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5.1　导数的概念及其意义
5.1.1　变化率问题
[学习目标]　1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．(数学抽象)
2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(数学运算)
3．理解函数的平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的概念．(数学抽象)
(教师用书)
1．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝＋6.5t＋10．那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？
2．很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现随着气球内空气容量的增加，气球半径增加越来越慢，那么如何描述这种现象呢？
[讨论交流]
问题1．平均速度的定义是什么？
问题2．瞬时速度的定义是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　平均速度
探究问题1　某公路上存在一段长为2 km的测速路段，假定测速超过100 km/h即为超速，某汽车用时1.5分钟，它超速了吗？你觉得这种测速的本质是什么？
[提示]　记测速为v，则v＝＝80 km/h，因此它没有超速．这种测速的本质是汽车的平均速度．
[新知生成]
1．平均速度：我们把位移s看成关于时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间段[t1，t2]上的平均速度＝．
2．物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的快慢．
[典例讲评]　1．已知某质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(路程s的单位为m)，求：
(1)该质点在前3 s内运动的平均速度；
(2)该质点在2 s到3 s这段时间内运动的平均速度．
[解]　(1)依题意知Δt＝3，Δs＝s(3)－s(0)＝24，
所以平均速度为＝＝＝8(m/s)．
(2)由题意知Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝12，
所以平均速度为＝＝＝12(m/s)．
　求物体运动的平均速度的步骤
(1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)．
(2)再计算时间的改变量t2－t1．
(3)得平均速度＝．
[学以致用]　1．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系s(t)＝t2＋1，该质点在[2，2＋Δt](Δt＞0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围．
[解]　质点在[2，2＋Δt]上的平均速度为
＝＝＝4＋Δt．
又≤5，即4＋Δt≤5，所以Δt≤1．
又Δt＞0，所以Δt的取值范围为(0，1]．
探究2　瞬时速度
探究问题2　区间[t0，t0＋Δt]表示时刻t0和其后某一时刻t0＋Δt，随着Δt的改变，区间变大或变小，如果Δt变成无限接近0的正数，那么我们该如何认识＝呢？
[提示]　用极限思想可以理解为t0时刻的瞬时速度．
[新知生成]
1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
2．瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度．
3．设物体运动的时间与位移的函数关系为s＝s(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为v＝．
【教用·微提醒】　(1)“Δt→0”读作“Δt无限趋近于0”，是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，即|Δt|要多小就有多小，其含义是可以小于任何预先给定的正数，但Δt始终不能为零．
(2)当Δt→0，比值趋近于一个确定的常数时，此常数才称为物体在t＝t0时的瞬时速度．
(3)“lim”意为极限，＝l表示当Δt→0时，以常数l为极限．
[典例讲评]　2．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
[思路导引]　计算物体在[1，1＋Δt](Δt>0)或[1＋Δt，1](Δt<0)内的平均速度计算得t＝1 s时的瞬时速度．
[解]　∵＝＝＝3＋Δt，
∴＝＝3．
∴物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s．
[母题探究]　
1．在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．
[解]　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝
＝＝1＋Δt，
∴＝1．
即物体的初速度为1 m/s．
2．在本例条件不变的前提下，试问：物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s．
[解]　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s．
又＝＝2t0＋1＋Δt．
＝＝2t0＋1，
则2t0＋1＝9，∴t0＝4，
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s．
　求物体运动瞬时速度的主要步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求平均速度＝；
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v，即为瞬时速度，即v＝．
[学以致用]　2．火箭发射t s后，其高度(单位：m)为h(t)＝0.9t2．那么t＝________s时火箭的瞬时速度为3.6 m/s．
2　[＝＝＝0.9Δt＋1.8t0．
当Δt→0时，→1.8t0，即t＝t0时的瞬时速度为1.8t0，
由1.8t0＝3.6，得t0＝2．]
探究3　求曲线在某点处切线的斜率或方程
探究问题3　在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f (x)＝x2的割线P0P有什么变化趋势？
[提示]　当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置．
[新知生成]
1．切线的斜率：当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f (x)在点P0(x0，f (x0))处的切线，则切线P0T的斜率k0＝．
2．切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0．
【教用·微提醒】　(1)不管点P在点P0左侧附近，还是右侧附近，割线P0P的斜率k的表达式是一样的．
(2)极限的几何意义：曲线y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率．
[典例讲评]　3．若曲线y＝x3存在斜率为1的切线，试求出切线方程．
