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5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第1课时　周期性与奇偶性
[学习目标]　1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期．(数学抽象、逻辑推理)
2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象)
[讨论交流]　预习教材P201－P202，并思考以下问题：
问题1．周期函数的定义是什么？
问题2．如何利用周期函数的定义求正弦、余弦函数的周期？
问题3．正弦、余弦函数是否具有奇偶性？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　正弦函数、余弦函数的周期
探究问题　观察下面正弦函数的图象，可以发现横坐标每隔2π个单位长度，对应点的纵坐标都相同，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．如何用数学语言描述这一现象？
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[新知生成]
1．函数的周期性
一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个____________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且________，那么函数f (x)就叫做周期函数．________叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
3．正弦函数是________，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
4．余弦函数是________，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
[典例讲评]　1．求下列三角函数的最小正周期T：
(1)f (x)＝7sin 2x，x∈R；
[尝试解答]___________________________________________________________
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(2)f (x)＝cos ；
(3)f (x)＝|sin x|．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　求三角函数周期的方法
(1)定义法：利用周期函数的定义求解．
(2)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可．
(3)公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝．
提醒：y＝|A sin (ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝．
[学以致用]　1．(1)若函数f (x)＝cos 的最小正周期为π，则ω＝(　　)
A．1　　　B．±1　　　C．2　　　D．±2
(2) 函数y＝|cos x|的最小正周期为______．
探究2　正弦函数、余弦函数的奇偶性
[新知生成]
函数 y＝sin x y＝cos x
图象 图象关于______对称 图象关于____轴对称
奇偶性 ______ ________
对称性 (1)对称中心为____________； (2)对称轴x＝________________ (1)对称中心为_____________； (2)对称轴x＝_______________
[典例讲评]　2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝sin ；
(2)f (x)＝x2cos ；
(3)f (x)＝．
[尝试解答]___________________________________________________________
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1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称．
二看f (x)与f (－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
3．与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
(2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
[学以致用]　2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝x sin (π－x)；
(2)f (x)＝cos sin ．
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探究3　三角函数奇偶性与周期性的综合应用
[典例讲评]　3．定义在R上的函数f (x)既是偶函数，又是周期函数，若f (x)的最小正周期为π，且当x∈时，f (x)＝sin x，则f ＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．　　　D．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]　
1．在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他不变，则f 的值为________．
2．若本例中条件变为定义在R上的函数f (x)既是偶函数，又是周期函数，f ＝－f (x)，f ＝1，则f 的值为______．
　处理三角函数奇偶性和周期性的综合应用问题立足一点：把待求向已知转化．
(1)周期性的作用在于大化小．
(2)奇偶性的作用在于负化正．
两者相互作用，便可把待求转化到已知区间中，最终用代入法求值．
[学以致用]　3．(1)设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y＝f (x)的图象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
(2)函数y＝f (x)是R上的周期为3的偶函数，且f (－2)＝3，则f (2 024)＝________．
1．设函数f (x)＝sin ，则f (x)的最小正周期为(　　)
A．　　　B．π　　　C．2π　　　D．4π
2．函数f (x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
3．已知a∈R，函数f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a＝________．
4．已知f (x)为奇函数，且周期为，若f ＝－1，则f ＝________．
1．知识链：(1)周期函数的概念，三角函数的周期．
(2)三角函数的奇偶性．
(3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用．
2．方法链：定义法、公式法、数形结合法．
3．警示牌：求函数y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的最小正周期时，误认为T＝．
1/6第2课时　单调性与最值
[学习目标]　1．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间．(数学运算)
2．能利用单调性比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题．(逻辑推理、数学运算)
[讨论交流]　预习教材P204－P207，并思考以下问题：
问题1．正弦、余弦函数的单调区间分别是什么？
问题2．正弦、余弦函数的最值分别是多少？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　正弦函数、余弦函数的单调性与最值
探究问题1　观察正弦函数y＝sin x，x∈的图象，当x由－增大到时，曲线是如何变化的？相应函数值又是怎样变化的？
探究问题2　观察余弦函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象，当x由－π增大到π时，曲线是如何变化的？相应函数值又是怎样变化的？
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[新知生成]
正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象
值域 ________ ________
单调性 在______________上单调递增，在________________上单调递减 在________上单调递增，在________上单调递减
最值 当x＝________时，ymax＝1；当x＝________时，ymin＝－1 当x＝________时，ymax＝1；当x＝__________时，ymin＝－1
[典例讲评]　1．求函数y＝2sin 的单调区间．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]　
1．求函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调区间．
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2．求函数y＝sin 的单调递增区间．
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　求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧
(1)数形结合法：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)整体代换：在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间的方法同上．
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
[学以致用]　1．求下列函数的单调区间：
(1)y＝sin ；
(2)y＝2cos ．
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探究2　利用三角函数的单调性比较大小
[典例讲评]　2．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)cos ，cos ；
(2)cos 1，sin 1；
(3)sin 164°与cos 110°．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数．
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．
(3)利用函数的单调性比较大小．
[学以致用]　2．(源于湘教版教材)利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)sin (－1)，sin (－1.1)；
(2)cos ，cos ．
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探究3　正、余弦函数的最值(值域)问题
[典例讲评]　3．求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值．
(1)y＝－4sin x＋5；
(2)y＝cos2x－sinx＋1．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　三角函数最值问题的3种常见类型及求解方法
(1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的________，注意对________的讨论．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得________的范围，然后求得______________的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝________，转化为二次函数y＝________求最值，t的范围需要根据________来确定．
[学以致用]　3．(1)函数y＝cos ，x∈的值域是(　　)
A． 　　　 B．
C． 　　　 D．
(2)函数y＝sin2x－4sinx的最大值为______．
1．下列命题中正确的是(　　)
A．y＝cos x在第一象限和第四象限内单调递减
B．y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增
C．y＝cos x在上单调递减
D．y＝sin x在上单调递增
2．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为(　　)
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
3．sin ________sin (填“＞”或“＜”)．
4．函数f (x)＝cos 的单调递减区间是____________．
1．知识链：(1)正弦、余弦函数的单调性与最值．
(2)正弦、余弦函数单调性的应用．
2．方法链：整体代换、换元法．
3．警示牌：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围．
2/6(共43张PPT)
第2课时　单调性与最值
第五章　三角函数
5.4　三角函数的图象与性质
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
[学习目标]　1．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间．(数学运算)
2．能利用单调性比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题．(逻辑推理、数学运算)
[讨论交流]　预习教材P204－P207，并思考以下问题：
问题1．正弦、余弦函数的单调区间分别是什么？
