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(共62张PPT)
第2课时　导数的几何意义
第五章　一元函数的导数及其应用
5.1　导数的概念及其意义
5.1.2　导数的概念及其几何意义
整体感知
[学习目标]　1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．(数学建模)
2．会求导函数．(数学运算)
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(数学运算)
4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(逻辑推理、数学运算)．
(教师用书)
在数学的学习过程中，对于我们遇到的一些新知识不仅要学习它的定义、公式，还要学习它所具有的性质或几何意义，比如复数除了是一种数外，它可以与平面内的点、向量一一对应；数列{an}除了是一列有规律(或无规律)的数外，它可能还具有函数的性质……，同样地，导数除了代表瞬时变化率外，它还具有其他的意义吗？
[讨论交流]　
问题1．导数的几何意义是什么？
问题2．如何求曲线上某点处的切线方程？
问题3．导函数的定义是什么？它与函数在某点处的导数有何关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　导数的几何意义
探究问题1　在前面的课时中我们已经了解到曲线的切线斜率与函数的瞬时变化率的关系，也知道对于一般的曲线，平均变化率可以代表曲线的割线斜率，那么导数(即瞬时变化率)能代表曲线的切线斜率吗？
[提示]　k＝f ′(x0)＝适用于求一般曲线的切线斜率．
[新知生成]
函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f (x)在点P(x0，
f (x0))处的__________．也就是说，曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率是_____．相应地，切线方程为____________________．
【教用·微提醒】　切线的斜率k只与横坐标x0有关，与Δx无关．
切线的斜率
f ′(x0)
y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)
[典例讲评]　1．已知曲线C：y＝x3．
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程．
[思路导引]　(1)→→
(2)→→→
[解]　(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1)．
y′|x＝1＝＝＝＝3．
∴k＝y′|x＝1＝3，∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0．
(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝＝，由题意可知kPQ＝y′|x＝，
即＝，又y0＝，所以＝，
即＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－．
①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0．
②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0．
[母题探究]　
本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[解]　由解得或
从而求得公共点为(1，1)或(－2，－8)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一个公共点(－2，－8)．
【教用·备选题】　已知抛物线y＝f (x)＝2x2＋1．
(1)求抛物线在点P(1，3)处的切线方程；
(2)若抛物线在某点处的切线的倾斜角为45°，求该切点的坐标．
[解]　(1)因为Δy＝2(1＋Δx)2＋1－2×12－1＝4Δx＋2(Δx)2，所以＝4＋2Δx，
所以切线的斜率为＝4，所以切线的方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0．
(2)设切点坐标为(x0，y0)，
则Δy＝－1，所以＝4x0＋2Δx，
所以切线的斜率为＝4x0．
又因为切线的斜率为k＝tan 45°＝1，
所以4x0＝1，即x0＝，所以y0＝2×＋1＝，
所以切点坐标为．
反思领悟　利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
[学以致用]　1．已知曲线f (x)＝x3＋ax在x＝1处的切线与直线x＋4y＝0垂直，则实数a＝(　　)
A．2　　　B．1　　　C．－1　　　D．－2
√
B　[f ′(1)＝＝
＝＝3＋a．
又曲线f (x)在x＝1处的切线与直线x＋4y＝0垂直，∴f ′(1)·＝(3＋a)·＝－1，解得a＝1．]
探究2　利用导数的几何意义判断函数的变化
探究问题2　函数的单调性和导数有什么关系？
导数值的大小与函数变化的快慢有什么关系？
[提示]　当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h′(t0)＝0，这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)＜0，这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减．
当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)＜0，这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减．
通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的缓慢．
同理，t＝t3，t＝t4时都有h′(t)＞0，h(t)在各自附近单调递增，且曲线在t＝t3附近比在t＝t4附近上升的快．
[新知生成]
若f ′(x0)＝0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k＝__；
若f ′(x0)＞0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k__0，则函数在x＝x0附近________，且f ′(x0)越大，说明函数图象变化得越快；
若f ′(x0)＜0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k__0，且函数在x＝x0附近________，且|f ′(x0)|越大，说明函数图象变化得越快．
0
＞
单调递增
＜
单调递减
【教用·微提醒】　f ′(x0)的正负决定增减，|f ′(x0)|的大小决定快慢．
【链接·教材例题】
例4　图5.1-6是跳水运动中某运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t＝t0，t1，t2附近的变化情况．
[解]　我们用曲线h(t)在t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．
(1)当t＝t0时，曲线h(t)在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)＝0．这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
(2)当t＝t1时，曲线h(t)在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)＜0．这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．
(3)当t＝t2时，曲线h(t)在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)＜0．这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减．
从图5.1-6可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢．
[典例讲评]　2．已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是(　　)
A．f ′(xA)>f ′(xB)
B．f ′(xA)C．f ′(xA)＝f ′(xB)
D．不能确定
√
B　[由导数的几何意义，f ′(xA)，f ′(xB)分别是函数的图象在点A，B处切线的斜率，由题干图象可知，f ′(xA)反思领悟　导数的几何意义就是函数图象切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
(1)曲线f (x)在x＝x0附近的变化情况可通过x＝x0处的切线刻画．f ′(x0)＞0说明曲线在x＝x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x＝x0附近曲线是上升的；f ′(x0)＜0说明在x＝x0附近曲线是下降的．
(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
[学以致用]　2．已知函数f (x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　)
A．f ′(1)＜f ′(2)＜a
B．f ′(1)＜a＜f ′(2)
C．f ′(2)＜f ′(1)＜a
D．a＜f ′(1)＜f ′(2)
√
B　[由题图可知，函数在区间(0，＋∞)上的增长越来越快，∴f ′(1)＜f ′(2)，∵＝a，∴通过作切线与割线可得f ′(1)＜a＜f ′(2)，故选B．]
探究3　导函数(导数)
探究问题3　由前面所学知识可知，求函数在某一点处的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？
[提示]　这涉及函数在任意一点的导数问题，通过f ′(x0)＝可知f ′(x)＝，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个唯一确定的数，而是一个函数．
[新知生成]
对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)．y＝f (x)的导函数有时也记作y′，即f ′(x)＝y′＝．
【教用·微提醒】　(1) f ′(x0)是具体的值，是数值．
(2) f ′(x)是函数 f (x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数．
[典例讲评]　3．已知函数y＝f (x)＝x2－x，求：
(1) f ′(x)；(2) f (x)在x＝1处的导数．
[解]　(1)因为Δy＝f (x＋Δx)－f (x)＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx，所以＝2x＋Δx－，
所以f ′(x)＝＝2x－．
(2)由(1)知f ′(x)＝2x－，所以f ′(1)＝2×1－＝．
发现规律　求导函数的主要步骤
(1)求函数的增量Δy＝f (x＋Δx)－f (x)；
(2)求平均变化率＝；
(3)求极限，即f ′(x)＝．
[学以致用]　3．(源自北师大版教材)求y＝f (x)＝3x2－x的导数f ′(x)，并利用f ′(x)求f ′(1)，f ′(－2)，f ′(0)．
[解]　Δy＝f (x＋Δx)－f (x)＝3(x＋Δx)2－(x＋Δx)－(3x2－x)
＝3(Δx)2＋6xΔx－Δx．
＝＝3Δx＋6x－1．
当Δx趋于0时，得到导数
f ′(x)＝＝＝6x－1．
可得f ′(1)＝6×1－1＝5，f ′(－2)＝6×(－2)－1＝－13，
f ′(0)＝6×0－1＝－1．
1．下面说法正确的是(　　)
A．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线
B．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处有切线，则f ′(x0)必存在
C．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线，则f ′(x0)有可能存在
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
C　[根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立．故ABD错误．]
2
3
题号
1
4
2．某司机看见前方50 m处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是(　　)
√
A　　　　B　　　　C　　　　D
2
3
题号
1
4
A　[根据题意，刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项CD；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图象较陡，排除选项B．故选A．]
