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5.2.3　简单复合函数的导数
[学习目标]　1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．(数学运算)
2．综合运用函数的求导法则解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
[讨论交流]　
问题1．复合函数的定义是什么？
问题2．复合函数的求导法则是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　复合函数的概念
探究问题1　函数y＝log2(3x＋2)是如何构成的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝________．
[典例讲评]　1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　)
A．y＝x ln x　　　　 B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin x D．y＝sin
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　若f (x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f (g(x))或函数y＝g(f (x))均为复合函数．
[学以致用]　1．函数y＝sin (2x－1)如果看成复合函数y＝f (φ(x))，下列式子正确的是(　　)
A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sin x
C．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin (2x－1)
探究2　复合函数的导数
探究问题2　你能用导数的运算法则求出函数y＝sin 2x的导数吗？它与函数y＝sin u，u＝2x的导数有什么关系？你能用文字语言描述复合函数的导数运算法则吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[典例讲评]　2．求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝log2(2x＋1)；
(3)y＝e3x+2；
(4)y＝sin ．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．求复合函数的导数的步骤
2．求复合函数的导数的注意点
(1)分解的函数通常为基本初等函数．
(2)求导时分清是对哪个变量求导．
[学以致用]　2．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)4；
(2)y＝102x+3；
(3)y＝e－x·sin 2x；
(4)y＝．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　复合函数的导数的应用
[典例讲评]　3．(1)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)
A．　　　B．2　　　C．3　　　D．0
(2)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
[思路导引]　(1) → →
(2)→
[母题探究]　
1．本例(1)的条件变为“曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．求本例(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　本题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数．解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
[学以致用]　3．已知函数f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f ′(x)是f (x)的导函数，且a＝f ′，求曲线y＝x3在x＝a处的切线方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4　复合函数的导数的综合应用
[典例讲评]　4．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况．
[学以致用]　4．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x)＝，则f ′(x)＝________，其图象在点(0，1)处的切线方程为________．
1．已知函数f (x)＝sin 2x＋cos 2x，那么f ′＝(　　)
A．－2 B．2 C． D．－
2．(多选)下列求导正确的是(　　)
A．(e3x)′＝3e2x
B．(2sin x－3)′＝2cos x
C．′＝
D．(x cos x)′＝cos x－x sin x
3．设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
4．设f (x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R)．若直线y＝x与曲线y＝f (x)在点(0，0)处相切，则a＝________，b＝________．
1．知识链：(1)复合函数的概念．
(2)复合函数的求导法则．
(3)复合函数的导数的应用．
2．方法链：转化法．
3．警示牌：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．
3/5(共64张PPT)
5.2.3　简单复合函数的导数
第五章　一元函数的导数及其应用
5.2　导数的运算
整体感知
[学习目标]　1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．(数学运算)
2．综合运用函数的求导法则解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
(教师用书)
法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说过：“我只会做两件事，一件是简单的事，一件是把复杂的事情变简单”．我们学习了较简单的基本初等函数，还可以把两个或几个函数进行“复合”，怎样复合呢？那么，对于复合后的函数如何求导呢？我们是否也有简单的方法？
[讨论交流]　
问题1．复合函数的定义是什么？
问题2．复合函数的求导法则是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　复合函数的概念
探究问题1　函数y＝log2(3x＋2)是如何构成的？