[解]　设曲线y＝x3在点处切线的斜率为1．
因为＝＝＋3x0Δx＋(Δx)2，
所以，当Δx→0时．
又切线的斜率为1，
所以＝1，解得x0＝±，
所以在点和处切线的斜率为1．
由点斜式方程可得切线方程为y＝x－和y＝x＋．
　求函数y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率的三个步骤
[学以致用]　3．求曲线y＝在x＝2处的切线方程．
[解]　因为Δy＝＝－1＝－，
所以＝－，
所以k＝＝＝－＝－1．
又x＝2时，y＝＝1，
所以切线方程为y－1＝－1×(x－2)，即x＋y－3＝0．
【教用·备选题】　曲线y＝在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，求x0与c．
[解]　Δy＝＝．
由于切线x－y＋c＝0的斜率为1，
所以1＝＝＝，
解得x0＝－2．
当x0＝－2时，y0＝＝1，
所以－2－1＋c＝0，解得c＝3．
故所求x0＝－2，c＝3．
1．如图是某物体运动的位移s关于时间t的函数图象，则该物体在A，B两点间的平均速度等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
B　[由题意得，平均速度为＝－1．]
2．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为 (　　)
A．6 B．18 C．54 D．81
B　[由题可得＝＝＝18．故选B．]
3．设曲线y＝f (x)在x＝1处切线的斜率为2，则＝________．
　[根据条件知k＝＝2，
∴＝＝．]
4．过曲线y＝f (x)＝上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为________，在点(2，－2)处的切线斜率为________．
　1　[割线的斜率k＝＝＝＝2＝．
＝＝＝＝1，
故在点(2，－2)处的切线斜率为1．]
1．知识链：(1)平均速度．
(2)瞬时速度．
(3)曲线在某点处的切线方程．
2．方法链：定义法、极限思想．
3．警示牌：对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你理解的平均速度和瞬时速度有什么区别和联系？
[提示]　区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．
联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值．
2．曲线y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数什么样的实质？
[提示]　曲线y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数图象在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．
3．求曲线y＝f (x)在x＝x0处的切线方程的步骤是什么？
[提示]　①求斜率：
k＝；
②写方程：用点斜式y－f (x0)＝k(x－x0)写出切线方程；
③变形式：将点斜式变为一般式．
课时分层作业(十二)　变化率问题
一、选择题
1．(多选)自由落体运动的公式为s(t)＝gt2(g取10 m/s2)．若v＝，则下列说法不正确的是(　　)
A．v是在0～1 s这段时间内的速度
B．v是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速度
C．5Δt＋10是物体在t＝1 s这一时刻的速度
D．5Δt＋10是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速度
ABC　[由平均速度的概念知v＝＝5Δt＋10．故A，B，C三项均错误，D项正确．]
2．某物体运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5－2t2，则该物体在时间[1，2]上的平均速度为(　　)
A．－6 m/s B．2 m/s
C．－2 m/s D．6 m/s
A　[平均速度为＝＝－6．故选A．]
3．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在[2，3]这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　)
A．2 B．1 C．－1 D．6
B　[由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1．]
4．设函数f (x)＝x(x－6)，则此函数图象在x＝0处的切线斜率为(　　)
A．0 B．－1 C．3 D．－6
D　[＝＝Δx－6，则切线斜率k＝＝＝－6．]
5．如果质点A沿直线运动的位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的函数关系为s(t)＝，那么该质点在t＝3秒时的瞬时速度(单位：米/秒)为(　　)
A． B．－ C． D．－
D　[从t＝3秒到t＝(3＋Δt)(Δt＞0)秒的平均速度为＝＝
＝－，所以＝
＝－．故选D．]
二、填空题
6．如图，已知曲线y＝x2，P(0.4，0.16)是曲线上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，设点Q的横坐标为x，则割线PQ的斜率是________(用含x的式子表示)．
x＋0.4　[由题知Q(x，x2)，P(0.4，0.16)，所以割线PQ的斜率kPQ＝＝x＋0.4．]
7．已知曲线y＝上一点P(1，1)，则曲线在点P处的切线的斜率为________．
－2　[曲线y＝上一点P(1，1)，在点P处的切线的斜率为＝＝＝－2，所以曲线在点P处的切线的斜率为－2．]
8．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则起跳后1 s时的瞬时速度是________ m/s．
－3.3　[起跳后1 s时的瞬时速度
v＝
＝＝＝－3.3(m/s)．]
三、解答题
9．某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈．
(1)分别求物体在区间和上的平均速度；
(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义．
[解]　(1)物体在区间上的平均速度为＝＝＝．
物体在区间上的平均速度为
＝＝＝．
(2)由(1)可知－＝＞0，所以＜．
作出函数s(t)＝sin t在上的图象，如图所示，可以发现，在上，随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢．
10．某做直线运动的物体从时刻t到t＋Δt的位移为Δs，那么为(　　)
A．从时刻t到t＋Δt物体的平均速度
B．从时刻t到t＋Δt位移的平均变化率
C．当时刻为Δt时该物体的速度
D．该物体在t时刻的瞬时速度
D　[根据题意，做直线运动的物体，从时刻t到t＋Δt的这段时间里，时间的改变量为Δt，而物体的位移为Δs，那么为该物体在t时刻的瞬时速度．故选D．]
11．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)
A．1 B． C．－ D．－1
A　[因为＝＝＝2a，
所以2a＝2，所以a＝1．故选A．]
