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第2课时　直线与平面平行的性质
【学习目标】
　　1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面平行的性质定理,并能够证明.
　　2.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点　直线与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
一条直线与一个平面　　　　,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线　　　　 a∥b 线面平行 　　
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线与这个平面内所有直线都平行. (　 )
(2)平行于同一个平面的两条直线平行. (　 )
◆ 探究点一　直线与平面平行的性质定理的应用
例1 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,E,F分别是侧棱PA,PC上的点,且EF∥平面ABCD.求证:EF∥AC.
变式 如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD=BC,点E为PC上一点,F为PB的中点,且AF∥平面BDE.求证:AF∥DE.
[素养小结]
利用线面平行的性质定理解题的一般步骤
拓展 已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,E是AD的中点,F是PC上一点.若PA∥平面EBF,则的值为　　　　.
◆ 探究点二　线面平行的综合应用
例2 如图所示,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(不包括端点),且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1分别交于点F,G.求证:FG∥平面ADD1A1.
变式 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,CD=2AB,E为棱PD的中点.
(1)求证:AE∥平面PBC.
(2)PB与平面AEC是否平行 并说明理由.
[素养小结]
判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行.
第2课时　直线与平面平行的性质
【课前预习】
知识点
平行　平行　线线平行
诊断分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线与这个平面内直线的位置关系是平行或异面.
(2)平行于同一个平面的两条直线可能相交,可能平行,也可能异面.
【课中探究】
探究点一
证明:因为EF∥平面ABCD,EF 平面PAC,平面PAC∩平面ABCD=AC,所以由线面平行的性质定理可得EF∥AC.
变式　证明:如图,连接AC,FC,设AC∩BD=O,FC∩BE=M,连接OM,
∵AF∥平面BDE,AF 平面AFC,平面AFC∩平面BDE=OM,∴AF∥OM.
∵AD∥BC,AD=BC,
∴==,∴==,
∴点M是△PBC的重心,∴点E是PC的中点,
∴==,∴OM∥DE,∴AF∥DE.
拓展　　[解析] 如图,连接AC交BE于点O,连接OF.因为AD∥BC,E为AD的中点,所以==.因为PA∥平面EBF,平面EBF∩平面PAC =OF,PA 平面PAC,所以PA∥OF,所以==.
探究点二
证明:∵EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,∴EH∥B1C1,又B1C1 平面BCC1B1,EH 平面BCC1B1,∴EH∥平面BCC1B1.∵EH 平面EHGF,平面EHGF∩平面BCC1B1=FG,∴EH∥FG,∴FG∥A1D1,又FG 平面ADD1A1,A1D1 平面ADD1A1,∴FG∥平面ADD1A1.
变式　解:(1)证明:如图,取PC的中点F,连接EF,BF.因为E,F分别为PD,PC的中点,所以EF∥DC,且EF=DC.因为AB∥DC,CD=2AB,所以EF∥AB,EF=AB,所以四边形EFBA为平行四边形,则AE∥BF.因为AE 平面PBC,BF 平面PBC,所以AE∥平面PBC.
(2)PB与平面AEC不平行.理由如下:假设PB∥平面AEC,连接BD,设BD∩AC=O,连接OE.因为平面AEC∩平面PDB=OE,PB 平面PDB,PB∥平面AEC,所以PB∥OE,所以在△PDB中,有=,
又E为PD的中点,所以==1,即OB=OD. 因为AB∥DC,所以==,这与OB=OD矛盾, 所以假设不成立,故PB与平面AEC不平行.8.5.2　直线与平面平行
第1课时　直线与平面平行的判定
【学习目标】
　　1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面平行的判定定理.
　　2.能够运用线面平行的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点　直线与平面平行的判定定理
1.文字语言:如果　　　　　　　　　　与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.该定理常表述为:线线平行,则线面平行.
符号语言:a α,b α,且a∥b 　　　　.
