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第2课时　等比数列前n项和的性质及应用
[学习目标]　1．掌握等比数列前n项和的性质及应用．(数学运算)
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学建模、数学运算)
(教师用书)
远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增．
共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
解说：这是明朝著名数学家吴敬在《九章算法比类大全》中编写的一道著名诗题，文字优美，读来琅琅上口，算来颇具趣味．题目的意思是有一座高大雄伟的宝塔，共有七层．每层都挂着红红的大灯笼，各层的盏数虽然不知道是多少，但知道从上到下的第二层开始，每层盏数都是上一层盏数的2倍，并知道总共有灯381盏．问：这个宝塔最上面一层有多少盏灯？
[讨论交流]　
问题1．等比数列前n项和有哪些性质？
问题2．运用等比数列的前n项和公式解决实际问题的关键是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　等比数列前n项和的性质
探究问题　在等比数列{an}中，你能否用Sm，Sn来表示Sm＋n
[提示]　思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn．
思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm．
[新知生成]
1．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
(1)在其前2n项中，＝q．
(2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶．
2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．
3．数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列(n为偶数且q＝－1时除外)，公比是qn．
【教用·微提醒】　当q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不是等比数列；当q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等比数列．
【链接·教材例题】
例9　已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn．证明Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比．
[证明]　当q＝1时，
Sn＝na1，
S2n－Sn＝2na1－na1＝na1，
S3n－S2n＝3na1－2na1＝na1，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1．
当q≠1时，Sn＝，
S2n－Sn＝＝＝qnSn，
S3n－S2n＝＝＝qn(S2n－Sn)，
所以＝＝qn．
因为qn为常数，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn．
[典例讲评]　1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn．
(1)若Sn＝48，S2n＝60，求S3n的值；
(2)若a1＝1，项数为偶数，且S奇＝85，S偶＝170，求公比与项数．
[解]　(1)法一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝，③
把③代入①得＝64，
∴S3n＝＝64＝63．
法二：∵{an}为等比数列，显然公比q≠－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
即(60－48)2＝48(S3n－60)，∴S3n＝63．
法三：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，得qn＝，
∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×＝63．
(2)法一：设等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)．
由已知a1＝1，q≠1，有
由②÷①，得q＝2，
∴＝85，4n＝256，∴n＝4．
故公比为2，项数为8．
法二：∵S偶＝a2＋a4＋…＋an＝a1q＋a3q＋…＋an－1q＝(a1＋a3＋…＋an－1)q＝S奇·q，
∴q＝＝＝2．又Sn＝85＋170＝255，
由Sn＝，得＝255，
∴2n＝256，∴n＝8．∴公比q＝2，项数n＝8．
[母题探究]
1．将本例(1)中的条件“Sn＝48，S2n＝60”改为“各项均为正项的等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值．
[解]　法一：因为{an}为等比数列，且公比q≠－1，设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列，
所以
所以或(舍去)，所以S4n＝30．
法二：∵Sn＝2，S3n＝14，∴q≠1．
∴Sn＝，S3n＝＝，
∴＝1＋qn＋q2n＝7，∵an＞0，∴qn＝2，
又S4n＝，∴＝(1＋q2n)(1＋qn)．
∴S4n＝Sn(1＋q2n)(1＋qn)＝2×(1＋4)(1＋2)＝30．
2．将本例(1)中条件“Sn＝48，S2n＝60”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．
[解]　法一：∵S99＝＝56，q＝2，
∴a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·＝32．
法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，
b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，
b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，
则b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56，
∴b1(1＋q＋q2)＝56，又∵q＝2，
∴b1＝＝8，
∴b3＝b1q2＝8×22＝32．
即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32．
　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
(2)“片段和”性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，公比为qn，要注意q＝－1且n为偶数时不适用．
[学以致用]　1．(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝(　　)
A．32　　B．64　　C．72　　D．216
(2)已知等比数列{an}的公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________．
(1)B　(2)120　[(1)易得q≠－1，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故公比为2，
所以S9－S6＝32，S12－S9＝64，所以a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64．故选B．
(2)因为在等比数列中，若项数为2n，则＝q，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＝90＋×90＝120．]
探究2　等比数列前n项和的实际应用
【链接·教材例题】
例12　某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…．
(1)写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系；
(2)将(1)中的递推公式表示成cn＋1－k＝r(cn－k)的形式，其中k，r为常数；
(3)求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10的值(精确到1)．
分析：(1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn＋1与cn的关系；(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；(3)利用(2)的结论可得出解答．
[解]　(1)由题意，得c1＝1200，并且
cn＋1＝1.08cn－100．①
(2)将cn＋1－k＝r(cn－k)化成
cn＋1＝rcn－rk＋k．②
比较①②的系数，可得
解这个方程组，得
所以，(1)中的递推公式可以化为
cn＋1－1250＝1.08(cn－1250)．
(3)由(2)可知，数列{cn－1250}是以－50为首项，1.08为公比的等比数列，则
(c1－1250)＋(c2－1250)＋(c3－1250)＋…＋(c10－1250)＝≈－724.3．
所以
S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10≈1250×10－724.3＝11 775.7≈11 776．
[典例讲评]　2．某市2024年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2025年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%．则
(1)该市在2030年应该投入电力型公交车多少辆？
(2)在哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？(lg 657≈2.82，lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
[解]　(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝．
所以2030年应投入的数量为
a6＝a1q5＝128×＝972(辆)．
故该市在2030年应该投入972辆电力型公交车．
(2)设{an}的前n项和为Sn，
则Sn＝＝256×，
由＞，得Sn＞5 000，即256×＞5 000，化简得＞，两边取常用对数，则n(lg 3－lg 2)＞lg 657－5lg 2，即n＞≈7.3，又n∈N*，所以n≥8．
所以该市到2032年年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的．
　与等比数列前n项和有关的实际问题解题方法
(1)构建数列模型．
(2)根据题意将实际问题直接转化为等比数列问题，或寻找递推公式，再转化为等比数列．
(3)利用等比数列前n项和公式进行计算．
[学以致用]　2．在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取．甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6 000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%．
(1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？
(2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元．那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？(参考数据：1.084≈1.4，1.085≈1.5，1.0810≈2.2，1.0811≈2.3)
[解]　(1)由题意得，小李在乙公司工作第n年的年薪为bn＝4.8×(1＋8%)n-1．
令n＝5，得b5＝4.8×(1＋8%)4＝4.8×1.084≈6.72(万元)．
(2)由题意，小李在甲公司连续工作n年的工资总收入为4.2n＋×0.6，小李在乙公司工作10年的总收入为＋0.72×10，
则4.2n＋×0.6≥＋7.2，
整理得(n＋24)(n－11)≥0，解得n≥11，
所以小李在甲公司至少要连续工作11年，工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入．
探究3　等比数列的前n项和在几何图形中的应用
【链接·教材例题】
例10　如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．
(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列．
[解]　设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…，则
a1＝25．
由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以
ak＋1＝ak．
因此，{an}是以25为首项，为公比的等比数列．
设{an}的前n项和为Sn．
(1)S10＝＝50×＝．
所以，前10个正方形的面积之和为 cm2．
(2)当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1＋a2＋a3＋…＋an＋…．而
Sn＝＝50，
随着n的无限增大，将趋近于0，Sn将趋近于50．
所以，这些正方形的面积之和将趋近于50．
[典例讲评]　3．(源于北师大版教材)如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，求前n个内切圆的面积和．
[解]　设第n个正三角形的内切圆的半径为an．
因为从第2个正三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的，故
a1＝a tan 30°＝a·＝a，
a2＝a1，
…
an＝an－1．
即数列{an}是首项a1＝a，公比q＝的等比数列，所以an＝a．
设前n个内切圆的面积和为Sn，则
Sn＝
＝＋(a1q)2＋(a1q2)2＋…＋(a1qn-1)2]
＝
＝
＝π＝π．
因此，前n个内切圆的面积和为π．
　解决与等比数列前n项和公式有关问题时应注意的问题
(1)首先将题目问题转化为等比数列问题．
(2)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系．
[学以致用]　3．如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为an，数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式及S2 025．
[解]　记第n个正方形的边长为bn，
由题意可知＝2×＝，
则an＝an－1，
所以数列{an}是以a1＝4为首项，q＝为公比的等比数列，
即an＝4×．
S2 025＝＝8×＝8－．
1．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 013，偶数项之和为2 026，则这个数列的公比为(　　)
A．8　　　　B．－2　　　　C．4　　　　D．2
D　[由＝q，可知q＝2．]
2．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于(　　)
A．1 025 B．1 024 C．10 250 D．20 240
C　[∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn＞0，
∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，
∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250，故选C．]
3．某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2014年每月的基础工资为2 100元，绩效工资为2 000元．从2015年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%．照此推算，此人2025年的年薪为(参考数据：1.111≈2.853，1.110≈2.594)(　　)
A．9.3万元 B．10.4万元
C．12.14万元 D．14万元
C　[由题意可得，基础工资(单位：元)可构成以2 100为首项，210为公差的等差数列，绩效工资(单位：元)可构成以2 000为首项，1.1为公比的等比数列，
则此人2025年每月的基础工资为2 100＋210×(12－1)＝4 410(元)，每月的绩效工资为2 000×1.111≈5 706(元)，则此人2025年的年薪约为12×(4 410＋5 706)≈12.14(万元)．]
4．一个项数为偶数的等比数列{an}，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列{an}的通项公式an＝________．
12×　[设数列{an}的首项为a1，公比为q，
由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
因为数列{an}的项数为偶数，
所以q＝＝．
又因为a1·a1q·a1q2＝64，
所以·q3＝64，即a1＝12，
故所求通项公式为an＝12×．]
1．知识链：(1)等比数列前n项和公式的性质．
(2)等比数列前n项和公式的实际应用．
(3)等比数列前n项和公式的综合应用．
2．方法链：公式法、分类讨论法、转化法．
3．警示牌：应用公式和性质时易忽略其成立的条件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．等比数列的前n项和有哪些重要性质？
[提示]　(1)若等比数列前n项和Sn＝A·qn＋B，那么A＋B＝0(A≠0，q≠1)．
(2)若项数为2n，则＝q(S奇≠0)；
若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)．
(3)等比数列前n项和为Sn(Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(n为偶数且q＝－1时除外)．
2．应用等比数列前n项和时常见的误区有哪些？
[提示]　(1)等比数列前n项和公式中项数的判断易出错．
(2)前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
课时分层作业(十)　等比数列前n项和的性质及应用
一、选择题
1．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
D　[由题意得，公比q＝＝2，
所以Sn＝＝341＋682＝1 023，解得n＝10．
故选D．]
2．已知等比数列{an}的前n项和Sn满足S5＝10，S10＝40，则S20＝(　　)
A．130 B．160 C．390 D．400
D　[由题意知q≠－1，所以S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15依然成等比数列，则S5(S15－S10)＝(S10－S5)2，即10(S15－40)＝(40－10)2，解得S15＝130，则S5(S20－S15)＝(S10－S5)(S15－S10)，即10(S20－130)＝30×90，解得S20＝400．故选D．]
3．(多选)设数列{an}，{bn}都是等比数列，则(　　)
A．若cn＝anbn，则数列{cn}也是等比数列　
B．若dn＝，则数列{dn}也是等比数列　
C．若{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列　
D．在数列{an}中，每隔k项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列
ABD　[数列{an}，{bn}都是等比数列，设公比分别为q1，q2(q1q2≠0)，
对于A，由cn＝anbn，得＝＝q1q2，所以数列{cn}为等比数列，A正确；
对于B，由dn＝，得＝＝·＝q1·＝，所以数列{dn}为等比数列，B正确；
对于C，令an＝(－1)n，则S2＝S4－S2＝S6－S4＝0，不成等比数列，C错误；
对于D，＝为常数，D正确．故选ABD．]
4．等比数列{an}共有2n＋1项，其中a1＝2，偶数项和为84，奇数项和为170，则n＝(　　)
A．3 B．4 C．7 D．9
A　[∵等比数列{an}共有2n＋1项，∴等比数列中偶数项有n项，奇数项有n＋1项．由题意得q≠±1，∴偶数项和为＝84，∴＝42q①，奇数项和为＝170，
∴＝85②，两式相减得－1＝42q－85，解得q＝2，∴＝84，即4n＝64，解得n＝3．故选A．]
5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还粟的量为(　　)
A．升 B．升 C．升 D．升
D　[5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，解得a1＝，
所以牛主人应偿还粟的量为a3＝22a1＝．故选D．]
二、填空题
6．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
2　[设等比数列{an}的前2n项中奇数项的和、偶数项的和分别为S奇，S偶．
由题意得
∴S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝＝＝2．]
7．各项都是正实数的等比数列{an}，前n项和记为Sn．若S10＝10，S30＝70，则S40＝________．
150　[法一：设首项为a1，公比为q，由题意，知q≠±1，所以由以上两式相除，得q20＋q10－6＝0，解得q10＝2或q10＝－3(舍去)．代入①，得＝－10，所以S40＝＝－10×(－15)＝150．
法二：易知q≠±1，由S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30构成公比为q10的等比数列，则S30＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＝S10＋q10S10＋q20S10，即q20＋q10－6＝0，解得q10＝2或q10＝－3(舍去)，所以S40＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋(S40－S30)＝10×(1＋2＋22＋23)＝150．]
8．一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第6次着地时，共经过的路程是________米．
752　[设小球每次着地后跳回的高度构成数列{an}，则数列{an}为等比数列，
a1＝128，q＝，S5＝＝248，
共经过的路程为256＋2S5＝752(米)．]
三、解答题
9．某村拟加大资金投入，帮助村民扩大牧场规模并增加牛的存栏数．已知2024年年初牧场牛的存栏数为240，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出20头牛，设牧场从2024年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…．
(1)写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系；
(2)求S10＝c1＋c2＋…＋c10的值(精确到1)．
(参考数据：1.089≈2，1.0810≈2.16，1.0811≈2.33)
[解]　(1)由题意得，cn＋1＝1.08cn－20．
(2)由(1)得，cn＋1－250＝1.08(cn－250)，
则＝1.08，又c1－250＝－10，
所以数列{cn－250}是以－10为首项，1.08为公比的等比数列，
则cn－250＝－10×1.08n-1，
所以cn＝－10×1.08n-1＋250，
所以S10＝c1＋c2＋…＋c10＝10×250－10×≈2 355．
10．(多选)已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，若q≠1，m∈N*，则下列说法正确的是(　　)
A．＝＋1
B．若＝9，则q＝2
C．若＝9，＝，则m＝3，q＝2
D．若＝9，则q＝3
ABC　[∵q≠1，∴＝＝1＋qm．
而＝＝qm，∴A正确；
B中，m＝3，∴＝q3＋1＝9，解得q＝2，故B正确；
C中，由＝1＋qm＝9，得qm＝8．
又＝qm＝8＝，得m＝3，q＝2，∴C正确；
D中，＝q3＝9，∴q＝≠3，∴D错误，故选ABC．]
11．已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米高度至少要经过(　　)
A．3分钟 B．4分钟
C．5分钟 D．6分钟
B　[设an表示热气球在第n分钟内上升的高度，由题意可得an＝an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝30．
所以前n分钟热气球上升的总高度Sn＝＝90，因为Sn＋1－Sn＝90－90＝90＞0，所以数列{Sn}为单调递增数列，又S3＝90≈63.3＜70，S4＝90≈72.2＞70，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米高度．故选B．]
12．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意：有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了六天后到达目的地．则下列说法正确的是(　　)
A．该人第五天走的路程为14里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
D　[由题意可知，该人每天走的路程构成了公比q＝的等比数列{an}．
设数列{an}的前n项和为Sn，则S6＝378，所以S6＝＝378，解得a1＝192，则an＝192×．
a5＝192×＝12，则该人第五天走的路程为12里，故A错误；
a3＝192×＝48，则该人第三天走的路程为48里，故B错误；
S3＝＝336，则该人前三天共走的路程为336里，故C错误；
由S6－S3＝378－336＝42，可知该人最后三天共走的路程为42里，故D正确．故选D．]
13．朱载堉是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前三个音的频率总和为A1，前六个音的频率总和为A2，则＝________．
1＋　[由题意知，一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等．设第一个音的频率为a1，相邻的两个音之间的频率之比为q(q≠1)，则可以将每个音的频率看成等比数列{an}，共13项，且＝q．
因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍，所以a13＝a1q12＝2a1，即q12＝2，所以q3＝．
因为A1＝，A2＝，所以＝＝＝1＋q3＝1＋．]
14．已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，S3＝21，S6＝189．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nan，求{bn}的前n项和Tn．
[解]　(1)∵{an}为等比数列，其前n项和为Sn，S3＝21，S6＝189．
S6≠2S3，∴q≠1，则两式作商得1＋q3＝9，即q3＝8，得q＝2，a1＝3，则an＝3×2n-1．
(2)∵bn＝(－1)nan＝(－1)n·3×2n-1，
∴当n≥2时，＝＝－2，
即{bn}是首项为－3，公比为－2的等比数列，
则Tn＝＝＝－1＋(－2)n．
15．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图1所示．如图2所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．如图2阴影部分，设直角三角形AEH的面积为b1，直角三角形EMQ的面积为b2，后续各直角三角形的面积依次为b3，…，bn，则数列{bn}的前n项和Sn＝________．
4－4×　[设由外到内各正方形的边长依次为a1，a2，a3，…，an，
则a1＝4，a2＝＝a1，
a3＝＝a2＝a1，
…，
an＝＝an－1
＝，
所以数列{an}是以4为首项，为公比的等比数列，
则an＝4×．
由题意可得，
S△AHE＝，
即b1＝，b2＝，…，bn＝，
于是bn＝＝，所以{bn}是以为首项，为公比的等比数列，
Sn＝＝4×＝4－4×，n∈N*．]
9/194.3.2　等比数列的前n项和公式
第1课时　等比数列的前n项和公式
[学习目标]　1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(数学运算)
2．会用错位相减法求数列的和．(数学运算、逻辑推理)
3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．(数学运算、数学建模)
(教师用书)
如今手机越来越普遍，用手机发送信息传达情谊也成为年轻人的时尚．一条温馨的信息会带给我们无穷的温暖．一条信息，一种关怀，设想一人收到某信息后用10分钟将它传给两个人，这两个人又用10分钟将此信息各传给未知此信息的另外两个人，如此继续下去，一天时间这种关怀可传达给多少人？
[讨论交流]
问题1．等比数列的前n项和公式是什么？
问题2．等比数列的前n项和公式是如何推导的？
问题3．等比数列的前n项和公式与通项公式有什么关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　等比数列的前n项和公式
探究问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？
[提示]　思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，
所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1，
上式中每一项都乘等比数列的公比，可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn-1＋a1qn，
发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，
即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1，
上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”．
思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得＝＝…＝＝q，
根据等比数列的性质，有＝＝q (1－q)Sn＝a1－anq，
所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn-1相互转化．
思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，
所以有Sn＝a1＋qSn－1 Sn＝a1＋q(Sn－an) (1－q)Sn＝a1－anq，
所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决．
[新知生成]
