大也会有边际,平静的太平洋面不是一个平面,故C不正确;平面是无限延展的,它将空间分成两部分,故D正确.故选D.
探究点二
例2　解:(1)A∈α,B α,如图①.
(2)M α,M∈a,如图②.
(3)a α,a β(或α∩β=a),如图③.
变式　(1)B　(2)①C β　②A α　③AB∩α=B　④CD α
⑤α∩β=BD　[解析] (1)根据元素与集合的关系知,点A在平面α内可表示为A∈α,点A不在直线l上可表示为A l,根据集合与集合的关系知,直线l在平面α内可表示为l α.故选B.
(2)①点C不在平面β内,所以C β.②点A不在平面α内,所以A α.③直线AB与平面α相交于点B,所以AB∩α=B.④直线CD在平面α内,所以CD α.⑤平面α与平面β相交,且交线为BD,所以α∩β=BD.
探究点三
例3　证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两腰,∴AB,CD必定相交于一点.
设AB∩CD=M,∵AB α,CD β,
∴M∈α,M∈β,∴M∈α∩β.
又∵α∩β=l,∴M∈l,即AB,CD,l三线共点.
变式　证明:因为DP∩RQ=O,所以O∈DP,O∈RQ.
又DP 平面ABCD,RQ 平面B'C'CB,所以O∈平面ABCD,O∈平面B'C'CB.
因为平面ABCD∩平面B'C'CB=BC,所以O∈BC,
所以DP,RQ,BC三线共点.
例4　证明:连接BD,因为M∈AB,N∈AD,AB 平面ABD,AD 平面ABD,所以MN 平面ABD.
因为E∈CB,F∈CD,CB 平面CBD,CD 平面CBD,
所以EF 平面CBD.
因为直线MN与直线EF相交于点O,
所以O∈EF,O∈MN,所以O∈平面CBD,O∈平面ABD,
又平面ABD∩平面CBD=BD,所以O∈BD,
所以B,D,O三点共线.
变式　共线　[解析] 因为AC∥BD,所以AC与BD可以确定一个平面,记为β,则α∩β=CD.因为l∩α=O,所以O∈α,又O∈AB,AB β,所以O∈β,所以由基本事实3知,O∈CD,故O,C,D三点共线.
探究点四
例5　证明:如图,在平面ABCD内,连接AE并延长,交DC的延长线于点M,则有CM=CD.在平面PCD内,连接GF并延长,交DC的延长线于点M1.取GD的中点N,连接CN,EF,则由PG=PD可知PG=GN=ND.∵点F为PC的中点,∴FG∥CN,即GM1∥CN,∴在△GM1D中,CM1=CD,∴点M与点M1重合,即AE与GF相交于点M,∴A,E,F,G四点共面.
变式　解:(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
∵AA1∥CC1,∴AA1与CC1能确定一个平面.
(2)∵点B,C1,D不共线,
∴点B,C1,D能确定一个平面.
(3)如图,设 AC∩BD=O,CD1∩DC1=E,连接OC1,OE.
∵O∈AC,O∈BD,AC 平面AA1C1C,BD 平面BC1D,
∴O∈平面AA1C1C,O∈平面BC1D.
又C1∈平面AA1C1C,C1∈平面BC1D,
∴平面AA1C1C∩平面BC1D=OC1.
同理,平面ACD1∩平面BC1D=OE.
拓展　证明:分两种情况讨论:
(1)有三条直线过同一点,如图①所示.∵A d,∴点A与直线d可以确定一个平面α,又B,C,D∈d,∴B,C,D∈α,∴AB α,AC α,AD α,∴a,b,c,d四条直线共面.
(2)任意三条直线都不过同一点,如图②所示.∵a∩b=A,∴直线a与直线b可以确定一个平面α,又D,E∈b,B,C∈a,∴D,E∈α,B,C∈α.由B,E∈α,得c α;由C,D∈α,得d α.因此a,b,c,d四条直线共面.
综上,两两相交但不过同一点的四条直线共面.

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