2
3
题号
4
1
3．如果曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(　　)
A．f ′(x0)＞0　　 B．f ′(x0)＜0
C．f ′(x0)＝0　　 D．f ′(x0)不存在
B　[由x＋2y－3＝0知斜率k＝－，∴f ′(x0)＝－＜0．故选B．]
√
2
4
3
题号
1
4．已知函数y＝ax2＋b的图象在其上点(1，3)处的切线斜率为2，则a＝________，b＝________．
1　2　[＝＝2a＝2，所以a＝1．又3＝a×12＋b，所以b＝2．]
1
2
1．知识链：(1)导数的几何意义．
(2)函数的单调性与导数的关系．
(3)导函数的概念．
2．方法链：方程思想、数形结合．
3．警示牌：切线过某点，这点不一定是切点．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．f ′(x0)是如何反映函数y＝f (x)的图象特征的？
[提示]　曲线的升降、切线的斜率与f ′(x0)的关系如下：
f ′(x0)的符号 曲线f (x)在x＝x0附近的升降情况 切线的斜率k 切线的倾斜角
f ′(x0)＞0 上升 k＞0 锐角
f ′(x0)＜0 下降 k＜0 钝角
f ′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切线与x轴平行)
2．函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)与导函数f ′(x)之间的区别和联系是什么？
[提示]　区别：①f ′(x0)是函数f (x)在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；
②f ′(x)是函数f (x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y＝f (x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f ′(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f ′(x)．
联系：函数f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．这也是求函数在x＝x0处的导数的方法之一．
3．曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线与曲线f (x)过点(x0，y0)的切线有什么不同？
[提示]　曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线，点(x0，f (x0))一定是切点，只要求出k＝f ′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f (x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
课时分层作业(十四)　导数的几何意义
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、选择题
1．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，P，Q两点横坐标之差为Δx，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x＋1　　 B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋3　　 D．y＝－2x－2
课时分层作业(十四)　导数的几何意义
题号
1
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B　[当Δx→0时，kPQ的极限为－2，则曲线在点P处的切线的斜率为－2，所以在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，整理可得y＝－2x－1．]
A　　　　　B　　　 　C　　　　D
题号
2
1
3
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2．已知函数f (x)满足f ′(x1)＞0，f ′(x2)＜0，则在x1和x2附近符合条件的f (x)的图象大致是(　　)
√
14
15
D　[由f ′(x1)＞0，f ′(x2)＜0可知，f (x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．故选D．]
题号
3
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4
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1
3．已知函数f (x)在x＝2附近可导，且＝－2，f (2)＝2，则
f (x)的图象在点(2，f (2))处的切线方程为(　　)
A．2x＋y－6＝0　　 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y－6＝0　　 D．x－2y＋2＝0
√
14
15
A　[∵＝－2，∴函数f (x)的图象在x＝2处的切线的斜率为k＝－2．∵f (2)＝2，∴切线过点(2，2)，∴切线方程为y－2＝－2(x－2)，即2x＋y－6＝0．故选A．]
题号
4
2
3
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6
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1
4．曲线y＝x3－2在点处的切线的倾斜角为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
√
14
15
B　[∵y′＝＝＝x2，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角为．故选B．]
题号
2
4
5
3
6
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13
1
5．(多选)若直线y＝kx＋1与曲线f (x)＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则(　　)
A．a＝－1　　 B．b＝3
C．k＝2　　 D．f ′(1)＝3
√
14
15
ABC　[由题意可得，由此解得
f ′(1)＝k＝2，D错误．故选ABC．]
√
√
题号
2
4
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3
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1
二、填空题
6．如图，函数y＝f (x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________．
14
15
2　[由函数y＝f (x)的图象在点P(5，f (5))处的切线方程是y＝－x＋8，得切线斜率k＝f ′(5)＝－1，又由切点P既在函数y＝f (x)的图象上又在切线上，得f (5)＝3，则f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2．]
2
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
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11
12
13
1
7．曲线y＝－在点处的切线方程为____________．
14
15
4x－y－4＝0　[先求y＝－的导数，Δy＝＝＝＝＝，即y′＝，所以曲线y＝－在点处的切线斜率k＝＝4，所以切线方程是y＋2＝4，即4x－y－4＝0．]
4x－y－4＝0
题号
2
4
5
3
8
6
7
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1
8．已知f (x)＝x2＋ax，f ′(1)＝4，曲线f (x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________．
14
15
2　[由导数的几何意义，得切线的斜率k＝f ′(1)＝4．又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f (x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，从而可得切点坐标为(1，3)，所以f (1)＝1＋a＝3，即a＝2．]
2
题号
9
2
4
5
3
8
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1
三、解答题
9．设P0为曲线f (x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，求点P0的坐标．
14
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题号
9
2
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3
8
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1
[解]　设P0(x0，y0)．
∵f ′(x)＝＝＝3x2＋1，
∴f ′(x0)＝＋1．
∵曲线f (x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝＋1＝4，解得x0＝±1．
当x0＝1时，y0＝0；
当x0＝－1时，y0＝－4．
∴点P0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．
14
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题号
9
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3
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1
10．若曲线y＝x＋上任意一点P处的切线的斜率为k，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)　　 B．(－1，1)
C．(－∞，1)　　 D．(1，＋∞)
14
15
√
题号
9
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1
C　[y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率
k＝
＝＝＜1，即k＜1．]
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题号
9
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1
11．已知函数f (x)在R上可导，f (x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是(　　)
A．f ′(a)＜f ′(b)＜f ′(c)
B．f ′(b)＜f ′(c)＜f ′(a)
C．f ′(a)＜f ′(c)＜f ′(b)
D．f ′(c)＜f ′(a)＜f ′(b)
√
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题号
9
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3
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1
A　[如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k1＜k2＜k3，又f ′(a)＝k1，f ′(b)＝k2，f ′(c)＝k3，所以f ′(a)＜f ′(b)＜f ′(c)．故选A．]
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题号
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1
12．函数y＝(x－1)2的导数是(　　)
A．－2　　 B．(x－1)2
C．2(x－1)　　 D．2(1－x)
√
14
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C　[y′＝＝
＝＝2x－2＝2(x－1)．]
题号
9
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13
1
13．已知y＝f (x)＝mx2＋n，且f (1)＝－1，f (x)的导函数f ′(x)＝4x，则m＝________，n＝________．