问题2．正弦、余弦函数的最值分别是多少？
整体感知
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　正弦函数、余弦函数的单调性与最值
探究问题1　观察正弦函数y＝sin x，x∈的图象，当x由－增大到时，曲线是如何变化的？相应函数值又是怎样变化的？
探究建构
提示：当x由－增大到时，曲线逐渐上升，sin x的值由－1增大到1．
当x由增大到时，曲线逐渐下降，sin x的值由1减小到－1．
探究问题2　观察余弦函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象，当x由－π增大到π时，曲线是如何变化的？相应函数值又是怎样变化的？
提示：当x由－π增大到0时，曲线逐渐上升，cos x的值由－1增大到1．
当x由0增大到π时，曲线逐渐下降，cos x的值由1减小到－1．
[新知生成]
正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象



值域 ____________ ____________
[－1，1]
[－1，1]
正弦函数 余弦函数
单调性 在____________________上单调递增， 在____________________上单调递减 在________________上单调递增，在______________上单调递减
最值 当x＝________时，ymax＝1；当x＝_________时，ymin＝－1 当x＝____时，ymax＝1；
当x＝________时，ymin＝－1
[－π＋2kπ，2kπ]
[2kπ，π＋2kπ]
＋2kπ
2kπ
π＋2kπ
【链接·教材例题】
例5　求函数y＝sin ，x∈[－2π，2π]的单调递增区间．
分析：令z＝，x∈[－2π，2π]，当自变量x的值增大时，z的值也随之增大，因此若函数y＝sin z在某个区间上单调递增，则函数y＝sin 在相应的区间上也一定单调递增．
解：令z＝，x∈[－2π，2π]，则x∈．
因为y＝sin z，z∈的单调递增区间是，且由
－，得－．
所以，函数y＝sin ，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是．
[典例讲评]　1．求函数y＝2sin 的单调区间．
[解]　令z＝x－，则y＝2sin z．∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin z单调递增时，函数y＝2sin 也单调递增．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin 的单调递增区间为
(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin 的单调递减区间为(k∈Z)．
[母题探究]　
1．求函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调区间．
[解]　由例题知f (x)＝2sin 的单调递增区间为(k∈Z)．又∵x∈[0，2π]，∴0≤x≤≤x≤2π，
同理函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调递减区间为．
∴函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调递增区间为，，单调递减区间为．
2．求函数y＝sin 的单调递增区间．
[解]　y＝sin ＝－sin ，令z＝x－，而y＝－sin z的单调递增区间是，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函数y＝sin 的单调递增区间为[＋2k，]，k∈Z．
反思领悟　求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧
(1)数形结合法：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)整体代换：在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间的方法同上．
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
[学以致用]　1．求下列函数的单调区间：
(1)y＝sin ；(2)y＝2cos ．
[解]　(1)y＝sin ＝－sin ，
由2kπ－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
由2kπ＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数y＝sin 的单调递增区间是，k∈Z，单调递减区间是，k∈Z．
(2)由2kπ≤3x－≤2kπ＋π，k∈Z，得，k∈Z，
由2kπ－π≤3x－≤2kπ，k∈Z，得，k∈Z，
所以函数y＝2cos 的单调递增区间是，k∈Z，单调递减区间是，k∈Z．
探究2　利用三角函数的单调性比较大小
【链接·教材例题】
例4　不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)sin 与sin ；(2)cos 与cos ．
分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．
解：(1)因为－<－<－<0，
正弦函数y＝sin x在区间上单调递增，
所以sin ．
(2)cos ＝cos ＝cos ，cos ＝cos ＝cos ．
因为0<<π，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，
所以cos ，即cos ．
[典例讲评]　2．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)cos ，cos ；(2)cos 1，sin 1；(3)sin 164°与cos 110°．
[解]　(1)cos ＝cos ，cos ＝cos ，
因为0<<π，又y＝cos x在[0，π]上单调递减，
所以cos ，即cos ．
(2)因为cos 1＝sin ，又0<－1<1<，且y＝sin x在上单调递增，
所以sin (3)sin 164°＝sin(180°－16°)＝sin 16°，
cos 110°＝cos(90°＋20°)＝－sin 20°＝sin(－20°)．
因为y＝sin x在上单调递增，
所以sin(－20°)反思领悟　比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数．
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．
(3)利用函数的单调性比较大小．
[学以致用]　2．(源于湘教版教材)利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)sin (－1)，sin (－1.1)；
(2)cos ，cos ．
[解]　(1)由于－<－1.1<－1<，
且y＝sin x在区间上单调递增，
因此sin (－1)>sin (－1.1)．
(2)由于π<<2π，且y＝cos x在区间[π，2π]上单调递增，因此cos ．
【教用·备选题】
下列关系式中正确的是(　　)
A．sin 11°C．sin 11°A　[因为sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，所以只需比较
sin 11°，sin 12°，sin 80°的大小．因为y＝sin x在上单调递增，
所以sin 11°√
【链接·教材例题】
例3　下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值．
(1)y＝cos x＋1，x∈R；
(2)y＝－3sin 2x，x∈R．
探究3　正、余弦函数的最值(值域)问题
解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．
(1)使函数y＝cos x＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cos x，x∈R取得最大值的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}；
使函数y＝cos x＋1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y＝
cos x，x∈R取得最小值的x的集合{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}．
函数y＝cos x＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0．
(2)令z＝2x，使函数y＝－3sin z，z∈R取得最大值的z的集合，就是使y＝sin z，z∈R取得最小值的z的集合
．
由2x＝z＝－＋2kπ，得x＝－＋kπ．
所以，使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是
．
同理，使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是
．
函数y＝－3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3．
[典例讲评]　3．求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值．
(1)y＝－4sin x＋5；(2)y＝cos2x－sin x＋1．
[解]　(1)函数y＝－4sin x＋5取最大值和最小值时，y＝sin x正好取最小值和最大值，
当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝9；
当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝1．
(2)令t＝sin x，则cos2x＝1－sin2x＝1－t2，
所以y＝－t2－t＋2，t∈[－1，1]．
所以y＝－t2－t＋2＝－＋，t∈[－1，1]．
当t＝－，即sin x＝－＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝；
当t＝1，即sin x＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝0．
发现规律　三角函数最值问题的3种常见类型及求解方法
(1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的______，注意对______的讨论．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得________的范围，然后求得_________________________的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝a sin2x＋b sin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝_______，转化为二次函数y＝__________求最值，t的范围需要根据______来确定．
有界性
a正负
ωx＋φ
sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))
sin x
at2＋bt＋c
定义域
[学以致用]　3．(1)函数y＝cos ，x∈的值域是(　　)
A． 　B．　　C． 　　D．
(2)函数y＝sin2x－4sin x的最大值为_____．
(1)C　(2)5　[(1)当0≤x≤时，，
∴－1≤cos ．
(2)y＝sin2x－4sin x＝(sin x－2)2－4．∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝－1时，y取到最大值5．]
√
5　
【教用·备选题】　求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值．
(1)y＝－sin2x＋sin x＋；
(2)y＝cos2x－sin x，x∈．
[解]　(1)y＝－sin2x＋sin x＋＝－＋2．
因为－1≤sin x≤1，所以当sin x＝，
即x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝2；
当sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，
ymin＝．
(2)y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x＝－＋．
因为－，所以－≤sin x≤，
所以当sin x＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；
当sin x＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝．
1．下列命题中正确的是(　　)
A．y＝cos x在第一象限和第四象限内单调递减
B．y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增
C．y＝cos x在上单调递减
D．y＝sin x在上单调递增
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
D　[对于y＝cos x，该函数的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，故A错误，C错误；对于y＝sin x，该函数的单调递增区间为，k∈Z，故B错误，D正确．]
2．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为(　　)
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
2
3
题号
1
4
√
C　[∵y＝2－sin x，∴当sin x＝－1时，ymax＝3，此时x＝－＋2kπ(k∈Z)．]
3．sin ________sin (填“＞”或“＜”)．
2
3
题号
4
1
＞　[sin ＝sin ＝sin ，
因为0＜，y＝sin x在上单调递增，
所以sin ＜sin ，即sin ＞sin ．]
＞　
4．函数f (x)＝cos (2x－)的单调递减区间是___________________.
