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5.2　导数的运算
5.2.1　基本初等函数的导数
[学习目标]　1．了解利用定义求函数的导数．(数学运算)
2．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．(数学运算)
3．能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)
[讨论交流]　
问题1．几个常用函数的导数是什么？
问题2．基本初等函数有哪几类？
问题3．基本初等函数的导数公式是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　基本初等函数的求导公式
探究问题1　如何利用导数的定义求函数f (x)＝＋x在x＝x0处的导数？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究问题2　当x0在定义域内任意取值时，问题1中的f ′(x0)的值如何？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．几个常用函数的导数
原函数 导数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝x f ′(x)＝1
f (x)＝x2 f ′(x)＝2x
f (x)＝x3 f ′(x)＝3x2
f (x)＝ f ′(x)＝－
f (x)＝ f ′(x)＝
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝________
f (x)＝sin x f ′(x)＝________
f (x)＝cos x f ′(x)＝________
f (x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝________
f (x)＝ex f ′(x)＝________
f (x)＝logax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝
f (x)＝ln x f ′(x)＝
[典例讲评]　1．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝lg x；(3)y＝；(4)y＝2cos2－1．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)若所求函数符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．
(3)要特别注意“y＝与y＝ln x”“y＝ax与y＝logax”“y＝sin x与y＝cos x”的导数区别．
[学以致用]　1．求下列函数的导数．
(1)y＝cos ；
(2)y＝－2sin ；
(3)y＝log2x2－log2x．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　利用导数公式研究曲线的切线方程
[典例讲评]　2．(源自人教B版教材)已知函数f (x)＝x2，而l是曲线y＝f (x)的切线，且l经过点(2，3)．
(1)判断(2，3)是不是曲线y＝f (x)上的点；
(2)求l的方程．
[思路导引]　利用导数的几何意义求解，但要注意点(2，3)不在曲线上，应另设切点求解．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　
1．将本例变为“求曲线f (x)＝x-2在(a，a-2)(a>0)”处的切线方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线________就是该点处的导数．
②如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
[学以致用]　2．(1)函数y＝x3的图象在点(2，8)处的切线方程为(　　)
A．y＝12x－16　　　　　 B．y＝12x＋16
C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16
(2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为________．
探究3　导数公式的实际应用
[典例讲评]　3．从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数．这种变化率在描述经济变化率、物理变化率、化学变化率等方面有着广泛的应用．
[学以致用]　3．某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln 1.1≈0.095)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．等于(　　)
A． B．1 C．0 D．
2．(多选)下列运算正确的是(　　)
A．＝
B．(cos x)′＝－sin x
C．(2x)′＝2x ln 2
D．(log9 x)′＝－
3．(多选)过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标可以为(　　)
A． B．
C． D．
4．曲线f (x)＝ln x在x＝a处的切线的倾斜角为，则a＝________．
1．知识链：(1)常用函数的导数．
(2)基本初等函数的导数公式及应用．
(3)利用导数研究曲线的切线方程．
2．方法链：方程思想、待定系数法．
3．警示牌：因公式变形不够彻底导致求导错误．
5/55.2　导数的运算
5.2.1　基本初等函数的导数
[学习目标]　1．了解利用定义求函数的导数．(数学运算)
2．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．(数学运算)
3．能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)
(教师用书)
高铁是一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝f (t)＝2t2，求它的瞬时速度，即求f (t)的导数．根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值，运算比较复杂，而且，有的函数如y＝sin x，y＝ln x等很难运用定义求导数．是否有更简便的求导数的方法呢？
