资源简介

5.4.3　正切函数的性质与图象
[学习目标]　1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(直观想象、数学抽象)
2．能利用正切函数的图象与性质解决有关问题．(直观想象、数学运算)
[讨论交流]　预习教材P209－P212，并思考以下问题：
问题1．如何借助单位圆画正切函数图象？
问题2．正切函数的性质有哪些？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　正切函数的定义域、周期性与奇偶性
探究问题1　结合与正切有关的诱导公式：tan (π＋α)＝tan α，tan (－α)＝－tan α，说明正切函数有什么性质？
提示：tan (π＋x)＝tan x说明y＝tan x是周期函数，tan (－x)＝－tan x说明y＝tan x是奇函数．
[新知生成]
正切函数y＝tan x，x∈R且x≠kπ＋，k∈Z，是奇函数，也是周期函数，其最小正周期是π．
[典例讲评]　1．(1)函数f (x)＝tan 的最小正周期为(　　)
A． 　　　B． 　　　C．π 　　　D．2π
(2)函数y＝的定义域为________．
(1)A　(2)　[(1)函数f (x)＝tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝，直接利用公式，可得T＝．故选A．
(2)由题意可知，要使tan x有意义，则x≠＋kπ，k∈Z．
又分母tan x≠0，解得x≠kπ，k∈Z．
综合可得x≠，k∈Z．
所以y＝的定义域为．]
　与正切函数有关的周期性、奇偶性解题策略
(1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f (－x)与f (x)的关系．
[学以致用]　1．函数f (x)＝cos ＋tan x为(　　)
A．奇函数　　　　　 B．偶函数
C．非奇非偶函数 　　　 D．既是奇函数又是偶函数
A　[f (x)＝cos ＋tan x＝sin x＋tan x，其定义域为，定义域关于原点对称，f (－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f (x)，故函数f (x)为奇函数．]
探究2　正切函数的图象及性质
探究问题2　如图，在单位圆中，切线AT交OB于T，则AT与tan x有什么关系？由此想一下，如何画y＝tan x，x∈的图象？
提示：AT＝tan x．
当x∈时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．我们可以利用线段AT画出函数y＝tan x，x∈的图象，如图所示．
探究问题3　利用函数的图象，你能确定正切曲线的对称中心吗？
提示：对称中心，k∈Z．
[新知生成]
正切函数的图象
解析式 y＝tan x
正切曲线
对称中心 ，k∈Z
渐近线 正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线 x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的
【教用·微提醒】　画正切函数在区间内的简图，常用“三点两线”法，三点：，(0，0)，，两线：x＝－，x＝．
[典例讲评]　2．(1)图中的图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan |x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)
a　　　　　　　　b
c　　　　　　　　d
A．①②③④ 　　　 B．①③④②
C．③②④① 　　　 D．①②④③
(2)(多选)与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是(　　)
A．x＝ 　　　 B．x＝－
C．x＝ 　　　 D．x＝－
(1)D　(2)AD　[(1)y＝tan (－x)＝－tan x在上是单调递减的，只有图象d符合，即d对应③．故选D．
(2)令2x－＋kπ，k∈Z，
得x＝，k∈Z，∴直线x＝，k∈Z与函数y＝tan (2x－)的图象不相交，
令k＝－1，得x＝－，
令k＝0，得x＝．]
　解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法
(1)作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案．
(2)性质法：研究相关函数的性质(特别是定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、特殊点、函数值变化规律等)，排除相关选项，从而确定正确答案．
[学以致用]　2．(1)y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为(　　)
A．π 　　　B． 　　　C． 　　　D．π
(2)函数y＝tan (x＋)的一个对称中心是(　　)
A．(0，0) 　　　B． 　　　C． 　　　D．(π，0)
(1)C　(2)C　[(1)y＝tan 3x的周期为，所以y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为．
(2)令x＋，k∈Z，得x＝，k∈Z，
所以函数y＝tan 的对称中心是，k∈Z．
令k＝2，可得函数的一个对称中心为．]
探究3　正切函数的单调性、值域
[新知生成]
单调性 正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增
值域 正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R
【教用·微提醒】　正切函数在每一个区间(k∈Z)上是单调递增的，但在整个定义域上不具有单调性．
[典例讲评]　3．已知函数f (x)＝3tan ．
(1)求f (x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f (π)与f 的大小．
[解]　(1)因为f (x)＝3tan ＝－3tan ，
所以f (x)的最小正周期T＝＝4π．
由kπ－得4kπ－因为y＝3tan 在(k∈Z)上单调递增，