[提示]　y＝log2(3x＋2)，其中3x＋2“占据”了对数函数y＝log2x中x的位置，f (x)＝log2x，而f (3x＋2)＝log2(3x＋2)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝log2(3x＋2)是由内层函数一次函数和外层函数对数函数复合而成，是复合函数．
[新知生成]
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝_________．
f (g(x))
[典例讲评]　1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　)
A．y＝x ln x　　　　 B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin x　　 D．y＝sin
BCD　[A不是复合函数；BCD都是复合函数．]
√
√
√
反思领悟　若f (x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f (g(x))或函数y＝g(f (x))均为复合函数．
[学以致用]　1．函数y＝sin (2x－1)如果看成复合函数y＝f (φ(x))，下列式子正确的是(　　)
A．φ(x)＝2x　　 B．φ(x)＝sin x
C．φ(x)＝2x－1　　 D．φ(x)＝sin (2x－1)
√
C　[y＝sin (2x－1)是由函数y＝sin u和u＝2x－1复合而成，可见φ(x)＝2x－1．故选C．]
探究2　复合函数的导数
探究问题2　你能用导数的运算法则求出函数y＝sin 2x的导数吗？它与函数y＝sin u，u＝2x的导数有什么关系？你能用文字语言描述复合函数的导数运算法则吗？
[提示]　y＝2sin x cos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′＝cos u，内层函数是u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x．复合函数y对自变量x的导数等于因变量y对中间变量u的导数与中间变量u对自变量x的导数的乘积．
[新知生成]
一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为____________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
y′x＝y′u·u′x
【教用·微提醒】　(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则．
(2)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．
(3)该公式可以推广至多层复合函数．
【链接·教材例题】
例6　求下列函数的导数：
(1)y＝(3x＋5)3；(2)y＝e-0.05x+1；(3)y＝ln (2x－1)．
[解]　(1)函数y＝(3x＋5)3可以看作函数y＝u3和u＝3x＋5的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
y′x＝y′u·u′x＝(u3)′·(3x＋5)′＝3u2×3＝9(3x＋5)2．
(2)函数y＝e-0.05x+1可以看作函数y＝eu和u＝－0.05x＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
y′x＝y′u·u′x
＝(eu)′·(－0.05x＋1)′
＝－0.05eu
＝－0.05e-0.05x+1．
(3)函数y＝ln (2x－1)可以看作函数y＝ln u和u＝2x－1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
y′x＝y′u·u′x
＝(ln u)′·(2x－1)′
＝×2
＝．
[典例讲评]　2．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝log2(2x＋1)；(3)y＝e3x+2；(4)y＝sin ．
[解]　(1)y＝，设y＝，u＝1－2x，
则y′x＝y′u·u′x＝(1－2x)′＝·(－2)＝．
即y′＝．
(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y′x＝y′u·u′x＝(log2u)′(2x＋1)′＝×2＝，
即y′＝．
(3)设y＝eu，u＝3x＋2，
则y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x+2，即y′＝3e3x+2．
(4)设y＝sin u，u＝2x＋，
则y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′＝2cos u
＝2cos ，即y′＝2cos ．
【教用·备选题】　求下列函数的导数：
(1)y＝e2x+1sin x；(2)f (x)＝；(3)f (x)＝．
[解]　(1)y′＝2e2x+1sin x＋e2x+1cos x＝(2sin x＋cos x)e2x+1．
(2)f (x)＝，f ′(x)＝．
(3)f (x)＝，f ′(x)＝．
反思领悟　1．求复合函数的导数的步骤
2．求复合函数的导数的注意点
(1)分解的函数通常为基本初等函数．
(2)求导时分清是对哪个变量求导．
[学以致用]　2．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝102x+3；(3)y＝e－x·sin 2x；(4)y＝．
[解]　(1)设y＝u4，u＝2x－1，
则y′x＝y′u·u′x＝(u4)′(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3．
(2)设y＝10u，u＝2x＋3，
则y′x＝y′u·u′x＝(10u)′(2x＋3)′
＝10u ln 10×2＝2×102x+3×ln 10＝102x+3×ln 100．
(3)y′x＝(e－x)′sin 2x＋e－x·(sin 2x)′＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x．
(4)y′x＝＝＝．
探究3　复合函数的导数的应用
[典例讲评]　3．(1)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)
A．　　　B．2　　　C．3　　　D．0
(2)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
[思路导引]　(1) → →
(2)→
√
2
(1)A　(2)2　[(1)设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
因为y′＝，所以y′|x＝＝＝2，
解得x0＝1，所以y0＝ln (2－1)＝0，
即切点坐标为(1，0)，
所以切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是．故选A．
