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(共33张PPT)
微专题4　导数中的函数构造问题
第五章　一元函数的导数及其应用
在考试中经常见到一类试题，不给出解析式，而是给出函数
f (x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，需应用单调性解决问题的这类题目具有一定的难度，下面总结其基本类型的处理方法．
类型1　利用 f (x)与x构造
【例1】　已知y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，不等式
xf ′(x)＋f (x)<0成立，若a＝30.3·f (30.3)，b＝logπ3·f (logπ3)，c＝log3·f ()，则a，b，c的大小关系是________．
c>b>a　[令g(x)＝xf (x)，则g′(x)＝xf ′(x)＋f (x)．由条件知，x>0时，g′(x)<0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f (x)为偶函数，则g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减．又log3b>a．]
c>b>a
反思领悟　f (x)与x构造常见的形式
(1)对于xf ′(x)＋f (x)＞0，构造h(x)＝xf (x)．
(2)对于xf ′(x)－f (x)＞0，构造h(x)＝．
(3)出现nf (x)＋xf ′(x)的形式，构造h(x)＝xnf (x)．
(4)出现xf ′(x)－nf (x)的形式，构造h(x)＝．
[学以致用]　1．f (x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x)－f (x)≤0，对任意正实数a，b，若a＜b，则必有(　　)
A．af (b)≤bf (a)　　　　 B．bf (a)≤af (b)
C．af (a)≤bf (b)　　 D．bf (b)≤af (a)
√
A　[设F(x)＝(x＞0)，
则F′(x)＝＝．
∵x＞0，xf ′(x)－f (x)≤0，
∴F′(x)≤0，故F(x)在(0，＋∞)上单调递减或为常数函数，又0＜a＜b，∴F(a)≥F(b)，即，
∴bf (a)≥af (b)．故选A．]
类型2　利用 f (x)与ex构造函数
【例2】　已知函数f (x)的定义域为R，且对任意的x∈R，f ′(x)＋f (x)>0．则对任意正数a必有(　　)
A．f (a)>eaf (0)　　 B．f (a)C．f (a)<　　 D．f (a)>
D　[构造函数F(x)＝exf (x)，则F′(x)＝ex[f ′(x)＋f (x)]>0，故F(x)在R上单调递增，又a>0，所以F(a)>F(0)，即eaf (a)>e0f (0)，所以f (a)>．故选D．]
√
反思领悟　f (x)与ex构造常见的形式
(1)对于f ′(x)＋f (x)＞0，构造h(x)＝exf (x)．
(2)对于f ′(x)－f (x)＞0，构造h(x)＝．
(3)出现f ′(x)＋nf (x)形式，构造h(x)＝enxf (x)．
(4)出现f ′(x)－nf (x)形式，构造h(x)＝．
[学以致用]　2．已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，且满足f ′(x)－f (x)＞0，则不等式e4·f (3x－4)＞e2xf (x)的解集为(　　)
A．(2，＋∞)　　 B．(e，＋∞)
C．(－∞，e)　　 D．(－∞，2)
√
A　[令g(x)＝，则g′(x)＝＞0，所以g(x)在R上单调递增．
由e4f (3x－4)＞e2xf (x)，得＞，
即g(3x－4)＞g(x)，
又g(x)在R上单调递增，所以3x－4＞x，解得x＞2，
即不等式e4f (3x－4)＞e2xf (x)的解集为(2，＋∞)．故选A．]
类型3　利用 f (x)与sin x，cos x构造
【例3】　(多选)函数f (x)的定义域为，f ′(x)是f (x)的导函数，且f ′(x)＜－tan x·f (x)恒成立，则(　　)
A．f ＞ B．＞f
C．f ＞ D．＞
√
√
CD　[依题意0＜x＜，由f ′(x)＜－tan x·f (x)，得f ′(x)＜－·f (x)，即sin x·f (x)＋cos x·f ′(x)＜0．
构造函数F(x)＝，则F′(x)＝＜0，
所以F(x)在上单调递减，所以F＞F＞F，
即＞＞，即＞＞f ，
所以f ＞，＞．故选CD．]
反思领悟　f (x)与sin x，cos x构造常见的形式
(1)对于f ′(x)sin x＋f (x)cos x＞0，构造函数h(x)＝f (x)sin x；
(2)对于f ′(x)sin x－f (x)cos x＞0，构造函数h(x)＝；