所以f (x)＝3tan 的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)f (π)＝3tan ＝3tan ＝－3tan ，
f ()＝3tan ＝3tan ＝－3tan ，
因为0<，
且y＝tan x在上单调递增，
所以tan ，所以f (π)>f ．
　1．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
2．求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法
当ω>0时，先把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可；当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
[学以致用]　3．(源自湘教版教材)利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)tan (－3)，tan (－3.1)；
(2)tan ，tan ．
[解]　(1)由于 －－π<－3.1<－3<－π，
且函数y＝tan x 在区间上单调递增，
因此tan (－3.1)(2)由于－＋π<＋π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，
因此tan ．
【教用·备选题】　利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小．
①tan 220°________tan 200°；
②tan ________tan ．
①>　②>　[①tan 220°＝tan 40°，tan 200°＝tan 20°，
因为y＝tan x在上单调递增，
所以tan 220°>tan 200°．
②tan ＝tan (π＋)＝tan ，
tan ＝tan ＝tan ，
因为－，
y＝tan x在上单调递增，
所以tan ，
即tan ．]
【链接·教材例题】
例6　求函数y＝tan 的定义域、周期及单调区间．
分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论．
解：自变量x的取值应满足
≠kπ＋，k∈Z，
即x≠2k＋，k∈Z．
所以，函数的定义域是．
设z＝，又tan (z＋π)＝tan z，
所以tan ＝tan ，
即tan ＝tan ．
因为 x∈都有
tan ＝tan ，
所以，函数的周期为2．
由－＋kπ<＋kπ，k∈Z解得
－＋2k因此，函数的单调递增区间为，k∈Z．
1．函数f (x)＝tan 的最小正周期是(　　)
A．2π 　　　B．4π 　　　C．2 　　　D．4
C　[f (x)的最小正周期为＝2．故选C．]
2．函数y＝2tan (－x)是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
A　[y＝2tan (－x)＝－2tan x，为奇函数．]
3．函数y＝tan 在一个周期内的图象是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
A　[法一：利用“三点两线法”列表、描点、连线的方法画简图比较．
法二：当x＝时，tan ＝0，排除C、D．
当x＝时，tan ＝tan ，无意义，排除B．故选A．]
4．不等式tan x>－1的解集是________．
　[正切函数最小正周期为π，在上单调递增，tan ＝－1，
所以不等式tan x>－1的解集为．]
1．知识链：(1)正切函数图象的画法．
(2)正切函数的性质．
2．方法链：整体代换、公式法、换元法．
3．警示牌：(1)最小正周期T＝．
(2)对称中心为(k∈Z)．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？
[提示]　
性质 正切函数(y＝tan x) 正弦函数(y＝sin x)、余弦函数(y＝cos x)
定义域 R
值域 R [－1，1]
最值 无 最大值为1
最小值为－1
单调性 仅有单调递增区间，不存在单调递减区间 单调递增区间、单调递减区间均存在
奇偶性 奇函数 正弦函数是奇函数
余弦函数是偶函数
周期性 T＝π T＝2π
对称性 有无数个对称中心，不存在对称轴 对称中心和对称轴均有无数个
课时分层作业(五十一)　正切函数的性质与图象
一、选择题
1．y＝tan x(　　)
A．在整个定义域上单调递增
B．在整个定义域上单调递减
C．在每一个开区间(k∈Z)上单调递增
D．在每一个闭区间(k∈Z)上单调递增
C　[函数y＝tan x是周期函数，在每一个开区间(k∈Z)上单调递增，但在整个定义域上不是单调函数．故选C．]
2．函数f (x)＝|tan 2x|是(　　)
A．周期为π的奇函数　　 B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数 　　 D．周期为的偶函数
D　[f (－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f (x)，为偶函数，T＝．]
3．函数f (x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是(　　)
A．1　　　B．2 　　　C．4　　　D．8
C　[由题意可得f (x)的最小正周期为，则，又∵ω>0，∴ω＝4．]
4．设a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>c>b 　　　 B．c>b>a
C．a>b>c 　　　 D．b>c>a
A　[由题意得，
函数y＝tan x在上单调递增且tan x>0，
在上单调递增且tan x<0，
因为<2<3<π，
所以tan 20，
所以a>c>b．故选A．]
5．(多选)已知函数f (x)＝tan ，则下列命题中正确的有(　　)
A．f (x)的最小正周期为
B．f (x)的定义域为
C．f (x)图象的对称中心为，k∈Z
D．f (x)的单调递增区间为，k∈Z
ACD　[由题知，函数f (x)＝tan ，
所以f (x)的最小正周期为T＝，故A正确；
f (x)的定义域满足2x－＋kπ，k∈Z，
即x≠(k∈Z)，
所以f (x)的定义域为，故B错误；