(2)令y＝f (x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f ′(0)．又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2．因为f (x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2．]
[母题探究]　
1．本例(1)的条件变为“曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值．
[解]　设切点P(x0，y0)，由题意可知，y′|x＝＝＝2，
∴x0＝1，即切点P(1，0)，∴＝2，
解得m＝8或－12(舍，直线与曲线有交点，最小距离为0，不合题意)．即实数m的值为8．
2．求本例(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积．
[解]　由题意可知，切线方程为y－1＝2x，
即2x－y＋1＝0．
令x＝0，得y＝1；
令y＝0，得x＝－，
∴切线与坐标轴围成的面积S＝×1＝．
反思领悟　本题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数．解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
[学以致用]　3．已知函数f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f ′(x)是f (x)的导函数，且a＝f ′，求曲线y＝x3在x＝a处的切线方程．
[解]　由f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，
得f ′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，
则a＝f ′＝3－2sin ＋2cos ＝1．
由y＝x3得y′＝3x2，∴k＝y′|x＝1＝3．又x＝1时，y＝1，∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0．
【链接·教材例题】
例7　某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为y＝18sin ．求函数y在t＝3 s时的导数，并解释它的实际意义．
探究4　复合函数的导数的综合应用
[解]　函数y＝18sin 可以看作函数y＝18sin u和u＝t－的复合函数，根据复合函数的求导法则，有
y′t＝y′u·u′t
＝(18sin u)′·′＝18cos u×＝12πcos ．
当t＝3时，y′t＝12πcos ＝0．
它表示当t＝3 s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0 mm/s．
[典例讲评]　4．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．
[解]　设f (x)＝3sin x，x＝φ(t)＝t＋，
所以s′(t)＝f ′(x)φ′(t)＝3cos x·＝cos ．
将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝cos ＝．
s′(18)表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h．
反思领悟　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况．
[学以致用]　4．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x)＝，则f ′(x)＝________，其图象在点(0，1)处的切线方程为________．
y＝1
　y＝1　[∵f (x)＝，故f ′(x)＝＝，则f ′(0)＝0．故曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线方程为y＝1．]
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
A　[由题意，f ′(x)＝2cos 2x－2sin 2x，所以f ′＝2cos π－2sin π＝－2．]
1．已知函数f (x)＝sin 2x＋cos 2x，那么f ′＝(　　)
A．－2　　B．2　　C．　　D．－
2
3
题号
1
4
2．(多选)下列求导正确的是(　　)
A．(e3x)′＝3e2x B．(2sin x－3)′＝2cos x
C．＝ D．(x cos x)′＝cos x－x sin x
√
BD　[(e3x)′＝3e3x，故A错误；(2sin x－3)′＝2cos x，故B正确；
＝＝＝，故C错误；
(x cos x)′＝(x)′cos x＋x(cos x)′＝cos x－x sin x，故D正确．故选BD．]
√
2
3
题号
4
1
3．设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)
A．0　　B．1　　C．2　　D．3
D　[令f (x)＝ax－ln (x＋1)，∴f ′(x)＝a－．
由题意，得f ′(0)＝2，解得a＝3．]
√
2
4
3
题号
1
4．设f (x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R)．若直线y＝x与曲线y＝f (x)在点(0，0)处相切，则a＝________，b＝________．
0　－1　[由曲线y＝f (x)过点(0，0)，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1．
由f (x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b，得f ′(x)＝＋a，则f ′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线的斜率．由题意知＋a＝，故a＝0．]
0
－1
1．知识链：(1)复合函数的概念．
(2)复合函数的求导法则．
(3)复合函数的导数的应用．
2．方法链：转化法．
3．警示牌：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你认为如何对多个整式乘积形式的函数求导？
[提示]　(1)若待求导的函数为多个整式乘积的形式，可以利用多项式的乘法法则，化为和差的形式，再求导，其运算过程将会简化，运算量将会减小．
(2)若乘积因式不多时，也可以利用积的导数运算法则求导．
2．求复合函数的导数，应该注意哪些问题？
[提示]　求复合函数的导数的注意点：
(1)分解的函数通常为基本初等函数；
(2)求导时分清是对哪个变量求导；
(3)计算结果尽量简洁．
3．利用复合函数求导法则求复合函数的导数的一般步骤是什么？
[提示]　“分解—求导—还原”．
