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第17讲
卫星运动的三类问题
一、卫星的变轨和对接问题
1.同步卫星的发射、变轨原理及过程
为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到达200km—300 km的圆轨道I上。围绕地球做圆周运动，这条轨道称为“停泊轨道”；
当卫星穿过赤道平面A点（近地点）时，二级点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道1上做圆周运动的向心力，使卫星做离心运动，沿一条较大的椭圆轨道运行，进入椭圆轨道2。地球作为椭圆的焦点，当到达远地点B时，恰为赤道上空36000km处，这条轨道称为“转移轨道”。沿轨道1和2分别经过A点时，加速度相同；
当卫星到达远地点B（远地点）时，开动卫星发动机（再次点火加速）进入同步圆形轨道3，并调整运行姿态从而实现电磁通讯，这个轨道叫“静止轨道”。 沿轨道2和3分别经过B点时，加速度相同；
一、卫星的变轨和对接问题
同步卫星的发射有两种方法， 一是直接发射到同步轨道；
二是先将卫星发射至近地圆形轨道1运行，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆形轨道3运行。
（2）两类变轨比较
3.变轨过程各物理量比较
速度关系 在A点加速：vⅡA＞vⅠ，在B点加速：vⅢ＞vⅡB，即vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB
加速度关系 aⅢ＝aⅡB
aⅡA＝aⅠ
周期关系 TⅠ＜TⅡ＜TⅢ
机械能 EⅠ＜EⅡ＜EⅢ
（3）变轨过程各物理量分析
B
A.天舟六号飞船由P点运动至B点的过程中机械能持续增大
B.天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行周期要小于空间站的运行周期
C.天舟六号飞船由P点运动至B点的过程中，飞船内的物资始终处于超重状态
D.天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行速度始终小于与空间站对接后在轨道1上的运行速度
例1 (2024·河南周口高三联考)2023年5月10日21时22分，天舟六号货运飞船发射成功，并于次日5时16分成功与中国天宫空间站对接，为航天员送去所需的服装、食物、水、实验设备等物资。现将其发射对接过程简化如图2所示，圆轨道1为中国天宫空间站的运行轨道，天舟六号在运载火箭的托举下沿轨道PA运动至A点“船箭分离”，飞船进入与圆轨道1相切于B点的椭圆轨道2运行，最后择机与空间站对接。下列相关说法中正确的是(　　)
AC
1.(多选)(2024·广东茂名模拟)2022年5月5日，我国在太原卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将吉林一号宽幅01C卫星送入预定轨道。已知该卫星发射后在圆轨道做圆周运动，稳定后再变轨为如图3所示的椭圆轨道，两轨道相切于P点、P、Q分别为椭圆轨道的近地点和远地点，忽略空气阻力和卫星质量的变化，则(　　)
A.宽幅01C卫星在椭圆轨道上运动的周期大于在圆轨道上运动的周期
B.宽幅01C卫星在椭圆轨道上运动时，在P点的线速度小于在Q点的线速度
C.宽幅01C卫星在P点由圆轨道变为椭圆轨道时需要在P处点火加速
D.宽幅01C卫星在椭圆轨道从P点运动到Q点的过程中，卫星的机械能增大
2.空间站的运行轨道可近似看作圆形轨道Ⅰ，椭圆轨道Ⅱ为神舟十六号载人飞船与空间站对接前的运行轨道，已知地球半径为R，两轨道相切于P点，地球表面重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A
二、双星模型
1．双星
（1）定义：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点（公共圆心）做周期相同的匀速圆周运动的行星组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。它们在宇宙中往往会相距较近，质量可以相比，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。
二、双星模型
②“周期、角速度相同”——两颗星做匀速圆周运动的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③“距离不变”——两星之间的距离不变，且两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，r1＋r2＝L。
（2）双星的特点
①“向心力等大反向”——各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即两星做匀速圆周运动的向心力相等，都等于两者之间的万有引力，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力。所以有
二、双星模型
（2）双星的特点
④“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比，即 ，与星体运动的线速度成反比。
⑤若在双星模型中，图中L、m1、m2、G为已知量，双星的运动周期
⑥若双星运动的周期为T，双星之间的距离为L，G已知，双星的总质量 ，即双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关。
二、双星模型
（3）在处理双星问题时要特别注意以下几个问题：
①由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。
②由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mrω2可得 , 即固定点离质量大的星较近。
③万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。
④当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时（其他星体对它们的万有引力相比而言都可以忽略不计），其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心星球的球心。可以认为它是固定不动的。
二、双星模型
（4）模型条件：
①两颗星彼此相距较近。
②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。
③两颗星绕同一圆心做圆周运动。
（5）解答双星问题应注意“两等”“两不等”
①双星问题的“两等”：它们的角速度相等；双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的。
②“两不等”：双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离；由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。
C
例2 如图6所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，则(　　)
D
3.(2024·江苏连云港高三月考)如图7所示，某双星系统中质量较大的B星球正在“吸食”质量较小的A星球的表面物质，从而实现质量转移。若“吸食”过程中A、B球心间距离不变，运动轨道均视为圆周，则在“吸食”的最初阶段，下列说法正确的是(　　)
图7
A.A、B运动的周期变大
B.A、B之间的万有引力保持不变
C.B星球做圆周运动的轨道半径变大
D.A星球做圆周运动的线速度变大
三、多星模型
（1）多星定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。
（2）“多星”问题
①多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其它各个行星对该行星的万有引力的合力提供。
②每颗行星转动的方向相同，运行周期、角速度和线速度大小相等。
③注意利用几何知识求半径。
三、多星模型
（3）三星模型：
①如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：
两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
三、多星模型
（3）三星模型：
②如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供： 。三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
三、多星模型
（3）三星模型：
②如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供： 。三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
三、多星模型
（4）“四星”模型
ⅰ．其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动。
四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动，
四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
三、多星模型
（4）“四星”模型
ⅱ．另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中点O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动。
三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。
四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
4.(多选)如图8所示是宇宙中存在的某三星系统，忽略其他星体的万有引力，三个星体A、B、C在边长为d的等边三角形的三个顶点上绕同一圆心O做匀速圆周运动。已知A、B、C的质量分别为2m、3m、3m，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
AD
1.相距最近：
天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(如图甲)，此时刻行星与地球相距最近。
从初始时刻到之后再次“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有以下两种解决方法。
四、天体中的追及相遇问题
甲
B
例3 (2023·湖北卷，2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图10所示。根据以上信息可以得出(　　)
A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
AD
例4 (多选)当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，若2023年11月3日出现一次“木星冲日”。已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。则下列说法正确的是(　　)
A.下一次的“木星冲日”时间在2024年
B.下一次的“木星冲日”时间在2026年
C.木星运行的加速度比地球的大
D.木星运行的周期比地球的大
AC
5.(多选)(2024·河南郑州联考)我国的北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星共30颗卫星组成。如图11所示，A、C为地球静止轨道卫星，B为在赤道平面的中圆地球轨道卫星，绕行方向均与地球自转方向一致。已知地球自转周期为T1，卫星B的运行周期为T2，图示时刻，卫星A与卫星B相距最近。下列说法正确的是(　　)
A.卫星A、B、C的向心加速度的大小关系为aA＝aCB.卫星C向后喷气加速可沿圆轨道追上卫星A

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