14
15
2　－3　[＝＝＝mΔx＋2mx，
故f ′(x)＝＝＝2mx＝4x，所以m＝2．
又f (1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3，
故m＝2，n＝－3．]
2
－3
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14．在曲线y＝x2上某点P处的切线满足下列条件，分别求出点P．
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°．
14
15
[解]　f ′(x)＝＝＝2x，
设P(x0，y0)是满足条件的点．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
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11
12
13
1
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，得x0＝2，y0＝4，此时切线方程是y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4，与直线y＝4x－5平行，∴P(2，4)是满足条件的点．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点．
(3)∵切线的倾斜角为135°，
∴其斜率为－1．
即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
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13
1
15．点P在曲线 f (x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝
－2x2－1相切，求点P的坐标．
14
15
[解]　设P(x0，y0)，则y0＝＋1，
f ′(x0)＝＝2x0，
所以在点P处的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
即y＝，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
由
得＝0，
则Δ＝＝0，
解得x0＝±，则y0＝，所以点P的坐标为或．
14
15
THANKS(共62张PPT)
第1课时　导数的概念
第五章　一元函数的导数及其应用
5.1　导数的概念及其意义
5.1.2　导数的概念及其几何意义
整体感知
[学习目标]　1．了解导数概念的实际背景．(数学抽象)
2．理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．(数学抽象、直观想象)
(教师用书)
17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独立研究和完成了微积分的创立工作，他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析．作为微分学基础的极限理论来说，早在我国的古代也已经有比较清楚的论述，比如庄周所著的《庄子·杂篇·天下》中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这些都是朴素的，也是很典型的极限概念．那么这种极限思想对于函数来说有什么意义吗？这就是我们今天要讲的导数．
[讨论交流]　
问题1．函数的平均变化率与瞬时变化率有什么关系？
问题2．瞬时变化率的几何意义是什么？
问题3．函数在x＝x0处的导数是什么含义？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　导数的概念
探究问题1　类比平均速度与瞬时速度的关系，瞬时变化率的几何意义是什么？
[提示]　瞬时变化率为＝，其几何意义是曲线的切线斜率．
[新知生成]
1．平均变化率
对于函数y＝f (x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f (x0)变化到f (x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
2．导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处____，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在______处的____(也称为瞬时变化率)，记作______或，即f ′(x0)＝＝．
可导
x＝x0
导数
f '(x0)
y'
【教用·微提醒】　(1)平均变化率＝的几何意义就是函数y＝f (x)图象上的两点(x0，f (x0))与(x0＋Δx，f (x0＋Δx))所在直线的斜率．
(2)在导数定义中增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪一种形式，相应的Δy也必须选择对应的形式，即深刻理解定义，牢固掌握概念形式．
【链接·教材例题】
例1　设f (x)＝，求f ′(1)．
[解]　f ′(1)＝
＝＝＝－1．
[典例讲评]　1．已知函数y＝f (x)＝2x2＋1．
(1)求函数f (x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
(2)求函数f (x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；
(3)求函数f (x)在x＝2处的瞬时变化率．
[解]　(1)∵Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)
＝－1＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴函数f (x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝4x0＋2Δx．
(2)由(1)可知＝4x0＋2Δx，
当x0＝2，Δx＝0.01时，
＝4×2＋2×0.01＝8.02，
即函数f (x)在区间[2，2.01]上的平均变化率为8.02．
(3)Δy＝f (2＋Δx)－f (2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2×22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx．
∴＝2Δx＋8．
故函数f (x)在x＝2处的瞬时变化率为＝＝8．
反思领悟　求瞬时变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f (x2)－f (x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1．
(3)得平均变化率＝．
(4)得瞬时变化率．
[学以致用]　1．已知函数f (x)＝－．
(1)函数f (x)在区间[1，1.5]，[1，1.1]上的平均变化率各是多少？
(2)函数f (x)在x＝1处的瞬时变化率是多少？
[解]　(1)∵f (x)＝－，
∴f (1)＝－6，f (1.5)＝－4，f (1.1)＝－，
∴该函数在区间[1，1.5]上的平均变化率为＝＝4，
在区间[1，1.1]上的平均变化率为＝＝．
(2)函数f (x)在x＝1处的瞬时变化率为
＝＝＝＝6．
探究2　导数定义的应用
[典例讲评]　2．(源自北师大版教材)求函数y＝f (x)＝＋x在下列各点处的导数：
(1)x＝1；(2)x＝x0．
[解]　(1)Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝＋(1＋Δx)－＝＋Δx．
＝＋1．
当Δx趋于0时，得到导数f ′(1)＝＝＝－1．
(2)Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)＝＋(x0＋Δx)－＝＋Δx．
＝＋1．
当Δx趋于0时，得到导数
f ′(x0)＝＝＝＋1．
发现规律　求一个函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy＝．
(2)求平均变化率＝．
(3)取极限，得导数f ′(x0)＝．
f (x0＋Δx)－f (x0)
[学以致用]　2．函数y＝在x＝1处的导数为________．
－2　[因为Δy＝＝＝，
所以＝，
所以y′|x＝1＝＝＝－2，
即函数y＝在x＝1处的导数为－2．]
－2
探究3　导数定义式的运用
[典例讲评]　3．已知奇函数f (x)满足f ′(－1)＝1，则＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．1　　　D．－1
B　[∵f (x)是奇函数且f ′(－1)＝1，
∴＝＝f ′(－1)＝．
故选B．]
√
反思领悟　由导数的定义可知，若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，则
f ′(x0)＝，它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f (1－Δx)－f (1)时，分母也应该是(1－Δx)－1，要注意公式的变形．
[学以致用]　3．已知函数f (x)在x＝x0处可导，若＝2，则f ′(x0)＝(　　)
A．1　　B．　　C．2　　D．8
√
B　[函数f (x)在x＝x0处可导，
f ′(x0)＝＝＝×2＝．故选B．]
【教用·备选题】　一条水管中流出的水量y(单位：m3)关于时间t(单位：s)的函数为y＝f (t)＝t2＋7t＋15(0≤t≤8)．计算2 s和6 s时，函数的瞬时变化率，并说明它们的实际意义．
[解]　当t＝2时，＝
＝＝＝Δt＋11．
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11．
同理可得当t＝6时，Δt无限趋近于0时，无限趋近于19．在2 s与6 s时，函数的瞬时变化率分别为11与19．
它说明在2 s附近，水流大约以11 m3/s的速度流出，在6 s附近，水流大约以19 m3/s的速度流出．
【链接·教材例题】
例2　将原油精炼为汽油、些油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f (x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
探究4　导数在实际问题中的意义
[解]　在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)．
根据导数的定义，
＝＝
＝＝Δx－3，
所以f ′(2)＝＝＝－3．
同理可得f ′(6)＝5．
在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 ℃/h与
5 ℃/h．说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升．
一般地，f ′(x0)(0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．
【链接·教材例题】
例3　一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设汽车在某一路段内t s时的速度(单位：m/s)为y＝v(t)＝－t2＋6t＋17，求汽车在第2 s与第
6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义．
分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率．因此，在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2)，v′(6)．
[解]　在第2 s和第6 s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和v′(6)．
根据导数的定义，
＝＝＝－Δt＋2，
所以v′(2)＝＝＝2．
同理可得v′(6)＝－6．
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与－6 m/s2．说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少
6 m/s．
[典例讲评]　4．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
(1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？
(2)求T ′(5)，并说明它的实际意义．
[解]　(1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率为
＝＝－＝－1.6，
它表示从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃．
(2)T′(5)＝＝＝－1.2，