2
4
3
题号
1
(k∈Z)　[令2kπ≤2x－≤π＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
即f (x)＝cos 的单调递减区间是(k∈Z)．]
(k∈Z)　
1．知识链：(1)正弦、余弦函数的单调性与最值．
(2)正弦、余弦函数单调性的应用．
2．方法链：整体代换、换元法．
3．警示牌：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间？
[提示]　把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间．若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．如何利用函数单调性比较sin α与sin β的大小关系？
3．求三角函数最值或值域的常用方法有哪些？
[提示]　比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
[提示]　单调性法、配方法或换元法等．
课时分层作业(五十)
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单调性与最值
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS课时分层作业(四十九)　周期性与奇偶性
一、选择题
1．函数f (x)＝x＋sin x，x∈R(　　)
A．是奇函数，但不是偶函数
B．是偶函数，但不是奇函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
2．下列函数，最小正周期为2π的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝ D．y＝|sin 2x|
3．函数y＝f (x)是定义在R上周期为2的奇函数，若f (－0.5)＝－1，则f (2.5)＝(　　)
A．－1 　　　B．1　　　 C．0 　　　D．0.5
4．函数y＝cos (k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　　)
A．10 　　　B．11　　　 C．12 　　　D．13
5．(多选)设函数f (x)＝sin ，x∈R，则关于f (x)的说法正确的是(　　)
A．最小正周期为π
B．最小正周期为
C．奇函数
D．偶函数
二、填空题
6．写出一个最小正周期为2的奇函数f (x)＝________．
7．设f (x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f (x)＝则＝________．
8．已知f (x)在R上是奇函数，且满足f (x＋4)＝f (x)，当x∈(0，2)时，f (x)＝2x2，则f (7)＝________．
三、解答题
9．已知函数y＝sin x＋．
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求出其最小正周期．
10．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (2＋x)＝f (－x)，若f (－1)＝2，
则f (2 025)＝(　　)
A．－4 　　　B．－2　　　 C．0 　　　D．2
11．图象为如图的函数可能是(　　)
A．y＝x·cos x B．y＝x·sin x
C．y＝x·|cos x| D．y＝x·2x
12．函数f (x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f (a)＝2，则f (－a)的值为(　　)
A．3 　　　B．0　　　 C．－1 　　　D．－2
13．若函数f (x)＝sin (2x＋φ)(－π<φ<π)在R上是偶函数，则φ＝________．
14．若定义在R上的函数f (x)满足f (x)·f (x＋2)＝13．
(1)证明函数f (x)是周期函数；
(2)若f (1)＝2，求f (99)的值．
15．已知函数f (x)＝cos x，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 025)的值．
3/3课时分层作业(五十)　单调性与最值
一、选择题
1．函数y＝sin x，x∈，则y的取值范围是(　　)
A． 　　 B．
C． 　 D．
2．(多选)已知函数f (x)＝sin 在x0处取得最值，则x0可能是(　　)
A．－ 　　　B． 　　　C． 　　　D．
3．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f (x)＝7sin 单调递增的区间是(　　)
A． 　　　 B．
C． 　　　 D．
4．设a＝sin 33°，b＝sin 35°，c＝cos 40°，则(　　)
A．a>b>c 　　　 B．b>c>a　
C．c>b>a 　　　 D．c>a>b
5．函数y＝4cos2x＋4cos x－2的值域是(　　)
A．[－2，6] 　　　 B．[－3，6]
C．[－2，4] 　　　 D．[－3，8]
二、填空题
6．函数y＝sin 取最大值时自变量的取值集合是________．
7．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________．
8．若函数y＝sin x在区间[0，a]上单调递增，则a的取值范围为________．
三、解答题
9．已知函数f (x)＝cos ，x∈，求：
(1)f (x)的最大值和最小值；
(2)f (x)的单调递减区间．
10．已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是(　　)
A．sin αC．cos αcos β
11．(多选)下列不等式中成立的是(　　)
A．sin 1cos 2
C．cos (－70°)>sin 18° D．sin >sin
12．函数y＝的单调递减区间是________．
13．若函数f (x)＝sin ωx(0＜ω＜2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________，f (x)在上的值域为________．
14．求函数y＝sin2x＋a cosx＋的最大值．
15．已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
3/3(共39张PPT)
第1课时　周期性与奇偶性
第五章　三角函数
5.4　三角函数的图象与性质
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
[学习目标]　1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期．(数学抽象、逻辑推理)
2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象)
整体感知
[讨论交流]　预习教材P201－P202，并思考以下问题：
问题1．周期函数的定义是什么？
问题2．如何利用周期函数的定义求正弦、余弦函数的周期？
问题3．正弦、余弦函数是否具有奇偶性？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　正弦函数、余弦函数的周期
探究问题　观察下面正弦函数的图象，可以发现横坐标每隔2π个单位长度，对应点的纵坐标都相同，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．如何用数学语言描述这一现象？
探究建构
提示：sin (α＋2kπ)＝sin α，cos (α＋2kπ)＝cos α，其中k∈Z．
[新知生成]
1．函数的周期性
一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个__________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且______________，那么函数f (x)就叫做周期函数．__________叫做这个函数的周期．
非零常数T
f (x＋T)＝f (x)
非零常数T
2．最小正周期
如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个__________，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
3．正弦函数是________，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
4．余弦函数是________，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
最小的正数
周期函数
周期函数
【教用·微提醒】　(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立．
(2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期．
(3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期．如f (x)＝C(C为常数，x∈R)，是周期函数，但没有最小正周期．
c
【链接·教材例题】
例2　求下列函数的周期：
(1)y＝3sin x，x∈R；
(2)y＝cos 2x，x∈R；
(3)y＝2sin ，x∈R．
c
分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式
f (x＋T )＝f (x)而求出相应的周期．
对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2(x＋T )