即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数的形式；
②利用求导法则分层求导；
③最终结果要将中间变量还原成自变量．注意不要漏掉第③步．
一、选择题
1．已知函数f (x)＝(2x－1)3，则f ′(1)＝(　　)
A．8　　B．6　　C．3　　D．1
课时分层作业(十七)　简单复合函数的导数
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
B　[根据题意，函数f (x)＝(2x－1)3，则f ′(x)＝6(2x－1)2，
则f ′(1)＝6(2－1)2＝6．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．函数y＝cos (1＋x2)的导数是(　　)
A．2x sin (1＋x2)　　 B．－sin(1＋x2)
C．－2x sin (1＋x2)　　 D．2cos(1＋x2)
√
14
15
C　[y′＝－sin (1＋x2)·(1＋x2)′＝－2x sin (1＋x2)．故选C．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．(多选)下列计算正确的有(　　)
A．(x2)′＝2x　　 B．(sin x)′＝cos x
C．(e－x)′＝e－x　　 D．[ln (x＋1)]′＝
√
14
15
ABD　[对于A，(x2)′＝2x，故A正确；对于B，(sin x)′＝cos x，故B正确；
对于C，令u＝－x，则y＝eu，所以(e－x)′＝(－x)′·(eu)′＝－eu＝－e－x，故C错误；对于D，令u＝x＋1，则y＝ln u，所以[ln (x＋1)]′＝(x＋1)′·(ln u)′＝1×＝，故D正确．故选ABD．]
√
√
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．曲线y＝在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A．4e2　　B．2e2　　C．e2　　D．e2
√
14
15
C　[由导数的几何意义，可得切线的斜率
k＝y′|x＝4＝|x＝4＝e2，
所以切线方程为y－e2＝e2(x－4)．
令x＝0，得y＝－e2；令y＝0，得x＝2．
所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S＝×2e2＝e2．故选C．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．已知函数f (x)＝xex－a，曲线y＝f (x)在点(a，f (a))处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝(　　)
A．－4　　B．－2　　C．2　　D．4
√
14
15
B　[由题得f ′(x)＝(x＋1)ex－a，所以f ′(a)＝a＋1＝3，解得a＝2，所以f (x)＝xex-2，可得f (2)＝2×e2-2＝2，所以切点为(2，2)，将点(2，2)的坐标代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2．故选B．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
二、填空题
6．已知某质点的位移s与时间t满足s(t)＝tet-1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________．
14
15
2　[s′(t)＝(t＋1)et-1，当t＝1时，s′(1)＝2．]
2
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
7．已知函数f (x)＝ax＋ln (x＋1)，f ′(0)＝4，则a＝________．
14
15
e3　[由题意，得f ′(x)＝ax ln a＋，则f ′(0)＝ln a＋1＝4，解得a＝e3．]
e3
题号
2
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5
3
8
6
7
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10
11
12
13
1
8．若函数f (x)＝3sin2＋5，则f ′的值为________．
14
15
－3　[由f (x)＝3sin2＋5，得f ′(x)＝6sin×
cos ×2，f ′＝6sin ×cos ×2＝
－3．]
－3
题号
9
2
4
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3
8
6
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10
11
12
13
1
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x＋3)10；(2)y＝e2x+1；(3)y＝ln (3x－2)．
14
15
[解]　(1)函数y＝(2x＋3)10可以看作y＝u10与u＝2x＋3复合而成，根据复合函数求导法则有
y′x＝y′u·u′x＝(u10)′·(2x＋3)′＝10u9·2＝20(2x＋3)9．
题号
9
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3
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10
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13
1
(2)函数y＝e2x+1可以看作y＝eu与u＝2x＋1复合而成，根据复合函数求导法则有
y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝eu·2＝2e2x+1．
(3)函数y＝ln (3x－2)可以看作y＝ln u与u＝3x－2复合而成，根据复合函数求导法则有
y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(3x－2)′＝·3＝．
14
15
题号
9
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3
8
6
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12
13
1
10．(多选)下列求导运算错误的是(　　)
A．若f (x)＝cos x，则f ′(x)＝－sin x
B．若f (x)＝e-2x+1，则f ′(x)＝e-2x+1
C．若f (x)＝，则f ′(x)＝
D．若f (x)＝x ln x，则f ′(x)＝
√
14
15
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
BD　[A选项，f ′(x)＝(cos x)′＝－sin x，A正确；
