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5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
第1课时　函数的单调性
[学习目标]　1．理解导数与函数的单调性的关系．(数学抽象)
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(数学运算)
3．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．
(教师用书)
如图为某市一天内的气温变化图：
(1)观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．
(2)怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的推移，气温逐渐升高或下降”这一特征？
问题：观察图形，你能得到什么信息？
[讨论交流]　
问题1．函数的单调性与导数有什么关系？
问题2．函数值变化快慢与导数有什么关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　利用导数的正负判断单调性
探究问题1　已知函数：(1)y＝2x－1，(2)y＝－3x，(3)y＝2x，它们的导数的正负与它们的单调性之间有怎样的关系？
[提示]　(1)y′＝2＞0，y＝2x－1是增函数．
(2)y′＝－3＜0，y＝－3x是减函数．
(3)y′＝2x ln 2＞0，y＝2x是增函数．
探究问题2　如果函数f (x)在区间(a，b)内有无数个点满足f ′(x)＞0，能认为f (x)在这个区间内单调递增吗？
[提示]　不能，无数不代表任意，所以有可能在某点处导数为负．
[新知生成]
函数的单调性与其导数的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：
f ′(x)的正负 f (x)的单调性
f ′(x)＞0 单调递增
f ′(x)＜0 单调递减
【教用·微提醒】　(1)f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函数在(a，b)上单调递增(递减)的充分条件．
(2)f ′(x)＝0在某个区间内恒成立时，该区间内f (x)为常函数．
【链接·教材例题】
例1　利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f (x)＝x3＋3x；
(2)f (x)＝sin x－x，x∈(0，π)；
(3)f (x)＝．
[解]　(1)因为f (x)＝x3＋3x，所以
f ′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)＞0．
所以，函数f (x)＝x3＋3x在R上单调递增，如图5.3-4(1)所示．
(2)因为f (x)＝sin x－x，x∈(0，π)，所以
f ′(x)＝cos x－1＜0．
所以，函数f (x)＝sin x－x在(0，π)内单调递减，如图5.3-4(2)所示．
(3)因为f (x)＝1－，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f ′(x)＝＞0．
所以，函数f (x)＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，如图5.3-4(3)所示．
[典例讲评]　1．利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f (x)＝x3－x2＋2x－5；
(2)f (x)＝x－－ln x．
[解]　(1)因为f (x)＝x3－x2＋2x－5，所以f ′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，所以函数f (x)＝x3－x2＋2x－5在R上单调递增．
(2)因为f (x)＝x－－ln x，x∈(0，＋∞)，
所以f ′(x)＝1＋＝＝＞0，所以f (x)＝x－－ln x在(0，＋∞)上单调递增．
　利用导数判断函数单调性的步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数f ′(x)．
(3)确定f ′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形．
(4)得出结论．
[学以致用]　1．下列函数在(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝xex　　　　　 B．y＝x3－3x2
C．y＝ln x－x D．y＝x－ex
D　[当x＞0时，函数y＝xex的导函数y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)＞0，故函数在(0，＋∞)上单调递增；函数y＝x3－3x2的导函数y′＝3x2－6x＝3x(x－2)，故函数在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；令y＝ln x－x的导函数y′＝－1＝＞0，解得x＜1，所以函数y＝ln x－x在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；函数y＝x－ex的导函数y′＝1－ex，在(0，＋∞)上y′＝1－ex＜0，所以y＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减．故选D．]
探究2　利用导数求函数的单调区间
【链接·教材例题】
例3　求函数f (x)＝x3－x2－2x＋1的单调区间．
[解]　函数f (x)＝x3－x2－2x＋1的定义域为R．对f (x)求导数，得
f ′(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)．
令f ′(x)＝0，解得
x＝－1，或x＝2．
x＝－1和x＝2把函数定义域划分成三个区间，f ′(x)在各区间上的正负，以及f (x)的单调性如表5.3-1所示．
表5.3-1
x (－∞，－1) －1 (－1，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 单调 递增 f (－1)＝ 单调 递减 f (2)＝－ 单调 递增
所以，f (x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)内单调递减，如图5.3-6所示．
[典例讲评]　2．求下列函数的单调区间：
(1)f (x)＝x2－ln x；
(2)f (x)＝2x3＋3x2－36x＋1．
[思路导引]　根据函数解析式求出函数的导函数，根据导函数的符号确定函数单调区间．
[解]　(1)函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－．
令f ′(x)>0，即2x－>0，解得x>；
令f ′(x)<0，即2x－<0，解得0故函数f (x)的单调递增区间是，单调递减区间是．
(2)f ′(x)＝6x2＋6x－36＝6(x＋3)(x－2)．
令f ′(x)＝0，解得x＝－3或x＝2，x＝－3和x＝2把函数的定义域划分为三个区间，f ′(x)在各个区间上的正负以及f (x)的单调性如表，
x (－∞，－3) －3 (－3，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 单调 递增 f (－3) 单调递减 f (2) 单调 递增
故f (x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－3，2)．
【教用·备选题】　求函数f (x)＝x3－2x2＋x－1的单调区间．
[解]　对函数求导得f ′(x)＝3x2－4x＋1．
令f ′(x)＝3x2－4x＋1＞0，则
x＜或x＞1，
因此，函数f (x)＝x3－2x2＋x－1在区间和(1，＋∞)上单调递增．
令f ′(x)＝3x2－4x＋1＜0，
则＜x＜1，
因此，函数f (x)＝x3－2x2＋x－1在区间上单调递减．
　利用导数求函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数y＝f (x)的定义域．
(2)求出导数f ′(x)的零点．
(3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，进而求出单调区间．
[学以致用]　2．求下列函数的单调区间：
(1)f (x)＝x2·e－x；
(2)f (x)＝x＋．
[解]　(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)．
∵f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f ′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域，如表所示：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) 单调递减 f (0) 单调递增 f (2) 单调递减
∴f (x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)．
(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f ′(x)＝1－，令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，用x1，x2分割定义域，如表所示：
x (－∞， －1) －1 (－1，0) (0，1) 1 (1， ＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － － 0 ＋
f (x) 单调 递增 f (－1) 单调 递减 单调 递减 f (1) 单调 递增
∴函数f (x)的单调递减区间为(－1，0)和(0，1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
探究3　导函数与原函数的关联图象
【链接·教材例题】
例2　已知导函数f ′(x)的下列信息：
当1＜x＜4时，f ′(x)＞0；
当x＜1，或x＞4时，f ′(x)＜0；
当x＝1，或x＝4时，f ′(x)＝0．
试画出函数f (x)图象的大致形状．
[解]　当1＜x＜4时，f ′(x)＞0，可知f (x)在区间(1，4)内单调递增；
当x＜1，或x＞4时，f ′(x)＜0，可知f (x)在区间(－∞，1)和(4，＋∞)上都单调递减；
当x＝1，或x＝4时，f ′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“稳定点”．
综上，函数f (x)图象的大致形状如图5.3-5所示．
例4　设x＞0，f (x)＝ln x，g(x)＝1－，两个函数的图象如图5.3-8所示．判断f (x)，g(x)的图象与C1，C2之间的对应关系．
[解]　因为f (x)＝ln x，g(x)＝1－，所以
f ′(x)＝，g′(x)＝．
当x＝1时，f ′(x)＝g′(x)＝1；
当0＜x＜1时，g′(x)＞f ′(x)＞1；
当x＞1时，0＜g′(x)＜f ′(x)＜1．
所以，f (x)，g(x)在(0，＋∞)上都是增函数．在区间(0，1)内，g(x)的图象比f (x)的图象要“陡峭”；在区间(1，＋∞)上，g(x)的图象比f (x)的图象要“平缓”．
所以，f (x)，g(x)的图象依次是图5.3-8中的C2，C1．
[典例讲评]　3．(1)已知函数f (x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么函数f (x)的图象最有可能是(　　)
A　　　　 B　　　　　C　　　　 D
(2)函数f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
(1)A　(2)C　[(1)当x＜－2时，f ′(x)＜0，则f (x)单调递减；当－2＜x＜0时，f ′(x)＞0，则f (x)单调递增；当x>0时，f ′(x)<0，则f (x)单调递减．
则符合上述条件的只有选项A．故选A．
(2)由f (x)的图象知，当x∈(－∞，1)时，f (x)单调递减，f ′(x)＜0；
当x∈(1，4)时，f (x)单调递增，f ′(x)＞0；
当x∈(4，＋∞)时，f (x)单调递减，f ′(x)＜0．
由选项各图知，选项C符合题意．故选C．]
　(1)导函数的正负看原函数的增减．
①观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势．
②观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
(2)导函数的绝对值大小决定原函数增减快慢．
某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”．
(3)解决问题时，要分清是原函数图象还是导函数图象．
[学以致用]　3．设函数y＝f (x)在定义域内可导，y＝f (x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能为(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
D　[由题中函数f (x)的图象可知，函数f (x)在(－∞，0)上先增后减，所以其对应的导函数符号先正后负，在y轴左侧导函数的图象由左上到右下穿过x轴；当x∈(0，＋∞)时，f (x)单调递减，所以x∈(0，＋∞)时，f ′(x)＜0，只有D选项符合条件．故选D．]
1．f ′(x)是f (x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的图象只可能是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
A　[由f ′(x)图象可知f ′(0)＝0，f ′(2)＝0，f (x)在区间[0，2]上的增长速度先快后慢，A选项符合．故选A．]
2．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f ′(x)＞0；命题乙：f (x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[例如，f (x)＝x3在(－1，1)内是单调递增的，但f ′(x)＝3x2≥0(－1＜x＜1)，故甲是乙的充分不必要条件．故选A．]
3．下列函数中，在(0，＋∞)内单调递增的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
B　[对于B，y＝xe2，则y′＝e2，
∴y＝xe2在R上为增函数，在(0，＋∞)内单调递增．其他选项可同理逐一求导排除．故选B．]