＝cos 2x，x∈R；
对于(3)，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出
sin ＝sin ，x∈R．
c
解：(1) x∈R，有3sin (x＋2π)＝3sin x．
由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π．
(2)令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cos z的周期为2π，即
cos (z＋2π)＝cos z，
于是cos (2x＋2π)＝cos 2x，
所以cos 2(x＋π)＝cos 2x，x∈R．
由周期函数的定义可知，原函数的周期为π．
c
(3)令z＝，由x∈R得z∈R，且y＝2sin z的周期为2π，即
2sin (z＋2π)＝2sin z，
于是2sin ＝2sin ，
所以2sin ＝2sin ．
由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π．
c
[典例讲评]　1．求下列三角函数的最小正周期T：
(1) f (x)＝7sin 2x，x∈R；
(2) f (x)＝cos ；
(3) f (x)＝|sin x|．
[解]　(1)因为7sin [2(x＋π)]＝7sin (2x＋2π)＝7sin 2x，由周期函数的定义知，y＝7sin 2x的最小正周期为π．
(2)法一(定义法)：
∵f (x)＝cos ＝cos ＝cos
＝f (x＋π)，即f (x＋π)＝f (x)，
∴函数f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
法二(公式法)：∵f (x)＝cos ，∴ω＝2．
又T＝＝π．∴函数f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
(3)法一(定义法)：∵f (x)＝|sin x|，
∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)，
∴f (x)的最小正周期为π．
法二(图象法)：
作出函数f (x)＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知T＝π．
反思领悟　求三角函数周期的方法
(1)定义法：利用周期函数的定义求解．
(2)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可．
(3)公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝．
提醒：y＝|A sin (ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝．
[学以致用]　1．(1)若函数f (x)＝cos 的最小正周期为π，则ω＝(　　)
A．1　　　B．±1　　　C．2　　　D．±2
(2) 函数y＝|cos x|的最小正周期为_____．
(1)D　(2)π　[(1)因为f (x)的最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝±2．
(2)y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示．
由图象可知，y＝|cos x|的周期为π．]
√
π
探究2　正弦函数、余弦函数的奇偶性
[新知生成]
函数 y＝sin x y＝cos x
图象 图象关于____对称 图象关于__轴对称
奇偶性 ______ ______
对称性 (1)对称中心为____________； (2)对称轴x＝_____________ (1)对称中心为
________________；
(2)对称轴x＝__________
原点
y
奇函数
偶函数
(kπ，0)(k∈Z)
kπ＋，k∈Z
(k∈Z)
kπ，k∈Z
[典例讲评]　2．判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x)＝sin ；(2) f (x)＝x2cos ；
(3) f (x)＝．
[解]　(1)显然x∈R，f (x)＝cos x，f (－x)＝cos ＝cos x＝f (x)，
∴函数f (x)是偶函数．
(2)f (x)＝x2cos ＝－x2sin x，
因为任意x∈R，都有－x∈R．
又f (－x)＝－(－x)2sin (－x)＝x2sin x＝－f (x)，
所以函数f (x)＝x2cos 是奇函数．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z．
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
反思领悟　
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称．
二看f (x)与f (－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
3．与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
(2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
[学以致用]　2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝x sin (π－x)；
(2)f (x)＝cos sin ．
[解]　(1)f (x)＝x sin (π－x)＝x sin x的定义域为R．由于f (－x)＝
－x sin (－x)＝－x(－sin x)＝x sin x＝f (x)，故f (x)为偶函数．
(2)f (x)的定义域为R，由已知可得f (x)＝sin x cos x．
因为f (－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sin x cos x＝－f (x)，
所以f (x)为奇函数．
探究3　三角函数奇偶性与周期性的综合应用
[典例讲评]　3．定义在R上的函数f (x)既是偶函数，又是周期函数，若f (x)的最小正周期为π，且当x∈时，f (x)＝sin x，则f ＝(　　)
A．－　　　C．－
D　[＝f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝sin ．]
√
[母题探究]　
1．在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他不变，
则f 的值为________．
－　[＝f ＝f ＝f
＝f ＝－f ＝－sin ．]
－　
2．若本例中条件变为定义在R上的函数f (x)既是偶函数，又是周期函数，f ＝－f (x)，f ＝1，则f 的值为_____．
1　[∵f ＝－f (x)，∴f (x＋π)＝－f ＝－[－f (x)]＝f (x)，
∴f (x)的周期T＝π，
∴f ＝f ＝f ＝f ＝1．]
1　
反思领悟　处理三角函数奇偶性和周期性的综合应用问题立足一点：把待求向已知转化．
(1)周期性的作用在于大化小．
(2)奇偶性的作用在于负化正．
两者相互作用，便可把待求转化到已知区间中，最终用代入法求值．
[学以致用]　3．(1)设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝
f (x)，则函数y＝f (x)的图象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
√
(2)函数y＝f (x)是R上的周期为3的偶函数，且f (－2)＝3，则f (2 024)＝_____．
(1)B　(2)3　[(1)由f (－x)＝f (x)，则f (x)是偶函数，图象关于y轴对称．
由f (x＋2)＝f (x)，则f (x)的周期为2．故选B．
(2)∵f (x)为周期是3的偶函数，
∴f (2 024)＝f (3×674＋2)＝f (2)＝f (－2)＝3．]
3　
【教用·备选题】　已知f (x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f (x)＝1－sin x，求当x∈时f (x)的解析式．
[解]　当x∈时，3π－x∈，
因为x∈时，f (x)＝1－sin x，
所以f (3π－x)＝1－sin (3π－x)＝1－sin x．
又f (x)是以π为周期的偶函数，所以f (3π－x)＝f (－x)＝f (x)，
所以f (x)的解析式为f (x)＝1－sin x，x∈．
1．设函数f (x)＝sin ，则f (x)的最小正周期为(　　)
A．　　　B．π　　　C．2π　　　D．4π
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
D　[函数f (x)＝sin 的最小正周期T＝＝4π．故选D．]
2．函数f (x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
2
3
题号
1
4
√
A　[∵f (x)＝sin (－x)＝－sin x，∴f (－x)＝sin x．
∴f (－x)＝－f (x)，∴f (x)为奇函数．故选A．]
3．已知a∈R，函数f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a＝____.
2
3
题号
4
1
0　
0　[因为f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，
所以f (0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0．]
4．已知f (x)为奇函数，且周期为，若f ＝－1，则f ＝__.
