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4.4*　数学归纳法
[学习目标]　1．借助教材实例了解数学归纳法的原理．(数学抽象)
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(逻辑推理)
3．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．(数学运算、逻辑推理)
[讨论交流]
问题1．数学归纳法的原理是什么？
问题2．数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　数学归纳法的理解
探究问题1　如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究问题2　在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一位同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？这种现象对你有何启发？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当________时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
2．数学归纳法的证明形式
记P(n)是一个关于正整数n的命题，可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：(1)P(n0)为真．(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真．
结论：P(n)为真．
3．数学归纳法的框图表示
[学以致用]　1．(1)用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取(　　)
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5
(2)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n-1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，
即1＋2＋22＋…＋2k-1＝2k－1，
则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k＝＝2k+1－1，所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．
上述证明，错误的是________(填序号)．
探究2　用数学归纳法证明等式
[典例讲评]　1．(源于湘教版教材)用数学归纳法证明：
12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用数学归纳法证明恒等式时应关注的三点
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况．
(2)弄清从n＝k到n＝k＋1，等式两端增加了哪些项，减少了哪些项．
(3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．
[学以致用]　2．用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　用数学归纳法证明不等式
[典例讲评]　2．用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋…＋＋n(n∈N*)．
[思路引导]　按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用数学归纳法证明不等式的关键点
用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k)＞g(k)，求证f (k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：
(1)先凑假设，作等价变换．
(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．
[学以致用]　3．已知n∈N*，n＞2．
求证：1＋＋…＋＞．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4　归纳—猜想—证明
[典例讲评]　3．数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn，Sn＋1，2S1成等差数列．
(1)计算S1，S2，S3的值；
(2)根据以上计算结果猜测Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　“归纳—猜想—证明”的一般步骤
[学以致用]　4．已知数列{an}满足a1＝－，an＝－(n≥2)．
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法给出证明．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，等式左边计算所得的项是(　　)
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝n(2n2＋1)，第二步从n＝k到n＝k＋1，等式左边应添加的项是(　　)
A．(k2＋1)2 B．k2＋1
C．(k＋1)2＋k2 D．(k＋1)2＋2k2
3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得(　　)
A．n＝6时该命题不成立
B．n＝6时该命题成立
C．n＝4时该命题不成立
D．n＝4时该命题成立
4．若f (n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法验证关于f (n)的命题时，第一步计算f (1)＝________；第二步“从n＝k到n＝k＋1时”，f (k＋1)＝f (k)＋________．
1．知识链：(1)数学归纳法的概念．
(2)增加或减少项的个数问题．
(3)用数学归纳法证明等式、不等式．
(4)归纳—猜想—证明．
2．方法链：数学归纳法．
3．警示牌：(1)对n0取值时易出错．
(2)增加或减少的项数易出错．
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4.4*　数学归纳法
第四章　数列
整体感知
[学习目标]　1．借助教材实例了解数学归纳法的原理．(数学抽象)
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(逻辑推理)
3．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．(数学运算、逻辑推理)
(教师用书)
中国过去有个习俗，子女从父亲的姓氏，如父亲姓王，其子女都姓王．假设我们知道一个男子姓王，假设他每一代后代都有男子，而且严格按照我国过去的习俗，那么他的儿子姓什么？孙子呢？玄孙呢？……如果他有32代孙，你能确定他的32代孙的姓吗？如果他有无限代孙呢？
为了保证各代孙辈都姓王，必须严格按照中国过去的习俗，否则无法递推下去，也就是说要保证第n代孙姓王能推出第n＋1代孙也姓王，当然要求第1个人必须姓王了．
思考：通过这个例子，你能得到什么启示呢？
[讨论交流]
问题1．数学归纳法的原理是什么？
问题2．数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　数学归纳法的理解
探究问题1　如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？
[提示]　不能．通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确．
探究问题2　在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一位同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？这种现象对你有何启发？
[提示]　需要具备的条件：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题．
[新知生成]
1．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当________时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
n＝k＋1
2．数学归纳法的证明形式