B选项，f ′(x)＝e-2x+1·(－2x＋1)′＝－2e-2x+1，B错误；
C选项，f ′(x)＝＝，C正确；
D选项，f ′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，D错误．故选BD．]
14
15
题号
9
2
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3
8
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13
1
11．(多选)曲线y＝e2xcos 3x在点(0，1)处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为(　　)
A．y＝2x＋6　　 B．y＝2x－4
C．y＝3x＋1　　 D．y＝3x－4
√
14
15
√
题号
9
2
4
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3
8
6
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10
11
12
13
1
AB　[y′＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，
∴y′|x＝0＝2，
则所求的切线方程为y＝2x＋1．
设直线l的方程为y＝2x＋b，
则＝，解得b＝6或－4．
∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4．故选AB．]
14
15
题号
9
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13
1
12．曲线y＝e-2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．1
√
14
15
题号
9
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13
1
A　[∵y′＝(－2x)′e-2x＝－2e-2x，
∴k＝－2e0＝－2，
因此切线方程为y－2＝－2(x－0)，
即y＝－2x＋2．如图所示．
∵y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标为，y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1，0)，
∴S＝×1×＝．故选A．]
14
15
题号
9
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13
1
13．已知f (x)为偶函数，当x≤0时，f (x)＝e－x-1－x，则曲线y＝f (x)在点(1，2)处的切线方程是___________．
14
15
2x－y＝0　[设x＞0，则－x＜0．因为x≤0时，f (x)＝e－x-1－x，所以
f (－x)＝ex-1＋x．又因为f (x)为偶函数，所以f (x)＝ex-1＋x，f ′(x)＝ex-1＋1，f ′(1)＝e1-1＋1＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．]
2x－y＝0
题号
9
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13
1
14．设函数f (x)＝aex ln x＋．
(1)求导函数f ′(x)；
(2)若曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．
14
15
[解]　(1)由f (x)＝aex ln x＋，
得f ′(x)＝(aex ln x)′＋＝aex ln x＋．
题号
9
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13
1
(2)由于切点既在曲线y＝f (x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，
将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f (x)的解析式得f (1)＝b，∴b＝2．
将x＝1代入导函数f ′(x)的解析式中，
得f ′(1)＝ae＝e，∴a＝1，∴a＝1，b＝2．
14
15
题号
9
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1
15．对于y＝ax(a＞0且a≠1)这类函数的求导，可以使用下面的方式进行：
第一步：ln y＝ln ax＝x ln a；
第二步：(ln y)′＝(x ln a)′；
第三步：·y′＝ln a；
第四步：y′＝y·ln a＝ax·ln a．
根据框内的信息，函数y＝xx(x＞0)的导数y′＝_____________．
14
15
xx(ln x＋1)
题号
9
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1
xx(ln x＋1)　[因为y＝xx，故可得ln y＝x ln x，所以(ln y)′＝(x ln x)′，即·y′＝ln x＋1，所以y′＝y(ln x＋1)＝xx(ln x＋1)．]
14
15
THANKS5.2.3　简单复合函数的导数
[学习目标]　1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．(数学运算)
2．综合运用函数的求导法则解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
(教师用书)
法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说过：“我只会做两件事，一件是简单的事，一件是把复杂的事情变简单”．我们学习了较简单的基本初等函数，还可以把两个或几个函数进行“复合”，怎样复合呢？那么，对于复合后的函数如何求导呢？我们是否也有简单的方法？
[讨论交流]　
问题1．复合函数的定义是什么？
问题2．复合函数的求导法则是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　复合函数的概念
探究问题1　函数y＝log2(3x＋2)是如何构成的？
[提示]　y＝log2(3x＋2)，其中3x＋2“占据”了对数函数y＝log2x中x的位置，f (x)＝log2x，而f (3x＋2)＝log2(3x＋2)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝log2(3x＋2)是由内层函数一次函数和外层函数对数函数复合而成，是复合函数．
[新知生成]
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))．
[典例讲评]　1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　)