1．等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比
公式 Sn＝ Sn＝
2．推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法．
【教用·微提醒】　(1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论；
(2)公式一中的n表示的是所求数列的项数；
(3)公式二中，an表示数列的最后一项．
(4)利用an＝a1qn-1可以实现两个公式的相互转化．
【链接·教材例题】
例7　已知数列{an}是等比数列．
(1)若a1＝，q＝，求S8；
(2)若a1＝27，a9＝，q＜0，求S8；
(3)若a1＝8，q＝，Sn＝，求n．
[解]　(1)因为a1＝，q＝，所以
S8＝＝．
(2)由a1＝27，a9＝，可得
27×q8＝，
即q8＝．
又由q＜0，得
q＝－，
所以S8＝＝．
(3)把a1＝8，q＝，Sn＝代入Sn＝，得
＝．
整理，得
＝．
解得n＝5．
【链接·教材例题】
例8　已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn．若＝，求公比q．
[解]　若q＝1，则
＝＝2≠，
所以q≠1．
当q≠1时，由＝，得
·＝．
整理，得
1＋q5＝，
即q5＝－．
所以q＝－．
[典例讲评]　1．(1)已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为Sn，则S6＝________．
(2)在等比数列{an}中，
①若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
②若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5；
③a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q．
(1)189　[∵等比数列的首项为3，公比为2，∴S6＝＝189．]
(2)[解]　①由Sn＝，
an＝a1qn-1以及已知条件得
由②得，a1·2n＝192，∴2n＝．
由①得，189＝a1(2n－1)＝a1，
∴a1＝3．
又∵2n-1＝＝32，∴n＝6．
②设公比为q，由通项公式及已知条件得
即
∵a1≠0，1＋q2≠0，∴④÷③得，q3＝，
即q＝，∴a1＝8，
∴a4＝a1q3＝8×＝1，
S5＝＝＝．
③因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．
从而或
又Sn＝＝126，所以q＝2或．
　(1)“知三求二”：在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
(2)注意：在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
[学以致用]　1．(1)(源自北师大版教材)①已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝3．求S3；
②求等比数列1，，…的前10项的和．
(2)已知数列{an}为等比数列．若a4－a2＝24，a2＋a3＝6，am＝125，求Sm．
[解]　(1)①由等比数列的前n项和公式，得
S3＝＝＝26．
②因为公比q＝，所以S10＝＝＝．
(2)设该等比数列的公比为q，
由a4－a2＝24，a2＋a3＝6，
得a2q2－a2＝24，a2＋a2q＝6，
解得a2＝1，q＝5，所以a1＝＝，
所以an＝a1qn-1＝5n-2，令am＝125，解得m＝5，
所以S5＝＝．
探究2　等比数列前n项和公式的函数特征
探究问题2　你能发现等比数列前n项和公式Sn＝(q≠1)的函数特征吗？
[提示]　Sn＝＝－qn＋，
设A＝－，则Sn＝Aqn－A．
[新知生成]
等比数列前n项和公式的函数特征
(1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．
【教用·微提醒】　(1)Sn＝Aqn－A(q≠1)时，{an}是首项为(Aq－A)，公比为q的等比数列．
(2)等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数．
[典例讲评]　2．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2．求{an}的通项公式，并判断{an}是不是等比数列．
[解]　法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n-1－2)＝2·3n-1．
当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式．
∴an＝
由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列．
法二：由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比数列．
[母题探究]　若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n+1－2k，则实数k＝________．
　[∵Sn＝3n+1－2k＝3×3n－2k，
且{an}为等比数列，∴3－2k＝0，即k＝．]
　(1)已知Sn，通过an＝
求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1．
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则数列{an}是等比数列．
[学以致用]　2．等比数列{an}的前n项和Sn＝m·4n-1＋t(其中m，t为常数且mt≠0)，则＝________．
－4　[法一：a1＝S1＝m＋t，a2＝S2－S1＝3m，a3＝S3－S2＝12m，因为{an}为等比数列，则＝a1a3，所以9m2＝12m(m＋t)，即m＝－4t，故＝－4．
法二：Sn＝m·4n-1＋t＝m·4n＋t，因为{an}是等比数列，故m＝－t，则＝－4．]
探究3　错位相减法求和
[典例讲评]　3．(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝．已知a1，3a2，9a3成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜．
[解]　(1)设{an}的公比为q，则an＝qn-1．
因为a1，3a2，9a3成等差数列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，故an＝，bn＝．
(2)由(1)知Sn＝＝，Tn＝＋…＋，①
Tn＝＋…＋，②
①－②得Tn＝＋…＋，
即Tn＝＝，
整理得Tn＝，
则2Tn－Sn＝2＝－＜0，故Tn＜．
　用错位相减法求和时，应注意：
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
[学以致用]　3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2an＋2n+1．
(1)试求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn．
[解]　(1)根据an＋1＝2an＋2n+1，两边都除以2n+1，可得＝＋1，所以＝1，数列是公差为1的等差数列，首项为＝，
故＝＋(n－1)×1＝n－，可得an＝×2n＝(2n－1)×2n-1．
(2)Sn＝×2＋×22＋×23＋…＋×2n，
两边都乘2，得2Sn＝×22＋×23＋…＋×2n+1，
以上两式相减，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－×2n+1＝1＋×2n+1＝×2n+1－3，
所以Sn＝×2n+1＋3＝(2n－3)×2n＋3．
【教用·备选题】　1．求数列，…，，…的前n项和．
[解]　设Sn＝＋…＋，①
则Sn＝＋…＋，②
①－②，得Sn＝＋…＋，即Sn＝＋…＋＝＝＋1－－＝．
所以Sn＝3－＝3－．
2．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．
[解]　当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn+1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn+1
＝－nxn+1，
∴Sn＝．
综上可得，
Sn＝
1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[当x＝1时，Sn＝n；当x≠1且x≠0时，Sn＝．]
2．在正项等比数列{an}中，a2＝4，a6＝64，Sn＝510，则n＝(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
C　[由题意知q4＝＝16且q＞0，则
q＝2，a1＝2，所以Sn＝＝510，解得n＝8．]
3．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为S n，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　)
A． B． C．15 D．40
C　[若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1．由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝＝15．故选C．]
4．在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝－8，则{an}的前6项和为________．
－21　[由a4＝a1q3＝q3＝－8，解得q＝－2，
所以S6＝＝＝＝－21．]
1．知识链：(1)等比数列前n项和公式的推导．
(2)等比数列前n项和公式的基本运算．
(3)等比数列前n项和公式的结构特点．
2．方法链：公式法、错位相减法．
3．警示牌：等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何使用等比数列前n项和公式求和？
[提示]　(1)等比数列{an}前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论．
(2)q≠1时，公式Sn＝与Sn＝是等价的，利用an＝a1qn-1可以实现它们之间的相互转化．
当已知a1，q与n时，用Sn＝较方便；
当已知a1，q与an时，用Sn＝较方便．
2．等比数列前n项和公式是如何推导的？
[提示]　一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1，①
用公比q乘①的两边，可得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn，②
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
整理得Sn＝(q≠1)．
3．错位相减法的适用情形及注意事项分别是什么？
[提示]　(1)适用范围：它主要适用于{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
(2)注意事项：
①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错项对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．
棋盘上的麦粒
一般认为，国际象棋起源于古印度．国际象棋的棋盘由64个格子组成，如图所示．据说国王为了奖赏发明者，让发明者提一个要求．发明者提出的要求是：在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上22颗麦粒，在第4个格子里放上23颗麦粒……每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请国王将棋盘上的麦子都给他．国王觉得这个要求并不过分，欣然同意．假设每1 000粒麦子的质量为40 g，猜想一下，国王有能力满足发明者的要求吗？
根据等比数列前n项和公式可知，发明者所要求的麦粒数为1＋2＋22＋23＋…＋263＝＝264－1．从而可知，发明者要求的麦子质量为×40 g≈7.38×1014 kg．也就是说，发明者要求的麦子质量约为7.38×1011吨，即7 380亿吨．2016年，我国大宗粮油作物(包括小麦、水稻)产量约为5.4亿吨，全球大宗粮油作物总产量约为27.8亿吨．古印度的那位国王能满足发明者的要求吗？
课时分层作业(九)　等比数列的前n项和公式
一、选择题
1．等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a3＝4，a2·a6＝64，则S5＝(　　)
A．32 B．31 C．64 D．63
B　[设数列{an}的公比为q，
则解得
∴S5＝＝31．故选B．]
2．(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则(　　)
A．数列{an}的公比为2
B．数列{an}的公比为8
C．＝8
D．＝9
AD　[设等比数列{an}的公比为q，∵a6＝8a3，
∴a3q3＝8a3，∴q3＝8，解得q＝2．
因此A正确，B不正确．又S6＝＝63a1，S3＝＝7a1，
∴＝9，因此C不正确，D正确．故选AD．]
3．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　)
A．14 B．12 C．6 D．3
D　[设等比数列的公比为q，q≠0，
若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾，
所以q≠1，
则解得
所以a6＝a1q5＝3．
故选D．]
4．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn．若3S3＝8a2＋5a1，则数列{an}的公比是(　　)
A．2 B．－或2
C． D．或－2
A　[设等比数列{an}的公比为q．因为3S3＝8a2＋5a1，所以3(a1＋a2＋a3)＝8a2＋5a1，所以3a3＝5a2＋2a1，所以3a1q2＝5a1q＋2a1．又因为an＞0，所以3q2＝5q＋2，解得q＝2或q＝－(舍)．故选A．]
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1．若a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋2＋an＋1＝2an，则S5＝(　　)
A．12 B．20 C．11 D．21
C　[an＋2＋an＋1＝2an等价于anq2＋anq＝2an．
因为an≠0，故q2＋q－2＝0，即(q＋2)(q－1)＝0．
因为q≠1，所以q＝－2，
故S5＝＝11，故选C．]
二、填空题
6．如果数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)，那么数列{an}________等比数列．(填“是”或“不是”)
是　[等比数列的前n项和Sn＝(q≠1)，
所以Sn＝qn，
Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)符合上式形式，此时A＝，
故数列{an}是等比数列．]
7．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝________，a1＝________．
5　3　[由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，
得解得]
8．已知数列{an}，an＝22n-1，其前n项的和为Sn，则S5＝________．
682　[由题意an＝22n-1，n∈N*，