记P(n)是一个关于正整数n的命题，可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：(1)P(n0)为真．(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真．
结论：P(n)为真．
3．数学归纳法的框图表示
n＝n0
n＝k(k≥n0)
n＝k＋1
从n0开始所有
的正整数n
【教用·微提醒】　初始值n0不一定是1，要结合具体的结论而定．
[学以致用]　1．(1)用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取(　　)
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5
(2)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n-1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，
即1＋2＋22＋…＋2k-1＝2k－1，
则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k＝＝2k+1－1，所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．
上述证明，错误的是________(填序号)．
√
②
(1)D　(2)②　[(1)显然当n＝1时，21＞12，而当n＝2时，22＝22，A错误；
当n＝3时，23＜32，B错误；
当n＝4时，24＝42，C错误；
当n＝5时，25＞52，符合要求，D正确．
(2)本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．]
【链接·教材例题】
例2　用数学归纳法证明：
12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)．①
分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当n＝k时，①式成立”为条件，得出“当n＝k＋1时，①式也成立”的命题，证明时必须用上上述条件．
探究2　用数学归纳法证明等式
[证明]　(1)当n＝1时，①式的左边＝12＝1，
右边＝×1×(1＋1)×(2×1＋1)＝＝1，
所以①式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，①式成立，即
12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)，
在上式两边同时加上(k＋1)2，有12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2
＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝
＝＝
＝(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]，
即当n＝k＋1时，①式也成立．
由(1)(2)可知，①式对任何n∈N*都成立．
[典例讲评]　1．(源于湘教版教材)用数学归纳法证明：
12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)．
[证明]　(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k时，等式成立，即
12＋22＋32＋…＋k2＝，
那么，当n＝k＋1时，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
＝＋(k＋1)2＝
＝＝
＝．
这表明，当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)和(2)可以断定，等式对任何正整数n都成立．
反思领悟　用数学归纳法证明恒等式时应关注的三点
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况．
(2)弄清从n＝k到n＝k＋1，等式两端增加了哪些项，减少了哪些项．
(3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．
[学以致用]　2．用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．
[证明]　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，
即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＝2k(2k－3)＋3．
则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＋(2k＋1)×2k
＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k
＝2k(4k－2)＋3＝2k+1[2(k＋1)－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立．
【链接·教材例题】
例4　设x为实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的正整数，记数列
x，x(1＋x)，x(1＋x)2，…，x(1＋x)n-1，…
的前n项和为Sn，试比较Sn与nx的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
分析：该问题中涉及两个字母，x是大于－1且不等于零的实数，n是大于1的正整数．一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较Sn与nx的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出Sn，再通过n取特殊值比较Sn与nx的大小关系后作出猜想．两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想．
探究3　用数学归纳法证明不等式
解法1：由已知可得
Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1．
当n＝2时，S2＝x＋x(1＋x)＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可得
S2＞2x；
当n＝3时，S3＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＝x2(x＋3)＋3x，由x＞－1且x≠0，知x2(x＋3)＞0，可得
S3＞3x．
由此，我们猜想，当x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1时，Sn＞nx．
下面用数学归纳法证明这个猜想．
(1)当n＝2时，由上述过程知，猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，不等式成立，即Sk＞kx，
则Sk＋1＝Sk＋x(1＋x)k＞kx＋x(1＋x)k．
①当x＞0时，因为k＞1，所以(1＋x)k＞1，所以
x(1＋x)k＞x．
②当－1＜x＜0时，0＜1＋x＜1，且x2＞0．又因为k＞1，所以(1＋x)k＜1＋x，
可得x(1＋x)k＞x(1＋x)＝x＋x2＞x．
综合①②可得，当x＞－1且x≠0时，
Sk＋1＞kx＋x(1＋x)k
＞kx＋x
＝(k＋1)x，
所以，当n＝k＋1时，猜想也成立．
由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx对任何大于1的正整数n都成立．
解法2：因为x＞－1，x≠0，所以所给数列是等比数列，公比为1＋x，于是Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1
＝＝(1＋x)n－1．
当n＝2时，S2＝(1＋x)2－1＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可得
S2＞2x；
当n＝3时，S3＝(1＋x)3－1＝x2(x＋3)＋3x，由x＞－1，x≠0，得x2(x＋3)＞0，可得S3＞3x．
由此，我们猜想，当x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1时，Sn＞nx．
下面用数学归纳法证明．
(1)当n＝2时，由上述过程知，猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，不等式Sk＞kx成立，即
(1＋x)k－1＞kx，
