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5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第1课时　函数的极值
[学习目标]　1．了解函数的极值及相关的概念．(数学抽象)
2．能利用导数求某些函数的极值．(数学运算)
3．体会导数在求极值中的应用．(数学运算)
4．能利用导数研究与函数极值等相关的问题．(数学运算)
(教师用书)
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山之中，各个山峰的顶端，虽不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课研究的函数的极值．
[讨论交流]　
问题1．极大值、极小值的概念是什么？
问题2．函数的极大值点、极小值点是什么？
问题3．如何求函数的极值？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　函数极值的概念
探究问题1　如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？
[提示]　在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷．
探究问题2　你能从函数与导数角度描述一下探究问题1中在各个山峰、山谷附近的特点吗？
[提示]　以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f ′(x)＞0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f ′(x)＜0，函数图象是连续不断的，f ′(x)的变化也是连续不断的，并且有f ′(x1)＝0．
[新知生成]
极值点与极值的概念
(1)极小值点与极小值
函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
【教用·微提醒】　1．极值点是函数单调性的转折点，因此若f (x)在(a，b)内有极值，则f (x)在(a，b)内不是单调函数．
2．极值点不是点，出现在区间的内部，端点不能是极值点．
[典例讲评]　1．函数y＝f (x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f (x)在区间(3，5)上单调递增；
②函数y＝f (x)在区间上单调递减；
③函数y＝f (x)在区间(－2，2)上单调递增；
④当x＝－时，函数y＝f (x)有极大值；
⑤当x＝2时，函数y＝f (x)有极大值．
则上述判断中正确的序号是________．
③⑤　[对于①，当x∈(3，4)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
当x∈(4，5)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，所以①错误；
对于②，当x∈时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
当x∈(2，3)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，所以②错误；
对于③，当x∈(－2，2)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，所以③正确；
对于④，当x∈(－2，2)时，f ′(x)＞0，
f (x)单调递增，故当x＝－时，f 不是极大值，所以④错误；
对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f (x)取得极大值，所以⑤正确．]
　关于函数极值的概念的理解
(1)可导函数y＝f (x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x＝x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同．
(2)若f (x)在(a，b)内有极值，那么f (x)在(a，b)内不是单调函数，即在某区间上单调递增或单调递减的函数没有极值．
[学以致用]　1．已知函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
A　[由图象，设f ′(x)与x轴负半轴的两个“穿过”x轴的交点的横坐标分别为c，d，其中c＜d，可知在(a，c)，(d，b)上，f ′(x)≥0，
所以此时函数f (x)在(a，c)，(d，b)上单调递增，在(c，d)上，f ′(x)＜0，此时f (x)在(c，d)上单调递减，所以x＝d时，函数取得极小值．
则函数y＝f (x)的极小值点的个数为1．]
探究2　求函数的极值
【链接·教材例题】
例5　求函数f (x)＝x3－4x＋4的极值．
[解]　因为f (x)＝x3－4x＋4，所以
f ′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f ′(x)＝0，解得x＝－2，或x＝2．
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表5.3-2所示．
表5.3-2
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 单调 递增 单调 递减 － 单调 递增
因此，当x＝－2时，f (x)有极大值，并且极大值为
f (－2)＝；
当x＝2时，f (x)有极小值，并且极小值为
f (2)＝－．
函数f (x)＝x3－4x＋4的图象如图5.3-12所示．
[典例讲评]　2．求下列函数的极值．
(1)f (x)＝x3－x2－3x＋3；
(2)f (x)＝＋3ln x．
[解]　(1)f ′(x)＝x2－2x－3，x∈R，
令f ′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表所示：
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 单调 递增 极大值 单调 递减 极小 值－6 单调 递增
∴当x＝－1时，f (x)有极大值，且f (x)极大值＝，当x＝3时，f (x)有极小值，且f (x)极小值＝－6．
(2)函数f (x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝－＝，
令f ′(x)＝0得x＝1．
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表所示：
x (0，1) 1 (1，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋
f (x) 单调递减 极小值3 单调递增
∴当x＝1时，f (x)有极小值，且f (x)极小值＝3，无极大值．
　求可导函数f (x)极值的步骤
(1)定义域：求函数的定义域．
(2)求导：求函数的导数f ′(x)．
(3)令f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0全部的根x0，即导函数f ′(x)的零点．
(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内．
(5)结论：若导数f ′(x)在x＝x0附近左正右负，则函数f (x)在x＝x0处取得极大值；若左负右正，则函数f (x)取得极小值．
[学以致用]　2．(源自人教B版教材)已知函数f (x)＝x3－4x＋4，求函数的极值，并作出函数图象的示意图．
[解]　由题意可得f ′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
解方程f ′(x)＝0，可得x＝－2或x＝2．
解不等式f ′(x)>0，可得x<－2或x>2，此时f (x)单调递增．
解不等式f ′(x)<0，可得－2因此，f (x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，而且f ′(－2)＝f ′(2)＝0．
从而可知x＝－2是函数的极大值点，极大值为f (－2)＝×
(－2)3－4×(－2)＋4＝；x＝2是函数的极小值点，极小值为f (2)＝×23－4×2＋4＝－．
函数图象的示意图如图所示．
探究3　由极值求参数的值或范围
[典例讲评]　3．(1)已知函数f (x)＝x3－2ax2＋a2x＋1在x＝1处取得极小值，则a的值为(　　)
A．1 B．3 C．1或3 D．－1或3
(2)已知函数f (x)＝(x－2)ex与g(x)＝x ln x＋ax有相同的极值点，则实数a＝(　　)
A．－1 B．－ C．2 D．ln 2＋1
(1)A　(2)A　[(1)∵f (x)＝x3－2ax2＋a2x＋1在x＝1处取得极小值，f ′(x)＝3x2－4ax＋a2，
∴f ′(1)＝3－4a＋a2＝0，解得a＝1 或a＝3．
当a＝1时，f ′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，令f ′(x)＞0，得x＜或x＞1；令f ′(x)＜0，得＜x＜1，
则f (x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，
f (x)在 x＝1 处取得极小值，符合题意．
当a＝3时，f ′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令f ′(x)＞0，得x＜1或x＞3；令f ′(x)＜0，得1＜x＜3，
则f (x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，
f (x)在 x＝1 处取得极大值，不符合题意．故选A．
(2)已知f (x)＝(x－2)ex，可得f ′(x)＝(x－1)ex，
令f ′(x)＝0，解得x＝1，所以函数f (x)的极值点为x＝1．
又g(x)＝x ln x＋ax，可得g′(x)＝ln x＋a＋1，若函数f (x)与g(x)有相同的极值点，
此时g′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，经检验a＝－1符合题意．
故选A．]
　已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
[学以致用]　3．已知函数f (x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极大值，则m的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．1或3
C　[已知f (x)＝x(x－m)2，
可得f ′(x)＝(x－m)(3x－m)，
因为函数f (x)在x＝1处取得极大值，所以f ′(1)＝(1－m)(3－m)＝0，
解得m＝1或m＝3．若m＝1，此时f ′(x)＝(x－1)·(3x－1)，
当x＜时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；当＜x＜1时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；当x＞1时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
所以函数f (x)在x＝1处取得极小值，不符合题意．
当m＝3时，经检验，满足题意，综上，m＝3．故选C．]
【教用·备选题】　已知函数f (x)＝－a(x－ln x)．
(1)当a＝0时，求f (x)在(0，＋∞)上的单调区间；
(2)若f (x)在(0，1)内有极值，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝0时，f ′(x)＝，
令f ′(x)＜0，得0＜x＜1，故f (x)在(0，1)上单调递减；
令f ′(x)＞0，得x＞1，故f (x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以f (x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．
(2)由f (x)＝－a(x－ln x)，得f ′(x)＝，
由f (x)在(0，1)内有极值，可知f ′(x)＝0在(0，1)内存在变号零点，即方程ex－ax＝0在(0，1)内有解，所以a＝在(0，1)内有实根，
即直线y＝a与g(x)＝的图象在(0，1)内有交点，
由(1)得g(x)在(0，1)内单调递减．
又g(1)＝e，当x→0时，g(x)→＋∞，所以a＞e，即a的取值范围为(e，＋∞)．
1．函数f (x)＝x3－24x的极大值点为(　　)
A．－2 B．32 C．2 D．－32
A　[f ′(x)＝3x2－24，当x＜－2或x＞2时，f ′(x)＞0；
当－2＜x＜2时，f ′(x)＜0，∴f (x)＝x3－24x的极大值点为－2．
故选A．]
2．已知函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则f (x)(　　)
A．既有极小值，也有极大值
B．有极小值，但无极大值　
C．有极大值，但无极小值
D．既无极小值，也无极大值
B　[由图象可知x＜a时，f ′(x)＜0，函数单调递减，
x＞a时，f ′(x)＞0，函数单调递增，所以x＝a是函数的极小值点．
故选B．]
3．函数f (x)＝ax3＋bx在x＝1处取得极值－2，则a，b的值分别为(　　)
A．1，－3 B．1，3
C．－1，3 D．－1，－3
A　[f ′(x)＝3ax2＋b，
由题意知即解得
故选A．]
4．函数f (x)＝ln x－x在区间(0，e]上的极大值为________．
－1　[∵f ′(x)＝－1＝，∴f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，∴函数f (x)在x＝1处取得极大值，即f (x)极大值＝f (1)＝－1．]
1．知识链：(1)函数极值的概念．
(2)函数极值的判定及求法．
(3)函数极值的应用．
2．方法链：方程思想、分类讨论．
3．警示牌：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数极值的求解依据与步骤是什么？
[提示]　一般地，求函数y＝f (x)的极值的步骤是：
①求出函数的定义域及导数f ′(x)；
②解方程f ′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；
③用方程f ′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
④由f ′(x)在各个开区间内的符号，判断f (x)在f ′(x)＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f (x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f (x)在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点．
2．如果函数f (x)在[a，b]上的图象连续不断且有极值，那么它的极值点有规律吗？
[提示]　如果函数f (x)在[a，b]上有极值，那么它的极值点的分布是有规律的．相邻两个极大值点之间必有一个极小值点．同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f (x)在[a，b]上的图象连续且有有限个极值点时，函数f (x)在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的．
课时分层作业(二十)　函数的极值
一、选择题
1．函数f (x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
A　[由题知f (x)的导函数f ′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
所以函数f (x)单调递增，无极值点．故选A．]
2．函数f (x)的定义域为(a，b)，导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f (x)在(a，b)内有极小值点(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A　[结合导函数的图象可知，函数f (x)先增后减，再增，再减，
结合导数与函数单调性及极值的关系可知，函数有2个极大值点，1个极小值点．
故选A．]
3．函数f (x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f (x)在x＝－3处取得极值，则a＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
D　[对函数求导可得f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，
∵f (x)在x＝－3处取得极值，
∴f ′(－3)＝0 a＝5，验证知，符合题意．
故选D．]
4．若x＝1是函数f (x)＝(x2＋2ax－a2－3a＋3)ex的极值点，则a的值为(　　)
A．－2 B．3 C．－2或3 D．－3或2
B　[根据题意，f (x)＝(x2＋2ax－a2－3a＋3)ex，则f ′(x)＝(x2＋2ax＋2x－a2－a＋3)ex，
又由x＝1是函数f (x)的极值点，必有f ′(1)＝6－a2＋a＝0，解得a＝3或－2，
当a＝－2时，f ′(x)＝(x2－2x＋1)ex≥0恒成立，即f (x)单调递增，无极值点，舍去；
当a＝3时，f ′(x)＝(x2＋8x－9)ex，令f ′(x)＝0，得x＝1或x＝－9，满足x＝1为函数f (x)的极值点，所以a＝3．故选B．]
5．(多选)已知函数f (x)＝2ln x＋x2＋bx的极小值点为2，则(　　)
A．b＝－3
B．f (x)在(0，2)上单调递减
C．f (x)的极大值为－
D．f (x)有两个零点
AC　[已知f (x)＝2ln x＋x2＋bx，函数定义域为(0，＋∞)，
可得f ′(x)＝＋x＋b．因为函数f (x)的极小值点为2，
所以f ′(2)＝0，解得b＝－3，故选项A正确；
此时f ′(x)＝＋x－3＝，当0＜x＜1时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；
当1＜x＜2时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；当x＞2时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，所以函数f (x)的单调递减区间为(1，2)，故选项B错误；
当x＝1时，函数f (x)取得极大值，极大值f (1)＝－，故选项C正确；
要使函数f (x)有两个零点，此时需满足f (1)＞0，因为f (1)＝－＜0，
所以函数f (x)不存在两个零点，故选项D错误．
故选AC．]
二、填空题
6．若函数f (x)＝ex(x－1)，则函数f (x)的极值点为________．
0　[由f (x)＝ex(x－1)，得f ′(x)＝xex．令f ′(x)＝0，则x＝0，
所以当x＞0时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；当x＜0时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
所以f (x)的极值点为0．]
7．已知函数f (x)＝x3＋(a－1)x2－3ax＋1，若f (x)在x＝1处取得极值，则曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为________．
3x＋y－1＝0　[f ′(x)＝3x2＋2(a－1)x－3a，
∵f (x)在x＝1处取得极值，
∴f ′(1)＝3＋2(a－1)－3a＝0，解得a＝1，∴f (x)＝x3－3x＋1，f ′(x)＝3x2－3，
∴f (0)＝1，k＝f ′(0)＝－3，则所求切线方程为y－1＝－3x，即3x＋y－1＝0．]
8．已知函数f (x)＝x2－(a＋2)x＋2a ln x＋1在(4，6)上存在极值点，则实数a的取值范围是________．
(4，6)　[函数f (x)＝x2－(a＋2)x＋2a ln x＋1的导数为f ′(x)＝x－(a＋2)＋，
由题意可得f ′(x)＝0在(4，6)内有解，
即x－(a＋2)＋＝0，亦即(x－2)(x－a)＝0在(4，6)内有解，
又4＜x＜6，可得a∈(4，6)．]
三、解答题
9．函数f (x)＝x ln x－ax＋1在点A(1，f (1))处的切线斜率为－2．
(1)求实数a的值；
(2)求f (x)的单调区间和极值．
[解]　(1)f ′(x)＝ln x＋1－a，∵在点A(1，f (1))处的切线斜率为k＝1－a＝－2，∴a＝3．
(2)由(1)得，f ′(x)＝ln x－2，x＞0，
令f ′(x)＞0，解得x＞e2，令f ′(x)＜0，解得0＜x＜e2，
∴f (x)的单调递减区间为(0，e2)，单调递增区间为(e2，＋∞)，f (x)在x＝e2处取得极小值1－e2，无极大值．
10．若函数f (x)＝x2－x＋a ln x有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
A　[函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，因为函数f (x)＝x2－x＋a ln x有两个不同的极值点，
所以f ′(x)＝x－1＋＝＝0有两个不同的正根，
即x2－x＋a＝0有两个不同的正根，所以解得0＜a＜．故选A．]
11．(多选)已知定义在R上的函数f (x)，其导函数f ′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是(　　)
A．f (a)＞f (e)＞f (d)
B．函数f (x)在[a，b]上单调递增，在[b，d]上单调递减
C．f (x)的极值点为c，e
D．f (x)的极大值为f (b)
ABD　[由导数与函数单调性的关系知，当f ′(x)＞0时，f (x)单调递增，当f ′(x)＜0时，f (x)单调递减．
结合题中所给图象知，当x∈(a，c)时，f ′(x)＞0，
∴f (x)在(a，c)上单调递增，
当x∈(c，e)时，f ′(x)＜0，
∴f (x)在(c，e)上单调递减，
当x∈(e，＋∞)时，f ′(x)＞0，
∴f (x)在(e，＋∞)上单调递增，
∴函数f (x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值，
∴f (x)的极值点为c，e．
故C正确，A，B，D均不正确．故选ABD．]
12．(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f (x)＝a ln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A．bc＞0 B．ab＞0
C．b2＋8ac＞0 D．ac＜0
BCD　[因为函数f (x)＝a ln x＋(a≠0)，所以函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝．因为函数f (x)既有极大值也有极小值，则函数f ′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则
即所以
故选BCD．]
13．已知函数f (x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e是自然对数的底数)在x＝0处取得极小值，则m＝________，此时f (x)的极大值是________．
0　4e-2　[由题意知f ′(x)＝[x2＋(2－m)x－2m]ex．
由f ′(0)＝－2m＝0，解得m＝0，
则f (x)＝x2ex，f ′(x)＝(x2＋2x)ex．
令f ′(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，
故函数f (x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－2，0)，
所以函数f (x)在x＝－2处取得极大值，且有f (－2)＝4e-2．]
14．已知函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f (1)＝－1．
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．
[解]　f ′(x)＝3ax2 ＋2bx＋c，x∈R．
(1)法一：∵x＝±1是函数的极值点，
∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系知
又f (1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－．
法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0，①
3a－2b＋c＝0，②
又f (1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－．
(2)由(1)知f (x)＝x3－x，
∴f ′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x＜－1或x＞1时，f ′(x)＞0，
当－1＜x＜1时，f ′(x)＜0，
∴函数f (x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．
∴当x＝－1时，函数f (x)取得极大值，x＝－1为极大值点；当x＝1时，函数f (x)取得极小值，x＝1为极小值点．
15．(2024·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝ex－ax－a3．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若f (x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
[解]　(1)当a＝1时，f (x)＝ex－x－1，f ′(x)＝ex－1，
可得f (1)＝e－2，f ′(1)＝e－1，
即切点坐标为(1，e－2)，切线斜率k＝e－1，
所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，
即(e－1)x－y－1＝0．
(2)法一：因为f (x)的定义域为R，且f ′(x)＝ex－a，
若a≤0，则f ′(x)>0对任意x∈R恒成立，
可知f (x)在R上单调递增，无极值，不合题意；
若a>0，令f ′(x)>0，解得x>ln a；
令f ′(x)<0，解得x可知f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，则f (x)有极小值f (ln a)＝a－a ln a－a3，无极大值，
由题意可得，f (ln a)＝a－a ln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
构建g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
则g′(a)＝2a＋>0，
可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，
不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1．
所以a的取值范围为(1，＋∞)．
法二：因为f (x)的定义域为R，且f ′(x)＝ex－a，
若f (x)有极小值，则f ′(x)＝ex－a有变号零点，
令f ′(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，
可知y＝ex的图象与y＝a有交点，则a>0，
若a>0，令f ′(x)>0，解得x>ln a；
令f ′(x)<0，解得x可知f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
则f (x)有极小值f (ln a)＝a－a ln a－a3，无极大值，符合题意．
由题意可得，f (ln a)＝a－a ln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
构建g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
因为y＝a2，y＝ln a－1在(0，＋∞)上均单调递增，
所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，
则不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1．
所以a的取值范围为(1，＋∞)．
16/16第3课时　导数在函数有关问题及实际生活中的应用
[学习目标]　1．进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用．(数学运算)
2．能利用导数研究函数的性质、解决简单的实际问题．(数学运算、逻辑推理)
(教师用书)
如图所示，海中有一座油井A，其离岸的距离AC＝1.2 km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC＝1.6 km．现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上．
已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元．那么，铺设输油管的最少花费是多少？
[讨论交流]　
问题　如何应用导数解决生活中的实际问题？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　导数在实际问题中的应用
【链接·教材例题】
例8　某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm．
(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
[解]　由题意可知，每瓶饮料的利润是
y＝f (r)＝0.2×πr3－0.8πr2
＝0.8π，0＜r≤6．
所以
f ′(r)＝0.8π(r2－2r)．
令f ′(r)＝0，解得r＝2．
当r∈(0，2)时，f ′(r)＜0；
当r∈(2，6)时，f ′(r)＞0．
因此，当半径r＞2时，f ′(r)＞0，f (r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜2时，f ′(r)＜0，f (r)单调递减，即半径越大，利润越低．
(1)半径为6 cm时，利润最大．
(2)半径为2 cm时，利润最小，这时f (2)＜0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)如图1所示，一边长为48 cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图2所示．所得容器的容积V(单位：cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位：cm)的函数．
(1)随着x的变化，容积V是如何变化的？
(2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
[解]　(1)根据题意，可得
V＝V(x)＝(48－2x)2x．
由实际情况可知函数V(x)的定义域为{x|0＜x＜24}．
根据导数公式表及导数的运算法则，可得
V′(x)＝－4x(48－2x)＋(48－2x)2
＝(48－2x)(－6x＋48)
＝12(x－24)(x－8)．
解方程V′(x)＝0，
得x1＝8，x2＝24．
根据x1，x2列出表如下，分析V′(x)的符号、V(x)的单调性和极值点．
x (0，8) 8 (8，24)
V′(x) ＋ 0 －
V＝V(x) ? 极大值 ?