12．一质点按照运动规律s＝2t2－t运动，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)，则质点在[2，2＋Δt]这段时间内的平均速度是________m/s，在t＝2时的瞬时速度是________m/s．
7＋2Δt　7　[＝
＝
＝＝7＋2Δt，
v＝＝7．]
13．一质点M做直线运动的位移(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系式为s(t)＝at2＋1，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值为________．
2　[因为质点M在t＝2到t＝2＋Δt的平均速度为＝＝＝4a＋aΔt，
所以＝4a＝8，解得a＝2．]
14．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点，求c的值．
[解]　设抛物线在点P处的切线斜率为k，则
k＝＝－5，
所以切线方程为y＝－5x，所以点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，将点P(－2，10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4．
15．若一物体运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系为s(t)＝
求：(1)物体在[3，5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
[解]　(1)因为物体在[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在[3，5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在[3，5]内的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为＝＝＝3Δt－18，所以物体在t＝0时的瞬时速度为＝＝－18，即物体的初速度为－18 m/s．
(3)因为＝＝＝3Δt－12，所以物体在t＝1时的瞬时速度为＝－12，即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s．
12/12(共55张PPT)
5.1.1　变化率问题
第五章　一元函数的导数及其应用
5.1　导数的概念及其意义
整体感知
[学习目标]　1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．(数学抽象)
2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(数学运算)
3．理解函数的平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的概念．(数学抽象)
(教师用书)
1．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝＋6.5t＋10．那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？
2．很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现随着气球内空气容量的增加，气球半径增加越来越慢，那么如何描述这种现象呢？
[讨论交流]
问题1．平均速度的定义是什么？
问题2．瞬时速度的定义是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　平均速度
探究问题1　某公路上存在一段长为2 km的测速路段，假定测速超过100 km/h即为超速，某汽车用时1.5分钟，它超速了吗？你觉得这种测速的本质是什么？
[提示]　记测速为v，则v＝＝80 km/h，因此它没有超速．这种测速的本质是汽车的平均速度．
[新知生成]
1．平均速度：我们把位移s看成关于时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间段[t1，t2]上的平均速度＝．
2．物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的____．
快慢
[典例讲评]　1．已知某质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(路程s的单位为m)，求：
(1)该质点在前3 s内运动的平均速度；
(2)该质点在2 s到3 s这段时间内运动的平均速度．
[解]　(1)依题意知Δt＝3，Δs＝s(3)－s(0)＝24，
所以平均速度为＝＝＝8(m/s)．
(2)由题意知Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝12，
所以平均速度为＝＝＝12(m/s)．
反思领悟　求物体运动的平均速度的步骤
(1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)．
(2)再计算时间的改变量t2－t1．
(3)得平均速度＝．
[学以致用]　1．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系s(t)＝t2＋1，该质点在[2，2＋Δt](Δt＞0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围．
[解]　质点在[2，2＋Δt]上的平均速度为
＝＝＝4＋Δt．
又≤5，即4＋Δt≤5，所以Δt≤1．
又Δt＞0，所以Δt的取值范围为(0，1]．
探究2　瞬时速度
探究问题2　区间[t0，t0＋Δt]表示时刻t0和其后某一时刻t0＋Δt，随着Δt的改变，区间变大或变小，如果Δt变成无限接近0的正数，那么我们该如何认识＝呢？
[提示]　用极限思想可以理解为t0时刻的瞬时速度．
[新知生成]
1．瞬时速度：物体在________的速度称为瞬时速度．
2．瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度．
3．设物体运动的时间与位移的函数关系为s＝s(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为v＝．
某一时刻
【教用·微提醒】　(1)“Δt→0”读作“Δt无限趋近于0”，是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，即|Δt|要多小就有多小，其含义是可以小于任何预先给定的正数，但Δt始终不能为零．
(2)当Δt→0，比值趋近于一个确定的常数时，此常数才称为物体在t＝t0时的瞬时速度．
(3)“lim”意为极限，＝l表示当Δt→0时，以常数l为极限．
[典例讲评]　2．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
[思路导引]　计算物体在[1，1＋Δt](Δt>0)或[1＋Δt，1](Δt<0)内的平均速度计算得t＝1 s时的瞬时速度．
[解]　∵＝＝＝3＋Δt，
∴＝＝3．
∴物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s．
[母题探究]　
1．在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．
[解]　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝＝＝1＋Δt，
∴＝1．
即物体的初速度为1 m/s．
