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(共61张PPT)
第2课时　等比数列的性质及应用
第四章　数列
4.3　等比数列
4.3.1　等比数列的概念
整体感知
[学习目标]　1．能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质，理解等比数列与项有关的性质．(数学运算)
2．能灵活运用等比数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(数学运算、逻辑推理)
(教师用书)
首先，我们先来看下面两道小题：
(1)若{an}为等比数列，a3＝2，a7＝8，则a4a6＝________．
(2)若{an}为等比数列，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝8，则a7＋a8＋a9＝________．
大家试着做一做，你会发现我们可以用基本量a1，q完成计算，但计算过程比较麻烦，等比数列“继承”了指数函数的特点，计算量大，如果我们掌握一定的技巧，会不会更容易解决问题呢？
[讨论交流]　
问题1．等比数列有哪些性质？
问题2．解决等比数列实际应用问题的关键是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　等比数列的性质
探究问题1　类比等差数列中am＋an＝ak＋al(m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*)能否发现等比数列中相似的性质？
[提示]　类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*．
推导过程：am＝a1qm-1，an＝a1qn-1，ak＝a1qk-1，al＝a1ql-1．
所以am·an＝qm＋n-2，akal＝qk＋l-2，
因为m＋n＝k＋l，所以aman＝akal．
[新知生成]
1．推广的等比数列的通项公式
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝am·qn－m
(m，n∈N*)．
2．等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝__________．
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝．
(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的__，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…．
ap·aq
积
3．由等比数列构造(衍生)新数列
(1)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
(2)若{an}是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是．
(3)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为___和．
pq
【教用·微提醒】　(1)下标和相等且左右两侧项数相同时，性质2可以推广，如：m＋n＋p＝x＋y＋z，则amanap＝axayaz．
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
(3)下标等差时所取项构成等比数列，如{a2n}，{a2n－1}，{a3n－2}，…．
(4)在等比数列{an}中，依次每k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．
[典例讲评]　1．(1)在等比数列{an}中，a5＝8，a7＝2，an＞0，则an＝________．
(2)在正项等比数列{an}中，a4a8a12＝8，则log2a2＋log2a14＝________．
(3)若{an}，{bn}都是等比数列，满足a1b1＝3，a5b5＝6，则a9b9＝________．
[思路引导]　利用等比数列的性质，整体代换求解．
2
12
(1)　(2)2　(3)12　[(1)由a7＝a5·q2得q2＝．因为an＞0，所以q＝．
所以an＝a5·qn-5＝8×＝．
(2)在正项等比数列{an}中，因为a4a8a12＝8，
所以a4a8a12＝＝8，
所以a8＝2，log2a2＋log2a14＝log2(a2a14)＝＝log24＝2．
(3)易知{anbn}为等比数列，
则有(a5b5)2＝(a1b1)·(a9b9)，
即62＝3(a9b9)，∴a9b9＝12．]
【教用·备选题】　已知{an}为等比数列．
(1)若{an}满足a2a4＝，求a5；
(2)若an＞0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
(3)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[解]　(1)在等比数列{an}中，∵a2a4＝，
＝a1a5＝a2a4＝，a5＝．
(2)由等比数列的性质，化简条件得
＝49，
即(a6＋a8)2＝49，
∵an＞0，
∴a6＋a8＝7．
(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)·(a5a6)]＝log395＝10．
反思领悟　应用等比数列性质的解题策略
(1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题．
(2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系，充分利用以下公式进行求解：①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq．②若m＋n＝2t(m，n，t∈N*)，则aman＝．
[学以致用]　1．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝________．
2　[设等比数列{an}的公比为q，
则由题意T13＝4T9，
可得a1a2…a13＝4a1a2…a9，所以a10a11a12a13＝4．
由等比数列的性质可得a8a15＝a10a13＝a11a12，
所以a8·a15＝±2．
又因为{an}是递减等比数列，所以q＞0，所以a8·a15＝2．]
2
【链接·教材例题】
例3　数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列．
分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．
探究2　灵活设元解决等比数列问题
[解]　设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，80，80＋d，80＋2d．于是得
解方程组，得或
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，－48．
[典例讲评]　2．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个数与第四个数之和为16，第二个数与第三个数之和为12，求这四个数．
[解]　法一：设前三个数依次为a－d，a，a＋d，则第四个数为，
由题意，得
解得或
所以这四个数依次为0，4，8，16或15，9，3，1．
法二：设后三个数依次为，a，aq，
则第一个数为－a．
由题意，得
解得或
所以这四个数依次为0，4，8，16或15，9，3，1．
反思领悟　巧设等比数列的方法
(1)三个数成等比数列设为，a，aq．
推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，a，aq，aq2，…．
(2)四个符号相同的数成等比数列设为，aq，aq3．
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，，aq，aq3，aq5，…．
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3．
[学以致用]　2．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________．
45　[设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，
则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．
即
整理得
解得a＝3，q＝2．
因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45．]
45
【链接·教材例题】
例4　用10 000元购买某个理财产品一年．
(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到0.01元)
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于(1)中按月结算的利息(精确到10-5)
分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a(1＋r)，a(1＋r)2，…构成等比数列．
探究3　等比数列的实际应用
[解]　(1)设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an}，则{an}是等比数列，首项a1＝104(1＋0.400%)，公比q＝1＋0.400%，所以
a12＝104(1＋0.400%)12≈10 490.702．
所以，12个月后的利息为10 490.702－104≈490.70(元)．
(2)设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列{bn}，则{bn}也是一个等比数列，首项b1＝104(1＋r)，公比为1＋r，于是
b4＝104(1＋r)4．
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
[104(1＋r)4－104]元．
解不等式104(1＋r)4－104≥490.70，得
r≥1.205%．
所以，当季度利率不小于1.205%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息．
[典例讲评]　3．某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？(精确到0.1)
[解]　(1)从第一年起，每辆车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5×(1－10%)，a3＝13.5×(1－10%)2，…．
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，
首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1·qn-1＝13.5×0.9n-1．
∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n(万元)．
(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．
反思领悟　等比数列实际应用问题的关键是建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题，最后注意数学问题再转化为实际问题作答．
[学以致用]　3．某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过________年其投入资金开始超过7 000万元．
(参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)
12
12　[设该公司经过n年投入的资金为an万元，则a1＝2 000×1.12，
由题意可知，数列{an}是以2 000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列，所以an＝2 000×1.12n，
由an＝2 000×1.12n＞7 000，
可得n＞log1.12＝≈11.1，
因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7 000万元．]
1．在等比数列{an}中，a6＝，公比q＝，则a10＝(　　)
A．6　　B．3　　C．12　　D．8
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
A　[在等比数列{an}中，a6＝，公比q＝，则a10＝a6q4＝×()4＝6．故选A．]
2
3
题号
1
4
2．设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　)
A．12　　B．24　　C．30　　D．32
√
D　[法一：设等比数列{an}的公比为q，所以＝＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝×(25＋26＋27)＝×25×(1＋2＋22)＝32，故选D．
2
3
题号
1
4
法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，则bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3．设数列{an}的公比为q，则＝＝＝q，所以数列{bn}为等比数列，由题意知b1＝1，b2＝2，所以等比数列{bn}的公比q＝2，所以bn＝2n-1，所以b6＝a6＋a7＋a8＝25＝32．故选D．]
2
3
题号
4
1
3．在等比数列{an}中，a5，a13是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，则＝(　　)
A．　　B．－　　C．±　　D．2
B　[因为a5，a13是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，所以有a5＋a13＝－6＜0，a5a13＝2＞0，因此a5＜0，a13＜0，由等比数列的性质可知，a9＜0，而＝a5a13＝2 a9＝－，所以＝＝a9＝－．]
√
2
4
3
题号
1
4．某工厂去年产值为a，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第________年这个工厂的产值将超过2a．
8　[由题意知每年的产值构成以1.1a为首项，1.1为公比的等比数列，则an＝a·1.1n．
所以a·1.1n＞2a．因为1.17＜2，1.18＞2，所以n＝8．]
8
1．知识链：(1)等比数列中项与项之间的关系及应用．
(2)由等比数列构造新的等比数列．
(3)等比数列中项的设法．
(4)等比数列的实际应用．
2．方法链：整体代换的思想、构造法、转化法、公式法．
3．警示牌：(1)在应用题中，容易忽视数列的项数．
(2)构造新的等比数列易忽视有等于0的项．
(3)四个数成等比数列时设成，aq，aq3未考虑四个数符号不同的情况．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在等比数列{an}中，如何巧设数列中的项？
[提示]　三个数成等比数列时，可设三数为，a，aq；四个符号相同的数成等比数列时可设为，aq，aq3．
2．在等比数列中，常用到的性质有哪些？
[提示]　要注意：①认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；②合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素；③针对所求结果作出合理解释．