∴T′(5)表示当t＝5 min时，蜥蜴的体温下降的瞬时速度为1.2 ℃/min．
反思领悟　导数的物理意义是：函数y＝f (x)在x＝x0处的导数即为它的瞬时变化率．
[学以致用]　4．某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：万元)与产量x(单位：千台)之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7x＋6．求c′(1)与c′(2)，并说明它们的实际意义．
[解]　设x＝1时产量的改变量为Δx，
则＝＝＝－2Δx＋3，
c′(1)＝＝＝3，
设x＝2时产量的改变量为Δx，
则＝＝＝－2Δx－1，
c′(2)＝＝＝－1．
c′(1)的实际意义：当产量为1千台时，多生产1千台旋切机可多获利3万元；
c′(2)的实际意义：当产量为2千台时，多生产1千台旋切机少获利1万元．
1．函数y＝f (x)＝x2在x＝1处的导数为(　　)
A．2x　　B．2　　C．－2　　D．±2
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
B　[f ′(1)＝＝
＝＝＝2．故选B．]
2
3
题号
1
4
2．设f (x)是可导函数，且＝2，则f ′(1)＝(　　)
A．　　B．－1　　C．0　　D．－2
√
B　[＝－2＝－2f ′(1)＝2，
则f ′(1)＝－1．故选B．]
2
3
题号
4
1
3．函数f (x)＝x2－1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为(　　)
A．2x0－1　　 B．2x0＋Δx
C．2x0Δx＋(Δx)2　　 D．(Δx)2－Δx＋1
B　[根据定义，平均变化率为＝＝2x0＋Δx．故选B．]
√
2
4
3
题号
1
4．已知函数y＝f (x)＝－x2＋x在区间[t，1]上的平均变化率为2，则t＝________．
－2　[∵Δy＝f (1)－f (t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，
∴＝＝－t．
又∵＝2，∴t＝－2．]
－2
1．知识链：(1)导数的概念．
(2)导数定义的应用．
(3)导数在实际问题中的意义．
2．方法链：定义法．
3．警示牌：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你是如何理解的？它的意义是什么？
[提示]　的实质是函数在某一区间内函数值变化量与自变量变化量之比，它的意义是刻画函数的函数值在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢．
2．如何理解导数的概念？
[提示]　①函数应在x＝x0的附近有定义，否则导数不存在；②导数是一个局部概念，它只与函数y＝f (x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关；③导数的实质是一个极限值．
一、选择题
1．已知函数y＝f (x)＝x2＋3，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率为(　　)
A．1　　B．1.1　　C．2　　D．2.1
课时分层作业(十三)　导数的概念
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
D　[＝＝＝2.1．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．设函数f (x)＝x2＋x，则＝(　　)
A．－6　　B．－3　　C．3　　D．6
√
14
15
C　[f (1＋Δx)－f (1)＝(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－1－1＝(Δx)2＋3Δx，
∴＝
＝＝3．故选C．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．函数f (x)＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，则m＝(　　)
A．　　B．1　　C．2　　D．
√
14
15
B　[函数f (x)＝x2在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝2，f (x)＝x2在x＝m时的瞬时变化率为＝＝2m，所以2＝2m，解得m＝1．故选B．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．设函数y＝f (x)在x＝x0的附近有定义，且有f (x0＋Δx)－f (x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A．f ′(x)＝a　　 B．f ′(x)＝b
C．f ′(x0)＝a　　 D．f ′(x0)＝b
√
14
15
C　[∵＝＝a＋bΔx，
∴f ′(x0)＝＝a．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，且＝1，则
f ′(x0)＝(　　)
A．0　　B．1　　C．3　　D．
√
14
15
D　[因为＝1，所以3＝1，
所以3f ′(x0)＝1，所以f ′(x0)＝，故选D．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
二、填空题
6．若函数y＝f (x)＝，且f ′(m)＝－，则m的值等于________．
14
15
±2　[因为＝＝＝，
所以f ′(m)＝＝－，
所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2．]
±2
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
7．函数f (x)＝x4在区间[a，2a]上的平均变化率为15，则实数a的值为________．
14
15
1　[由区间可知2a＞a，可得a＞0，
又由＝＝15a3＝15，解得a＝1．]
1
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
8．已知球的体积V是关于半径r的函数，V(r)＝，则当r＝2时，球的体积的瞬时变化率为________．
14
15
16π　[∵ΔV＝V(2＋Δr)－V(2)＝＝，∴＝[12＋6Δr＋(Δr)2]，∴＝16π．]
16π
题号
9
2
4
5
3
8
6
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10
11
12
13
1
三、解答题
9．已知函数f (x)＝求函数f (x)在x＝2和x＝4处的导数．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
[解]　当1≤x＜3时，f (x)＝3x2＋1，
f ′(2)＝＝＝＝12．
当x≥3时，f (x)＝2＋3(x－3)2，
f ′(4)＝＝
＝＝＝6．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
10．已知函数f (x)在x＝x0处的导数为12，则＝(　　)
A．－4　　B．4　　C．－36　　D．36
√
14
15
A　[因为函数f (x)在x＝x0处的导数为12，
则＝－＝－f ′(x0)＝－×12＝
－4．故选A．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
11．下列四个函数中，在区间[0，1]上的平均变化率最大的为(　　)
A．y＝x　　 B．y＝ex
C．y＝sin x　　 D．y＝
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
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11
12
13
1
B　[对于A，y＝x在[0，1]上的平均变化率为＝1；
对于B，y＝ex在[0，1]上的平均变化率为＝e－1；
对于C，y＝sin x在[0，1]上的平均变化率为＝sin 1；
对于D，y＝在[0，1]上的平均变化率为＝－．
故选B．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
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13
1
12．如图，函数y＝f (x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x1，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是(　　)
A．[x1，x2]　　
B．[x2，x3]
C．[x1，x3]　　
D．[x3，x4]
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
D　[由题可得函数f (x)在[x1，x2]上的平均变化率为P1＝＞0，函数f (x)在[x2，x3]上的平均变化率为P2＝＜0，函数
f (x)在[x1，x3]上的平均变化率为P3＝＜0，函数f (x)在[x3，x4]上的平均变化率为P4＝＞0，结合函数y＝f (x)的图象，可得P2＜P3＜0＜P1＜P4．故选D．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
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6
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11
12
13
1
13．设函数y＝f (x)＝mx3＋2，若f ′(－1)＝3，则m＝________．
14
15
1　[∵Δy＝f (－1＋Δx)－f (－1)＝m(－1＋Δx)3＋m＝3mΔx－3m(Δx)2＋m(Δx)3，
∴＝3m－3mΔx＋m(Δx)2，
∴f ′(－1)＝＝3m，
由f ′(－1)＝3，得3m＝3，
∴m＝1．]
1
题号
9
2
4
5
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6
7
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12
13
1
14．一只昆虫的爬行路程s(单位：米)关于时间t(单位：分钟)的函数关系式为s(t)＝求s′(1)与s′(4)，并解释它们的实际意义．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
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10
11
12
13
1
[解]　当0≤t＜3时，s(t)＝3t2，
＝＝＝6＋3Δt，
∴s′(1)＝＝＝6．
当t≥3时，s(t)＝15＋3(t－1)2，
＝＝＝18＋3Δt，
∴s′(4)＝＝＝18．
s′(1)＝6说明在第1分钟附近时，该昆虫的爬行速度为6米/分钟，s′(4)＝18说明在第4分钟附近时，该昆虫的爬行速度为18米/分钟．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
15．一小球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s(t)＝t2(位移单位：m，时间单位：s)．求小球在5 s～6 s间的平均速度和5 s～5.1 s间的平均速度，并与用匀加速直线运动速度公式求得的t＝5 s时的瞬时速度进行比较．
14
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题号
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1
[解]　小球在5 s～6 s间的平均速度为
＝＝36－25＝11(m/s)，
在5 s～5.1 s间的平均速度为
＝＝＝10.1(m/s)，
因为s＝t2，所以t＝5 s时的瞬时速度为
v＝＝＝10(m/s)．
所以5 s～5.1 s间的平均速度更接近5 s时的瞬时速度．
14
15
THANKS5.1.2　导数的概念及其几何意义
第1课时　导数的概念
[学习目标]　1．了解导数概念的实际背景．(数学抽象)
2．理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．(数学抽象、直观想象)
(教师用书)
17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独立研究和完成了微积分的创立工作，他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析．作为微分学基础的极限理论来说，早在我国的古代也已经有比较清楚的论述，比如庄周所著的《庄子·杂篇·天下》中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这些都是朴素的，也是很典型的极限概念．那么这种极限思想对于函数来说有什么意义吗？这就是我们今天要讲的导数．
[讨论交流]　