根据表中V′(x)与V(x)的变化情况可知，x＝8是函数V＝V(x)的极大值点，相应的极大值为V＝V(8)＝(48－16)2×8＝8 192(cm3)．
V＝(48－2x)2x的大致图象如图．
根据对函数变化规律的讨论可知：
当0＜x≤8时，函数V＝V(x)单调递增；
当8≤x＜24时，函数V＝V(x)单调递减．
(2)区间(0，24)上任意点的函数值都不超过V(8)，因此，x＝8是函数的最大值点．
此时V＝V(8)＝8 192(cm3)是函数V＝V(x)在区间(0，24)内的最大值．
即当截去的小正方形的边长为8 cm时，得到的容器容积最大，最大容积为8 192 cm3．
　1．解决最优问题应从以下两个方面入手
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域．
(2)在实际应用问题中，若函数f (x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．
2．利用导数解决生活中优化问题的四个步骤
第一步：设出恰当的未知量，并确定未知量的取值集合(即函数的定义域)．
第二步：依题意将所求最值的量表示为未知量的函数．
第三步：求出函数的导数，令导数等于0，得到导数为0的点．
第四步：通过单调性确定出函数的极值点及最值．
[学以致用]　1．(源自湘教版教材)某企业要生产容积为V m3的圆柱形密闭容器(如图所示)，已知该容器侧面耗材为1元/m2，上下底面的耗材为1.5元/m2．问：如何设计圆柱的高度h m和上下底面的半径r m，使得费用最少？
[解]　由题意可得，所需费用为
C＝2πrh×1＋2πr2×1.5＝2πrh＋3πr2．
由于容器的容积为V＝πr2h，从而πrh＝，因此
C(r)＝＋3πr2．
对C(r)关于r求导，得C′(r)＝－＋6πr．
令C′(r)＝0，解得r＝．
当r∈时，C′(r)＜0，则C(r)单调递减；
当r∈时，C′(r)＞0，则C(r)单调递增．
因此，C(r)在r＝处取到极小值，也是最小值(如图所示)．
由r＝．
因此，当圆柱上下底面半径r＝，高h＝3r时，所需费用最少．
探究2　利用导数研究函数的零点或方程的根
【链接·教材例题】
例7　给定函数f (x)＝(x＋1)ex．
(1)判断函数f (x)的单调性，并求出f (x)的极值；
(2)画出函数f (x)的大致图象；
(3)求出方程f (x)＝a(a∈R)的解的个数．
[解]　(1)函数的定义域为R．
f ′(x)＝(x＋1)′ex＋(x＋1)(ex)′
＝ex＋(x＋1)ex
＝(x＋2)ex．
令f ′(x)＝0，
解得x＝－2．
f ′(x)，f (x)的变化情况如表5.3-4所示．
表5.3-4
x (－∞，－2) －2 (－2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋
f (x) 单调递减 － 单调递增
所以，f (x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增．
当x＝－2时，f (x)有极小值f (－2)＝－．
(2)令f (x)＝0，解得x＝－1．
当x＜－1时，f (x)＜0；当x＞－1时，f (x)＞0．
所以，f (x)的图象经过特殊点A，B(－1，0)，C(0，1)．
当x→－∞时，与一次函数相比，指数函数y＝e－x呈爆炸性增长，从而f (x)＝→0；
当x→＋∞时，f (x)→＋∞，f ′(x)→＋∞．
根据以上信息，我们画出f (x)的大致图象如图5.3-17所示．
(3)方程f (x)＝a(a∈R)的解的个数为函数y＝f (x)的图象与直线y＝a的交点个数．
由(1)及图5.3－17可得，当x＝－2时，f (x)有最小值f (－2)＝－．
所以，关于方程f (x)＝a(a∈R)的解的个数有如下结论：
当a＜－时，解为0个；
当a＝－或a≥0时，解为1个；
当－＜a＜0时，解为2个．
[典例讲评]　2．已知函数f (x)＝ex－1，g(x)＝＋x．
(1)证明：函数h(x)＝f (x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；
(2)求方程f (x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．
[解]　(1)证明：由题意可得
h(x)＝f (x)－g(x)＝ex－1－－x，
所以h(1)＝e－3＜0，h(2)＝e2－3－＞0，
所以h(1)·h(2)＜0，
所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点．
(2)由(1)可知h(x)＝f (x)－g(x)＝ex－1－－x(x≥0)．
而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点．
又h(x)在(1，2)内有零点，
因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点．
h′(x)＝ex－－1，
记φ(x)＝ex－－1，
则φ′(x)＝ex＋．
当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)＞0，
因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
φ＝－1＜0，φ(1)＝e－＞0，
存在唯一的x0∈，使φ(x0)＝0，
即h′(x0)＝0，满足＝＋1．
易证得x0为h(x)的极小值点，且h(x0)＝－1－－x0＝＜0，
显然h(x)在[0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
结合(1)知h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，
所以方程f (x)＝g(x)的根的个数为2．
【教用·备选题】　已知函数f (x)＝ex－．
(1)求曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程；
(2)判断函数f (x)的零点的个数，并说明理由．
[解]　(1)由f (x)＝ex－，得f ′(x)＝ex＋，则f ′(0)＝3，而f (0)＝2，所以曲线在点(0，f (0))处的切线方程为y－2＝3(x－0)，即3x－y＋2＝0．
(2)函数f (x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，由(1)可知，f ′(x)＝ex＋，
当x∈(－∞，1)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
因为f (－2)f (0)＝·2＝2＜0，所以函数f (x)在x∈(－∞，1)上有唯一零点；
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
因为f (2)f ＝(e2－3)·＜0，所以函数f (x)在x∈(1，＋∞)上有唯一零点，所以f (x)有2个零点．
　函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据函数零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的统一．
[学以致用]　2．已知函数f (x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f (x)＝0有三个不同的实数根，求实数a的取值范围．
[解]　f ′(x)＝3x2－3，令f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1．
当x<－1时，f ′(x)>0；
当－1当x>1时，f ′(x)>0．
所以当x＝－1时，f (x)有极大值f (－1)＝2＋a；
当x＝1时，f (x)有极小值f (1)＝－2＋a．
因为方程f (x)＝0有三个不同的实数根，
所以y＝f (x)的图象与x轴有三个交点，如图．
由已知应有
解得－2探究3　利用导数证明不等式
[典例讲评]　3．当x＞0时，证明不等式ln (x＋1)＞x－x2．
[思路导引]　利用导数证明不等式，首先要构造函数f (x)＝ln (x＋1)－x＋x2，然后求函数f (x)的最小值，从而证明f (x)min＞0．
[证明]　令f (x)＝ln (x＋1)－x＋x2，函数f (x)的定义域为(－1，＋∞)．
∵f ′(x)＝－1＋x＝．
当x∈(－1，＋∞)时，f ′(x)≥0，从而f (x)在(－1，＋∞)上是增函数．
当x＞0时，f (x)＞f (0)＝0．
∴当x＞0时，ln (x＋1)＞x－x2成立．
　利用函数的最值证明不等式的基本步骤
(1)将不等式构造成f (x)＞0(或＜0)的形式．
(2)利用导数将函数y＝f (x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出．
(3)证明函数y＝f (x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立．
[学以致用]　3．已知x＞0，证明：1＋2x＜e2x．
[证明]　设f (x)＝1＋2x－e2x，
则f ′(x)＝2－2e2x＝2(1－e2x)．
当x＞0时，2x＞0，e2x＞e0＝1，
∴f ′(x)＝2(1－e2x)＜0，
∴函数f (x)＝1＋2x－e2x在(0，＋∞)上单调递减．
∵函数f (x)＝1＋2x－e2x是连续函数，
∴当x＞0时，f (x)＜f (0)＝0，
∴当x＞0时，1＋2x－e2x＜0，即1＋2x＜e2x．
1．设函数f (x)的导函数为f ′(x)，若f (x)为偶函数，且在(0，1)上存在极大值，则f ′(x)的图象可能为(　　)
A　　　　B　　　　　C　　　　　D
C　[根据题意，f (x)为偶函数，则其导函数f ′(x)为奇函数，结合函数图象可以排除B，D．又由于函数f (x)在(0，1)上存在极大值，则其导函数在(0，1)上存在零点，且零点左侧导函数值符号为正，右侧导函数值符号为负，结合选项可以排除A，只有C选项符合题意．]
2．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0A．30　　B．40　　C．50　　D．60
B　[V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，
因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，
此时V(x)单调递增；
当403．方程x3－6x2＋9x＋m＝0恰有三个不等的实根，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－4)
B．(－4，0)
C．(－∞，－4)∪(0，＋∞)
D．(0，＋∞)
B　[设f (x)＝x3－6x2＋9x，可得f ′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
令f ′(x)＞0，即(x－1)(x－3)＞0，解得x＜1或x＞3，
令f ′(x)＜0，即(x－1)(x－3)＜0，解得1＜x＜3，
所以函数f (x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，
则当x＝1时，函数f (x)取得极大值f (1)＝4，
当x＝3时，函数f (x)取得极小值f (3)＝0，
要使得方程x3－6x2＋9x＋m＝0恰有三个不等的实根，即函数y＝f (x)与y＝－m的图象有三个不同的交点，所以0＜－m＜4，解得－4＜m＜0，
即实数m的取值范围是(－4，0)．]
4．在区间(0，π)上，sin x与x的大小关系是________．
sin x＜x　[构造函数f (x)＝sin x－x，x∈(0，π)，则f ′(x)＝cos x－1＜0，故函数f (x)在(0，π)上单调递减，所以f (x)＜f (0)＝0，故sin x＜x．]
1．知识链：(1)导数在实际问题中的应用．
(2)研究求函数零点的方法．
(3)利用导数证明不等式．
2．方法链：转化法、数形结合法、分类讨论法．
3．警示牌：不能正确分析函数图象的变化趋势，从而不能正确得到函数零点的个数．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用导数解决优化问题的实质是什么？
[提示]　生活中常常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，用导数解决这些优化问题的实质是求函数的最值．
2．用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是什么？
[提示]　①审题：理解文字表达的题意，分析实际问题中各量之间的关系．
②建模：将文字语言转化为数学语言，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系．
③解模：把数学问题划归为求最值问题．
ⅰ．求函数的导数，解导数值为0的方程；
ⅱ．比较函数在区间端点和使导数值为0的点处的函数值的大小，即得最大(小)值．
④写出答案．
注意：在将实际问题转化为数学问题时，要注意所设变量的取值范围．
3．用导数解决实际问题中的最值问题应注意哪些事项？
[提示]　①要注意考虑实际问题的意义，不符合题意的值应舍去．
②在实际问题中，有时会遇到区间内只有一个点使f ′(x)＝0的情形，如果函数在该点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这是最大(小)值．
③要注意问题中涉及的变量关系用函数式表示，以及确定函数关系式中自变量的取值范围．
4．已知函数的零点(方程根)的个数，求参数的取值范围有哪些常用的方法？
[提示]　常用的方法有三种：
①直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
②分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
③数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题．
课时分层作业(二十二)　导数在函数有关问题及实际生活中的应用
一、选择题
1．某箱子的容积V与底面边长x的关系为V(x)＝－2x3＋30x2(0＜x＜15)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为(　　)
A．5 B．8 C．10 D．12
C　[因为V(x)＝－2x3＋30x2(0＜x＜15)，
所以V′(x)＝－6x2＋60x＝－6x(x－10)，
所以在(0，10)上，V′(x)＞0，V(x)单调递增，
在(10，15)上，V′(x)＜0，V(x)单调递减，
所以当x＝10时，V(x)取得最大值．故选C．]
2．已知函数f (x)＝x3＋ax2＋1图象的对称中心的横坐标x0＞0，且f (x)有三个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．
C．(0，＋∞) D．(－∞，－1)
B　[f ′(x)＝3x2＋2ax，令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝－，∴x0＝－＞0，∴a＜0．
∴当x＜0或x＞－时，f ′(x)＞0，
当0＜x＜－时，f ′(x)＜0．
∴f (x)在(－∞，0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
∴f (x)的极大值为f (0)＝1，极小值为f ＝＋1．
∵f (x)有三个零点，∴＋1＜0，解得a＜－．]
3．某产品的销售收入y1(万元)与产量x(千台)的函数关系为y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)与产量x(千台)的函数关系为y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产(　　)
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
A　[设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)．
又由y′＝－6x2＋36x＝0，得x＝6，且当x∈(0，6)时，y′＞0，当x∈(6，＋∞)时，y′＜0，
∴当x＝6时，y最大，故应生产6千台．]
4．已知函数f (x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数g(x)＝x2＋2x＋a的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．取决于a的值
C　[f ′(x)＝2x·ex＋(x2＋a)·ex＝ex(x2＋2x＋a)＝ex·g(x)．
因为函数f (x)有最小值，且由题意得最小值即极小值，所以f ′(x)＝0有解．
当有一解x0时，在x0两侧f ′(x)＞0都成立，此时f (x)是单调递增的，没有极值，不符合题意，舍去，因此f ′(x)＝0有两解，即x2＋2x＋a＝0有两解，故g(x)有两个零点．]
5．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝x3－x＋1，则(　　)
A．f (x)有两个极值点
B．f (x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线y＝f (x)的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f (x)的切线
AC　[由题意知，f ′(x)＝3x2－1，令f ′(x)＞0，得x＞或x＜－，
令f ′(x)＜0，得－＜x＜，
所以f (x)在上单调递减，在上单调递增，
所以x＝±是极值点，故A正确；
因为f ＝1＋＞0，f ＝1－＞0，f (－2)＝－5＜0，
所以，函数f (x)在上有一个零点，
当x≥时，f (x)≥f ＞0，即函数f (x)在上无零点，
综上所述，函数f (x)有一个零点，故B错误；
令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)，
则h(x)是奇函数，点(0，0)是h(x)图象的对称中心，将h(x)的图象向上平移一个单位长度得到f (x)的图象，
所以点(0，1)是曲线y＝f (x)的对称中心，故C正确；
令f ′(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，
又f (1)＝f (－1)＝1，
当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误．
故选AC．]
二、填空题
6．已知函数f (x)＝x4＋9x＋5，则f (x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点的个数为________．
1　[f ′(x)＝4x3＋9，
当x∈(－1，3)时，f ′(x)＞0，所以f (x)在(－1，3)上单调递增，因为f (－1)＝－3＜0，f (0)＝5＞0，所以f (x)的图象在(－1，3)内与x轴只有一个交点．]
7．已知x0是方程e3x－ln x＋2x＝0的一个根，则＝________．
3　[因为x0是方程e3x－ln x＋2x＝0的一个根，所以－ln x0＋2x0＝0，
所以－ln x0－x0＋3x0＝0，
所以＋3x0＝ln x0＋x0，
令u(x)＝ln x＋x(x＞0)，则u′(x)＝＋1＝＞0，所以u(x)在(0，＋∞)上为增函数，又因为＝u(x0)，
所以＝x0，两边取对数可得3x0＝ln x0，即＝3．]
8．为了应对比赛，某运动会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为2 m，其容积为2 500 m3，如果池底每平方米的维修费用为150元，设较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为k(k＞0)，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的维修费用最低时，x的值为________．
25　[由题可知池底面积为＝1 250，为定值，即池底维修费用为定值，则泳池维修费用由池壁维修费用决定．
又x表示较短池壁长，则0＜x≤ 0＜x≤25，则池壁维修费用为2×x＋．
设f (x)＝x＋，0＜x≤25，
则f ′(x)＝＝．
令f ′(x)＝0，可得x＝25，则由f ′(x)＞0 25＜x≤25，由f ′(x)＜0 0＜x＜25，所以f (x)在(0，25)上单调递减，在(25，25]上单调递增，即f (x)min＝f (25)．
故当泳池的维修费用最低时，x的值为25．]
三、解答题
9．已知A，B两地的距离是100 km．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在[50，100](单位：km/h)，油价为8元/L．假设汽车以x km/h的速度行驶时，耗油率为L/h，司机的人工费为40元/h．
(1)请将总费用W表示为车速x的函数；
(2)试确定x的值，使总费用W最小．
[解]　(1)汽车的运行时间为 h．
汽车的油耗费用为8＝元．
汽车的总费用为W(x)＝＋2x＋40×＝2x＋，x∈[50，100]．
(2)因为W′(x)＝2－，
当x∈[50，60)时，W′(x)＜0，函数W(x)单调递减；当x∈(60，100]时，W′(x)＞0，函数W(x)单调递增．
故当x＝60时，总费用W(x)最小．
10．(多选)设x3＋ax＋b＝0(a，b∈R)，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是(　　)
A．a＝－3，b＝2 B．a＝－3，b＝－3
C．a＝－3，b＞2 D．a＝1，b＝2
BCD　[记f (x)＝x3＋ax＋b，
当a＝－3，b＝2时，f (x)＝x3－3x＋2＝(x－1)2(x＋2)＝0，x＝1或x＝－2，不满足题意；
当a＝－3，b＝－3时，f (x)＝x3－3x－3，f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
f (x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，而f (x)极大值＝f (－1)＝－1＜0，f (x)只有一个零点，即f (x)＝0只有一个实根；同理a＝－3，b＞2时，f (x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，而f (x)极小值＝f (1)＝b－2＞0，f (x)只有一个零点，即f (x)＝0只有一个实根；当a＝1，b＝2时，f (x)＝x3＋x＋2＝(x＋1)(x2－x＋2)＝0，只有一个实根－1，故选BCD．]
11．(多选)已知函数f (x)＝x2ex，x∈R，下列结论正确的是(　　)
A．函数f (x)不存在最大值，也不存在最小值
B．函数f (x)存在极大值和极小值
C．函数f (x)有且只有一个零点
D．函数f (x)的极小值就是f (x)的最小值
BCD　[由题意得f ′(x)＝x(x＋2)ex．
令f ′(x)＜0，得－2＜x＜0；
令f ′(x)＞0，得x＜－2或x＞0，
所以函数f (x)在(－2，0)上单调递减，在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增．
易得f (0)＝0，f (x)＝x2ex≥0．
作出函数f (x)的大致图象，如图，则f (x)min＝f (0)＝0，函数f (x)在x＝－2处取得极大值，在x＝0处取得极小值，极小值f (0)即为最小值，且函数有且只有一个零点0．故选BCD．]
12．已知函数f (x)＝，x∈(0，＋∞)，则下列结论正确的是(　　)
A．函数y＝f (x)既有最小值也有最大值
B．函数y＝f (x)既无最大值也无最小值
C．函数y＝f (x)有一个零点
D．函数y＝f (x)有两个零点
C　[由题意得f ′(x)＝＝．因为x∈(0，＋∞)，x2＋1＞0，ex＞0，所以当x∈(0，3)时，f ′(x)＞0，此时函数y＝f (x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，f ′(x)＜0，此时函数y＝f (x)单调递减．故函数y＝f (x)有最大值，无最小值，故A，B均错误．设g(x)＝x3＋x－2，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝3x2＋1＞0恒成立，所以函数y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(1)＝1＋1－2＝0，所以函数y＝g(x)有一个零点，即函数y＝f (x)有一个零点．故C正确，D错误．故选C．]
13．已知函数f (x)＝ex－2ax＋a，若f (x)恰有两个零点，则实数a的取值范围是________．
　[已知f (x)＝ex－2ax＋a，定义域为R，显然不是f (x)的零点，
令f (x)＝0，解得a＝，不妨设g(x)＝，
可得g′(x)＝，当g′(x)＜0时，解得x＜且x≠；
当g′(x)＞0时，解得x＞，
所以函数g(x)在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，当x＜时，g(x)＜0；当x＞时，g(x)＞0，其大致图象如图所示，
所以当x＝时，函数g(x)取得极小值，极小值g＝，
则实数a的取值范围为．]
14．已知函数f (x)＝ln x＋1．
(1)若f (x)的图象在x＝t处的切线过原点，求切线的方程；
(2)令g(x)＝，求证：g(x)≤1．