2．在本例条件不变的前提下，试问：物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s．
[解]　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s．
又＝＝2t0＋1＋Δt．
＝＝2t0＋1，
则2t0＋1＝9，∴t0＝4，
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s．
反思领悟　求物体运动瞬时速度的主要步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求平均速度＝；
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v，即为瞬时速度，即v＝．
[学以致用]　2．火箭发射t s后，其高度(单位：m)为h(t)＝0.9t2．那么t＝________s时火箭的瞬时速度为3.6 m/s．
2　[＝＝＝0.9Δt＋1.8t0．
当Δt→0时，→1.8t0，即t＝t0时的瞬时速度为1.8t0，
由1.8t0＝3.6，得t0＝2．]
2
探究3　求曲线在某点处切线的斜率或方程
探究问题3　在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f (x)＝x2的割线P0P有什么变化趋势？
[提示]　当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置．
[新知生成]
1．切线的斜率：当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f (x)在点P0(x0，f (x0))处的切线，则切线P0T的斜率k0＝．
2．切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0．
【教用·微提醒】　(1)不管点P在点P0左侧附近，还是右侧附近，割线P0P的斜率k的表达式是一样的．
(2)极限的几何意义：曲线y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率．
[典例讲评]　3．若曲线y＝x3存在斜率为1的切线，试求出切线方程．
[解]　设曲线y＝x3在点处切线的斜率为1．
因为＝＝＋3x0Δx＋(Δx)2，
所以，当Δx→0时．
又切线的斜率为1，所以＝1，解得x0＝±，
所以在点和处切线的斜率为1．
由点斜式方程可得切线方程为y＝x－和y＝x＋．
反思领悟　求函数y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率的三个步骤
[学以致用]　3．求曲线y＝在x＝2处的切线方程．
[解]　因为Δy＝＝－1＝－，
所以＝－，
所以k＝＝＝－＝－1．
又x＝2时，y＝＝1，
所以切线方程为y－1＝－1×(x－2)，即x＋y－3＝0．
【教用·备选题】　曲线y＝在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，求x0与c．
[解]　Δy＝＝．
由于切线x－y＋c＝0的斜率为1，
所以1＝＝＝，解得x0＝－2．
当x0＝－2时，y0＝＝1，所以－2－1＋c＝0，解得c＝3．
故所求x0＝－2，c＝3．
2
4
3
题号
1
应用迁移
B　[由题意得，平均速度为＝－1．]
1．如图是某物体运动的位移s关于时间t的函数图象，则该物体在A，B两点间的平均速度等于(　　)
A．1　　 B．－1
C．2　　 D．－2
√
2
3
题号
1
4
2．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为 (　　)
A．6　　B．18　　C．54　　D．81
√
B　[由题可得＝＝＝18．故选B．]
2
3
题号
4
1
3．设曲线y＝f (x)在x＝1处切线的斜率为2，则＝________．
　[根据条件知k＝＝2，
∴＝＝．]
2
4
3
题号
1
4．过曲线y＝f (x)＝上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为________，在点(2，－2)处的切线斜率为________．
　1　[割线的斜率k＝＝＝＝2＝．
＝＝＝＝1，
故在点(2，－2)处的切线斜率为1．]
1
1．知识链：(1)平均速度．
(2)瞬时速度．
(3)曲线在某点处的切线方程．
2．方法链：定义法、极限思想．
3．警示牌：对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你理解的平均速度和瞬时速度有什么区别和联系？
[提示]　区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．
联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值．
2．曲线y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数什么样的实质？
[提示]　曲线y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数图象在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．
3．求曲线y＝f (x)在x＝x0处的切线方程的步骤是什么？
[提示]　①求斜率：k＝；
②写方程：用点斜式y－f (x0)＝k(x－x0)写出切线方程；
③变形式：将点斜式变为一般式．
课时分层作业(十二)　变化率问题
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、选择题
1．(多选)自由落体运动的公式为s(t)＝gt2(g取10 m/s2)．若v＝，则下列说法不正确的是(　　)
A．v是在0～1 s这段时间内的速度
B．v是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速度
C．5Δt＋10是物体在t＝1 s这一时刻的速度
D．5Δt＋10是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速度
√
√
题号
1
3
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15
ABC　[由平均速度的概念知v＝＝5Δt＋10．故A，B，C三项均错误，D项正确．]
题号
2
1
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13
2．某物体运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5－2t2，则该物体在时间[1，2]上的平均速度为(　　)
A．－6 m/s　　 B．2 m/s
C．－2 m/s　　 D．6 m/s
√
14
15
A　[平均速度为＝＝－6．故选A．]
题号
3
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13
1
3．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在[2，3]这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　)
A．2　　B．1　　C．－1　　D．6
√
14
15
B　[由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1．]
题号
4