问题1．函数的平均变化率与瞬时变化率有什么关系？
问题2．瞬时变化率的几何意义是什么？
问题3．函数在x＝x0处的导数是什么含义？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　导数的概念
探究问题1　类比平均速度与瞬时速度的关系，瞬时变化率的几何意义是什么？
[提示]　瞬时变化率为＝，其几何意义是曲线的切线斜率．
[新知生成]
1．平均变化率
对于函数y＝f (x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f (x0)变化到f (x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
2．导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或，即f ′(x0)＝＝．
【教用·微提醒】　(1)平均变化率＝的几何意义就是函数y＝f (x)图象上的两点(x0，f (x0))与(x0＋Δx，f (x0＋Δx))所在直线的斜率．
(2)在导数定义中增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪一种形式，相应的Δy也必须选择对应的形式，即深刻理解定义，牢固掌握概念形式．
【链接·教材例题】
例1　设f (x)＝，求f ′(1)．
[解]　f ′(1)＝
＝＝＝－1．
[典例讲评]　1．已知函数y＝f (x)＝2x2＋1．
(1)求函数f (x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
(2)求函数f (x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；
(3)求函数f (x)在x＝2处的瞬时变化率．
[解]　(1)∵Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)
＝－1
＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴函数f (x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝4x0＋2Δx．
(2)由(1)可知＝4x0＋2Δx，
当x0＝2，Δx＝0.01时，
＝4×2＋2×0.01＝8.02，
即函数f (x)在区间[2，2.01]上的平均变化率为8.02．
(3)Δy＝f (2＋Δx)－f (2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2×22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx．
∴＝2Δx＋8．
故函数f (x)在x＝2处的瞬时变化率为＝＝8．
　求瞬时变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f (x2)－f (x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1．
(3)得平均变化率＝．
(4)得瞬时变化率．
[学以致用]　1．已知函数f (x)＝－．
(1)函数f (x)在区间[1，1.5]，[1，1.1]上的平均变化率各是多少？
(2)函数f (x)在x＝1处的瞬时变化率是多少？
[解]　(1)∵f (x)＝－，
∴f (1)＝－6，f (1.5)＝－4，f (1.1)＝－，
∴该函数在区间[1，1.5]上的平均变化率为
＝＝4，
在区间[1，1.1]上的平均变化率为
＝＝．
(2)函数f (x)在x＝1处的瞬时变化率为
＝＝＝＝6．
探究2　导数定义的应用
[典例讲评]　2．(源自北师大版教材)求函数y＝f (x)＝＋x在下列各点处的导数：
(1)x＝1；(2)x＝x0．
[解]　(1)Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝＋(1＋Δx)－
＝＋Δx．
＝＋1．
当Δx趋于0时，得到导数
f ′(1)＝＝＝－1．
(2)Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)＝＋(x0＋Δx)－＝＋Δx．
＝＋1．
当Δx趋于0时，得到导数
f ′(x0)＝＝＝＋1．
　求一个函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)．
(2)求平均变化率＝．
(3)取极限，得导数f ′(x0)＝．
[学以致用]　2．函数y＝在x＝1处的导数为________．
－2　[因为Δy＝＝＝，
所以＝，
所以y′|x＝1＝＝＝－2，
即函数y＝在x＝1处的导数为－2．]
探究3　导数定义式的运用
[典例讲评]　3．已知奇函数f (x)满足f ′(－1)＝1，则＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．1　　　D．－1
B　[∵f (x)是奇函数且f ′(－1)＝1，
∴
＝＝f ′(－1)＝．
故选B．]
　由导数的定义可知，若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，则f ′(x0)＝，它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f (1－Δx)－f (1)时，分母也应该是(1－Δx)－1，要注意公式的变形．
[学以致用]　3．已知函数f (x)在x＝x0处可导，若＝2，则f ′(x0)＝(　　)
A．1 B． C．2 D．8
B　[函数f (x)在x＝x0处可导，
f ′(x0)＝
＝＝×2＝．故选B．]
【教用·备选题】　一条水管中流出的水量y(单位：m3)关于时间t(单位：s)的函数为y＝f (t)＝t2＋7t＋15(0≤t≤8)．计算2 s和6 s时，函数的瞬时变化率，并说明它们的实际意义．
[解]　当t＝2时，＝
＝
＝＝Δt＋11．
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11．
同理可得当t＝6时，Δt无限趋近于0时，无限趋近于19．在2 s与6 s时，函数的瞬时变化率分别为11与19．
它说明在2 s附近，水流大约以11 m3/s的速度流出，在6 s附近，水流大约以19 m3/s的速度流出．
探究4　导数在实际问题中的意义
【链接·教材例题】
例2　将原油精炼为汽油、些油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f (x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
[解]　在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)．
根据导数的定义，
＝
＝
＝
＝Δx－3，
所以f ′(2)＝＝＝－3．
同理可得
f ′(6)＝5．
在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 ℃/h与5 ℃/h．说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升．
一般地，f ′(x0)(0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．
【链接·教材例题】
例3　一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设汽车在某一路段内t s时的速度(单位：m/s)为y＝v(t)＝－t2＋6t＋17，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义．
分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率．因此，在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2)，v′(6)．
[解]　在第2 s和第6 s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和v′(6)．
根据导数的定义，
＝＝＝－Δt＋2，
所以v′(2)＝＝＝2．
同理可得
v′(6)＝－6．
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与－6 m/s2．说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s．
[典例讲评]　4．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
(1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？
(2)求T ′(5)，并说明它的实际意义．
[解]　(1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率为
＝＝－＝－1.6，
它表示从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃．
(2)T′(5)＝＝＝－1.2，
∴T′(5)表示当t＝5 min时，蜥蜴的体温下降的瞬时速度为1.2 ℃/min．
　导数的物理意义是：函数y＝f (x)在x＝x0处的导数即为它的瞬时变化率．
[学以致用]　4．某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：万元)与产量x(单位：千台)之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7x＋6．求c′(1)与c′(2)，并说明它们的实际意义．
[解]　设x＝1时产量的改变量为Δx，
则＝＝＝－2Δx＋3，
c′(1)＝＝＝3，
设x＝2时产量的改变量为Δx，
则＝
＝＝－2Δx－1，
c′(2)＝＝＝－1．
c′(1)的实际意义：当产量为1千台时，多生产1千台旋切机可多获利3万元；
c′(2)的实际意义：当产量为2千台时，多生产1千台旋切机少获利1万元．
1．函数y＝f (x)＝x2在x＝1处的导数为(　　)
A．2x B．2 C．－2 D．±2
B　[f ′(1)＝＝
＝＝＝2．故选B．]
2．设f (x)是可导函数，且＝2，则f ′(1)＝(　　)
A． B．－1 C．0 D．－2
B　[＝－2＝－2f ′(1)＝2，
则f ′(1)＝－1．故选B．]
3．函数f (x)＝x2－1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为(　　)
A．2x0－1 B．2x0＋Δx
C．2x0Δx＋(Δx)2 D．(Δx)2－Δx＋1
B　[根据定义，平均变化率为＝＝2x0＋Δx．故选B．]
4．已知函数y＝f (x)＝－x2＋x在区间[t，1]上的平均变化率为2，则t＝________．
－2　[∵Δy＝f (1)－f (t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，
∴＝＝－t．
又∵＝2，∴t＝－2．]
1．知识链：(1)导数的概念．
(2)导数定义的应用．
(3)导数在实际问题中的意义．
2．方法链：定义法．
3．警示牌：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你是如何理解的？它的意义是什么？
[提示]　的实质是函数在某一区间内函数值变化量与自变量变化量之比，它的意义是刻画函数的函数值在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢．
2．如何理解导数的概念？
[提示]　①函数应在x＝x0的附近有定义，否则导数不存在；②导数是一个局部概念，它只与函数y＝f (x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关；③导数的实质是一个极限值．
课时分层作业(十三)　导数的概念
一、选择题
1．已知函数y＝f (x)＝x2＋3，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率为(　　)
A．1 B．1.1 C．2 D．2.1
D　[＝＝＝2.1．故选D．]
2．设函数f (x)＝x2＋x，则＝(　　)
A．－6 B．－3 C．3 D．6
C　[f (1＋Δx)－f (1)＝(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－1－1＝(Δx)2＋3Δx，
∴＝
＝＝3．故选C．]
3．函数f (x)＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，则m＝(　　)
A． B．1 C．2 D．
B　[函数f (x)＝x2在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝2，f (x)＝x2在x＝m时的瞬时变化率为＝＝2m，
所以2＝2m，解得m＝1．故选B．]
4．设函数y＝f (x)在x＝x0的附近有定义，且有f (x0＋Δx)－f (x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A．f ′(x)＝a B．f ′(x)＝b