4．函数y＝ln (x2－x－2)的单调递减区间为________．
(－∞，－1)　[函数y＝ln (x2－x－2)的定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，令f (x)＝x2－x－2，f ′(x)＝2x－1＜0，得x＜，
∴函数y＝ln (x2－x－2)的单调递减区间为(－∞，－1)．]
1．知识链：(1)函数的单调性与其导数的关系．
(2)利用导数判断函数的单调性．
(3)利用导数求函数的单调区间．
(4)原函数与导函数图象的关系．
2．方法链：方程思想、分类讨论．
3．警示牌：忽略定义域的限制而出错．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．利用导数求函数单调性的思路是怎样的？
[提示]　利用导数求函数的单调性一般通过解不等式的方法完成，其步骤为：①确定函数f (x)的定义域；②求导函数f ′(x)；③解不等式f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，并写出解集；④根据③的结果确定函数f (x)的单调区间．
2．原函数图象与导函数图象之间有何关系？
[提示]　导函数f ′(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f (x)图象上升部分对应的区间(单调递增区间)，导函数f ′(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f (x)图象下降部分对应的区间(单调递减区间)．
课时分层作业(十八)　函数的单调性
一、选择题
1．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为(　　)
A．和(1，＋∞)
B．
C．∪(1，＋∞)
D．
A　[由题意知，y′＝3x2－2x－1(x∈R)．由y′＞0可解得x＜－或x＞1，∴函数的单调递增区间为和(1，＋∞)．故选A．]
2．函数y＝x ln x在(0，5)上的单调性是(　　)
A．单调递增
B．单调递减
C．在上单调递减，在上单调递增
D．在上单调递增，在上单调递减
C　[由已知得函数y＝x ln x的定义域为(0，＋∞)．
y′＝ln x＋1，令y′＞0，得x＞；令y′＜0，得0＜x＜．∴函数y＝x ln x在上单调递减，在上单调递增．]
3．设函数f (x)在定义域内可导，y＝f (x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能为(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
D　[观察函数f (x)的图象得：f (x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上先单调递增，再单调递减，后又单调递增，则当x∈(－∞，0)时，f ′(x)＞0，即当x∈(－∞，0)时，函数y＝f ′(x)的图象在x轴上方，于是排除A，C．当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)的值先大于0，接着变为小于0，之后又变为大于0，即当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f ′(x)的图象先在x轴上方，接着变化到x轴下方，最后又变到x轴上方，于是排除B，选项D相符．故选D．]
4．(多选)下列函数在定义域上为增函数的有(　　)
A．f (x)＝x－ B．f (x)＝xex
C．f (x)＝x＋sin x D．f (x)＝ex－e－x－2x
CD　[根据题意，依次分析选项．对于A，f (x)＝x－，有f (－1)＝f (1)＝0，则f (x)在其定义域上不是单调函数，不符合题意；对于B，f (x)＝xex，其导数f ′(x)＝xex＋ex＝(x＋1)ex，在区间(－∞，－1)上，f ′(x)＜0，则f (x)单调递减，不符合题意；对于C，f (x)＝x＋sin x，其导数f ′(x)＝1＋cos x≥0，则f (x)在定义域上为增函数，符合题意；对于D，f (x)＝ex－e－x－2x，其导数f ′(x)＝ex＋e－x－2≥0，则f (x)在定义域上为增函数，符合题意．故选CD．]
5．(多选)函数f (x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是(　　)
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(3，4) D．(2，＋∞)
CD　[∵f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f ′(x)＞0，得(x－2)ex＞0，∴x＞2．
∴f (x)的单调递增区间为(2，＋∞)，CD符合．]
二、填空题
6．已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是________．
(－1，2)，(4，＋∞)　[由题图可知，在区间(－1，2)，(4，＋∞)上，f ′(x)＞0；在区间(－∞，－1)，(2，4)上，f ′(x)＜0．
由导函数的正负与函数单调性的关系可得，函数f (x)的单调递增区间是(－1，2)，(4，＋∞)．]
7．已知m是实数，函数f (x)＝x2(x－m)，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x)的单调递减区间是________．
　[f ′(x)＝2x(x－m)＋x2，因为f ′(－1)＝－1，所以－2(－1－m)＋1＝－1，解得m＝－2，令f ′(x)＝2x(x＋2)＋x2＜0，解得－＜x＜0，则函数f (x)的单调递减区间是．]
8．函数f (x)＝x2－5x＋2ln (2x)的单调递增区间是________．
，(2，＋∞)　[f (x)的定义域是(0，＋∞)，f ′(x)＝，由f ′(x)＞0，得x＞2或0＜x＜，故f (x)的单调递增区间是，(2，＋∞)．]
三、解答题
9．已知导函数f ′(x)的下列信息：
当2＜x＜3时，f ′(x)＜0；
当x＞3或x＜2时，f ′(x)＞0；
当x＝3或x＝2时，f ′(x)＝0；
试画出函数f (x)图象的大致形状．
[解]　当2＜x＜3时，f ′(x)＜0，可知函数在此区间上单调递减；
当x＞3或x＜2时，f ′(x)＞0，可知函数在这两个区间上单调递增；
当x＝3或x＝2时，f ′(x)＝0，可知在这两点处的两侧，函数单调性发生改变．
综上可画出函数f (x)图象的大致形状，如图所示(答案不唯一)．
10．函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0时，f (x)是(　　)
A．增函数
B．减函数
C．常数函数
D．既不是增函数也不是减函数
A　[求得函数的导函数f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f ′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)＜0，所以f ′(x)＞0恒成立，故f (x)是增函数．]
11．(多选)已知函数f (x)＝(x2－4x＋1)ex，则函数f (x)在下列区间上单调递增的是(　　)
A．(－1，0) B．(－2，－1)
C．(－1，3) D．(3，4)
BD　[f ′(x)＝(2x－4)ex＋(x2－4x＋1)ex＝(x2－2x－3)ex，令f ′(x)＞0，可得x2－2x－3＞0，解得x＜－1或x＞3，所以f (x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞)，
所以f (x)在(－2，－1)与(3，4)上单调递增．故选BD．]
12．已知函数f (x)＝2x－ln |x|，则f (x)的大致图象为(　　)
A　　　 B　　　　 C　　　　　D
A　[当x＜0时，f (x)＝2x－ln (－x)，f ′(x)＝2－·(－1)＝2－＞0，所以f (x)在(－∞，0)上单调递增，则B，D错误；
当x＞0时，f (x)＝2x－ln x，f ′(x)＝2－＝，则f (x)在上单调递减，在上单调递增，所以A正确，故选A．]
13．函数f (x)＝e2x－2(x＋2)的单调递增区间为________．
(0，＋∞)　[f (x)＝e2x－2x－4，求导得f ′(x)＝2e2x－2，令f ′(x)＞0，解得x∈(0，＋∞)，所以f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]
14．已知函数f (x)＝－1．
(1)求函数在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)试判断函数f (x)的单调性．
[解]　(1)由题可知，f ′(x)＝，所以f ′(1)＝1，f (1)＝－1．
∴函数在点(1，f (1))处的切线方程为y－(－1)＝x－1，即y＝x－2．
(2)因为函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x)＝，
令f ′(x)＝＞0，得0＜x＜e，令f ′(x)＝＜0，得x＞e，
因此函数f (x)在区间(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
15．(多选)若函数f (x)在定义域D内的某个区间I上是单调递增函数，且F(x)＝在区间I上也是单调递增函数，则称y＝f (x)是I上的“一致递增函数”．已知f (x)＝x＋，若函数f (x)是区间I上的“一致递增函数”，则区间I可能是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
AD　[f (x)＝x＋，
则f ′(x)＝．
F(x)＝＝1＋，则F′(x)＝，
当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)＝＞＞0，函数f (x)单调递增，
F′(x)＝＞0，函数F(x)单调递增，故A满足；
f ′＝＜0，故B不满足；
F′(1)＝－e＜0，故C不满足；
当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)＝＞0，函数f (x)单调递增，F′(x)＝＞0，函数F(x)单调递增．故D满足．故选AD．]
16/16(共65张PPT)
第1课时　函数的单调性
第五章　一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
整体感知
[学习目标]　1．理解导数与函数的单调性的关系．(数学抽象)
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(数学运算)
3．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．
(教师用书)
如图为某市一天内的气温变化图：
(1)观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．
(2)怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的推移，气温逐渐升高或下降”这一特征？
问题：观察图形，你能得到什么信息？
[讨论交流]　
问题1．函数的单调性与导数有什么关系？
问题2．函数值变化快慢与导数有什么关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　利用导数的正负判断单调性
探究问题1　已知函数：(1)y＝2x－1，(2)y＝－3x，(3)y＝2x，它们的导数的正负与它们的单调性之间有怎样的关系？
[提示]　(1)y′＝2＞0，y＝2x－1是增函数．
(2)y′＝－3＜0，y＝－3x是减函数．
(3)y′＝2x ln 2＞0，y＝2x是增函数．
探究问题2　如果函数f (x)在区间(a，b)内有无数个点满足f ′(x)＞0，能认为f (x)在这个区间内单调递增吗？
[提示]　不能，无数不代表任意，所以有可能在某点处导数为负．
[新知生成]
函数的单调性与其导数的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：
f ′(x)的正负 f (x)的单调性
f ′(x)＞0 单调递__
f ′(x)＜0 单调递__
增
减
【教用·微提醒】　(1)f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函数在(a，b)上单调递增(递减)的充分条件．
(2)f ′(x)＝0在某个区间内恒成立时，该区间内f (x)为常函数．
【链接·教材例题】
例1　利用导数判断下列函数的单调性：
(1) f (x)＝x3＋3x；
(2) f (x)＝sin x－x，x∈(0，π)；
(3) f (x)＝．
[解]　(1)因为f (x)＝x3＋3x，所以f ′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)＞0．
所以，函数f (x)＝x3＋3x在R上单调递增，如图5.3-4(1)所示．
(2)因为f (x)＝sin x－x，x∈(0，π)，所以
f ′(x)＝cos x－1＜0．
所以，函数f (x)＝sin x－x在(0，π)内单调递减，如图5.3-4(2)所示．
(3)因为f (x)＝1－，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f ′(x)＝＞0．
所以，函数f (x)＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，
如图5.3-4(3)所示．
[典例讲评]　1．利用导数判断下列函数的单调性：
(1) f (x)＝x3－x2＋2x－5；(2)f (x)＝x－－ln x．
[解]　(1)因为f (x)＝x3－x2＋2x－5，所以f ′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，所以函数f (x)＝x3－x2＋2x－5在R上单调递增．
(2)因为f (x)＝x－－ln x，x∈(0，＋∞)，
所以f ′(x)＝1＋＝＝＞0，所以f (x)＝x－－ln x在(0，＋∞)上单调递增．
反思领悟　利用导数判断函数单调性的步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数f ′(x)．
(3)确定f ′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形．
(4)得出结论．
[学以致用]　1．下列函数在(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝xex　　　　　 B．y＝x3－3x2
C．y＝ln x－x　　 D．y＝x－ex
√