[提示]　①若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；
②若m＋n＝2p，则aman＝．
3．解决等比数列的实际应用问题有哪些注意事项？
课时分层作业(八)　等比数列的性质及应用
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
C　[∵lg (a3a8a13)＝＝6，∴＝106，∴a8＝102＝100，
∴a1a15＝＝10 000．]
一、选择题
1．已知在各项均为正数的等比数列{an}中，lg (a3a8a13)＝6，则a1a15的值为(　　)
A．100　　B．－100　　C．10 000　　D．－10 000
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．在正项等比数列{an}中，a1a13＝36，则a5＋4a9的最小值是(　　)
A．12　　B．18　　C．24　　D．36
√
14
15
C　[在正项等比数列{an}中，a5a9＝a1a13＝36，所以a5＋4a9≥2＝24，
当且仅当a5＝4a9，即a5＝12，a9＝3时，等号成立，即a5＋4a9的最小值是24．
故选C．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．已知等比数列{an}的各项均为正数，若a2＝1，a8＝2a6＋3a4，则a9＝(　　)
A．18　　B．36　　C．27　　D．27
√
14
15
D　[设{an}的公比为q，则a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2．
因为a8＝2a6＋3a4，所以q6＝2q4＋3q2，因为q≠0，
所以q4－2q2－3＝(q2＋1)(q2－3)＝0，所以q2＝3．因为{an}的各项均为正数，
所以q＝，因为a2＝1，所以a9＝a2q7＝27．故选D．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．已知等比数列{an}为递减数列，若a2a6＝6，a3＋a5＝5，则＝(　　)
A．　　B．　　C．　　D．6
√
14
15
A　[由{an}为等比数列，得a2a6＝a3a5＝6，又a3＋a5＝5，
∴a3，a5为方程x2－5x＋6＝0的两个根，解得a3＝2，a5＝3或a3＝3，a5＝2，
由{an}为递减数列得an＞an＋1，∴a3＝3，a5＝2，
∴q2＝＝，则＝＝．故选A．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．(多选)已知等比数列{an}各项均为正数，满足a2·a16＝16，＝，记等比数列{an}的前n项的积为Tn，则当Tn取得最大值时，n＝(　　)
A．8　　B．9　　C．10　　D．11
√
14
15
CD　[因为a2·a16＝16，由等比数列的性质可得，
＝a2·a16＝16，
因为an＞0，所以a9＝4，因为＝，即＝，
所以q＝，所以a10＝a9q＝4×＝2，a11＝a10q＝1，
√
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
因为0＜q＝＜1，an＞0，
所以等比数列{an}为递减数列，
当n≥12时，0＜an＜1，
所以当n＝10或n＝11时，Tn取得最大值．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
二、填空题
6．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3－a4＝16，a5－a6＝4，则使得an＜1成立的n的最小值为________．
14
15
9　[由得＝q2＝，
所以q＝或q＝－(舍去)，
由a3(1－q)＝16，得a3＝32，所以an＝a3qn-3＝28-n，
由28-n＜1，得8－n＜0，所以n＞8，即n的最小值为9．]
9
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
7．在等比数列{an}中，公比q＝2，且＝，则a9＋a10＋a11＋a12＝________．
14
15
12　[根据题意，＝，＝，
则＝＝，
则有＝，则有＝，
变形可得a9＋a10＋a11＋a12＝12．]
12
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
8．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．
14
15
28　[依题意，设原来的三个数依次为，a，aq．
因为·a·aq＝512，所以a＝8．
28
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，所以＋(aq－2)＝2a，
所以2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝，
所以原来的三个数为4，8，16或16，8，4．
因为4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，
所以原来的三个数的和等于28．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
三、解答题
9．某公司的销售额下跌严重，从2023年的7月销售收入128万元，到9月跌至32万元．你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时候每月销售收入跌至8万元？
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
[解]　设平均每月下降的百分比为x，则每月的销售收入构成了等比数列{an}，a1＝128，则a2＝a1(1－x)，
a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，解得x＝50%．
设an＝8，an＝128(1－50%)n-1＝8，解得n＝5，
所以从2023年的7月算起第5个月，即2023年的11月该公司的销售收入跌至8万元．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
10．(多选)已知等比数列{an}的公比q<0，等差数列{bn}的首项b1＞0，若a9＞b9，且a10＞b10，则下列结论一定正确的是(　　)
A．a9a10＜0　　 B．a9＞a10
C．b10＞0　　 D．b9＞b10
√
14
15
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
AD　[对于选项A，因为q<0，
所以a9a10＝a9·a9q＝q＜0，故A正确；
对于选项B，因为a9a10＜0，
所以或
即a9＞a10或a9＜a10，故B错误；
对于选项C，D，因为a9，a10异号，a9＞b9，且a10＞b10，所以b9，b10中至少有一个负数，
又因为b1＞0，所以d＜0，b9＞b10，故C错误，D正确．故选AD．]
14
15
题号
9
2
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5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
11．已知等比数列{an}的首项为1，则“a2 021＜a2 024”是“a2 023＜
a2 025”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
14
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题号
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1
A　[因为等比数列{an}的首项为1，所以数列的奇数项一定为正，
若a2 021＜a2 024，则＝q3＞1，即q＞1，此时＝q2＞1，
故a2 023＜a2 025，即充分性成立；若a2 023＜a2 025，则＝q2＞1，
所以q＞1或q＜－1，此时＝q3＞1或＝q3＜－1，
所以a2 021＜a2 024不一定成立，即必要性不成立．故选A．]
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题号
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1
12．(多选)在正项等比数列{an}中，公比为q，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，则下列说法正确的是(　　)
A．q2＝ B．＝4
C．a4a6＝2　　 D．n＝12
√
14
15
√
题号
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1
BD　[已知正项等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则an＝a1qn-1．
由a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，得＝＝12，B正确；而a5＝a2q3，于是(a2q3)3＝12，即q9＝3，A错误；而a5＝，C错误；由an＋1an＋2an＋3＝324得＝324，即(a2qn)3＝324，因为＝4，所以q3n＝81＝34＝(q9)4＝q36，所以3n＝36，解得n＝12，D正确．故选BD．]
14
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题号
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1
13．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，则a1a13的最大值是________．
14
15
　[∵{an}是等比数列，且a1a11＋2a6a8＋a3a13＝＝(a6＋a8)2＝25．
又∵an＞0，∴a6＋a8＝5，
∴a1a13＝a6a8≤＝，当且仅当a6＝a8＝时取等号．]
题号
9
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1
14．某厂生产电脑，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台．问：该厂第一季度实际生产电脑多少台？
14
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题号
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1
[解]　根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x－d，x，x＋d(d＞0)，则实际上3个月生产电脑台数分别为x－d，x＋10，x＋d＋25，
由题意得解得
故共有(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)＝3x＋35＝3×90＋35＝305(台)，
即该厂第一季度实际生产电脑305台．
14
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题号
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1
15．已知函数f (x)＝，数列{an}是正项等比数列，且a10＝1，则
f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a18)＋f (a19)＝________．
14
15
　[函数f (x)＝，
当x＞0时，f (x)＋f ＝＝＝1，
因为数列{an}是正项等比数列，且a10＝1，
题号
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1
则a1a19＝a2a18＝a3a17＝…＝＝1，f (a1)＋f (a19)＝f (a1)＋f ＝1，同理f (a2)＋f (a18)＝f (a3)＋f (a17)＝…＝f (a10)＋f (a10)＝1，
令S＝f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a18)＋f (a19)，
又S＝f (a19)＋f (a18)＋f (a17)＋…＋f (a2)＋f (a1)，
则有2S＝19，S＝，所以f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a18)＋f (a19)＝．]
14
15
THANKS第2课时　等比数列的性质及应用
[学习目标]　1．能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质，理解等比数列与项有关的性质．(数学运算)
2．能灵活运用等比数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(数学运算、逻辑推理)
[讨论交流]　
问题1．等比数列有哪些性质？
问题2．解决等比数列实际应用问题的关键是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　等比数列的性质
探究问题1　类比等差数列中am＋an＝ak＋al(m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*)能否发现等比数列中相似的性质？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．推广的等比数列的通项公式
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
2．等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝________．
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝．
(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的________，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…．
3．由等比数列构造(衍生)新数列
(1)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
(2)若{an}是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是____________．
(3)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为________和______．
[典例讲评]　1．(1)在等比数列{an}中，a5＝8，a7＝2，an＞0，则an＝________．
(2)在正项等比数列{an}中，a4a8a12＝8，则log2a2＋log2a14＝________．
(3)若{an}，{bn}都是等比数列，满足a1b1＝3，a5b5＝6，则a9b9＝________．
[思路引导]　利用等比数列的性质，整体代换求解．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　应用等比数列性质的解题策略
(1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题．