f (x)图象的对称中心应满足2x－，k∈Z，
即x＝，k∈Z．
所以f (x)图象的对称中心为，k∈Z，故C正确；
f (x)的单调递增区间应满足－＋kπ<2x－＋kπ，k∈Z，即，k∈Z，
所以f (x)的单调递增区间为，k∈Z，故D正确．故选ACD．]
二、填空题
6．若函数y＝3tan 的最小正周期是，则ω＝________．
±2　[由可知ω＝±2．]
7．函数y＝tan2x－2tan x＋2的最小值为________．
1　[y＝(tan x－1)2＋1，由于tan x∈R，所以当tan x＝1时，此函数取最小值1．]
8．比较大小：tan ________tan ．
>　[因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，
又0<，
y＝tan x在上单调递增，
所以tan ，
即tan ．]
三、解答题
9．设函数f (x)＝tan ．
(1)求函数f (x)的单调区间及对称中心；
(2)求不等式－1≤f (x)≤的解集．
[解]　(1)由－＋kπ<＋kπ(k∈Z)，
得－＋2kπ所以函数f (x)的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间．
由(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
故函数f (x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)由－1≤tan ，
得－＋kπ≤＋kπ(k∈Z)，
解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以不等式－1≤f (x)≤的解集是．
10．函数y＝tan x＋sin x－内的图象是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
D　[当＜x＜π，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；
当x＝π时，y＝0；
当π＜x＜时，tan x＞sin x，y＝2sin x．故选D．]
11．已知函数y＝tan ωx在区间内单调递减，则(　　)
A．0<ω≤1 　　　 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 　　　 D．ω≤－1
B　[∵y＝tan ωx在内单调递减，
∴ω<0且T＝≥π，
∴－1≤ω<0．]
12．(多选)下列不等式中，正确的是(　　)
A．tan B．tan >tan
C．tan 4D．tan 281°>tan 665°
AB　[已知正切函数y＝tan x在上单调递增，
∵tan ＝tan ＝tan ，且－<－，
∴tan ，故A正确；
∵tan ＝tan ＝tan ，
tan ＝tan ＝tan ，
且－<－<－，
∴tan ，故B正确；
∵<3<π<4<，
∴tan 4>0>tan 3，故C错误；
∵tan 281°＝tan (360°－79°)＝tan (－79°)，
tan 665°＝tan (720°－55°)＝tan (－55°)，
且－90°<－79°<－55°<0°，
∴tan 281°13．已知函数f (x)＝a sin x＋b tan x－1(a，b∈R)，若f (－2)＝2 023，则f (2)＝________．
－2 025　[依题意，f (x)的定义域为，关于原点对称，
设g(x)＝f (x)＋1＝a sin x＋b tan x，
则g(－x)＝a sin (－x)＋b tan (－x)＝－(a sin x＋b tan x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，则有f (2)＋1＋f (－2)＋1＝g(2)＋g(－2)＝0，而f (－2)＝2 023，所以f (2)＝－2 025．]
14．画出函数y＝|tan x|＋tan x的图象，并根据图象求出函数的定义域、值域、单调区间、最小正周期．
[解]　因为y＝|tan x|＋tan x
＝
所以画出函数y＝|tan x|＋tan x的图象，如图所示：
则该函数的定义域是，值域是[0，＋∞)，单调递增区间是，k∈Z，最小正周期是π．
15．已知函数f (x)，任意x1，x2∈(x1≠x2)，给出下列结论：
①f (x＋π)＝f (x)；②f (－x)＝f (x)；③f (0)＝1；④>0；⑤f >．
当f (x)＝tan x时，正确结论的序号为________．
①④　[由于f (x)＝tan x的周期为π，故①正确；
函数f (x)＝tan x为奇函数，故②不正确；
f (0)＝tan 0＝0，故③不正确；
④表明函数在上单调递增，而f (x)＝tan x在区间上单调递增，故④正确；
⑤由函数f (x)＝tan x的图象可知，设A＝，B＝f ，
故函数在区间上有f ，
在区间上有f ，故⑤不正确．]
14/14课时分层作业(五十一)　正切函数的性质与图象
一、选择题
1．y＝tan x(　　)
A．在整个定义域上单调递增
B．在整个定义域上单调递减
C．在每一个开区间(k∈Z)上单调递增
D．在每一个闭区间(k∈Z)上单调递增
2．函数f (x)＝|tan 2x|是(　　)
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为的偶函数
3．函数f (x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是(　　)
A．1 　　　B．2　　　 C．4 　　　D．8
4．设a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>c>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>c>a
5．(多选)已知函数f (x)＝tan ，则下列命题中正确的有(　　)
A．f (x)的最小正周期为
B．f (x)的定义域为
C．f (x)图象的对称中心为，k∈Z
D．f (x)的单调递增区间为，k∈Z
二、填空题
6．若函数y＝3tan 的最小正周期是，则ω＝________．
7．函数y＝tan2x－2tan x＋2的最小值为______．
8．比较大小：tan ________tan ．
三、解答题