2
4
3
题号
1
1　
1　[∵T＝，且f (x)为奇函数，
∴f ＝f ＝f ＝－f ＝－(－1)＝1．]
1．知识链：(1)周期函数的概念，三角函数的周期．
(2)三角函数的奇偶性．
(3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用．
2．方法链：定义法、公式法、数形结合法．
3．警示牌：求函数y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的最小正周期时，误认为T＝．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若f (x＋T)＝f (x)，x∈R，则f (x)是周期函数吗？
[提示]　不一定．若T≠0，则f (x)是周期函数，否则不是．
2．你能写出计算f (x)＝A sin (ωx＋φ)与g(x)＝A cos (ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0)的最小正周期的公式吗？
[提示]　函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与g(x)＝A cos (ωx＋φ)
(A≠0，ω≠0)的最小正周期都为T＝．
3．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？
[提示]　正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称．
正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
课时分层作业(四十九)
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周期性与奇偶性
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS第2课时　单调性与最值
[学习目标]　1．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间．(数学运算)
2．能利用单调性比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题．(逻辑推理、数学运算)
[讨论交流]　预习教材P204－P207，并思考以下问题：
问题1．正弦、余弦函数的单调区间分别是什么？
问题2．正弦、余弦函数的最值分别是多少？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　正弦函数、余弦函数的单调性与最值
探究问题1　观察正弦函数y＝sin x，x∈的图象，当x由－增大到时，曲线是如何变化的？相应函数值又是怎样变化的？
提示：当x由－增大到时，曲线逐渐上升，sin x的值由－1增大到1．
当x由增大到时，曲线逐渐下降，sin x的值由1减小到－1．
探究问题2　观察余弦函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象，当x由－π增大到π时，曲线是如何变化的？相应函数值又是怎样变化的？
提示：当x由－π增大到0时，曲线逐渐上升，cos x的值由－1增大到1．
当x由0增大到π时，曲线逐渐下降，cos x的值由1减小到－1．
[新知生成]
正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象
值域 [－1，1] [－1，1]
单调性 在[＋2kπ，]上单调递增，在[＋2kπ，]上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]上单调递增，在[2kπ，π＋2kπ]上单调递减
最值 当x＝＋2kπ时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ时，ymin＝－1 当x＝2kπ时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ时，ymin＝－1
【链接·教材例题】
例5　求函数y＝sin ，x∈[－2π，2π]的单调递增区间．
分析：令z＝，x∈[－2π，2π]，当自变量x的值增大时，z的值也随之增大，因此若函数y＝sin z在某个区间上单调递增，则函数y＝sin 在相应的区间上也一定单调递增．
解：令z＝，x∈[－2π，2π]，则x∈．
因为y＝sin z，z∈的单调递增区间是，且由
－，
得－．
所以，函数y＝sin ，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是．
[典例讲评]　1．求函数y＝2sin 的单调区间．
[解]　令z＝x－，则y＝2sin z．
∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin z单调递增时，
函数y＝2sin 也单调递增．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin 的单调递增区间为(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin 的单调递减区间为(k∈Z)．
[母题探究]　
1．求函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调区间．
[解]　由例题知f (x)＝2sin 的单调递增区间为(k∈Z)．
又∵x∈[0，2π]，∴0≤x≤≤x≤2π，
同理函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调递减区间为．
∴函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调递增区间为，，单调递减区间为．
2．求函数y＝sin 的单调递增区间．
[解]　y＝sin ＝－sin ，令z＝x－，而y＝－sin z的单调递增区间是，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函数y＝sin 的单调递增区间为[＋2k，]，k∈Z．
　求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧
(1)数形结合法：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)整体代换：在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间的方法同上．
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
[学以致用]　1．求下列函数的单调区间：
(1)y＝sin ；
(2)y＝2cos ．
[解]　(1)y＝sin ＝－sin ，
由2kπ－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
由2kπ＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数y＝sin 的单调递增区间是，k∈Z，单调递减区间是，k∈Z．
(2)由2kπ≤3x－≤2kπ＋π，k∈Z，得，k∈Z，
由2kπ－π≤3x－≤2kπ，k∈Z，得，k∈Z，
所以函数y＝2cos 的单调递增区间是，k∈Z，单调递减区间是，k∈Z．
探究2　利用三角函数的单调性比较大小
【链接·教材例题】
例4　不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)sin 与sin ；
(2)cos 与cos ．
分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．
解：(1)因为－<－<－<0，
正弦函数y＝sin x在区间上单调递增，
所以sin ．
(2)cos ＝cos ＝cos ，
cos ＝cos ＝cos ．
因为0<<π，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，
所以cos ，
即cos ．
[典例讲评]　2．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)cos ，cos ；
(2)cos 1，sin 1；
(3)sin 164°与cos 110°．
[解]　(1)cos ＝cos ，cos ＝cos ，
因为0<<π，
又y＝cos x在[0，π]上单调递减，
所以cos ，
即cos ．
(2)因为cos 1＝sin ，又0<－1<1<，且y＝sin x在上单调递增，
所以sin (3)sin 164°＝sin(180°－16°)＝sin 16°，
cos 110°＝cos(90°＋20°)＝－sin 20°＝sin(－20°)．
因为y＝sin x在上单调递增，
所以sin(－20°)即cos 110°　比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数．
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．
(3)利用函数的单调性比较大小．
[学以致用]　2．(源于湘教版教材)利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)sin (－1)，sin (－1.1)；
(2)cos ，cos ．
[解]　(1)由于－<－1.1<－1<，
且y＝sin x在区间上单调递增，
因此sin (－1)>sin (－1.1)．
(2)由于π<<2π，且y＝cos x在区间[π，2π]上单调递增，因此cos ．
【教用·备选题】
下列关系式中正确的是(　　)
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°A　[因为sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，所以只需比较sin 11°，sin 12°，sin 80°的大小．因为y＝sin x在上单调递增，
所以sin 11°即sin 11°探究3　正、余弦函数的最值(值域)问题
【链接·教材例题】
例3　下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值．
(1)y＝cos x＋1，x∈R；
(2)y＝－3sin 2x，x∈R．
解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．
(1)使函数y＝cos x＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cos x，x∈R取得最大值的x的集合
{x|x＝2kπ，k∈Z}；
使函数y＝cos x＋1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y＝cos x，x∈R取得最小值的x的集合
{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}．
函数y＝cos x＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0．
(2)令z＝2x，使函数y＝－3sin z，z∈R取得最大值的z的集合，就是使y＝sin z，z∈R取得最小值的z的集合
．
由2x＝z＝－＋2kπ，得x＝－＋kπ．
所以，使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是