(2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系，充分利用以下公式进行求解：①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq．②若m＋n＝2t(m，n，t∈N*)，则aman＝．
[学以致用]　1．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝________．
探究2　灵活设元解决等比数列问题
[典例讲评]　2．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个数与第四个数之和为16，第二个数与第三个数之和为12，求这四个数．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　巧设等比数列的方法
(1)三个数成等比数列设为，a，aq．
推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，a，aq，aq2，…．
(2)四个符号相同的数成等比数列设为，aq，aq3．
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，，aq，aq3，aq5，…．
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3．
[学以致用]　2．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________．
探究3　等比数列的实际应用
[典例讲评]　3．某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？(精确到0.1)
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　等比数列实际应用问题的关键是建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题，最后注意数学问题再转化为实际问题作答．
[学以致用]　3．某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过________年其投入资金开始超过7 000万元．
(参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)
1．在等比数列{an}中，a6＝，公比q＝，则a10＝(　　)
A．6 B．3 C．12 D．8
2．设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　)
A．12 B．24 C．30 D．32
3．在等比数列{an}中，a5，a13是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，则＝(　　)
A． B．－ C．± D．2
4．某工厂去年产值为a，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第________年这个工厂的产值将超过2a．
1．知识链：(1)等比数列中项与项之间的关系及应用．
(2)由等比数列构造新的等比数列．
(3)等比数列中项的设法．
(4)等比数列的实际应用．
2．方法链：整体代换的思想、构造法、转化法、公式法．
3．警示牌：(1)在应用题中，容易忽视数列的项数．
(2)构造新的等比数列易忽视有等于0的项．
(3)四个数成等比数列时设成，aq，aq3未考虑四个数符号不同的情况．
4/44.3　等比数列
4.3.1　等比数列的概念
第1课时　等比数列的概念及通项公式
[学习目标]　1．借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念．(数学抽象)
2．会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题．(数学运算)
3．体会等比数列与指数函数的关系．(数学抽象)
4．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学运算、数学建模)
(教师用书)
有位印度教宰相向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏，国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，作为对宰相忠心的奖赏，他便问那位宰相，他想要得到什么赏赐．宰相开口说道：“请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦粒，第二个格子上放2粒麦粒，第三个格子上放4粒麦粒，第四个格子上放8粒麦粒……即每一个格子中放的麦粒数目都必须是前一个格子中麦粒数目的两倍，直到最后第64格放满为止，这样我就十分满足了．”“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个请求．显然64格的麦粒数可以组成一个数列：1，2，22，23，24，…，263，这就是我们今天要探讨的等比数列．
[讨论交流]　
问题1．等比数列的定义是什么？
问题2．等比中项的定义是什么？
问题3．等比数列的通项公式是什么？
问题4．如何推导等比数列的通项公式？
问题5．如何判定等比数列？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　等比数列的概念
探究问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．
(1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98；
(2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话中隐藏着一列数：，…；
(3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－，－，…．
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？
[提示]　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．对于(1)我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于(2)＝，…；对于(3)＝－，…也有相同的取值规律(从第2项开始，后一项与它的前一项的比都等于同一个常数)．
[新知生成]
等比数列的概念
文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)
【教用·微提醒】　等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零．
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)以下数列中，哪些是等比数列？
(1)1，－，－；
(2)1，1，1，…，1；
(3)1，2，4，8，12，16，20；
(4)a，a2，a3，…，an．
[解]　(1)是等比数列，公比q＝－．
(2)是公比q＝1的等比数列．
(3)因为≠，所以该数列不是等比数列．
(4)当a≠0时，它是公比q＝a的等比数列；当a＝0时，它不是等比数列．
　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论．
[学以致用]　1．(多选)下面四个数列中是等比数列的有(　　)
A．1，1，2，4，8，16，32，64
B．在数列{an}中，已知＝2，＝2
C．数列{an}的通项公式为an＝3×2n
D．在数列{an}中，＝q，其中n∈N*
CD　[A中，＝1≠＝2，不符合定义中“同一个常数”，故不是等比数列．
B中，不一定是等比数列，当数列{an}的项数超过3时，后面的项的比值情况不知，不一定符合定义中“每一项”．
C中，因为当n≥2时，＝＝2(常数)，所以数列{an}为等比数列，且公比q＝2．
D中，在数列{an}中，对任意n∈N*，有＝q恒成立，那么{an}是等比数列．]
探究2　等比中项
探究问题2　任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个数都有等比中项吗？
[提示]　不一定，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数无等比中项．
[新知生成]
等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．
【教用·微提醒】　(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列，如G＝a＝b＝0；(2)只有同号的两个实数才有等比中项；(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数，即G＝±．
[典例讲评]　2．在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．10
B　[不妨设插入的两个正数为a，b，即3，a，b，9，
因为3，a，b成等比数列，则a2＝3b，
a，b，9成等差数列，则a＋9＝2b，
即解得或(舍去)．则a＋b＝．]
　(1)由等比中项的定义可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个；异号时，没有等比中项；
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
[学以致用]　2．－1与＋1的等比中项是(　　)
A．　　　B．－　　　C．±　　　D．±
C　[－1与＋1的等比中项是±＝±．]
探究3　等比数列的通项公式
探究问题3　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？请结合等差数列的定义写出其符号表达式．
[提示]　设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N*且n≥2)．
法一：an＝×…××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn-1，
当n＝1时，上式也成立．
法二：a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
…，
由此可得an＝a1qn-1(n≥2)，
当n＝1时，上式也成立．
[新知生成]
1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1(n∈N*)．
2．等比数列的通项公式与指数型函数的关系
(1)当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f (x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f (n)．
(2)由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下：
①当或时，等比数列{an}为递增数列；
②当或时，等比数列{an}为递减数列．
③当q＝1时，等比数列{an}为常数列．
④当q＜0时，等比数列{an}为摆动数列．
【教用·微提醒】　(1)q＜0或q＝1时，等比数列通项公式不具备指数型函数特点．
(2)等比数列的单调性由a1和q共同决定，只有q＞0且q≠1时存在单调性．
【链接·教材例题】
例1　若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项．
分析：等比数列{an}由a1，q唯一确定，可利用条件列出关于a1，q的方程(组)，进行求解．
解法1：由a4＝48，a6＝12，得
②的两边分别除以①的两边，得
q2＝．
解得q＝或－．
把q＝代入①，得
a1＝384．
此时a5＝a1q4＝384×＝24．
把q＝－代入①，得
a1＝－384．
此时a5＝a1q4＝－384×＝－24．
因此，{an}的第5项是24或－24．
解法2：因为a5是a4与a6的等比中项，所以
＝a4a6＝48×12＝576．
所以a5＝±＝±24．
因此，{an}的第5项是24或－24．
【链接·教材例题】
例2　已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an．
[解]　由题意，得
am＝a1qm-1，①
an＝a1qn-1．②
②的两边分别除以①的两边，得
＝qn－m，
所以an＝amqn－m．
[典例讲评]　3．(1)若{an}为等比数列，则“a1＜a3＜a5”是“数列{an}是递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(源自湘教版教材)已知数列{an}是公比为q的等比数列．
①若a2＝2，a5＝54，求{an}的通项公式；
②若a1＝125，q＝0.2，an＝3.2×10-4，求n．
(1)B　[若等比数列{an}是递增数列，可得a1＜a3＜a5一定成立；
反之，例如数列{(－1)n+12n}，此时满足a1＜a3＜a5，但数列{an}不是递增数列，
所以“a1＜a3＜a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件．]
(2)[解]　①由等比数列的通项公式可知，
②÷①得
q3＝27，即q＝3．
因此，a1＝．
因此，这个数列的通项公式是an＝×3n-1＝2×3n-2．
②由等比数列的通项公式，得
an＝a1qn-1＝125×＝54-n．
又an＝3.2×10-4＝5-5，
因此，54-n＝5-5，即n＝9．
　求a1和q的两种方法
(1)通性通法：根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)整体代换法：充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[学以致用]　3．在等比数列{an}中，a2＋a4＝1，a6＋a8＝9，则a2＝(　　)
A． B． C． D．4
A　[由题得解得q2＝3，∴q＝或q＝－．当q＝时，a1＝；当q＝－时，a1＝－．∴a2＝a1q＝．]
探究4　等比数列的判定与证明
探究问题4　若数列{an}中an≠0，则由＝a1a3能判定{an}是等比数列吗？若是＝anan＋2呢？
[提示]　＝a1a3可变为＝，可判断a1，a2，a3成等比数列，但无法确定整个数列是等比数列，而＝anan＋2可变为＝，考虑n的任意性，可以判定数列为等比数列．
[新知生成]
判定与证明等比数列的方法
(1)定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q是不为0的常数)；
(2)等比中项法：＝an－1·an＋1(n∈N*且n≥2)；
(3)通项公式法：an＝a1qn-1＝·qn＝A·qn(A≠0)．
【教用·微提醒】　(1)证明{an}为等比数列常用定义法．
(2)定义法也可用＝q(n∈N*)，与＝q(n≥2，n∈N*)作用一致．
(3)通项公式法一般只用于选择、填空题．
【链接·教材例题】
例5　已知数列{an}的首项a1＝3．
(1)若{an}为等差数列，公差d＝2，证明数列}为等比数列；
(2)若{an}为等比数列，公比q＝，证明数列{log3an}为等差数列．
分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明．
[证明]　(1)由a1＝3，d＝2，得{an}的通项公式为an＝2n＋1．
设bn＝，则＝＝9．
又b1＝33＝27，所以}是以27为首项，9为公比的等比数列．
(2)由a1＝3，q＝，得
an＝3×＝33-2n．
两边取以3为底的对数，得
log3an＝log333-2n＝3－2n．