9．设函数f (x)＝tan ．
(1)求函数f (x)的单调区间及对称中心；
(2)求不等式－1≤f (x)≤的解集．
10．函数y＝tan x＋sin x－内的图象是(　　)
A　　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
11．已知函数y＝tan ωx在区间内单调递减，则(　　)
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
12．(多选)下列不等式中，正确的是(　　)
A．tan B．tan >tan
C．tan 4D．tan 281°>tan 665°
13．已知函数f (x)＝a sin x＋b tan x－1(a，b∈R)，若f (－2)＝2 023，则f (2)＝________．
14．画出函数y＝|tan x|＋tan x的图象，并根据图象求出函数的定义域、值域、单调区间、最小正周期．
15．已知函数f (x)，任意x1，x2∈(x1≠x2)，给出下列结论：
①f (x＋π)＝f (x)；②f (－x)＝f (x)；③f (0)＝1；④>0；
⑤f >．
当f (x)＝tan x时，正确结论的序号为________．
3/3(共38张PPT)
5.4.3　正切函数的性质与图象
第五章　三角函数
5.4　三角函数的图象与性质
[学习目标]　1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(直观想象、数学抽象)
2．能利用正切函数的图象与性质解决有关问题．(直观想象、数学运算)
[讨论交流]　预习教材P209－P212，并思考以下问题：
问题1．如何借助单位圆画正切函数图象？
问题2．正切函数的性质有哪些？
整体感知
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　正切函数的定义域、周期性与奇偶性
探究问题1　结合与正切有关的诱导公式：tan (π＋α)＝tan α，
tan (－α)＝－tan α，说明正切函数有什么性质？
探究建构
提示：tan (π＋x)＝tan x说明y＝tan x是周期函数，tan (－x)＝
－tan x说明y＝tan x是奇函数．
[新知生成]
正切函数y＝tan x，x∈R且x≠kπ＋，k∈Z，是__函数，也是____函数，其最小正周期是__．
奇
周期
π
[典例讲评]　1．(1)函数f (x)＝tan 的最小正周期为(　　)
A． 　　　B． 　　　C．π 　　　D．2π
(2)函数y＝的定义域为_________________．
(1)A　(2)　[(1)函数f (x)＝tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝，直接利用公式，可得T＝．故选A．
√
(2)由题意可知，要使tan x有意义，则x≠＋k，k∈Z．
又分母tan x≠0，解得x≠kπ，k∈Z．
综合可得x≠，k∈Z．
所以y＝的定义域为．]
反思领悟　与正切函数有关的周期性、奇偶性解题策略
(1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f (－x)与f (x)的关系．
[学以致用]　1．函数f (x)＝cos ＋tan x为(　　)
A．奇函数　　　　　 B．偶函数
C．非奇非偶函数 　　　 D．既是奇函数又是偶函数
A　[f (x)＝cos ＋tan x＝sin x＋tan x，其定义域为，定义域关于原点对称，f (－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f (x)，故函数f (x)为奇函数．]
√
探究2　正切函数的图象及性质
探究问题2　如图，在单位圆中，切线AT交OB于T，则AT与tan x有什么关系？由此想一下，如何画y＝tan x，x∈的图象？
提示：AT＝tan x．
当x∈时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．我们可以利用线段AT画出函数y＝tan x，x∈的图象，如图所示．
探究问题3　利用函数的图象，你能确定正切曲线的对称中心吗？
提示：对称中心，k∈Z．
[新知生成]
正切函数的图象
解析式 y＝tan x
正切曲线

对称中心
渐近线 正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线_______________所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的
，k∈Z
x＝＋kπ，k∈Z
【教用·微提醒】　画正切函数在区间内的简图，常用“三点两线”法，三点：，(0，0)，，两线：x＝－，x＝．
[典例讲评]　2．(1)图中的图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan |x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)
a　　　　　　　　b
c　　　　　　　　d
A．①②③④ 　　　 B．①③④②
C．③②④① 　　　 D．①②④③
√
(2)(多选)与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是(　　)
A．x＝ 　　　 B．x＝－
C．x＝ 　　　 D．x＝－
√
√
(1)D　(2)AD　[(1)y＝tan (－x)＝－tan x在上是单调递减的，只有图象d符合，即d对应③．故选D．
(2)令2x－＋kπ，k∈Z，
得x＝，k∈Z，∴直线x＝，k∈Z与函数y＝tan (2x－)的图象不相交，令k＝－1，得x＝－，
令k＝0，得x＝．]
反思领悟　解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法
(1)作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案．
(2)性质法：研究相关函数的性质(特别是定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、特殊点、函数值变化规律等)，排除相关选项，从而确定正确答案．
[学以致用]　2．(1)y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为(　　)