[讨论交流]　
问题1．几个常用函数的导数是什么？
问题2．基本初等函数有哪几类？
问题3．基本初等函数的导数公式是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　基本初等函数的求导公式
探究问题1　如何利用导数的定义求函数f (x)＝＋x在x＝x0处的导数？
[提示]　Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)
＝＋(x0＋Δx)－
＝＋Δx．
＝＋1．
当Δx趋于0时，得到导数
f ′(x0)＝＝＝＋1．
探究问题2　当x0在定义域内任意取值时，问题1中的f ′(x0)的值如何？
[提示]　对于定义域中的每一个自变量的取值x0，都有唯一一个导数值f ′(x0)＝＋1与之对应，所以f ′(x)＝－＋1是x的函数．
[新知生成]
1．几个常用函数的导数
原函数 导数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝x f ′(x)＝1
f (x)＝x2 f ′(x)＝2x
f (x)＝x3 f ′(x)＝3x2
f (x)＝ f ′(x)＝－
f (x)＝ f ′(x)＝
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝αxα-1
f (x)＝sin x f ′(x)＝cos x
f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin x
f (x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝ax ln a
f (x)＝ex f ′(x)＝ex
f (x)＝logax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝
f (x)＝ln x f ′(x)＝
【教用·微提醒】　(1)对于根式f (x)＝，要先转化为f (x)＝，所以f ′(x)＝．
(2)三角函数的导数公式中，一要注意名称的改变，二要注意符号的改变．可用口诀记忆：正弦求导数，弦变符不变；余弦求导数，弦变符也变．
【链接·教材例题】
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝log2x．
[解]　(1)y′＝==；
(2)y′＝(log2x)′＝．
[典例讲评]　1．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝lg x；(3)y＝；(4)y＝2cos2－1．
[解]　(1)y′＝ ln ＝－ ln 5．
(2)y′＝．
(3)因为y＝＝，
所以y′＝′＝＝．
(4)因为y＝2cos2－1＝cosx，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x．
　(1)若所求函数符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．
(3)要特别注意“y＝与y＝ln x”“y＝ax与y＝logax”“y＝sin x与y＝cos x”的导数区别．
[学以致用]　1．求下列函数的导数．
(1)y＝cos ；
(2)y＝－2sin ；
(3)y＝log2x2－log2x．
[解]　(1)因为y＝cos＝，所以y′＝0．
(2)因为y＝－2sin
＝2sin＝2sincos ＝sin x，
所以y′＝(sin x)′＝cos x．
(3)因为y＝log2x2－log2x＝log2x，
所以y′＝(log2x)′＝．
探究2　利用导数公式研究曲线的切线方程
[典例讲评]　2．(源自人教B版教材)已知函数f (x)＝x2，而l是曲线y＝f (x)的切线，且l经过点(2，3)．
(1)判断(2，3)是不是曲线y＝f (x)上的点；
(2)求l的方程．
[思路导引]　利用导数的几何意义求解，但要注意点(2，3)不在曲线上，应另设切点求解．
[解]　(1)因为 f (2)＝22＝4≠3，所以点(2，3)不是曲线y＝f (x)上的点．
(2)设切点为(x0，f (x0))．因为f ′(x)＝2x，
所以切线的斜率为f ′(x0)＝2x0，又因为f (x0)＝，所以直线l的方程为＝2x0(x－x0)，
将(2，3)代入上式并整理，可得－4x0＋3＝0，
由此可解得x0＝1或x0＝3．
因此，切点为(1，1)或(3，9)，切线方程为y－1＝2(x－1)或y－9＝6(x－3)．
即l的方程为y＝2x－1或y＝6x－9．
[母题探究]　
1．将本例变为“求曲线f (x)＝x-2在(a，a-2)(a>0)”处的切线方程．
[解]　由题意f ′(x)＝－2x-3，所以曲线f (x)＝x-2在点(a，a-2)处的切线方程为y－a-2＝－2a-3(x－a)，即y＝－2a-3x＋3a-2．
2．将本例变为“已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线”，试求k的值．
[解]　设切点坐标为(x0，y0)，由题意得＝＝k，又y0＝kx0，且y0＝ln x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝．
【教用·备选题】　曲线y＝ln x上的点到直线y＝x＋2的最小距离是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．1
B　[设曲线在点(m，ln m)处的切线与y＝x＋2平行．因为y′＝，故＝1，所以m＝1，
所以切点为(1，0)，所以最小距离为d＝＝．故选B．]
　(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
②如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
[学以致用]　2．(1)函数y＝x3的图象在点(2，8)处的切线方程为(　　)
A．y＝12x－16　　　　　 B．y＝12x＋16
C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16
(2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为________．
(1)A　(2)－1　[(1)因为y′＝3x2，当x＝2时，y′＝12，
故切线的斜率为12，
切线方程为y＝12x－16．
(2)设切点坐标为(x0，ln x0)，
