资源简介

(共61张PPT)
5.2.2　导数的四则运算法则
第五章　一元函数的导数及其应用
5.2　导数的运算
整体感知
[学习目标]　1．能利用导数的运算法则求函数的导数．(数学运算)
2．掌握导数的四则运算法则及应用．(逻辑推理、数学运算)
(教师用书)
同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则，我们知道，可以对基本初等函数进行加、减形式的组合，组合后的函数，又如何求导，这将是我们本节课要学习的内容．
[讨论交流]　
问题1．导数的四则运算法则是什么？
问题2．在导数的四则运算法则中，若g(x)＝c(c为常数)时，[f (x)±c]′
等于什么？等于什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　f (x)±g(x)的导数
探究问题1　设f (x)＝x3，g(x)＝x，计算[f (x)＋g(x)]′与[f (x)－g(x)]′，它们与f ′(x)和g′(x)有什么关系？
[提示]　设y＝f (x)＋g(x)＝x3＋x，Δy＝(x＋Δx)3＋(x＋Δx)－(x3＋x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，＝3x2＋1＋3xΔx＋(Δx)2，y′＝＝3x2＋1，
而f ′(x)＝3x2，g′(x)＝1，
所以[f (x)＋g(x)]′＝f ′(x)＋g′(x)．
设y＝f (x)－g(x)＝x3－x，
Δy＝(x＋Δx)3－(x＋Δx)－(x3－x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3－Δx，＝3x2－1＋3xΔx＋(Δx)2，y′＝＝3x2－1，而f ′(x)＝3x2，g′(x)＝1，
所以[f (x)－g(x)]′＝f ′(x)－g′(x)．
[新知生成]
两个函数f (x)和g(x)的和(或差)的导数：[f (x)±g(x)]′＝__________．
【教用·微提醒】　推广式：[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f ′1(x)±
f ′2(x)±…±f ′n(x)．
f ′(x)±g′(x)
【链接·教材例题】
例3　求下列函数的导数：
(1)y＝x3－x＋3；(2)y＝2x＋cos x．
[解]　(1)y′＝(x3－x＋3)′
＝(x3)′－(x)′＋(3)′＝3x2－1；
(2)y′＝(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′
＝2x ln 2－sin x．
[典例讲评]　1．求下列函数的导数：
(1)y＝x4－x2＋cos x；(2)y＝log3x－ex．
[解]　(1)y′＝(x4)′－(x2)′＋(cos x)′＝4x3－2x－sin x．
(2)y′＝(log3x)′－(ex)′＝－ex．
反思领悟　两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用导数的运算法则即可．
[学以致用]　1．求下列函数的导数：
(1)y＝3x＋；(2)y＝lg x＋x-2－3．
[解]　(1)y′＝(3x)′＋()′＝3x ln 3＋．
(2)y′＝(lg x)′＋(x-2)′－(3)′＝－2x-3．
探究2　f (x)g(x)和的导数
探究问题2　设f (x)＝x3，g(x)＝x，计算[f (x)·g(x)]′与f ′(x)g′(x)，它们是否相等？与是否相等？
[提示]　因为[f (x)g(x)]′＝(x4)′＝4x3，
f ′(x)g′(x)＝3x2·1＝3x2，＝(x2)′＝2x，＝＝3x2，
所以[f (x)g(x)]′≠f ′(x)g′(x)，≠．
[新知生成]
1．[f (x)g(x)]′＝________________________，特别地，[cf (x)]′＝________．
2．＝(g(x)≠0)．
f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
cf ′(x)
【教用·微提醒】　积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；商的导数公式，分母平方，分子用“减号”．
【链接·教材例题】
例4　求下列函数的导数：
(1)y＝x3ex；(2)y＝．
[解]　(1)y′＝(x3ex)′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex．
(2)y′＝＝＝＝．
[典例讲评]　2．(源自北师大版教材)求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝x2(ln x＋sin x)．
[思路导引]　根据每个函数解析式的构成特点，利用求导公式和运算法则进行求解．
[解]　(1)函数y＝是函数f (x)＝x2与g(x)＝ln x的商，根据导数公式表分别得出f ′(x)＝2x，g′(x)＝．
根据求导的除法法则，可得
＝＝．
(2)函数y＝x2(ln x＋sin x)是函数f (x)＝x2与g(x)＝ln x＋sin x的积．
根据导数公式表及求导的加法法则分别得出
f ′(x)＝2x，g′(x)＝＋cos x．
根据求导的乘法法则，可得
[x2(ln x＋sin x)]′＝2x(ln x＋sin x)＋x2·＝x＋2x ln x＋2x sin x＋x2cos x．
反思领悟　利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组成的，确定所需的求导法则和基本公式．
(2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导．常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
[学以致用]　2．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝x2ex．
