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2026届普通高等学校招生全国统一考试
青桐鸣高二联考
数学（人教版）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在正三棱柱中，则平面内不可能存在一条直线与直线（ ）
A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面
2.已知角，直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.已知退休的王大爷连续5天户外运动的步数（单位：百步）分别为50，49，51，48，52，则该组数据的均值与方差分别为（ ）
A.50，2 B.50，10 C.51，2 D.51，1
4.已知在空间直角坐标系中， ，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.已知直线过点，且直线与直线平行，与直线垂直，，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
6.已知在中， ，分别为，的中点， ， ，则可以用含，的式子表示为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则下列说法错误的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则有两解 D.若，则有两解
8.在正四棱柱中， ，，是该正四棱柱表面上的一动点，且满足，则点的运动轨迹的长度为（ ）
A.8 B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C. D.若为实数，则
10.已知某篮球运动员共投篮两次，记事件“第一次投篮投中”，事件“第二次投篮投中”，事件“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（ ）
A.，互为互斥事件 B.与互为互斥事件
C. D.与互为对立事件
11.如图，在正方体中，为与的交点，平面与平面交于直线，则下列说法正确的是（ ）
A.平面 B.平面
C. D.存在一条直线与直线，，都相交
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系中，向量，，且满足，其中，则______.
13.在四面体中，点为的重心， ，，分别为，，的中点，且，则实数______.
14.甲、乙、丙三人一同下棋（无平局），甲胜乙、乙胜丙、丙胜甲的概率分别为0.6，0.5，0.4.第一局由甲、乙二人先下，丙旁观，规则为负者在下一局旁观，胜者与丙比赛……依次类推.若其中有一人累计胜两局，则结束比赛，胜两局者最终获胜，则甲最终获胜的概率是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线：，.
（1）若直线过点，求的值；
（2）求点到直线距离的最大值.
16.（15分）
某高二实验班共有50名学生，数学老师为研究某次考试，将所有学生的成绩分成5组：，，，，，得到频率分布直方图如下.
（1）求的值，并估计本班学生成绩的中位数（计算结果保留1位小数）；
（2）全班共有24名女生，该次考试成绩在120分以下的女生有8人，则不低于120分的男生有多少人？
17.（15分）
在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角的值；
（2）若，求周长的最大值.
18.（17分）
如图，在三棱柱中，，平面平面，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
19.（17分）
如图，在正三棱台中， ，.
（1）求的长度；
（2）求三棱台的体积.
2026届普通高等学校招生全国统一考试
青桐鸣高二联考
数学（人教版）参考答案
1.A 【解析】对于A，若平面中存在一条直线与平行，则平面，不可能成立，故A正确；
对于B，如图，取的中点记为，
则平面，故，故B错误；
对于C，，C显然错误；
对于D，与异面，D错误.故选A.
2.D 【解析】设直线的倾斜角为，
则，故角的取值范围是.故选D.
3.A 【解析】均值：，
方差：.故选A.
4.C 【解析】由题意知，，故在方向上的投影向量为.故选C.
5.B 【解析】由题意得，，解得，故直线的方程为，即.故选B.
6.B 【解析】由题意得，，，故，故.故选B.
7.D 【解析】由正弦定理，得，
当时，，故A正确；
当时，，故B正确；
当时，，故B有两解，故C正确；
当时，，得，仅有一解，故D错误.故选D.
8.B 【解析】如图，在上取点，使，连接，
则，故，故，
又，，故平面，又平面，故.
在上取点，上取点，使，，连接，，，则四边形为菱形。
同理可证：，又，则平面.
点的运动轨迹的长度即为菱形的周长，为.故选B.
9.ACD 【解析】，故A正确；
由得，，得，故B错误；
因为，，故，故C正确；
，则，即，故D正确.故选ACD.
10.BD 【解析】，两个事件可以同时发生，故A错误；
与不可能同时发生，故B正确；
为，的交事件，故C错误；
对应的事件是第一次投篮未投中或第二次投篮未投中，故与互为对立事件，D正确.故选BD.
11. ACD 【解析】如图，连接交于点，连接，
则为的中点，故在中，为中位线，故，因为平面，故平面，A正确；
假设平面，则，又，，平面，故平面，不可能成立，故假设错误，B错误；
易知平面，又直线为平面与平面的交线，所以，又，所以，C正确；
如图，延长至点，使，延长至点，使，连接，取的中点，连接，，，，
设正方体的边长为2，则，则，易知，又，，则，则，故，，三点共线，故存在一条直线与直线，，都相交，D正确.故选ACD.
12. 【解析】，，
由题意知，，解得或，又，故.
13.3 【解析】如图，连接，
则，
故，
而，故.
14.0.504 【解析】甲最终获胜的所有比赛情形有3种，
甲胜前两局：；
第一局甲胜乙，第二局丙胜甲，第三局乙胜丙，第四局甲胜乙：；
第一局乙胜甲，第二局丙胜乙，第三局甲胜丙，第四局甲胜乙：，
故甲最终获胜的概率为.
15.解：（1）将点的坐标代入直线的方程得，
整理得，
解得.
（2）直线的方程可化为，
联立解得
故直线恒过点，
故点到直线距离的最大值为，
，
故点到直线距离的最大值为5.
16.解：（1）由，解得.
因为，，
故中位数为.
（2）该次考试成绩在120分以下的总人数为，故120分以下男生人数为，
故不低于120分的男生人数为.
17.解：（1），由正弦定理得，
故，故.
（2）由，即，
解得，
当且仅当时取得等号，
故周长的最大值为.
18.解：（1）证明：由得，
又平面平面，平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，，
故平面.
（2）不妨设，由（1）知，，两两垂直，以为原点， ，，方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，
则即
令，得.
易知平面的一个法向量为，
故，
故所求二面角的正弦值为.
19.解：（1）延长到点，使，连接，，
由题意知，，
则，四边形为平行四边形，可知，
则在中，，，，
由余弦定理，得，
因为，，所以，
易得，
则，得.
过点作交于点，
则，，，
故，
故.
（2）作平面交平面于点，连接，，
因为平面，故，
又，，
则平面，
又平面，故，
即，
易得，
故，
所以，
故，
得.
故.

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