C．f ′(x0)＝a D．f ′(x0)＝b
C　[∵＝＝a＋bΔx，
∴f ′(x0)＝＝a．]
5．若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，且＝1，则f ′(x0)＝(　　)
A．0 B．1 C．3 D．
D　[因为＝1，
所以3＝1，
所以3f ′(x0)＝1，
所以f ′(x0)＝，故选D．]
二、填空题
6．若函数y＝f (x)＝，且f ′(m)＝－，则m的值等于________．
±2　[因为＝
＝＝，
所以f ′(m)＝＝－，
所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2．]
7．函数f (x)＝x4在区间[a，2a]上的平均变化率为15，则实数a的值为________．
1　[由区间可知2a＞a，可得a＞0，
又由＝＝15a3＝15，解得a＝1．]
8．已知球的体积V是关于半径r的函数，V(r)＝，则当r＝2时，球的体积的瞬时变化率为________．
16π　[∵ΔV＝V(2＋Δr)－V(2)＝＝，∴＝[12＋6Δr＋(Δr)2]，∴＝16π．]
三、解答题
9．已知函数f (x)＝求函数f (x)在x＝2和x＝4处的导数．
[解]　当1≤x＜3时，f (x)＝3x2＋1，
f ′(2)＝
＝＝＝12．
当x≥3时，f (x)＝2＋3(x－3)2，
f ′(4)＝
＝
＝＝＝6．
10．已知函数f (x)在x＝x0处的导数为12，则＝(　　)
A．－4 B．4 C．－36 D．36
A　[因为函数f (x)在x＝x0处的导数为12，
则＝－＝－f ′(x0)＝－×12＝－4．故选A．]
11．下列四个函数中，在区间[0，1]上的平均变化率最大的为(　　)
A．y＝x B．y＝ex
C．y＝sin x D．y＝
B　[对于A，y＝x在[0，1]上的平均变化率为＝1；
对于B，y＝ex在[0，1]上的平均变化率为＝e－1；
对于C，y＝sin x在[0，1]上的平均变化率为＝sin 1；
对于D，y＝在[0，1]上的平均变化率为＝－．
故选B．]
12．如图，函数y＝f (x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x1，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是(　　)
A．[x1，x2] B．[x2，x3]
C．[x1，x3] D．[x3，x4]
D　[由题可得函数f (x)在[x1，x2]上的平均变化率为P1＝＞0，函数f (x)在[x2，x3]上的平均变化率为P2＝＜0，函数f (x)在[x1，x3]上的平均变化率为P3＝＜0，函数f (x)在[x3，x4]上的平均变化率为P4＝＞0，结合函数y＝f (x)的图象，可得P2＜P3＜0＜P1＜P4．故选D．]
13．设函数y＝f (x)＝mx3＋2，若f ′(－1)＝3，则m＝________．
1　[∵Δy＝f (－1＋Δx)－f (－1)＝m(－1＋Δx)3＋m＝3mΔx－3m(Δx)2＋m(Δx)3，
∴＝3m－3mΔx＋m(Δx)2，
∴f ′(－1)＝＝3m，
由f ′(－1)＝3，得3m＝3，
∴m＝1．]
14．一只昆虫的爬行路程s(单位：米)关于时间t(单位：分钟)的函数关系式为s(t)＝求s′(1)与s′(4)，并解释它们的实际意义．
[解]　当0≤t＜3时，s(t)＝3t2，
＝＝＝6＋3Δt，
∴s′(1)＝＝＝6．
当t≥3时，s(t)＝15＋3(t－1)2，
＝＝＝18＋3Δt，
∴s′(4)＝＝＝18．
s′(1)＝6说明在第1分钟附近时，该昆虫的爬行速度为6米/分钟，s′(4)＝18说明在第4分钟附近时，该昆虫的爬行速度为18米/分钟．
15．一小球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s(t)＝t2(位移单位：m，时间单位：s)．求小球在5 s～6 s间的平均速度和5 s～5.1 s间的平均速度，并与用匀加速直线运动速度公式求得的t＝5 s时的瞬时速度进行比较．
[解]　小球在5 s～6 s间的平均速度为
＝＝36－25＝11(m/s)，
在5 s～5.1 s间的平均速度为
＝＝＝10.1(m/s)，
因为s＝t2，所以t＝5 s时的瞬时速度为
v＝＝＝10(m/s)．
所以5 s～5.1 s间的平均速度更接近5 s时的瞬时速度．
13/13第2课时　导数的几何意义
[学习目标]　1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．(数学建模)
2．会求导函数．(数学运算)
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(数学运算)
4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(逻辑推理、数学运算)．
(教师用书)
在数学的学习过程中，对于我们遇到的一些新知识不仅要学习它的定义、公式，还要学习它所具有的性质或几何意义，比如复数除了是一种数外，它可以与平面内的点、向量一一对应；数列{an}除了是一列有规律(或无规律)的数外，它可能还具有函数的性质……，同样地，导数除了代表瞬时变化率外，它还具有其他的意义吗？
[讨论交流]　
问题1．导数的几何意义是什么？
问题2．如何求曲线上某点处的切线方程？
问题3．导函数的定义是什么？它与函数在某点处的导数有何关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　导数的几何意义
探究问题1　在前面的课时中我们已经了解到曲线的切线斜率与函数的瞬时变化率的关系，也知道对于一般的曲线，平均变化率可以代表曲线的割线斜率，那么导数(即瞬时变化率)能代表曲线的切线斜率吗？
[提示]　k＝f ′(x0)＝适用于求一般曲线的切线斜率．
[新知生成]
函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率是f ′(x0)．相应地，切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
【教用·微提醒】　切线的斜率k只与横坐标x0有关，与Δx无关．
[典例讲评]　1．已知曲线C：y＝x3．
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程．
[思路导引]　(1)→→
(2)→→→
[解]　(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1)．
y′|x＝1＝＝＝＝3．
∴k＝y′|x＝1＝3，∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0．
(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝＝，由题意可知kPQ＝y′|x＝，
即＝，又y0＝，所以＝，
即＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－．
①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0．
②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0．
[母题探究]　
本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[解]　由解得或
从而求得公共点为(1，1)或(－2，－8)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一个公共点(－2，－8)．
【教用·备选题】　已知抛物线y＝f (x)＝2x2＋1．
(1)求抛物线在点P(1，3)处的切线方程；
(2)若抛物线在某点处的切线的倾斜角为45°，求该切点的坐标．
[解]　(1)因为Δy＝2(1＋Δx)2＋1－2×12－1＝4Δx＋2(Δx)2，所以＝4＋2Δx，
所以切线的斜率为＝4，所以切线的方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0．
(2)设切点坐标为(x0，y0)，
则Δy＝－1，
所以＝4x0＋2Δx，
所以切线的斜率为＝4x0．
又因为切线的斜率为k＝tan 45°＝1，
所以4x0＝1，即x0＝，
所以y0＝2×＋1＝，
所以切点坐标为．
　利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
[学以致用]　1．已知曲线f (x)＝x3＋ax在x＝1处的切线与直线x＋4y＝0垂直，则实数a＝(　　)
A．2　　　B．1　　　C．－1　　　D．－2
B　[f ′(1)＝＝
＝＝3＋a．
又曲线f (x)在x＝1处的切线与直线x＋4y＝0垂直，∴f ′(1)·＝(3＋a)·＝－1，解得a＝1．]
探究2　利用导数的几何意义判断函数的变化
探究问题2　函数的单调性和导数有什么关系？
导数值的大小与函数变化的快慢有什么关系？
[提示]　当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h′(t0)＝0，这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)＜0，这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减．
当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)＜0，这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减．
通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的缓慢．
同理，t＝t3，t＝t4时都有h′(t)＞0，h(t)在各自附近单调递增，且曲线在t＝t3附近比在t＝t4附近上升的快．
[新知生成]
若f ′(x0)＝0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k＝0；
若f ′(x0)＞0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k＞0，则函数在x＝x0附近单调递增，且f ′(x0)越大，说明函数图象变化得越快；
若f ′(x0)＜0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k＜0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f ′(x0)|越大，说明函数图象变化得越快．
【教用·微提醒】　f ′(x0)的正负决定增减，|f ′(x0)|的大小决定快慢．
【链接·教材例题】
例4　图5.1-6是跳水运动中某运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t＝t0，t1，t2附近的变化情况．
[解]　我们用曲线h(t)在t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．
(1)当t＝t0时，曲线h(t)在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)＝0．这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
(2)当t＝t1时，曲线h(t)在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)＜0．这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．
(3)当t＝t2时，曲线h(t)在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)＜0．这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减．
从图5.1-6可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢．
[典例讲评]　2．已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是(　　)
A．f ′(xA)>f ′(xB)
B．f ′(xA)C．f ′(xA)＝f ′(xB)
D．不能确定
B　[由导数的几何意义，f ′(xA)，f ′(xB)分别是函数的图象在点A，B处切线的斜率，
由题干图象可知，f ′(xA)　导数的几何意义就是函数图象切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
(1)曲线f (x)在x＝x0附近的变化情况可通过x＝x0处的切线刻画．f ′(x0)＞0说明曲线在x＝x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x＝x0附近曲线是上升的；f ′(x0)＜0说明在x＝x0附近曲线是下降的．