[解]　(1)函数y＝是函数f (x)＝cos x－x与g(x)＝x2的商．
根据导数公式表及求导的减法法则分别得出
f ′(x)＝－sin x－1，g′(x)＝2x．
根据求导的除法法则，可得
＝
＝－＝－．
(2)函数y＝x2ex是函数f (x)＝x2与g(x)＝ex的积，根据导数公式表分别得出f ′(x)＝2x，g′(x)＝ex．根据求导的乘法法则，可得
(x2ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝(2x＋x2)ex．
【教用·备选题】　求下列函数的导数：
(1)y＝4x3＋x2－ln x＋1；(2)y＝．
[解]　(1)y′＝12x2＋2x－．
(2)y′＝
＝．
【链接·教材例题】
例5　日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80＜x＜100)．
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
(1)90%；(2)98%．
探究3　导数四则运算法则的综合应用
[解]　净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
c′(x)＝＝
＝＝．
(1)因为c′(90)＝＝52.84，所以，净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨．
(2)因为c′(98)＝＝1321，所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨．
函数f (x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c′(98)＝25c′(90)．它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
[典例讲评]　3．(1)已知函数f (x)＝2cos x－f ′sin x，则f ′＝(　　)
A．　　B．－　　C．2　　D．－2
(2)求曲线f (x)＝＋2x ln x在点(1，0)处的切线的方程．
√
(1)B　[因为f (x)＝2cos x－f ′sin x，所以f ′(x)＝－2sin x－f ′cos x，
故f ′＝－2sin －f ′cos ，即f ′＝－，所以f ′＝－．故选B．]
(2)根据导数公式表及导数的四则运算法则，可得
f ′(x)＝＋(2x)′ln x＋2x(ln x)′
＝＋(2x ln 2)ln x＋＝－＋2x ln 2ln x＋．
将x＝1代入f ′(x)，得所求切线的斜率为f ′(1)＝．
所以曲线f (x)＝＋2x ln x在点(1，0)处的切线的方程为y＝(x－1)，即y＝x－．
反思领悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清“在某点”和“过某点”导数的不同．
[学以致用]　3．(1)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80＜x＜100)．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是(　　)
A．－40元/t　　 B．－10元/t
C．10元/t　　 D．40元/t
(2)曲线y＝(x－1)ex在点(1，0)处的切线与坐标轴围成的面积为________．
√
1
(1)D　(2)1　[(1)净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，
因为c(x)＝(80＜x＜100)，
所以c′(x)＝′＝，
又因为c′(90)＝＝40，
所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/t．
(2)由题意可知，y′＝x·ex，y′|x＝1＝2，
∴切线方程为y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0．
令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1．
∴曲线y＝(x－1)ex在点(1，0)处的切线与坐标轴围成的面积S＝×2×1＝1．]
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
C　[由已知可得f ′(x)＝ln x＋1，则f ′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e．故选C．]
1．已知f (x)＝x ln x，若f ′(x0)＝2，则x0＝(　　)
A．e2　　B．　　C．e　　D．ln 2
2
3
题号
1
4
2．(多选)下列求导运算不正确的是(　　)
A．＝1＋ B．＝
C．(5x)′＝5xlog5x D．(x2cos x)′＝－2x sin x
√
√
√
2
3
题号
1
4
ACD　[对于A项，＝1－，A错误；
对于B项，＝，B正确；
对于C项，(5x)′＝5x ln 5，C错误；
对于D项，(x2cos x)′＝2x cos x－x2sin x，D错误．
故选ACD．]
2
3
题号
4
1
3．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　)
A．y＝x　　 B．y＝x
C．y＝x＋　　 D．y＝x＋
√
2
3
题号
4
1
C　[设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)．
因为y＝，所以y′＝＝，
所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，
所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋．故选C．]
2
4
3
题号
1