∴＝＝22＝4，n∈N*，
∴数列{an}是首项为a1＝2，公比为q＝4的等比数列，
∴S5＝＝＝682．]
三、解答题
9．记数列{an}的前n项和为Sn．已知Sn＋1＝3Sn＋2n＋4，且a1＝4．
(1)证明：{an＋1}是等比数列；
(2)求Sn．
[解]　(1)证明：已知Sn＋1＝3Sn＋2n＋4①，则Sn＝3Sn－1＋2(n－1)＋4②，
由①－②可得，an＋1＝3an＋2(n≥2)，又a1＝4，则S2＝4＋a2＝3×4＋6，
即a2＝14，则a2＝3a1＋2，所以an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＋1＝5，即{an＋1}是以5为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)可得，an＋1＝5×3n-1，即an＝5×3n-1－1，
则Sn＝5(30＋31＋…＋3n-1)－n＝－n＝－n．
10．(多选)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，则(　　)
A．ac＜0
B．b是数列{an}的公比
C．数列{Sn}可能为等比数列
D．数列{an}不可能为常数列
ABD　[对于A，B，当q≠1时，Sn＝＝·qn，则c＝，a＝－，b＝q，所以a·c＝＜0，故AB正确；对于C，若Sn为等比数列，则其通项公式必须满足a·bn的形式，即c＝0，但此时a＝0，显然不符合，故C不正确；
对于D，设等比数列公比为q，当q＝1时，Sn＝na1，显然是一次函数形式，不是指数形式，故不会是常数列，所以D正确．
故选ABD．]
11．记Sn为等比数列{an}(an＞0)的前n项和，且a1a3＝16，S1，S2，S3成等差数列，则S6＝(　　)
A．126 B．128 C．254 D．256
A　[设等比数列{an}的公比为q，则a1＞0，q＞0，
由题意可得
即
整理得则解得
所以S6＝＝126．
故选A．]
12．(多选)设Sn是公比为正数的等比数列{an}的前n项和．若a2＝，a3a5＝，则(　　)
A．a4＝ B．S3＝
C．an＋Sn为常数 D．{Sn－2}为等比数列
ACD　[设{an}的公比为q(q＞0)，则a2q·a2q3＝，解得q＝，故an＝a2qn-2＝，则a1＝1，Sn＝＝2－．对于A，a4＝＝，故A正确；对于B，S3＝2－＝，故B错误；对于C，an＋Sn＝＋2－＝2为常数，故C正确；对于D，由Sn－2＝－＝，n≥2，可得{Sn－2}为等比数列，故D正确．故选ACD．]
13．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝________．
－85　[等比数列{an}中，S4＝－5，S6＝21S2，显然公比q≠1，
设首项为a1，则＝－5，①
＝，②
化简②得q4＋q2－20＝0，解得q2＝4或q2＝－5(不合题意，舍去)，代入①得＝，
所以S8＝＝(1－q4)(1＋q4)＝×(－15)×(1＋16)＝－85．]
14．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n，数列{bn}的通项公式为bn＝xn-1(x≠0)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．
[解]　(1)∵an＝Sn＝n2＋n，
∴an＝
当n＝1时也满足an＝2n，∴数列{an}的通项公式为an＝2n．
(2)由(1)及题意，得cn＝2nxn-1，
∴Tn＝2＋4x＋6x2＋8x3＋…＋2nxn-1，①
则xTn＝2x＋4x2＋6x3＋8x4＋…＋2nxn．②
①－②，得(1－x)Tn＝2＋2x＋2x2＋…＋2xn-1－2nxn．
当x≠1时，(1－x)Tn＝2×－2nxn，
∴Tn＝；
当x＝1时，Tn＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n．
15．设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝1－Sn．问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)依题意，得2Sn＝an＋1－a1．
于是，当n≥2时，有
两式相减，得an＋1＝3an(n≥2)．
又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列．
因此，an＝a1·3n-1(n∈N*)．
(2)存在．因为Sn＝＝a1·3n－a1，
所以bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n．
要使{bn}为等比数列，则1＋a1＝0，
即a1＝－2．
所以存在a1＝－2，使数列{bn}为等比数列．
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第1课时　等比数列的前n项和公式
第四章　数列
4.3　等比数列
4.3.2　等比数列的前n项和公式
整体感知
[学习目标]　1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(数学运算)
2．会用错位相减法求数列的和．(数学运算、逻辑推理)
3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．(数学运算、数学建模)
(教师用书)
如今手机越来越普遍，用手机发送信息传达情谊也成为年轻人的时尚．一条温馨的信息会带给我们无穷的温暖．一条信息，一种关怀，设想一人收到某信息后用10分钟将它传给两个人，这两个人又用10分钟将此信息各传给未知此信息的另外两个人，如此继续下去，一天时间这种关怀可传达给多少人？
[讨论交流]
问题1．等比数列的前n项和公式是什么？
问题2．等比数列的前n项和公式是如何推导的？
问题3．等比数列的前n项和公式与通项公式有什么关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　等比数列的前n项和公式
探究问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？
[提示]　思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，
所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1，
上式中每一项都乘等比数列的公比，可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn-1＋a1qn，
发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，
即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1，
上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”．
思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得＝＝…＝＝q，
根据等比数列的性质，有＝＝q (1－q)Sn＝a1－anq，
所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn-1相互转化．
思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，
所以有Sn＝a1＋qSn－1 Sn＝a1＋q(Sn－an) (1－q)Sn＝a1－anq，
所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决．
[新知生成]
1．等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比
公式 Sn＝ Sn＝
2．推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法．
【教用·微提醒】　(1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论；
(2)公式一中的n表示的是所求数列的项数；
(3)公式二中，an表示数列的最后一项．
(4)利用an＝a1qn-1可以实现两个公式的相互转化．
【链接·教材例题】
例7　已知数列{an}是等比数列．
(1)若a1＝，q＝，求S8；
(2)若a1＝27，a9＝，q＜0，求S8；
(3)若a1＝8，q＝，Sn＝，求n．
[解]　(1)因为a1＝，q＝，所以S8＝＝．
(2)由a1＝27，a9＝，可得27×q8＝，
即q8＝．
又由q＜0，得q＝－，
所以S8＝＝．
(3)把a1＝8，q＝，Sn＝代入Sn＝，得
＝．
整理，得
＝．
解得n＝5．
【链接·教材例题】
例8　已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn．若＝，求公比q．
[解]　若q＝1，则＝＝2≠，所以q≠1．
当q≠1时，由＝，得·＝．
整理，得
1＋q5＝，
即q5＝－．
所以q＝－．
[典例讲评]　1．(1)已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为Sn，则S6＝________．
(2)在等比数列{an}中，
①若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
②若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5；
③a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q．
189
(1)189　[∵等比数列的首项为3，公比为2，∴S6＝＝189．]
(2)[解]　①由Sn＝，
an＝a1qn-1以及已知条件得
由②得，a1·2n＝192，∴2n＝．
由①得，189＝a1(2n－1)＝a1，
∴a1＝3．
又∵2n-1＝＝32，∴n＝6．
②设公比为q，由通项公式及已知条件得
即
∵a1≠0，1＋q2≠0，∴④÷③得，q3＝，
即q＝，∴a1＝8，
∴a4＝a1q3＝8×＝1，
S5＝＝＝．
③因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．
从而或
又Sn＝＝126，所以q＝2或．
反思领悟　(1)“知三求二”：在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
(2)注意：在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
[学以致用]　1．(1)(源自北师大版教材)①已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝3．求S3；
②求等比数列1，，…的前10项的和．
(2)已知数列{an}为等比数列．若a4－a2＝24，a2＋a3＝6，am＝125，求Sm．
[解]　(1)①由等比数列的前n项和公式，得
S3＝＝＝26．
②因为公比q＝，所以S10＝＝＝．
(2)设该等比数列的公比为q，
由a4－a2＝24，a2＋a3＝6，
得a2q2－a2＝24，a2＋a2q＝6，
解得a2＝1，q＝5，所以a1＝＝，
所以an＝a1qn-1＝5n-2，令am＝125，解得m＝5，
所以S5＝＝．
探究2　等比数列前n项和公式的函数特征
探究问题2　你能发现等比数列前n项和公式Sn＝(q≠1)的函数特征吗？
[提示]　Sn＝＝－qn＋，
设A＝－，则Sn＝Aqn－A．
[新知生成]
等比数列前n项和公式的函数特征
(1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝___，Sn是n的正比例函数．
na1
【教用·微提醒】　(1)Sn＝Aqn－A(q≠1)时，{an}是首项为(Aq－A)，公比为q的等比数列．
(2)等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数．
[典例讲评]　2．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2．求{an}的通项公式，并判断{an}是不是等比数列．
[解]　法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n-1－2)＝2·3n-1．
当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式．
∴an＝
由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列．
法二：由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比数列．
[母题探究]　若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n+1－2k，则实数k＝________．
　[∵Sn＝3n+1－2k＝3×3n－2k，
且{an}为等比数列，∴3－2k＝0，即k＝．]
反思领悟　(1)已知Sn，通过an＝
求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1．
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则数列{an}是等比数列．
[学以致用]　2．等比数列{an}的前n项和Sn＝m·4n-1＋t(其中m，t为常数且mt≠0)，则＝________．
－4　[法一：a1＝S1＝m＋t，a2＝S2－S1＝3m，a3＝S3－S2＝12m，因为{an}为等比数列，则＝a1a3，所以9m2＝12m(m＋t)，即m＝－4t，
故＝－4．
法二：Sn＝m·4n-1＋t＝m·4n＋t，因为{an}是等比数列，故m＝－t，则＝－4．]
－4
探究3　错位相减法求和
[典例讲评]　3．(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝．已知a1，3a2，9a3成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜．
[解]　(1)设{an}的公比为q，则an＝qn-1．
因为a1，3a2，9a3成等差数列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，故an＝，bn＝．
(2)由(1)知Sn＝＝，Tn＝＋…＋，①
Tn＝＋…＋，②
①－②得Tn＝＋…＋，
即Tn＝＝，
整理得Tn＝，
则2Tn－Sn＝2＝－＜0，故Tn＜．
反思领悟　用错位相减法求和时，应注意：
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
[学以致用]　3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2an＋2n+1．
(1)试求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn．
[解]　(1)根据an＋1＝2an＋2n+1，两边都除以2n+1，可得＝＋1，所以＝1，数列是公差为1的等差数列，首项为＝，
故＝＋(n－1)×1＝n－，可得an＝×2n＝(2n－1)×2n-1．
(2)Sn＝×2＋×22＋×23＋…＋×2n，
两边都乘2，得2Sn＝×22＋×23＋…＋×2n+1，
以上两式相减，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－×2n+1＝1＋×2n+1＝×2n+1－3，
所以Sn＝×2n+1＋3＝(2n－3)×2n＋3．
【教用·备选题】　1．求数列，…，，…的前n项和．
[解]　设Sn＝＋…＋，①
则Sn＝＋…＋，②
①－②，得Sn＝＋…＋，即Sn＝＋…＋＝＝＋1－－＝．
所以Sn＝3－＝3－．
2．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．