[解]　(1)∵f ′(x)＝，∴f (x)的图象在x＝t处的切线的斜率为．
又点(t，ln t＋1)在f (x)的图象上，f (x)的图象在x＝t处的切线过原点，
∴＝，解得t＝1．
∴切线的方程为y－1＝x－1，即y＝x．
(2)[证明]　∵g(x)＝，
∴g′(x)＝＝－，
由g′(x)＞0，得0＜x＜1，由g′(x)＜0，得x＞1，
∴g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴函数g(x)的最大值为g(1)＝1，∴g(x)≤1．
15．已知函数f (x)＝ex-1－x2．
(1)求函数f (x)的零点个数；
(2)若n∈N，且n≥2，求证：1＋＋…＋≤n＋ln ．
[解]　(1)已知f (x)＝ex-1－x2，函数定义域为R，
可得f ′(x)＝ex-1－x，不妨设g(x)＝ex-1－x，函数g(x)的定义域为R，
可得g′(x)＝ex-1－1，当x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；
当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
所以g(x)≥g(1)＝0，即f ′(x)≥0，当且仅当x＝1时等号成立，
所以函数f (x)＝ex-1－x2在R上单调递增，
又f (－1)＝＜0，f (0)＝＞0，
所以在区间(－1，0)上存在唯一一点x0，使得f (x0)＝0，
则函数f (x)在定义域上共有1个零点．
(2)证明：若n∈N，且n≥2，
n＋ln ＝n(1－ln 2)＋ln (n＋1)＝n(1－ln 2)＋ln ＋ln ＋…＋ln ，
要证1＋＋…＋≤n＋ln ，n≥2，
需证1＋＋…＋≤n(1－ln 2)＋ln ＋ln ＋…＋ln ，n≥2，
只需证－ln ≤1－ln 2，
即证－ln ≤1－ln 2．
由(1)知函数f (x)在R上单调递增，
则当0＜x≤1时，f (x)≤f (1)，
可得ex-1－x2≤，即ex-1≤(1＋x2)，
整理得x－1≤ln (1＋x2)－ln 2，即x－ln (1＋x2)≤1－ln 2，
令x＝，x＞0，此时－ln ≤1－ln 2，
故1＋＋…＋≤n＋ln 成立．
18/18第3课时　导数在函数有关问题及实际生活中的应用
[学习目标]　1．进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用．(数学运算)
2．能利用导数研究函数的性质、解决简单的实际问题．(数学运算、逻辑推理)
[讨论交流]　
问题　如何应用导数解决生活中的实际问题？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　导数在实际问题中的应用
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)如图1所示，一边长为48 cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图2所示．所得容器的容积V(单位：cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位：cm)的函数．
(1)随着x的变化，容积V是如何变化的？
(2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．解决最优问题应从以下两个方面入手
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域．
(2)在实际应用问题中，若函数f (x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．
2．利用导数解决生活中优化问题的四个步骤
第一步：设出恰当的未知量，并确定未知量的取值集合(即函数的定义域)．
第二步：依题意将所求最值的量表示为未知量的函数．
第三步：求出函数的导数，令导数等于0，得到导数为0的点．
第四步：通过单调性确定出函数的极值点及最值．
[学以致用]　1．(源自湘教版教材)某企业要生产容积为V m3的圆柱形密闭容器(如图所示)，已知该容器侧面耗材为1元/m2，上下底面的耗材为1.5元/m2．问：如何设计圆柱的高度h m和上下底面的半径r m，使得费用最少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　利用导数研究函数的零点或方程的根
[典例讲评]　2．已知函数f (x)＝ex－1，g(x)＝＋x．
(1)证明：函数h(x)＝f (x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；
(2)求方程f (x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据函数零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的统一．
[学以致用]　2．已知函数f (x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f (x)＝0有三个不同的实数根，求实数a的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　利用导数证明不等式
[典例讲评]　3．当x＞0时，证明不等式ln (x＋1)＞x－x2．
[思路导引]　利用导数证明不等式，首先要构造函数f (x)＝ln (x＋1)－x＋x2，然后求函数f (x)的最小值，从而证明f (x)min＞0．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用函数的最值证明不等式的基本步骤
(1)将不等式构造成f (x)＞0(或＜0)的形式．
(2)利用导数将函数y＝f (x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出．
(3)证明函数y＝f (x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立．
[学以致用]　3．已知x＞0，证明：1＋2x＜e2x．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．设函数f (x)的导函数为f ′(x)，若f (x)为偶函数，且在(0，1)上存在极大值，则f ′(x)的图象可能为(　　)
A　　　　B　　　　　C　　　　　D
2．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0A．30　　B．40　　C．50　　D．60
3．方程x3－6x2＋9x＋m＝0恰有三个不等的实根，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－4)
B．(－4，0)
C．(－∞，－4)∪(0，＋∞)
D．(0，＋∞)
4．在区间(0，π)上，sin x与x的大小关系是________．
1．知识链：(1)导数在实际问题中的应用．
(2)研究求函数零点的方法．
(3)利用导数证明不等式．
2．方法链：转化法、数形结合法、分类讨论法．
3．警示牌：不能正确分析函数图象的变化趋势，从而不能正确得到函数零点的个数．
4/4(共66张PPT)
第1课时　函数的极值
第五章　一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.2　函数的极值与最大(小)值
整体感知
[学习目标]　1．了解函数的极值及相关的概念．(数学抽象)
2．能利用导数求某些函数的极值．(数学运算)
3．体会导数在求极值中的应用．(数学运算)
4．能利用导数研究与函数极值等相关的问题．(数学运算)
(教师用书)
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山之中，各个山峰的顶端，虽不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课研究的函数的极值．
[讨论交流]　
问题1．极大值、极小值的概念是什么？
问题2．函数的极大值点、极小值点是什么？
问题3．如何求函数的极值？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　函数极值的概念
探究问题1　如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？
[提示]　在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷．
探究问题2　你能从函数与导数角度描述一下探究问题1中在各个山峰、山谷附近的特点吗？
[提示]　以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f ′(x)＞0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f ′(x)＜0，函数图象是连续不断的，f ′(x)的变化也是连续不断的，并且有f ′(x1)＝0．
[新知生成]
极值点与极值的概念
(1)极小值点与极小值
函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧__________，则把a叫做函数y＝f (x)的________，f (a)叫做函数y＝
f (x)的______．
f ′(x)＜0
f ′(x)＞0
极小值点
极小值
(2)极大值点与极大值
函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧__________，则把b叫做函数y＝f (x)的________，f (b)叫做函数y＝
f (x)的______．
(3)极大值点、极小值点统称为______，极大值和极小值统称为____．
f ′(x)＞0
f ′(x)＜0
极大值点
极大值
极值点
极值
【教用·微提醒】　1．极值点是函数单调性的转折点，因此若f (x)在(a，b)内有极值，则f (x)在(a，b)内不是单调函数．
2．极值点不是点，出现在区间的内部，端点不能是极值点．
[典例讲评]　1．函数y＝f (x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f (x)在区间(3，5)上单调递增；
②函数y＝f (x)在区间上单调递减；
③函数y＝f (x)在区间(－2，2)上单调递增；
④当x＝－时，函数y＝f (x)有极大值；
⑤当x＝2时，函数y＝f (x)有极大值．
则上述判断中正确的序号是________．
③⑤
③⑤　[对于①，当x∈(3，4)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
当x∈(4，5)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，所以①错误；
对于②，当x∈时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
当x∈(2，3)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，所以②错误；
对于③，当x∈(－2，2)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，所以③正确；
对于④，当x∈(－2，2)时，f ′(x)＞0，
f (x)单调递增，故当x＝－时，f 不是极大值，所以④错误；
对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f (x)取得极大值，所以⑤正确．]
反思领悟　关于函数极值的概念的理解
(1)可导函数y＝f (x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x＝x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同．
(2)若f (x)在(a，b)内有极值，那么f (x)在(a，b)内不是单调函数，即在某区间上单调递增或单调递减的函数没有极值．
[学以致用]　1．已知函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　)
A．1　　　　
B．2　　　　
C．3　　　　
D．4
√
A　[由图象，设f ′(x)与x轴负半轴的两个“穿过”x轴的交点的横坐标分别为c，d，其中c＜d，可知在(a，c)，(d，b)上，f ′(x)≥0，所以此时函数f (x)在(a，c)，(d，b)上单调递增，在(c，d)上，f ′(x)＜0，此时f (x)在(c，d)上单调递减，所以x＝d时，函数取得极小值．
则函数y＝f (x)的极小值点的个数为1．]
【链接·教材例题】
例5　求函数f (x)＝x3－4x＋4的极值．
探究2　求函数的极值
[解]　因为f (x)＝x3－4x＋4，所以
f ′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f ′(x)＝0，解得x＝－2，或x＝2．
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表5.3-2所示．
表5.3-2
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 单调 递增 单调 递减 － 单调
递增
因此，当x＝－2时，f (x)有极大值，并且极大值为
f (－2)＝；
当x＝2时，f (x)有极小值，并且极小值为
f (2)＝－．
函数f (x)＝x3－4x＋4的图象如图5.3-12所示．
[典例讲评]　2．求下列函数的极值．
(1)f (x)＝x3－x2－3x＋3；(2)f (x)＝＋3ln x．
[解]　(1)f ′(x)＝x2－2x－3，x∈R，
令f ′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表所示：
∴当x＝－1时，f (x)有极大值，且f (x)极大值＝，当x＝3时，f (x)有极小值，且
f (x)极小值＝－6．
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值－6 单调递增
(2)函数f (x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝－＝，令f ′(x)＝0得x＝1．
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表所示：
x (0，1) 1 (1，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋
f (x) 单调递减 极小值3 单调递增
∴当x＝1时，f (x)有极小值，且f (x)极小值＝3，无极大值．
发现规律　求可导函数f (x)极值的步骤
(1)定义域：求函数的______．
(2)求导：求函数的___________．
(3)令f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0____________，即导函数f ′(x)的零点．
(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f ′(x)，
f (x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内．
(5)结论：若导数f ′(x)在x＝x0附近左正右负，则函数f (x)在x＝x0处取得______；若左负右正，则函数f (x)取得______．
定义域
导数f ′(x)
全部的根x0
极大值
极小值
[学以致用]　2．(源自人教B版教材)已知函数f (x)＝x3－4x＋4，求函数的极值，并作出函数图象的示意图．
[解]　由题意可得f ′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
解方程f ′(x)＝0，可得x＝－2或x＝2．
解不等式f ′(x)>0，可得x<－2或x>2，此时f (x)单调递增．
解不等式f ′(x)<0，可得－2因此，f (x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，而且f ′(－2)＝f ′(2)＝0．
从而可知x＝－2是函数的极大值点，极大值为f (－2)＝×(－2)3－4×(－2)＋4＝；x＝2是函数的极小值点，极小值为f (2)＝×23－4×2＋4＝－．
函数图象的示意图如图所示．
探究3　由极值求参数的值或范围
[典例讲评]　3．(1)已知函数f (x)＝x3－2ax2＋a2x＋1在x＝1处取得极小值，则a的值为(　　)
A．1　　B．3　　C．1或3　　D．－1或3
(2)已知函数f (x)＝(x－2)ex与g(x)＝x ln x＋ax有相同的极值点，则实数a＝(　　)
A．－1　　B．－　　C．2　　D．ln 2＋1
√
√
(1)A　(2)A　[(1)∵f (x)＝x3－2ax2＋a2x＋1在x＝1处取得极小值，
f ′(x)＝3x2－4ax＋a2，
∴f ′(1)＝3－4a＋a2＝0，解得a＝1 或a＝3．
当a＝1时，f ′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，令f ′(x)＞0，得x＜或x＞1；令f ′(x)＜0，得＜x＜1，
则f (x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，
f (x)在 x＝1 处取得极小值，符合题意．
当a＝3时，f ′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令f ′(x)＞0，得x＜1或x＞3；令f ′(x)＜0，得1＜x＜3，
则f (x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，
f (x)在 x＝1 处取得极大值，不符合题意．故选A．
(2)已知f (x)＝(x－2)ex，可得f ′(x)＝(x－1)ex，
令f ′(x)＝0，解得x＝1，所以函数f (x)的极值点为x＝1．
又g(x)＝x ln x＋ax，可得g′(x)＝ln x＋a＋1，若函数f (x)与g(x)有相同的极值点，
此时g′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，经检验a＝－1符合题意．故选A．]
反思领悟　已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
[学以致用]　3．已知函数f (x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极大值，则m的值为(　　)
A．1　　B．2　　C．3　　D．1或3
√
C　[已知f (x)＝x(x－m)2，可得f ′(x)＝(x－m)(3x－m)，
因为函数f (x)在x＝1处取得极大值，所以f ′(1)＝(1－m)(3－m)＝0，
解得m＝1或m＝3．若m＝1，此时f ′(x)＝(x－1)·(3x－1)，
当x＜时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；当＜x＜1时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；当x＞1时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，所以函数f (x)在x＝1处取得极小值，不符合题意．当m＝3时，经检验，满足题意，综上，m＝3．故选C．]
【教用·备选题】　已知函数f (x)＝－a(x－ln x)．
(1)当a＝0时，求f (x)在(0，＋∞)上的单调区间；
(2)若f (x)在(0，1)内有极值，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝0时，f ′(x)＝，
令f ′(x)＜0，得0＜x＜1，故f (x)在(0，1)上单调递减；
令f ′(x)＞0，得x＞1，故f (x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以f (x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．
(2)由f (x)＝－a(x－ln x)，得f ′(x)＝，
由f (x)在(0，1)内有极值，可知f ′(x)＝0在(0，1)内存在变号零点，即方程ex－ax＝0在(0，1)内有解，所以a＝在(0，1)内有实根，
即直线y＝a与g(x)＝的图象在(0，1)内有交点，
由(1)得g(x)在(0，1)内单调递减．
又g(1)＝e，当x→0时，g(x)→＋∞，所以a＞e，即a的取值范围为(e，＋∞)．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
A　[f ′(x)＝3x2－24，当x＜－2或x＞2时，f ′(x)＞0；
当－2＜x＜2时，f ′(x)＜0，∴f (x)＝x3－24x的极大值点为
－2．故选A．]
1．函数f (x)＝x3－24x的极大值点为(　　)
A．－2　　B．32　　C．2　　D．－32
2
3
题号
1
4
2．已知函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则
f (x)(　　)
A．既有极小值，也有极大值
B．有极小值，但无极大值　
C．有极大值，但无极小值
D．既无极小值，也无极大值
√
2
3
题号
1
4
B　[由图象可知x＜a时，f ′(x)＜0，函数单调递减，
x＞a时，f ′(x)＞0，函数单调递增，所以x＝a是函数的极小值点．
故选B．]
2
3
题号
4
1
3．函数f (x)＝ax3＋bx在x＝1处取得极值－2，则a，b的值分别为(　　)
A．1，－3　　 B．1，3
C．－1，3　　 D．－1，－3
A　[f ′(x)＝3ax2＋b，
由题意知即解得
故选A．]
√
2
4
3
题号
1
4．函数f (x)＝ln x－x在区间(0，e]上的极大值为________．
－1　[∵f ′(x)＝－1＝，∴f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，∴函数f (x)在x＝1处取得极大值，即f (x)极大值＝f (1)＝－1．]
－1
1．知识链：(1)函数极值的概念．
(2)函数极值的判定及求法．
(3)函数极值的应用．
2．方法链：方程思想、分类讨论．
3．警示牌：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数极值的求解依据与步骤是什么？
[提示]　一般地，求函数y＝f (x)的极值的步骤是：
①求出函数的定义域及导数f ′(x)；
②解方程f ′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；
③用方程f ′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
④由f ′(x)在各个开区间内的符号，判断f (x)在f ′(x)＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f (x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f (x)在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点．
2．如果函数f (x)在[a，b]上的图象连续不断且有极值，那么它的极值点有规律吗？
[提示]　如果函数f (x)在[a，b]上有极值，那么它的极值点的分布是有规律的．相邻两个极大值点之间必有一个极小值点．同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f (x)在[a，b]上的图象连续且有有限个极值点时，函数f (x)在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的．
课时分层作业(二十)　函数的极值
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
A　[由题知f (x)的导函数f ′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
所以函数f (x)单调递增，无极值点．故选A．]
一、选择题
1．函数f (x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是(　　)
A．0　　B．1　　C．2　　D．3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．函数f (x)的定义域为(a，b)，导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f (x)在(a，b)内有极小值点(　　)
A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
√
14
15
A　[结合导函数的图象可知，函数f (x)先增后减，再增，再减，
结合导数与函数单调性及极值的关系可知，函数有2个极大值点，1个极小值点．故选A．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．函数f (x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f (x)在x＝－3处取得极值，则a＝(　　)
A．2　　B．3　　C．4　　D．5