所以log3an＋1－log3an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2．
又log3a1＝log33＝1，
所以，{log3an}是首项为1，公差为－2的等差数列．
[典例讲评]　4．已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是不是等比数列．
[思路引导]　利用an与Sn的关系确定通项an，再用定义加以证明．
[解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n-1－a＝2n-1(n≥2)．
当n≥2时，＝＝2；
当n＝1时，＝＝．
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
[母题探究]　
1．将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N*)”．
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*．
因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)由(1)，可知an－n＝4n-1，
于是数列{an}的通项公式为an＝4n-1＋n．
2．将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．
[证明]　∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝an．
又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0．
又由an＋1＝an知an≠0，∴＝，
∴{an}是首项为1，公比为的等比数列．
【教用·备选题】　已知数列{an}满足a1＝2，nan＋1＝3(n＋1)an，bn＝(n∈N*)．
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由．
[解]　(1)由题意得an＋1＝an，
将n＝1代入，得a2＝6a1，又a1＝2，∴a2＝12，
将n＝2代入，得a3＝a2，∴a3＝54，
∴b1＝＝2，b2＝＝6，b3＝＝18．
(2){bn}是首项为2，公比为3的等比数列．
由题意得＝3×，即bn＋1＝3bn，又∵b1＝2，∴{bn}是首项为2，公比为3的等比数列．
　判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(3)等比中项法：若＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列．
[学以致用]　4．设数列{an}的前n项和为Sn，且nSn＋(n＋2)an＝4n，求证：数列是等比数列．
[证明]　因为nSn＋(n＋2)an＝4n，
即Sn＋＝4，
当n≥2时，Sn－1＋＝4，两式相减得
an＋＝0，
整理得＝·，所以数列是等比数列．
1．在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为(　　)
A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．6
C　[因为an＝a1qn-1，所以＝，即＝，解得n＝5．]
2．若a，b，c成等比数列且公比为q，那么(　　)
A．不一定是等比数列
B．一定不是等比数列
C．一定是等比数列，且公比为
D．一定是等比数列，且公比为q
C　[因为a，b，c成等比数列且公比为q，所以＝，b2＝ac，可得＝＝＝，由等比中项可判断得成等比数列，并且公比为．故选C．]
3．在等比数列{an}中，若a1＝，公比q＝2，则a4与a8的等比中项是________．
±4　[依题意，得a6＝a1q5＝×25＝4，而a4与a8的等比中项是±a6，故a4与a8的等比中项是±4．]
4．已知在等比数列{an}中，若它的首项为2，公比为3，则通项公式an＝________．
2×3n-1　[等比数列{an}中，首项为2，公比为3，可得该数列的通项公式为an＝2×3n-1．]
1．知识链：(1)等比数列的概念．
(2)等比中项的概念．
(3)等比数列的通项公式及其与函数的关系．
(4)等比数列的判定与证明．
2．方法链：方程(组)法、构造法、定义法、整体代换法．
3．警示牌：x，G，y成等比数列 G2＝xy，但G2＝xyx，G，y成等比数列．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．等比数列的概念中，应从哪几个方面理解？
[提示]　①从第2项起，②后项与前项的比，③同一个常数．
2．任何两个实数都有等比中项吗？
[提示]　不是，只有同号的两个实数才有等比中项且它们互为相反数．
3．如何判断一个数列为等比数列？
[提示]　
定义法 ＝q(q为常数且不为零，n∈N*) {an}为等比数列
等比中项法 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0) {an}为等比数列
通项公式法 an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0) {an}为等比数列
课时分层作业(七)　等比数列的概念及通项公式
一、选择题
1．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q＝2，且满足a2a6＝16，则a5＝(　　)
A．8 B．4 C．2 D．1
A　[由{an}为等比数列，不妨设首项为a1，
由a2a6＝16，可得a2a6＝·26＝16．
又an＞0，则有a1＝，
则a5＝×24＝8．故选A．]
2．(多选)下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述，不正确的是(　　)
A．q＞1 {an}为递增数列
B．{an}为递增数列 q＞1
C．0＜q＜1 {an}为递减数列
D．q＞1{an}为递增数列，且{an}为递增数列q＞1
ABC　[若a1＝－2，q＝2＞1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，是递减数列，A不正确；
若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…，是递增数列，则q＝＜1，B不正确，D正确；
若a1＝－16，q＝∈(0，1)，则{an}的各项为－16，－8，－4，…，显然是递增数列，C不正确．]
3．(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　)
A． B．{anan＋1}
D．{an＋an＋1}
AB　[根据题意，{an}为等比数列，设其公比为q(q≠0)；
对于A，＝＝·，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确；对于B，＝＝q2，∴数列{anan＋1}是以a1a2为首项，q2为公比的等比数列，故B正确；对于C，当an＝1时＝0，数列}不是等比数列，故C错误；对于D，当q＝－1时，an＋an＋1＝0，数列{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误．故选AB．]
4．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第2个数应为(　　)
A． B． C． D．
A　[设该等比数列为{an}，公比为q，则q12＝＝2，所以a3＝a1q2＝．故选A．]
5．(多选)已知等比数列{an}的各项均为正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则下列说法正确的是(　　)
A．a1＞0 B．q＞0　
C．＝3或－1 D．＝9
ABD　[设等比数列{an}的公比为q，q＞0，且an＞0．
由3a1，a3，2a2成等差数列，得a3＝2a2＋3a1，即a1q2－2a1q－3a1＝0，∴q2－2q－3＝0，又q＞0，解得q＝3，∴＝q＝3，＝＝q2＝9．
结合选项可知，ABD正确，C错误．故选ABD．]
二、填空题
6．已知数列{an}满足an＝2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则an＝________．
2n-1　[数列{an}满足an＝2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，
可得数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
则an＝1×2n-1＝2n-1，n∈N*．]
7．在等差数列{an}中，a3＝0．如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________．
9　[设等差数列{an}的公差为d，由题意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝－2d．又∵ak是a6与ak＋6的等比中项＝a6ak＋6，即[a1＋(k－1)d]2＝(a1＋5d)·[a1＋(k＋5)d]，整理得[(k－3)d]2＝3d·(k＋3)d，解得k＝9或k＝0(舍去)．]
8．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________．
　[设衰分比例为q，
则甲、乙、丙各分得，28，28q石，
∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或．
又0＜q＜1，∴q＝．]
三、解答题
9．(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an；
(2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n；
(3)若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q．
[解]　(1)设等比数列{an}的公比为q，
由题意知q＞0．
由已知得解得
∵q＞0，∴q＝，
∴an＝128×＝．
(2)由an＝a1·qn-1，得＝，
即＝，解得n＝4．
(3)∵an＋4＝a1qn+3，a4＝a1q3，
又an＋4＝a4，
∴qn＝1，
∴当n为偶数时，q＝±1；
当n为奇数时，q＝1．
10．设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则的最小值为(　　)
A．8 B．4 C．1 D．
B　[因为是5a与5b的等比中项，
则＝5a·5b，所以a＋b＝1，
所以＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4．当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号．]
11．已知不等式x2－5x－6＜0的解集中有三个整数解构成等比数列{an}的前3项，则数列{an}的第4项是(　　)
A．8 B． C．8或2 D．8或
D　[不等式x2－5x－6＜0的解集为{x|－1＜x＜6}，其中成等比数列的三个整数为1，2，4，
若数列前3项为1，2，4，则第4项为8，若数列前3项为4，2，1，则第4项为．]
12．若a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则＝________．
　[＝＝＝＝．]
13．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．
　－1　[∵a2，a3，a7成等比数列＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，
即2d＋3a1＝0．①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1．②
由①②解得a1＝，d＝－1．]
14．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an．
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因为数列{an}中各项均为正数，所以an＋1＋an＞0，
所以＝3，
所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列．
(2)由(1)知数列{an＋an＋1}是以a1＋a2为首项，3为公比的等比数列，又a1＝，a2＝，
则an＋an＋1＝(a1＋a2)3n-1＝2×3n-1，
因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)＝(－1)2(an－3an－1)＝…＝(－1)n(a2－3a1)，
又因为a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以an＝×3n-1．
15．已知数列{an}和{bn}满足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．
(1)求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；
(2)试判断{bn}是否为等比数列．
[解]　(1)证明：假设存在实数λ，使得数列{an}是等比数列，
则必有＝a1a3，∵a1＝λ，∴a2＝λ－3，a3＝－2＝λ－4．
由＝λ，整理得9＝0，矛盾．
故假设错误，因此对于任意实数λ，数列{an}不是等比数列．
(2)若存在实数λ使得数列{bn}是等比数列，则＝常数(bn≠0)．
∵bn＋1＝(－1)n+1[an＋1－3(n＋1)＋21]
＝(－1)n+1
＝(－1)n+1(an－3n＋21)
＝－bn，
当且仅当an≠3n－21，即λ≠－18时上式成立．
故当λ≠－18时，数列{bn}为等比数列．
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第1课时　等比数列的概念及通项公式
第四章　数列
4.3　等比数列
4.3.1　等比数列的概念
整体感知
[学习目标]　1．借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念．(数学抽象)
2．会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题．(数学运算)
3．体会等比数列与指数函数的关系．(数学抽象)
4．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学运算、数学建模)
(教师用书)
有位印度教宰相向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏，国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，作为对宰相忠心的奖赏，他便问那位宰相，他想要得到什么赏赐．宰相开口说道：“请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦粒，第二个格子上放2粒麦粒，第三个格子上放4粒麦粒，第四个格子上放8粒麦粒……即每一个格子中放的麦粒数目都必须是前一个格子中麦粒数目的两倍，直到最后第64格放满为止，这样我就十分满足了．”“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个请求．显然64格的麦粒数可以组成一个数列：1，2，22，23，24，…，263，这就是我们今天要探讨的等比数列．
[讨论交流]　
问题1．等比数列的定义是什么？
问题2．等比中项的定义是什么？
问题3．等比数列的通项公式是什么？