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1
4．设函数f (x)＝x(x－6)，则此函数图象在x＝0处的切线斜率为(　　)
A．0　　B．－1　　C．3　　D．－6
√
14
15
D　[＝＝Δx－6，则切线斜率k＝＝＝－6．]
题号
2
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13
1
5．如果质点A沿直线运动的位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的函数关系为s(t)＝，那么该质点在t＝3秒时的瞬时速度(单位：米/秒)为(　　)
A．　　B．－　　C．　　D．－
√
14
15
D　[从t＝3秒到t＝(3＋Δt)(Δt＞0)秒的平均速度为＝＝＝－，所以＝＝－．故选D．]
题号
2
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1
二、填空题
6．如图，已知曲线y＝x2，P(0.4，0.16)是曲线上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，设点Q的横坐标为x，则割线PQ的斜率是________(用含x的式子表示)．
14
15
x＋0.4　[由题知Q(x，x2)，P(0.4，0.16)，所以割线PQ的斜率kPQ＝＝x＋0.4．]
x＋0.4
题号
2
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5
3
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13
1
7．已知曲线y＝上一点P(1，1)，则曲线在点P处的切线的斜率为________．
14
15
－2　[曲线y＝上一点P(1，1)，在点P处的切线的斜率为＝＝＝－2，所以曲线在点P处的切线的斜率为－2．]
－2
题号
2
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13
1
8．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则起跳后1 s时的瞬时速度是________ m/s．
14
15
－3.3　[起跳后1 s时的瞬时速度v＝{[－4.9(1＋Δt)2＋6.5(1＋Δt)＋10－(－4.9×12＋6.5×1＋10)]÷Δt}＝＝
＝－3.3(m/s)．]
－3.3
题号
9
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1
三、解答题
9．某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈．
(1)分别求物体在区间和上的平均速度；
(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义．
14
15
题号
9
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1
[解]　(1)物体在区间上的平均速度为＝＝＝．
物体在区间上的平均速度为＝＝＝．
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题号
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13
1
(2)由(1)可知－＝＞0，所以＜．
作出函数s(t)＝sin t在上的图象，如图所示，可以发现，在上，随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢．
14
15
题号
9
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1
10．某做直线运动的物体从时刻t到t＋Δt的位移为Δs，那么为(　　)
A．从时刻t到t＋Δt物体的平均速度
B．从时刻t到t＋Δt位移的平均变化率
C．当时刻为Δt时该物体的速度
D．该物体在t时刻的瞬时速度
√
14
15
题号
9
2
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1
D　[根据题意，做直线运动的物体，从时刻t到t＋Δt的这段时间里，时间的改变量为Δt，而物体的位移为Δs，那么为该物体在t时刻的瞬时速度．故选D．]
14
15
题号
9
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1
11．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)
A．1　　B．　　C．－　　D．－1
√
14
15
A　[因为＝＝＝2a，
所以2a＝2，所以a＝1．故选A．]
题号
9
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3
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1
12．一质点按照运动规律s＝2t2－t运动，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)，则质点在[2，2＋Δt]这段时间内的平均速度是________m/s，在t＝2时的瞬时速度是________m/s．
14
15
7＋2Δt　7　[＝＝＝＝7＋2Δt，
v＝＝7．]
7＋2Δt
7
题号
9
2
4
5
3
8
6
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1
13．一质点M做直线运动的位移(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系式为s(t)＝at2＋1，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值为________．
14
15
2　[因为质点M在t＝2到t＝2＋Δt的平均速度为＝＝＝4a＋aΔt，所以＝4a＝8，解得a＝2．]
2
题号
9
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1
14．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点，求c的值．
14
15
[解]　设抛物线在点P处的切线斜率为k，则
k＝＝－5，
所以切线方程为y＝－5x，所以点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，将点P(－2，10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4．
题号
9
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1
15．若一物体运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系为
s(t)＝
求：(1)物体在[3，5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
14
15
题号
9
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1