亦即(1＋x)k＞1＋kx．
由x＞－1，得x＋1＞0．
又因为k＞1，x≠0，所以kx2＞0．
于是
Sk＋1＝(1＋x)k+1－1
＝(1＋x)k(1＋x)－1＞(1＋kx)(1＋x)－1
＝kx2＋(k＋1)x＞(k＋1)x．
所以，当n＝k＋1时，猜想也成立．
由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx对任何大于1的正整数n都成立．
[典例讲评]　2．用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋…＋＋n(n∈N*)．
[思路引导]　按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．
[证明]　(1)当n＝1时，
≤1＋，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，
即1＋ ≤ 1＋ ＋ ＋… ＋ ≤ ＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ >1＋ ＋2k· ＝1＋ ．
又1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ < ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)，
即当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立．
反思领悟　用数学归纳法证明不等式的关键点
用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k)＞g(k)，求证f (k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：
(1)先凑假设，作等价变换．
(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．
[学以致用]　3．已知n∈N*，n＞2．
求证：1＋＋…＋＞．
[证明]　(1)当n＝3时，左边＝1＋，右边＝＝2，左边＞右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，不等式成立，
即1＋＋…＋＞．
当n＝k＋1时，1＋＋…＋＞＝＝．
因为＞＝＝，
所以1＋＋…＋＞，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知对一切n∈N*，n＞2，不等式恒成立．
【链接·教材例题】
例3　已知数列{an}满足a1＝0，2an＋1－anan＋1＝1(n∈N*)，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
分析：先将数列{an}的递推关系2an＋1－anan＋1＝1化为an＋1＝(n∈N*)，通过计算a2，a3，a4，a5的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想．
探究4　归纳—猜想—证明
[解]　由2an＋1－anan＋1＝1，可得
an＋1＝(n∈N*)．
由a1＝0，
可得a2＝＝．
同理可得
a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝．
归纳上述结果，猜想an＝(n∈N*)． ①
下面用数学归纳法证明这个猜想．
(1)当n＝1时，①式左边＝a1＝0，右边＝＝0，猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，①式成立，即ak＝，
那么ak＋1＝＝＝＝，
即当n＝k＋1时，猜想也成立．
由(1)(2)可知，猜想对任何n∈N*都成立．
[典例讲评]　3．数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn，Sn＋1，2S1成等差数列．
(1)计算S1，S2，S3的值；
(2)根据以上计算结果猜测Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．
[解]　(1)S1＝a1＝1，由已知有2S2＝S1＋2S1，得S2＝，又2S3＝S2＋2S1，得S3＝．
(2)由(1)中结果猜测Sn＝．
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，S1＝＝1，猜想成立．
②假设当n＝k时猜想成立，则有Sk＝，
当n＝k＋1时，因为2Sk＋1＝Sk＋2S1，
所以2Sk＋1＝＋2＝，
所以Sk＋1＝，
所以当n＝k＋1时猜想成立．
由①②可知，对任意正整数n，猜想都成立．
反思领悟　“归纳—猜想—证明”的一般步骤
[学以致用]　4．已知数列{an}满足a1＝－，an＝－(n≥2)．
(1)求a2，a3；(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法给出证明．
[解]　(1)a2＝－，a3＝－．
(2)猜想数列{an}的通项公式an＝－，证明如下：
当n＝1时，a1＝－，猜想成立；
假设当n＝k时猜想成立，即ak＝－，
当n＝k＋1时，ak＋1＝－＝－＝－＝－，
所以当n＝k＋1时，an＝－成立，综上可得an＝－．
【教用·备选题】　(源自北师大版教材)用数学归纳法证明：x2n－y2n能被x＋y整除(n∈N*)．
[证明]　(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)．
故x2－y2能被x＋y整除，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，x2k－y2k能被x＋y整除．
那么，当n＝k＋1时，x2k+2－y2k+2＝x2x2k－y2y2k．*
把x2k＝(xk＋yk)(xk－yk)＋y2k，代入*得x2k+2－y2k+2＝x2(xk＋yk)·(xk－yk)＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)，由假设知x2k－y2k能被x＋y整除，x2－y2能被x＋y整除，故x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．
所以当n＝k＋1时，命题成立．
综上，对于n∈N*，原命题成立．
1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，等式左边计算所得的项是(　　)
A．1　　 B．1＋a
C．1＋a＋a2　　 D．1＋a＋a2＋a3
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
C　[当n＝1时，左边＝1＋a＋a1+1＝1＋a＋a2．]
2
3
题号
1
4
2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝n(2n2＋1)，第二步从n＝k到n＝k＋1，等式左边应添加的项是(　　)
A．(k2＋1)2　　 B．k2＋1
C．(k＋1)2＋k2　　 D．(k＋1)2＋2k2
√
C　[根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，①
当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，②
所以②－①得，等式左边应添加的式子是(k＋1)2＋k2．]
2
3
题号
4
1
3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得(　　)
A．n＝6时该命题不成立 B．n＝6时该命题成立
C．n＝4时该命题不成立 D．n＝4时该命题成立
√
C　[假设n＝4时该命题成立，由题意可得n＝5时，该命题成立，而n＝5时，该命题不成立，所以n＝4时，该命题不成立．而n＝5时，该命题不成立，不能推得n＝6该命题是否成立．故选C．]
2
4
3
题号
1
4．若f (n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法验证关于
f (n)的命题时，第一步计算f (1)＝________；第二步“从n＝k到n＝k＋1时”，f (k＋1)＝f (k)＋_________________．
　[f (1)＝1＋＝；
假设当n＝k时，f (k)＝1＋＋…＋，
那么，当n＝k＋1时，f (k＋1)＝1＋＋…＋，
f (k＋1)＝f (k)＋．]
1．知识链：(1)数学归纳法的概念．
(2)增加或减少项的个数问题．
(3)用数学归纳法证明等式、不等式．
(4)归纳—猜想—证明．
2．方法链：数学归纳法．
3．警示牌：(1)对n0取值时易出错．