[解]　当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn+1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn+1
＝－nxn+1，∴Sn＝．
综上可得，Sn＝
1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　)
A． B．
C． D．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
C　[当x＝1时，Sn＝n；当x≠1且x≠0时，Sn＝．]
2
3
题号
1
4
2．在正项等比数列{an}中，a2＝4，a6＝64，Sn＝510，则n＝(　　)
A．6　　B．7　　C．8　　D．9
√
C　[由题意知q4＝＝16且q＞0，则
q＝2，a1＝2，所以Sn＝＝510，解得n＝8．]
2
3
题号
4
1
3．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为S n，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　)
A．　　B．　　C．15　　D．40
C　[若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1．由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝＝15．故选C．]
√
2
4
3
题号
1
4．在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝－8，则{an}的前6项和为________．
－21　[由a4＝a1q3＝q3＝－8，解得q＝－2，
所以S6＝＝＝＝－21．]
－21
1．知识链：(1)等比数列前n项和公式的推导．
(2)等比数列前n项和公式的基本运算．
(3)等比数列前n项和公式的结构特点．
2．方法链：公式法、错位相减法．
3．警示牌：等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何使用等比数列前n项和公式求和？
[提示]　(1)等比数列{an}前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论．
(2)q≠1时，公式Sn＝与Sn＝是等价的，利用an＝a1qn-1可以实现它们之间的相互转化．
当已知a1，q与n时，用Sn＝较方便；
当已知a1，q与an时，用Sn＝较方便．
2．等比数列前n项和公式是如何推导的？
[提示]　一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1， ①
用公比q乘①的两边，可得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn， ②
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
整理得Sn＝(q≠1)．
3．错位相减法的适用情形及注意事项分别是什么？
[提示]　(1)适用范围：它主要适用于{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
(2)注意事项：
①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错项对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．
阅读材料·拓展数学视野
棋盘上的麦粒
一般认为，国际象棋起源于古印度．国际象棋的棋盘由64个格子组成，如图所示．据说国王为了奖赏发明者，让发明者提一个要求．发明者提出的要求是：在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在
第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上22颗麦粒，在第4个格子里放上23颗麦粒……每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请国王将棋盘上的麦子都给他．国王觉得这个要求并不过分，欣然同意．假设每1 000粒麦子的质量为40 g，猜想一下，国王有能力满足发明者的要求吗？
阅读材料·拓展数学大视野
根据等比数列前n项和公式可知，发明者所要求的麦粒数为1＋2＋22＋23＋…＋263＝＝264－1．从而可知，发明者要求的麦子质量为×40 g≈7.38×1014 kg．也就是说，发明者要求的麦子质量约为7.38×1011吨，即7 380亿吨．2016年，我国大宗粮油作物(包括小麦、水稻)产量约为5.4亿吨，全球大宗粮油作物总产量约为27.8亿吨．古印度的那位国王能满足发明者的要求吗？
一、选择题
1．等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a3＝4，a2·a6＝64，则S5＝(　　)
A．32　　B．31　　C．64　　D．63
课时分层作业(九)　等比数列的前n项和公式
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B　[设数列{an}的公比为q，
则解得
∴S5＝＝31．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则(　　)
A．数列{an}的公比为2
B．数列{an}的公比为8
C．＝8
D．＝9
√
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
AD　[设等比数列{an}的公比为q，∵a6＝8a3，
∴a3q3＝8a3，∴q3＝8，解得q＝2．
因此A正确，B不正确．又S6＝＝63a1，S3＝＝7a1，
∴＝9，因此C不正确，D正确．故选AD．]
14
15
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　)
A．14　　B．12　　C．6　　D．3
√
14
15
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
D　[设等比数列的公比为q，q≠0，
若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾，
所以q≠1，
则解得
所以a6＝a1q5＝3．
故选D．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn．若3S3＝8a2＋5a1，则数列{an}的公比是(　　)
A．2　　B．－或2 C．　　D．或－2
√
14
15
A　[设等比数列{an}的公比为q．因为3S3＝8a2＋5a1，所以3(a1＋a2＋a3)＝8a2＋5a1，所以3a3＝5a2＋2a1，所以3a1q2＝5a1q＋2a1．又因为an＞0，所以3q2＝5q＋2，解得q＝2或q＝－(舍)．故选A．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1．若a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋2＋an＋1＝2an，则S5＝(　　)
A．12　　B．20　　C．11　　D．21
√
14
15
C　[an＋2＋an＋1＝2an等价于anq2＋anq＝2an．
因为an≠0，故q2＋q－2＝0，即(q＋2)(q－1)＝0．
因为q≠1，所以q＝－2，
故S5＝＝11，故选C．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
二、填空题
6．如果数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)，那么数列{an}________等比数列．(填“是”或“不是”)
14
15
是　[等比数列的前n项和Sn＝(q≠1)，
所以Sn＝qn，
Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)符合上式形式，此时A＝，
故数列{an}是等比数列．]
是
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
7．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝________，a1＝________．
14
15
5　3　[由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，
得解得]
5
3
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
8．已知数列{an}，an＝22n-1，其前n项的和为Sn，则S5＝________．
14
15
682　[由题意an＝22n-1，n∈N*，
∴＝＝22＝4，n∈N*，
∴数列{an}是首项为a1＝2，公比为q＝4的等比数列，
∴S5＝＝＝682．]
682
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
三、解答题
9．记数列{an}的前n项和为Sn．已知Sn＋1＝3Sn＋2n＋4，且a1＝4．
(1)证明：{an＋1}是等比数列；
(2)求Sn．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
[解]　(1)证明：已知Sn＋1＝3Sn＋2n＋4①，则Sn＝3Sn－1＋2(n－1)＋4②，
由①－②可得，an＋1＝3an＋2(n≥2)，又a1＝4，则S2＝4＋a2＝3×4＋6，
即a2＝14，则a2＝3a1＋2，所以an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＋1＝5，即{an＋1}是以5为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)可得，an＋1＝5×3n-1，即an＝5×3n-1－1，
则Sn＝5(30＋31＋…＋3n-1)－n＝－n＝－n．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
10．(多选)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，则(　　)
A．ac＜0
B．b是数列{an}的公比
C．数列{Sn}可能为等比数列
D．数列{an}不可能为常数列
√
14
15
√
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
ABD　[对于A，B，当q≠1时，Sn＝＝·qn，则c＝，a＝－，b＝q，所以a·c＝＜0，故AB正确；对于C，若Sn为等比数列，则其通项公式必须满足a·bn的形式，即c＝0，但此时a＝0，显然不符合，故C不正确；
对于D，设等比数列公比为q，当q＝1时，Sn＝na1，显然是一次函数形式，不是指数形式，故不会是常数列，所以D正确．
故选ABD．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
11．记Sn为等比数列{an}(an＞0)的前n项和，且a1a3＝16，S1，S2，S3成等差数列，则S6＝(　　)
A．126　　B．128　　C．254　　D．256
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
A　[设等比数列{an}的公比为q，则a1＞0，q＞0，
由题意可得
即
整理得则解得
所以S6＝＝126．故选A．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
12．(多选)设Sn是公比为正数的等比数列{an}的前n项和．若a2＝，a3a5＝，则(　　)
A．a4＝　　 B．S3＝
C．an＋Sn为常数　　 D．{Sn－2}为等比数列
√
14
15
√
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
ACD　[设{an}的公比为q(q＞0)，则a2q·a2q3＝，解得q＝，故an＝a2qn-2＝，则a1＝1，Sn＝＝2－．对于A，a4＝＝，故A正确；对于B，S3＝2－＝，故B错误；对于C，an＋Sn＝＋2－＝2为常数，故C正确；对于D，由Sn－2＝－＝，n≥2，可得{Sn－2}为等比数列，故D正确．故选ACD．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
13．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝________．
14
15
－85　[等比数列{an}中，S4＝－5，S6＝21S2，显然公比q≠1，
设首项为a1，则＝－5，①
＝，②
化简②得q4＋q2－20＝0，解得q2＝4或q2＝－5(不合题意，舍去)，代入①得＝，
所以S8＝＝(1－q4)(1＋q4)＝×(－15)×(1＋16)＝－85．]
－85
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n，数列{bn}的通项公式为bn＝xn-1(x≠0)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
[解]　(1)∵an＝Sn＝n2＋n，
∴an＝
当n＝1时也满足an＝2n，∴数列{an}的通项公式为an＝2n．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
(2)由(1)及题意，得cn＝2nxn-1，
∴Tn＝2＋4x＋6x2＋8x3＋…＋2nxn-1，①
则xTn＝2x＋4x2＋6x3＋8x4＋…＋2nxn．②
①－②，得(1－x)Tn＝2＋2x＋2x2＋…＋2xn-1－2nxn．
当x≠1时，(1－x)Tn＝2×－2nxn，
∴Tn＝；
当x＝1时，Tn＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
15．设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝1－Sn．问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
[解]　(1)依题意，得2Sn＝an＋1－a1．
于是，当n≥2时，有
两式相减，得an＋1＝3an(n≥2)．
又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列．
因此，an＝a1·3n-1(n∈N*)．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
(2)存在．因为Sn＝＝a1·3n－a1，
所以bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n．
要使{bn}为等比数列，则1＋a1＝0，
即a1＝－2．
所以存在a1＝－2，使数列{bn}为等比数列．
14
15
THANKS4.3.2　等比数列的前n项和公式
第1课时　等比数列的前n项和公式
[学习目标]　1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(数学运算)
2．会用错位相减法求数列的和．(数学运算、逻辑推理)
3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．(数学运算、数学建模)
[讨论交流]
问题1．等比数列的前n项和公式是什么？
问题2．等比数列的前n项和公式是如何推导的？
问题3．等比数列的前n项和公式与通项公式有什么关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　等比数列的前n项和公式