(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
[学以致用]　2．已知函数f (x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　)
A．f ′(1)＜f ′(2)＜a
B．f ′(1)＜a＜f ′(2)
C．f ′(2)＜f ′(1)＜a
D．a＜f ′(1)＜f ′(2)
B　[由题图可知，函数在区间(0，＋∞)上的增长越来越快，∴f ′(1)＜f ′(2)，∵＝a，∴通过作切线与割线可得f ′(1)＜a＜f ′(2)，故选B．]
探究3　导函数(导数)
探究问题3　由前面所学知识可知，求函数在某一点处的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？
[提示]　这涉及函数在任意一点的导数问题，通过f ′(x0)＝可知f ′(x)＝，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个唯一确定的数，而是一个函数．
[新知生成]
对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)．y＝f (x)的导函数有时也记作y′，即f ′(x)＝y′＝．
【教用·微提醒】　(1)f ′(x0)是具体的值，是数值．
(2)f ′(x)是函数f (x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数．
[典例讲评]　3．已知函数y＝f (x)＝x2－x，求：
(1)f ′(x)；
(2)f (x)在x＝1处的导数．
[解]　(1)因为Δy＝f (x＋Δx)－f (x)＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx，所以＝2x＋Δx－，
所以f ′(x)＝＝2x－．
(2)由(1)知f ′(x)＝2x－，所以f ′(1)＝2×1－＝．
　求导函数的主要步骤
(1)求函数的增量Δy＝f (x＋Δx)－f (x)；
(2)求平均变化率＝；
(3)求极限，即f ′(x)＝．
[学以致用]　3．(源自北师大版教材)求y＝f (x)＝3x2－x的导数f ′(x)，并利用f ′(x)求f ′(1)，f ′(－2)，f ′(0)．
[解]　Δy＝f (x＋Δx)－f (x)＝3(x＋Δx)2－(x＋Δx)－(3x2－x)
＝3(Δx)2＋6xΔx－Δx．
＝＝3Δx＋6x－1．
当Δx趋于0时，得到导数
f ′(x)＝＝＝6x－1．
可得
f ′(1)＝6×1－1＝5，
f ′(－2)＝6×(－2)－1＝－13，
f ′(0)＝6×0－1＝－1．
1．下面说法正确的是(　　)
A．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线
B．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处有切线，则f ′(x0)必存在
C．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线，则f ′(x0)有可能存在
C　[根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立．故ABD错误．]
2．某司机看见前方50 m处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　　D
A　[根据题意，刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项CD；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图象较陡，排除选项B．故选A．]
3．如果曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(　　)
A．f ′(x0)＞0 B．f ′(x0)＜0
C．f ′(x0)＝0 D．f ′(x0)不存在
B　[由x＋2y－3＝0知斜率k＝－，∴f ′(x0)＝－＜0．故选B．]
4．已知函数y＝ax2＋b的图象在其上点(1，3)处的切线斜率为2，则a＝________，b＝________．
1　2　[＝＝2a＝2，所以a＝1．又3＝a×12＋b，所以b＝2．]
1．知识链：(1)导数的几何意义．
(2)函数的单调性与导数的关系．
(3)导函数的概念．
2．方法链：方程思想、数形结合．
3．警示牌：切线过某点，这点不一定是切点．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．f ′(x0)是如何反映函数y＝f (x)的图象特征的？
[提示]　曲线的升降、切线的斜率与f ′(x0)的关系如下：
f ′(x0)的符号 曲线f (x)在x＝x0附近的升降情况 切线的斜率k 切线的倾斜角
f ′(x0)＞0 上升 k＞0 锐角
f ′(x0)＜0 下降 k＜0 钝角
f ′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切线与x轴平行)
2．函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)与导函数f ′(x)之间的区别和联系是什么？
[提示]　区别：①f ′(x0)是函数f (x)在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；
②f ′(x)是函数f (x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y＝f (x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f ′(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f ′(x)．
联系：函数f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．这也是求函数在x＝x0处的导数的方法之一．
3．曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线与曲线f (x)过点(x0，y0)的切线有什么不同？
[提示]　曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线，点(x0，f (x0))一定是切点，只要求出k＝f ′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f (x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
课时分层作业(十四)　导数的几何意义
一、选择题
1．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，P，Q两点横坐标之差为Δx，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2
B　[当Δx→0时，kPQ的极限为－2，则曲线在点P处的切线的斜率为－2，所以在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，整理可得y＝－2x－1．]
2．已知函数f (x)满足f ′(x1)＞0，f ′(x2)＜0，则在x1和x2附近符合条件的f (x)的图象大致是(　　)
A　　　　　B　　　 　C　　　　　D
D　[由f ′(x1)＞0，f ′(x2)＜0可知，f (x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．故选D．]
3．已知函数f (x)在x＝2附近可导，且＝－2，f (2)＝2，则f (x)的图象在点(2，f (2))处的切线方程为(　　)
A．2x＋y－6＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y－6＝0 D．x－2y＋2＝0
A　[∵＝－2，∴函数f (x)的图象在x＝2处的切线的斜率为k＝－2．
∵f (2)＝2，∴切线过点(2，2)，
∴切线方程为y－2＝－2(x－2)，即2x＋y－6＝0．故选A．]
4．曲线y＝x3－2在点处的切线的倾斜角为(　　)
A． B． C． D．
B　[∵y′＝＝＝x2，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1，
∴切线的倾斜角为．故选B．]
5．(多选)若直线y＝kx＋1与曲线f (x)＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则(　　)
A．a＝－1 B．b＝3
C．k＝2 D．f ′(1)＝3
ABC　[由题意可得，
由此解得
f ′(1)＝k＝2，D错误．故选ABC．]
二、填空题
6．如图，函数y＝f (x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________．
2　[由函数y＝f (x)的图象在点P(5，f (5))处的切线方程是y＝－x＋8，得切线斜率k＝f ′(5)＝－1，又由切点P既在函数y＝f (x)的图象上又在切线上，得f (5)＝3，则f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2．]
7．曲线y＝－在点处的切线方程为________．
4x－y－4＝0　[先求y＝－的导数，Δy＝＝＝＝＝，即y′＝，所以曲线y＝－在点处的切线斜率k＝＝4，所以切线方程是y＋2＝4，即4x－y－4＝0．]
8．已知f (x)＝x2＋ax，f ′(1)＝4，曲线f (x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________．
2　[由导数的几何意义，得切线的斜率k＝f ′(1)＝4．又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f (x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，从而可得切点坐标为(1，3)，所以f (1)＝1＋a＝3，即a＝2．]
三、解答题
9．设P0为曲线f (x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，求点P0的坐标．
[解]　设P0(x0，y0)．
∵f ′(x)＝＝＝3x2＋1，
∴f ′(x0)＝＋1．
∵曲线f (x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝＋1＝4，解得x0＝±1．
当x0＝1时，y0＝0；
当x0＝－1时，y0＝－4．
∴点P0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．
10．若曲线y＝x＋上任意一点P处的切线的斜率为k，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，1)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
C　[y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率
k＝
＝＝＜1，即k＜1．]
11．已知函数f (x)在R上可导，f (x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是(　　)
A．f ′(a)＜f ′(b)＜f ′(c)
B．f ′(b)＜f ′(c)＜f ′(a)
C．f ′(a)＜f ′(c)＜f ′(b)
D．f ′(c)＜f ′(a)＜f ′(b)
A　[如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k1＜k2＜k3，又f ′(a)＝k1，f ′(b)＝k2，f ′(c)＝k3，
所以f ′(a)＜f ′(b)＜f ′(c)．故选A．
]
12．函数y＝(x－1)2的导数是(　　)
A．－2 B．(x－1)2
C．2(x－1) D．2(1－x)
C　[y′＝＝
＝＝2x－2＝2(x－1)．]
13．已知y＝f (x)＝mx2＋n，且f (1)＝－1，f (x)的导函数f ′(x)＝4x，则m＝________，n＝________．
2　－3　[＝＝＝mΔx＋2mx，
故f ′(x)＝＝＝2mx＝4x，所以m＝2．
又f (1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3，
故m＝2，n＝－3．]
14．在曲线y＝x2上某点P处的切线满足下列条件，分别求出点P．
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°．
[解]　f ′(x)＝
＝＝2x，
设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，得x0＝2，y0＝4，此时切线方程是y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4，与直线y＝4x－5平行，∴P(2，4)是满足条件的点．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点．