．
同理，使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是
．
函数y＝－3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3．
[典例讲评]　3．求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值．
(1)y＝－4sin x＋5；
(2)y＝cos2x－sin x＋1．
[解]　(1)函数y＝－4sin x＋5取最大值和最小值时，y＝sin x正好取最小值和最大值，
当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝9；
当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝1．
(2)令t＝sin x，则cos2x＝1－sin2x＝1－t2，
所以y＝－t2－t＋2，t∈[－1，1]．
所以y＝－t2－t＋2＝－＋，t∈[－1，1]．
当t＝－，即sin x＝－＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝；
当t＝1，即sin x＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝0．
　三角函数最值问题的3种常见类型及求解方法
(1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝a sin2x＋b sin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
[学以致用]　3．(1)函数y＝cos ，x∈的值域是(　　)
A． 　　　 B．
C． 　　　 D．
(2)函数y＝sin2x－4sin x的最大值为________．
(1)C　(2)5　[(1)当0≤x≤时，，
∴－1≤cos ．
(2)y＝sin2x－4sin x＝(sin x－2)2－4．
∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝－1时，y取到最大值5．]
【教用·备选题】　求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值．
(1)y＝－sin2x＋sin x＋；
(2)y＝cos2x－sin x，x∈．
[解]　 (1)y＝－sin2x＋sin x＋＝－＋2．
因为－1≤sin x≤1，所以当sin x＝，
即x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝2；
当sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝．
(2)y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x
＝－＋．
因为－，所以－≤sin x≤，
所以当sin x＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；当sin x＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝．
1．下列命题中正确的是(　　)
A．y＝cos x在第一象限和第四象限内单调递减
B．y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增
C．y＝cos x在上单调递减
D．y＝sin x在上单调递增
D　[对于y＝cos x，该函数的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，故A错误，C错误；对于y＝sin x，该函数的单调递增区间为，k∈Z，故B错误，D正确．]
2．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为(　　)
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
C　[∵y＝2－sin x，∴当sin x＝－1时，ymax＝3，此时x＝－＋2kπ(k∈Z)．]
3．sin ________sin (填“＞”或“＜”)．
＞　[sin ＝sin ＝sin ，
因为0＜，y＝sin x在上单调递增，所以sin ＜sin ，
即sin ＞sin ．]
4．函数f (x)＝cos (2x－)的单调递减区间是____________．
(k∈Z)　[令2kπ≤2x－≤π＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
即f (x)＝cos 的单调递减区间是(k∈Z)．]
1．知识链：(1)正弦、余弦函数的单调性与最值．
(2)正弦、余弦函数单调性的应用．
2．方法链：整体代换、换元法．
3．警示牌：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间？
[提示]　把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间．若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．如何利用函数单调性比较sin α与sin β的大小关系？
[提示]　比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数最值或值域的常用方法有哪些？
[提示]　单调性法、配方法或换元法等．
课时分层作业(五十)　单调性与最值
一、选择题
1．函数y＝sin x，x∈，则y的取值范围是(　　)
A． 　　 B．
C． 　 D．
B　[由y＝sin x的单调性知，在上函数单调递增，在上函数单调递减，
又sin ，sin ＝1，sin ，
故y∈．故选B．]
2．(多选)已知函数f (x)＝sin 在x0处取得最值，则x0可能是(　　)
A．－ 　　　B． 　　　C． 　　　D．
AC　[当x0＋＋kπ，k∈Z时，f (x) 取得最值．取k＝0，－1，则x0＝或－符合题意．]
3．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f (x)＝7sin 单调递增的区间是(　　)
A． 　　　 B．
C． 　　　 D．
A　[法一(常规求法)：令－＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z．取k＝0，则－≤x≤．因为?，所以区间是函数f (x)的单调递增区间．故选A．
法二(判断单调性法)：当0＜x＜时，－＜x－，所以f (x)在上单调递增，故A正确；当＜x＜π时，＜x－，所以f (x)在上不单调，故B不正确；当π＜x＜时，＜x－，所以f (x)在上单调递减，故C不正确；当＜x＜2π时，＜x－，所以f (x)在上不单调，故D不正确．
故选A．]
4．设a＝sin 33°，b＝sin 35°，c＝cos 40°，则(　　)
A．a>b>c 　　　 B．b>c>a　
C．c>b>a 　　　 D．c>a>b
C　[因为函数y＝sin x在上单调递增，
又c＝cos 40°＝sin 50°，且50°>35°>33°，
则sin 50°>sin 35°>sin 33°，即c>b>a．故选C．]
5．函数y＝4cos2x＋4cos x－2的值域是(　　)
A．[－2，6] 　　　 B．[－3，6]
C．[－2，4] 　　　 D．[－3，8]
B　[y＝4cos2x＋4cos x－2＝(2cos x＋1)2－3．
因为cos x∈[－1，1]，所以当cos x＝－时，ymin＝－3，当cos x＝1时，ymax＝6，因此值域是[－3，6]，故选B．]
二、填空题
6．函数y＝sin 取最大值时自变量的取值集合是________．
　[当＋2kπ，k∈Z，即x＝＋4kπ，k∈Z时，函数取最大值．]
7．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________．
sin 3y＝sin x在上单调递增，且0<π－3<1<π－2<，
∴sin (π－3)故sin 38．若函数y＝sin x在区间[0，a]上单调递增，则a的取值范围为________．
　[因为函数y＝sin x在区间上单调递增，所以[0，a] ，
所以0三、解答题
9．已知函数f (x)＝cos ，x∈，求：
(1)f (x)的最大值和最小值；
(2)f (x)的单调递减区间．
[解]　(1)∵x∈，
∴2x－∈，
易知y＝cos x在上单调递增，
在上单调递减，
故当2x－＝0，即x＝时，f (x)max＝1．
当2x－，即x＝时f (x)min＝－．
(2)由函数y＝cos x的图象知，y＝cos x在上的单调递减区间为．
令0≤2x－，解得≤x≤，故f (x)的单调递减区间为．
10．已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是(　　)
A．sin αC．cos αcos β
B　[因为α，β是锐角三角形的两个内角，故有α＋β>，所以0<－β<α<，
所以cos α11．(多选)下列不等式中成立的是(　　)
A．sin 1cos 2
C．cos (－70°)>sin 18° 　 D．sin >sin
AC　[对于A，因为0<1<，y＝sin x在上单调递增，所以sin 1对于B，因为<π，y＝cos x在上单调递减，所以cos 对于C，cos (－70°)＝cos 70°＝sin 20°>sin 18°，故C正确；
对于D，sin ＝sin ，sin ＝sin ，故D错误．故选AC．]
12．函数y＝的单调递减区间是________．
，k∈Z　[由－2sin x≥0得sin x≤0，解得x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z．
根据复合函数单调性同增异减可知，
函数y＝的单调递减区间是，k∈Z．]
13．若函数f (x)＝sin ωx(0＜ω＜2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________，f (x)在上的值域为________．
　[0，1]　[根据题意知f (x)在x＝处取得最大值1，
∴sin ＝1，∴＝2kπ＋，k∈Z，
即ω＝6k＋，k∈Z．
又0＜ω＜2，∴ω＝．
又f (x)＝sin x，x∈，∴x∈，
∴当x＝，即x＝时，f (x)max＝1．
当x＝0，即x＝0时，f (x)min＝0，
∴f (x)在上的值域为[0，1]．]
14．求函数y＝sin2x＋a cos x＋a－(0≤x≤)的最大值．
[解]　y＝1－cos2x＋a cos x＋a－＝－＋a－，
∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1，
∴当0≤a≤2时，ymax＝a－；
当a>2时，ymax＝a－；
当a<0时，ymax＝a－．
15．已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
[解]　由f (x)是偶函数，
得φ＝kπ＋，k∈Z．
因为0≤φ≤π，所以φ＝．
由f (x)的图象关于点M对称，得f ＝0．
因为f ＝sin ＝cos ，
所以cos ＝0．
又因为ω>0，所以＋kπ，k∈N，
即ω＝k，k∈N．
当k＝0时，ω＝，此时f (x)＝sin 在上单调递减；
当k＝1时，ω＝2，此时f (x)＝sin 在上单调递减；
当k≥2时，ω≥，此时f (x)＝sin 在上不是单调函数．
综上，ω＝或ω＝2.