探究问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比
公式 Sn＝ Sn＝
2．推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法．
[典例讲评]　1．(1)已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为Sn，则S6＝________．
(2)在等比数列{an}中，
①若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
②若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5；
③a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)“知三求二”：在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
(2)注意：在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
[学以致用]　1．(1)(源自北师大版教材)①已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝3．求S3；
②求等比数列1，，…的前10项的和．
(2)已知数列{an}为等比数列．若a4－a2＝24，a2＋a3＝6，am＝125，求Sm．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　等比数列前n项和公式的函数特征
探究问题2　你能发现等比数列前n项和公式Sn＝(q≠1)的函数特征吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
等比数列前n项和公式的函数特征
(1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝________，Sn是n的正比例函数．
[典例讲评]　2．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2．求{an}的通项公式，并判断{an}是不是等比数列．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n+1－2k，则实数k＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)已知Sn，通过an＝
求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1．
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则数列{an}是等比数列．
[学以致用]　2．等比数列{an}的前n项和Sn＝m·4n-1＋t(其中m，t为常数且mt≠0)，则＝________．
探究3　错位相减法求和
[典例讲评]　3．(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝．已知a1，3a2，9a3成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用错位相减法求和时，应注意：
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
[学以致用]　3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2an＋2n+1．
(1)试求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　)
A．
B．
C．
D．
2．在正项等比数列{an}中，a2＝4，a6＝64，Sn＝510，则n＝(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
3．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为S n，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　)
A． B． C．15 D．40
4．在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝－8，则{an}的前6项和为________．
1．知识链：(1)等比数列前n项和公式的推导．
(2)等比数列前n项和公式的基本运算．
(3)等比数列前n项和公式的结构特点．
2．方法链：公式法、错位相减法．
3．警示牌：等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论．
5/5第2课时　等比数列前n项和的性质及应用
[学习目标]　1．掌握等比数列前n项和的性质及应用．(数学运算)
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学建模、数学运算)
[讨论交流]　
问题1．等比数列前n项和有哪些性质？
问题2．运用等比数列的前n项和公式解决实际问题的关键是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　等比数列前n项和的性质
探究问题　在等比数列{an}中，你能否用Sm，Sn来表示Sm＋n
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
(1)在其前2n项中，＝q．
(2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶．
2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋________(n，m∈N*)．
3．数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，________仍构成等比数列(n为偶数且q＝－1时除外)，公比是________．
[典例讲评]　1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn．
(1)若Sn＝48，S2n＝60，求S3n的值；
(2)若a1＝1，项数为偶数，且S奇＝85，S偶＝170，求公比与项数．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．将本例(1)中的条件“Sn＝48，S2n＝60”改为“各项均为正项的等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝________和S偶＋S奇＝________这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋________和S偶＋S奇＝________这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
(2)“片段和”性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，公比为________，要注意q＝－1且n为偶数时不适用．
[学以致用]　1．(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝(　　)
A．32　　B．64　　C．72　　D．216
(2)已知等比数列{an}的公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________．
探究2　等比数列前n项和的实际应用
[典例讲评]　2．某市2024年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2025年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%．则
(1)该市在2030年应该投入电力型公交车多少辆？
(2)在哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？(lg 657≈2.82，lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　与等比数列前n项和有关的实际问题解题方法
(1)构建数列模型．
(2)根据题意将实际问题直接转化为等比数列问题，或寻找递推公式，再转化为等比数列．
(3)利用等比数列前n项和公式进行计算．
[学以致用]　2．在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取．甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6 000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%．
(1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？
(2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元．那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？(参考数据：1.084≈1.4，1.085≈1.5，1.0810≈2.2，1.0811≈2.3)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　等比数列的前n项和在几何图形中的应用
[典例讲评]　3．(源于北师大版教材)如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，求前n个内切圆的面积和．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解决与等比数列前n项和公式有关问题时应注意的问题
(1)首先将题目问题转化为等比数列问题．
(2)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系．
[学以致用]　3．如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为an，数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式及S2 025．
1．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 013，偶数项之和为2 026，则这个数列的公比为(　　)
A．8　　　　B．－2　　　　C．4　　　　D．2
2．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于(　　)
A．1 025 B．1 024 C．10 250 D．20 240
3．某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2014年每月的基础工资为2 100元，绩效工资为2 000元．从2015年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%．照此推算，此人2025年的年薪为(参考数据：1.111≈2.853，1.110≈2.594)(　　)
A．9.3万元 B．10.4万元
C．12.14万元 D．14万元
4．一个项数为偶数的等比数列{an}，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列{an}的通项公式an＝________．
1．知识链：(1)等比数列前n项和公式的性质．
(2)等比数列前n项和公式的实际应用．
(3)等比数列前n项和公式的综合应用．
2．方法链：公式法、分类讨论法、转化法．
3．警示牌：应用公式和性质时易忽略其成立的条件．
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第2课时　等比数列前n项和的性质及应用
第四章　数列
4.3　等比数列
4.3.2　等比数列的前n项和公式
整体感知
[学习目标]　1．掌握等比数列前n项和的性质及应用．(数学运算)
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学建模、数学运算)
(教师用书)
远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增．
共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
解说：这是明朝著名数学家吴敬在《九章算法比类大全》中编写的一道著名诗题，文字优美，读来琅琅上口，算来颇具趣味．题目的意思是有一座高大雄伟的宝塔，共有七层．每层都挂着红红的大灯笼，各层的盏数虽然不知道是多少，但知道从上到下的第二层开始，每层盏数都是上一层盏数的2倍，并知道总共有灯381盏．问：这个宝塔最上面一层有多少盏灯？
[讨论交流]　
问题1．等比数列前n项和有哪些性质？
问题2．运用等比数列的前n项和公式解决实际问题的关键是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　等比数列前n项和的性质
探究问题　在等比数列{an}中，你能否用Sm，Sn来表示Sm＋n
[提示]　思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn．
思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm．
[新知生成]
1．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
(1)在其前2n项中，＝q．
(2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶．
2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋_____(n，m∈N*)．
3．数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，__________仍构成等比数列(n为偶数且q＝－1时除外)，公比是____．
qnSm
S3n－S2n
qn
【教用·微提醒】　当q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不是等比数列；当q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等比数列．
【链接·教材例题】
例9　已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn．证明Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比．
[证明]　当q＝1时，
Sn＝na1，
S2n－Sn＝2na1－na1＝na1，
S3n－S2n＝3na1－2na1＝na1，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1．
当q≠1时，Sn＝，
S2n－Sn＝＝＝qnSn，
S3n－S2n＝＝＝qn(S2n－Sn)，
所以＝＝qn．
因为qn为常数，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn．
[典例讲评]　1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn．
(1)若Sn＝48，S2n＝60，求S3n的值；
(2)若a1＝1，项数为偶数，且S奇＝85，S偶＝170，求公比与项数．
[解]　(1)法一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝，③
把③代入①得＝64，
∴S3n＝＝64＝63．