2.当利用判定定理证明直线a和平面α平行时,必须具备三个条件:(1)直线a不在平面α内,即a α;(2)直线b在平面α内,即b α;(3)两直线a,b平行,即a∥b.这三个条件缺一不可.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线和这个平面平行. (　 )
(2)过已知直线外一点有且仅有一个平面与该直线平行. (　 )
2.一块矩形木板(不计厚度)ABCD的一边AB在平面α内,把这块木板绕AB转动,在转动过程中,AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系
◆ 探究点一　对线面平行判定定理的理解
例1 直线l与平面α平行的充要条件是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.直线l上有无数个点不在平面α内
B.直线l与平面α内的一条直线平行
C.直线l与平面α内的无数条直线都平行
D.直线l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
变式 已知A,B,C,D为四个不同的点,a,b,c为三条不同的直线,α为一个平面,则下列条件中能使a与平面α平行的是 (　 )
A.b α,a∥b
B.b α,c α,a∥b,a∥c
C.b α,A,B∈a,C,D∈b,且AC=BD
D.a α,b α,a∥b
◆ 探究点二　证明线面平行
例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BB1的中点.求证:B1D∥平面ACE.
例3 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,E,F分别是PC,AD的中点.证明:DE∥平面PFB.
变式1 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别为下底面ABCD和上底面A'B'C'D'的中心,则正方体的六个面所在平面中与EF平行的有　　　　个.
变式2 如图所示,四棱锥S - ABCD的底面是平行四边形,M,N分别是SA,BD上的点,且=.求证:MN∥平面SBC.
[素养小结]
利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的一般步骤
以上步骤中,第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:利用三角形、梯形中位线的性质,利用平行四边形的性质,利用基本事实4等.
8.5.2　直线与平面平行
第1课时　直线与平面平行的判定
【课前预习】
知识点
1.平面外一条直线　a∥α　
诊断分析
1.(1)×　(2)×　[解析] (1)只有当这条直线在这个平面外时,这条直线才与这个平面平行.
(2)过直线外一点可作唯一的一条直线与已知直线平行,而经过所作直线的平面有无数个,根据直线与平面平行的判定定理知,这些平面(除经过已知直线与所作直线的平面外)都与已知直线平行.
2.解:由直线与平面平行的判定定理可知,CD∥α.
【课中探究】
探究点一
例1　D　[解析] 对于A,直线l上有无数个点不在平面α内,不能说明直线l与平面α无公共点,故A不正确;对于B,缺少直线l在平面α外这一条件,故B不正确;对于C,直线l也可能在平面α内,故C不正确;对于D,由直线与平面平行的定义,可知D正确.故选D.
变式　D　[解析] 若b α,a∥b,则a∥α或a α,A错误;若b α,c α,a∥b,a∥c,则a∥α或a α,B错误;若b α,A,B∈a,C,D∈b,且AC=BD,则直线a与平面α可能相交,可能平行,也可能a在平面α内,C错误;若a α,b α,a∥b,则由直线与平面平行的判定定理得a∥α,D正确.故选D.
探究点二
例2　证明:如图所示,连接BD,设BD∩AC=G,连接EG.∵四边形ABCD是正方形,BD∩AC=G,∴G是BD的中点.又E是BB1的中点,∴DB1∥GE.又DB1 平面ACE,GE 平面ACE,∴B1D∥平面ACE.
例3　证明:取PB的中点G,连接EG,FG,如图.
∵E,G分别是PC,PB的中点,
∴EG∥BC且EG=BC.∵底面ABCD为正方形,F为AD的中点,∴DF∥BC且DF=BC,
∴EG∥DF且EG=DF,
∴四边形FGED是平行四边形,∴DE∥GF.
又DE 平面PFB,GF 平面PFB,∴DE∥平面PFB.
变式1　4　[解析] 如图,连接AC,A'C',BD,B'D',则由题意可得EF∥AA'∥CC',因为EF 平面AA'D'D,EF 平面CC'D'D,EF 平面BB'C'C,EF 平面AA'B'B,AA' 平面AA'D'D,CC' 平面CC'D'D,CC' 平面BB'C'C,AA' 平面AA'B'B,所以EF∥平面AA'D'D,EF∥平面CC'D'D,EF∥平面BB'C'C,EF∥平面AA'B'B,则正方体的六个面所在平面中与EF平行的有4个.
变式2　证明:连接AN并延长,使之交BC于点P,连接SP.因为AD∥BC,所以=,又=,所以=,所以MN∥SP.又MN 平面SBC,SP 平面SBC,所以MN∥平面SBC.

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