4．已知f (x)＝cos x，则f (π)＋f ′＝________．
－　[因为f (x)＝cos x，
所以f ′(x)＝－cos x－sin x，
所以f ′＝－，
又f (π)＝－，
所以f (π)＋f ′＝－．]
－
1．知识链：(1)导数的四则运算法则．
(2)运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
(3)导数四则运算法则的应用．
2．方法链：转化思想、方程思想．
3．警示牌：注意两个函数的商的导数法则中，分母不能为0，否则无意义．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．应用导数四则运算法则求导数有哪些常用技巧？
[提示]　(1)求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后求导，这样既减少了计算量，又可少出错．
(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．
(3)在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．
2．你认为与切线有关的参数问题有哪些处理技巧？
[提示]　通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上．
课时分层作业(十六)　导数的四则运算法则
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
D　[∵f ′(x)＝9＋2x，∴f ′(x0)＝9＋2x0＝3，∴x0＝－．故选D．]
一、选择题
1．已知函数f (x)＝9x＋x2＋7，且f ′(x0)＝3，则x0的值为(　　)
A．1　　B．3　　C．　　D．－
题号
2
1
3
4
5
6
8
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9
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13
2．已知函数f (x)＝x(x－3)(x－32)(x－33)(x－34)·(x－35)，则f ′(0)＝(　　)
A．315　　B．314　　C．－314　　D．－315
√
14
15
D　[设g(x)＝(x－3)(x－32)(x－33)(x－34)(x－35)，
则f (x)＝xg(x)，求导可得，f ′(x)＝g(x)＋xg′(x)，
当x＝0时，f ′(0)＝g(0)＋0＝(0－3)×(0－32)×(0－33)×(0－34)×(0－35)＝－315．故选D．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
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13
1
3．某市在一次降雨过程中，降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似地表示为y＝f (t)＝，则在时刻t＝40 min的降雨强度为(　　)
A．20 mm/min　　 B．400 mm/min
C． mm/min　　 D． mm/min
√
14
15
D　[由f (t)＝，得f ′(t)＝，所以f ′(40)＝＝．]
题号
4
2
3
5
6
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13
1
4．当函数y＝(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于(　　)
A．a　　B．±a　　C．－a　　D．a2
√
14
15
B　[y′＝＝
＝，由－a2＝0，得x0＝±a．]
题号
2
4
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3
6
8
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1
5．已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1　　 B．a＝e，b＝1
C．a＝e-1，b＝1　　 D．a＝e-1，b＝－1
√
14
15
D　[因为y′＝aex＋ln x＋1，
所以k＝y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)·x－1．
所以即故选D．]
题号
2
4
5
3
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1
二、填空题
6．设函数f (x)＝，则f ′(1)＝________．
14
15
1　[f ′(x)＝＝，
∴f ′(1)＝＝1．]
1
题号
2
4
5
3
7
6
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11
12
13
1
7．已知某物体在平面上做变速直线运动，且位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系可用函数s(t)＝ln (t＋1)＋t2－t表示，则该物体在t＝3秒时的瞬时速度为________米/秒．
14
15
　[因为s(t)＝ln (t＋1)＋t2－t，所以s′(t)＝＋2t－1，当t＝3时，s′(3)＝＋6－1＝(米/秒)．]
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
8．已知函数f (x)＝ln x＋x，当Δx→0时，＝________．
14
15
2　[f (x)＝ln x＋x，则f ′(x)＝＋1，故当Δx→0时，＝
f ′(1)＝1＋1＝2．]
2
题号
9
2
4
5
3
8
6
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13
1