法二：∵{an}为等比数列，显然公比q≠－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
即(60－48)2＝48(S3n－60)，∴S3n＝63．
法三：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，得qn＝，
∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×＝63．
(2)法一：设等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)．
由已知a1＝1，q≠1，有
由②÷①，得q＝2，
∴＝85，4n＝256，∴n＝4．
故公比为2，项数为8．
法二：∵S偶＝a2＋a4＋…＋an＝a1q＋a3q＋…＋an－1q＝(a1＋a3＋…＋an－1)q＝S奇·q，
∴q＝＝＝2．又Sn＝85＋170＝255，
由Sn＝，得＝255，
∴2n＝256，∴n＝8．∴公比q＝2，项数n＝8．
[母题探究]
1．将本例(1)中的条件“Sn＝48，S2n＝60”改为“各项均为正项的等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值．
[解]　法一：因为{an}为等比数列，且公比q≠－1，设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列，
所以
所以或(舍去)，所以S4n＝30．
法二：∵Sn＝2，S3n＝14，∴q≠1．
∴Sn＝，S3n＝＝，
∴＝1＋qn＋q2n＝7，∵an＞0，∴qn＝2，
又S4n＝，∴＝(1＋q2n)(1＋qn)．
∴S4n＝Sn(1＋q2n)(1＋qn)＝2×(1＋4)(1＋2)＝30．
2．将本例(1)中条件“Sn＝48，S2n＝60”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．
[解]　法一：∵S99＝＝56，q＝2，
∴a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·＝32．
法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，
b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，
b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，
则b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56，
∴b1(1＋q＋q2)＝56，又∵q＝2，
∴b1＝＝8，
∴b3＝b1q2＝8×22＝32．
即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32．
发现规律　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝__和S偶＋S奇＝____这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋____和S偶＋S奇＝______这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
(2)“片段和”性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，公比为____，要注意q＝－1且n为偶数时不适用．
q
S2n
qS偶
S2n＋1
qn
[学以致用]　1．(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝(　　)
A．32　　B．64　　C．72　　D．216
(2)已知等比数列{an}的公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________．
√
120
(1)B　(2)120　[(1)易得q≠－1，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故公比为2，
所以S9－S6＝32，S12－S9＝64，所以a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64．故选B．
(2)因为在等比数列中，若项数为2n，则＝q，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＝90＋×90＝120．]
【链接·教材例题】
例12　某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…．
(1)写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系；
(2)将(1)中的递推公式表示成cn＋1－k＝r(cn－k)的形式，其中k，r为常数；
(3)求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10的值(精确到1)．
探究2　等比数列前n项和的实际应用
分析：(1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn＋1与cn的关系；(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；(3)利用(2)的结论可得出解答．
[解]　(1)由题意，得c1＝1200，并且
cn＋1＝1.08cn－100． ①
(2)将cn＋1－k＝r(cn－k)化成cn＋1＝rcn－rk＋k． ②
比较①②的系数，可得
解这个方程组，得
所以，(1)中的递推公式可以化为
cn＋1－1250＝1.08(cn－1250)．
(3)由(2)可知，数列{cn－1250}是以－50为首项，1.08为公比的等比数列，则
(c1－1250)＋(c2－1250)＋(c3－1250)＋…＋(c10－1250)＝≈－724.3．
所以
S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10≈1250×10－724.3＝11 775.7≈11 776．
[典例讲评]　2．某市2024年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2025年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%．则
(1)该市在2030年应该投入电力型公交车多少辆？
(2)在哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？(lg 657≈2.82，lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
[解]　(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝．
所以2030年应投入的数量为
a6＝a1q5＝128×＝972(辆)．
故该市在2030年应该投入972辆电力型公交车．
(2)设{an}的前n项和为Sn，
则Sn＝＝256×，
由＞，得Sn＞5 000，即256×＞5 000，化简得＞，两边取常用对数，则n(lg 3－lg 2)＞lg 657－5lg 2，即n＞≈7.3，又n∈N*，所以n≥8．
所以该市到2032年年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的．
反思领悟　与等比数列前n项和有关的实际问题解题方法
(1)构建数列模型．
(2)根据题意将实际问题直接转化为等比数列问题，或寻找递推公式，再转化为等比数列．
(3)利用等比数列前n项和公式进行计算．
[学以致用]　2．在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取．甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6 000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%．
(1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？
(2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元．那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？(参考数据：1.084≈1.4，1.085≈1.5，1.0810≈2.2，1.0811≈2.3)
[解]　(1)由题意得，小李在乙公司工作第n年的年薪为bn＝4.8×(1＋8%)n-1．
令n＝5，得b5＝4.8×(1＋8%)4＝4.8×1.084≈6.72(万元)．
(2)由题意，小李在甲公司连续工作n年的工资总收入为4.2n＋×0.6，小李在乙公司工作10年的总收入为＋0.72×10，
则4.2n＋×0.6≥＋7.2，
整理得(n＋24)(n－11)≥0，解得n≥11，
所以小李在甲公司至少要连续工作11年，工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入．
【链接·教材例题】
例10　如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．
探究3　等比数列的前n项和在几何图形中的应用
(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列．
[解]　设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…，则
a1＝25．
由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以
ak＋1＝ak．
因此，{an}是以25为首项，为公比的等比数列．
设{an}的前n项和为Sn．
(1)S10＝＝50×＝．
所以，前10个正方形的面积之和为 cm2．
(2)当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1＋a2＋a3＋…＋an＋…．而
Sn＝＝50，
随着n的无限增大，将趋近于0，Sn将趋近于50．
所以，这些正方形的面积之和将趋近于50．
[典例讲评]　3．(源于北师大版教材)如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，求前n个内切圆的面积和．
[解]　设第n个正三角形的内切圆的半径为an．
因为从第2个正三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的，故a1＝a tan 30°＝a·＝a，a2＝a1，
…
an＝an－1．
即数列{an}是首项a1＝a，公比q＝的等比数列，所以an＝a．
设前n个内切圆的面积和为Sn，则
Sn＝
＝＋(a1q)2＋(a1q2)2＋…＋(a1qn-1)2]
＝
＝
＝π＝π．
因此，前n个内切圆的面积和为π．
反思领悟　解决与等比数列前n项和公式有关问题时应注意的问题
(1)首先将题目问题转化为等比数列问题．
(2)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系．
[学以致用]　3．如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为an，数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式及S2 025．
[解]　记第n个正方形的边长为bn，
由题意可知＝2×＝，
则an＝an－1，
所以数列{an}是以a1＝4为首项，q＝为公比的等比数列，
即an＝4×．
S2 025＝＝8×＝8－．
1．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 013，偶数项之和为2 026，则这个数列的公比为(　　)
A．8　　　　B．－2　　　　C．4　　　　D．2
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
D　[由＝q，可知q＝2．]
2
3
题号
1
4
2．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于(　　)
A．1 025　　B．1 024　　C．10 250　　D．20 240
√
C　[∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn＞0，
∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，
∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250，故选C．]
2
3
题号
4
1
3．某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2014年每月的基础工资为2 100元，绩效工资为2 000元．从2015年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%．照此推算，此人2025年的年薪为(参考数据：1.111≈2.853，1.110≈2.594)(　　)
A．9.3万元　　 B．10.4万元
C．12.14万元　　 D．14万元
√
2
3
题号
4
1
C　[由题意可得，基础工资(单位：元)可构成以2 100为首项，210为公差的等差数列，绩效工资(单位：元)可构成以2 000为首项，1.1为公比的等比数列，则此人2025年每月的基础工资为2 100＋210×(12－1)＝
4 410(元)，每月的绩效工资为2 000×1.111≈5 706(元)，则此人2025年的年薪约为12×(4 410＋5 706)≈12.14(万元)．]
2
4
3
题号
1
4．一个项数为偶数的等比数列{an}，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列{an}的通项公式an＝____________．
12×　[设数列{an}的首项为a1，公比为q，
由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
因为数列{an}的项数为偶数，
所以q＝＝．又因为a1·a1q·a1q2＝64，
所以·q3＝64，即a1＝12，
故所求通项公式为an＝12×．]
12×
1．知识链：(1)等比数列前n项和公式的性质．
(2)等比数列前n项和公式的实际应用．
(3)等比数列前n项和公式的综合应用．
2．方法链：公式法、分类讨论法、转化法．
3．警示牌：应用公式和性质时易忽略其成立的条件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．等比数列的前n项和有哪些重要性质？
[提示]　(1)若等比数列前n项和Sn＝A·qn＋B，那么A＋B＝0(A≠0，q≠1)．
(2)若项数为2n，则＝q(S奇≠0)；
若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)．
(3)等比数列前n项和为Sn(Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(n为偶数且q＝－1时除外)．
2．应用等比数列前n项和时常见的误区有哪些？
[提示]　(1)等比数列前n项和公式中项数的判断易出错．
(2)前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
一、选择题
1．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为(　　)
A．4　　B．6　　C．8　　D．10
课时分层作业(十)　等比数列前n项和的性质及应用