由y＝ln x得y′＝．
因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1．
所以y′|x＝＝＝1，
即x0＝1，
所以切点坐标为(1，0)．
所以1－0＋c＝0，
所以c＝－1．]
探究3　导数公式的实际应用
【链接·教材例题】
例2　假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)之间的关系为
p(t)＝p0(1＋5%)t，
其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)
[解]　根据基本初等函数的导数公式表，有
p′(t)＝1.05t ln 1.05．
所以p′(10)＝1.0510ln 1.05≈0.08．
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．
[典例讲评]　3．从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．
[解]　由q＝cos t得q′＝－sin t，
所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，即第5秒、第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安．
　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数．这种变化率在描述经济变化率、物理变化率、化学变化率等方面有着广泛的应用．
[学以致用]　3．某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln 1.1≈0.095)
[解]　由题意得p′(t)＝1.1t ln 1.1，
所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)，所以在第5个年头，该城市房价上涨的速度大约是0.15万元/年．
1．等于(　　)
A． B．1 C．0 D．
C　[常数的导数等于0．
故选C．]
2．(多选)下列运算正确的是(　　)
A．＝
B．(cos x)′＝－sin x
C．(2x)′＝2x ln 2
D．(log9 x)′＝－
BC　[因为＝－，所以A不正确；因为(cos x)′＝－sin x，所以B正确；因为(2x)′＝2x ln 2，所以C正确；因为(log9x)′＝，所以D不正确．故选BC．]
3．(多选)过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标可以为(　　)
A． B．
C． D．
AC　[因为y′＝－，令－＝－4，得x＝±，点P的坐标为．故选AC．]
4．曲线f (x)＝ln x在x＝a处的切线的倾斜角为，则a＝________．
1　[f ′(x)＝，所以f ′(a)＝＝1，所以a＝1．]
1．知识链：(1)常用函数的导数．
(2)基本初等函数的导数公式及应用．
(3)利用导数研究曲线的切线方程．
2．方法链：方程思想、待定系数法．
3．警示牌：因公式变形不够彻底导致求导错误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何理解常见的几个幂函数的求导？
[提示]　几个常见幂函数的求导，也包括根式函数的求导，都可以统一为f (x)＝xα，f ′(x)＝αxα-1．
2．对于三角函数关系式，如何求导？
[提示]　对含有三角函数式的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导．
3．求函数“在”或“过”某点处的切线方程时，有什么策略？遵循什么步骤？
[提示]　①求解以曲线上的点(x0，f (x0))为切点的切线方程的步骤：
ⅰ．求出函数f (x)的导数f ′(x)；
ⅱ．求切线的斜率f ′(x0)；
ⅲ．写出切线方程y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)，并化简．
②若已知点(x1，y1)不在曲线上，则先设切点为(x0，y0)，再解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
课时分层作业(十五)　基本初等函数的导数
一、选择题
1．函数f (x)＝sin x，则f ′＝(　　)
A． B． C．1 D．
B　[f (x)＝sin x，则f ′(x)＝cos x，故f ′＝cos ＝．故选B．]
2．若函数f (x)的导函数为偶函数，则f (x)的解析式可能是(　　)
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝cos x
C．f (x)＝sin x D．f (x)＝ex
C　[对于A，f ′(x)＝2x，为奇函数；
对于B，f ′(x)＝－sin x，为奇函数；
对于C，f ′(x)＝cos x，为偶函数；
对于D，f ′(x)＝ex，既不是奇函数也不是偶函数．故选C．]
3．设直线y＝x＋b－1是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为(　　)
A．1－ln 2 B．ln 2
C．ln 2 D．2
C　[∵y＝ln x，∴y′＝．
设切点为(x0，y0)，根据导数的几何意义可知，当x＝x0时，得y′＝＝，解得x0＝2，代入曲线方程得y0＝ln 2．
故切点为(2，ln 2)，将该点坐标代入直线方程得ln 2＝×2＋b－1，解得b＝ln 2．故选C．]
4．曲线y＝ex在点A处的切线与直线x＋ey－1＝0垂直，则点A的坐标为(　　)
A．(－1，e-1) B．(1，e)
C．(0，1) D．(2，e2)
B　[由题知y′＝ex．因为曲线y＝ex在点A(xA，yA)处的切线与直线x＋ey－1＝0垂直，所以函数y＝ex在x＝xA处的导数值为e，即＝e，所以xA＝1，则yA＝e，所以点A的坐标为(1，e)．故选B．]
5．(多选)设b为实数，则直线y＝2x＋b能作为下列函数图象的切线的有(　　)
A．f (x)＝ B．f (x)＝x4
C．f (x)＝ex D．f (x)＝sin x
BC　[对于A，f ′(x)＝－＜0，则无论x取何值，f ′(x)都不可能等于2，所以直线y＝2x＋b不能作为该函数图象的切线；对于B，f ′(x)＝4x3，令f ′(x)＝4x3＝2，解得x＝，所以直线y＝2x＋b能作为该函数图象的切线；对于C，f ′(x)＝ex，令ex＝2，解得x＝ln 2，所以直线y＝2x＋b能作为该函数图象的切线；对于D，f ′(x)＝cos x∈[－1，1]，则无论x取何值，f ′(x)都不可能等于2，所以直线y＝2x＋b不能作为该函数图象的切线．故选BC．]