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(2)y＝．
14
15
[解]　(1)y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9．
(2)y′＝＝．
题号
9
2
4
5
3
8
6
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13
1
10．曲线y＝x ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是(　　)
A．　　B．　　C．1　　D．2
14
15
B　[设曲线y＝x ln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行．
∵y′＝ln x＋1，∴切线斜率k＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，
∴y0＝0，即切点坐标为(1，0)．
∴切点(1，0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝x ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是．]
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
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13
1
11．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f ′(x)是f (x)的导函数，f ″(x)是f ′(x)的导
函数，则曲线y＝f (x)在点(x，f (x))处的曲率K＝．若f (x)
＝x－ex，则曲线y＝f (x)在点(0，－1)处的曲率K是(　　)
A．0　　B．　　C．1　　D．e
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
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1
C　[根据题意，可得f ′(x)＝1－ex，f ′′(x)＝－ex，得f ′(0)＝1－e0＝0，f ″(0)＝－e0＝－1．因此，曲线y＝f (x)在点(0，－1)处的曲率K＝
＝＝1．故选C．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
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1
12．(2024·全国甲卷)设函数f (x)＝，则曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
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13
1
A　[f ′(x)＝，
则f ′(0)＝＝3，所以该切线方程为y－1＝3x，
即y＝3x＋1，
令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S＝×1×＝．故选A．]
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题号
9
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1
13．函数f (x)＝，则f ′＝________．
14
15
　[f ′(x)＝＝，∴f ′＝．]
题号
9
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13
1
14．已知函数f (x)(x∈(0，＋∞))的导函数为f ′(x)，且满足xf ′(x)－
2f (x)＝x3ex，f (1)＝e－1，求f (x)在点(2，f (2))处的切线方程．
14
15
[解]　∵xf ′(x)－2f (x)＝x3ex，x∈(0，＋∞)，
∴＝ex．
令g(x)＝，则g′(x)＝＝ex，
∴g(x)＝＝ex＋c(c为常数)，∴f (x)＝x2(ex＋c)．
题号
9
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1
又f (1)＝e＋c＝e－1，∴c＝－1，
∴f (x)＝x2(ex－1)，
∴f ′(x)＝2x(ex－1)＋x2ex＝(x2＋2x)ex－2x，
∴f ′(2)＝8e2－4．
又f (2)＝4(e2－1)，∴所求切线方程为y－4(e2－1)＝(8e2－4)·(x－2)，
即y＝(8e2－4)x－12e2＋4．
14
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题号
9
2
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5
3
8
6
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1
15．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f (x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f ′(0)＝________．
14
15
4 096　[因为f ′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·
(x－a8)]′·x，所以f ′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8．
因为数列{an}为等比数列，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，
所以f ′(0)＝84＝4 096．]
4 096