(2)增加或减少的项数易出错．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．数学归纳法步骤可概括为“三个成立，一个结”是什么意思？
[提示]　“三个成立”是指：①n＝n0时验证命题成立，②n＝k，k≥n0时假设命题成立；③n＝k＋1时，应用归纳假设证明命题成立．
“一个结”就是结论：断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
2．你认为在应用数学归纳法时应注意哪几点？
[提示]　(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1．
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证不等式(　　)
A．1＋＜2　　 B．1＋＜2
C．1＋＜3　　 D．1＋＜3
课时分层作业(十一)　数学归纳法
题号
1
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√
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B　[由题意得，当n＝2时，不等式为1＋＜2，故选B．]
题号
2
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2．用数学归纳法证明“5n－2n”“能被3整除”的第二步中n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k+1－2k+1变形为(　　)
A．(5k－2k)＋4×5k－2k　　 B．5(5k－2k)＋3×2k
C．(5－2)(5k－2k)　　 D．5(5k－2k)－3×5k
√
14
15
B　[根据数学归纳法，当n＝k＋1时，
应将5k+1－2k+1变形为5(5k－2k)＋3×2k，
此时，5(5k－2k)和3×2k都可以被3整除．
故该变形是合理的．故选B．]
题号
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1
3．用数学归纳法证明＋…＋时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边需添加的项是(　　)
A． B．
C． D．
√
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B　[不等式左边需添加的项是＝．故选B．]
题号
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1
4．用数学归纳法证明2＋4＋6＋8＋…＋2n＝2n-1＋22n-2(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，等式左边增加的项数为(　　)
A．1　　B．2k-1　　C．2k　　D．2k＋1
√
14
15
B　[当n＝k时，等式左边＝2＋4＋6＋8＋…＋2k，当n＝k＋1时，等式左边＝2＋4＋6＋8＋…＋2k＋(2k＋2)＋(2k＋4)＋…＋(2k＋2k)，故由n＝k递推到n＝k＋1时等式左边增加的项为(2k＋2)＋(2k＋4)＋…＋(2k＋2k)，项数为2k-1．故选B．]
题号
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1
5．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)成立，则有(　　)
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
√
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题号
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1
C　[由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立．在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，故选C．]
14
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题号
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1
二、填空题
6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋…＋＝2时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证____________________．
14
15
n＝k＋2时等式成立　[由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2．故答案为n＝k＋2时等式成立．]
n＝k＋2时等式成立
题号
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1
7．用数学归纳法证明＋…＋＞．假设n＝
k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是
_______________________________________________．
14
15
＋…＋＞　[观察不等式中各项的分母变化知，当n＝k＋1时，＋…＋＞．]
＋…＋＞
题号
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1
8．已知f (n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f (2n)>时，f (2k+1)－f (2k)＝_________________________．　
14
15
＋…＋　[假设n＝k时，f (2k)＝1＋＋…＋，当n＝k＋1时，
f (2k+1)＝1＋＋…＋＋…＋，
所以f (2k+1)－f (2k)＝1＋＋…＋＋…＋－(1＋＋…＋)
＝＋…＋．]
＋…＋
题号
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1
三、解答题
9．证明：＋…＋＝1－(n∈N*)．
14
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[证明]　(1)当n＝1时，左边＝，
右边＝1－＝，等式成立．
题号
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1
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即＋…＋＝1－，
那么当n＝k＋1时，
左边＝＋…＋＝1－＝1－．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立．
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题号
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1
10．(多选)用数学归纳法证明不等式＋…＋＞的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1
B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2
C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是
D．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是
√
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√
题号
9
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1
BC　[当n＝1时，＞不成立，
当n＝2时，＞成立，所以A错误，B正确；
当n＝k时，左边的代数式为＋…＋，
当n＝k＋1时，左边的代数式为＋…＋．
故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果，即＝为不等式的左边增加的项，故C正确，D错误．故选BC．]
14
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题号
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1
11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)