√
14
15
D　[对函数求导可得f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，
∵f (x)在x＝－3处取得极值，
∴f ′(－3)＝0 a＝5，验证知，符合题意．
故选D．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．若x＝1是函数f (x)＝(x2＋2ax－a2－3a＋3)ex的极值点，则a的值为(　　)
A．－2　　B．3　　C．－2或3　　D．－3或2
√
14
15
B　[根据题意，f (x)＝(x2＋2ax－a2－3a＋3)ex，则f ′(x)＝(x2＋2ax＋2x－a2－a＋3)ex，
又由x＝1是函数f (x)的极值点，必有f ′(1)＝6－a2＋a＝0，解得a＝3或－2，
当a＝－2时，f ′(x)＝(x2－2x＋1)ex≥0恒成立，即f (x)单调递增，无极值点，舍去；
当a＝3时，f ′(x)＝(x2＋8x－9)ex，令f ′(x)＝0，得x＝1或x＝－9，满足x＝1为函数f (x)的极值点，所以a＝3．故选B．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．(多选)已知函数f (x)＝2ln x＋x2＋bx的极小值点为2，则(　　)
A．b＝－3
B．f (x)在(0，2)上单调递减
C．f (x)的极大值为－
D．f (x)有两个零点
√
14
15
√
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
AC　[已知f (x)＝2ln x＋x2＋bx，函数定义域为(0，＋∞)，
可得f ′(x)＝＋x＋b．因为函数f (x)的极小值点为2，
所以f ′(2)＝0，解得b＝－3，故选项A正确；
此时f ′(x)＝＋x－3＝，当0＜x＜1时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；
当1＜x＜2时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；当x＞2时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，所以函数f (x)的单调递减区间为(1，2)，故选项B错误；
当x＝1时，函数f (x)取得极大值，极大值f (1)＝－，故选项C正确；
要使函数f (x)有两个零点，此时需满足f (1)＞0，因为f (1)＝－＜0，
所以函数f (x)不存在两个零点，故选项D错误．故选AC．
14
15
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
二、填空题
6．若函数f (x)＝ex(x－1)，则函数f (x)的极值点为________．
14
15
0　[由f (x)＝ex(x－1)，得f ′(x)＝xex．令f ′(x)＝0，则x＝0，
所以当x＞0时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；当x＜0时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
所以f (x)的极值点为0．]
0
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
7．已知函数f (x)＝x3＋(a－1)x2－3ax＋1，若f (x)在x＝1处取得极值，则曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为_____________．
14
15
3x＋y－1＝0　[f ′(x)＝3x2＋2(a－1)x－3a，
∵f (x)在x＝1处取得极值，
∴f ′(1)＝3＋2(a－1)－3a＝0，解得a＝1，∴f (x)＝x3－3x＋1，f ′(x)＝3x2－3，
∴f (0)＝1，k＝f ′(0)＝－3，则所求切线方程为y－1＝－3x，即3x＋y－1＝0．]
3x＋y－1＝0
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
8．已知函数f (x)＝x2－(a＋2)x＋2a ln x＋1在(4，6)上存在极值点，则实数a的取值范围是________．
14
15
(4，6)　[函数f (x)＝x2－(a＋2)x＋2a ln x＋1的导数为f ′(x)＝x－(a＋2)＋，
由题意可得f ′(x)＝0在(4，6)内有解，
即x－(a＋2)＋＝0，亦即(x－2)(x－a)＝0在(4，6)内有解，
又4＜x＜6，可得a∈(4，6)．]
(4，6)
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
三、解答题
9．函数f (x)＝x ln x－ax＋1在点A(1，f (1))处的切线斜率为－2．
(1)求实数a的值；
(2)求f (x)的单调区间和极值．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
[解]　(1)f ′(x)＝ln x＋1－a，∵在点A(1，f (1))处的切线斜率为k＝1－a＝－2，∴a＝3．
(2)由(1)得，f ′(x)＝ln x－2，x＞0，
令f ′(x)＞0，解得x＞e2，令f ′(x)＜0，解得0＜x＜e2，
∴f (x)的单调递减区间为(0，e2)，单调递增区间为(e2，＋∞)，f (x)在x＝e2处取得极小值1－e2，无极大值．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
10．若函数f (x)＝x2－x＋a ln x有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
√
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
A　[函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，因为函数f (x)＝x2－x＋a ln x有两个不同的极值点，
所以f ′(x)＝x－1＋＝＝0有两个不同的正根，
即x2－x＋a＝0有两个不同的正根，所以
解得0＜a＜．故选A．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
11．(多选)已知定义在R上的函数f (x)，其导函数f ′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是(　　)
A．f (a)＞f (e)＞f (d)
B．函数f (x)在[a，b]上单调递增，在[b，d]上单调递减
C．f (x)的极值点为c，e
D．f (x)的极大值为f (b)
√
14
15
√
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
ABD　[由导数与函数单调性的关系知，当f ′(x)＞0时，f (x)单调递增，当f ′(x)＜0时，f (x)单调递减．
结合题中所给图象知，当x∈(a，c)时，f ′(x)＞0，
∴f (x)在(a，c)上单调递增，
当x∈(c，e)时，f ′(x)＜0，∴f (x)在(c，e)上单调递减，
当x∈(e，＋∞)时，f ′(x)＞0，∴f (x)在(e，＋∞)上单调递增，
∴函数f (x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值，
∴f (x)的极值点为c，e．
故C正确，A，B，D均不正确．故选ABD．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
12．(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f (x)＝a ln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A．bc＞0　　 B．ab＞0
C．b2＋8ac＞0　　 D．ac＜0
√
14
15
√
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
BCD　[因为函数f (x)＝a ln x＋(a≠0)，所以函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝．因为函数f (x)既有极大值也有极小值，则函数f ′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，
则即所以故选BCD．]
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
13．已知函数f (x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e是自然对数的底数)在x＝0处取得极小值，则m＝________，此时f (x)的极大值是________．
14
15
0　4e-2　[由题意知f ′(x)＝[x2＋(2－m)x－2m]ex．
由f ′(0)＝－2m＝0，解得m＝0，则f (x)＝x2ex，f ′(x)＝(x2＋2x)ex．
令f ′(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，
故函数f (x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－2，0)，
所以函数f (x)在x＝－2处取得极大值，且有f (－2)＝4e-2．]
0
4e-2
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14．已知函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f (1)＝－1．
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
[解]　f ′(x)＝3ax2 ＋2bx＋c，x∈R．
(1)法一：∵x＝±1是函数的极值点，
∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系知
又f (1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
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10
11
12
13
1
法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0，①
3a－2b＋c＝0，②
又f (1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
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12
13
1
(2)由(1)知f (x)＝x3－x，
∴f ′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x＜－1或x＞1时，f ′(x)＞0，
当－1＜x＜1时，f ′(x)＜0，
∴函数f (x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．
∴当x＝－1时，函数f (x)取得极大值，x＝－1为极大值点；当x＝1时，函数f (x)取得极小值，x＝1为极小值点．
14
15
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
15．(2024·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝ex－ax－a3．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若f (x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
14
15
[解]　(1)当a＝1时，f (x)＝ex－x－1，f ′(x)＝ex－1，
可得f (1)＝e－2，f ′(1)＝e－1，
即切点坐标为(1，e－2)，切线斜率k＝e－1，
所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
(2)法一：因为f (x)的定义域为R，且f ′(x)＝ex－a，
若a≤0，则f ′(x)>0对任意x∈R恒成立，
可知f (x)在R上单调递增，无极值，不合题意；
若a>0，令f ′(x)>0，解得x>ln a；令f ′(x)<0，解得x可知f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，则f (x)有极小值f (ln a)＝a－a ln a－a3，无极大值，
由题意可得，f (ln a)＝a－a ln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，构建g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
则g′(a)＝2a＋>0，可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，
不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1．
所以a的取值范围为(1，＋∞)．
14
15
题号
9
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1
法二：因为f (x)的定义域为R，且f ′(x)＝ex－a，
若f (x)有极小值，则f ′(x)＝ex－a有变号零点，
令f ′(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，
可知y＝ex的图象与y＝a有交点，则a>0，
若a>0，令f ′(x)>0，解得x>ln a；
令f ′(x)<0，解得x可知f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
则f (x)有极小值f (ln a)＝a－a ln a－a3，无极大值，符合题意．
14
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题号
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1
由题意可得，f (ln a)＝a－a ln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
构建g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
因为y＝a2，y＝ln a－1在(0，＋∞)上均单调递增，
所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，
则不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1．
所以a的取值范围为(1，＋∞)．
14
15
THANKS第2课时　函数的最大(小)值
[学习目标]　1．能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最值．(数学运算)
2．会用导数求在给定区间上的函数的最值．(数学运算)
[讨论交流]　
问题1．函数的最值的概念是什么？
问题2．函数的最值与极值有什么区别与联系？
问题3．如何求函数在某一闭区间上的最大(小)值？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　函数的最值
探究问题1　如图是y＝f (x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f (x1)，f (x3)，f (x5)为极大值，f (x2)，f (x4)，f (x6)为极小值．你能找到函数的最大值和最小值吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的________；
(2)将函数y＝f (x)的________与________处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．
[典例讲评]　1．求下列各函数的最值：
(1)f (x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]；
(2)f (x)＝x＋sin x，x∈[0，2π]．
[思路导引]　
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求函数在给定区间上最值的注意事项
(1)对函数求导，并检验f ′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，确定极值和端点函数值．
(3)要比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
[学以致用]　1．(源自湘教版教材)求函数f (x)＝x3＋x2－2x＋1在区间[－2，1]上的最大值和最小值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　求含参数的函数的最值
[典例讲评]　2．已知函数f (x)＝x3－ax2－a2x，求函数f (x)在[0，＋∞)上的最小值．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　当a＞0时，求函数f (x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点函数值比较后确定最值．
[学以致用]　2．已知函数f (x)＝＋k ln x，k＜，求函数f (x)在上的最大值和最小值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　已知函数最值求参数的值(或范围)
[典例讲评]　3．已知函数f (x)＝ax3－6ax2＋b(a＞0)，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
[思路导引]　先求导，求出f ′(x)＝0的解，通过列表讨论，列出方程组，求出a，b的值．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　
1．本例中“a＞0”改为“a＜0”，求a，b的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．设函数f (x)＝tx2＋2t2x＋t－1的最小值为h(t)，且h(t)＜－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．
[学以致用]　3．已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．函数f (x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是(　　)
A．－2 B．0 C．2 D．4
上单调递减，f (0)既是极大值也是最大值，f (0)＝2．]
2．如图所示，函数f (x)的导函数f ′(x)的图象是一条直线，则(　　)
A．函数f (x)没有最大值，也没有最小值
B．函数f (x)有最大值，没有最小值
C．函数f (x)没有最大值，有最小值
D．函数f (x)有最大值，也有最小值
3．函数f (x)＝ln x＋(x＞0)的最小值是________．
4．若函数f (x)＝－x3＋mx2＋1(m≠0)在区间(0，2)上的极大值为最大值，则m的取值范围是__________________．
1．知识链：(1)求函数的最值．
(2)函数最值的应用．
2．方法链：转化与化归、分类讨论．
3．警示牌：忽视函数的最值与极值的区别与联系．
5/5第2课时　函数的最大(小)值
[学习目标]　1．能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最值．(数学运算)
2．会用导数求在给定区间上的函数的最值．(数学运算)
(教师用书)
费马(1601－1665)是一位17世纪的法国律师，也是一位业余数学家．之所以称费马为“业余数学家之王”，是由于他有律师的全职工作．17世纪是杰出数学家活跃的世纪，而费马比他同时代的大多数专业数学家更有成就．
他将无穷小的思想运用到求积问题上，已具今日微积分的雏形，这也是费马的卓越成就之一．他在牛顿出生前的13年，提出了有关微积分的主体概念．
大约在1637年，他完成了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》．让我们沿着这位传奇人物的足迹来用导数研究函数的最大(小)值问题吧！
[讨论交流]　
问题1．函数的最值的概念是什么？
问题2．函数的最值与极值有什么区别与联系？
问题3．如何求函数在某一闭区间上的最大(小)值？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　函数的最值
探究问题1　如图是y＝f (x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f (x1)，f (x3)，f (x5)为极大值，f (x2)，f (x4)，f (x6)为极小值．你能找到函数的最大值和最小值吗？
[提示]　最大值y＝M＝f (x3)＝f (b)，分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f (x4)，在x＝x4处取得．显然极值不一定是最值，极值可以有多个，最值唯一．
[新知生成]
1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【教用·微提醒】　函数的极值与最值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言．
(2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个．
(3)函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
【链接·教材例题】
例6　求函数f (x)＝x3－4x＋4在区间[0，3]上的最大值与最小值．
[解]　由例5可知，在区间[0，3]上，当x＝2时，函数f (x)＝x3－4x＋4有极小值，并且极小值为f (2)＝－．
又由于
f (0)＝4，f (3)＝1，
所以，函数f (x)＝x3－4x＋4在区间[0，3]上的最大值是4，最小值是－．
上述结论可以从函数f (x)＝x3－4x＋4在区间[0，3]上的图象(图5.3-16)得到直观验证．
[典例讲评]　1．求下列各函数的最值：
(1)f (x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]；
(2)f (x)＝x＋sin x，x∈[0，2π]．
[思路导引]　
[解]　(1)f ′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3．
因为f ′(x)在[－1，1]上恒大于0，
所以f (x)在[－1，1]上单调递增．
故当x＝－1时，f (x)min＝－12；
当x＝1时，f (x)max＝2．
即f (x)的最小值为－12，最大值为2．
(2)f ′(x)＝＋cos x，令f ′(x)＝0，由x∈[0，2π]，解得x＝或x＝．
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x 0 2π
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 0 单调递增 单调递减 单调递增 π
由表可知，当x＝0时，f (x)有最小值f (0)＝0；
当x＝2π时，f (x)有最大值f (2π)＝π．
　求函数在给定区间上最值的注意事项
(1)对函数求导，并检验f ′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，确定极值和端点函数值．
(3)要比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
[学以致用]　1．(源自湘教版教材)求函数f (x)＝x3＋x2－2x＋1在区间[－2，1]上的最大值和最小值．
[解]　求导得f ′(x)＝3x2＋x－2．令f ′(x)＝0，则x1＝－1，x2＝．
由于x1和x2都在区间[－2，1]内，所以可列表如下：
x [－2，－1) －1
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 单调 递增 极大值 单调递减 极小值 单调 递增
又f (－2)＝－1，f (1)＝，将它们与极值比较可得，该函数在[－2，1]上的最大值为，最小值为－1．
上述结论也可从函数f (x)＝x3＋x2－2x＋1的图象(如图所示)得到直观验证．
探究2　求含参数的函数的最值
[典例讲评]　2．已知函数f (x)＝x3－ax2－a2x，求函数f (x)在[0，＋∞)上的最小值．
[解]　f ′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
令f ′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a．
①当a＞0时，f (x)在[0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