A．π 　　　 B． 　　　 C． 　　　 D．π
(2)函数y＝tan (x＋)的一个对称中心是(　　)
A．(0，0) 　　　B． 　　　C． 　　　D．(π，0)
√
√
(1)C　(2)C　[(1)y＝tan 3x的周期为，所以y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为．
(2)令x＋，k∈Z，得x＝，k∈Z，
所以函数y＝tan 的对称中心是，k∈Z．
令k＝2，可得函数的一个对称中心为．]
探究3　正切函数的单调性、值域
[新知生成]
单调性 正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增
值域 正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R
【教用·微提醒】　正切函数在每一个区间(k∈Z)上是单调递增的，但在整个定义域上不具有单调性．
[典例讲评]　3．已知函数f (x)＝3tan ．
(1)求f (x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f (π)与f 的大小．
[解]　(1)因为f (x)＝3tan ＝－3tan ，
所以f (x)的最小正周期T＝＝4π．
由kπ－因为y＝3tan 在(k∈Z)上单调递增，
所以f (x)＝3tan 的单调递减区间为
(k∈Z)．
(2)f (π)＝3tan ＝3tan ＝－3tan ，
f ＝3tan ＝3tan ＝－3tan ，
因为0<，
且y＝tan x在上单调递增，
所以tan ，所以f (π)>f ．
反思领悟　1．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
2．求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法
当ω>0时，先把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可；当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
[学以致用]　3．(源自湘教版教材)利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)tan (－3)，tan (－3.1)；(2)tan ，tan ．
[解]　(1)由于 －－π<－3.1<－3<－π，
且函数y＝tan x 在区间上单调递增，
因此tan (－3.1)(2)由于－＋π<＋π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，因此tan ．
【教用·备选题】　利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小．
①tan 220°________tan 200°；②tan ________tan ．
①>　②>　[①tan 220°＝tan 40°，tan 200°＝tan 20°，
因为y＝tan x在上单调递增，所以tan 220°>tan 200°．
>
>
②tan ＝tan (π＋)＝tan ，tan ＝tan ＝tan ，
因为－，
y＝tan x在上单调递增，
所以tan ，
即tan ．]
【链接·教材例题】
例6　求函数y＝tan 的定义域、周期及单调区间．
分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论．
解：自变量x的取值应满足≠kπ＋，k∈Z，
即x≠2k＋，k∈Z．
所以，函数的定义域是．
设z＝，又tan (z＋π)＝tan z，
所以tan ＝tan ，
即tan ＝tan ．
因为 x∈都有
tan ＝tan ，
所以，函数的周期为2．
由－＋kπ<＋kπ，k∈Z解得－＋2k因此，函数的单调递增区间为，k∈Z．
1．函数f (x)＝tan 的最小正周期是(　　)
A．2π 　　　B．4π 　　　C．2 　　　D．4
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
C　[f (x)的最小正周期为＝2．故选C．]
2．函数y＝2tan (－x)是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
2
3
题号
1
4
√
A　[y＝2tan (－x)＝－2tan x，为奇函数．]
3．函数y＝tan 在一个周期内的图象是(　　)
2
3
题号
4
1
A　[法一：利用“三点两线法”列表、描点、连线的方法画简图比较．
法二：当x＝时，tan ＝0，排除C、D．
当x＝时，tan ＝tan ，无意义，排除B．故选A．]
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
√
4．不等式tan x>－1的解集是______________________________．
2
4
3
题号
1
　[正切函数最小正周期为π，在上单调递增，tan ＝－1，
所以不等式tan x>－1的解集为．]
　
1．知识链：(1)正切函数图象的画法．
(2)正切函数的性质．
2．方法链：整体代换、公式法、换元法．
3．警示牌：(1)最小正周期T＝．
(2)对称中心为(k∈Z)．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？
[提示]　
性质 正切函数(y＝tan x) 正弦函数(y＝sin x)、余弦函数(y＝cos x)
定义域 R
值域 R [－1，1]
最值 无 最大值为1
最小值为－1
单调性 仅有单调递增区间，不存在单调递减区间 单调递增区间、单调递减区间均存在
奇偶性 奇函数 正弦函数是奇函数
余弦函数是偶函数
周期性 T＝π T＝2π
对称性 有无数个对称中心，不存在对称轴 对称中心和对称轴均有无数个
课时分层作业(五十一)
点击页面进入…
正切函数的性质与图象
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS5.4.3　正切函数的性质与图象