问题4．如何推导等比数列的通项公式？
问题5．如何判定等比数列？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　等比数列的概念
探究问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．
(1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98；
(2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话中隐藏着一列数：，…；
(3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－，－，…．
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？
[提示]　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．对于(1)我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于(2) ＝，…；对于(3)＝－，…也有相同的取值规律(从第2项开始，后一项与它的前一项的比都等于同一个常数)．
[新知生成]
等比数列的概念
文字语言 一般地，如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比都等于__________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的____，公比通常用字母q表示(q≠0)
符号语言 ＝__(q为常数，q≠0，n∈N*)
2
同一个常数
公比
q
【教用·微提醒】　等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零．
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)以下数列中，哪些是等比数列？
(1)1，－，－；
(2)1，1，1，…，1；
(3)1，2，4，8，12，16，20；
(4)a，a2，a3，…，an．
[解]　(1)是等比数列，公比q＝－．
(2)是公比q＝1的等比数列．
(3)因为≠，所以该数列不是等比数列．
(4)当a≠0时，它是公比q＝a的等比数列；当a＝0时，它不是等比数列．
反思领悟　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论．
[学以致用]　1．(多选)下面四个数列中是等比数列的有(　　)
A．1，1，2，4，8，16，32，64
B．在数列{an}中，已知＝2，＝2
C．数列{an}的通项公式为an＝3×2n
D．在数列{an}中，＝q，其中n∈N*
√
√
CD　[A中，＝1≠＝2，不符合定义中“同一个常数”，故不是等比数列．
B中，不一定是等比数列，当数列{an}的项数超过3时，后面的项的比值情况不知，不一定符合定义中“每一项”．
C中，因为当n≥2时，＝＝2(常数)，所以数列{an}为等比数列，且公比q＝2．
D中，在数列{an}中，对任意n∈N*，有＝q恒成立，那么{an}是等比数列．]
探究2　等比中项
探究问题2　任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个数都有等比中项吗？
[提示]　不一定，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数无等比中项．
[新知生成]
等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的________，此时，G2＝__．
等比中项
ab
【教用·微提醒】　(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列，如G＝a＝b＝0；(2)只有同号的两个实数才有等比中项；(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数，即G＝±．
[典例讲评]　2．在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．10
√
B　[不妨设插入的两个正数为a，b，即3，a，b，9，
因为3，a，b成等比数列，则a2＝3b，
a，b，9成等差数列，则a＋9＝2b，
即解得或(舍去)．则a＋b＝．]
反思领悟　(1)由等比中项的定义可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个；异号时，没有等比中项；
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
[学以致用]　2．－1与＋1的等比中项是(　　)
A．　　　B．－　　　C．±　　　D．±
√
C　[－1与＋1的等比中项是±＝±．]
探究3　等比数列的通项公式
探究问题3　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？请结合等差数列的定义写出其符号表达式．
[提示]　设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N*且n≥2)．
法一：an＝×…××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn-1，
当n＝1时，上式也成立．
法二：a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
…，
由此可得an＝a1qn-1(n≥2)，
当n＝1时，上式也成立．
[新知生成]
1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝______(n∈N*)．
2．等比数列的通项公式与指数型函数的关系
(1)当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f (x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f (n)．
a1qn-1
(2)由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下：
①当或时，等比数列{an}为递增数列；
②当或时，等比数列{an}为递减数列．
③当q＝1时，等比数列{an}为常数列．
④当q＜0时，等比数列{an}为____数列．
摆动
【教用·微提醒】　(1)q＜0或q＝1时，等比数列通项公式不具备指数型函数特点．
(2)等比数列的单调性由a1和q共同决定，只有q＞0且q≠1时存在单调性．
【链接·教材例题】
例1　若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项．
分析：等比数列{an}由a1，q唯一确定，可利用条件列出关于a1，q的方程(组)，进行求解．
解法1：由a4＝48，a6＝12，得
②的两边分别除以①的两边，得
q2＝．解得q＝或－．
把q＝代入①，得a1＝384．此时a5＝a1q4＝384×＝24．
把q＝－代入①，得a1＝－384．此时a5＝a1q4＝－384×＝－24．
因此，{an}的第5项是24或－24．
解法2：因为a5是a4与a6的等比中项，所以
＝a4a6＝48×12＝576．
所以a5＝±＝±24．
因此，{an}的第5项是24或－24．
【链接·教材例题】
例2　已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an．
[解]　由题意，得
am＝a1qm-1， ①
an＝a1qn-1． ②
②的两边分别除以①的两边，得＝qn－m，
所以an＝amqn－m．
[典例讲评]　3．(1)若{an}为等比数列，则“a1＜a3＜a5”是“数列{an}是递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(源自湘教版教材)已知数列{an}是公比为q的等比数列．
①若a2＝2，a5＝54，求{an}的通项公式；
②若a1＝125，q＝0.2，an＝3.2×10-4，求n．
√
(1)B　[若等比数列{an}是递增数列，可得a1＜a3＜a5一定成立；
反之，例如数列{(－1)n+12n}，此时满足a1＜a3＜a5，但数列{an}不是递增数列，
所以“a1＜a3＜a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件．]
(2)[解]　①由等比数列的通项公式可知，
②÷①得q3＝27，即q＝3．因此，a1＝．
因此，这个数列的通项公式是an＝×3n-1＝2×3n-2．
②由等比数列的通项公式，得
an＝a1qn-1＝125×＝54-n．
又an＝3.2×10-4＝5-5，因此，54-n＝5-5，即n＝9．
反思领悟　求a1和q的两种方法
(1)通性通法：根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)整体代换法：充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[学以致用]　3．在等比数列{an}中，a2＋a4＝1，a6＋a8＝9，则a2＝(　　)
A．　　B．　　C．　　D．4
√
A　[由题得解得q2＝3，∴q＝或q＝－．当q＝时，a1＝；当q＝－时，a1＝－．∴a2＝a1q＝．]
探究4　等比数列的判定与证明
探究问题4　若数列{an}中an≠0，则由＝a1a3能判定{an}是等比数列吗？若是＝anan＋2呢？
[提示]　＝a1a3可变为＝，可判断a1，a2，a3成等比数列，但无法确定整个数列是等比数列，而＝anan＋2可变为＝，考虑n的任意性，可以判定数列为等比数列．
[新知生成]
判定与证明等比数列的方法
(1)定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q是不为0的常数)；
(2)等比中项法：＝____________(n∈N*且n≥2)；
(3)通项公式法：an＝______＝·qn＝A·qn(A≠0)．
an－1·an＋1
a1qn-1
【教用·微提醒】　(1)证明{an}为等比数列常用定义法．
(2)定义法也可用＝q(n∈N*)，与＝q(n≥2，n∈N*)作用一致．
(3)通项公式法一般只用于选择、填空题．
【链接·教材例题】
例5　已知数列{an}的首项a1＝3．
(1)若{an}为等差数列，公差d＝2，证明数列}为等比数列；
(2)若{an}为等比数列，公比q＝，证明数列{log3an}为等差数列．
分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明．
[证明]　(1)由a1＝3，d＝2，得{an}的通项公式为an＝2n＋1．
设bn＝，则＝＝9．
又b1＝33＝27，所以}是以27为首项，9为公比的等比数列．
(2)由a1＝3，q＝，得an＝3×＝33-2n．
两边取以3为底的对数，得log3an＝log333-2n＝3－2n．
所以log3an＋1－log3an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2．
又log3a1＝log33＝1，
所以，{log3an}是首项为1，公差为－2的等差数列．
[典例讲评]　4．已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是不是等比数列．
[思路引导]　利用an与Sn的关系确定通项an，再用定义加以证明．
[解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n-1－a＝2n-1(n≥2)．
当n≥2时，＝＝2；当n＝1时，＝＝．
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
[母题探究]　
1．将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N*)”．
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*．
因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)由(1)，可知an－n＝4n-1，
于是数列{an}的通项公式为an＝4n-1＋n．
2．将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．
[证明]　∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝an．
又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0．
又由an＋1＝an知an≠0，∴＝，
∴{an}是首项为1，公比为的等比数列．
【教用·备选题】　已知数列{an}满足a1＝2，nan＋1＝3(n＋1)an，bn＝(n∈N*)．
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由．
[解]　(1)由题意得an＋1＝an，
将n＝1代入，得a2＝6a1，又a1＝2，∴a2＝12，
将n＝2代入，得a3＝a2，∴a3＝54，
∴b1＝＝2，b2＝＝6，b3＝＝18．
(2){bn}是首项为2，公比为3的等比数列．
由题意得＝3×，即bn＋1＝3bn，又∵b1＝2，∴{bn}是首项为2，公比为3的等比数列．
反思领悟　判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(3)等比中项法：若＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列．
[学以致用]　4．设数列{an}的前n项和为Sn，且nSn＋(n＋2)an＝4n，求证：数列是等比数列．
[证明]　因为nSn＋(n＋2)an＝4n，
即Sn＋＝4，当n≥2时，Sn－1＋＝4，两式相减得
an＋＝0，
整理得＝·，所以数列是等比数列．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
C　[因为an＝a1qn-1，所以＝，即＝，解得n＝5．]
1．在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为(　　)
A．3　　　　　B．4　　　　　C．5　　　　　D．6
2
3
题号
1
4
2．若a，b，c成等比数列且公比为q，那么(　　)
A．不一定是等比数列
B．一定不是等比数列
C．一定是等比数列，且公比为
D．一定是等比数列，且公比为q
√
C　[因为a，b，c成等比数列且公比为q，所以＝，b2＝ac，可得＝＝＝，由等比中项可判断得成等比数列，并且公比为．故选C．]
2
3
题号
4
1
3．在等比数列{an}中，若a1＝，公比q＝2，则a4与a8的等比中项是________．
±4　[依题意，得a6＝a1q5＝×25＝4，而a4与a8的等比中项是±a6，故a4与a8的等比中项是±4．]
±4
2
4
3
题号
1
4．已知在等比数列{an}中，若它的首项为2，公比为3，则通项公式an＝________．
2×3n-1　[等比数列{an}中，首项为2，公比为3，可得该数列的通项公式为an＝2×3n-1．]
2×3n-1
1．知识链：(1)等比数列的概念．
(2)等比中项的概念．
(3)等比数列的通项公式及其与函数的关系．
(4)等比数列的判定与证明．
2．方法链：方程(组)法、构造法、定义法、整体代换法．
3．警示牌：x，G，y成等比数列 G2＝xy，但G2＝xy x，G，y成等比数列．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．等比数列的概念中，应从哪几个方面理解？