所以f (x)min＝f (a)＝－a3．
②当a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，f (x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x)min＝f (0)＝0．
③当a＜0时，f (x)在上单调递减，在上单调递增．
所以f (x)min＝f ＝a3．
综上所述，当a＞0时，f (x)的最小值为－a3；
当a＝0时，f (x)的最小值为0；
当a＜0时，f (x)的最小值为a3．
[母题探究]　当a＞0时，求函数f (x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值．
[解]　f ′(x)＝(3x＋a)·(x－a)(a＞0)，
令f ′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a．
所以f (x)在上单调递增，
在上单调递减，
在(a，2a]上单调递增．
因为f (－a)＝－a3，f ＝a3，f (a)＝－a3，f (2a)＝2a3，
所以f (x)max＝f (2a)＝2a3，
f (x)min＝f (－a)＝f (a)＝－a3．
【教用·备选题】　设函数f (x)＝(x＋1)2＋2k ln x．
(1)若k＝－2，求函数的单调递减区间；
(2)当k＞0时，记函数g(x)＝f ′(x)，求函数g(x)在区间(0，2]上的最小值．
[解]　(1)当k＝－2时，f (x)＝(x＋1)2－4ln x，f ′(x)＝2x＋2－(x＞0)．
由f ′(x)＜0，得0＜x＜1．故函数的单调递减区间为(0，1)．
(2)因为g(x)＝f ′(x)＝2x＋＋2，
所以g′(x)＝2－．
因为k＞0，x∈(0，2]，所以当k≥4时，g′(x)≤0，g(x)在(0，2]上单调递减．
因此，g(x)有最小值g(2)＝k＋6；
当0＜k＜4时，在(0，)上，g′(x)＜0，在(，2]上，g′(x)＞0，所以g(x)在(0，)上单调递减，在(，2]上单调递增．故g(x)有最小值g()＝4＋2．
综上，当0＜k＜4时，g(x)在区间(0，2]上的最小值为4＋2；当k≥4时，g(x)在(0，2]上的最小值为k＋6．
　含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点函数值比较后确定最值．
[学以致用]　2．已知函数f (x)＝＋k ln x，k＜，求函数f (x)在上的最大值和最小值．
[解]　f ′(x)＝＝．
若k＝0，则f ′(x)＝－，在上恒有f ′(x)＜0，
所以f (x)在上单调递减；
若k≠0，则f ′(x)＝＝，
若k＜0，则在上恒有＜0，
所以f (x)在上单调递减；
若k＞0，由k＜，得＞e，则x－＜0在上恒成立，所以＜0，
所以f (x)在上单调递减．
综上，当k＜时，f (x)在上单调递减，所以f (x)min＝f (e)＝＋k－1，f (x)max＝f ＝e－k－1．
探究3　已知函数最值求参数的值(或范围)
[典例讲评]　3．已知函数f (x)＝ax3－6ax2＋b(a＞0)，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
[思路导引]　先求导，求出f ′(x)＝0的解，通过列表讨论，列出方程组，求出a，b的值．
[解]　求导得f ′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
∵a>0，
∴x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表：
x －1 (－1，0) 0 (0，2) 2
f ′(x) ＋ 0 －
f (x) －7a＋b 单调递增 b 单调递减 －16a＋b
由表可知，当x＝0时，f (x)取得极大值b，也就是函数在[－1，2]上的最大值，∴f (0)＝b＝3．
又f (－1)＝－7a＋3，f (2)＝－16a＋3∴当x＝2时，f (x)取得最小值．
f (2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2．
故a＝2，b＝3．
[母题探究]　
1．本例中“a＞0”改为“a＜0”，求a，b的值．
[解]　由例题解析知，当a<0时，同理可得，当x＝0时，f (x)取得极小值b，也就是函数在[－1，2]上的最小值，∴f (0)＝b＝－29．
又f (－1)＝－7a－29，
f (2)＝－16a－29>f (－1)，
∴当x＝2时，f (x)取得最大值，f (2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2．故a＝－2，b＝－29．
2．设函数f (x)＝tx2＋2t2x＋t－1的最小值为h(t)，且h(t)＜－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　∵f (x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f (x)取得最小值f (－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1．
令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如表：
t (0，1) 1 (1，2)
g′(t) ＋ 0 －
g(t) 单调递增 极大值1－m 单调递减
∴g(t)在(0，2)内有最大值g(1)＝1－m．
h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立等价于g(t)<0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m<0．
∴m的取值范围为(1，＋∞)．
【教用·备选题】　已知函数f (x)＝ex－x2－ax．
(1)当a＝－1时，求曲线f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)当x>0时，f (x)≥1－x恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝－1时，f (x)＝ex－x2＋x，f ′(x)＝ex－2x＋1，f ′(1)＝e－1，f (1)＝e，
所以切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋1．
(2)当x>0时，f (x)≥1－x，
即a≤－x－＋1，
令g(x)＝－x－＋1(x>0)，
则a≤g(x)min成立，
g′(x)＝．
令F(x)＝ex－x－1，
F′(x)＝ex－1，x∈(0，＋∞)，
所以F′(x)＝ex－1>0，F(x)在(0，＋∞)上单调递增，F(x)>F(0)＝0，
所以F(x)min>0，
所以当x∈(0，1)时，g′(x)<0，
g(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
故g(x)min＝g(1)＝e－1，
所以a≤e－1，
所以a的取值范围为(－∞，e－1]．
　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．
[学以致用]　3．已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围．
[解]　∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9．
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞)
h′(x) ＋ 0 － 0 ＋
h(x) 单调递增 28 单调递减 －4 单调递增
∴当x＝－3时，h(x)取得极大值28；
当x＝1时，h(x)取得极小值－4．
而h(2)＝3＜h(－3)＝28，
∴如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28，
则k≤－3，
∴k的取值范围为(－∞，－3]．
1．函数f (x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是(　　)
A．－2 B．0 C．2 D．4
C　[f ′(x)＝3x2－6x．令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．
∴f (x)在[－1，0)上单调递增，在(0，1]上单调递减，f (0)既是极大值也是最大值，f (0)＝2．]
2．如图所示，函数f (x)的导函数f ′(x)的图象是一条直线，则(　　)
A．函数f (x)没有最大值，也没有最小值
B．函数f (x)有最大值，没有最小值
C．函数f (x)没有最大值，有最小值
D．函数f (x)有最大值，也有最小值
C　[由导函数f ′(x)的图象可知，函数f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴f (x)在x＝1处取得最小值，∴函数f (x)没有最大值，只有最小值．]
3．函数f (x)＝ln x＋(x＞0)的最小值是________．
ln 2＋1　[已知函数f (x)＝ln x＋，函数定义域为(0，＋∞)，
可得f ′(x)＝＝，当0＜x＜2时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；
当x＞2时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，所以f (x)min＝f (2)＝ln 2＋1．]
4．若函数f (x)＝－x3＋mx2＋1(m≠0)在区间(0，2)上的极大值为最大值，则m的取值范围是__________________．
(0，3)　[由题得f ′(x)＝－3x2＋2mx，令f ′(x)＝0，得x＝或x＝0(舍去)．因为f (x)在区间(0，2)内的极大值为最大值，所以∈(0，2)，即0＜＜2，所以01．知识链：(1)求函数的最值．
(2)函数最值的应用．
2．方法链：转化与化归、分类讨论．
3．警示牌：忽视函数的最值与极值的区别与联系．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．图象在区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值和最小值，那么图象在(a，b)上连续的函数的最值如何？
[提示]　在区间(a，b)上，函数f (x)的图象是一条连续的曲线，f (x)在(a，b)内不一定有最值．常见的有以下几种情况：
如图，图1中的函数y＝f (x)在区间(a，b)上有最大值而无最小值；
图2中的函数y＝f (x)在区间(a，b)上有最小值而无最大值；
图3中的函数y＝f (x)在区间(a，b)上既无最小值也无最大值；
图4中的函数y＝f (x)在区间(a，b)上既有最小值也有最大值．
2．如果一个函数y＝f (x)在区间(a，b)上只有一个极值点时，该点是最值点吗？
[提示]　当连续函数f (x)在区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f (x)有极大值(或极小值)，则可以判定f (x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．
课时分层作业(二十一)　函数的最大(小)值
一、选择题
1．下列结论中，正确的是(　　)
A．若f (x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f (x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f (x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是在x＝a和x＝b处取得
D．若f (x)的图象在[a，b]上连续，则f (x)在[a，b]上存在最大值和最小值
D　[若f (x)在[a，b]上有极大值，则最大值一定是[a，b]上的极大值或f (a)，f (b)中的一个，A，C错误；f (x)在[a，b]上有极小值，则最小值一定是[a，b]上的极小值或f (a)，f (b)中的一个，B错误．故选D．]
2．已知函数f (x)＝x2－ln x，则函数f (x)在[1，2]上的最小值为(　　)
A．1 B．
C．ln 2 D．ln 2
A　[因为f (x)＝x2－ln x(x＞0)，所以f ′(x)＝2x－＝，
所以当x∈[1，2]时，f ′(x)＝＞0，则f (x)在[1，2]上单调递增，则f (x)在[1，2]上的最小值为f (1)＝1．故选A．]
3．函数f (x)＝(x－3)ex的最小值是(　　)
A．e3 B．－e3 C．e2 D．－e2
D　[由题意可得f ′(x)＝(x－2)ex，令f ′(x)＝0得x＝2，
所以在(－∞，2)上，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
在(2，＋∞)上，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
所以f (x)min＝f (2)＝－e2．故选D．]
4．已知函数f (x)＝2f ′(1)ln x－，则f (x)的最大值为(　　)
A．2ln 2－2 B．2ln 2＋2 C．－1 D．2
A　[函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，
由f (x)＝2f ′(1)ln x－，得f ′(x)＝，
则f ′(1)＝2f ′(1)＋1，所以f ′(1)＝－1，
所以f (x)＝－2ln x－，f ′(x)＝－＝，
当0＜x＜时，f ′(x)＞0，当x＞时，f ′(x)＜0，
所以函数f (x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f (x)max＝f ＝－2ln－2＝2ln 2－2．故选A．]
5．已知函数f (x)＝ln (ax)＋的最小值为2，则f 的值为(　　)
A．e－1 B．e C．2＋ D．e＋1
B　[显然a≠0，若a＜0，则x＜0，不合题意，故a＞0，
则函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝a·＝．
令f ′(x)＝0，解得x＝1，当0＜x＜1时，f ′(x)＜0，此时f (x)单调递减；
当x＞1时，f ′(x)＞0，此时f (x)单调递增，
故当x＝1时，f (x)min＝f (1)＝ln a＋1＝2，解得a＝e，则f (x)＝ln (ex)＋，
则f ＝e．故选B．]
二、填空题
6．函数f (x)＝x－ln x在区间(0，e]上的最小值为________．
1　[f ′(x)＝1－，令f ′(x)＝0，得x＝1．
当x∈(0，1)时，f ′(x)＜0；当x∈(1，e]时，f ′(x)＞0，∴当x＝1时，f (x)有极小值，也是最小值，最小值为f (1)＝1．]
7．已知函数f (x)＝ln x＋k在[1，e]上的最大值为2，则f (k)＝________．
1　[∵f ′(x)＝，当x∈[1，e]时，f ′(x)＞0，
∴f (x)在[1，e]上单调递增，且当x＝e时取得最大值，
∴f (e)＝1＋k＝2，可知k＝1，∴f (k)＝f (1)＝ln 1＋1＝1．]
8．若函数f (x)＝2x3－6x2＋m在区间[－2，2]上有最大值3，则f (x)在区间[－2，2]上的最小值为________．
－37　[f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f ′(x)＝0，则x＝0或x＝2，
所以f (x)在[－2，0)上单调递增，在(0，2]上单调递减，
所以f (x)max＝f (0)＝m＝3，
所以f (－2)＝2·(－2)3－6·(－2)2＋3＝－37，
f (2)＝2·23－6·22＋3＝－5，故f (x)在区间[－2，2]上的最小值为－37．]
三、解答题
9．(源自人教B版教材)已知f (x)＝x2ex，x≤1，求f (x)的极值点以及极值、最值点以及最值．
[解]　当x<1时，f ′(x)＝2xex＋x2ex＝x(x＋2)ex．
解方程f ′(x)＝0，可得x＝－2或x＝0．
解不等式f ′(x)>0，可得x<－2或0解不等式f ′(x)<0，可得－2因此，f (x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增．由于f ′(－2)＝f ′(0)＝0，可知x＝－2是函数的极大值点，极大值为f (－2)＝4e-2＝；
x＝0是函数的极小值点，极小值为f (0)＝0．
又因为f (1)＝e>，所以函数的最大值点为1，最大值为e；x2ex≥0对任意实数都是成立的，因此函数的最小值点为0，而且最小值是0．
10．若函数f (x)＝x3＋x2－在区间(a－1，a＋5)内存在最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－5，1) B．(－5，1)
C．[－2，1) D．(－2，1)
C　[由f ′(x)＝x2＋2x，令f ′(x)＝0，可得x＝－2或x＝0．
由f ′(x)＞0，得x＜－2或x＞0；由f ′(x)＜0，得－2＜x＜0．
所以函数f (x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x)在x＝0处取得极小值f (0)＝－．
令f (x)＝x3＋x2－＝－，解得x＝0或x＝－3．
若函数f (x)在(a－1，a＋5)内存在最小值，则－3≤a－1＜0＜a＋5，得－2≤a＜1．故选C．]
11．已知函数f (x)＝ax－(a＋3)x3在区间[－1，1]上的最小值为－3，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．(－∞，9]
C． D．
C　[因为f (1)＝－3，函数f (x)＝ax－(a＋3)x3在[－1，1]上的最小值为－3，
所以对任意x∈[－1，1]，f (x)≥－3恒成立，所以ax－(a＋3)x3≥－3恒成立，
所以ax(1－x2)≥－3(1－x3)恒成立，当x＝1时，a∈R，
当－1≤x＜1时，可得ax(1＋x)≥－3(x2＋x＋1)恒成立，
当x＝0或x＝－1时，不等式成立，当0＜x＜1时，a≥＝－3，
因为x2＋x∈(0，2)，所以∈，
所以1＋∈，
所以－3∈，所以a≥－；
当－1＜x＜0时，a≤－3，因为x2＋x∈，
所以1＋∈(－∞，－3]，
所以－3∈[9，＋∞)，
所以a≤9．综上所述，实数a的取值范围为．故选C．]
12．已知函数f (x)＝ax－a－ln x，且f (x)的最小值为0，则a的值为________．
1　[已知f (x)＝ax－a－ln x，函数定义域为(0，＋∞)，
可得f ′(x)＝a－＝，当a≤0时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，无最小值；
当a＞0时，当0＜x＜时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；
当x＞时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
所以当x＝时，函数f (x)取得最小值f ＝1－a－ln ，
又f (x)的最小值为0，所以1－a－ln ＝0，解得a＝1，满足条件，
综上，a的值为1．]
13．已知函数f (x)＝要使函数f (x)＝k有三个零点，则k的取值范围是________．
　[要使函数f (x)＝k有三个零点，即y＝f (x)与y＝k的图象有3个交点，
因为当x≤0时，f (x)＝xex，
所以f ′(x)＝(x＋1)ex，
所以f (x)＝xex有最小值f (－1)＝－，
且当x＜0时，f (x)＜0，
当x趋向于负无穷时，f (x)趋向于0，但始终小于0，当x＞0时，f (x)＝－x2＋1单调递减，所以要使函数f (x)＝k有三个零点，
则－＜k＜0．]
14．已知函数f (x)＝x3－ax2－1．
(1)若a＝1，求f (x)的极值；
(2)若f (x)在区间[－2，0]上的最小值为f (－2)，求a的取值范围．
[解]　(1)当a＝1时，f (x)＝x3－x2－1，函数f (x)的定义域为R，
可得f ′(x)＝3x2－2x，当x＜0时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；
当0＜x＜时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；
当x＞时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
所以当x＝0时，函数f (x)取得极大值f (0)＝－1；
当x＝时，函数f (x)取得极小值f ＝－．
(2)易知f ′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)，
令f ′(x)＝0，解得x＝0或x＝a，
当a≤－2，即a≤－3时，f ′(x)≤0在[－2，0]上恒成立，
所以函数f (x)在[－2，0]上单调递减，
此时当x＝0时，函数f (x)取得最小值，不符合题意．
当－2＜a＜0，即－3＜a＜0时；
当－2＜x＜a时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；
当a＜x＜0时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减．
因为函数f (x)在区间[－2，0]上的最小值为f (－2)，
所以f (－2)≤f (0)，即－9－4a≤－1，解得a≥－2，
所以－2≤a＜0．
当a≥0，即a≥0时，f ′(x)≥0在[－2，0]上恒成立，
所以函数f (x)在[－2，0]上单调递增，最小值为f (－2)，满足题意．
综上，a的取值范围是[－2，＋∞)．
15．已知函数f (x)＝ln x＋．
(1)当a＜0时，求函数f (x)的单调区间；
(2)若函数f (x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
[解]　函数f (x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝＝．
(1)∵a＜0，∴f ′(x)＞0，
故函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．
(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a≤1时，f ′(x)≥0，函数f (x)单调递增，其最小值为f (1)＝a≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当1＜a＜e时，在[1，a)上有f ′(x)＜0，f (x)单调递减，在(a，e]上有f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
∴函数f (x)的最小值为f (a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝；
③当a≥e时，显然函数f (x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋≥2，与最小值是相矛盾．
综上所述，a的值为．
17/17(共70张PPT)
第2课时　函数的最大(小)值
第五章　一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.2　函数的极值与最大(小)值
整体感知
[学习目标]　1．能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最值．(数学运算)
2．会用导数求在给定区间上的函数的最值．(数学运算)
(教师用书)
费马(1601－1665)是一位17世纪的法国律师，也是一位业余数学家．之所以称费马为“业余数学家之王”，是由于他有律师的全职工作．17世纪是杰出数学家活跃的世纪，而费马比他同时代的大多数专业数学家更有成就．
他将无穷小的思想运用到求积问题上，已具今日微积分的雏形，这也是费马的卓越成就之一．他在牛顿出生前的13年，提出了有关微积分的主体概念．
大约在1637年，他完成了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》．让我们沿着这位传奇人物的足迹来用导数研究函数的最大(小)值问题吧！
[讨论交流]　
问题1．函数的最值的概念是什么？
问题2．函数的最值与极值有什么区别与联系？
问题3．如何求函数在某一闭区间上的最大(小)值？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　函数的最值
探究问题1　如图是y＝f (x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f (x1)，
f (x3)，f (x5)为极大值，f (x2)，f (x4)，f (x6)为极小值．你能找到函数的最大值和最小值吗？
[提示]　最大值y＝M＝f (x3)＝f (b)，分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f (x4)，在x＝x4处取得．显然极值不一定是最值，极值可以有多个，最值唯一．
[新知生成]
1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的____；
(2)将函数y＝f (x)的______与____处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是______，最小的一个是______．