二、填空题
6．若函数f (x)在R上可导，且f (x)·f ′(x)为单调函数．写出满足上述条件的一个函数________．
f (x)＝x2(答案不唯一)　[设f (x)＝x2，则f ′(x)＝2x，所以f (x)· f ′(x)＝2x3在R上单调递增，满足条件，所以f (x)＝x2满足条件．]
7．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．
　[y′＝′＝－2x-3．
设P(x0，y0)，
则＝tan 135°＝－1，解得x0＝，
此时y0＝．
故P点坐标为．]
8．已知在一次降雨过程中，某地降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似表示为y＝f (t)＝，则在t＝4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬时变化率)为________mm/min．
　[因为y＝f (t)＝＝，所以f ′(t)==，所以f ′(4)＝×＝，故在t＝4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬时变化率)为 mm/min．]
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x2 024；(2)y＝；(3)y＝log6x；(4)y＝．
[解]　(1)y′＝(x2 024)′＝2 024x2 024-1＝2 024x2 023．
(2)y′＝()′＝==＝．
(3)y′＝(log6x)′＝．
(4)y′＝′＝＝－
＝－＝－．
10．已知点P在曲线y＝2sin cos 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
D　[∵y＝2sin cos ＝sin x，∴y′＝cos x．
由题意，知曲线在点P处的切线的斜率存在，设P(x0，y0)，则切线的斜率k＝tan α＝cos x0，
∴－1≤tan α≤1．
∵0≤α＜π，∴α∈．故选D．]
11．过原点的直线m，n分别与曲线f (x)＝ex，g(x)＝ln x相切，则直线m，n的斜率的乘积为(　　)
A．－1 B．1 C．e D．
B　[设过原点的直线m，n与曲线f (x)，g(x)的切点分别为，(x2，ln x2)．
由题意得f ′(x)＝ex，g′(x)＝，所以曲线f (x)在x＝x1处的切线方程为＝(x－x1)，曲线g(x)在x＝x2处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)．
因为两条切线过原点，
所以解得所以直线m，n的斜率的乘积为f ′(x1)g′(x2)＝e1×＝1．故选B．]
12．我们知道，函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)＝＝，由极限的意义可知，当Δx充分小时，≈f ′(x0)，即Δy≈f ′(x0)Δx，从而f (x0＋Δx)≈f (x0)＋f ′(x0)Δx，这是一个简单的近似计算公式，它表明可以根据给定点的函数值和导数值求函数的增量或函数值的近似值，我们可以用它计算cos 的近似值为(≈1.732，π≈3.14)(　　)
A．0.840 B．0.853 C．0.866 D．0.879
B　[设f (x)＝cos x，所以f ′(x)＝－sin x，
f (x0＋Δx)≈f (x0)＋f ′(x0)Δx，
取x0＝，Δx＝，
则＝，
∴cos ＝cos ≈cos ·＝≈≈0.866－0.013＝0.853．]
13．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数y＝f (x)满足如下条件：(1)在闭区间[a，b]上图象是连续不断的；(2)在区间(a，b)上都有导数，则在区间(a，b)上至少存在一个数ξ，使得f (b)－f (a)＝f ′(ξ)(b－a)，其中ξ称为拉格朗日中值，则g(x)＝ln x在区间[1，e]上的拉格朗日中值ξ＝________．
e－1　[由已知得g′(x)＝，则g′(ξ)＝．
由拉格朗日中值的定义可知，函数g(x)＝ln x在区间[1，e]上的拉格朗日中值ξ满足g(e)－g(1)＝g′(ξ)(e－1)，所以g′(ξ)＝＝，所以g′(ξ)＝＝，则ξ＝e－1．]
14．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？说明理由．
[解]　不存在，理由如下：
因为y1＝sin x，y2＝cos x，所以y′1＝cos x，y′2＝－sin x．
设两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)，则两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝，k2＝－sin x0．
若两条切线互相垂直，则cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，
所以sin 2x0＝2，显然不成立，
所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直．
15．若函数y＝f (x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f (x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
A　[设函数y＝f (x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f ′(x1)，k2＝f ′(x2)，若函数具有T性质，则k1·k2＝f ′(x1)·f ′(x2)＝－1．对于A选项，f ′(x)＝cos x，显然k1·k2＝cos x1·cos x2＝－1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f ′(x)＝(x＞0)，显然k1·k2＝·＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f ′(x)＝ex＞0，显然k1·k2＝＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f ′(x)＝3x2≥0，显然k1·k2＝＝－1无解，故该函数不具有T性质．故选A．]