(3)对于f ′(x)cos x－f (x)sin x＞0，构造函数h(x)＝f (x)cos x；
(4)对于f ′(x)cos x＋f (x)sin x＞0，构造函数h(x)＝
[学以致用]　3．已知函数y＝f (x)对于任意的x∈满足
f ′(x)cos x＋f (x)sin x＞0，则下列不等式不成立的是(　　)
A．＜f
B．＜f
C．f (0)＜
D．f (0)＜2f
√
A　[构造F(x)＝，
则F′(x)＝，
∵f ′(x)cosx＋f (x)sin x＞0，则F′(x)＞0，
∴F(x)在上单调递增．把各选项转化后可知A不成立，B，C，D成立．]
题号
一、选择题
1．已知f ′(x)是定义在R上的函数f (x)的导函数，且满足xf ′(x)＋f (x)＞0对任意的x∈R都成立，则下列选项中一定正确的是(　　)
A．f (1)＞　　 B．＞f (2)
C．f (1)＜　　 D．＜f (2)
微专题强化练(四)　导数中的函数构造问题
1
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√
题号
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9
D　[令F(x)＝xf (x)，则F′(x)＝xf ′(x)＋f (x)＞0，故F(x)为R上的增函数，
所以F(2)＞F(1)，即2f (2)＞f (1)．
故选D．]
题号
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2．设定义在(0，＋∞)的函数f (x)的导函数为f ′(x)，且满足xf ′(x)＋
3f (x)＞0，则关于x的不等式f (x－3)－f (3)＜0的解集为(　　)
A．(3，6)　　 B．(0，3)
C．(0，6)　　 D．(6，＋∞)
√
题号
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A　[令g(x)＝x3f (x)，
则g′(x)＝x2[3f (x)＋xf ′(x)]＞0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
f (x－3)－f (3)＜0，
即(x－3)3f (x－3)－27f (3)＜0，
所以g(x－3)＜g(3)，
所以所以3＜x＜6．故选A．]
题号
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1
3．已知e为自然对数的底数，函数f (x)的导函数为f ′(x)，对任意x∈R，都有f ′(x)＜－f (x)成立，则(　　)
A．＞f (1)＞ef (2)　　 B．f (1)＞ef (2)＞
C．ef (2)＞f (1)＞　　 D．ef (2)＞＞f (1)
√
题号
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1
A　[由f ′(x)＜－f (x)得f ′(x)＋f (x)＜0．
令g(x)＝exf (x)，则g′(x)＝ex[f (x)＋f ′(x)]＜0，所以g(x)单调递减，故g(0)＞g(1)＞g(2)，即e0f (0)＞e1f (1)＞e2f (2)，同除以e得＞f (1)＞ef (2)．故选A．]
题号
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1
4．已知f (x)为R上的可导函数，其导函数为f ′(x)，且对于任意的x∈R，均有f (x)＋f ′(x)＞0，则(　　)
A．e-2 025f (－2 025)＜f (0)，e2 025f (2 025)＞f (0)
B．e-2 025f (－2 025)＜f (0)，e2 025f (2 025)＜f (0)
C．e-2 025f (－2 025)＞f (0)，e2 025f (2 025)＞f (0)
D．e-2 025f (－2 025)＞f (0)，e2 025f (2 025)＜f (0)
√
题号
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1
A　[构造函数h(x)＝exf (x)，
则h′(x)＝exf (x)＋exf ′(x)＝ex[f (x)＋f ′(x)]＞0，所以函数h(x)在R上单调递增，
故h(－2 025)＜h(0)，
即e-2 025f (－2 025)＜e0f (0)，
即e-2 025f (－2 025)＜f (0)．
同理，h(2 025)＞h(0)，
即e2 025f (2 025)＞f (0)．故选A．]
题号
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1
5．设函数f (x)的定义域为R，其导函数为f ′(x)，且满足f (x)＞f ′(x)＋1，f (0)＝2 023，则不等式e－xf (x)＞e－x＋2 022(其中e为自然对数的底数)的解集是(　　)