连续不断
极值
各极值
端点
最大值
最小值
【教用·微提醒】　函数的极值与最值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言．
(2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个．
(3)函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
【链接·教材例题】
例6　求函数f (x)＝x3－4x＋4在区间[0，3]上的最大值与最小值．
[解]　由例5可知，在区间[0，3]上，当x＝2时，
函数f (x)＝x3－4x＋4有极小值，并且极小值为f (2)＝－．
又由于f (0)＝4，f (3)＝1，
所以，函数f (x)＝x3－4x＋4在区间[0，3]上的最大值是4，
最小值是－．
上述结论可以从函数f (x)＝x3－4x＋4在区间[0，3]上的图象(图5.3-16)得到直观验证．
[典例讲评]　1．求下列各函数的最值：
(1) f (x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]；
(2) f (x)＝x＋sin x，x∈[0，2π]．
[思路导引]　
[解]　(1)f ′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3．
因为f ′(x)在[－1，1]上恒大于0，
所以f (x)在[－1，1]上单调递增．
故当x＝－1时，f (x)min＝－12；
当x＝1时，f (x)max＝2．
即f (x)的最小值为－12，最大值为2．
(2)f ′(x)＝＋cos x，令f ′(x)＝0，由x∈[0，2π]，解得x＝或x＝．
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x 0 2π
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 0 单调递增 单调递减 单调递增 π
由表可知，当x＝0时，f (x)有最小值f (0)＝0；
当x＝2π时，f (x)有最大值f (2π)＝π．
反思领悟　求函数在给定区间上最值的注意事项
(1)对函数求导，并检验f ′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，确定极值和端点函数值．
(3)要比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
[学以致用]　1．(源自湘教版教材)求函数f (x)＝x3＋x2－2x＋1在区间[－2，1]上的最大值和最小值．
[解]　求导得f ′(x)＝3x2＋x－2．令f ′(x)＝0，则x1＝－1，x2＝．
由于x1和x2都在区间[－2，1]内，所以可列表如下：
x [－2，－1) －1
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又f (－2)＝－1，f (1)＝，将它们与极值比较可得，该函数在[－2，1]上的最大值为，最小值为－1．
上述结论也可从函数f (x)＝x3＋x2－2x＋1的图象(如图所示)得到直观验证．
探究2　求含参数的函数的最值
[典例讲评]　2．已知函数f (x)＝x3－ax2－a2x，求函数f (x)在[0，＋∞)上的最小值．
[解]　f ′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
令f ′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a．
①当a＞0时，f (x)在[0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
所以f (x)min＝f (a)＝－a3．
②当a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，f (x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x)min＝
f (0)＝0．
③当a＜0时，f (x)在上单调递减，在上单调递增．
所以f (x)min＝f ＝a3．
综上所述，当a＞0时，f (x)的最小值为－a3；
当a＝0时，f (x)的最小值为0；
当a＜0时，f (x)的最小值为a3．
[母题探究]　当a＞0时，求函数f (x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值．
[解]　f ′(x)＝(3x＋a)·(x－a)(a＞0)，
令f ′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a．所以f (x)在上单调递增，
在上单调递减，在(a，2a]上单调递增．
因为f (－a)＝－a3，f ＝a3，f (a)＝－a3，f (2a)＝2a3，
所以f (x)max＝f (2a)＝2a3，f (x)min＝f (－a)＝f (a)＝－a3．
【教用·备选题】　设函数f (x)＝(x＋1)2＋2k ln x．
(1)若k＝－2，求函数的单调递减区间；
(2)当k＞0时，记函数g(x)＝f ′(x)，求函数g(x)在区间(0，2]上的最小值．
[解]　(1)当k＝－2时，f (x)＝(x＋1)2－4ln x，f ′(x)＝2x＋2－(x＞0)．
由f ′(x)＜0，得0＜x＜1．故函数的单调递减区间为(0，1)．
(2)因为g(x)＝f ′(x)＝2x＋＋2，所以g′(x)＝2－．
因为k＞0，x∈(0，2]，所以当k≥4时，g′(x)≤0，g(x)在(0，2]上单调递减．
因此，g(x)有最小值g(2)＝k＋6；
当0＜k＜4时，在(0，)上，g′(x)＜0，在(，2]上，g′(x)＞0，所以g(x)在(0，)上单调递减，在(，2]上单调递增．故g(x)有最小值g()＝4＋2．
综上，当0＜k＜4时，g(x)在区间(0，2]上的最小值为4＋2；当k≥4时，g(x)在(0，2]上的最小值为k＋6．
反思领悟　含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点函数值比较后确定最值．
[学以致用]　2．已知函数f (x)＝＋k ln x，k＜，求函数f (x)在上的最大值和最小值．
[解]　f ′(x)＝＝．
若k＝0，则f ′(x)＝－，在上恒有f ′(x)＜0，
所以f (x)在上单调递减；
若k≠0，则f ′(x)＝＝，
若k＜0，则在上恒有＜0，所以f (x)在上单调递减；
若k＞0，由k＜，得＞e，则x－＜0在上恒成立，所以＜0，
所以f (x)在上单调递减．
综上，当k＜时，f (x)在上单调递减，所以f (x)min＝f (e)＝＋k－1，f (x)max＝f ＝e－k－1．
探究3　已知函数最值求参数的值(或范围)
[典例讲评]　3．已知函数f (x)＝ax3－6ax2＋b(a＞0)，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
[思路导引]　先求导，求出f ′(x)＝0的解，通过列表讨论，列出方程组，求出a，b的值．
[解]　求导得f ′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
∵a>0，
∴x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表：
x －1 (－1，0) 0 (0，2) 2
f ′(x) ＋ 0 －
f (x) －7a＋b 单调递增 b 单调递减 －16a＋b
由表可知，当x＝0时，f (x)取得极大值b，也就是函数在[－1，2]上的最大值，∴f (0)＝b＝3．
又f (－1)＝－7a＋3，f (2)＝－16a＋3∴当x＝2时，f (x)取得最小值．
f (2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2．
故a＝2，b＝3．
[母题探究]　
1．本例中“a＞0”改为“a＜0”，求a，b的值．
[解]　由例题解析知，当a<0时，同理可得，当x＝0时，f (x)取得极小值b，也就是函数在[－1，2]上的最小值，∴f (0)＝b＝－29．
又f (－1)＝－7a－29，
f (2)＝－16a－29>f (－1)，
∴当x＝2时，f (x)取得最大值，f (2)＝－16a－29＝3，解得a＝
－2．故a＝－2，b＝－29．
2．设函数f (x)＝tx2＋2t2x＋t－1的最小值为h(t)，且h(t)＜－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　∵f (x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f (x)取得最小值f (－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1．
令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如表：
t (0，1) 1 (1，2)
g′(t) ＋ 0 －
g(t) 单调递增 极大值1－m 单调递减
∴g(t)在(0，2)内有最大值g(1)＝1－m．
h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立等价于g(t)<0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m<0．∴m的取值范围为(1，＋∞)．
【教用·备选题】　已知函数f (x)＝ex－x2－ax．
(1)当a＝－1时，求曲线f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)当x>0时，f (x)≥1－x恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝－1时，f (x)＝ex－x2＋x，f ′(x)＝ex－2x＋1，f ′(1)＝e－1，f (1)＝e，
所以切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋1．
(2)当x>0时，f (x)≥1－x，
即a≤－x－＋1，令g(x)＝－x－＋1(x>0)，
则a≤g(x)min成立，g′(x)＝．
令F(x)＝ex－x－1，F′(x)＝ex－1，x∈(0，＋∞)，
所以F′(x)＝ex－1>0，F(x)在(0，＋∞)上单调递增，F(x)>F(0)＝0，
所以F(x)min>0，所以当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
故g(x)min＝g(1)＝e－1，所以a≤e－1，所以a的取值范围为(－∞，e－1]．
反思领悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．
[学以致用]　3．已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围．
[解]　∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9．
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
∴当x＝－3时，h(x)取得极大值28；
当x＝1时，h(x)取得极小值－4．
而h(2)＝3＜h(－3)＝28，
∴如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28，
则k≤－3，∴k的取值范围为(－∞，－3]．
x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞)
h′(x) ＋ 0 － 0 ＋
h(x) 单调递增 28 单调递减 －4 单调递增
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
C　[f ′(x)＝3x2－6x．令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．
∴f (x)在[－1，0)上单调递增，在(0，1]上单调递减，f (0)既是极大值也是最大值，f (0)＝2．]
1．函数f (x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是(　　)
A．－2　　B．0　　C．2　　D．4
2
3
题号
1
4
2．如图所示，函数f (x)的导函数f ′(x)的图象是一条直线，则(　　)
A．函数f (x)没有最大值，也没有最小值
B．函数f (x)有最大值，没有最小值
C．函数f (x)没有最大值，有最小值
D．函数f (x)有最大值，也有最小值
√
C　[由导函数f ′(x)的图象可知，函数f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴f (x)在x＝1处取得最小值，∴函数f (x)没有最大值，只有最小值．]
2
3
题号
4
1
3．函数f (x)＝ln x＋(x＞0)的最小值是________．
ln 2＋1　[已知函数f (x)＝ln x＋，函数定义域为(0，＋∞)，
可得f ′(x)＝＝，当0＜x＜2时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；
当x＞2时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，所以f (x)min＝f (2)＝ln 2＋1．]
ln 2＋1
2
4
3
题号
1
4．若函数f (x)＝－x3＋mx2＋1(m≠0)在区间(0，2)上的极大值为最大值，则m的取值范围是__________________．
(0，3)　[由题得f ′(x)＝－3x2＋2mx，令f ′(x)＝0，得x＝或x＝0(舍去)．因为f (x)在区间(0，2)内的极大值为最大值，所以∈(0，2)，即0＜＜2，所以0(0，3)
1．知识链：(1)求函数的最值．
(2)函数最值的应用．
2．方法链：转化与化归、分类讨论．
3．警示牌：忽视函数的最值与极值的区别与联系．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．图象在区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值和最小值，那么图象在(a，b)上连续的函数的最值如何？
[提示]　在区间(a，b)上，函数f (x)的图象是一条连续的曲线，f (x)在(a，b)内不一定有最值．常见的有以下几种情况：
如图，图1中的函数y＝f (x)在区间(a，b)上有最大值而无最小值；
图2中的函数y＝f (x)在区间(a，b)上有最小值而无最大值；
图3中的函数y＝f (x)在区间(a，b)上既无最小值也无最大值；
图4中的函数y＝f (x)在区间(a，b)上既有最小值也有最大值．
2．如果一个函数y＝f (x)在区间(a，b)上只有一个极值点时，该点是最值点吗？
[提示]　当连续函数f (x)在区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f (x)有极大值(或极小值)，则可以判定f (x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．
课时分层作业(二十一)　函数的最大(小)值
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、选择题
1．下列结论中，正确的是(　　)
A．若f (x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f (x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f (x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是在x＝a和x＝b处取得
D．若f (x)的图象在[a，b]上连续，则f (x)在[a，b]上存在最大值和最小值
课时分层作业(二十一)　函数的最大(小)值
题号
1
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15
D　[若f (x)在[a，b]上有极大值，则最大值一定是[a，b]上的极大值或f (a)，f (b)中的一个，A，C错误；f (x)在[a，b]上有极小值，则最小值一定是[a，b]上的极小值或f (a)，f (b)中的一个，B错误．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
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10
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12
13
2．已知函数f (x)＝x2－ln x，则函数f (x)在[1，2]上的最小值为(　　)
A．1　　 B．
C．ln 2　　 D．ln 2
√
14
15
A　[因为f (x)＝x2－ln x(x＞0)，所以f ′(x)＝2x－＝，
所以当x∈[1，2]时，f ′(x)＝＞0，则f (x)在[1，2]上单调递增，则f (x)在[1，2]上的最小值为f (1)＝1．故选A．]
题号
3
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6
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13
1
3．函数f (x)＝(x－3)ex的最小值是(　　)
A．e3　　B．－e3　　C．e2　　D．－e2
√
14
15
D　[由题意可得f ′(x)＝(x－2)ex，令f ′(x)＝0得x＝2，
所以在(－∞，2)上，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
在(2，＋∞)上，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
所以f (x)min＝f (2)＝－e2．故选D．]
题号
4
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1
4．已知函数f (x)＝2f ′(1)ln x－，则f (x)的最大值为(　　)
A．2ln 2－2　　B．2ln 2＋2　　C．－1　　D．2
√
14
15
题号
4
2
3
5
6
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12
13
1
A　[函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，
由f (x)＝2f ′(1)ln x－，得f ′(x)＝，
则f ′(1)＝2f ′(1)＋1，所以f ′(1)＝－1，
所以f (x)＝－2ln x－，f ′(x)＝－＝，
当0＜x＜时，f ′(x)＞0，当x＞时，f ′(x)＜0，
所以函数f (x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f (x)max＝f ＝－2ln－2＝2ln 2－2．故选A．]
14
15
题号
2
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3
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13
1
5．已知函数f (x)＝ln (ax)＋的最小值为2，则f 的值为(　　)
A．e－1　　B．e　　C．2＋　　D．e＋1
√
14
15
B　[显然a≠0，若a＜0，则x＜0，不合题意，故a＞0，
则函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝a·＝．
令f ′(x)＝0，解得x＝1，当0＜x＜1时，f ′(x)＜0，此时f (x)单调递减；
当x＞1时，f ′(x)＞0，此时f (x)单调递增，
故当x＝1时，f (x)min＝f (1)＝ln a＋1＝2，解得a＝e，则f (x)＝ln (ex)＋，则f ＝e．故选B．]
题号
2
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1
二、填空题
6．函数f (x)＝x－ln x在区间(0，e]上的最小值为________．
14
15
1　[f ′(x)＝1－，令f ′(x)＝0，得x＝1．
当x∈(0，1)时，f ′(x)＜0；当x∈(1，e]时，f ′(x)＞0，∴当x＝1时，
f (x)有极小值，也是最小值，最小值为f (1)＝1．]
1
题号
2
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7
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13
1
7．已知函数f (x)＝ln x＋k在[1，e]上的最大值为2，则f (k)＝________．
14
15
1　[∵f ′(x)＝，当x∈[1，e]时，f ′(x)＞0，
∴f (x)在[1，e]上单调递增，且当x＝e时取得最大值，
∴f (e)＝1＋k＝2，可知k＝1，∴f (k)＝f (1)＝ln 1＋1＝1．]
1
题号
2
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1
8．若函数f (x)＝2x3－6x2＋m在区间[－2，2]上有最大值3，则f (x)在区间[－2，2]上的最小值为________．
14
15
－37　[f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f ′(x)＝0，则x＝0或x＝2，
所以f (x)在[－2，0)上单调递增，在(0，2]上单调递减，
所以f (x)max＝f (0)＝m＝3，
所以f (－2)＝2·(－2)3－6·(－2)2＋3＝－37，
f (2)＝2·23－6·22＋3＝－5，故f (x)在区间[－2，2]上的最小值为－37．]
－37
题号
9
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1
三、解答题
9．(源自人教B版教材)已知f (x)＝x2ex，x≤1，求f (x)的极值点以及极值、最值点以及最值．
14
15
[解]　当x<1时，f ′(x)＝2xex＋x2ex＝x(x＋2)ex．
解方程f ′(x)＝0，可得x＝－2或x＝0．
解不等式f ′(x)>0，可得x<－2或0解不等式f ′(x)<0，可得－2题号
9
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13
1
因此，f (x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增．由于f ′(－2)＝f ′(0)＝0，可知x＝－2是函数的极大值点，极大值为f (－2)＝4e-2＝；
x＝0是函数的极小值点，极小值为f (0)＝0．
又因为f (1)＝e>，所以函数的最大值点为1，最大值为e；x2ex≥0对任意实数都是成立的，因此函数的最小值点为0，而且最小值是0．
14
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题号
9
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1
10．若函数f (x)＝x3＋x2－在区间(a－1，a＋5)内存在最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－5，1)　　 B．(－5，1)
C．[－2，1)　　 D．(－2，1)
√
14
15
题号
9
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1
C　[由f ′(x)＝x2＋2x，令f ′(x)＝0，可得x＝－2或x＝0．
由f ′(x)＞0，得x＜－2或x＞0；由f ′(x)＜0，得－2＜x＜0．
所以函数f (x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x)在x＝0处取得极小值f (0)＝－．
令f (x)＝x3＋x2－＝－，解得x＝0或x＝－3．
若函数f (x)在(a－1，a＋5)内存在最小值，则－3≤a－1＜0＜a＋5，
得－2≤a＜1．故选C．]
14
15
题号
9
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1
11．已知函数f (x)＝ax－(a＋3)x3在区间[－1，1]上的最小值为－3，则实数a的取值范围为(　　)
A．　　 B．(－∞，9]
C．　　 D．
√
14
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题号
9
2
4
5
3
8
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10
11
12
13
1
C　[因为f (1)＝－3，函数f (x)＝ax－(a＋3)x3在[－1，1]上的最小值为－3，
所以对任意x∈[－1，1]，f (x)≥－3恒成立，所以ax－(a＋3)x3≥－3恒成立，
所以ax(1－x2)≥－3(1－x3)恒成立，当x＝1时，a∈R，
当－1≤x＜1时，可得ax(1＋x)≥－3(x2＋x＋1)恒成立，