15/155.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第1课时　周期性与奇偶性
[学习目标]　1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期．(数学抽象、逻辑推理)
2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象)
[讨论交流]　预习教材P201－P202，并思考以下问题：
问题1．周期函数的定义是什么？
问题2．如何利用周期函数的定义求正弦、余弦函数的周期？
问题3．正弦、余弦函数是否具有奇偶性？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　正弦函数、余弦函数的周期
探究问题　观察下面正弦函数的图象，可以发现横坐标每隔2π个单位长度，对应点的纵坐标都相同，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．如何用数学语言描述这一现象？
提示：sin (α＋2kπ)＝sin α，cos (α＋2kπ)＝cos α，其中k∈Z．
[新知生成]
1．函数的周期性
一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f (x＋T )＝f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
3．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
4．余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
【教用·微提醒】　(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立．
(2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期．
(3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期．如f (x)＝C(C为常数，x∈R)，是周期函数，但没有最小正周期．
【链接·教材例题】
例2　求下列函数的周期：
(1)y＝3sin x，x∈R；
(2)y＝cos 2x，x∈R；
(3)y＝2sin ，x∈R．
分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式f (x＋T)＝f (x)而求出相应的周期．
对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2(x＋T)＝cos 2x，x∈R；
对于(3)，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin ＝sin ，x∈R．
解：(1) x∈R，有
3sin (x＋2π)＝3sin x．
由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π．
(2)令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cos z的周期为2π，即
cos (z＋2π)＝cos z，
于是cos (2x＋2π)＝cos 2x，
所以cos 2(x＋π)＝cos 2x，x∈R．
由周期函数的定义可知，原函数的周期为π．
(3)令z＝，由x∈R得z∈R，且y＝2sin z的周期为2π，即
2sin (z＋2π)＝2sin z，
于是2sin ＝2sin ，
所以2sin ＝2sin ．
由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π．
[典例讲评]　1．求下列三角函数的最小正周期T：
(1)f (x)＝7sin 2x，x∈R；
(2)f (x)＝cos ；
(3)f (x)＝|sin x|．
[解]　(1)因为7sin [2(x＋π)]＝7sin (2x＋2π)＝7sin 2x，由周期函数的定义知，y＝7sin 2x的最小正周期为π．
(2)法一(定义法)：
∵f (x)＝cos ＝cos ＝cos ＝f (x＋π)，
即f (x＋π)＝f (x)，
∴函数f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
法二(公式法)：∵f (x)＝cos ，∴ω＝2．
又T＝＝π．∴函数f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
(3)法一(定义法)：∵f (x)＝|sin x|，
∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)，
∴f (x)的最小正周期为π．
法二(图象法)：
作出函数f (x)＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知T＝π．
　求三角函数周期的方法
(1)定义法：利用周期函数的定义求解．
(2)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可．
(3)公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝．
提醒：y＝|A sin (ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝．
[学以致用]　1．(1)若函数f (x)＝cos 的最小正周期为π，则ω＝(　　)
A．1　　　B．±1　　　C．2　　　D．±2
(2) 函数y＝|cos x|的最小正周期为________．
(1)D　(2)π　[(1)因为f (x)的最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝±2．
(2)y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示．
由图象可知，y＝|cos x|的周期为π．]
探究2　正弦函数、余弦函数的奇偶性
[新知生成]
函数 y＝sin x y＝cos x
图象 图象关于原点对称 图象关于y轴对称
奇偶性 奇函数 偶函数
对称性 (1)对称中心为(kπ，0)(k∈Z)； (2)对称轴x＝kπ＋，k∈Z (1)对称中心为(k∈Z)； (2)对称轴x＝kπ，k∈Z
[典例讲评]　2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝sin ；
(2)f (x)＝x2cos ；
(3)f (x)＝．
[解]　(1)显然x∈R，f (x)＝cos x，
f (－x)＝cos ＝cos x＝f (x)，
∴函数f (x)是偶函数．
(2)f (x)＝x2cos ＝－x2sin x，
因为任意x∈R，都有－x∈R．
又f (－x)＝－(－x)2sin (－x)＝x2sin x＝－f (x)，
所以函数f (x)＝x2cos 是奇函数．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z．
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
　
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称．
二看f (x)与f (－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
3．与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
(2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
[学以致用]　2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝x sin (π－x)；
(2)f (x)＝cos sin ．
[解]　(1)f (x)＝x sin (π－x)＝x sin x的定义域为R．由于f (－x)＝－x sin (－x)＝－x(－sin x)＝x sin x＝f (x)，故f (x)为偶函数．
(2)f (x)的定义域为R，
由已知可得f (x)＝sin x cos x．
因为f (－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sin x cos x＝－f (x)，所以f (x)为奇函数．
探究3　三角函数奇偶性与周期性的综合应用
[典例讲评]　3．定义在R上的函数f (x)既是偶函数，又是周期函数，若f (x)的最小正周期为π，且当x∈时，f (x)＝sin x，则f ＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．　　　D．
D　[＝f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝sin ．]
[母题探究]　
1．在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他不变，则f 的值为________．
－　[＝f ＝f ＝f
＝f ＝－f ＝－sin ．]
2．若本例中条件变为定义在R上的函数f (x)既是偶函数，又是周期函数，f ＝－f (x)，f ＝1，则f 的值为________．
1　[∵f ＝－f (x)，
∴f (x＋π)＝－f ＝－[－f (x)]＝f (x)，
∴f (x)的周期T＝π，
∴f ＝f ＝f ＝f ＝1．]
　处理三角函数奇偶性和周期性的综合应用问题立足一点：把待求向已知转化．
(1)周期性的作用在于大化小．
(2)奇偶性的作用在于负化正．
两者相互作用，便可把待求转化到已知区间中，最终用代入法求值．
[学以致用]　3．(1)设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y＝f (x)的图象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
(2)函数y＝f (x)是R上的周期为3的偶函数，且f (－2)＝3，则f (2 024)＝________．
(1)B　(2)3　[(1)由f (－x)＝f (x)，则f (x)是偶函数，图象关于y轴对称．