(3)∵切线的倾斜角为135°，
∴其斜率为－1．
即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
15．点P在曲线f (x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
[解]　设P(x0，y0)，则y0＝＋1，
f ′(x0)＝＝2x0，
所以在点P处的切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
由
得＝0，
则Δ＝＝0，
解得x0＝±，则y0＝，
所以点P的坐标为或．
2/14第2课时　导数的几何意义
[学习目标]　1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．(数学建模)
2．会求导函数．(数学运算)
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(数学运算)
4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(逻辑推理、数学运算)．
[讨论交流]　
问题1．导数的几何意义是什么？
问题2．如何求曲线上某点处的切线方程？
问题3．导函数的定义是什么？它与函数在某点处的导数有何关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　导数的几何意义
探究问题1　在前面的课时中我们已经了解到曲线的切线斜率与函数的瞬时变化率的关系，也知道对于一般的曲线，平均变化率可以代表曲线的割线斜率，那么导数(即瞬时变化率)能代表曲线的切线斜率吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的________．也就是说，曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率是________．相应地，切线方程为________．
[典例讲评]　1．已知曲线C：y＝x3．
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程．
[思路导引]　(1)→→
(2)→→→
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　
本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
[学以致用]　1．已知曲线f (x)＝x3＋ax在x＝1处的切线与直线x＋4y＝0垂直，则实数a＝(　　)
A．2　　　B．1　　　C．－1　　　D．－2
探究2　利用导数的几何意义判断函数的变化
探究问题2　函数的单调性和导数有什么关系？
导数值的大小与函数变化的快慢有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
若f ′(x0)＝0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k＝________；
若f ′(x0)＞0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k________0，则函数在x＝x0附近________，且f ′(x0)越大，说明函数图象变化得越快；
若f ′(x0)＜0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k________0，且函数在x＝x0附近________，且|f ′(x0)|越大，说明函数图象变化得越快．
[典例讲评]　2．已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是(　　)
A．f ′(xA)>f ′(xB)
B．f ′(xA)C．f ′(xA)＝f ′(xB)
D．不能确定
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　导数的几何意义就是函数图象切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
(1)曲线f (x)在x＝x0附近的变化情况可通过x＝x0处的切线刻画．f ′(x0)＞0说明曲线在x＝x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x＝x0附近曲线是上升的；f ′(x0)＜0说明在x＝x0附近曲线是下降的．
(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
[学以致用]　2．已知函数f (x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　)
A．f ′(1)＜f ′(2)＜a
B．f ′(1)＜a＜f ′(2)
C．f ′(2)＜f ′(1)＜a
D．a＜f ′(1)＜f ′(2)
探究3　导函数(导数)
探究问题3　由前面所学知识可知，求函数在某一点处的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)．y＝f (x)的导函数有时也记作y′，即f ′(x)＝y′＝．
[典例讲评]　3．已知函数y＝f (x)＝x2－x，求：
(1)f ′(x)；
(2)f (x)在x＝1处的导数．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求导函数的主要步骤
(1)求函数的增量Δy＝f (x＋Δx)－f (x)；
(2)求平均变化率＝；
(3)求极限，即f ′(x)＝．
[学以致用]　3．(源自北师大版教材)求y＝f (x)＝3x2－x的导数f ′(x)，并利用f ′(x)求f ′(1)，f ′(－2)，f ′(0)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下面说法正确的是(　　)
A．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线
B．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处有切线，则f ′(x0)必存在
C．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线，则f ′(x0)有可能存在
2．某司机看见前方50 m处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　　D
3．如果曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(　　)
A．f ′(x0)＞0 B．f ′(x0)＜0
C．f ′(x0)＝0 D．f ′(x0)不存在
4．已知函数y＝ax2＋b的图象在其上点(1，3)处的切线斜率为2，则a＝________，b＝________．
1．知识链：(1)导数的几何意义．
(2)函数的单调性与导数的关系．
(3)导函数的概念．
2．方法链：方程思想、数形结合．
3．警示牌：切线过某点，这点不一定是切点．
6/65.1.2　导数的概念及其几何意义
第1课时　导数的概念
[学习目标]　1．了解导数概念的实际背景．(数学抽象)
2．理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．(数学抽象、直观想象)
[讨论交流]　
问题1．函数的平均变化率与瞬时变化率有什么关系？
问题2．瞬时变化率的几何意义是什么？
问题3．函数在x＝x0处的导数是什么含义？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　导数的概念
探究问题1　类比平均速度与瞬时速度的关系，瞬时变化率的几何意义是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．平均变化率
对于函数y＝f (x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f (x0)变化到f (x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)．我们把比值，即＝________叫做函数y＝f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
2．导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处________，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在________处的________(也称为瞬时变化率)，记作________或________，即f ′(x0)＝＝________．
　求瞬时变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f (x2)－f (x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1．
(3)得平均变化率＝．
(4)得瞬时变化率．
[学以致用]　1．已知函数f (x)＝－．
(1)函数f (x)在区间[1，1.5]，[1，1.1]上的平均变化率各是多少？
(2)函数f (x)在x＝1处的瞬时变化率是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　导数定义的应用
[典例讲评]　2．(源自北师大版教材)求函数y＝f (x)＝＋x在下列各点处的导数：
(1)x＝1；(2)x＝x0．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求一个函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy＝________．
(2)求平均变化率＝________．
(3)取极限，得导数f ′(x0)＝________．
[学以致用]　2．函数y＝在x＝1处的导数为________．
探究3　导数定义式的运用
[典例讲评]　3．已知奇函数f (x)满足f ′(－1)＝1，则＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．1　　　D．－1
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由导数的定义可知，若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，则f ′(x0)＝，它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f (1－Δx)－f (1)时，分母也应该是(1－Δx)－1，要注意公式的变形．
[学以致用]　3．已知函数f (x)在x＝x0处可导，若＝2，则f ′(x0)＝(　　)
A．1 B． C．2 D．8
探究4　导数在实际问题中的意义
[典例讲评]　4．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
(1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？
(2)求T ′(5)，并说明它的实际意义．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　导数的物理意义是：函数y＝f (x)在x＝x0处的导数即为它的瞬时变化率．
[学以致用]　4．某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：万元)与产量x(单位：千台)之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7x＋6．求c′(1)与c′(2)，并说明它们的实际意义．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．函数y＝f (x)＝x2在x＝1处的导数为(　　)
A．2x B．2 C．－2 D．±2
2．设f (x)是可导函数，且＝2，则f ′(1)＝(　　)
A． B．－1 C．0 D．－2
3．函数f (x)＝x2－1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为(　　)
A．2x0－1 B．2x0＋Δx
C．2x0Δx＋(Δx)2 D．(Δx)2－Δx＋1
4．已知函数y＝f (x)＝－x2＋x在区间[t，1]上的平均变化率为2，则t＝________．
1．知识链：(1)导数的概念．
(2)导数定义的应用．
(3)导数在实际问题中的意义．
2．方法链：定义法．
3．警示牌：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位．
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