D　[当x＞0时，函数y＝xex的导函数y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)＞0，故函数在(0，
＋∞)上单调递增；函数y＝x3－3x2的导函数y′＝3x2－6x＝3x(x－2)，故函数在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；令y＝ln x－x的导函数y′＝－1＝＞0，解得x＜1，所以函数y＝ln x－x在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；函数y＝x－ex的导函数y′＝1－ex，在(0，＋∞)上y′＝1－ex＜0，所以y＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减．故选D．]
【链接·教材例题】
例3　求函数f (x)＝x3－x2－2x＋1的单调区间．
探究2　利用导数求函数的单调区间
[解]　函数f (x)＝x3－x2－2x＋1的定义域为R．对f (x)求导数，得
f ′(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)．
令f ′(x)＝0，解得
x＝－1，或x＝2．
x＝－1和x＝2把函数定义域划分成三个区间，f ′(x)在各区间上的正负，以及f (x)的单调性如表5.3-1所示．
表5.3-1
x (－∞，－1) －1 (－1，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 单调 递增 f (－1)＝ 单调 递减 f (2)＝－ 单调
递增
所以，f (x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)内单调递减，如图5.3-6所示．
[典例讲评]　2．求下列函数的单调区间：
(1)f (x)＝x2－ln x；
(2)f (x)＝2x3＋3x2－36x＋1．
[思路导引]　根据函数解析式求出函数的导函数，根据导函数的符号确定函数单调区间．
[解]　(1)函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－．
令f ′(x)>0，即2x－>0，解得x>；
令f ′(x)<0，即2x－<0，解得0故函数f (x)的单调递增区间是，单调递减区间是．
(2)f ′(x)＝6x2＋6x－36＝6(x＋3)(x－2)．
令f ′(x)＝0，解得x＝－3或x＝2，x＝－3和x＝2把函数的定义域划分为三个区间，f ′(x)在各个区间上的正负以及f (x)的单调性如表，
x (－∞，－3) －3 (－3，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 单调递增 f (－3) 单调递减 f (2) 单调递增
故f (x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－3，2)．
【教用·备选题】　求函数f (x)＝x3－2x2＋x－1的单调区间．
[解]　对函数求导得f ′(x)＝3x2－4x＋1．
令f ′(x)＝3x2－4x＋1＞0，则x＜或x＞1，
因此，函数f (x)＝x3－2x2＋x－1在区间和(1，＋∞)上单调递增．
令f ′(x)＝3x2－4x＋1＜0，则＜x＜1，
因此，函数f (x)＝x3－2x2＋x－1在区间上单调递减．
反思领悟　利用导数求函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数y＝f (x)的定义域．
(2)求出导数f ′(x)的零点．
(3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，进而求出单调区间．
[学以致用]　2．求下列函数的单调区间：
(1)f (x)＝x2·e－x；(2)f (x)＝x＋．
[解]　(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)．
∵f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f ′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域，如表所示：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) 单调递减 f (0) 单调递增 f (2) 单调递减
∴f (x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)．
(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f ′(x)＝1－，令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，用x1，x2分割定义域，如表所示：
x (－∞，－1) －1 (－1，0) (0，1) 1 (1，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － － 0 ＋
f (x) 单调递增 f (－1) 单调递减 单调递减 f (1) 单调递增
∴函数f (x)的单调递减区间为(－1，0)和(0，1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
【链接·教材例题】
例2　已知导函数f ′(x)的下列信息：
当1＜x＜4时，f ′(x)＞0；
当x＜1，或x＞4时，f ′(x)＜0；
当x＝1，或x＝4时，f ′(x)＝0．
试画出函数f (x)图象的大致形状．
探究3　导函数与原函数的关联图象
[解]　当1＜x＜4时，f ′(x)＞0，可知f (x)在区间(1，4)内单调递增；
当x＜1，或x＞4时，f ′(x)＜0，可知f (x)在区间(－∞，1)和(4，＋∞)上都单调递减；
当x＝1，或x＝4时，f ′(x)＝0，这两点比较特殊，
我们称它们为“稳定点”．
综上，函数f (x)图象的大致形状如图5.3-5所示．
【链接·教材例题】
例4　设x＞0，f (x)＝ln x，g(x)＝1－，两个函数的图象如图5.3-8所示．判断f (x)，g(x)的图象与C1，C2之间的对应关系．
[解]　因为f (x)＝ln x，g(x)＝1－，所以f ′(x)＝，g′(x)＝．
当x＝1时，f ′(x)＝g′(x)＝1；
当0＜x＜1时，g′(x)＞f ′(x)＞1；
当x＞1时，0＜g′(x)＜f ′(x)＜1．
所以，f (x)，g(x)在(0，＋∞)上都是增函数．在区间(0，1)内，g(x)的图象比f (x)的图象要“陡峭”；在区间(1，＋∞)上，g(x)的图象比f (x)的图象要“平缓”．
所以，f (x)，g(x)的图象依次
是图5.3-8中的C2，C1．
[典例讲评]　3．(1)已知函数f (x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么函数f (x)的图象最有可能是(　　)
A　　　　 B　　　　C　　　　 D
(2)函数f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　)
A　　　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　　D
√
√
(1)A　(2)C　[(1)当x＜－2时，f ′(x)＜0，则f (x)单调递减；当－2＜x＜0时，f ′(x)＞0，则f (x)单调递增；当x>0时，f ′(x)<0，则f (x)单调递减．
则符合上述条件的只有选项A．故选A．
(2)由f (x)的图象知，当x∈(－∞，1)时，f (x)单调递减，f ′(x)＜0；
当x∈(1，4)时，f (x)单调递增，f ′(x)＞0；
当x∈(4，＋∞)时，f (x)单调递减，f ′(x)＜0．
由选项各图知，选项C符合题意．故选C．]
反思领悟　(1)导函数的正负看原函数的增减．
①观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势．
②观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
(2)导函数的绝对值大小决定原函数增减快慢．
某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”．
(3)解决问题时，要分清是原函数图象还是导函数图象．
[学以致用]　3．设函数y＝f (x)在定义域内可导，y＝f (x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能为(　　)
A　　　　　　　　B　　　　 　C　　　　 　　　D
√
D　[由题中函数f (x)的图象可知，函数f (x)在(－∞，0)上先增后减，所以其对应的导函数符号先正后负，在y轴左侧导函数的图象由左上到右下穿过x轴；当x∈(0，＋∞)时，f (x)单调递减，所以x∈(0，＋∞)时，f ′(x)＜0，只有D选项符合条件．故选D．]
2
4
3
题号
1
应用迁移
1．f ′(x)是f (x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的图象只可能是(　　)
A　　　　　　　　B　　　　 　C　　　　 　　 　D
√
A　[由f ′(x)图象可知f ′(0)＝0，f ′(2)＝0，f (x)在区间[0，2]上的增长速度先快后慢，A选项符合．故选A．]
2
3
题号
1
4
2．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f ′(x)＞0；命题乙：f (x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
√
A　[例如，f (x)＝x3在(－1，1)内是单调递增的，但f ′(x)＝3x2≥0(－1＜x＜1)，故甲是乙的充分不必要条件．故选A．]
2
3
题号
4
1
3．下列函数中，在(0，＋∞)内单调递增的是(　　)
A．y＝sin x　　 B．y＝xe2
C．y＝x3－x　　 D．y＝ln x－x
B　[对于B，y＝xe2，则y′＝e2，
∴y＝xe2在R上为增函数，在(0，＋∞)内单调递增．其他选项可同理逐一求导排除．故选B．]
√
2
4
3
题号
1
4．函数y＝ln (x2－x－2)的单调递减区间为_____________．
(－∞，－1)　[函数y＝ln (x2－x－2)的定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，令f (x)＝x2－x－2，f ′(x)＝2x－1＜0，得x＜，
∴函数y＝ln (x2－x－2)的单调递减区间为(－∞，－1)．]
(－∞，－1)
1．知识链：(1)函数的单调性与其导数的关系．
(2)利用导数判断函数的单调性．
(3)利用导数求函数的单调区间．
(4)原函数与导函数图象的关系．
2．方法链：方程思想、分类讨论．
3．警示牌：忽略定义域的限制而出错．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．利用导数求函数单调性的思路是怎样的？
[提示]　利用导数求函数的单调性一般通过解不等式的方法完成，其步骤为：①确定函数f (x)的定义域；②求导函数f ′(x)；③解不等式f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，并写出解集；④根据③的结果确定函数f (x)的单调区间．
2．原函数图象与导函数图象之间有何关系？
[提示]　导函数f ′(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f (x)图象上升部分对应的区间(单调递增区间)，导函数f ′(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f (x)图象下降部分对应的区间(单调递减区间)．
一、选择题
1．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为(　　)
A．和(1，＋∞) B．
C．∪(1，＋∞) D．
课时分层作业(十八)　函数的单调性
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
A　[由题意知，y′＝3x2－2x－1(x∈R)．由y′＞0可解得x＜－或x＞1，∴函数的单调递增区间为和(1，＋∞)．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．函数y＝x ln x在(0，5)上的单调性是(　　)
A．单调递增
B．单调递减
C．在上单调递减，在上单调递增
D．在上单调递增，在上单调递减
√
14
15
C　[由已知得函数y＝x ln x的定义域为(0，＋∞)．
y′＝ln x＋1，令y′＞0，得x＞；令y′＜0，得0＜x＜．∴函数y＝x ln x在上单调递减，在上单调递增．]
A　　　　　　　　B　　　　 　C　　　　 　　 　D
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．设函数f (x)在定义域内可导，y＝f (x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能为(　　)
√
14
15
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
D　[观察函数f (x)的图象得：f (x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，
＋∞)上先单调递增，再单调递减，后又单调递增，则当x∈(－∞，0)时，f ′(x)＞0，即当x∈(－∞，0)时，函数y＝f ′(x)的图象在x轴上方，于是排除A，C．当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)的值先大于0，接着变为小于0，之后又变为大于0，即当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f ′(x)的图象先在x轴上方，接着变化到x轴下方，最后又变到x轴上方，于是排除B，选项D相符．故选D．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．(多选)下列函数在定义域上为增函数的有(　　)
A．f (x)＝x－　　 B．f (x)＝xex
C．f (x)＝x＋sin x　　 D．f (x)＝ex－e－x－2x
√
14
15
√
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
CD　[根据题意，依次分析选项．对于A，f (x)＝x－，有f (－1)＝
f (1)＝0，则f (x)在其定义域上不是单调函数，不符合题意；对于B，f (x)＝xex，其导数f ′(x)＝xex＋ex＝(x＋1)ex，在区间(－∞，－1)上，