THANKS5.2.2　导数的四则运算法则
[学习目标]　1．能利用导数的运算法则求函数的导数．(数学运算)
2．掌握导数的四则运算法则及应用．(逻辑推理、数学运算)
(教师用书)
同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则，我们知道，可以对基本初等函数进行加、减形式的组合，组合后的函数，又如何求导，这将是我们本节课要学习的内容．
[讨论交流]　
问题1．导数的四则运算法则是什么？
问题2．在导数的四则运算法则中，若g(x)＝c(c为常数)时，[f (x)±c]′等于什么？等于什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　f (x)±g(x)的导数
探究问题1　设f (x)＝x3，g(x)＝x，计算[f (x)＋g(x)]′与[f (x)－g(x)]′，它们与f ′(x)和g′(x)有什么关系？
[提示]　设y＝f (x)＋g(x)＝x3＋x，Δy＝(x＋Δx)3＋(x＋Δx)－(x3＋x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，＝3x2＋1＋3xΔx＋(Δx)2，y′＝＝3x2＋1，
而f ′(x)＝3x2，g′(x)＝1，
所以[f (x)＋g(x)]′＝f ′(x)＋g′(x)．
设y＝f (x)－g(x)＝x3－x，
Δy＝(x＋Δx)3－(x＋Δx)－(x3－x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3－Δx，＝3x2－1＋3xΔx＋(Δx)2，y′＝＝3x2－1，而f ′(x)＝3x2，g′(x)＝1，
所以[f (x)－g(x)]′＝f ′(x)－g′(x)．
[新知生成]
两个函数f (x)和g(x)的和(或差)的导数：[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)．
【教用·微提醒】　推广式：[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)．
【链接·教材例题】
例3　求下列函数的导数：
(1)y＝x3－x＋3；
(2)y＝2x＋cos x．
[解]　(1)y′＝(x3－x＋3)′
＝(x3)′－(x)′＋(3)′
＝3x2－1；
(2)y′＝(2x＋cos x)′
＝(2x)′＋(cos x)′
＝2x ln 2－sin x．
[典例讲评]　1．求下列函数的导数：
(1)y＝x4－x2＋cos x；(2)y＝log3x－ex．
[解]　(1)y′＝(x4)′－(x2)′＋(cos x)′＝4x3－2x－sin x．
(2)y′＝(log3x)′－(ex)′＝－ex．
　两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用导数的运算法则即可．
[学以致用]　1．求下列函数的导数：
(1)y＝3x＋；(2)y＝lg x＋x-2－3．
[解]　(1)y′＝(3x)′＋()′＝3x ln 3＋．
(2)y′＝(lg x)′＋(x-2)′－(3)′＝－2x-3．
探究2　f (x)g(x)和的导数
探究问题2　设f (x)＝x3，g(x)＝x，计算[f (x)·g(x)]′与f ′(x)g′(x)，它们是否相等？与是否相等？
[提示]　因为[f (x)g(x)]′＝(x4)′＝4x3，
f ′(x)g′(x)＝3x2·1＝3x2，
＝(x2)′＝2x，
＝＝3x2，
所以[f (x)g(x)]′≠f ′(x)g′(x)，
≠．
[新知生成]
1．[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf (x)]′＝cf ′(x)．
2．＝(g(x)≠0)．
【教用·微提醒】　积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；商的导数公式，分母平方，分子用“减号”．
【链接·教材例题】
例4　求下列函数的导数：
(1)y＝x3ex；
(2)y＝．
[解]　(1)y′＝(x3ex)′
＝(x3)′ex＋x3(ex)′
＝3x2ex＋x3ex．
(2)y′＝
＝
＝
＝．
[典例讲评]　2．(源自北师大版教材)求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝x2(ln x＋sin x)．
[思路导引]　根据每个函数解析式的构成特点，利用求导公式和运算法则进行求解．
[解]　(1)函数y＝是函数f (x)＝x2与g(x)＝ln x的商，根据导数公式表分别得出f ′(x)＝2x，g′(x)＝．
根据求导的除法法则，可得
＝＝．
(2)函数y＝x2(ln x＋sin x)是函数f (x)＝x2与g(x)＝ln x＋sin x的积．
根据导数公式表及求导的加法法则分别得出
f ′(x)＝2x，g′(x)＝＋cos x．
根据求导的乘法法则，可得
[x2(ln x＋sin x)]′＝2x(ln x＋sin x)＋x2·＝x＋2x ln x＋2x sin x＋x2cos x．
　利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组成的，确定所需的求导法则和基本公式．
(2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导．常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
[学以致用]　2．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝x2ex．
[解]　(1)函数y＝是函数f (x)＝cos x－x与g(x)＝x2的商．
根据导数公式表及求导的减法法则分别得出
f ′(x)＝－sin x－1，g′(x)＝2x．
根据求导的除法法则，可得
＝
＝－
＝－．