11/13(共58张PPT)
5.2.1　基本初等函数的导数
第五章　一元函数的导数及其应用
5.2　导数的运算
整体感知
[学习目标]　1．了解利用定义求函数的导数．(数学运算)
2．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．(数学运算)
3．能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)
(教师用书)
高铁是一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝f (t)＝2t2，求它的瞬时速度，即求f (t)的导数．根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值，运算比较复杂，而且，有的函数如y＝sin x，y＝
ln x等很难运用定义求导数．是否有更简便的求导数的方法呢？
[讨论交流]　
问题1．几个常用函数的导数是什么？
问题2．基本初等函数有哪几类？
问题3．基本初等函数的导数公式是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　基本初等函数的求导公式
探究问题1　如何利用导数的定义求函数f (x)＝＋x在x＝x0处的导数？
[提示]　Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)＝＋(x0＋Δx)－＝＋Δx．
＝＋1．
当Δx趋于0时，得到导数
f ′(x0)＝＝＝＋1．
探究问题2　当x0在定义域内任意取值时，问题1中的f ′(x0)的值如何？
[提示]　对于定义域中的每一个自变量的取值x0，都有唯一一个导数值f ′(x0)＝＋1与之对应，所以f ′(x)＝－＋1是x的函数．
[新知生成]
1．几个常用函数的导数
原函数 导数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝x f ′(x)＝1
f (x)＝x2 f ′(x)＝2x
f (x)＝x3 f ′(x)＝3x2
f (x)＝ f ′(x)＝－
f (x)＝ f ′(x)＝
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝_____
f (x)＝sin x f ′(x)＝_____
f (x)＝cos x f ′(x)＝______
αxα-1
cos x
－sin x
原函数 导函数
f (x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝_________
f (x)＝ex f ′(x)＝____
f (x)＝logax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝
f (x)＝ln x f ′(x)＝
ax ln a
ex
【教用·微提醒】　(1)对于根式f (x)＝，要先转化为f (x)＝，所以f ′(x)＝．
(2)三角函数的导数公式中，一要注意名称的改变，二要注意符号的改变．可用口诀记忆：正弦求导数，弦变符不变；余弦求导数，弦变符也变．
【链接·教材例题】
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝log2x．
[解]　(1)y′＝ = = ；
(2)y′＝(log2x)′＝．
[典例讲评]　1．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝lg x；(3)y＝；(4)y＝2cos2－1．
[解]　(1)y′＝ ln ＝－ ln 5．
(2)y′＝．
(3)因为y＝＝，所以y′＝＝＝．
(4)因为y＝2cos2－1＝cosx，所以y′＝(cos x)′＝－sin x．
反思领悟　(1)若所求函数符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．
(3)要特别注意“y＝与y＝ln x”“y＝ax与y＝logax”“y＝sin x与y＝cos x”的导数区别．
[学以致用]　1．求下列函数的导数．
(1)y＝cos ；(2)y＝－2sin ；(3)y＝log2x2－log2x．
[解]　(1)因为y＝cos＝，所以y′＝0．
(2)因为y＝－2sin
＝2sin＝2sincos ＝sin x，所以y′＝(sin x)′＝cos x．
(3)因为y＝log2x2－log2x＝log2x，所以y′＝(log2x)′＝．
探究2　利用导数公式研究曲线的切线方程
[典例讲评]　2．(源自人教B版教材)已知函数f (x)＝x2，而l是曲线y＝f (x)的切线，且l经过点(2，3)．
(1)判断(2，3)是不是曲线y＝f (x)上的点；
(2)求l的方程．
[思路导引]　利用导数的几何意义求解，但要注意点(2，3)不在曲线上，应另设切点求解．
[解]　(1)因为 f (2)＝22＝4≠3，所以点(2，3)不是曲线y＝f (x)上的点．
(2)设切点为(x0，f (x0))．因为f ′(x)＝2x，
所以切线的斜率为f ′(x0)＝2x0，又因为f (x0)＝，所以直线l的方程为＝2x0(x－x0)，
将(2，3)代入上式并整理，可得－4x0＋3＝0，
由此可解得x0＝1或x0＝3．
因此，切点为(1，1)或(3，9)，切线方程为y－1＝2(x－1)或y－9＝6(x－3)．
即l的方程为y＝2x－1或y＝6x－9．
[母题探究]　
1．将本例变为“求曲线f (x)＝x-2在(a，a-2)(a>0)”处的切线方程．
[解]　由题意f ′(x)＝－2x-3，所以曲线f (x)＝x-2在点(a，a-2)处的切线方程为y－a-2＝－2a-3(x－a)，即y＝－2a-3x＋3a-2．
2．将本例变为“已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线”，试求k的值．
[解]　设切点坐标为(x0，y0)，由题意得＝＝k，又y0＝kx0，且y0＝ln x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝．
【教用·备选题】　曲线y＝ln x上的点到直线y＝x＋2的最小距离是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．1
B　[设曲线在点(m，ln m)处的切线与y＝x＋2平行．因为y′＝，故＝1，所以m＝1，