A．(k＋1)2
B．k2＋1
C．
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
√
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题号
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1
D　[因为当n＝k时，
等号的左端为1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，等号的左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
所以增加了(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2．]
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题号
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1
12．用数学归纳法证明：1－＋…＋＝＋…＋，第一步应验证的等式是________；从“n＝k”到“n＝k＋1”左边需增加的等式是_____________________．
14
15
1－＝　[当n＝1时，应当验证的第一个式子是1－＝，从“n＝k”到“n＝k＋1”左边需增加的式子是．]
1－＝
题号
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1
13．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)，则a5＝________，归纳猜想an＝________．
14
15
31　2n－1　[因为an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)，且a1＝1．
所以a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31．
31
2n－1
题号
9
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1
猜想an＝2n－1．
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，显然猜想成立；
②假设n＝k时，ak＝2k－1，则ak＋1＝2ak＋1＝2×(2k－1)＋1＝2k+1－1，
故n＝k＋1时，猜想也成立．
综上，对所有正整数n，都有an＝2n－1．]
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题号
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1
14．试用数学归纳法证明：1＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N*)．
14
15
[证明]　(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时命题成立，
即1＋＋…＋<2－．
则当n＝k＋1时，1＋＋…＋<2－<2－＝2－＝2－，命题成立．
由(1)(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立．
题号
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1
15．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．
14
15
[解]　当n＝1时，21＋2＝4＞n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6＞n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10＞n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18＞n2＝16，
题号
9
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1
由此可以猜想，
2n＋2＞n2(n∈N*)成立．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，
左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边＞右边，所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，
所以左边＞右边，所以原不等式成立．
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边＞右边，所以原不等式成立．
14
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题号
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1
(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，
即2k＋2＞k2．
那么当n＝k＋1时，2k+1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2．
又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，
故2k+1＋2＞(k＋1)2成立．
根据(1)和(2)，原不等式对于任意n∈N*都成立．
14
15
THANKS4.4*　数学归纳法
[学习目标]　1．借助教材实例了解数学归纳法的原理．(数学抽象)
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(逻辑推理)
3．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．(数学运算、逻辑推理)
(教师用书)
中国过去有个习俗，子女从父亲的姓氏，如父亲姓王，其子女都姓王．假设我们知道一个男子姓王，假设他每一代后代都有男子，而且严格按照我国过去的习俗，那么他的儿子姓什么？孙子呢？玄孙呢？……如果他有32代孙，你能确定他的32代孙的姓吗？如果他有无限代孙呢？
为了保证各代孙辈都姓王，必须严格按照中国过去的习俗，否则无法递推下去，也就是说要保证第n代孙姓王能推出第n＋1代孙也姓王，当然要求第1个人必须姓王了．
思考：通过这个例子，你能得到什么启示呢？
[讨论交流]
问题1．数学归纳法的原理是什么？
问题2．数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　数学归纳法的理解
探究问题1　如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？
[提示]　不能．通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确．
探究问题2　在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一位同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？这种现象对你有何启发？
[提示]　需要具备的条件：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题．
[新知生成]
1．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
2．数学归纳法的证明形式
记P(n)是一个关于正整数n的命题，可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：(1)P(n0)为真．(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真．
结论：P(n)为真．
3．数学归纳法的框图表示
【教用·微提醒】　初始值n0不一定是1，要结合具体的结论而定．
[学以致用]　1．(1)用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取(　　)
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5
(2)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n-1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，