[解]　(1)因为物体在[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在[3，5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在[3，5]内的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为＝＝＝3Δt－18，所以物体在t＝0时的瞬时速度为＝＝－18，即物体的初速度为－18 m/s．
14
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题号
9
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4
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1
(3)因为＝＝＝3Δt－12，所以物体在t＝1时的瞬时速度为＝－12，即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s．
14
15
THANKS5.1　导数的概念及其意义
5.1.1　变化率问题
[学习目标]　1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．(数学抽象)
2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(数学运算)
3．理解函数的平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的概念．(数学抽象)
[讨论交流]
问题1．平均速度的定义是什么？
问题2．瞬时速度的定义是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　平均速度
探究问题1　某公路上存在一段长为2 km的测速路段，假定测速超过100 km/h即为超速，某汽车用时1.5分钟，它超速了吗？你觉得这种测速的本质是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．平均速度：我们把位移s看成关于时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间段[t1，t2]上的平均速度＝．
2．物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的________．
[典例讲评]　1．已知某质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(路程s的单位为m)，求：
(1)该质点在前3 s内运动的平均速度；
(2)该质点在2 s到3 s这段时间内运动的平均速度．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求物体运动的平均速度的步骤
(1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)．
(2)再计算时间的改变量t2－t1．
(3)得平均速度＝．
[学以致用]　1．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系s(t)＝t2＋1，该质点在[2，2＋Δt](Δt＞0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　瞬时速度
探究问题2　区间[t0，t0＋Δt]表示时刻t0和其后某一时刻t0＋Δt，随着Δt的改变，区间变大或变小，如果Δt变成无限接近0的正数，那么我们该如何认识＝呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．瞬时速度：物体在________的速度称为瞬时速度．
2．瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度．
3．设物体运动的时间与位移的函数关系为s＝s(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为v＝．
[典例讲评]　2．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
[思路导引]　计算物体在[1，1＋Δt](Δt>0)或[1＋Δt，1](Δt<0)内的平均速度计算得t＝1 s时的瞬时速度．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　
1．在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．在本例条件不变的前提下，试问：物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求物体运动瞬时速度的主要步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求平均速度＝；
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v，即为瞬时速度，即v＝．
[学以致用]　2．火箭发射t s后，其高度(单位：m)为h(t)＝0.9t2．那么t＝________s时火箭的瞬时速度为3.6 m/s．
探究3　求曲线在某点处切线的斜率或方程
探究问题3　在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f (x)＝x2的割线P0P有什么变化趋势？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．切线的斜率：当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f (x)在点P0(x0，f (x0))处的切线，则切线P0T的斜率k0＝．
2．切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0．
[典例讲评]　3．若曲线y＝x3存在斜率为1的切线，试求出切线方程．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求函数y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率的三个步骤
[学以致用]　3．求曲线y＝在x＝2处的切线方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．如图是某物体运动的位移s关于时间t的函数图象，则该物体在A，B两点间的平均速度等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
2．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为 (　　)
A．6 B．18 C．54 D．81
3．设曲线y＝f (x)在x＝1处切线的斜率为2，则＝________．
4．过曲线y＝f (x)＝上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为________，在点(2，－2)处的切线斜率为________．
1．知识链：(1)平均速度．
(2)瞬时速度．
(3)曲线在某点处的切线方程．
2．方法链：定义法、极限思想．
3．警示牌：对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位．
6/6

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