所以切点为(1，0)，所以最小距离为d＝＝．故选B．]
√
发现规律　(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线____就是该点处的导数．
②如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
斜率
[学以致用]　2．(1)函数y＝x3的图象在点(2，8)处的切线方程为(　　)
A．y＝12x－16　　　　　 B．y＝12x＋16
C．y＝－12x－16　　 D．y＝－12x＋16
(2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为________．
√
－1
(1)A　(2)－1　[(1)因为y′＝3x2，当x＝2时，y′＝12，
故切线的斜率为12，
切线方程为y＝12x－16．
(2)设切点坐标为(x0，ln x0)，
由y＝ln x得y′＝．
因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1．
所以y′|x＝＝＝1，即x0＝1，
所以切点坐标为(1，0)．所以1－0＋c＝0，所以c＝－1．]
【链接·教材例题】
例2　假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)之间的关系为
p(t)＝p0(1＋5%)t，
其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)
探究3　导数公式的实际应用
[解]　根据基本初等函数的导数公式表，有
p′(t)＝1.05t ln 1.05．
所以p′(10)＝1.0510ln 1.05≈0.08．
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．
[典例讲评]　3．从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．
[解]　由q＝cos t得q′＝－sin t，
所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，即第5秒、第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安．
反思领悟　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数．这种变化率在描述经济变化率、物理变化率、化学变化率等方面有着广泛的应用．
[学以致用]　3．某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln 1.1≈0.095)
[解]　由题意得p′(t)＝1.1t ln 1.1，
所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)，所以在第5个年头，该城市房价上涨的速度大约是0.15万元/年．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
C　[常数的导数等于0．
故选C．]
1．等于(　　)
A．　　B．1　　C．0　　D．
2
3
题号
1
4
2．(多选)下列运算正确的是(　　)
A．＝ B．(cos x)′＝－sin x
C．(2x)′＝2x ln 2 D．(log9 x)′＝－
√
BC　[因为＝－，所以A不正确；因为(cos x)′＝－sin x，所以B正确；因为(2x)′＝2x ln 2，所以C正确；因为(log9x)′＝，所以D不正确．故选BC．]
√
2
3
题号
4
1
3．(多选)过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标可以为(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
AC　[因为y′＝－，令－＝－4，得x＝±，点P的坐标为．故选AC．]
√
√
2
4
3
题号
1
4．曲线f (x)＝ln x在x＝a处的切线的倾斜角为，则a＝________．
1　[f ′(x)＝，所以f ′(a)＝＝1，所以a＝1．]
1
1．知识链：(1)常用函数的导数．
(2)基本初等函数的导数公式及应用．
(3)利用导数研究曲线的切线方程．
2．方法链：方程思想、待定系数法．
3．警示牌：因公式变形不够彻底导致求导错误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何理解常见的几个幂函数的求导？
[提示]　几个常见幂函数的求导，也包括根式函数的求导，都可以统一为f (x)＝xα，f ′(x)＝αxα-1．
2．对于三角函数关系式，如何求导？
[提示]　对含有三角函数式的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导．
3．求函数“在”或“过”某点处的切线方程时，有什么策略？遵循什么步骤？
[提示]　①求解以曲线上的点(x0，f (x0))为切点的切线方程的步骤：
ⅰ．求出函数f (x)的导数f ′(x)；
ⅱ．求切线的斜率f ′(x0)；
ⅲ．写出切线方程y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)，并化简．
②若已知点(x1，y1)不在曲线上，则先设切点为(x0，y0)，再解方程组
得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
一、选择题
1．函数f (x)＝sin x，则f ′＝(　　)
A． B． C．1 D．
课时分层作业(十五)　基本初等函数的导数
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
B　[f (x)＝sin x，则f ′(x)＝cos x，故f ′＝cos ＝．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．若函数f (x)的导函数为偶函数，则f (x)的解析式可能是(　　)
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝cos x
C．f (x)＝sin x D．f (x)＝ex
√
14
15
C　[对于A，f ′(x)＝2x，为奇函数；
对于B，f ′(x)＝－sin x，为奇函数；
对于C，f ′(x)＝cos x，为偶函数；