即1＋2＋22＋…＋2k-1＝2k－1，
则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k＝＝2k+1－1，所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．
上述证明，错误的是________(填序号)．
(1)D　(2)②　[(1)显然当n＝1时，21＞12，而当n＝2时，22＝22，A错误；
当n＝3时，23＜32，B错误；
当n＝4时，24＝42，C错误；
当n＝5时，25＞52，符合要求，D正确．
(2)本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．]
探究2　用数学归纳法证明等式
【链接·教材例题】
例2　用数学归纳法证明：
12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)．①
分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当n＝k时，①式成立”为条件，得出“当n＝k＋1时，①式也成立”的命题，证明时必须用上上述条件．
[证明]　(1)当n＝1时，①式的左边＝12＝1，
右边＝×1×(1＋1)×(2×1＋1)＝＝1，
所以①式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，①式成立，即
12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)，
在上式两边同时加上(k＋1)2，有
12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2
＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2
＝
＝
＝
＝(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]，
即当n＝k＋1时，①式也成立．
由(1)(2)可知，①式对任何n∈N*都成立．
[典例讲评]　1．(源于湘教版教材)用数学归纳法证明：
12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)．
[证明]　(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k时，等式成立，即
12＋22＋32＋…＋k2＝，
那么，当n＝k＋1时，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
＝＋(k＋1)2
＝
＝
＝
＝．
这表明，当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)和(2)可以断定，等式对任何正整数n都成立．
　用数学归纳法证明恒等式时应关注的三点
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况．
(2)弄清从n＝k到n＝k＋1，等式两端增加了哪些项，减少了哪些项．
(3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．
[学以致用]　2．用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．
[证明]　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，
即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＝2k(2k－3)＋3．
则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＋(2k＋1)×2k
＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k
＝2k(4k－2)＋3＝2k+1[2(k＋1)－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立．
探究3　用数学归纳法证明不等式
【链接·教材例题】
例4　设x为实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的正整数，记数列
x，x(1＋x)，x(1＋x)2，…，x(1＋x)n-1，…
的前n项和为Sn，试比较Sn与nx的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
分析：该问题中涉及两个字母，x是大于－1且不等于零的实数，n是大于1的正整数．一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较Sn与nx的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出Sn，再通过n取特殊值比较Sn与nx的大小关系后作出猜想．两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想．
解法1：由已知可得
Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1．
当n＝2时，S2＝x＋x(1＋x)＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可得
S2＞2x；
当n＝3时，S3＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＝x2(x＋3)＋3x，由x＞－1且x≠0，知x2(x＋3)＞0，可得
S3＞3x．
由此，我们猜想，当x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1时，Sn＞nx．
下面用数学归纳法证明这个猜想．
(1)当n＝2时，由上述过程知，猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，不等式成立，即Sk＞kx，
则Sk＋1＝Sk＋x(1＋x)k＞kx＋x(1＋x)k．
①当x＞0时，因为k＞1，所以(1＋x)k＞1，所以
x(1＋x)k＞x．
②当－1＜x＜0时，0＜1＋x＜1，且x2＞0．又因为k＞1，所以(1＋x)k＜1＋x，
可得
x(1＋x)k＞x(1＋x)＝x＋x2＞x．
综合①②可得，当x＞－1且x≠0时，
Sk＋1＞kx＋x(1＋x)k
＞kx＋x
＝(k＋1)x，
所以，当n＝k＋1时，猜想也成立．
由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx对任何大于1的正整数n都成立．
解法2：因为x＞－1，x≠0，所以所给数列是等比数列，公比为1＋x，于是
Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1
＝
＝(1＋x)n－1．
当n＝2时，S2＝(1＋x)2－1＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可得
S2＞2x；
当n＝3时，S3＝(1＋x)3－1＝x2(x＋3)＋3x，由x＞－1，x≠0，得x2(x＋3)＞0，可得
S3＞3x．
由此，我们猜想，当x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1时，Sn＞nx．
下面用数学归纳法证明．
(1)当n＝2时，由上述过程知，猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，不等式Sk＞kx成立，即
(1＋x)k－1＞kx，
亦即(1＋x)k＞1＋kx．
由x＞－1，得x＋1＞0．
又因为k＞1，x≠0，所以kx2＞0．
于是
Sk＋1＝(1＋x)k+1－1
＝(1＋x)k(1＋x)－1
＞(1＋kx)(1＋x)－1
＝kx2＋(k＋1)x
＞(k＋1)x．
所以，当n＝k＋1时，猜想也成立．
由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx对任何大于1的正整数n都成立．
[典例讲评]　2．用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋…＋＋n(n∈N*)．
[思路引导]　按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．
[证明]　(1)当n＝1时，
≤1＋，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，