由f (x＋2)＝f (x)，则f (x)的周期为2．故选B．
(2)∵f (x)为周期是3的偶函数，
∴f (2 024)＝f (3×674＋2)＝f (2)＝f (－2)＝3．]
【教用·备选题】　已知f (x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f (x)＝1－sin x，求当x∈时f (x)的解析式．
[解]　当x∈时，3π－x∈，
因为x∈时，f (x)＝1－sin x，
所以f (3π－x)＝1－sin (3π－x)＝1－sin x．
又f (x)是以π为周期的偶函数，
所以f (3π－x)＝f (－x)＝f (x)，
所以f (x)的解析式为f (x)＝1－sin x，x∈．
1．设函数f (x)＝sin ，则f (x)的最小正周期为(　　)
A．　　　B．π　　　C．2π　　　D．4π
D　[函数f (x)＝sin 的最小正周期T＝＝4π．故选D．]
2．函数f (x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
A　[∵f (x)＝sin (－x)＝－sin x，∴f (－x)＝sin x．
∴f (－x)＝－f (x)，∴f (x)为奇函数．故选A．]
3．已知a∈R，函数f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a＝________．
0　[因为f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，
所以f (0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0．]
4．已知f (x)为奇函数，且周期为，若f ＝－1，则f ＝________．
1　[∵T＝，且f (x)为奇函数，
∴f ＝f ＝f ＝－f ＝－(－1)＝1．]
1．知识链：(1)周期函数的概念，三角函数的周期．
(2)三角函数的奇偶性．
(3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用．
2．方法链：定义法、公式法、数形结合法．
3．警示牌：求函数y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的最小正周期时，误认为T＝．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若f (x＋T)＝f (x)，x∈R，则f (x)是周期函数吗？
[提示]　不一定．若T≠0，则f (x)是周期函数，否则不是．
2．你能写出计算f (x)＝A sin (ωx＋φ)与g(x)＝A cos (ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0)的最小正周期的公式吗？
[提示]　函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与g(x)＝A cos (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期都为T＝．
3．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？
[提示]　正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称．
正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
课时分层作业(四十九)　周期性与奇偶性
一、选择题
1．函数f (x)＝x＋sin x，x∈R(　　)
A．是奇函数，但不是偶函数
B．是偶函数，但不是奇函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
A　[由f (－x)＝－x－sin x＝－(x＋sin x)＝－f (x)可知f (x)是奇函数．故选A．]
2．下列函数，最小正周期为2π的是(　　)
A．y＝sin 　　　 B．y＝sin 2x
C．y＝ 　　　 D．y＝|sin 2x|
C　[函数y＝sin 的最小正周期为T＝＝4π，故A不符合；函数y＝sin 2x，其最小正周期为T＝＝π，故B不符合；因为函数y＝sin 的最小正周期为T＝4π，所以函数y＝的最小正周期为2π，故C符合；
因为函数y＝sin 2x的最小正周期为T＝＝π，所以函数y＝，故D不符合．故选C．]
3．函数y＝f (x)是定义在R上周期为2的奇函数，若f (－0.5)＝－1，则f (2.5)＝(　　)
A．－1 　　　B．1 　　　C．0 　　　D．0.5
B　[f (x)是周期为2的奇函数，
f (－0.5)＝－f (0.5)＝－1，f (0.5)＝1，
所以f (2.5)＝f (2＋0.5)＝f (0.5)＝1．
故选B．]
4．函数y＝cos (k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　　)
A．10 　　　B．11 　　　C．12 　　　D．13
D　[因为T＝≤2，
所以k≥4π，又k∈Z，所以正整数k的最小值为13．]
5．(多选)设函数f (x)＝sin ，x∈R，则关于f (x)的说法正确的是(　　)
A．最小正周期为π 　　　 B．最小正周期为
C．奇函数 　　　 D．偶函数
AD　[f (x)＝sin ＝－cos 2x，最小正周期T＝＝π，排除B，故A正确；
由f (－x)＝－cos (－2x)＝－cos 2x＝f (x)，
可知函数f (x)＝sin 为偶函数，排除C，故D正确．故选AD．]
二、填空题
6．写出一个最小正周期为2的奇函数f (x)＝________．
sin πx(答案不唯一)　[基本初等函数中既为周期函数又为奇函数的函数为y＝sin x，∴此题可考虑在此基础上调整周期使其满足题意．由此可知f (x)＝sin ωx且T＝ f (x)＝sin πx．]
7．设f (x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f (x)＝则f ＝________．
　[＝f (×(－3)＋)
＝f ＝sin ．]
8．已知f (x)在R上是奇函数，且满足f (x＋4)＝f (x)，当x∈(0，2)时，f (x)＝2x2，则f (7)＝________．
－2　[因为f (x＋4)＝f (x)，所以函数的周期是4．
因为f (x)在R上是奇函数，且当x∈(0，2)时，f (x)＝2x2，所以f (7)＝f (7－8)＝f (－1)＝－f (1)＝－2．]
三、解答题
9．已知函数y＝sin x＋．
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求出其最小正周期．
[解]　(1)y＝sin x＋
＝
该函数的图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π．
10．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (2＋x)＝f (－x)，若f (－1)＝2，则f (2 025)＝(　　)
A．－4 　　　B．－2 　　　C．0 　　　D．2
B　[因为定义在R上的奇函数f (x)满足f (2＋x)＝f (－x)，所以f (2＋x)＝f (－x)＝－f (x)，
所以f (4＋x)＝－f (2＋x)＝f (x)，
所以f (x)是周期为4的周期函数．
所以f (2 025)＝f (1)＝－f (－1)＝－2．]
11．图象为如图的函数可能是(　　)
A．y＝x·cos x 　　　 B．y＝x·sin x
C．y＝x·|cos x| 　　　 D．y＝x·2x
A　[根据图象可看到函数为奇函数，并且与x轴交点不止一个，而y＝x·sin x是偶函数，y＝x·2x既不是奇函数也不是偶函数，由此可排除B，D；当x＞0时，y＝x·|cos x|≥0，由此可排除C．故选A．]
12．函数f (x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f (a)＝2，则f (－a)的值为(　　)
A．3 　　　B．0 　　　C．－1 　　　D．－2
B　[可构造g(x)＝x3＋sin x(x∈R)，则g(x)＝x3＋sin x(x∈R)为奇函数，由g(－x)＝－g(x)得f (－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1，又f (a)＝g(a)＋1＝2，所以g(a)＝1．所以f (－a)＝0．也可研究题中f (a)与所求的f (－a)之间的关系，得f (－a)＋f (a)＝2．]
13．若函数f (x)＝sin (2x＋φ)(－π<φ<π)在R上是偶函数，则φ＝________．
或－　[∵函数f (x)＝sin (2x＋φ)在R上是偶函数，∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又－π<φ<π，∴φ＝(k＝0时)，或φ＝－(k＝－1时)．]
14．若定义在R上的函数f (x)满足f (x)·f (x＋2)＝13．
(1)证明函数f (x)是周期函数；
(2)若f (1)＝2，求f (99)的值．
[解]　(1)证明：因为f (x)·f (x＋2)＝13，所以f (x＋2)＝，所以f (x＋4)＝＝f (x)，所以函数f (x)是周期为4的周期函数．
(2)由(1)得f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝．
15．已知函数f (x)＝cos x，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 025)的值．
[解]　因为f (1)＝cos ，f (2)＝cos ，f (3)＝cos π＝－1，f (4)＝cos ，f (5)＝cos ，f (6)＝cos 2π＝1，
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0，
即每连续六项的和均为0．
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 025)
＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝－1．
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