当x＝0或x＝－1时，不等式成立，当0＜x＜1时，a≥＝
－3，
14
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题号
9
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1
因为x2＋x∈(0，2)，所以∈，
所以1＋∈，
所以－3∈，所以a≥－；
当－1＜x＜0时，a≤－3，因为x2＋x∈，
所以1＋∈(－∞，－3]，所以－3∈[9，＋∞)，
所以a≤9．综上所述，实数a的取值范围为．故选C．]
14
15
题号
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1
12．已知函数f (x)＝ax－a－ln x，且f (x)的最小值为0，则a的值_______．
14
15
1　[已知f (x)＝ax－a－ln x，函数定义域为(0，＋∞)，
可得f ′(x)＝a－＝，当a≤0时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，无最小值；
当a＞0时，当0＜x＜时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；
当x＞时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
所以当x＝时，函数f (x)取得最小值f ＝1－a－ln ，
又f (x)的最小值为0，所以1－a－ln ＝0，解得a＝1，满足条件，
综上，a的值为1．]
1
题号
9
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3
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1
13．已知函数f (x)＝要使函数f (x)＝k有三个零点，则k的取值范围是________．
14
15
　[要使函数f (x)＝k有三个零点，即y＝f (x)与y＝k的图象有3个交点，
题号
9
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3
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1
因为当x≤0时，f (x)＝xex，
所以f ′(x)＝(x＋1)ex，
所以f (x)＝xex有最小值f (－1)＝－，
且当x＜0时，f (x)＜0，
当x趋向于负无穷时，f (x)趋向于0，但始终小于0，当x＞0时，f (x)＝－x2＋1单调递减，所以要使函数f (x)＝k有三个零点，
则－＜k＜0．]
14
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题号
9
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1
14．已知函数f (x)＝x3－ax2－1．
(1)若a＝1，求f (x)的极值；
(2)若f (x)在区间[－2，0]上的最小值为f (－2)，求a的取值范围．
14
15
[解]　(1)当a＝1时，f (x)＝x3－x2－1，函数f (x)的定义域为R，
可得f ′(x)＝3x2－2x，当x＜0时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；
当0＜x＜时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；
当x＞时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
所以当x＝0时，函数f (x)取得极大值f (0)＝－1；
当x＝时，函数f (x)取得极小值f ＝－．
题号
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1
(2)易知f ′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)，
令f ′(x)＝0，解得x＝0或x＝a，
当a≤－2，即a≤－3时，f ′(x)≤0在[－2，0]上恒成立，
所以函数f (x)在[－2，0]上单调递减，
此时当x＝0时，函数f (x)取得最小值，不符合题意．
当－2＜a＜0，即－3＜a＜0时；
当－2＜x＜a时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；
14
15
题号
9
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1
当a＜x＜0时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减．
因为函数f (x)在区间[－2，0]上的最小值为f (－2)，
所以f (－2)≤f (0)，即－9－4a≤－1，解得a≥－2，
所以－2≤a＜0．
当a≥0，即a≥0时，f ′(x)≥0在[－2，0]上恒成立，
所以函数f (x)在[－2，0]上单调递增，最小值为f (－2)，满足题意．
综上，a的取值范围是[－2，＋∞)．
14
15
题号
9
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1
15．已知函数f (x)＝ln x＋．
(1)当a＜0时，求函数f (x)的单调区间；
(2)若函数f (x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
14
15
[解]　函数f (x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝＝．
(1)∵a＜0，∴f ′(x)＞0，
故函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．
题号
9
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3
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6
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13
1
(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a≤1时，f ′(x)≥0，函数f (x)单调递增，其最小值为f (1)＝a≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当1＜a＜e时，在[1，a)上有f ′(x)＜0，f (x)单调递减，在(a，e]上有f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
∴函数f (x)的最小值为f (a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝；
③当a≥e时，显然函数f (x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋≥2，与最小值是相矛盾．综上所述，a的值为．
14
15
THANKS(共75张PPT)
第3课时　导数在函数有关问题及实际生活中的应用
第五章　一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.2　函数的极值与最大(小)值
整体感知
[学习目标]　1．进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用．(数学运算)
2．能利用导数研究函数的性质、解决简单的实际问题．(数学运算、逻辑推理)
(教师用书)
如图所示，海中有一座油井A，其离岸的距离AC＝1.2 km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC＝1.6 km．现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上．
已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺
设成本为每千米30万元．那么，铺设输油管的最少花费
是多少？
[讨论交流]　
问题　如何应用导数解决生活中的实际问题？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　导数在实际问题中的应用
【链接·教材例题】
例8　某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm．
(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
[解]　由题意可知，每瓶饮料的利润是
y＝f (r)＝0.2×πr3－0.8πr2＝0.8π，0＜r≤6．
所以f ′(r)＝0.8π(r2－2r)．
令f ′(r)＝0，解得r＝2．
当r∈(0，2)时，f ′(r)＜0；当r∈(2，6)时，f ′(r)＞0．
因此，当半径r＞2时，f ′(r)＞0，f (r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜2时，f ′(r)＜0，f (r)单调递减，即半径越大，利润越低．
(1)半径为6 cm时，利润最大．
(2)半径为2 cm时，利润最小，这时f (2)＜0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)如图1所示，一边长为48 cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图2所示．所得容器的容积V(单位：cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位：cm)的函数．
(1)随着x的变化，容积V是如何变化的？
(2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
[解]　(1)根据题意，可得
V＝V(x)＝(48－2x)2x．
由实际情况可知函数V(x)的定义域为{x|0＜x＜24}．
根据导数公式表及导数的运算法则，可得
V′(x)＝－4x(48－2x)＋(48－2x)2
＝(48－2x)(－6x＋48)＝12(x－24)(x－8)．
解方程V′(x)＝0，得x1＝8，x2＝24．
根据x1，x2列出表如下，分析V′(x)的符号、V(x)的单调性和极值点．
x (0，8) 8 (8，24)
V′(x) ＋ 0 －
V＝V(x) ? 极大值 ?
根据表中V′(x)与V(x)的变化情况可知，x＝8是函数V＝V(x)的极大值点，相应的极大值为V＝V(8)＝(48－16)2×8＝8 192(cm3)．
V＝(48－2x)2x的大致图象如图．
根据对函数变化规律的讨论可知：
当0＜x≤8时，函数V＝V(x)单调递增；
当8≤x＜24时，函数V＝V(x)单调递减．
(2)区间(0，24)上任意点的函数值都不超过V(8)，因此，x＝8是函数的最大值点．
此时V＝V(8)＝8 192(cm3)是函数V＝V(x)在区间(0，24)内的最大值．
即当截去的小正方形的边长为8 cm时，得到的容器容积最大，最大容积为8 192 cm3．
反思领悟　1．解决最优问题应从以下两个方面入手
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域．
(2)在实际应用问题中，若函数f (x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．
2．利用导数解决生活中优化问题的四个步骤
第一步：设出恰当的未知量，并确定未知量的取值集合(即函数的定义域)．
第二步：依题意将所求最值的量表示为未知量的函数．
第三步：求出函数的导数，令导数等于0，得到导数为0的点．
第四步：通过单调性确定出函数的极值点及最值．
[学以致用]　1．(源自湘教版教材)某企业要生产容积为V m3的圆柱形密闭容器(如图所示)，已知该容器侧面耗材为1元/m2，上下底面的耗材为1.5元/m2．问：如何设计圆柱的高度h m和上下底面的半径r m，使得费用最少？
[解]　由题意可得，所需费用为
C＝2πrh×1＋2πr2×1.5＝2πrh＋3πr2．
由于容器的容积为V＝πr2h，从而πrh＝，因此
C(r)＝＋3πr2．
对C(r)关于r求导，得C′(r)＝－＋6πr．
令C′(r)＝0，解得r＝．
当r∈时，C′(r)＜0，则C(r)单调递减；
当r∈时，C′(r)＞0，则C(r)单调递增．
因此，C(r)在r＝处取到极小值，也是最小值(如图所示)．
由r＝．
因此，当圆柱上下底面半径r＝，高h＝3r时，所需费用最少．
【链接·教材例题】
例7　给定函数f (x)＝(x＋1)ex．
(1)判断函数f (x)的单调性，并求出f (x)的极值；
(2)画出函数f (x)的大致图象；
(3)求出方程f (x)＝a(a∈R)的解的个数．
探究2　利用导数研究函数的零点或方程的根
[解]　(1)函数的定义域为R．
f ′(x)＝(x＋1)′ex＋(x＋1)(ex)′＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex．
令f ′(x)＝0，解得x＝－2．
f ′(x)，f (x)的变化情况如表5.3-4所示．
表5.3-4
x (－∞，－2) －2 (－2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋
f (x) 单调递减 － 单调递增
所以，f (x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增．
当x＝－2时，f (x)有极小值f (－2)＝－．
(2)令f (x)＝0，解得x＝－1．
当x＜－1时，f (x)＜0；当x＞－1时，f (x)＞0．
所以，f (x)的图象经过特殊点A，B(－1，0)，C(0，1)．
当x→－∞时，与一次函数相比，指数函数y＝e－x呈爆炸性增长，从而f (x)＝→0；
当x→＋∞时，f (x)→＋∞，f ′(x)→＋∞．
根据以上信息，我们画出f (x)的大致图象如图5.3-17所示．
(3)方程f (x)＝a(a∈R)的解的个数为函数y＝f (x)的图象与直线y＝a的交点个数．
由(1)及图5.3－17可得，当x＝－2时，f (x)有最小值f (－2)＝－．
所以，关于方程f (x)＝a(a∈R)的解的个数有如下结论：
当a＜－时，解为0个；
当a＝－或a≥0时，解为1个；
当－＜a＜0时，解为2个．
[典例讲评]　2．已知函数f (x)＝ex－1，g(x)＝＋x．
(1)证明：函数h(x)＝f (x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；
(2)求方程f (x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．
[解]　(1)证明：由题意可得
h(x)＝f (x)－g(x)＝ex－1－－x，
所以h(1)＝e－3＜0，h(2)＝e2－3－＞0，
所以h(1)·h(2)＜0，
所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点．
(2)由(1)可知h(x)＝f (x)－g(x)＝ex－1－－x(x≥0)．
而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点．
又h(x)在(1，2)内有零点，
因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点．
h′(x)＝ex－－1，记φ(x)＝ex－－1，
则φ′(x)＝ex＋．
当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)＞0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
φ＝－1＜0，φ(1)＝e－＞0，
存在唯一的x0∈，使φ(x0)＝0，
即h′(x0)＝0，满足＝＋1．
易证得x0为h(x)的极小值点，且h(x0)＝－1－－x0＝＜0，
显然h(x)在[0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
结合(1)知h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，
所以方程f (x)＝g(x)的根的个数为2．
【教用·备选题】　已知函数f (x)＝ex－．
(1)求曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程；
(2)判断函数f (x)的零点的个数，并说明理由．
[解]　(1)由f (x)＝ex－，得f ′(x)＝ex＋，则f ′(0)＝3，而f (0)＝2，所以曲线在点(0，f (0))处的切线方程为y－2＝3(x－0)，即3x－y＋2＝0．
(2)函数f (x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，由(1)可知，f ′(x)＝ex＋，
当x∈(－∞，1)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
因为f (－2)f (0)＝·2＝2＜0，所以函数f (x)在x∈(－∞，1)上有唯一零点；
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
因为f (2)f ＝(e2－3)·＜0，所以函数f (x)在x∈(1，＋∞)上有唯一零点，所以f (x)有2个零点．
反思领悟　函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据函数零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的统一．
[解]　f ′(x)＝3x2－3，令f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1．
当x<－1时，f ′(x)>0；
当－1当x>1时，f ′(x)>0．
[学以致用]　2．已知函数f (x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f (x)＝0有三个不同的实数根，求实数a的取值范围．
所以当x＝－1时，f (x)有极大值f (－1)＝2＋a；
当x＝1时，f (x)有极小值f (1)＝－2＋a．
因为方程f (x)＝0有三个不同的实数根，
所以y＝f (x)的图象与x轴有三个交点，如图．
由已知应有
解得－2探究3　利用导数证明不等式
[典例讲评]　3．当x＞0时，证明不等式ln (x＋1)＞x－x2．
[思路导引]　利用导数证明不等式，首先要构造函数f (x)＝ln (x＋1)－x＋x2，然后求函数f (x)的最小值，从而证明f (x)min＞0．
[证明]　令f (x)＝ln (x＋1)－x＋x2，函数f (x)的定义域为(－1，＋∞)．
∵f ′(x)＝－1＋x＝．
当x∈(－1，＋∞)时，f ′(x)≥0，从而f (x)在(－1，＋∞)上是增函数．
当x＞0时，f (x)＞f (0)＝0．∴当x＞0时，ln (x＋1)＞x－x2成立．
反思领悟　利用函数的最值证明不等式的基本步骤
(1)将不等式构造成f (x)＞0(或＜0)的形式．
(2)利用导数将函数y＝f (x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出．
(3)证明函数y＝f (x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立．
[学以致用]　3．已知x＞0，证明：1＋2x＜e2x．
[证明]　设f (x)＝1＋2x－e2x，
则f ′(x)＝2－2e2x＝2(1－e2x)．
当x＞0时，2x＞0，e2x＞e0＝1，
∴f ′(x)＝2(1－e2x)＜0，
∴函数f (x)＝1＋2x－e2x在(0，＋∞)上单调递减．
∵函数f (x)＝1＋2x－e2x是连续函数，
∴当x＞0时，f (x)＜f (0)＝0，
∴当x＞0时，1＋2x－e2x＜0，即1＋2x＜e2x．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．设函数f (x)的导函数为f ′(x)，若f (x)为偶函数，且在(0，1)上存在极大值，则f ′(x)的图象可能为(　　)
A　　　　 B　　　 　C　　　　D
2
4
3
题号
1
应用迁移
C　[根据题意，f (x)为偶函数，则其导函数f ′(x)为奇函数，结合函数图象可以排除B，D．又由于函数f (x)在(0，1)上存在极大值，则其导函数在(0，1)上存在零点，且零点左侧导函数值符号为正，右侧导函数值符号为负，结合选项可以排除A，只有C选项符合题意．]
2
3
题号
1
4
2．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0A．30　　B．40　　C．50　　D．60
√
B　[V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，
因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，此时V(x)单调递增；
当402
3
题号
4
1
3．方程x3－6x2＋9x＋m＝0恰有三个不等的实根，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－4)
B．(－4，0)
C．(－∞，－4)∪(0，＋∞)
D．(0，＋∞)
√
2
3
题号
4
1
B　[设f (x)＝x3－6x2＋9x，可得f ′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
令f ′(x)＞0，即(x－1)(x－3)＞0，解得x＜1或x＞3，
令f ′(x)＜0，即(x－1)(x－3)＜0，解得1＜x＜3，
所以函数f (x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，
则当x＝1时，函数f (x)取得极大值f (1)＝4，
当x＝3时，函数f (x)取得极小值f (3)＝0，
要使得方程x3－6x2＋9x＋m＝0恰有三个不等的实根，即函数y＝f (x)与y＝
－m的图象有三个不同的交点，所以0＜－m＜4，解得－4＜m＜0，
即实数m的取值范围是(－4，0)．]
2
4
3
题号
1
4．在区间(0，π)上，sin x与x的大小关系是___________．
sin x＜x　[构造函数f (x)＝sin x－x，x∈(0，π)，则f ′(x)＝cos x－1＜0，故函数f (x)在(0，π)上单调递减，所以f (x)＜f (0)＝0，故sin x＜x．]
sin x＜x
1．知识链：(1)导数在实际问题中的应用．
(2)研究求函数零点的方法．
(3)利用导数证明不等式．
2．方法链：转化法、数形结合法、分类讨论法．
3．警示牌：不能正确分析函数图象的变化趋势，从而不能正确得到函数零点的个数．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用导数解决优化问题的实质是什么？
[提示]　生活中常常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，用导数解决这些优化问题的实质是求函数的最值．
2．用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是什么？
[提示]　①审题：理解文字表达的题意，分析实际问题中各量之间的关系．
②建模：将文字语言转化为数学语言，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系．
③解模：把数学问题划归为求最值问题．
ⅰ．求函数的导数，解导数值为0的方程；
ⅱ．比较函数在区间端点和使导数值为0的点处的函数值的大小，即得最大(小)值．
④写出答案．
注意：在将实际问题转化为数学问题时，要注意所设变量的取值范围．
3．用导数解决实际问题中的最值问题应注意哪些事项？
[提示]　①要注意考虑实际问题的意义，不符合题意的值应舍去．
②在实际问题中，有时会遇到区间内只有一个点使f ′(x)＝0的情形，如果函数在该点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这是最大(小)值．
③要注意问题中涉及的变量关系用函数式表示，以及确定函数关系式中自变量的取值范围．
4．已知函数的零点(方程根)的个数，求参数的取值范围有哪些常用的方法？
[提示]　常用的方法有三种：
①直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
②分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
③数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题．
课时分层作业(二十二)　导数在函数有关问题及实际生活中的应用
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、选择题
1．某箱子的容积V与底面边长x的关系为V(x)＝－2x3＋30x2(0＜x＜15)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为(　　)
A．5　　B．8　　C．10　　D．12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