即1＋ ≤ 1＋ ＋ ＋… ＋ ≤ ＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ >1＋ ＋2k· ＝1＋ ．
又1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ < ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)，
即当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立．
　用数学归纳法证明不等式的关键点
用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k)＞g(k)，求证f (k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：
(1)先凑假设，作等价变换．
(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．
[学以致用]　3．已知n∈N*，n＞2．
求证：1＋＋…＋＞．
[证明]　(1)当n＝3时，左边＝1＋，右边＝＝2，左边＞右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，不等式成立，
即1＋＋…＋＞．
当n＝k＋1时，
1＋＋…＋＞＝＝．
因为＞＝＝，
所以1＋＋…＋＞，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知对一切n∈N*，n＞2，不等式恒成立．
探究4　归纳—猜想—证明
【链接·教材例题】
例3　已知数列{an}满足a1＝0，2an＋1－anan＋1＝1(n∈N*)，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
分析：先将数列{an}的递推关系2an＋1－anan＋1＝1化为an＋1＝(n∈N*)，通过计算a2，a3，a4，a5的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想．
[解]　由2an＋1－anan＋1＝1，可得
an＋1＝(n∈N*)．
由a1＝0，
可得a2＝＝．
同理可得
a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝．
归纳上述结果，猜想
an＝(n∈N*)． ①
下面用数学归纳法证明这个猜想．
(1)当n＝1时，①式左边＝a1＝0，右边＝＝0，猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，①式成立，即
ak＝，
那么
ak＋1＝＝＝＝，
即当n＝k＋1时，猜想也成立．
由(1)(2)可知，猜想对任何n∈N*都成立．
[典例讲评]　3．数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn，Sn＋1，2S1成等差数列．
(1)计算S1，S2，S3的值；
(2)根据以上计算结果猜测Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．
[解]　(1)S1＝a1＝1，由已知有2S2＝S1＋2S1，得S2＝，又2S3＝S2＋2S1，得S3＝．
(2)由(1)中结果猜测Sn＝．
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，S1＝＝1，猜想成立．
②假设当n＝k时猜想成立，则有Sk＝，
当n＝k＋1时，因为2Sk＋1＝Sk＋2S1，
所以2Sk＋1＝＋2＝，
所以Sk＋1＝，
所以当n＝k＋1时猜想成立．
由①②可知，对任意正整数n，猜想都成立．
　“归纳—猜想—证明”的一般步骤
[学以致用]　4．已知数列{an}满足a1＝－，an＝－(n≥2)．
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法给出证明．
[解]　(1)a2＝－，a3＝－．
(2)猜想数列{an}的通项公式an＝－，证明如下：
当n＝1时，a1＝－，猜想成立；
假设当n＝k时猜想成立，即ak＝－，
当n＝k＋1时，ak＋1＝－＝－
＝－＝－，
所以当n＝k＋1时，an＝－成立，
综上可得an＝－．
【教用·备选题】　(源自北师大版教材)用数学归纳法证明：x2n－y2n能被x＋y整除(n∈N*)．
[证明]　(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)．
故x2－y2能被x＋y整除，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，x2k－y2k能被x＋y整除．
那么，当n＝k＋1时，x2k+2－y2k+2＝x2x2k－y2y2k．*
把x2k＝(xk＋yk)(xk－yk)＋y2k，代入*得x2k+2－y2k+2＝x2(xk＋yk)·(xk－yk)＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)，由假设知x2k－y2k能被x＋y整除，x2－y2能被x＋y整除，故x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．
所以当n＝k＋1时，命题成立．
综上，对于n∈N*，原命题成立．
1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，等式左边计算所得的项是(　　)
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
C　[当n＝1时，左边＝1＋a＋a1+1＝1＋a＋a2．]
2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝n(2n2＋1)，第二步从n＝k到n＝k＋1，等式左边应添加的项是(　　)
A．(k2＋1)2 B．k2＋1
C．(k＋1)2＋k2 D．(k＋1)2＋2k2
C　[根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，①
当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，②
所以②－①得，等式左边应添加的式子是(k＋1)2＋k2．]
3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得(　　)
A．n＝6时该命题不成立
B．n＝6时该命题成立
C．n＝4时该命题不成立
D．n＝4时该命题成立
C　[假设n＝4时该命题成立，由题意可得n＝5时，该命题成立，而n＝5时，该命题不成立，所以n＝4时，该命题不成立．而n＝5时，该命题不成立，不能推得n＝6该命题是否成立．故选C．]
4．若f (n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法验证关于f (n)的命题时，第一步计算f (1)＝________；第二步“从n＝k到n＝k＋1时”，f (k＋1)＝f (k)＋________．
　[f (1)＝1＋＝；
假设当n＝k时，f (k)＝1＋＋…＋，
那么，当n＝k＋1时，f (k＋1)＝1＋＋…＋，
f (k＋1)＝f (k)＋．]
1．知识链：(1)数学归纳法的概念．
(2)增加或减少项的个数问题．
(3)用数学归纳法证明等式、不等式．
(4)归纳—猜想—证明．
2．方法链：数学归纳法．
3．警示牌：(1)对n0取值时易出错．
(2)增加或减少的项数易出错．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．数学归纳法步骤可概括为“三个成立，一个结”是什么意思？
[提示]　“三个成立”是指：①n＝n0时验证命题成立，②n＝k，k≥n0时假设命题成立；③n＝k＋1时，应用归纳假设证明命题成立．
“一个结”就是结论：断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
2．你认为在应用数学归纳法时应注意哪几点？
[提示]　(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1．
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．
课时分层作业(十一)　数学归纳法
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证不等式(　　)
A．1＋＜2 B．1＋＜2
C．1＋＜3 D．1＋＜3
B　[由题意得，当n＝2时，不等式为1＋＜2，故选B．]
2．用数学归纳法证明“5n－2n”“能被3整除”的第二步中n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k+1－2k+1变形为(　　)