[学习目标]　1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(直观想象、数学抽象)
2．能利用正切函数的图象与性质解决有关问题．(直观想象、数学运算)
[讨论交流]　预习教材P209－P212，并思考以下问题：
问题1．如何借助单位圆画正切函数图象？
问题2．正切函数的性质有哪些？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　正切函数的定义域、周期性与奇偶性
探究问题1　结合与正切有关的诱导公式：tan (π＋α)＝tan α，tan (－α)＝－tan α，说明正切函数有什么性质？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[新知生成]
正切函数y＝tan x，x∈R且x≠kπ＋，k∈Z，是____函数，也是________函数，其最小正周期是 ____．
[典例讲评]　1．(1)函数f (x)＝tan 的最小正周期为(　　)
A． 　　　B． 　　　C．π 　　　D．2π
(2)函数y＝的定义域为________．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　与正切函数有关的周期性、奇偶性解题策略
(1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f (－x)与f (x)的关系．
[学以致用]　1．函数f (x)＝cos ＋tan x为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
探究2　正切函数的图象及性质
探究问题2　如图，在单位圆中，切线AT交OB于T，则AT与tan x有什么关系？由此想一下，如何画y＝tan x，x∈的图象？
探究问题3　利用函数的图象，你能确定正切曲线的对称中心吗？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[新知生成]
正切函数的图象
解析式 y＝tan x
正切曲线
对称中心 ________________
渐近线 正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线 ________________所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的
[典例讲评]　2．(1)图中的图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan |x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)
a　　　　　　　　　　b
c　　　　　　　　　　d
A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
(2)(多选)与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是(　　)
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝－
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法
(1)作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案．
(2)性质法：研究相关函数的性质(特别是定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、特殊点、函数值变化规律等)，排除相关选项，从而确定正确答案．
[学以致用]　2．(1)y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为(　　)
A．π　　　B．　　　C．　　　D．π
(2)函数y＝tan 的一个对称中心是(　　)
A．(0，0) B．
C． D．(π，0)
探究3　正切函数的单调性、值域
[新知生成]
单调性 正切函数在每一个区间(＋kπ，)(k∈Z)上都单调递增
值域 正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R
[典例讲评]　3．已知函数f (x)＝3tan ．
(1)求f (x)的最小正周期和单调递减区间；
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
(2)试比较f (π)与f 的大小．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　
1．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
2．求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法
当ω>0时，先把ωx＋φ看成一个整体，解＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可；当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
[学以致用]　3．(源自湘教版教材)利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)tan (－3)，tan (－3.1)；
(2)tan ，tan ．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．函数f (x)＝tan 的最小正周期是(　　)
A．2π　　　B．4π　　　C．2　　　D．4
2．函数y＝2tan (－x)是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
3．函数y＝tan 在一个周期内的图象是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
4．不等式tan x>－1的解集是________．
1．知识链：(1)正切函数图象的画法．
(2)正切函数的性质．
2．方法链：整体代换、公式法、换元法．
3．警示牌：(1)最小正周期T＝．
(2)对称中心为(k∈Z)．
1/6

展开更多......

收起↑