f ′(x)＜0，则f (x)单调递减，不符合题意；对于C，f (x)＝x＋sin x，其导数f ′(x)＝1＋cos x≥0，则f (x)在定义域上为增函数，符合题意；对于D，f (x)＝ex－e－x－2x，其导数f ′(x)＝ex＋e－x－2≥0，则f (x)在定义域上为增函数，符合题意．故选CD．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．(多选)函数f (x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是(　　)
A．(－∞，2)　　 B．(0，3)
C．(3，4)　　 D．(2，＋∞)
√
14
15
CD　[∵f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f ′(x)＞0，得(x－2)ex＞0，∴x＞2．
∴f (x)的单调递增区间为(2，＋∞)，CD符合．]
√
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
二、填空题
6．已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是_________________________．
14
15
(－1，2)，(4，＋∞)
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
14
15
(－1，2)，(4，＋∞)　[由题图可知，在区间(－1，2)，(4，＋∞)上，f ′(x)＞0；在区间(－∞，－1)，(2，4)上，f ′(x)＜0．
由导函数的正负与函数单调性的关系可得，函数f (x)的单调递增区间是(－1，2)，(4，＋∞)．]
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
7．已知m是实数，函数f (x)＝x2(x－m)，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x)的单调递减区间是____________．
14
15
　[f ′(x)＝2x(x－m)＋x2，因为f ′(－1)＝－1，所以－2(－1－m)＋1＝－1，解得m＝－2，令f ′(x)＝2x(x＋2)＋x2＜0，解得－＜x＜0，则函数f (x)的单调递减区间是．]
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
8．函数f (x)＝x2－5x＋2ln (2x)的单调递增区间是_______________．
14
15
，(2，＋∞)　[f (x)的定义域是(0，＋∞)，f ′(x)＝，由f ′(x)＞0，得x＞2或0＜x＜，故f (x)的单调递增区间是，(2，＋∞)．]
，(2，＋∞)
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
三、解答题
9．已知导函数f ′(x)的下列信息：
当2＜x＜3时，f ′(x)＜0；
当x＞3或x＜2时，f ′(x)＞0；
当x＝3或x＝2时，f ′(x)＝0；
试画出函数f (x)图象的大致形状．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
[解]　当2＜x＜3时，f ′(x)＜0，可知函数在此区间上单调递减；
当x＞3或x＜2时，f ′(x)＞0，可知函数在这两个区间上单调递增；
当x＝3或x＝2时，f ′(x)＝0，可知在这两点处的两侧，函数单调性发生改变．
综上可画出函数f (x)图象的大致形状，如图所示(答案不唯一)．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
10．函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0时，f (x)是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．常数函数 D．既不是增函数也不是减函数
√
14
15
A　[求得函数的导函数f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f ′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)＜0，所以f ′(x)＞0恒成立，故f (x)是增函数．]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
11．(多选)已知函数f (x)＝(x2－4x＋1)ex，则函数f (x)在下列区间上单调递增的是(　　)
A．(－1，0)　　 B．(－2，－1)
C．(－1，3)　　 D．(3，4)
√
14
15
BD　[f ′(x)＝(2x－4)ex＋(x2－4x＋1)ex＝(x2－2x－3)ex，令f ′(x)＞0，可得x2－2x－3＞0，解得x＜－1或x＞3，所以f (x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞)，所以f (x)在(－2，－1)与(3，4)上单调递增．故选BD．]
√
12．已知函数f (x)＝2x－ln |x|，则f (x)的大致图象为(　　)
A　　 　 B　　　 　 C　　 　　D
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
A　[当x＜0时，f (x)＝2x－ln (－x)，f ′(x)＝2－·(－1)＝2－＞0，所以f (x)在(－∞，0)上单调递增，则B，D错误；
当x＞0时，f (x)＝2x－ln x，f ′(x)＝2－＝，则f (x)在上单调递减，在上单调递增，所以A正确，故选A．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
13．函数f (x)＝e2x－2(x＋2)的单调递增区间为___________．
14
15
(0，＋∞)　[f (x)＝e2x－2x－4，求导得f ′(x)＝2e2x－2，令f ′(x)＞0，解得x∈(0，＋∞)，所以f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]
(0，＋∞)
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14．已知函数f (x)＝－1．
(1)求函数在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)试判断函数f (x)的单调性．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
[解]　(1)由题可知，f ′(x)＝，所以f ′(1)＝1，f (1)＝－1．
∴函数在点(1，f (1))处的切线方程为y－(－1)＝x－1，即y＝x－2．
(2)因为函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x)＝，
令f ′(x)＝＞0，得0＜x＜e，令f ′(x)＝＜0，得x＞e，
因此函数f (x)在区间(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
15．(多选)若函数f (x)在定义域D内的某个区间I上是单调递增函数，且F(x)＝在区间I上也是单调递增函数，则称y＝f (x)是I上的“一致递增函数”．已知f (x)＝x＋，若函数f (x)是区间I上的“一致递增函数”，则区间I可能是(　　)
A．(－∞，－2)　　 B．(－∞，0)
C．(0，＋∞)　　 D．(2，＋∞)
14
15
√
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
AD　[f (x)＝x＋，
则f ′(x)＝．
F(x)＝＝1＋，则F′(x)＝，
当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)＝＞＞0，函数f (x)单调递增，
F′(x)＝＞0，函数F(x)单调递增，故A满足；
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
f ′＝＜0，故B不满足；
F′(1)＝－e＜0，故C不满足；
当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)＝＞0，函数f (x)单调递增，F′(x)＝＞0，函数F(x)单调递增．故D满足．故选AD．]
14
15
THANKS5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
第1课时　函数的单调性
[学习目标]　1．理解导数与函数的单调性的关系．(数学抽象)
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(数学运算)
3．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．
[讨论交流]　
问题1．函数的单调性与导数有什么关系？
问题2．函数值变化快慢与导数有什么关系？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　利用导数的正负判断单调性
探究问题1　已知函数：(1)y＝2x－1，(2)y＝－3x，(3)y＝2x，它们的导数的正负与它们的单调性之间有怎样的关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究问题2　如果函数f (x)在区间(a，b)内有无数个点满足f ′(x)＞0，能认为f (x)在这个区间内单调递增吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
函数的单调性与其导数的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：
f ′(x)的正负 f (x)的单调性
f ′(x)＞0 单调递________
f ′(x)＜0 单调递________
[典例讲评]　1．利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f (x)＝x3－x2＋2x－5；
(2)f (x)＝x－－ln x．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用导数判断函数单调性的步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数f ′(x)．
(3)确定f ′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形．
(4)得出结论．
[学以致用]　1．下列函数在(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝xex　　　　　 B．y＝x3－3x2
C．y＝ln x－x D．y＝x－ex
探究2　利用导数求函数的单调区间
[典例讲评]　2．求下列函数的单调区间：
(1)f (x)＝x2－ln x；
(2)f (x)＝2x3＋3x2－36x＋1．
[思路导引]　根据函数解析式求出函数的导函数，根据导函数的符号确定函数单调区间．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用导数求函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数y＝f (x)的定义域．
(2)求出导数f ′(x)的零点．
(3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，进而求出单调区间．
[学以致用]　2．求下列函数的单调区间：
(1)f (x)＝x2·e－x；
(2)f (x)＝x＋．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　导函数与原函数的关联图象
[典例讲评]　3．(1)已知函数f (x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么函数f (x)的图象最有可能是(　　)
A　　　　 B　　　　　C　　　　 D
(2)函数f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)导函数的正负看原函数的增减．
①观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势．
②观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
(2)导函数的绝对值大小决定原函数增减快慢．
某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”．
(3)解决问题时，要分清是原函数图象还是导函数图象．
[学以致用]　3．设函数y＝f (x)在定义域内可导，y＝f (x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能为(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
1．f ′(x)是f (x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的图象只可能是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
2．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f ′(x)＞0；命题乙：f (x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，在(0，＋∞)内单调递增的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
4．函数y＝ln (x2－x－2)的单调递减区间为________．
1．知识链：(1)函数的单调性与其导数的关系．
(2)利用导数判断函数的单调性．
(3)利用导数求函数的单调区间．
(4)原函数与导函数图象的关系．
2．方法链：方程思想、分类讨论．
3．警示牌：忽略定义域的限制而出错．
6/6(共59张PPT)
第2课时　函数单调性的应用
第五章　一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
整体感知
[学习目标]　1．进一步理解函数的导数和其单调性的关系．(数学运算)
2．能求简单的含参的函数的单调区间以及根据函数的单调性求参数的取值范围．(数学运算)
(教师用书)