A．(5k－2k)＋4×5k－2k B．5(5k－2k)＋3×2k
C．(5－2)(5k－2k) D．5(5k－2k)－3×5k
B　[根据数学归纳法，当n＝k＋1时，
应将5k+1－2k+1变形为5(5k－2k)＋3×2k，
此时，5(5k－2k)和3×2k都可以被3整除．
故该变形是合理的．
故选B．]
3．用数学归纳法证明＋…＋时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边需添加的项是(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[不等式左边需添加的项是＝．故选B．]
4．用数学归纳法证明2＋4＋6＋8＋…＋2n＝2n-1＋22n-2(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，等式左边增加的项数为(　　)
A．1 B．2k-1 C．2k D．2k＋1
B　[当n＝k时，等式左边＝2＋4＋6＋8＋…＋2k，当n＝k＋1时，等式左边＝2＋4＋6＋8＋…＋2k＋(2k＋2)＋(2k＋4)＋…＋(2k＋2k)，故由n＝k递推到n＝k＋1时等式左边增加的项为(2k＋2)＋(2k＋4)＋…＋(2k＋2k)，项数为2k-1．故选B．]
5．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)成立，则有(　　)
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
C　[由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立．在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，故选C．]
二、填空题
6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋…＋＝2时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________．
n＝k＋2时等式成立　[由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2．故答案为n＝k＋2时等式成立．]
7．用数学归纳法证明＋…＋＞．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
＋…＋＞　[观察不等式中各项的分母变化知，当n＝k＋1时，＋…＋＞．]
8．已知f (n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f (2n)>时，f (2k+1)－f (2k)＝________．　
＋…＋　[假设n＝k时，f (2k)＝1＋＋…＋，当n＝k＋1时，
f (2k+1)＝1＋＋…＋＋…＋，
所以f (2k+1)－f (2k)＝1＋＋…＋＋…＋－(1＋＋…＋)
＝＋…＋．]
三、解答题
9．证明：＋…＋＝1－(n∈N*)．
[证明]　(1)当n＝1时，左边＝，
右边＝1－＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即＋…＋＝1－，
那么当n＝k＋1时，
左边＝＋…＋＝1－＝1－．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立．
10．(多选)用数学归纳法证明不等式＋…＋＞的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1
B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2
C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是
D．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是
BC　[当n＝1时，＞不成立，
当n＝2时，＞成立，所以A错误，B正确；
当n＝k时，左边的代数式为＋…＋，
当n＝k＋1时，左边的代数式为＋…＋．
故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果，即＝为不等式的左边增加的项，故C正确，D错误．故选BC．]
11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)
A．(k＋1)2
B．k2＋1
C．
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
D　[因为当n＝k时，
等号的左端为1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，等号的左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
所以增加了(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2．]
12．用数学归纳法证明：1－＋…＋＝＋…＋，第一步应验证的等式是________；从“n＝k”到“n＝k＋1”左边需增加的等式是________．
1－＝　[当n＝1时，应当验证的第一个式子是1－＝，从“n＝k”到“n＝k＋1”左边需增加的式子是．]
13．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)，则a5＝________，归纳猜想an＝________．
31　2n－1　[因为an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)，且a1＝1．
所以a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31．
猜想an＝2n－1．
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，显然猜想成立；
②假设n＝k时，ak＝2k－1，则ak＋1＝2ak＋1＝2×(2k－1)＋1＝2k+1－1，
故n＝k＋1时，猜想也成立．
综上，对所有正整数n，都有an＝2n－1．]
14．试用数学归纳法证明：1＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N*)．
[证明]　(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时命题成立，
即1＋＋…＋<2－．
则当n＝k＋1时，1＋＋…＋<2－<2－＝2－＝2－，命题成立．
由(1)(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立．
15．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．
[解]　当n＝1时，21＋2＝4＞n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6＞n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10＞n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18＞n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2＞n2(n∈N*)成立．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，
左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边＞右边，所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，
所以左边＞右边，所以原不等式成立．
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边＞右边，所以原不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，
即2k＋2＞k2．
那么当n＝k＋1时，2k+1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2．
又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，
故2k+1＋2＞(k＋1)2成立．
根据(1)和(2)，原不等式对于任意n∈N*都成立．
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