(2)函数y＝x2ex是函数f (x)＝x2与g(x)＝ex的积，根据导数公式表分别得出f ′(x)＝2x，g′(x)＝ex．根据求导的乘法法则，可得
(x2ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝(2x＋x2)ex．
【教用·备选题】　求下列函数的导数：
(1)y＝4x3＋x2－ln x＋1；
(2)y＝．
[解]　(1)y′＝12x2＋2x－．
(2)y′＝
＝．
探究3　导数四则运算法则的综合应用
【链接·教材例题】
例5　日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为
c(x)＝(80＜x＜100)．
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
(1)90%；(2)98%．
[解]　净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
c′(x)＝
＝
＝
＝．
(1)因为c′(90)＝＝52.84，所以，净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨．
(2)因为c′(98)＝＝1321，所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨．
函数f (x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c′(98)＝25c′(90)．它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
[典例讲评]　3．(1)已知函数f (x)＝2cos x－f ′sin x，则f ′＝(　　)
A．　　B．－　　C．2　　D．－2
(2)求曲线f (x)＝＋2x ln x在点(1，0)处的切线的方程．
(1)B　[因为f (x)＝2cos x－f ′sin x，所以f ′(x)＝－2sin x－f ′cos x，
故f ′＝－2sin －f ′cos ，即f ′＝－，所以f ′＝－．故选B．]
(2)根据导数公式表及导数的四则运算法则，可得
f ′(x)＝＋(2x)′ln x＋2x(ln x)′
＝＋(2x ln 2)ln x＋
＝－＋2x ln 2ln x＋．
将x＝1代入f ′(x)，得所求切线的斜率为
f ′(1)＝．
所以曲线f (x)＝＋2x ln x在点(1，0)处的切线的方程为y＝(x－1)，即y＝x－．
　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清“在某点”和“过某点”导数的不同．
[学以致用]　3．(1)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80＜x＜100)．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是(　　)
A．－40元/t B．－10元/t
C．10元/t D．40元/t
(2)曲线y＝(x－1)ex在点(1，0)处的切线与坐标轴围成的面积为________．
(1)D　(2)1　[(1)净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，
因为c(x)＝(80＜x＜100)，
所以c′(x)＝′＝，
又因为c′(90)＝＝40，
所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/t．
(2)由题意可知，y′＝x·ex，y′|x＝1＝2，
∴切线方程为y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0．
令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1．
∴曲线y＝(x－1)ex在点(1，0)处的切线与坐标轴围成的面积S＝×2×1＝1．]
1．已知f (x)＝x ln x，若f ′(x0)＝2，则x0＝(　　)
A．e2 B． C．e D．ln 2
C　[由已知可得f ′(x)＝ln x＋1，则f ′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e．故选C．]
2．(多选)下列求导运算不正确的是(　　)
A．＝1＋
B．＝
C．(5x)′＝5xlog5x
D．(x2cos x)′＝－2x sin x
ACD　[对于A项，＝1－，A错误；
对于B项，＝，B正确；
对于C项，(5x)′＝5x ln 5，C错误；
对于D项，(x2cos x)′＝2x cos x－x2sin x，D错误．
故选ACD．]
3．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
C　[设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)．
因为y＝，所以y′＝＝，
所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，
所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋．故选C．]
4．已知f (x)＝cos x，则f (π)＋f ′＝________．
－　[因为f (x)＝cos x，
所以f ′(x)＝－cos x－sin x，
所以f ′＝－，
又f (π)＝－，
所以f (π)＋f ′＝－．]
1．知识链：(1)导数的四则运算法则．
(2)运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
(3)导数四则运算法则的应用．
2．方法链：转化思想、方程思想．
3．警示牌：注意两个函数的商的导数法则中，分母不能为0，否则无意义．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．应用导数四则运算法则求导数有哪些常用技巧？
