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7.2.2　复数的乘、除运算
【学习目标】
　　掌握复数代数表示式的乘、除运算法则,并能熟练地进行计算.
◆ 知识点一　复数的乘法法则及运算律
1.复数的乘法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=　　　　　　　　.
2.复数乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1z2=　　　
结合律 (z1z2)z3=　　　
乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=　　　
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)互为共轭复数的两个复数的和与积都是实数.(　 )
(2)若z1,z2∈C,且+=0,则z1=z2=0. (　 )
(3)|z|2=z2. (　 )
(4)已知z1,z2,z3∈C,若z1z2=z1z3,则z2=z3. (　 )
◆ 知识点二　复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)=　　　　+　　　　i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).
【诊断分析】 1.计算:=　　　　.
2.复数的除法与实数的除法有何不同
◆ 探究点一　复数的乘法运算
例1 计算:(1)(1+2i)2;
(2)(3+4i)(3-4i).
(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).
变式 (1)(1-i)(1+i)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1+i B.-1+i
C.+i D.-+i
(2)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2= (　 )
A.5-4i B.5+4i
C.3-4i D.3+4i
(3)若复数z=i+i2+i3+…+i10,则z·=　　　　.
[素养小结]
两个复数的乘法运算的常用公式
(1)(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R).
(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R).
(3)(1±i)2=±2i.
◆ 探究点二　复数的除法运算
例2 计算:
(1)+(--i)3+;
(2).
变式 (1)[2024·丽水五校高一月考] 若复数z满足z(2-i)=2i,i是虚数单位,则在复平面内z对应的点位于 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)已知z=4+i,设=a+bi(a,b∈R),则a+b=　　　　 .
(3)已知i为虚数单位,则-=　　　　　.
[素养小结]
1.两个复数的除法运算的一般步骤
(1)首先将除式写为分式;
(2)再将分子、分母同乘分母的共轭复数;
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式.
2.常用公式
(1)=-i;(2)=i;(3)=-i.
◆ 探究点三　复数范围内的方程根的问题
例3 已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).
(1)求b,c的值;
(2)试判断1-i是否为该方程的根.
变式 (1)在复数范围内解方程x2-4x+5=0.
(2)已知关于x的方程x2-2x+c=0的一个虚根为1+2i(其中i为虚数单位),求实数c.
[素养小结]
解决实系数一元二次方程问题的注意点
(1)解决实系数一元二次方程问题的基本依据是复数相等的充要条件.
(2)与在实数范围内对比,在复数范围内解决实系数一元二次方程问题,根与系数的关系和求根公式仍然适用,但是用判别式判断方程根的功能就发生改变了.
7.2.2　复数的乘、除运算
【课前预习】
知识点一
1.(ac-bd)+(ad+bc)i　2.z2z1　z1(z2z3)　z1z2+z1z3
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (3)例如|i|2=1,而i2=-1.
(4)取z1=0,z2=i,z3=-i,显然有z1z2=z1z3=0,但z2=z3不成立.
知识点二
　
诊断分析
1.2-i　[解析] ===2-i.
2.解:实数的除法可以直接约分化简得出结果,但复数的除法中分母为复数,一般不能直接约分化简.因为两个共轭复数的积是一个实数,所以两个复数相除时,可以先把它们的商写成分式的形式,然后把分子、分母同乘分母的共轭复数(注意是分母的共轭复数),再把结果化简即可.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)(1+2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.
(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25.
(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=22-14i+(25-25i)=47-39i.
变式　(1)B　(2)D　(3)2　[解析] (1)(1-i)(1+i)=(1-i)(1+i)·=(1-i2)=2=-1+i,故选B.
(2)因为a-i与2+bi互为共轭复数,所以a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.故选D.
(3)因为i=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,且i+i2+i3+i4=0,所以z=i+i2+i3+…+i10=i+i2+i3+i4+i4(i+i2+i3+i4)+i8·i+i8·i2=i+i2=-1+i,则=-1-i,所以z·=(-1+i)·(-1-i)=2.
探究点二
例2　解:(1)+(--i)3+=-i++=-i-8i+i=-8i.
(2)=====-2-2i.
变式　(1)B　 (2)　(3)-1+i　[解析] (1)由题意,复数z====-+i,所以在复平面内z对应的点为,位于第二象限.故选B.
(2)∵z=4+i,∴=====a+bi,∴a=,b=,∴a+b=.
(3)-=-=-i1012=-1+i.
探究点三
例3　解:(1)由题知(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,所以解得
(2)由(1)知,原方程为x2-2x+2=0,因为(1-i)2-2(1-i)+2=0,所以1-i是该方程的根.
变式　解:(1)由x2-4x+5=0,得(x-2)2=-1,故x-2=±i,解得x1=2+i,x2=2-i.
(2)依题意,关于x的方程x2-2x+c=0的根为1±2i,
由根与系数的关系得c=(1+2i)(1-2i)=12-(2i)2=5.

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