A．(2 022，＋∞)　　 B．(－∞，2 023)
C．(0，2 022)　　 D．(－∞，0)
√
题号
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1
D　[设g(x)＝．
∵f (x)＞f ′(x)＋1，即f ′(x)－f (x)＋1＜0，
∴g′(x)＝＜0，
∴g(x)在R上单调递减，又f (0)＝2 023，
∴不等式e－xf (x)＞e－x＋2 022 ＞2 022＝f (0)－1＝，
即g(x)＞g(0)，∴x＜0，
∴原不等式的解集为(－∞，0)．故选D．]
题号
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1
二、填空题
6．已知f (x)是定义在R上的奇函数，且f (2)＝0，若当x＞0时，xf ′(x)＋f (x)＞0，则不等式xf (x)＞0的解集是_______________________________．
(－∞，－2)∪(2，＋∞)　[由题意，设g(x)＝xf (x)，
则g′(x)＝xf ′(x)＋f (x)．
∵当x＞0时，xf ′(x)＋f (x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∵f (x)是定义在R上的奇函数，∴g(x)是定义在R上的偶函数．
又f (2)＝0，则g(2)＝2f (2)＝0，∴不等式xf (x)＞0等价于g(x)＞0＝g(2)，
∴|x|＞2，解得x＜－2或x＞2．
∴不等式xf (x)＞0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]
(－∞，－2)∪(2，＋∞)
题号
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7．已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，且f (x)＞f ′(x)，若
f (0)＝0，则不等式f (2x2－5x－7)＞0的解集为________．
　[由函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，且f (0)＝0，
令g(x)＝，可得g(0)＝0，
且g′(x)＝，
因为f (x)＞f ′(x)，所以g′(x)＜0，所以g(x)在R上单调递减．
题号
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1
不等式f (2x2－5x－7)＞0，
即g(2x2－5x－7)＞g(0)，
所以2x2－5x－7＜0，解得－1＜x＜，
所以不等式f (2x2－5x－7)＞0的解集为．]
题号
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1
8．函数f (x)的定义域为，f ＝，其导函数是f ′(x)，且
f (x)·cos x＜f ′(x)·sin x恒成立，则不等式f (x)＞2sin x的解集为________．
题号
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1
　[∵f (x)cos x＜f ′(x)sin x，∴f ′(x)sin x－f (x)cos x＞0，
构造函数g(x)＝，则g′(x)＝，
当x∈时，g′(x)＞0，∴g(x)在上单调递增，
∵＞2＝＝，即g(x)＞g，∴＜x＜，
故不等式的解集为．]
题号
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1
三、解答题
9．已知函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)为f (x)的导函数，且满足f (x)＜－xf ′(x)，求(x＋1)f (x＋1)＞(x2－1)f (x2－1)的解集．
题号
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1
[解]　构造函数y＝xf (x)，x∈(0，＋∞)，
则y′＝f (x)＋xf ′(x)＜0，
所以函数y＝xf (x)在(0，＋∞)上单调递减．
因为(x＋1)f (x＋1)＞(x2－1)f (x2－1)，
所以x＋1＜x2－1，
且x2－1＞0，x＋1＞0，
解得x＞2，
所以所求不等式的解集是(2，＋∞)．
THANKS微专题4　导数中的函数构造问题
在考试中经常见到一类试题，不给出解析式，而是给出函数f (x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，需应用单调性解决问题的这类题目具有一定的难度，下面总结其基本类型的处理方法．
类型1　利用f (x)与x构造