C　[因为V(x)＝－2x3＋30x2(0＜x＜15)，
所以V′(x)＝－6x2＋60x＝－6x(x－10)，
所以在(0，10)上，V′(x)＞0，V(x)单调递增，
在(10，15)上，V′(x)＜0，V(x)单调递减，
所以当x＝10时，V(x)取得最大值．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．已知函数f (x)＝x3＋ax2＋1图象的对称中心的横坐标x0＞0，且
f (x)有三个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)　　 B．
C．(0，＋∞)　　 D．(－∞，－1)
√
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
B　[f ′(x)＝3x2＋2ax，令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝－，∴x0＝－＞0，∴a＜0．
∴当x＜0或x＞－时，f ′(x)＞0，
当0＜x＜－时，f ′(x)＜0．
∴f (x)在(－∞，0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
∴f (x)的极大值为f (0)＝1，极小值为f ＝＋1．
∵f (x)有三个零点，∴＋1＜0，解得a＜－．]
14
15
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．某产品的销售收入y1(万元)与产量x(千台)的函数关系为y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)与产量x(千台)的函数关系为y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产(　　)
A．6千台　　 B．7千台
C．8千台　　 D．9千台
√
14
15
A　[设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)．
又由y′＝－6x2＋36x＝0，得x＝6，且当x∈(0，6)时，y′＞0，当x∈(6，＋∞)时，y′＜0，
∴当x＝6时，y最大，故应生产6千台．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．已知函数f (x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数g(x)＝x2＋2x＋a的零点个数为(　　)
A．0　　 B．1
C．2　　 D．取决于a的值
√
14
15
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
C　[f ′(x)＝2x·ex＋(x2＋a)·ex＝ex(x2＋2x＋a)＝ex·g(x)．
因为函数f (x)有最小值，且由题意得最小值即极小值，所以f ′(x)＝0有解．
当有一解x0时，在x0两侧f ′(x)＞0都成立，此时f (x)是单调递增的，没有极值，不符合题意，舍去，因此f ′(x)＝0有两解，即x2＋2x＋a＝0有两解，故g(x)有两个零点．]
14
15
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝x3－x＋1，则(　　)
A．f (x)有两个极值点
B．f (x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线y＝f (x)的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f (x)的切线
√
14
15
√
题号
2
4
5
3
6
8
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10
11
12
13
1
AC　[由题意知，f ′(x)＝3x2－1，令f ′(x)＞0，得x＞或x＜－，
令f ′(x)＜0，得－＜x＜，
所以f (x)在上单调递减，在上单调递增，
所以x＝±是极值点，故A正确；
14
15
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
因为f ＝1＋＞0，f ＝1－＞0，f (－2)＝－5＜0，
所以，函数f (x)在上有一个零点，
当x≥时，f (x)≥f ＞0，即函数f (x)在上无零点，
综上所述，函数f (x)有一个零点，故B错误；
14
15
题号
2
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5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)，
则h(x)是奇函数，点(0，0)是h(x)图象的对称中心，将h(x)的图象向上平移一个单位长度得到f (x)的图象，
所以点(0，1)是曲线y＝f (x)的对称中心，故C正确；
令f ′(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，
又f (1)＝f (－1)＝1，
当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误．故选AC．]
14
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题号
2
4
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3
6
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1
二、填空题
6．已知函数f (x)＝x4＋9x＋5，则f (x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点的个数为________．
14
15
1　[f ′(x)＝4x3＋9，
当x∈(－1，3)时，f ′(x)＞0，所以f (x)在(－1，3)上单调递增，因为
f (－1)＝－3＜0，f (0)＝5＞0，所以f (x)的图象在(－1，3)内与x轴只有一个交点．]
1
题号
2
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3
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6
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1
7．已知x0是方程e3x－ln x＋2x＝0的一个根，则＝________．
14
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3　[因为x0是方程e3x－ln x＋2x＝0的一个根，所以－ln x0＋2x0＝0，
所以－ln x0－x0＋3x0＝0，
所以＋3x0＝ln x0＋x0，
令u(x)＝ln x＋x(x＞0)，则u′(x)＝＋1＝＞0，所以u(x)在(0，＋∞)上为增函数，又因为＝u(x0)，
所以＝x0，两边取对数可得3x0＝ln x0，即＝3．]
3
题号
2
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5
3
8
6
7
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13
1
8．为了应对比赛，某运动会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为2 m，其容积为2 500 m3，如果池底每平方米的维修费用为150元，设较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为k(k＞0)，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的维修费用最低时，x的值为________．
14
15
25
题号
2
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3
8
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7
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1
25　[由题可知池底面积为＝1 250，为定值，即池底维修费用为定值，则泳池维修费用由池壁维修费用决定．
又x表示较短池壁长，则0＜x≤ 0＜x≤25，则池壁维修费用为2×x＋．
设f (x)＝x＋，0＜x≤25，
则f ′(x)＝＝．
令f ′(x)＝0，可得x＝25，则由f ′(x)＞0 25＜x≤25，由f ′(x)＜0 0＜x＜25，所以f (x)在(0，25)上单调递减，在(25，25]上单调递增，即f (x)min＝f (25)．
故当泳池的维修费用最低时，x的值为25．]
14
15
题号
9
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1
三、解答题
9．已知A，B两地的距离是100 km．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在[50，100](单位：km/h)，油价为8元/L．假设汽车以x km/h的速度行驶时，耗油率为L/h，司机的人工费为40元/h．
(1)请将总费用W表示为车速x的函数；
(2)试确定x的值，使总费用W最小．
14
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题号
9
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1
[解]　(1)汽车的运行时间为 h．
汽车的油耗费用为8＝元．
汽车的总费用为W(x)＝＋2x＋40×＝2x＋，x∈[50，100]．
(2)因为W′(x)＝2－，
当x∈[50，60)时，W′(x)＜0，函数W(x)单调递减；当x∈(60，100]时，W′(x)＞0，函数W(x)单调递增．
故当x＝60时，总费用W(x)最小．
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题号
9
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1
10．(多选)设x3＋ax＋b＝0(a，b∈R)，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是(　　)
A．a＝－3，b＝2　　 B．a＝－3，b＝－3
C．a＝－3，b＞2　　 D．a＝1，b＝2
√
14
15
√
√
题号
9
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1
BCD　[记f (x)＝x3＋ax＋b，
当a＝－3，b＝2时，f (x)＝x3－3x＋2＝(x－1)2(x＋2)＝0，x＝1或x＝－2，不满足题意；
当a＝－3，b＝－3时，f (x)＝x3－3x－3，f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
f (x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，而f (x)极大值＝f (－1)＝－1＜0，f (x)只有一个零点，即f (x)＝0只有一个实根；同理a＝－3，b＞2时，f (x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，而f (x)极小值＝f (1)＝b－2＞0，f (x)只有一个零点，即f (x)＝0只有一个实根；当a＝1，b＝2时，f (x)＝x3＋x＋2＝(x＋1)(x2－x＋2)＝0，只有一个实根－1，故选BCD．]
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15
题号
9
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1
11．(多选)已知函数f (x)＝x2ex，x∈R，下列结论正确的是(　　)
A．函数f (x)不存在最大值，也不存在最小值
B．函数f (x)存在极大值和极小值
C．函数f (x)有且只有一个零点
D．函数f (x)的极小值就是f (x)的最小值
√
14
15
√
√
题号
9
2
4
5
3
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13
1
BCD　[由题意得f ′(x)＝x(x＋2)ex．
令f ′(x)＜0，得－2＜x＜0；
令f ′(x)＞0，得x＜－2或x＞0，
所以函数f (x)在(－2，0)上单调递减，在(－∞，－2)
和(0，＋∞)上单调递增．
易得f (0)＝0，f (x)＝x2ex≥0．
作出函数f (x)的大致图象，如图，则f (x)min＝f (0)＝0，函数f (x)在x＝－2处取得极大值，在x＝0处取得极小值，极小值f (0)即为最小值，且函数有且只有一个零点0．故选BCD．]
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题号
9
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1
12．已知函数f (x)＝，x∈(0，＋∞)，则下列结论正确的是(　　)
A．函数y＝f (x)既有最小值也有最大值
B．函数y＝f (x)既无最大值也无最小值
C．函数y＝f (x)有一个零点
D．函数y＝f (x)有两个零点
√
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题号
9
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4
5
3
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1
C　[由题意得f ′(x)＝＝．因为x∈(0，＋∞)，x2＋1＞0，ex＞0，所以当x∈(0，3)时，f ′(x)＞0，此时函数y＝f (x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，f ′(x)＜0，此时函数y＝f (x)单调递减．故函数y＝f (x)有最大值，无最小值，故A，B均错误．设g(x)＝x3＋x－2，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝3x2＋1＞0恒成立，所以函数y＝g(x)在(0，
＋∞)上单调递增．又g(1)＝1＋1－2＝0，所以函数y＝g(x)有一个零点，即函数y＝f (x)有一个零点．故C正确，D错误．故选C．]
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题号
9
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1
13．已知函数f (x)＝ex－2ax＋a，若f (x)恰有两个零点，则实数a的取值范围是___________．
14
15
　[已知f (x)＝ex－2ax＋a，定义域为R，显然不是f (x)的零点，
令f (x)＝0，解得a＝，不妨设g(x)＝，
可得g′(x)＝，当g′(x)＜0时，解得x＜且x≠；
题号
9
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1
当g′(x)＞0时，解得x＞，
所以函数g(x)在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，当x＜时，g(x)＜0；当x＞时，g(x)＞0，其大致图象如图所示，
所以当x＝时，函数g(x)取得极小值，极小值g＝，
则实数a的取值范围为．]
14
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题号
9
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1
14．已知函数f (x)＝ln x＋1．
(1)若f (x)的图象在x＝t处的切线过原点，求切线的方程；
(2)令g(x)＝，求证：g(x)≤1．
14
15
[解]　(1)∵f ′(x)＝，∴f (x)的图象在x＝t处的切线的斜率为．
又点(t，ln t＋1)在f (x)的图象上，f (x)的图象在x＝t处的切线过原点，
∴＝，解得t＝1．
∴切线的方程为y－1＝x－1，即y＝x．
题号
9
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1
(2)[证明]　∵g(x)＝，
∴g′(x)＝＝－，
由g′(x)＞0，得0＜x＜1，由g′(x)＜0，得x＞1，
∴g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴函数g(x)的最大值为g(1)＝1，∴g(x)≤1．
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题号
9
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1
15．已知函数f (x)＝ex-1－x2．
(1)求函数f (x)的零点个数；
(2)若n∈N，且n≥2，求证：1＋＋…＋≤n＋ln ．
14
15
[解]　(1)已知f (x)＝ex-1－x2，函数定义域为R，
可得f ′(x)＝ex-1－x，不妨设g(x)＝ex-1－x，函数g(x)的定义域为R，
可得g′(x)＝ex-1－1，当x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；
题号
9
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1
当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
所以g(x)≥g(1)＝0，即f ′(x)≥0，当且仅当x＝1时等号成立，
所以函数f (x)＝ex-1－x2在R上单调递增，
又f (－1)＝＜0，f (0)＝＞0，
所以在区间(－1，0)上存在唯一一点x0，使得f (x0)＝0，
则函数f (x)在定义域上共有1个零点．
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题号
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1
(2)证明：若n∈N，且n≥2，
n＋ln ＝n(1－ln 2)＋ln (n＋1)＝n(1－ln 2)＋ln ＋ln ＋…＋ln ，
要证1＋＋…＋≤n＋ln ，n≥2，
需证1＋＋…＋≤n(1－ln 2)＋ln ＋ln ＋…＋ln ，n≥2，
只需证－ln ≤1－ln 2，
即证－ln ≤1－ln 2．
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题号
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1
由(1)知函数f (x)在R上单调递增，
则当0＜x≤1时，f (x)≤f (1)，
可得ex-1－x2≤，即ex-1≤(1＋x2)，
整理得x－1≤ln (1＋x2)－ln 2，即x－ln (1＋x2)≤1－ln 2，
令x＝，x＞0，此时－ln ≤1－ln 2，
故1＋＋…＋≤n＋ln 成立．
14
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THANKS5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第1课时　函数的极值
[学习目标]　1．了解函数的极值及相关的概念．(数学抽象)
2．能利用导数求某些函数的极值．(数学运算)
3．体会导数在求极值中的应用．(数学运算)
4．能利用导数研究与函数极值等相关的问题．(数学运算)
[讨论交流]　
问题1．极大值、极小值的概念是什么？
问题2．函数的极大值点、极小值点是什么？
问题3．如何求函数的极值？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　函数极值的概念
探究问题1　如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究问题2　你能从函数与导数角度描述一下探究问题1中在各个山峰、山谷附近的特点吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
极值点与极值的概念
(1)极小值点与极小值
函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则把a叫做函数y＝f (x)的________，f (a)叫做函数y＝f (x)的________．
(2)极大值点与极大值
函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________，则把b叫做函数y＝f (x)的________，f (b)叫做函数y＝f (x)的________．
(3)极大值点、极小值点统称为________，极大值和极小值统称为________．
[典例讲评]　1．函数y＝f (x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f (x)在区间(3，5)上单调递增；
②函数y＝f (x)在区间上单调递减；
③函数y＝f (x)在区间(－2，2)上单调递增；
④当x＝－时，函数y＝f (x)有极大值；
⑤当x＝2时，函数y＝f (x)有极大值．
则上述判断中正确的序号是________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　关于函数极值的概念的理解
(1)可导函数y＝f (x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x＝x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同．
(2)若f (x)在(a，b)内有极值，那么f (x)在(a，b)内不是单调函数，即在某区间上单调递增或单调递减的函数没有极值．
[学以致用]　1．已知函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
探究2　求函数的极值
[典例讲评]　2．求下列函数的极值．
(1)f (x)＝x3－x2－3x＋3；
(2)f (x)＝＋3ln x．
[尝试解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求可导函数f (x)极值的步骤
(1)定义域：求函数的________．
(2)求导：求函数的________．
(3)令f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0________，即导函数f ′(x)的零点．
(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内．
(5)结论：若导数f ′(x)在x＝x0附近左正右负，则函数f (x)在x＝x0处取得________；若左负右正，则函数f (x)取得________．
[学以致用]　2．(源自人教B版教材)已知函数f (x)＝x3－4x＋4，求函数的极值，并作出函数图象的示意图．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　由极值求参数的值或范围
[典例讲评]　3．(1)已知函数f (x)＝x3－2ax2＋a2x＋1在x＝1处取得极小值，则a的值为(　　)
A．1 B．3 C．1或3 D．－1或3
(2)已知函数f (x)＝(x－2)ex与g(x)＝x ln x＋ax有相同的极值点，则实数a＝(　　)
A．－1 B．－ C．2 D．ln 2＋1
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
[学以致用]　3．已知函数f (x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极大值，则m的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．1或3
1．函数f (x)＝x3－24x的极大值点为(　　)
A．－2 B．32 C．2 D．－32
2．已知函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则f (x)(　　)
A．既有极小值，也有极大值
B．有极小值，但无极大值　
C．有极大值，但无极小值
D．既无极小值，也无极大值
3．函数f (x)＝ax3＋bx在x＝1处取得极值－2，则a，b的值分别为(　　)
A．1，－3 B．1，3
C．－1，3 D．－1，－3
4．函数f (x)＝ln x－x在区间(0，e]上的极大值为________．
1．知识链：(1)函数极值的概念．
(2)函数极值的判定及求法．
(3)函数极值的应用．
2．方法链：方程思想、分类讨论．
3．警示牌：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件．
5/5

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