A．y＝x ln x　　　　 B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin x D．y＝sin
BCD　[A不是复合函数；BCD都是复合函数．]
　若f (x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f (g(x))或函数y＝g(f (x))均为复合函数．
[学以致用]　1．函数y＝sin (2x－1)如果看成复合函数y＝f (φ(x))，下列式子正确的是(　　)
A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sin x
C．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin (2x－1)
C　[y＝sin (2x－1)是由函数y＝sin u和u＝2x－1复合而成，可见φ(x)＝2x－1．故选C．]
探究2　复合函数的导数
探究问题2　你能用导数的运算法则求出函数y＝sin 2x的导数吗？它与函数y＝sin u，u＝2x的导数有什么关系？你能用文字语言描述复合函数的导数运算法则吗？
[提示]　y＝2sin x cos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′＝cos u，内层函数是u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x．复合函数y对自变量x的导数等于因变量y对中间变量u的导数与中间变量u对自变量x的导数的乘积．
[新知生成]
一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【教用·微提醒】　(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则．
(2)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．
(3)该公式可以推广至多层复合函数．
【链接·教材例题】
例6　求下列函数的导数：
(1)y＝(3x＋5)3；
(2)y＝e-0.05x+1；
(3)y＝ln (2x－1)．
[解]　(1)函数y＝(3x＋5)3可以看作函数y＝u3和u＝3x＋5的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
y′x＝y′u·u′x
＝(u3)′·(3x＋5)′
＝3u2×3
＝9(3x＋5)2．
(2)函数y＝e-0.05x+1可以看作函数y＝eu和u＝－0.05x＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
y′x＝y′u·u′x
＝(eu)′·(－0.05x＋1)′
＝－0.05eu
＝－0.05e-0.05x+1．
(3)函数y＝ln (2x－1)可以看作函数y＝ln u和u＝2x－1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
y′x＝y′u·u′x
＝(ln u)′·(2x－1)′
＝×2
＝．
[典例讲评]　2．求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝log2(2x＋1)；
(3)y＝e3x+2；
(4)y＝sin ．
[解]　(1)y＝，设y＝，u＝1－2x，
则y′x＝y′u·u′x＝(1－2x)′
＝·(－2)＝．
即y′＝．
(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y′x＝y′u·u′x＝(log2u)′(2x＋1)′
＝×2＝，
即y′＝．
(3)设y＝eu，u＝3x＋2，
则y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x+2，即y′＝3e3x+2．
(4)设y＝sin u，u＝2x＋，
则y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′＝2cos u
＝2cos ，即y′＝2cos ．
【教用·备选题】　求下列函数的导数：
(1)y＝e2x+1sin x；
(2)f (x)＝；
(3)f (x)＝．
[解]　(1)y′＝2e2x+1sin x＋e2x+1cos x＝(2sin x＋cos x)e2x+1．
(2)f (x)＝，f ′(x)＝．
(3)f (x)＝，f ′(x)＝．
　1．求复合函数的导数的步骤
2．求复合函数的导数的注意点
(1)分解的函数通常为基本初等函数．
(2)求导时分清是对哪个变量求导．
[学以致用]　2．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)4；
(2)y＝102x+3；
(3)y＝e－x·sin 2x；
(4)y＝．
[解]　(1)设y＝u4，u＝2x－1，
则y′x＝y′u·u′x＝(u4)′(2x－1)′
＝4u3·2＝8(2x－1)3．
(2)设y＝10u，u＝2x＋3，
则y′x＝y′u·u′x＝(10u)′(2x＋3)′
＝10u ln 10×2＝2×102x+3×ln 10＝102x+3×ln 100．
(3)y′x＝(e－x)′sin 2x＋e－x·(sin 2x)′＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x．
(4)y′x＝＝＝．
探究3　复合函数的导数的应用
[典例讲评]　3．(1)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)
A．　　　B．2　　　C．3　　　D．0
(2)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
[思路导引]　(1) → →
(2)→
(1)A　(2)2　[(1)设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
因为y′＝，所以y′|x＝＝＝2，
解得x0＝1，所以y0＝ln (2－1)＝0，
即切点坐标为(1，0)，
所以切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是．故选A．
(2)令y＝f (x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f ′(0)．又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2．因为f (x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2．]
[母题探究]　
1．本例(1)的条件变为“曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值．
[解]　设切点P(x0，y0)，由题意可知，
y′|x＝＝＝2，
∴x0＝1，即切点P(1，0)，
∴＝2，
解得m＝8或－12(舍，直线与曲线有交点，最小距离为0，不合题意)．即实数m的值为8．