【例1】　已知y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，不等式xf ′(x)＋f (x)<0成立，若a＝30.3·f (30.3)，b＝logπ3·f (logπ3)，c＝log3·f ()，则a，b，c的大小关系是________．
　f (x)与x构造常见的形式
(1)对于xf ′(x)＋f (x)＞0，构造h(x)＝xf (x)．
(2)对于xf ′(x)－f (x)＞0，构造h(x)＝．
(3)出现nf (x)＋xf ′(x)的形式，构造h(x)＝xnf (x)．
(4)出现xf ′(x)－nf (x)的形式，构造h(x)＝．
[学以致用]　1．f (x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x)－f (x)≤0，对任意正实数a，b，若a＜b，则必有(　　)
A．af (b)≤bf (a)　　　　 B．bf (a)≤af (b)
C．af (a)≤bf (b) D．bf (b)≤af (a)
类型2　利用f (x)与ex构造函数
【例2】　已知函数f (x)的定义域为R，且对任意的x∈R，f ′(x)＋f (x)>0．则对任意正数a必有(　　)
A．f (a)>eaf (0) B．f (a)C．f (a)< D．f (a)>
　f (x)与ex构造常见的形式
(1)对于f ′(x)＋f (x)＞0，构造h(x)＝exf (x)．
(2)对于f ′(x)－f (x)＞0，构造h(x)＝．
(3)出现f ′(x)＋nf (x)形式，构造h(x)＝enxf (x)．
(4)出现f ′(x)－nf (x)形式，构造h(x)＝．
[学以致用]　2．已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，且满足f ′(x)－f (x)＞0，则不等式e4·f (3x－4)＞e2xf (x)的解集为(　　)
A．(2，＋∞) B．(e，＋∞)
C．(－∞，e) D．(－∞，2)
类型3　利用f (x)与sin x，cos x构造
【例3】　(多选)函数f (x)的定义域为，f ′(x)是f (x)的导函数，且f ′(x)＜－tan x·f (x)恒成立，则(　　)
A．f ＞
B．＞f
C．f ＞
D．＞
　f (x)与sin x，cos x构造常见的形式
(1)对于f ′(x)sin x＋f (x)cos x＞0，构造函数h(x)＝f (x)sin x；
(2)对于f ′(x)sin x－f (x)cos x＞0，构造函数h(x)＝；
(3)对于f ′(x)cos x－f (x)sin x＞0，构造函数h(x)＝f (x)cos x；
(4)对于f ′(x)cos x＋f (x)sin x＞0，构造函数h(x)＝．
[学以致用]　3．已知函数y＝f (x)对于任意的x∈满足f ′(x)cos x＋f (x)sin x＞0，则下列不等式不成立的是(　　)
A．＜f
B．＜f
C．f (0)＜
D．f (0)＜2f
2/2微专题4　导数中的函数构造问题
在考试中经常见到一类试题，不给出解析式，而是给出函数f (x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，需应用单调性解决问题的这类题目具有一定的难度，下面总结其基本类型的处理方法．
类型1　利用f (x)与x构造
【例1】　已知y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，不等式xf ′(x)＋f (x)<0成立，若a＝30.3·f (30.3)，b＝logπ3·f (logπ3)，c＝log3·f ()，则a，b，c的大小关系是________．
c>b>a　[令g(x)＝xf (x)，则g′(x)＝xf ′(x)＋f (x)．由条件知，x>0时，g′(x)<0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f (x)为偶函数，则g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减．又log3b>a．]
　f (x)与x构造常见的形式
(1)对于xf ′(x)＋f (x)＞0，构造h(x)＝xf (x)．
(2)对于xf ′(x)－f (x)＞0，构造h(x)＝．
(3)出现nf (x)＋xf ′(x)的形式，构造h(x)＝xnf (x)．
(4)出现xf ′(x)－nf (x)的形式，构造h(x)＝．
[学以致用]　1．f (x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x)－f (x)≤0，对任意正实数a，b，若a＜b，则必有(　　)
A．af (b)≤bf (a)　　　　 B．bf (a)≤af (b)
C．af (a)≤bf (b) D．bf (b)≤af (a)
A　[设F(x)＝(x＞0)，
则F′(x)＝＝．