[提示]　不是，只有同号的两个实数才有等比中项且它们互为相反数．
[提示]　①从第2项起，②后项与前项的比，③同一个常数．
2．任何两个实数都有等比中项吗？
3．如何判断一个数列为等比数列？
[提示]　
定义法 ＝q(q为常数且不为零，n∈N*) {an}为等比数列
等比中项法 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0) {an}为等比数列
通项公式法 an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0) {an}为等比数列
课时分层作业(七)　等比数列的概念及通项公式
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、选择题
1．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q＝2，且满足a2a6＝16，则a5＝(　　)
A．8　　B．4　　C．2　　D．1
课时分层作业(七)　等比数列的概念及通项公式
题号
1
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15
A　[由{an}为等比数列，不妨设首项为a1，
由a2a6＝16，可得a2a6＝·26＝16．
又an＞0，则有a1＝，
则a5＝×24＝8．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
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13
2．(多选)下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述，不正确的是(　　)
A．q＞1 {an}为递增数列
B．{an}为递增数列 q＞1
C．0＜q＜1 {an}为递减数列
D．q＞1 {an}为递增数列，且{an}为递增数列 q＞1
√
14
15
√
√
题号
2
1
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5
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11
12
13
ABC　[若a1＝－2，q＝2＞1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，
是递减数列，A不正确；
若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…，是递增数列，则q＝＜1，B不正确，D正确；
若a1＝－16，q＝∈(0，1)，则{an}的各项为－16，－8，－4，…，显然是递增数列，C不正确．]
14
15
题号
3
2
4
5
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1
3．(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　)
A．　　 B．{anan＋1}
　　 D．{an＋an＋1}
√
14
15
√
题号
3
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13
1
AB　[根据题意，{an}为等比数列，设其公比为q(q≠0)；
对于A，＝＝·，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确；对于B，＝＝q2，∴数列{anan＋1}是以a1a2为首项，q2为公比的等比数列，故B正确；对于C，当an＝1时＝0，数列}不是等比数列，故C错误；对于D，当q＝－1时，an＋an＋1＝0，数列{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误．故选AB．]
14
15
题号
4
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1
4．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第2个数应为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．　　
√
14
15
题号
4
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1
A　[设该等比数列为{an}，公比为q，则q12＝＝2，所以a3＝a1q2＝．故选A．]
14
15
题号
2
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5
3
6
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13
1
5．(多选)已知等比数列{an}的各项均为正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则下列说法正确的是(　　)
A．a1＞0　　 B．q＞0　
C．＝3或－1　　 D．＝9
√
14
15
√
√
题号
2
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5
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1
ABD　[设等比数列{an}的公比为q，q＞0，且an＞0．
由3a1，a3，2a2成等差数列，得a3＝2a2＋3a1，即a1q2－2a1q－3a1＝0，∴q2－2q－3＝0，又q＞0，解得q＝3，∴＝q＝3，＝＝q2＝9．
结合选项可知，ABD正确，C错误．故选ABD．]
14
15
题号
2
4
5
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13
1
二、填空题
6．已知数列{an}满足an＝2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则an＝________．
14
15
2n-1　[数列{an}满足an＝2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，
可得数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
则an＝1×2n-1＝2n-1，n∈N*．]
2n-1
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
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12
13
1
7．在等差数列{an}中，a3＝0．如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________．
14
15
9　[设等差数列{an}的公差为d，由题意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝
－2d．又∵ak是a6与ak＋6的等比中项＝a6ak＋6，即[a1＋(k－1)d]2＝(a1＋5d)·[a1＋(k＋5)d]，整理得[(k－3)d]2＝3d·(k＋3)d，解得k＝9或k＝0(舍去)．]
9
题号
2
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3
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1
8．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为_______．
14
15
　[设衰分比例为q，
则甲、乙、丙各分得，28，28q石，
∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或．
又0＜q＜1，∴q＝．]
题号
9
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1
三、解答题
9．(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an；
(2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n；
(3)若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q．
14
15
题号
9
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3
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13
1
[解]　(1)设等比数列{an}的公比为q，
由题意知q＞0．
由已知得解得
∵q＞0，∴q＝，
∴an＝128×＝．
14
15
题号
9
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1
(2)由an＝a1·qn-1，得＝，
即＝，解得n＝4．
(3)∵an＋4＝a1qn+3，a4＝a1q3，
又an＋4＝a4，
∴qn＝1，
∴当n为偶数时，q＝±1；
当n为奇数时，q＝1．
14
15
题号
9
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1
10．设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则的最小值为(　　)
A．8　　B．4　　C．1　　D．
√
14
15
B　[因为是5a与5b的等比中项，则＝5a·5b，所以a＋b＝1，
所以＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4．当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号．]
题号
9
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1
11．已知不等式x2－5x－6＜0的解集中有三个整数解构成等比数列{an}的前3项，则数列{an}的第4项是(　　)
A．8　　B．　　C．8或2　　D．8或
√
14
15
D　[不等式x2－5x－6＜0的解集为{x|－1＜x＜6}，其中成等比数列的三个整数为1，2，4，
若数列前3项为1，2，4，则第4项为8，若数列前3项为4，2，1，则第4项为．]
题号
9
2
4
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3
8
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12
13
1
12．若a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则＝________．
14
15
　[＝＝＝＝．]
题号
9
2
4
5
3
8
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7
10
11
12
13
1
13．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．
14
15
　－1　[∵a2，a3，a7成等比数列＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，
即2d＋3a1＝0．①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1．②
由①②解得a1＝，d＝－1．]
－1
题号
9
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12
13
1
14．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an．
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
14
15
[解]　(1)证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因为数列{an}中各项均为正数，所以an＋1＋an＞0，
所以＝3，所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列．
题号
9
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13
1
(2)由(1)知数列{an＋an＋1}是以a1＋a2为首项，3为公比的等比数列，又a1＝，a2＝，
则an＋an＋1＝(a1＋a2)3n-1＝2×3n-1，
因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)＝(－1)2(an－3an－1)＝…＝(－1)n(a2－3a1)，
又因为a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以an＝×3n-1．
14
15
题号
9
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13
1
15．已知数列{an}和{bn}满足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．
(1)求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；
(2)试判断{bn}是否为等比数列．
14
15
题号
9
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4
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10
11
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1
[解]　(1)证明：假设存在实数λ，使得数列{an}是等比数列，
则必有＝a1a3，∵a1＝λ，∴a2＝λ－3，a3＝－2＝λ－4．
由＝λ，整理得9＝0，矛盾．
故假设错误，因此对于任意实数λ，数列{an}不是等比数列．
14
15
题号
9
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13
1
(2)若存在实数λ使得数列{bn}是等比数列，则＝常数(bn≠0)．
∵bn＋1＝(－1)n+1[an＋1－3(n＋1)＋21]
＝(－1)n+1
＝(－1)n+1(an－3n＋21)＝－bn，
当且仅当an≠3n－21，即λ≠－18时上式成立．
故当λ≠－18时，数列{bn}为等比数列．
14
15
THANKS第2课时　等比数列的性质及应用
[学习目标]　1．能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质，理解等比数列与项有关的性质．(数学运算)
2．能灵活运用等比数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(数学运算、逻辑推理)
(教师用书)
首先，我们先来看下面两道小题：
(1)若{an}为等比数列，a3＝2，a7＝8，则a4a6＝________．
(2)若{an}为等比数列，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝8，则a7＋a8＋a9＝________．
大家试着做一做，你会发现我们可以用基本量a1，q完成计算，但计算过程比较麻烦，等比数列“继承”了指数函数的特点，计算量大，如果我们掌握一定的技巧，会不会更容易解决问题呢？