对于D，f ′(x)＝ex，既不是奇函数也不是偶函数．故选C．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
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10
11
12
13
1
3．设直线y＝x＋b－1是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为(　　)
A．1－ln 2 B．ln 2
C．ln 2 D．2
√
14
15
C　[∵y＝ln x，∴y′＝．
设切点为(x0，y0)，根据导数的几何意义可知，当x＝x0时，得y′＝＝，解得x0＝2，代入曲线方程得y0＝ln 2．
故切点为(2，ln 2)，将该点坐标代入直线方程得ln 2＝×2＋b－1，解得b＝
ln 2．故选C．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
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11
12
13
1
4．曲线y＝ex在点A处的切线与直线x＋ey－1＝0垂直，则点A的坐标为(　　)
A．(－1，e-1) B．(1，e)
C．(0，1) D．(2，e2)
√
14
15
B　[由题知y′＝ex．因为曲线y＝ex在点A(xA，yA)处的切线与直线x＋ey－1＝0垂直，所以函数y＝ex在x＝xA处的导数值为e，即＝e，所以xA＝1，则yA＝e，所以点A的坐标为(1，e)．故选B．]
题号
2
4
5
3
6
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11
12
13
1
5．(多选)设b为实数，则直线y＝2x＋b能作为下列函数图象的切线的有(　　)
A．f (x)＝ B．f (x)＝x4
C．f (x)＝ex D．f (x)＝sin x
√
14
15
√
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
BC　[对于A，f ′(x)＝－＜0，则无论x取何值，f ′(x)都不可能等于2，所以直线y＝2x＋b不能作为该函数图象的切线；对于B，f ′(x)＝4x3，令f ′(x)＝4x3＝2，解得x＝，所以直线y＝2x＋b能作为该函数图象的切线；对于C，f ′(x)＝ex，令ex＝2，解得x＝ln 2，所以直线y＝2x＋b能作为该函数图象的切线；对于D，f ′(x)＝cos x∈[－1，1]，则无论x取何值，f ′(x)都不可能等于2，所以直线y＝2x＋b不能作为该函数图象的切线．故选BC．]
14
15
题号
2
4
5
3
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13
1
二、填空题
6．若函数f (x)在R上可导，且f (x)·f ′(x)为单调函数．写出满足上述条件的一个函数______________________．
14
15
f (x)＝x2(答案不唯一)　[设f (x)＝x2，则f ′(x)＝2x，所以f (x)· f ′(x)＝2x3在R上单调递增，满足条件，所以f (x)＝x2满足条件．]
f (x)＝x2(答案不唯一)
题号
2
4
5
3
7
6
8
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11
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13
1
7．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为____________．
14
15
　[y′＝＝－2x-3．
设P(x0，y0)，则＝tan 135°＝－1，解得x0＝，
此时y0＝．故P点坐标为．]
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
8．已知在一次降雨过程中，某地降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似表示为y＝f (t)＝，则在t＝4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬时变化率)为________mm/min．
14
15
　[因为y＝f (t)＝＝，所以f ′(t)= = ，所以f ′(4)＝×＝，故在t＝4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬时变化率)为 mm/min．]
题号
9
2
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5
3
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13
1
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x2 024；(2)y＝；(3)y＝log6x；(4)y＝．
14
15
[解]　(1)y′＝(x2 024)′＝2 024x2 024-1＝2 024x2 023．
(2)y′＝()′＝ = =＝．
(3)y′＝(log6x)′＝．
(4)y′＝＝ ＝－＝－＝－．
题号
9
2
4
5
3
8
6
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10
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12
13
1
10．已知点P在曲线y＝2sin cos 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
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13
1
D　[∵y＝2sin cos ＝sin x，∴y′＝cos x．
由题意，知曲线在点P处的切线的斜率存在，设P(x0，y0)，则切线的斜率k＝tan α＝cos x0，
∴－1≤tan α≤1．
∵0≤α＜π，∴α∈．故选D．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
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1