∵x＞0，xf ′(x)－f (x)≤0，
∴F′(x)≤0，故F(x)在(0，＋∞)上单调递减或为常数函数，又0＜a＜b，∴F(a)≥F(b)，即，
∴bf (a)≥af (b)．故选A．]
类型2　利用f (x)与ex构造函数
【例2】　已知函数f (x)的定义域为R，且对任意的x∈R，f ′(x)＋f (x)>0．则对任意正数a必有(　　)
A．f (a)>eaf (0) B．f (a)C．f (a)< D．f (a)>
D　[构造函数F(x)＝exf (x)，则F′(x)＝ex[f ′(x)＋f (x)]>0，故F(x)在R上单调递增，又a>0，所以F(a)>F(0)，即eaf (a)>e0f (0)，所以f (a)>．故选D．]
　f (x)与ex构造常见的形式
(1)对于f ′(x)＋f (x)＞0，构造h(x)＝exf (x)．
(2)对于f ′(x)－f (x)＞0，构造h(x)＝．
(3)出现f ′(x)＋nf (x)形式，构造h(x)＝enxf (x)．
(4)出现f ′(x)－nf (x)形式，构造h(x)＝．
[学以致用]　2．已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，且满足f ′(x)－f (x)＞0，则不等式e4·f (3x－4)＞e2xf (x)的解集为(　　)
A．(2，＋∞) B．(e，＋∞)
C．(－∞，e) D．(－∞，2)
A　[令g(x)＝，则g′(x)＝＞0，所以g(x)在R上单调递增．
由e4f (3x－4)＞e2xf (x)，得＞，
即g(3x－4)＞g(x)，
又g(x)在R上单调递增，所以3x－4＞x，解得x＞2，
即不等式e4f (3x－4)＞e2xf (x)的解集为(2，＋∞)．故选A．]
类型3　利用f (x)与sin x，cos x构造
【例3】　(多选)函数f (x)的定义域为，f ′(x)是f (x)的导函数，且f ′(x)＜－tan x·f (x)恒成立，则(　　)
A．f ＞
B．＞f
C．f ＞
D．＞
CD　[依题意0＜x＜，由f ′(x)＜－tan x·f (x)，得f ′(x)＜－·f (x)，即sin x·f (x)＋cos x·f ′(x)＜0．
构造函数F(x)＝，则F′(x)＝＜0，
所以F(x)在上单调递减，
所以F＞F＞F，
即＞＞，
即＞＞f ，
所以f ＞，
＞．
故选CD．]
　f (x)与sin x，cos x构造常见的形式
(1)对于f ′(x)sin x＋f (x)cos x＞0，构造函数h(x)＝f (x)sin x；
(2)对于f ′(x)sin x－f (x)cos x＞0，构造函数h(x)＝；
(3)对于f ′(x)cos x－f (x)sin x＞0，构造函数h(x)＝f (x)cos x；
(4)对于f ′(x)cos x＋f (x)sin x＞0，构造函数h(x)＝．
[学以致用]　3．已知函数y＝f (x)对于任意的x∈满足f ′(x)cos x＋f (x)sin x＞0，则下列不等式不成立的是(　　)
A．＜f
B．＜f
C．f (0)＜
D．f (0)＜2f
A　[构造F(x)＝，
则F′(x)＝，
∵f ′(x)cosx＋f (x)sin x＞0，则F′(x)＞0，
∴F(x)在上单调递增．把各选项转化后可知A不成立，B，C，D成立．]
微专题强化练(四)　导数中的函数构造问题
一、选择题
1．已知f ′(x)是定义在R上的函数f (x)的导函数，且满足xf ′(x)＋f (x)＞0对任意的x∈R都成立，则下列选项中一定正确的是(　　)
A．f (1)＞ B．＞f (2)
C．f (1)＜ D．＜f (2)
D　[令F(x)＝xf (x)，则F′(x)＝xf ′(x)＋f (x)＞0，故F(x)为R上的增函数，
所以F(2)＞F(1)，即2f (2)＞f (1)．
故选D．]
2．设定义在(0，＋∞)的函数f (x)的导函数为f ′(x)，且满足xf ′(x)＋3f (x)＞0，则关于x的不等式f (x－3)－f (3)＜0的解集为(　　)
A．(3，6) B．(0，3)
C．(0，6) D．(6，＋∞)
A　[令g(x)＝x3f (x)，
则g′(x)＝x2[3f (x)＋xf ′(x)]＞0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
f (x－3)－f (3)＜0，
即(x－3)3f (x－3)－27f (3)＜0，
所以g(x－3)＜g(3)，
所以所以3＜x＜6．故选A．]
3．已知e为自然对数的底数，函数f (x)的导函数为f ′(x)，对任意x∈R，都有f ′(x)＜－f (x)成立，则(　　)
A．＞f (1)＞ef (2) B．f (1)＞ef (2)＞
C．ef (2)＞f (1)＞ D．ef (2)＞＞f (1)
A　[由f ′(x)＜－f (x)得f ′(x)＋f (x)＜0．