2．求本例(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积．
[解]　由题意可知，切线方程为y－1＝2x，
即2x－y＋1＝0．
令x＝0，得y＝1；
令y＝0，得x＝－，
∴切线与坐标轴围成的面积S＝×1＝．
　本题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数．解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
[学以致用]　3．已知函数f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f ′(x)是f (x)的导函数，且a＝f ′，求曲线y＝x3在x＝a处的切线方程．
[解]　由f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，
得f ′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，
则a＝f ′＝3－2sin ＋2cos ＝1．
由y＝x3得y′＝3x2，
∴k＝y′|x＝1＝3．又x＝1时，y＝1，∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0．
探究4　复合函数的导数的综合应用
【链接·教材例题】
例7　某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为y＝18sin ．求函数y在t＝3 s时的导数，并解释它的实际意义．
[解]　函数y＝18sin 可以看作函数y＝18sin u和u＝t－的复合函数，根据复合函数的求导法则，有
y′t＝y′u·u′t
＝(18sin u)′·′
＝18cos u×
＝12πcos ．
当t＝3时，y′t＝12πcos ＝0．
它表示当t＝3 s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0 mm/s．
[典例讲评]　4．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．
[解]　设f (x)＝3sin x，x＝φ(t)＝t＋，
所以s′(t)＝f ′(x)φ′(t)＝3cos x·
＝cos ．
将t＝18代入s′(t)，
得s′(18)＝cos ＝．
s′(18)表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h．
　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况．
[学以致用]　4．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x)＝，则f ′(x)＝________，其图象在点(0，1)处的切线方程为________．
　y＝1　[∵f (x)＝，故f ′(x)＝＝，则f ′(0)＝0．故曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线方程为y＝1．]
1．已知函数f (x)＝sin 2x＋cos 2x，那么f ′＝(　　)
A．－2 B．2 C． D．－
A　[由题意，f ′(x)＝2cos 2x－2sin 2x，所以f ′＝2cos π－2sin π＝－2．]
2．(多选)下列求导正确的是(　　)
A．(e3x)′＝3e2x
B．(2sin x－3)′＝2cos x
C．′＝
D．(x cos x)′＝cos x－x sin x
BD　[(e3x)′＝3e3x，故A错误；(2sin x－3)′＝2cos x，故B正确；
′＝＝＝，故C错误；(x cos x)′＝(x)′cos x＋x(cos x)′＝cos x－x sin x，故D正确．
故选BD．]
3．设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
D　[令f (x)＝ax－ln (x＋1)，∴f ′(x)＝a－．
由题意，得f ′(0)＝2，解得a＝3．]
4．设f (x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R)．若直线y＝x与曲线y＝f (x)在点(0，0)处相切，则a＝________，b＝________．
0　－1　[由曲线y＝f (x)过点(0，0)，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1．
由f (x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b，得f ′(x)＝＋a，则f ′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线的斜率．由题意知＋a＝，故a＝0．]
1．知识链：(1)复合函数的概念．
(2)复合函数的求导法则．
(3)复合函数的导数的应用．
2．方法链：转化法．
3．警示牌：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你认为如何对多个整式乘积形式的函数求导？
[提示]　(1)若待求导的函数为多个整式乘积的形式，可以利用多项式的乘法法则，化为和差的形式，再求导，其运算过程将会简化，运算量将会减小．
(2)若乘积因式不多时，也可以利用积的导数运算法则求导．
2．求复合函数的导数，应该注意哪些问题？
[提示]　求复合函数的导数的注意点：
(1)分解的函数通常为基本初等函数；
(2)求导时分清是对哪个变量求导；
(3)计算结果尽量简洁．
3．利用复合函数求导法则求复合函数的导数的一般步骤是什么？
[提示]　“分解—求导—还原”．
即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数的形式；
②利用求导法则分层求导；
③最终结果要将中间变量还原成自变量．注意不要漏掉第③步．
课时分层作业(十七)　简单复合函数的导数
一、选择题
1．已知函数f (x)＝(2x－1)3，则f ′(1)＝(　　)
A．8 B．6 C．3 D．1
B　[根据题意，函数f (x)＝(2x－1)3，则f ′(x)＝6(2x－1)2，
则f ′(1)＝6(2－1)2＝6．故选B．]
2．函数y＝cos (1＋x2)的导数是(　　)
A．2x sin (1＋x2) B．－sin(1＋x2)
C．－2x sin (1＋x2) D．2cos(1＋x2)
C　[y′＝－sin (1＋x2)·(1＋x2)′＝－2x sin (1＋x2)．故选C．]
3．(多选)下列计算正确的有(　　)
A．(x2)′＝2x B．(sin x)′＝cos x
C．(e－x)′＝e－x D．[ln (x＋1)]′＝
ABD　[对于A，(x2)′＝2x，故A正确；
对于B，(sin x)′＝cos x，故B正确；