请大家解这样一个关于x的一元一次不等式：ax－2＞0，根据不等式的性质可知，我们无法直接进行求解，它依赖于a的符号，于是我们分类讨论进行求解如下：当a＞0时，得x＞；当a＝0时，x无解；当a＜0时，得x＜，参数的存在不仅对解不等式有影响，对于一些函数的单调性也有影响，如何解答含参函数的单调性问题，今天我们就来探究一下．
[讨论交流]　
问题1．若函数f (x)为可导函数，且在区间(a，b)上单调递增(或递减)，则f ′(x)满足什么条件？
问题2．对于函数y＝f (x)，f ′(x)≥0是f (x)为增函数的充要条件吗？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　讨论含参函数的单调性
[典例讲评]　1．已知函数f (x)＝ln x－ax2＋(1－a)x＋a(a∈R)，判断函数f (x)的单调性．
[解]　函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝－ax＋1－a＝＝．
当a≤0时，f ′(x)＞0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a＞0时，令f ′(x)＞0，解得0＜x＜，则f (x)在上单调递增；
令f ′(x)＜0，解得x＞，则f (x)在上单调递减．
综上，当a≤0时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，函数f (x)在上单调递增，在上单调递减．
反思领悟　(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
【教用·备选题】　已知函数f (x)＝x3＋ax2－3a2x＋1(a≤0)．试求函数f (x)的单调区间．
[解]　f ′(x)＝x2＋2ax－3a2＝(x＋3a)(x－a)，且x∈(－∞，＋∞)．
当a＝0时，f ′(x)＝x2≥0，此时f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
当a＜0，x∈(－∞，a)时，f ′(x)＞0，此时f (x)单调递增；
x∈(a，－3a)时，f ′(x)＜0，此时f (x)单调递减；
x∈(－3a，＋∞)时，f ′(x)＞0，此时f (x)单调递增．
综上，当a＝0时，函数f (x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a＜0时，函数f (x)的单调递增区间为(－∞，a)，(－3a，＋∞)；
函数f (x)的单调递减区间为(a，－3a)．
[学以致用]　1．求函数f (x)＝＋a ln x(a∈R)的单调递减区间．
[解]　易得函数f (x)的定义域是(0，＋∞)，
f ′(x)＝－＝．
①当a≤0时，f ′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，
故f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＞0时，若0＜x＜，则f ′(x)＜0；
若x＞，则f ′(x)＞0，
所以f (x)在上单调递减，在上单调递增．
综上可知，当a≤0时，f (x)的单调递减区间为(0，＋∞)，当a＞0时，f (x)的单调递减区间为．
探究2　根据函数的单调性求参数的取值范围
探究问题1　如果函数y＝f (x)在区间(a，b)内单调递增，则f ′(x)有什么特点？
[提示]　f ′(x)≥0，但f ′(x)不可以恒为0．
探究问题2　如果函数y＝f (x)在区间(a，b)内存在单调递增区间，则
f ′(x)有什么特点？
[提示]　f ′(x)＞0有解．
[新知生成]
导数的符号与函数单调性的关系
(1)在某区间D上，若f ′(x)＞0 函数f (x)在D上________；在某区间D上，若f ′(x)＜0 函数f (x)在D上________．
(2)若函数f (x)在D上单调递增 f ′(x)≥0；若函数f (x)在D上单调递减 _________．需要检验f ′(x)＝0不能恒成立．
(3)若函数f (x)在D上存在单调递增区间 f ′(x)＞0有解．
若函数f (x)在D上存在单调递减区间 ______________．
单调递增
单调递减
f ′(x)≤0
f ′(x)＜0有解
【教用·微提醒】　(1)单调区间可以写成闭区间，我们习惯上写成开区间．
(2)注意以下区别：若单调递增，则f ′(x)≥0恒成立；若存在单调递增区间，则f ′(x)＞0能成立．
[典例讲评]　2．已知函数f (x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围．
[思路导引]　→→
[解]　由已知得f ′(x)＝3x2－a，
因为f (x)在R上是增函数，
所以f ′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0．又因为a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0且不恒为0，f (x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0．
[母题探究]　
1．若函数f (x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)，求a的值．
[解]　由题意得f ′(x)＝3x2－a，函数f (x)的定义域为R．
①当a≤0时，f ′(x)≥0，
∴f (x)在R上为增函数，与已知矛盾，不符合题意．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当－＜x＜时，f ′(x)＜0．∴f (x)在上单调递减，
∴f (x)的单调递减区间为，
又函数f (x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)，∴＝1，即a＝3．
2．若函数f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上单调递减，求a的取值范围．
[解]　由题意可知f ′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，∴即
∴a≥3．即a的取值范围是[3，＋∞)．
3．若函数f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不单调，求a的取值范围．
[解]　∵f (x)＝x3－ax－1，∴f ′(x)＝3x2－a，
由题意可知a＞0，由f ′(x)＝0，得x＝±(a＞0)．
∵f (x)在区间(－1，1)上不单调，∴0＜＜1，即0＜a＜3．
故a的取值范围为(0，3)．
发现规律　利用函数的单调性求参数，常用方法如下：
1 函数f (x)在区间D上单调递增 ___________在区间D上恒成立
2 函数f (x)在区间D上单调递减 ___________在区间D上恒成立
3 函数f (x)在区间D上不单调 f ′(x)在区间D上存在变号____
f ′(x)≥0
f ′(x)≤0
零点
4 函数f (x)在区间D上存在单调递增区间 x0∈D，使得___________成立
5 函数f (x)在区间D上存在单调递减区间 x0∈D，使得___________成立
6 若已知f (x)在区间D上的单调性，区间D上含有参数时，可先求出
f (x)的单调区间，令D是其单调区间的________，从而求出参数的取值范围
f ′(x0)>0
f ′(x0)<0
非空子集
[学以致用]　2．已知a∈R，函数f (x)＝x3－6x2＋3(4－a)x．
(1)若曲线y＝f (x)在点(3，f (3))处的切线与直线x－3y＝0垂直，求a的值；
(2)若函数f (x)在区间(1，4)上单调递减，求a的取值范围．
[解]　(1)因为f ′(x)＝3x2－12x＋12－3a，所以曲线y＝f (x)在点(3，
f (3))处的切线斜率k＝f ′(3)＝27－36＋12－3a＝3－3a．而直线x－3y＝0的斜率为，则3－3a＝－3，解得a＝2．
(2)由f (x)在(1，4)上单调递减，得f ′(x)＝3x2－12x＋12－3a≤0在(1，4)上恒成立，即a≥x2－4x＋4在(1，4)上恒成立．又x∈(1，4)时，y＝x2－4x＋4＜4，所以a≥4，所以a的取值范围是[4，＋∞)．
探究3　根据函数的单调性比较大小或解不等式
[典例讲评]　3．(1)函数f (x)＝sin x＋2xf ′，f ′(x)为f (x)的导函数，令a＝，b＝log32，则下列关系正确的是(　　)
A．f (a)＜f (b)　　 B．f (a)＞f (b)
C．f (a)＝f (b)　　 D．f (a)≤f (b)
√
(2)已知函数f (x)的定义域为R，f ′(x)为f (x)的导函数，函数y＝f ′(x)的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x2－6)＞1的解集是(　　)
A．(－3，－2)∪(2，3)
B．(－)
C．(2，3)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
√
(1)B　(2)A　[(1)由题意得f ′(x)＝cos x＋2f ′，f ′＝cos ＋
2f ′，
解得f ′＝－，所以f (x)＝sin x－x，
所以f ′(x)＝cos x－1≤0，所以f (x)为减函数．
因为b＝log32＞log3＝＝a，
所以f (a)＞f (b)．故选B．
(2)由y＝f ′(x)的图象知，函数f (x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，
＋∞)上单调递减，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x2－6)＞1可转化为－2＜x2－6＜3，
解得2＜x＜3或－3＜x＜－2．故选A．]
反思领悟　(1)在比较两数(式)的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小．
(2)在解一些不等式时，先判断函数的单调性，再利用单调性脱去f，即可得到变量的大小关系．
[学以致用]　3．(1)设函数f (x)＝2x＋sin x，则(　　)
A．f (1)＞f (2)　　 B．f (1)＜f (2)
C．f (1)＝f (2)　　 D．以上都不正确
(2)已知f (x)是定义在R上的偶函数且连续，当x＞0时，f ′(x)＜0，若
f (lg x)＞f (1)，则x的取值范围是________．
√
(1)B　(2)　[(1)f ′(x)＝2＋cos x＞0，
故f (x)是R上的增函数，故f (1)＜f (2)．故选B．
(2)由题设知，当x＞0时，f (x)单调递减；
当x＜0时，f (x)单调递增，
∴f (lg x)＞f (1) |lg x|＜1 －1＜lg x＜1 ＜x＜10．]
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
B　[由题意可得，f ′(x)＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立，因为－1≤－sin x≤1，所以a≥1．故选B．]
1．若函数f (x)＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1，＋∞)　　 B．[1，＋∞)
C．(－1，＋∞)　　 D．(1，＋∞)
2
3
题号
1
4
2．已知函数f (x)＝＋ln x，则下列选项正确的是(　　)
A．f (e)＜f (π)＜f (2.7)　　 B．f (π)＜f (e)＜f (2.7)
C．f (e)＜f (2.7)＜f (π)　　 D．f (2.7)＜f (e)＜f (π)
√
D　[因为函数f (x)＝＋ln x(x＞0)，所以f ′(x)＝＞0，所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．又因为2.7＜e＜π，所以f (2.7)＜f (e)＜f (π)．故选D．]
2
3
题号
4
1
3．函数f (x)＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间为(0，3)，则m＝________．
　[令f ′(x)＝3x2－2mx＝0，解得x＝0或x＝m，所以m＝3，解得m＝．]
2
4
3
题号
1
4．函数f (x)的图象如图所示，f ′(x)为函数f (x)的导函数，则不等式＜0的解集为___________________．
(－3，－1)∪(0，1)　[由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1，1)时，f ′(x)＜0；
当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，故不等式＜0的解集为(－3，－1)∪(0，1)．]
(－3，－1)∪(0，1)
1．知识链：(1)求含参函数的单调区间．
(2)由单调性求参数的取值范围．
(3)函数单调性的应用．
2．方法链：分类讨论、数形结合．
3．警示牌：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．利用导数研究含参数函数的单调性，一般有哪几种情况？如何解决这几种情况？
[提示]　利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况：
①区间端点大小不确定型
由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间．
②区间端点与定义域关系不确定型
此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论．
③最高次项系数不确定型
此类问题一般要对最高次项的系数a，分a＞0，a＝0，a＜0进行讨论．
2．总结由函数的单调性求参数的取值范围的方法有哪几种？
[提示]　①可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f ′(x)≥0(或
f ′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，根据已知条件，求出参数的取值范围，但最后要注意检验．
②可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在区间(a，b)上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
③若已知f (x)在区间I上的单调性，且区间I含有参数时，可先求出f ′(x)为正或负时的区间，令I是f (x)的单调区间的非空子集，从而求出参数的取值范围．
课时分层作业(十九)　函数单调性的应用
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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11
12
13
√
14
15
一、选择题