11．过原点的直线m，n分别与曲线f (x)＝ex，g(x)＝ln x相切，则直线m，n的斜率的乘积为(　　)
A．－1 B．1 C．e D．
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
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11
12
13
1
B　[设过原点的直线m，n与曲线f (x)，g(x)的切点分别为，(x2，ln x2)．
由题意得f ′(x)＝ex，g′(x)＝，所以曲线f (x)在x＝x1处的切线方程为＝(x－x1)，曲线g(x)在x＝x2处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)．
因为两条切线过原点，
所以解得所以直线m，n的斜率的乘积为
f ′(x1)g′(x2)＝e1×＝1．故选B．]
14
15
题号
9
2
4
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13
1
12．我们知道，函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)＝＝，由极限的意义可知，当Δx充分小时，≈f ′(x0)，即Δy≈f ′(x0)Δx，从而f (x0＋Δx)≈f (x0)＋f ′(x0)Δx，这是一个简单的近似计算公式，它表明可以根据给定点的函数值和导数值求函数的增量或函数值的近似值，我们可以用它计算cos 的近似值为(≈1.732，π≈3.14)(　　)
A．0.840 B．0.853 C．0.866 D．0.879
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
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7
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12
13
1
B　[设f (x)＝cos x，所以f ′(x)＝－sin x，
f (x0＋Δx)≈f (x0)＋f ′(x0)Δx，
取x0＝，Δx＝，
则＝，
∴cos ＝cos ≈cos ·＝
≈≈0.866－0.013＝0.853．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
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12
13
1
13．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数y＝f (x)满足如下条件：(1)在闭区间[a，b]上图象是连续不断的；(2)在区间(a，b)上都有导数，则在区间(a，b)上至少存在一个数ξ，使得f (b)－f (a)＝f ′(ξ)(b－a)，其中ξ称为拉格朗日中值，则g(x)＝ln x在区间[1，e]上的拉格朗日中值ξ＝________．
14
15
e－1
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
e－1　[由已知得g′(x)＝，则g′(ξ)＝．
由拉格朗日中值的定义可知，函数g(x)＝ln x在区间[1，e]上的拉格朗日中值ξ满足g(e)－g(1)＝g′(ξ)(e－1)，所以g′(ξ)＝＝，所以g′(ξ)＝＝，则ξ＝e－1．]
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题号
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14．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？说明理由．
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[解]　不存在，理由如下：
因为y1＝sin x，y2＝cos x，所以y′1＝cos x，y′2＝－sin x．
设两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)，则两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝，k2＝－sin x0．
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若两条切线互相垂直，则cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，
所以sin 2x0＝2，显然不成立，
所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直．
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15．若函数y＝f (x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f (x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
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√
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A　[设函数y＝f (x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f ′(x1)，k2＝f ′(x2)，若函数具有T性质，则k1·k2＝f ′(x1)·f ′(x2)＝－1．对于A选项，f ′(x)＝cos x，显然k1·k2＝
cos x1·cos x2＝－1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f ′(x)＝(x＞0)，显然k1·k2＝·＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f ′(x)＝ex＞0，显然k1·k2＝＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f ′(x)＝3x2≥0，显然k1·k2＝＝－1无解，故该函数不具有T性质．故选A．]
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