对于C，令u＝－x，则y＝eu，所以(e－x)′＝(－x)′·(eu)′＝－eu＝－e－x，故C错误；对于D，令u＝x＋1，则y＝ln u，所以[ln (x＋1)]′＝(x＋1)′·(ln u)′＝1×＝，故D正确．
故选ABD．]
4．曲线y＝在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A．4e2 B．2e2 C．e2 D．e2
C　[由导数的几何意义，可得切线的斜率
k＝y′|x＝4＝|x＝4＝e2，
所以切线方程为y－e2＝e2(x－4)．
令x＝0，得y＝－e2；令y＝0，得x＝2．
所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S＝×2e2＝e2．故选C．]
5．已知函数f (x)＝xex－a，曲线y＝f (x)在点(a，f (a))处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝(　　)
A．－4 B．－2 C．2 D．4
B　[由题得f ′(x)＝(x＋1)ex－a，所以f ′(a)＝a＋1＝3，解得a＝2，所以f (x)＝xex-2，可得f (2)＝2×e2-2＝2，所以切点为(2，2)，将点(2，2)的坐标代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2．故选B．]
二、填空题
6．已知某质点的位移s与时间t满足s(t)＝tet-1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________．
2　[s′(t)＝(t＋1)et-1，当t＝1时，s′(1)＝2．]
7．已知函数f (x)＝ax＋ln (x＋1)，f ′(0)＝4，则a＝________．
e3　[由题意，得f ′(x)＝ax ln a＋，则f ′(0)＝ln a＋1＝4，解得a＝e3．]
8．若函数f (x)＝3sin2＋5，则f ′的值为________．
－3　[由f (x)＝3sin2＋5，得f ′(x)＝6sin×cos ×2，f ′＝6sin ×cos ×2＝－3．]
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x＋3)10；
(2)y＝e2x+1；
(3)y＝ln (3x－2)．
[解]　(1)函数y＝(2x＋3)10可以看作y＝u10与u＝2x＋3复合而成，根据复合函数求导法则有
y′x＝y′u·u′x＝(u10)′·(2x＋3)′＝10u9·2＝20(2x＋3)9．
(2)函数y＝e2x+1可以看作y＝eu与u＝2x＋1复合而成，根据复合函数求导法则有
y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝eu·2＝2e2x+1．
(3)函数y＝ln (3x－2)可以看作y＝ln u与u＝3x－2复合而成，根据复合函数求导法则有
y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(3x－2)′＝·3＝．
10．(多选)下列求导运算错误的是(　　)
A．若f (x)＝cos x，则f ′(x)＝－sin x
B．若f (x)＝e-2x+1，则f ′(x)＝e-2x+1
C．若f (x)＝，则f ′(x)＝
D．若f (x)＝x ln x，则f ′(x)＝
BD　[A选项，f ′(x)＝(cos x)′＝－sin x，A正确；
B选项，f ′(x)＝e-2x+1·(－2x＋1)′＝－2e-2x+1，B错误；
C选项，f ′(x)＝＝，C正确；
D选项，f ′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，D错误．故选BD．]
11．(多选)曲线y＝e2xcos 3x在点(0，1)处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为(　　)
A．y＝2x＋6 B．y＝2x－4
C．y＝3x＋1 D．y＝3x－4
AB　[y′＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，
∴y′|x＝0＝2，
则所求的切线方程为y＝2x＋1．
设直线l的方程为y＝2x＋b，
则＝，解得b＝6或－4．
∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4．故选AB．]
12．曲线y＝e-2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)
A． B． C． D．1
A　[∵y′＝(－2x)′e-2x＝－2e-2x，
∴k＝－2e0＝－2，
因此切线方程为y－2＝－2(x－0)，
即y＝－2x＋2．如图所示．
∵y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标为，y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1，0)，
∴S＝×1×＝．故选A．]
13．已知f (x)为偶函数，当x≤0时，f (x)＝e－x-1－x，则曲线y＝f (x)在点(1，2)处的切线方程是________．
2x－y＝0　[设x＞0，则－x＜0．因为x≤0时，f (x)＝e－x-1－x，所以f (－x)＝ex-1＋x．又因为f (x)为偶函数，所以f (x)＝ex-1＋x，f ′(x)＝ex-1＋1，f ′(1)＝e1-1＋1＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．]
14．设函数f (x)＝aex ln x＋．
(1)求导函数f ′(x)；
(2)若曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．
[解]　(1)由f (x)＝aex ln x＋，
得f ′(x)＝(aex ln x)′＋＝aex ln x＋．
(2)由于切点既在曲线y＝f (x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，
将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f (x)的解析式得f (1)＝b，∴b＝2．
将x＝1代入导函数f ′(x)的解析式中，
得f ′(1)＝ae＝e，∴a＝1，∴a＝1，b＝2．
15．对于y＝ax(a＞0且a≠1)这类函数的求导，可以使用下面的方式进行：
第一步：ln y＝ln ax＝x ln a；
第二步：(ln y)′＝(x ln a)′；
第三步：·y′＝ln a；
第四步：y′＝y·ln a＝ax·ln a．
根据框内的信息，函数y＝xx(x＞0)的导数y′＝________．
xx(ln x＋1)　[因为y＝xx，故可得ln y＝x ln x，所以(ln y)′＝(x ln x)′，即·y′＝ln x＋1，所以y′＝y(ln x＋1)＝xx(ln x＋1)．]
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