[提示]　(1)求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后求导，这样既减少了计算量，又可少出错．
(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．
(3)在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．
2．你认为与切线有关的参数问题有哪些处理技巧？
[提示]　通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上．
课时分层作业(十六)　导数的四则运算法则
一、选择题
1．已知函数f (x)＝9x＋x2＋7，且f ′(x0)＝3，则x0的值为(　　)
A．1 B．3 C． D．－
D　[∵f ′(x)＝9＋2x，∴f ′(x0)＝9＋2x0＝3，∴x0＝－．故选D．]
2．已知函数f (x)＝x(x－3)(x－32)(x－33)(x－34)·(x－35)，则f ′(0)＝(　　)
A．315 B．314 C．－314 D．－315
D　[设g(x)＝(x－3)(x－32)(x－33)(x－34)(x－35)，
则f (x)＝xg(x)，求导可得，f ′(x)＝g(x)＋xg′(x)，
当x＝0时，f ′(0)＝g(0)＋0＝(0－3)×(0－32)×(0－33)×(0－34)×(0－35)＝－315．故选D．]
3．某市在一次降雨过程中，降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似地表示为y＝f (t)＝，则在时刻t＝40 min的降雨强度为(　　)
A．20 mm/min B．400 mm/min
C． mm/min D． mm/min
D　[由f (t)＝，
得f ′(t)＝，
所以f ′(40)＝＝．]
4．当函数y＝(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于(　　)
A．a B．±a C．－a D．a2
B　[y′＝＝
＝，由－a2＝0，得x0＝±a．]
5．已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e-1，b＝1 D．a＝e-1，b＝－1
D　[因为y′＝aex＋ln x＋1，
所以k＝y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)·x－1．
所以即故选D．]
二、填空题
6．设函数f (x)＝，则f ′(1)＝________．
1　[f ′(x)＝＝，
∴f ′(1)＝＝1．]
7．已知某物体在平面上做变速直线运动，且位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系可用函数s(t)＝ln (t＋1)＋t2－t表示，则该物体在t＝3秒时的瞬时速度为________米/秒．
　[因为s(t)＝ln (t＋1)＋t2－t，所以s′(t)＝＋2t－1，当t＝3时，s′(3)＝＋6－1＝(米/秒)．]
8．已知函数f (x)＝ln x＋x，当Δx→0时，＝________．
2　[f (x)＝ln x＋x，则f ′(x)＝＋1，故当Δx→0时，＝f ′(1)＝1＋1＝2．]
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(2)y＝．
[解]　(1)y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9．
(2)y′＝＝．
10．曲线y＝x ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是(　　)
A． B． C．1 D．2
B　[设曲线y＝x ln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行．
∵y′＝ln x＋1，
∴切线斜率k＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，
∴y0＝0，即切点坐标为(1，0)．
∴切点(1，0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝x ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是．]
11．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f ′(x)是f (x)的导函数，f ″(x)是f ′(x)的导函数，则曲线y＝f (x)在点(x，f (x))处的曲率K＝．若f (x)＝x－ex，则曲线y＝f (x)在点(0，－1)处的曲率K是(　　)
A．0 B． C．1 D．e
C　[根据题意，可得f ′(x)＝1－ex，f ′′(x)＝－ex，得f ′(0)＝1－e0＝0，f ″(0)＝－e0＝－1．因此，曲线y＝f (x)在点(0，－1)处的曲率K＝＝＝1．故选C．]
12．(2024·全国甲卷)设函数f (x)＝，则曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A． B． C． D．
A　[f ′(x)＝，
则f ′(0)＝＝3，所以该切线方程为y－1＝3x，
即y＝3x＋1，
令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S＝×1×＝．故选A．]
13．函数f (x)＝，则f ′＝________．
　[f ′(x)＝＝，∴f ′＝．]
14．已知函数f (x)(x∈(0，＋∞))的导函数为f ′(x)，且满足xf ′(x)－2f (x)＝x3ex，f (1)＝e－1，求f (x)在点(2，f (2))处的切线方程．
[解]　∵xf ′(x)－2f (x)＝x3ex，x∈(0，＋∞)，
∴＝ex．