1．若函数y＝x3＋x2＋mx＋2(m∈R)是R上的单调函数，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1)　　 B．(－∞，1]
C．(1，＋∞)　　 D．[1，＋∞)
题号
1
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15
D　[函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，即y′＝x2＋2x＋m≥0(y′＝x2＋2x＋m≤0舍去)在R上恒成立，
所以Δ＝4－4m≤0，解得m≥1．故选D．]
题号
2
1
3
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13
2．(多选)已知定义在R上的函数f (x)，其导函数y＝f ′(x)的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是(　　)
A．f (b)＞f (a)　　
B．f (d)＞f (e)
C．f (a)＞f (d)　　
D．f (c)＞f (e)
√
14
15
√
√
题号
2
1
3
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14
15
ABD　[由题图可得，当x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)时，f ′(x)＞0，
当x∈(c，e)时，f ′(x)＜0，
故f (x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上单调递增，在(c，e)上单调递减，
所以f (b)＞f (a)，f (d)＞f (e)，f (c)＞f (e)．故选ABD．]
题号
3
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13
1
3．若函数h(x)＝2x－在(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是(　　)
A．[－2，＋∞)　　 B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]　　 D．(－∞，2]
√
14
15
A　[根据条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，
所以k的取值范围是[－2，＋∞)．]
题号
4
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13
1
4．已知函数f (x)＝x2－ax＋3在(0，1)上单调递减，函数g(x)＝x2－
a ln x在(1，2)上单调递增，则a＝(　　)
A．1　　B．2　　C．0　　D．
√
14
15
B　[∵函数f (x)＝x2－ax＋3在(0，1)上单调递减，
∴≥1，得a≥2．g′(x)＝2x－，
依题意g′(x)≥0在(1，2)上恒成立，
即2x2≥a在x∈(1，2)时恒成立，则a≤2，
∴a＝2．故选B．]
题号
2
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13
1
5．已知函数y＝f (x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x)＜0的解集为(　　)
A．(－∞，0)
B．
C．∪(2，＋∞)
D．(－1，0)∪(1，3)
√
14
15
题号
2
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5
3
6
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12
13
1
A　[由题图可得，f (x)在上单调递增，在上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以在上，f ′(x)＞0，在上，f ′(x)＜0，在(2，＋∞)上，f ′(x)＞0．则不等式xf ′(x)＜0可化为或解得＜x＜2或x＜0．
故原不等式的解集为(－∞，0)．故选A．]
14
15
题号
2
4
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3
6
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13
1
二、填空题
6．若函数f (x)＝x2－16ln 2x在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________．
14
15
　[显然x＞0，且f ′(x)＝x－，令f ′(x)≤0，解得0＜x≤4．
∵f (x)在区间上单调递减，∴解得＜a≤．]
题号
2
4
5
3
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6
8
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10
11
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13
1
7．已知函数f (x)＝x3＋x2－6x＋1在(－1，1)上单调递减，则m的取值范围为___________．
14
15
[－5，5]　[∵f (x)在(－1，1)上单调递减，∴f ′(x)＝x2＋mx－6≤0在(－1，1)上恒成立，
又f ′(x)＝x2＋mx－6是开口向上的二次函数，为使f ′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，
只需即则m∈[－5，5]．]
[－5，5]
题号
2
4
5
3
8
6
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9
10
11
12
13
1
8．已知函数f (x)＝ln x＋在[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是___________．
14
15
(－∞，2]　[∵f (x)＝ln x＋在[2，＋∞)上单调递增，f ′(x)＝＝，
∴f ′(x)＝≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤x在[2，＋∞)上恒成立，∴a≤2．
当a＝2时，f ′(x)＝不恒为零，故a的取值范围是(－∞，2]．]
(－∞，2]
题号
9
2
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13
1
三、解答题
9．(源自人教B版教材)讨论函数f (x)＝a ln x＋x的单调性，其中a为实常数．
14
15
[解]　函数f (x)的定义域为(0，＋∞)．
因为f ′(x)＝＋1，令f ′(x)>0，可得＋1>0，即x>－a．
所以当－a≤0，即a≥0时，f ′(x)>0恒成立，此时f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当－a>0，即a<0时，f ′(x)>0的解为x>－a，此时f (x)在(0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增．
题号
9
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1
10．若函数f (x)＝ex(x2＋a)在[－2，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0]　　 B．(－∞，－8)
C．(－∞，－8]　　 D．[0，＋∞)
√
14
15
题号
9
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3
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13
1
C　[因为函数f (x)＝ex(x2＋a)，
所以f ′(x)＝ex(x2＋2x＋a)．
因为函数f (x)＝ex(x2＋a)在[－2，2]上单调递减，所以f ′(x)＝ex(x2＋2x＋a)≤0在[－2，2]上恒成立，即a≤－x2－2x在[－2，2]上恒成立．
令t＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，则在[－2，2]上，tmin＝－8，则a≤
－8，当a＝－8时，f ′(x)＝ex(x2＋2x－8)＝ex[(x＋1)2－9]不恒为零，也符合题意，所以实数a的取值范围是(－∞，－8]．故选C．]
14
15
题号
9
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13
1
11．若函数f (x)＝(e为自然对数的底数)是减函数，则实数a的取值范围是________．
14
15
[0，1]　[f (x)＝，f ′(x)＝．
因为函数f (x)是减函数，所以f ′(x)≤0恒成立．
令g(x)＝2ax－ax2－1，则g(x)≤0恒成立，
当a＝0时，g(x)＝－1成立，所以a＝0满足条件．
[0，1]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
当a＜0时，则g(x)的图象开口向上，g(x)≤0不恒成立，不符合题意，舍去．
当a＞0时，要使g(x)≤0恒成立，则Δ＝4a2－4a≤0，解得0≤a≤1，又a＞0，所以0＜a≤1．综上可得，实数a的取值范围是[0，1]．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
12．已知函数f (x)＝2x2－ln x，若f (x)在区间(2m，m＋1)上单调递增，则实数m
的取值范围是________．
14
15
　[由f (x)＝2x2－ln x，得f ′(x)＝4x－＝，
由于函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，故令f ′(x)≥0，解得x≥，
故f (x)的单调递增区间为，若f (x)在区间(2m，m＋1)上单调递增，
则解得≤m＜1．]
题号
9
2
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5
3
8
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13
1
13．已知函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为________．
14
15
　[因为f (x)＝aex－ln x(x＞0)，所以f ′(x)＝aex－．
由于函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，
即f ′(x)≥0在(1，2)上恒成立，显然a＞0，所以问题转化为xex≥在(1，2)上恒成立，设g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex＞0，
所以g(x)在(1，2)上单调递增，所以g(x)＞g(1)＝e，
所以e≥，a≥，所以a的最小值为．]
题号
9
2
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5
3
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13
1
14．设函数f (x)＝ex－ax－2(a∈R)，求f (x)的单调区间．
14
15
[解]　f (x)的定义域为R，f ′(x)＝ex－a．
若a≤0，则f ′(x)＞0，所以f (x)在R上单调递增．
若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f ′(x)＜0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f ′(x)＞0．
所以f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f (x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a＞0时，f (x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，
单调递增区间为(ln a，＋∞)．
题号
9
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1
15．函数f (x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的必要不充分条件是(　　)
A．a∈　　 B．a∈
C．a∈(－∞，0) D．a∈(－∞，0)
14
15
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
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12
13
1
A　[由f (x)＝ax3＋x2＋5x－1，
得f ′(x)＝3ax2＋2x＋5，
当a＝0时，由f ′(x)＝0，解得x＝－，函数f (x)有两个单调区间；
当a＞0时，由Δ＝4－60a＞0，解得a＜，即0＜a＜，此时函数f (x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间；
当a＜0时，Δ＝4－60a＞0，解得a＜，即a＜0，此时函数f (x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间．
综上所述，a∈(－∞，0)是函数f (x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的充要条件，分析可得a∈是其必要不充分条件．]
14
15
THANKS第2课时　函数单调性的应用
[学习目标]　1．进一步理解函数的导数和其单调性的关系．(数学运算)
2．能求简单的含参的函数的单调区间以及根据函数的单调性求参数的取值范围．(数学运算)
[讨论交流]　
问题1．若函数f (x)为可导函数，且在区间(a，b)上单调递增(或递减)，则f ′(x)满足什么条件？
问题2．对于函数y＝f (x)，f ′(x)≥0是f (x)为增函数的充要条件吗？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　讨论含参函数的单调性
[典例讲评]　1．已知函数f (x)＝ln x－ax2＋(1－a)x＋a(a∈R)，判断函数f (x)的单调性．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