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
D　[由题意得，公比q＝＝2，
所以Sn＝＝341＋682＝1 023，解得n＝10．
故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．已知等比数列{an}的前n项和Sn满足S5＝10，S10＝40，则S20＝(　　)
A．130　　B．160　　C．390　　D．400
√
14
15
D　[由题意知q≠－1，所以S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15依然成等比数列，则S5(S15－S10)＝(S10－S5)2，即10(S15－40)＝(40－10)2，解得S15＝130，则S5(S20－S15)＝(S10－S5)(S15－S10)，即10(S20－130)＝30×90，解得S20＝400．故选D．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．(多选)设数列{an}，{bn}都是等比数列，则(　　)
A．若cn＝anbn，则数列{cn}也是等比数列　
B．若dn＝，则数列{dn}也是等比数列　
C．若{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列　
D．在数列{an}中，每隔k项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列
√
14
15
√
√
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
ABD　[数列{an}，{bn}都是等比数列，设公比分别为q1，q2(q1q2≠0)，
对于A，由cn＝anbn，得＝＝q1q2，所以数列{cn}为等比数列，A正确；
对于B，由dn＝，得＝＝·＝q1·＝，所以数列{dn}为等比数列，B正确；
对于C，令an＝(－1)n，则S2＝S4－S2＝S6－S4＝0，不成等比数列，C错误；
对于D，＝为常数，D正确．故选ABD．]
14
15
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．等比数列{an}共有2n＋1项，其中a1＝2，偶数项和为84，奇数项和为170，则n＝(　　)
A．3　　B．4　　C．7　　D．9
√
14
15
A　[∵等比数列{an}共有2n＋1项，∴等比数列中偶数项有n项，奇数项有n＋1项．由题意得q≠±1，∴偶数项和为＝84，∴＝42q①，奇数项和为＝170，∴＝85②，两式相减得－1＝42q－85，解得q＝2，∴＝84，即4n＝64，解得n＝3．故选A．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还粟的量为(　　)
A．升　　B．升　　C．升　　D．升
√
14
15
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
D　[5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，解得a1＝，
所以牛主人应偿还粟的量为a3＝22a1＝．故选D．]
14
15
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
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13
1
二、填空题
6．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
14
15
2　[设等比数列{an}的前2n项中奇数项的和、偶数项的和分别为S奇，S偶．
由题意得
∴S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝＝＝2．]
2
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
7．各项都是正实数的等比数列{an}，前n项和记为Sn．若S10＝10，S30＝70，则S40＝________．
14
15
150　[法一：设首项为a1，公比为q，由题意，知q≠±1，所以
由以上两式相除，得q20＋q10－6＝0，解得q10＝2或q10＝
－3(舍去)．代入①，得＝－10，所以S40＝＝－10×(－15)＝150．
150
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
14
15
法二：易知q≠±1，由S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30构成公比为q10的等比数列，则S30＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＝S10＋q10S10＋q20S10，即q20＋q10－6＝0，解得q10＝2或q10＝－3(舍去)，所以S40＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋(S40－S30)＝10×(1＋2＋22＋23)＝150．]
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
8．一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第6次着地时，共经过的路程是________米．
14
15
752　[设小球每次着地后跳回的高度构成数列{an}，则数列{an}为等比数列，
a1＝128，q＝，S5＝＝248，
共经过的路程为256＋2S5＝752(米)．]
752
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
三、解答题
9．某村拟加大资金投入，帮助村民扩大牧场规模并增加牛的存栏数．已知2024年年初牧场牛的存栏数为240，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出20头牛，设牧场从2024年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…．
(1)写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系；
(2)求S10＝c1＋c2＋…＋c10的值(精确到1)．
(参考数据：1.089≈2，1.0810≈2.16，1.0811≈2.33)
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
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13
1
[解]　(1)由题意得，cn＋1＝1.08cn－20．
(2)由(1)得，cn＋1－250＝1.08(cn－250)，
则＝1.08，又c1－250＝－10，
所以数列{cn－250}是以－10为首项，1.08为公比的等比数列，
则cn－250＝－10×1.08n-1，
所以cn＝－10×1.08n-1＋250，
所以S10＝c1＋c2＋…＋c10＝10×250－10×≈2 355．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
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11
12
13
1
10．(多选)已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，若q≠1，m∈N*，则下列说法正确的是(　　)
A．＝＋1
B．若＝9，则q＝2
C．若＝9，＝，则m＝3，q＝2
D．若＝9，则q＝3
√
14
15
√
√
题号
9
2
4
5
3
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11
12
13
1
ABC　[∵q≠1，∴＝＝1＋qm．
而＝＝qm，∴A正确；
B中，m＝3，∴＝q3＋1＝9，解得q＝2，故B正确；
C中，由＝1＋qm＝9，得qm＝8．
又＝qm＝8＝，得m＝3，q＝2，∴C正确；
D中，＝q3＝9，∴q＝≠3，∴D错误，故选ABC．]
14
15
题号
9
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4
5
3
8
6
7
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1
11．已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米高度至少要经过(　　)
A．3分钟　　 B．4分钟
C．5分钟　　 D．6分钟
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
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7
10
11
12
13
1
B　[设an表示热气球在第n分钟内上升的高度，由题意可得an＝an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝30．
所以前n分钟热气球上升的总高度Sn＝＝90，因为Sn＋1－Sn＝90－90＝90＞0，所以数列{Sn}为单调递增数列，又S3＝90≈63.3＜70，S4＝90≈72.2＞70，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米高度．故选B．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
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1
12．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意：有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了六天后到达目的地．则下列说法正确的是(　　)
A．该人第五天走的路程为14里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
√
14
15
题号
9
2
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3
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13
1
D　[由题意可知，该人每天走的路程构成了公比q＝的等比数列{an}．
设数列{an}的前n项和为Sn，则S6＝378，所以S6＝＝378，解得a1＝192，则an＝192×．
a5＝192×＝12，则该人第五天走的路程为12里，故A错误；
a3＝192×＝48，则该人第三天走的路程为48里，故B错误；
S3＝＝336，则该人前三天共走的路程为336里，故C错误；
由S6－S3＝378－336＝42，可知该人最后三天共走的路程为42里，故D正确．故选D．]
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题号
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3
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1
13．朱载堉是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前三个音的频率总和为A1，前六个音的频率总和为A2，则＝________．
14
15
1＋
题号
9
2
4
5
3
8
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1
1＋　[由题意知，一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等．设第一个音的频率为a1，相邻的两个音之间的频率之比为q(q≠1)，则可以将每个音的频率看成等比数列{an}，共13项，且＝q．
因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍，所以a13＝a1q12＝2a1，即q12＝2，所以q3＝．
因为A1＝，A2＝，所以＝＝＝1＋q3＝1＋．]
14
15
题号
9
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3
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1
14．已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，S3＝21，S6＝189．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nan，求{bn}的前n项和Tn．
14
15
[解]　(1)∵{an}为等比数列，其前n项和为Sn，S3＝21，S6＝189．
S6≠2S3，∴q≠1，则两式作商得1＋q3＝9，
即q3＝8，得q＝2，a1＝3，则an＝3×2n-1．
题号
9
2
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5
3
8
6
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1
(2)∵bn＝(－1)nan＝(－1)n·3×2n-1，
∴当n≥2时，＝＝－2，
即{bn}是首项为－3，公比为－2的等比数列，
则Tn＝＝＝－1＋(－2)n．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
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12
13
1
15．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图1所示．如图2所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
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12
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1
正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．如图2阴影部分，设直角三角形AEH的面积为b1，直角三角形EMQ的面积为b2，后续各直角三角形的面积依次为b3，…，bn，则数列{bn}的前n项和Sn＝_____________．
14
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4－4×
题号
9
2
4
5
3
8
6
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1
4－4×　[设由外到内各正方形的边长依次为a1，a2，a3，…，an，
则a1＝4，a2＝＝a1，
a3＝＝a2＝a1，
…，
an＝＝an－1 ＝，
所以数列{an}是以4为首项，为公比的等比数列，则an＝4×．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
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1
由题意可得，
S△AHE＝，
即b1＝，b2＝，…，bn＝，
于是bn＝＝，所以{bn}是以为首项，为公比的等比数列，
Sn＝＝4×＝4－4×，n∈N*．]
14
15
THANKS

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