[讨论交流]　
问题1．等比数列有哪些性质？
问题2．解决等比数列实际应用问题的关键是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　等比数列的性质
探究问题1　类比等差数列中am＋an＝ak＋al(m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*)能否发现等比数列中相似的性质？
[提示]　类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*．
推导过程：am＝a1qm-1，an＝a1qn-1，ak＝a1qk-1，al＝a1ql-1．
所以am·an＝qm＋n-2，akal＝qk＋l-2，
因为m＋n＝k＋l，所以aman＝akal．
[新知生成]
1．推广的等比数列的通项公式
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
2．等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq．
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝．
(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…．
3．由等比数列构造(衍生)新数列
(1)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
(2)若{an}是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是．
(3)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和．
【教用·微提醒】　(1)下标和相等且左右两侧项数相同时，性质2可以推广，如：m＋n＋p＝x＋y＋z，则amanap＝axayaz．
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
(3)下标等差时所取项构成等比数列，如{a2n}，{a2n－1}，{a3n－2}，…．
(4)在等比数列{an}中，依次每k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．
[典例讲评]　1．(1)在等比数列{an}中，a5＝8，a7＝2，an＞0，则an＝________．
(2)在正项等比数列{an}中，a4a8a12＝8，则log2a2＋log2a14＝________．
(3)若{an}，{bn}都是等比数列，满足a1b1＝3，a5b5＝6，则a9b9＝________．
[思路引导]　利用等比数列的性质，整体代换求解．
(1)　(2)2　(3)12　[(1)由a7＝a5·q2得q2＝．因为an＞0，所以q＝．
所以an＝a5·qn-5＝8×＝．
(2)在正项等比数列{an}中，因为a4a8a12＝8，
所以a4a8a12＝＝8，
所以a8＝2，log2a2＋log2a14＝log2(a2a14)＝＝log24＝2．
(3)易知{anbn}为等比数列，
则有(a5b5)2＝(a1b1)·(a9b9)，
即62＝3(a9b9)，∴a9b9＝12．]
【教用·备选题】　已知{an}为等比数列．
(1)若{an}满足a2a4＝，求a5；
(2)若an＞0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
(3)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[解]　(1)在等比数列{an}中，∵a2a4＝，
＝a1a5＝a2a4＝，
a5＝．
(2)由等比数列的性质，化简条件得
＝49，
即(a6＋a8)2＝49，
∵an＞0，
∴a6＋a8＝7．
(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)·(a5a6)]＝log395＝10．
　应用等比数列性质的解题策略
(1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题．
(2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系，充分利用以下公式进行求解：①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq．②若m＋n＝2t(m，n，t∈N*)，则aman＝．
[学以致用]　1．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝________．
2　[设等比数列{an}的公比为q，
则由题意T13＝4T9，
可得a1a2…a13＝4a1a2…a9，
所以a10a11a12a13＝4．
由等比数列的性质可得a8a15＝a10a13＝a11a12，
所以a8·a15＝±2．
又因为{an}是递减等比数列，所以q＞0，所以a8·a15＝2．]
探究2　灵活设元解决等比数列问题
【链接·教材例题】
例3　数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列．
分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．
[解]　设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，80，80＋d，80＋2d．于是得
解方程组，得
或
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，－48．
[典例讲评]　2．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个数与第四个数之和为16，第二个数与第三个数之和为12，求这四个数．
[解]　法一：设前三个数依次为a－d，a，a＋d，则第四个数为，
由题意，得
解得或
所以这四个数依次为0，4，8，16或15，9，3，1．
法二：设后三个数依次为，a，aq，
则第一个数为－a．
由题意，得
解得或
所以这四个数依次为0，4，8，16或15，9，3，1．
　巧设等比数列的方法
(1)三个数成等比数列设为，a，aq．
推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，a，aq，aq2，…．
(2)四个符号相同的数成等比数列设为，aq，aq3．
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，，aq，aq3，aq5，…．
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3．
[学以致用]　2．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________．
45　[设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，
则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．
即
整理得
解得a＝3，q＝2．
因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45．]
探究3　等比数列的实际应用
【链接·教材例题】
例4　用10 000元购买某个理财产品一年．
(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到0.01元)
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于(1)中按月结算的利息(精确到10-5)
分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a(1＋r)，a(1＋r)2，…构成等比数列．
[解]　(1)设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an}，则{an}是等比数列，首项a1＝104(1＋0.400%)，公比q＝1＋0.400%，所以
a12＝104(1＋0.400%)12≈10 490.702．
所以，12个月后的利息为10 490.702－104≈490.70(元)．
(2)设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列{bn}，则{bn}也是一个等比数列，首项b1＝104(1＋r)，公比为1＋r，于是
b4＝104(1＋r)4．
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
[104(1＋r)4－104]元．
解不等式104(1＋r)4－104≥490.70，得
r≥1.205%．
所以，当季度利率不小于1.205%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息．
[典例讲评]　3．某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？(精确到0.1)
[解]　(1)从第一年起，每辆车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5×(1－10%)，a3＝13.5×(1－10%)2，…．
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，
首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1·qn-1＝13.5×0.9n-1．
∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n(万元)．
(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．
　等比数列实际应用问题的关键是建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题，最后注意数学问题再转化为实际问题作答．
[学以致用]　3．某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过________年其投入资金开始超过7 000万元．
(参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)
12　[设该公司经过n年投入的资金为an万元，则a1＝2 000×1.12，
由题意可知，数列{an}是以2 000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列，所以an＝2 000×1.12n，
由an＝2 000×1.12n＞7 000，
可得n＞log1.12＝≈11.1，
因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7 000万元．]
1．在等比数列{an}中，a6＝，公比q＝，则a10＝(　　)
A．6 B．3 C．12 D．8
A　[在等比数列{an}中，a6＝，公比q＝，则a10＝a6q4＝×()4＝6．故选A．]
2．设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　)
A．12 B．24 C．30 D．32
D　[法一：设等比数列{an}的公比为q，所以＝＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝×(25＋26＋27)＝×25×(1＋2＋22)＝32，故选D．
法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，则bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3．设数列{an}的公比为q，则＝＝＝q，所以数列{bn}为等比数列，由题意知b1＝1，b2＝2，所以等比数列{bn}的公比q＝2，所以bn＝2n-1，所以b6＝a6＋a7＋a8＝25＝32．故选D．]
3．在等比数列{an}中，a5，a13是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，则＝(　　)
A． B．－ C．± D．2
B　[因为a5，a13是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，所以有a5＋a13＝－6＜0，a5a13＝2＞0，因此a5＜0，a13＜0，由等比数列的性质可知，a9＜0，而＝a5a13＝2 a9＝－，所以＝＝a9＝－．]
4．某工厂去年产值为a，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第________年这个工厂的产值将超过2a．
8　[由题意知每年的产值构成以1.1a为首项，1.1为公比的等比数列，则an＝a·1.1n．
所以a·1.1n＞2a．因为1.17＜2，1.18＞2，所以n＝8．]
1．知识链：(1)等比数列中项与项之间的关系及应用．
(2)由等比数列构造新的等比数列．
(3)等比数列中项的设法．
(4)等比数列的实际应用．
2．方法链：整体代换的思想、构造法、转化法、公式法．
3．警示牌：(1)在应用题中，容易忽视数列的项数．
(2)构造新的等比数列易忽视有等于0的项．
(3)四个数成等比数列时设成，aq，aq3未考虑四个数符号不同的情况．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在等比数列{an}中，如何巧设数列中的项？
[提示]　三个数成等比数列时，可设三数为，a，aq；四个符号相同的数成等比数列时可设为，aq，aq3．
2．在等比数列中，常用到的性质有哪些？
[提示]　①若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；
②若m＋n＝2p，则aman＝．
3．解决等比数列的实际应用问题有哪些注意事项？
[提示]　要注意：①认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；②合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素；③针对所求结果作出合理解释．
课时分层作业(八)　等比数列的性质及应用
一、选择题
1．已知在各项均为正数的等比数列{an}中，lg (a3a8a13)＝6，则a1a15的值为(　　)
A．100 B．－100 C．10 000 D．－10 000
C　[∵lg (a3a8a13)＝＝6，
＝106，∴a8＝102＝100，
∴a1a15＝＝10 000．]
2．在正项等比数列{an}中，a1a13＝36，则a5＋4a9的最小值是(　　)
A．12 B．18 C．24 D．36
C　[在正项等比数列{an}中，a5a9＝a1a13＝36，所以a5＋4a9≥2＝24，
当且仅当a5＝4a9，即a5＝12，a9＝3时，等号成立，即a5＋4a9的最小值是24．
故选C．]
3．已知等比数列{an}的各项均为正数，若a2＝1，a8＝2a6＋3a4，则a9＝(　　)
A．18 B．36 C．27 D．27
D　[设{an}的公比为q，则a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2．
因为a8＝2a6＋3a4，所以q6＝2q4＋3q2，因为q≠0，
所以q4－2q2－3＝(q2＋1)(q2－3)＝0，所以q2＝3．因为{an}的各项均为正数，
所以q＝，因为a2＝1，所以a9＝a2q7＝27．故选D．]