[学以致用]　1．求函数f (x)＝＋a ln x(a∈R)的单调递减区间．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　根据函数的单调性求参数的取值范围
探究问题1　如果函数y＝f (x)在区间(a，b)内单调递增，则f ′(x)有什么特点？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究问题2　如果函数y＝f (x)在区间(a，b)内存在单调递增区间，则f ′(x)有什么特点？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
导数的符号与函数单调性的关系
(1)在某区间D上，若f ′(x)＞0 函数f (x)在D上________；在某区间D上，若f ′(x)＜0 函数f (x)在D上________．
(2)若函数f (x)在D上单调递增 f ′(x)≥0；若函数f (x)在D上单调递减 ________．需要检验f ′(x)＝0不能恒成立．
(3)若函数f (x)在D上存在单调递增区间 f ′(x)＞0有解．
若函数f (x)在D上存在单调递减区间 ________．
[典例讲评]　2．已知函数f (x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围．
[思路导引]　→→
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　
1．若函数f (x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)，求a的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．若函数f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上单调递减，求a的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．若函数f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不单调，求a的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用函数的单调性求参数，常用方法如下：
1 函数f (x)在区间D上单调递增 ________在区间D上恒成立
2 函数f (x)在区间D上单调递减 ________在区间D上恒成立
3 函数f (x)在区间D上不单调 f ′(x)在区间D上存在变号________
4 函数f (x)在区间D上存在单调递增区间 x0∈D，使得________成立
5 函数f (x)在区间D上存在单调递减区间 x0∈D，使得________成立
6 若已知f (x)在区间D上的单调性，区间D上含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令D是其单调区间的________，从而求出参数的取值范围
[学以致用]　2．已知a∈R，函数f (x)＝x3－6x2＋3(4－a)x．
(1)若曲线y＝f (x)在点(3，f (3))处的切线与直线x－3y＝0垂直，求a的值；
(2)若函数f (x)在区间(1，4)上单调递减，求a的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　根据函数的单调性比较大小或解不等式
[典例讲评]　3．(1)函数f (x)＝sin x＋2xf ′，f ′(x)为f (x)的导函数，令a＝，b＝log32，则下列关系正确的是(　　)
A．f (a)＜f (b) B．f (a)＞f (b)
C．f (a)＝f (b) D．f (a)≤f (b)
(2)已知函数f (x)的定义域为R，f ′(x)为f (x)的导函数，函数y＝f ′(x)的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x2－6)＞1的解集是(　　)
A．(－3，－2)∪(2，3)
B．(－)
C．(2，3)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)在比较两数(式)的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小．
(2)在解一些不等式时，先判断函数的单调性，再利用单调性脱去f，即可得到变量的大小关系．
[学以致用]　3．(1)设函数f (x)＝2x＋sin x，则(　　)
A．f (1)＞f (2) B．f (1)＜f (2)
C．f (1)＝f (2) D．以上都不正确
(2)已知f (x)是定义在R上的偶函数且连续，当x＞0时，f ′(x)＜0，若f (lg x)＞f (1)，则x的取值范围是________．
1．若函数f (x)＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)
2．已知函数f (x)＝＋ln x，则下列选项正确的是(　　)
A．f (e)＜f (π)＜f (2.7) B．f (π)＜f (e)＜f (2.7)
C．f (e)＜f (2.7)＜f (π) D．f (2.7)＜f (e)＜f (π)
3．函数f (x)＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间为(0，3)，则m＝________．
4．函数f (x)的图象如图所示，f ′(x)为函数f (x)的导函数，则不等式＜0的解集为________．
1．知识链：(1)求含参函数的单调区间．
(2)由单调性求参数的取值范围．
(3)函数单调性的应用．
2．方法链：分类讨论、数形结合．
3．警示牌：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论．
3/5第2课时　函数单调性的应用
[学习目标]　1．进一步理解函数的导数和其单调性的关系．(数学运算)
2．能求简单的含参的函数的单调区间以及根据函数的单调性求参数的取值范围．(数学运算)
(教师用书)
请大家解这样一个关于x的一元一次不等式：ax－2＞0，根据不等式的性质可知，我们无法直接进行求解，它依赖于a的符号，于是我们分类讨论进行求解如下：当a＞0时，得x＞；当a＝0时，x无解；当a＜0时，得x＜，参数的存在不仅对解不等式有影响，对于一些函数的单调性也有影响，如何解答含参函数的单调性问题，今天我们就来探究一下．
[讨论交流]　
问题1．若函数f (x)为可导函数，且在区间(a，b)上单调递增(或递减)，则f ′(x)满足什么条件？
问题2．对于函数y＝f (x)，f ′(x)≥0是f (x)为增函数的充要条件吗？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　讨论含参函数的单调性
[典例讲评]　1．已知函数f (x)＝ln x－ax2＋(1－a)x＋a(a∈R)，判断函数f (x)的单调性．
[解]　函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝－ax＋1－a＝＝．
当a≤0时，f ′(x)＞0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a＞0时，令f ′(x)＞0，解得0＜x＜，则f (x)在上单调递增；
令f ′(x)＜0，解得x＞，则f (x)在上单调递减．
综上，当a≤0时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，函数f (x)在上单调递增，在上单调递减．
　(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
【教用·备选题】　已知函数f (x)＝x3＋ax2－3a2x＋1(a≤0)．试求函数f (x)的单调区间．
[解]　f ′(x)＝x2＋2ax－3a2＝(x＋3a)(x－a)，且x∈(－∞，＋∞)．
当a＝0时，f ′(x)＝x2≥0，此时f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
当a＜0，x∈(－∞，a)时，f ′(x)＞0，此时f (x)单调递增；
x∈(a，－3a)时，f ′(x)＜0，此时f (x)单调递减；
x∈(－3a，＋∞)时，f ′(x)＞0，此时f (x)单调递增．
综上，当a＝0时，函数f (x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a＜0时，函数f (x)的单调递增区间为(－∞，a)，(－3a，＋∞)；
函数f (x)的单调递减区间为(a，－3a)．
[学以致用]　1．求函数f (x)＝＋a ln x(a∈R)的单调递减区间．
[解]　易得函数f (x)的定义域是(0，＋∞)，
f ′(x)＝－＝．
①当a≤0时，f ′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，
故f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＞0时，若0＜x＜，则f ′(x)＜0；
若x＞，则f ′(x)＞0，
所以f (x)在上单调递减，在上单调递增．
综上可知，当a≤0时，f (x)的单调递减区间为(0，＋∞)，当a＞0时，f (x)的单调递减区间为．
探究2　根据函数的单调性求参数的取值范围
探究问题1　如果函数y＝f (x)在区间(a，b)内单调递增，则f ′(x)有什么特点？
[提示]　f ′(x)≥0，但f ′(x)不可以恒为0．
探究问题2　如果函数y＝f (x)在区间(a，b)内存在单调递增区间，则f ′(x)有什么特点？
[提示]　f ′(x)＞0有解．
[新知生成]
导数的符号与函数单调性的关系
(1)在某区间D上，若f ′(x)＞0 函数f (x)在D上单调递增；在某区间D上，若f ′(x)＜0 函数f (x)在D上单调递减．
(2)若函数f (x)在D上单调递增 f ′(x)≥0；若函数f (x)在D上单调递减 f ′(x)≤0．需要检验f ′(x)＝0不能恒成立．
(3)若函数f (x)在D上存在单调递增区间 f ′(x)＞0有解．
若函数f (x)在D上存在单调递减区间 f ′(x)＜0有解．
【教用·微提醒】　(1)单调区间可以写成闭区间，我们习惯上写成开区间．
(2)注意以下区别：若单调递增，则f ′(x)≥0恒成立；若存在单调递增区间，则f ′(x)＞0能成立．
[典例讲评]　2．已知函数f (x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围．
[思路导引]　→→
[解]　由已知得f ′(x)＝3x2－a，
因为f (x)在R上是增函数，
所以f ′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0．又因为a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0且不恒为0，f (x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0．
[母题探究]　
1．若函数f (x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)，求a的值．
[解]　由题意得f ′(x)＝3x2－a，函数f (x)的定义域为R．
①当a≤0时，f ′(x)≥0，
∴f (x)在R上为增函数，与已知矛盾，不符合题意．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当－＜x＜时，f ′(x)＜0．
∴f (x)在上单调递减，
∴f (x)的单调递减区间为，
又函数f (x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)，∴＝1，即a＝3．
2．若函数f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上单调递减，求a的取值范围．
[解]　由题意可知f ′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，∴即
∴a≥3．即a的取值范围是[3，＋∞)．
3．若函数f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不单调，求a的取值范围．
[解]　∵f (x)＝x3－ax－1，∴f ′(x)＝3x2－a，
由题意可知a＞0，
由f ′(x)＝0，得x＝±(a＞0)．
∵f (x)在区间(－1，1)上不单调，
∴0＜＜1，即0＜a＜3．
故a的取值范围为(0，3)．
　利用函数的单调性求参数，常用方法如下：
1 函数f (x)在区间D上单调递增 f ′(x)≥0在区间D上恒成立
2 函数f (x)在区间D上单调递减 f ′(x)≤0在区间D上恒成立
3 函数f (x)在区间D上不单调 f ′(x)在区间D上存在变号零点
4 函数f (x)在区间D上存在单调递增区间 x0∈D，使得f ′(x0)>0成立
5 函数f (x)在区间D上存在单调递减区间 x0∈D，使得f ′(x0)<0成立
6 若已知f (x)在区间D上的单调性，区间D上含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令D是其单调区间的非空子集，从而求出参数的取值范围
[学以致用]　2．已知a∈R，函数f (x)＝x3－6x2＋3(4－a)x．
(1)若曲线y＝f (x)在点(3，f (3))处的切线与直线x－3y＝0垂直，求a的值；
(2)若函数f (x)在区间(1，4)上单调递减，求a的取值范围．
[解]　(1)因为f ′(x)＝3x2－12x＋12－3a，所以曲线y＝f (x)在点(3，f (3))处的切线斜率k＝f ′(3)＝27－36＋12－3a＝3－3a．而直线x－3y＝0的斜率为，则3－3a＝－3，解得a＝2．
(2)由f (x)在(1，4)上单调递减，得f ′(x)＝3x2－12x＋12－3a≤0在(1，4)上恒成立，即a≥x2－4x＋4在(1，4)上恒成立．又x∈(1，4)时，y＝x2－4x＋4＜4，所以a≥4，所以a的取值范围是[4，＋∞)．
探究3　根据函数的单调性比较大小或解不等式
[典例讲评]　3．(1)函数f (x)＝sin x＋2xf ′，f ′(x)为f (x)的导函数，令a＝，b＝log32，则下列关系正确的是(　　)
A．f (a)＜f (b) B．f (a)＞f (b)
C．f (a)＝f (b) D．f (a)≤f (b)
(2)已知函数f (x)的定义域为R，f ′(x)为f (x)的导函数，函数y＝f ′(x)的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x2－6)＞1的解集是(　　)
A．(－3，－2)∪(2，3)
B．(－)