令g(x)＝exf (x)，则g′(x)＝ex[f (x)＋f ′(x)]＜0，所以g(x)单调递减，故g(0)＞g(1)＞g(2)，即e0f (0)＞e1f (1)＞e2f (2)，同除以e得＞f (1)＞ef (2)．故选A．]
4．已知f (x)为R上的可导函数，其导函数为f ′(x)，且对于任意的x∈R，均有f (x)＋f ′(x)＞0，则(　　)
A．e-2 025f (－2 025)＜f (0)，e2 025f (2 025)＞f (0)
B．e-2 025f (－2 025)＜f (0)，e2 025f (2 025)＜f (0)
C．e-2 025f (－2 025)＞f (0)，e2 025f (2 025)＞f (0)
D．e-2 025f (－2 025)＞f (0)，e2 025f (2 025)＜f (0)
A　[构造函数h(x)＝exf (x)，
则h′(x)＝exf (x)＋exf ′(x)＝ex[f (x)＋f ′(x)]＞0，所以函数h(x)在R上单调递增，
故h(－2 025)＜h(0)，
即e-2 025f (－2 025)＜e0f (0)，
即e-2 025f (－2 025)＜f (0)．
同理，h(2 025)＞h(0)，
即e2 025f (2 025)＞f (0)．故选A．]
5．设函数f (x)的定义域为R，其导函数为f ′(x)，且满足f (x)＞f ′(x)＋1，f (0)＝2 023，则不等式e－xf (x)＞e－x＋2 022(其中e为自然对数的底数)的解集是(　　)
A．(2 022，＋∞) B．(－∞，2 023)
C．(0，2 022) D．(－∞，0)
D　[设g(x)＝．
∵f (x)＞f ′(x)＋1，即f ′(x)－f (x)＋1＜0，
∴g′(x)＝＜0，
∴g(x)在R上单调递减，又f (0)＝2 023，
∴不等式e－xf (x)＞e－x＋2 022 ＞2 022＝f (0)－1＝，
即g(x)＞g(0)，∴x＜0，
∴原不等式的解集为(－∞，0)．故选D．]
二、填空题
6．已知f (x)是定义在R上的奇函数，且f (2)＝0，若当x＞0时，xf ′(x)＋f (x)＞0，则不等式xf (x)＞0的解集是________．
(－∞，－2)∪(2，＋∞)　[由题意，设g(x)＝xf (x)，
则g′(x)＝xf ′(x)＋f (x)．
∵当x＞0时，xf ′(x)＋f (x)＞0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∵f (x)是定义在R上的奇函数，
∴g(x)是定义在R上的偶函数．
又f (2)＝0，则g(2)＝2f (2)＝0，
∴不等式xf (x)＞0等价于g(x)＞0＝g(2)，
∴|x|＞2，解得x＜－2或x＞2．
∴不等式xf (x)＞0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]
7．已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，且f (x)＞f ′(x)，若f (0)＝0，则不等式f (2x2－5x－7)＞0的解集为________．
　[由函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，且f (0)＝0，
令g(x)＝，可得g(0)＝0，
且g′(x)＝，
因为f (x)＞f ′(x)，所以g′(x)＜0，所以g(x)在R上单调递减．
不等式f (2x2－5x－7)＞0，
即g(2x2－5x－7)＞g(0)，
所以2x2－5x－7＜0，解得－1＜x＜，
所以不等式f (2x2－5x－7)＞0的解集为．]
8．函数f (x)的定义域为，f ＝，其导函数是f ′(x)，且f (x)·cos x＜f ′(x)·sin x恒成立，则不等式f (x)＞2sin x的解集为________．
　[∵f (x)cos x＜f ′(x)sin x，
∴f ′(x)sin x－f (x)cos x＞0，
构造函数g(x)＝，
则g′(x)＝，
当x∈时，g′(x)＞0，
∴g(x)在上单调递增，
∵＞2＝＝，
即g(x)＞g，∴＜x＜，
故不等式的解集为．]
三、解答题
9．已知函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)为f (x)的导函数，且满足f (x)＜－xf ′(x)，求(x＋1)f (x＋1)＞(x2－1)f (x2－1)的解集．
[解]　构造函数y＝xf (x)，x∈(0，＋∞)，
则y′＝f (x)＋xf ′(x)＜0，
所以函数y＝xf (x)在(0，＋∞)上单调递减．
因为(x＋1)f (x＋1)＞(x2－1)f (x2－1)，
所以x＋1＜x2－1，
且x2－1＞0，x＋1＞0，
解得x＞2，
所以所求不等式的解集是(2，＋∞)．
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