4．已知等比数列{an}为递减数列，若a2a6＝6，a3＋a5＝5，则＝(　　)
A． B． C． D．6
A　[由{an}为等比数列，得a2a6＝a3a5＝6，又a3＋a5＝5，
∴a3，a5为方程x2－5x＋6＝0的两个根，解得a3＝2，a5＝3或a3＝3，a5＝2，
由{an}为递减数列得an＞an＋1，∴a3＝3，a5＝2，
∴q2＝＝，则＝＝．故选A．]
5．(多选)已知等比数列{an}各项均为正数，满足a2·a16＝16，＝，记等比数列{an}的前n项的积为Tn，则当Tn取得最大值时，n＝(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
CD　[因为a2·a16＝16，由等比数列的性质可得，
＝a2·a16＝16，
因为an＞0，所以a9＝4，
因为＝，即＝，
所以q＝，
所以a10＝a9q＝4×＝2，a11＝a10q＝1，
因为0＜q＝＜1，an＞0，
所以等比数列{an}为递减数列，
当n≥12时，0＜an＜1，
所以当n＝10或n＝11时，Tn取得最大值．]
二、填空题
6．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3－a4＝16，a5－a6＝4，则使得an＜1成立的n的最小值为________．
9　[由
得＝q2＝，
所以q＝或q＝－(舍去)，
由a3(1－q)＝16，得a3＝32，
所以an＝a3qn-3＝28-n，
由28-n＜1，得8－n＜0，所以n＞8，
即n的最小值为9．]
7．在等比数列{an}中，公比q＝2，且＝，则a9＋a10＋a11＋a12＝________．
12　[根据题意，＝，
＝，
则＝＝，
则有＝，
则有＝，
变形可得a9＋a10＋a11＋a12＝12．]
8．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．
28　[依题意，设原来的三个数依次为，a，aq．
因为·a·aq＝512，所以a＝8．
又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，所以＋(aq－2)＝2a，
所以2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝，
所以原来的三个数为4，8，16或16，8，4．
因为4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，
所以原来的三个数的和等于28．]
三、解答题
9．某公司的销售额下跌严重，从2023年的7月销售收入128万元，到9月跌至32万元．你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时候每月销售收入跌至8万元？
[解]　设平均每月下降的百分比为x，则每月的销售收入构成了等比数列{an}，a1＝128，则a2＝a1(1－x)，
a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，解得x＝50%．
设an＝8，an＝128(1－50%)n-1＝8，解得n＝5，
所以从2023年的7月算起第5个月，即2023年的11月该公司的销售收入跌至8万元．
10．(多选)已知等比数列{an}的公比q<0，等差数列{bn}的首项b1＞0，若a9＞b9，且a10＞b10，则下列结论一定正确的是(　　)
A．a9a10＜0 B．a9＞a10
C．b10＞0 D．b9＞b10
AD　[对于选项A，因为q<0，
所以a9a10＝a9·a9q＝q＜0，故A正确；
对于选项B，因为a9a10＜0，
所以或
即a9＞a10或a9＜a10，故B错误；
对于选项C，D，因为a9，a10异号，a9＞b9，且a10＞b10，所以b9，b10中至少有一个负数，
又因为b1＞0，所以d＜0，b9＞b10，故C错误，D正确．故选AD．]
11．已知等比数列{an}的首项为1，则“a2 021＜a2 024”是“a2 023＜a2 025”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[因为等比数列{an}的首项为1，所以数列的奇数项一定为正，
若a2 021＜a2 024，则＝q3＞1，即q＞1，此时＝q2＞1，
故a2 023＜a2 025，即充分性成立；若a2 023＜a2 025，则＝q2＞1，
所以q＞1或q＜－1，此时＝q3＞1或＝q3＜－1，
所以a2 021＜a2 024不一定成立，即必要性不成立．故选A．]
12．(多选)在正项等比数列{an}中，公比为q，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，则下列说法正确的是(　　)
A．q2＝ B．＝4
C．a4a6＝2 D．n＝12
BD　[已知正项等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则an＝a1qn-1．
由a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，得＝＝12，B正确；而a5＝a2q3，于是(a2q3)3＝12，即q9＝3，A错误；而a5＝，C错误；由an＋1an＋2an＋3＝324得＝324，即(a2qn)3＝324，因为＝4，所以q3n＝81＝34＝(q9)4＝q36，所以3n＝36，解得n＝12，D正确．故选BD．]
13．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，则a1a13的最大值是________．
　[∵{an}是等比数列，且a1a11＋2a6a8＋a3a13＝＝(a6＋a8)2＝25．
又∵an＞0，∴a6＋a8＝5，
∴a1a13＝a6a8≤＝，当且仅当a6＝a8＝时取等号．]
14．某厂生产电脑，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台．问：该厂第一季度实际生产电脑多少台？
[解]　根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x－d，x，x＋d(d＞0)，则实际上3个月生产电脑台数分别为x－d，x＋10，x＋d＋25，
由题意得解得
故共有(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)＝3x＋35＝3×90＋35＝305(台)，
即该厂第一季度实际生产电脑305台．
15．已知函数f (x)＝，数列{an}是正项等比数列，且a10＝1，则f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a18)＋f (a19)＝________．
　[函数f (x)＝，
当x＞0时，f (x)＋f＝＝＝1，
因为数列{an}是正项等比数列，且a10＝1，
则a1a19＝a2a18＝a3a17＝…＝＝1，f (a1)＋f (a19)＝f (a1)＋f ＝1，同理f (a2)＋f (a18)＝f (a3)＋f (a17)＝…＝f (a10)＋f (a10)＝1，
令S＝f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a18)＋f (a19)，
又S＝f (a19)＋f (a18)＋f (a17)＋…＋f (a2)＋f (a1)，
则有2S＝19，S＝，所以f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a18)＋f (a19)＝．]
14/144.3　等比数列
4.3.1　等比数列的概念
第1课时　等比数列的概念及通项公式
[学习目标]　1．借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念．(数学抽象)
2．会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题．(数学运算)
3．体会等比数列与指数函数的关系．(数学抽象)
4．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学运算、数学建模)
[讨论交流]　
问题1．等比数列的定义是什么？
问题2．等比中项的定义是什么？
问题3．等比数列的通项公式是什么？
问题4．如何推导等比数列的通项公式？
问题5．如何判定等比数列？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　等比数列的概念
探究问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．
(1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98；
(2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话中隐藏着一列数：，…；
(3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－，－，…．
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
等比数列的概念
文字语言 一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的比都等于________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母q表示(q≠0)
符号语言 ＝________(q为常数，q≠0，n∈N*)
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)以下数列中，哪些是等比数列？
(1)1，－，－；
(2)1，1，1，…，1；
(3)1，2，4，8，12，16，20；
(4)a，a2，a3，…，an．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论．
[学以致用]　1．(多选)下面四个数列中是等比数列的有(　　)
A．1，1，2，4，8，16，32，64
B．在数列{an}中，已知＝2，＝2
C．数列{an}的通项公式为an＝3×2n
D．在数列{an}中，＝q，其中n∈N*
探究2　等比中项
探究问题2　任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个数都有等比中项吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的________，此时，G2＝________．
[典例讲评]　2．在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．10
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)由等比中项的定义可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个；异号时，没有等比中项；
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
[学以致用]　2．－1与＋1的等比中项是(　　)
A．　　　B．－　　　C．±　　　D．±
探究3　等比数列的通项公式
探究问题3　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？请结合等差数列的定义写出其符号表达式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝________(n∈N*)．
2．等比数列的通项公式与指数型函数的关系
(1)当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f (x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f (n)．
(2)由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下：
①当或时，等比数列{an}为递增数列；
②当或时，等比数列{an}为递减数列．
③当q＝1时，等比数列{an}为常数列．
④当q＜0时，等比数列{an}为________数列．
[典例讲评]　3．(1)若{an}为等比数列，则“a1＜a3＜a5”是“数列{an}是递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(源自湘教版教材)已知数列{an}是公比为q的等比数列．
①若a2＝2，a5＝54，求{an}的通项公式；
②若a1＝125，q＝0.2，an＝3.2×10-4，求n．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求a1和q的两种方法
(1)通性通法：根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)整体代换法：充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[学以致用]　3．在等比数列{an}中，a2＋a4＝1，a6＋a8＝9，则a2＝(　　)
A． B． C． D．4
探究4　等比数列的判定与证明
探究问题4　若数列{an}中an≠0，则由＝a1a3能判定{an}是等比数列吗？若是＝anan＋2呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
判定与证明等比数列的方法
(1)定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q是不为0的常数)；
(2)等比中项法：＝________(n∈N*且n≥2)；
(3)通项公式法：an＝________＝·qn＝A·qn(A≠0)．
[典例讲评]　4．已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是不是等比数列．
[思路引导]　利用an与Sn的关系确定通项an，再用定义加以证明．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　
1．将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N*)”．
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(3)等比中项法：若＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列．
[学以致用]　4．设数列{an}的前n项和为Sn，且nSn＋(n＋2)an＝4n，求证：数列是等比数列．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为(　　)
A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．6
2．若a，b，c成等比数列且公比为q，那么(　　)
A．不一定是等比数列
B．一定不是等比数列
C．一定是等比数列，且公比为
D．一定是等比数列，且公比为q
3．在等比数列{an}中，若a1＝，公比q＝2，则a4与a8的等比中项是________．
4．已知在等比数列{an}中，若它的首项为2，公比为3，则通项公式an＝________．
1．知识链：(1)等比数列的概念．
(2)等比中项的概念．
(3)等比数列的通项公式及其与函数的关系．
(4)等比数列的判定与证明．
2．方法链：方程(组)法、构造法、定义法、整体代换法．
3．警示牌：x，G，y成等比数列 G2＝xy，但G2＝xyx，G，y成等比数列．
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