C．(2，3)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
(1)B　(2)A　[(1)由题意得f ′(x)＝cos x＋2f ′，f ′＝cos ＋2f ′，
解得f ′＝－，所以f (x)＝sin x－x，
所以f ′(x)＝cos x－1≤0，所以f (x)为减函数．
因为b＝log32＞log3＝＝a，
所以f (a)＞f (b)．故选B．
(2)由y＝f ′(x)的图象知，函数f (x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x2－6)＞1可转化为－2＜x2－6＜3，
解得2＜x＜3或－3＜x＜－2．故选A．]
　(1)在比较两数(式)的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小．
(2)在解一些不等式时，先判断函数的单调性，再利用单调性脱去f，即可得到变量的大小关系．
[学以致用]　3．(1)设函数f (x)＝2x＋sin x，则(　　)
A．f (1)＞f (2) B．f (1)＜f (2)
C．f (1)＝f (2) D．以上都不正确
(2)已知f (x)是定义在R上的偶函数且连续，当x＞0时，f ′(x)＜0，若f (lg x)＞f (1)，则x的取值范围是________．
(1)B　(2)　[(1)f ′(x)＝2＋cos x＞0，
故f (x)是R上的增函数，故f (1)＜f (2)．故选B．
(2)由题设知，当x＞0时，f (x)单调递减；
当x＜0时，f (x)单调递增，
∴f (lg x)＞f (1) |lg x|＜1 －1＜lg x＜1 ＜x＜10．]
1．若函数f (x)＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)
B　[由题意可得，f ′(x)＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立，因为－1≤－sin x≤1，所以a≥1．故选B．]
2．已知函数f (x)＝＋ln x，则下列选项正确的是(　　)
A．f (e)＜f (π)＜f (2.7) B．f (π)＜f (e)＜f (2.7)
C．f (e)＜f (2.7)＜f (π) D．f (2.7)＜f (e)＜f (π)
D　[因为函数f (x)＝＋ln x(x＞0)，所以f ′(x)＝＞0，所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．又因为2.7＜e＜π，所以f (2.7)＜f (e)＜f (π)．故选D．]
3．函数f (x)＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间为(0，3)，则m＝________．
　[令f ′(x)＝3x2－2mx＝0，解得x＝0或x＝m，所以m＝3，解得m＝．]
4．函数f (x)的图象如图所示，f ′(x)为函数f (x)的导函数，则不等式＜0的解集为________．
(－3，－1)∪(0，1)　[由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1，1)时，f ′(x)＜0；
当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，故不等式＜0的解集为(－3，－1)∪(0，1)．]
1．知识链：(1)求含参函数的单调区间．
(2)由单调性求参数的取值范围．
(3)函数单调性的应用．
2．方法链：分类讨论、数形结合．
3．警示牌：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．利用导数研究含参数函数的单调性，一般有哪几种情况？如何解决这几种情况？
[提示]　利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况：
①区间端点大小不确定型
由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间．
②区间端点与定义域关系不确定型
此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论．
③最高次项系数不确定型
此类问题一般要对最高次项的系数a，分a＞0，a＝0，a＜0进行讨论．
2．总结由函数的单调性求参数的取值范围的方法有哪几种？
[提示]　①可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，根据已知条件，求出参数的取值范围，但最后要注意检验．
②可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在区间(a，b)上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
③若已知f (x)在区间I上的单调性，且区间I含有参数时，可先求出f ′(x)为正或负时的区间，令I是f (x)的单调区间的非空子集，从而求出参数的取值范围．
课时分层作业(十九)　函数单调性的应用
一、选择题
1．若函数y＝x3＋x2＋mx＋2(m∈R)是R上的单调函数，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
D　[函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，即y′＝x2＋2x＋m≥0(y′＝x2＋2x＋m≤0舍去)在R上恒成立，
所以Δ＝4－4m≤0，解得m≥1．故选D．]
2．(多选)已知定义在R上的函数f (x)，其导函数y＝f ′(x)的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是(　　)
A．f (b)＞f (a) B．f (d)＞f (e)
C．f (a)＞f (d) D．f (c)＞f (e)
ABD　[由题图可得，当x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)时，f ′(x)＞0，
当x∈(c，e)时，f ′(x)＜0，
故f (x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上单调递增，在(c，e)上单调递减，
所以f (b)＞f (a)，f (d)＞f (e)，f (c)＞f (e)．故选ABD．]
3．若函数h(x)＝2x－在(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是(　　)
A．[－2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．(－∞，2]
A　[根据条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，
所以k的取值范围是[－2，＋∞)．]
4．已知函数f (x)＝x2－ax＋3在(0，1)上单调递减，函数g(x)＝x2－a ln x在(1，2)上单调递增，则a＝(　　)
A．1 B．2 C．0 D．
B　[∵函数f (x)＝x2－ax＋3在(0，1)上单调递减，
∴≥1，得a≥2．
g′(x)＝2x－，
依题意g′(x)≥0在(1，2)上恒成立，
即2x2≥a在x∈(1，2)时恒成立，则a≤2，
∴a＝2．故选B．]
5．已知函数y＝f (x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x)＜0的解集为(　　)
A．(－∞，0)
B．
C．∪(2，＋∞)
D．(－1，0)∪(1，3)
A　[由题图可得，f (x)在上单调递增，在上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以在上，f ′(x)＞0，在上，f ′(x)＜0，在(2，＋∞)上，f ′(x)＞0．则不等式xf ′(x)＜0可化为或解得＜x＜2或x＜0．
故原不等式的解集为(－∞，0)．故选A．]
二、填空题
6．若函数f (x)＝x2－16ln 2x在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________．
　[显然x＞0，且f ′(x)＝x－，令f ′(x)≤0，解得0＜x≤4．
∵f (x)在区间上单调递减，
∴解得＜a≤．]
7．已知函数f (x)＝x3＋x2－6x＋1在(－1，1)上单调递减，则m的取值范围为________．
[－5，5]　[∵f (x)在(－1，1)上单调递减，∴f ′(x)＝x2＋mx－6≤0在(－1，1)上恒成立，
又f ′(x)＝x2＋mx－6是开口向上的二次函数，为使f ′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，
只需
即
则m∈[－5，5]．]
8．已知函数f (x)＝ln x＋在[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
(－∞，2]　[∵f (x)＝ln x＋在[2，＋∞)上单调递增，f ′(x)＝＝，
∴f ′(x)＝≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤x在[2，＋∞)上恒成立，∴a≤2．
当a＝2时，f ′(x)＝不恒为零，故a的取值范围是(－∞，2]．]
三、解答题
9．(源自人教B版教材)讨论函数f (x)＝a ln x＋x的单调性，其中a为实常数．
[解]　函数f (x)的定义域为(0，＋∞)．
因为f ′(x)＝＋1，令f ′(x)>0，可得＋1>0，即x>－a．
所以当－a≤0，即a≥0时，f ′(x)>0恒成立，此时f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当－a>0，即a<0时，f ′(x)>0的解为x>－a，此时f (x)在(0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增．
10．若函数f (x)＝ex(x2＋a)在[－2，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，－8)
C．(－∞，－8] D．[0，＋∞)
C　[因为函数f (x)＝ex(x2＋a)，
所以f ′(x)＝ex(x2＋2x＋a)．
因为函数f (x)＝ex(x2＋a)在[－2，2]上单调递减，所以f ′(x)＝ex(x2＋2x＋a)≤0在[－2，2]上恒成立，即a≤－x2－2x在[－2，2]上恒成立．
令t＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，则在[－2，2]上，tmin＝－8，则a≤－8，当a＝－8时，f ′(x)＝ex(x2＋2x－8)＝ex[(x＋1)2－9]不恒为零，也符合题意，所以实数a的取值范围是(－∞，－8]．故选C．]
11．若函数f (x)＝(e为自然对数的底数)是减函数，则实数a的取值范围是________．
[0，1]　[f (x)＝，f ′(x)＝．
因为函数f (x)是减函数，所以f ′(x)≤0恒成立．
令g(x)＝2ax－ax2－1，则g(x)≤0恒成立，
当a＝0时，g(x)＝－1成立，所以a＝0满足条件．
当a＜0时，则g(x)的图象开口向上，g(x)≤0不恒成立，不符合题意，舍去．
当a＞0时，要使g(x)≤0恒成立，则Δ＝4a2－4a≤0，解得0≤a≤1，又a＞0，所以0＜a≤1．综上可得，实数a的取值范围是[0，1]．]
12．已知函数f (x)＝2x2－ln x，若f (x)在区间(2m，m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是________．
　[由f (x)＝2x2－ln x，得f ′(x)＝4x－＝，
由于函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，故令f ′(x)≥0，解得x≥，
故f (x)的单调递增区间为，若f (x)在区间(2m，m＋1)上单调递增，
则解得≤m＜1．]
13．已知函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为________．
　[因为f (x)＝aex－ln x(x＞0)，所以f ′(x)＝aex－．
由于函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，
即f ′(x)≥0在(1，2)上恒成立，显然a＞0，所以问题转化为xex≥在(1，2)上恒成立，设g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex＞0，
所以g(x)在(1，2)上单调递增，所以g(x)＞g(1)＝e，
所以e≥，a≥，所以a的最小值为．]
14．设函数f (x)＝ex－ax－2(a∈R)，求f (x)的单调区间．
[解]　f (x)的定义域为R，f ′(x)＝ex－a．
若a≤0，则f ′(x)＞0，
所以f (x)在R上单调递增．
若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f ′(x)＜0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f ′(x)＞0．
所以f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f (x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a＞0时，f (x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，
单调递增区间为(ln a，＋∞)．
15．函数f (x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的必要不充分条件是(　　)
A．a∈
B．a∈
C．a∈(－∞，0)
D．a∈(－∞，0)
A　[由f (x)＝ax3＋x2＋5x－1，
得f ′(x)＝3ax2＋2x＋5，
当a＝0时，由f ′(x)＝0，解得x＝－，函数f (x)有两个单调区间；
当a＞0时，由Δ＝4－60a＞0，解得a＜，即0＜a＜，此时函数f (x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间；
当a＜0时，Δ＝4－60a＞0，解得a＜，即a＜0，此时函数f (x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间．
综上所述，a∈(－∞，0)是函数f (x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的充要条件，分析可得a∈是其必要不充分条件．]
4/13

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