令g(x)＝，则g′(x)＝＝ex，
∴g(x)＝＝ex＋c(c为常数)，
∴f (x)＝x2(ex＋c)．
又f (1)＝e＋c＝e－1，∴c＝－1，
∴f (x)＝x2(ex－1)，
∴f ′(x)＝2x(ex－1)＋x2ex＝(x2＋2x)ex－2x，
∴f ′(2)＝8e2－4．
又f (2)＝4(e2－1)，∴所求切线方程为y－4(e2－1)＝(8e2－4)·(x－2)，
即y＝(8e2－4)x－12e2＋4．
15．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f (x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f ′(0)＝________．
4 096　[因为f ′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f ′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8．
因为数列{an}为等比数列，
所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，
所以f ′(0)＝84＝4 096．]
13/135.2.2　导数的四则运算法则
[学习目标]　1．能利用导数的运算法则求函数的导数．(数学运算)
2．掌握导数的四则运算法则及应用．(逻辑推理、数学运算)
[讨论交流]　
问题1．导数的四则运算法则是什么？
问题2．在导数的四则运算法则中，若g(x)＝c(c为常数)时，[f (x)±c]′等于什么？等于什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　f (x)±g(x)的导数
探究问题1　设f (x)＝x3，g(x)＝x，计算[f (x)＋g(x)]′与[f (x)－g(x)]′，它们与f ′(x)和g′(x)有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
两个函数f (x)和g(x)的和(或差)的导数：[f (x)±g(x)]′＝________．
[典例讲评]　1．求下列函数的导数：
(1)y＝x4－x2＋cos x；(2)y＝log3x－ex．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用导数的运算法则即可．
[学以致用]　1．求下列函数的导数：
(1)y＝3x＋；(2)y＝lg x＋x-2－3．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　f (x)g(x)和的导数
探究问题2　设f (x)＝x3，g(x)＝x，计算[f (x)·g(x)]′与f ′(x)g′(x)，它们是否相等？与是否相等？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．[f (x)g(x)]′＝________，特别地，[cf (x)]′＝________．
2．＝________________ (g(x)≠0)．
[典例讲评]　2．(源自北师大版教材)求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝x2(ln x＋sin x)．
[思路导引]　根据每个函数解析式的构成特点，利用求导公式和运算法则进行求解．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组成的，确定所需的求导法则和基本公式．
(2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导．常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
[学以致用]　2．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝x2ex．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　导数四则运算法则的综合应用
[典例讲评]　3．(1)已知函数f (x)＝2cos x－f ′sin x，则f ′＝(　　)
A．　　B．－　　C．2　　D．－2
(2)求曲线f (x)＝＋2x ln x在点(1，0)处的切线的方程．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清“在某点”和“过某点”导数的不同．
[学以致用]　3．(1)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80＜x＜100)．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是(　　)
A．－40元/t B．－10元/t
C．10元/t D．40元/t
(2)曲线y＝(x－1)ex在点(1，0)处的切线与坐标轴围成的面积为________．
1．已知f (x)＝x ln x，若f ′(x0)＝2，则x0＝(　　)
A．e2 B． C．e D．ln 2
2．(多选)下列求导运算不正确的是(　　)
A．＝1＋
B．＝
C．(5x)′＝5xlog5x
D．(x2cos x)′＝－2x sin x
3．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
4．已知f (x)＝cos x，则f (π)＋f ′＝________．
1．知识链：(1)导数的四则运算法则．
(2)运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
(3)导数四则运算法则的应用．
2．方法链：转化思想、方程思想．
3．警示牌：注意两个函数的商的导数法则中，分母不能为0，否则无意义．
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