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第01讲 三角函数概念与诱导公式
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 弧度制和三角函数概念 (2) 同角三角函数的基本关系 (3) 诱导公式及其应用 2024年甲卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2022年甲卷5分2022年浙江卷5分2021年I卷5分2021年甲卷5分2020年浙江卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，理解同角三角函数的基本关系式，掌握诱导公式；主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值和利用诱导公式进行化简求值； （3）注意公式的正用和逆用，熟记公式.
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考试要求
小
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1、了解任意角的概念和弧度制；
2、能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性；
3、借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
4、理解同角三角函数的基本关系式：
5、掌握诱导公式，并会简单应用.
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考点突破考纲解读
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考点梳理
小
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知识点1: 任意角和弧度制
1、角的定义
（1）任意角定义：一条射线绕着它的端点 所成的图形叫做角；
（2）分类：按旋转方向分为 、 、 ；按终边位置分为 和 ；
（3）象限角表示
1）第一象限角的集合： ；
2）第二象限角的集合： ；
3）第三象限角的集合： ；
4）第四象限角的集合： ；
（4）轴线角表示
1）终边在轴上角的集合：；
2）终边在轴上角的集合：；
3）终边在坐标轴上角的集合： ；
（5）终边相同的角：与终边相同的角的集合：
2、弧度制
（1）定义：把等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作；
（2）弧度制与角度制的换算：；
3、扇形弧长和面积公式
（1）圆：周长 ，面积 ；
（2）扇形：弧长 ，面积 ；
知识点2: 三角函数概念
4、三角函数的定义
（1）定义：角终边上任一点，设，则：
（2）符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦；
5、特殊角的三角函数值
角度
弧度
/ /
知识点3: 同角三角函数基本关系式
1、同角关系式
（1）平方关系： ；
常用：1）知一求二，
2）平方搭桥：
（2）商数关系： ；
常用：弦切互化（分式齐次，分子分母同除）
知识点4: 诱导公式
2、诱导公式
（1）作用：化简，大角化小角，负角化正角，最好化成特殊角；
（2）使用谨记：出现轴上角才用诱导公式；
（3）公式口诀：“ ”！
（4）本质：三角函数诱导公式的本质是与的三角函数值之间的关系；
（5）诱导公式
角
正弦
余弦
正切 / /
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题型展示
小
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题型一: 三角函数概念
【例1】已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【变式1】终边在轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
题型二: 同角三角函数基本关系
【例2】（2024·全国甲卷）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知，，则 ．
题型三: 诱导公式及其化简求值
【例3】若，则 ， ．
【变式3】函数f(x)=sin(x+)+cos(x )的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
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考场演练
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【真题1】（2024·全国甲卷）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【真题2】（2023·全国乙卷）若，则 ．
【真题3】（2023·全国甲卷）若为偶函数，则 ．
【真题4】（2022·浙江）若，则 ， ．
【真题5】（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
【真题6】（2021·全国甲卷）若，则（ ）
A． B． C． D．
【真题7】（2021·全国新Ⅰ卷）若，则（ ）
A． B． C． D．
【真题8】（2020·浙江）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 ．
【真题9】（2020·全国）若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【真题10】（2020·全国）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
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第01讲 三角函数概念与诱导公式
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 弧度制和三角函数概念 (2) 同角三角函数的基本关系 (3) 诱导公式及其应用 2024年甲卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2022年甲卷5分2022年浙江卷5分2021年I卷5分2021年甲卷5分2020年浙江卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，理解同角三角函数的基本关系式，掌握诱导公式；主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值和利用诱导公式进行化简求值； （3）注意公式的正用和逆用，熟记公式.
(
考试要求
小
)
1、了解任意角的概念和弧度制；
2、能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性；
3、借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
4、理解同角三角函数的基本关系式：
5、掌握诱导公式，并会简单应用.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 任意角和弧度制
1、角的定义
（1）任意角定义：一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角；
（2）分类：按旋转方向分为正角、负角、零角；按终边位置分为象限角和轴线角；
（3）象限角表示
1）第一象限角的集合：
2）第二象限角的集合：
3）第三象限角的集合：
4）第四象限角的集合：
（4）轴线角表示
1）终边在轴上角的集合：
2）终边在轴上角的集合：
3）终边在坐标轴上角的集合：
（5）终边相同的角：与终边相同的角的集合：
2、弧度制
（1）定义：把等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作；
（2）弧度制与角度制的换算：；
3、扇形弧长和面积公式
（1）圆：周长，面积；
（2）扇形：弧长，面积
知识点2: 三角函数概念
4、三角函数的定义
（1）定义：角终边上任一点，设，则：
（2）符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦；
5、特殊角的三角函数值
角度
弧度
/ /
知识点3: 同角三角函数基本关系式
1、同角关系式
（1）平方关系：
常用：1）知一求二，
2）平方搭桥：
（2）商数关系：
常用：弦切互化（分式齐次，分子分母同除）
知识点4: 诱导公式
2、诱导公式
（1）作用：化简，大角化小角，负角化正角，最好化成特殊角；
（2）使用谨记：出现轴上角才用诱导公式；
（3）公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”！
（4）本质：三角函数诱导公式的本质是与的三角函数值之间的关系；
（5）诱导公式
角
正弦
余弦
正切 / /
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题型展示
小
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题型一: 三角函数概念
【例1】已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【解析】
结合图像易知，，，则角是第四象限角；答案为D.
【变式1】终边在轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
终边在轴正半轴上的角的集合是；答案为A.
题型二: 同角三角函数基本关系
【例2】（2024·全国甲卷）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
，，
；答案为B.
【变式2】已知，，则 ．
【答案】
【解析】
两式两边平方相加得：，．
题型三: 诱导公式及其化简求值
【例3】若，则 ， ．
【答案】，.
【解析】
∵，∴，即，
又，将代入得：
，解得
【变式3】函数f(x)=sin(x+)+cos(x )的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】
，
则,函数的最大值为；选A.
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国甲卷）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
，，
；答案为B.
【真题2】（2023·全国乙卷）若，则 ．
【答案】
【解析】
，则，
又，则，
且，解得或（舍去），
；故答案为：.
【真题3】（2023·全国甲卷）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【解析】
为偶函数，定义域为，
，即，
则，故，
，
，又定义域为，为偶函数，
；故答案为：2.
【真题4】（2022·浙江）若，则 ， ．
【答案】，.
【解析】
∵，∴，即，
又，将代入得：
，解得，
则；答案为；.
【真题5】（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，连接，
是的中点，
，
又，三点共线，
即，
又，
，则故，
；答案为B.
【真题6】（2021·全国甲卷）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
，，，解得，
，；答案为A.
【真题7】（2021·全国新Ⅰ卷）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
将式子齐次化：
；答案为C．
【真题8】（2020·浙江）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 ．
【答案】
【解析】
设圆锥底面半径为，母线长为，则
，解得；故答案为：
【真题9】（2020·全国）若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】
由α为第四象限角，可得，
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，；答案为D.
【真题10】（2020·全国）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
即，解得或（舍去），
又；答案为A.
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