资源简介 (共37张PPT)1.2 空间向量基本定理【学习目标】1.在平面向量基本定理的基础上,能借助投影进行向量分解,知道空间向量基本定理.2.知道基底、单位正交基底,并能在选定基底下进行向量的表示及运算.知识点一 空间向量基本定理1.分向量如果,,是空间三个__________的向量,那么对任意一个空间向量 ,存在唯一的有序实数组,使得.称________分别为向量 在,, 上的分向量.两两垂直,,2.空间向量基本定理如果三个向量,,________,那么对任意一个空间向量 ,存在______的有序实数组 ,使得________________.我们把{,,}叫作空间的一个______,,, 都叫作________.空间任意三个________的向量都可以构成空间的一个基底.不共面唯一基底基向量不共面【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中的任何一个向量都可以用三个给定的向量表示.( )×[解析] 空间中的任何一个向量都可以用其他三个不共面的向量表示.(2)若{,,}为空间的一个基底,则,, 全不是零向量.( )√[解析] 若,,为空间的一个基底,则,,不共面,所以,, 全不是零向量.(3)若向量,与任何向量都不能构成空间的一个基底,则与 不一定共线.( )×[解析] 由空间向量基本定理可知,只有不共面的三个向量才可以构成空间的一个基底,若向量,与任何向量都不能构成空间的一个基底,则向量, 与任何向量都共面,故与 一定共线.(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.( )×[解析] 空间的一个基底是由三个不共面的向量构成的.知识点二 空间向量正交分解1.单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量__________,且长度都为___,那么这个基底叫作单位正交基底,常用_______表示.两两垂直1{,,}2.空间向量的正交分解把一个空间向量分解为三个__________的向量,叫作把空间向量进行正交分解.两两垂直探究点一 空间向量的基底例1(1) 已知,,,为空间的四个点,且任意三点不共线, 为空间中一点,下列可能使,, 构成空间的一个基底的关系式是( )CA. B.C. D.[解析] 对于选项A,由,得 ,A,B,C四点共面,则,,共面,故,, 不能构成空间的一个基底;对于选项B,D,易知,,一定共面,故,, 不能构成空间的一个基底.故选C.(2)已知{,,是空间的一个基底,且 ,,,试判断,, 能否构成空间的一个基底.解:假设,,共面,则存在实数 , 使得 ,即 .,,}是空间的一个基底,,, 不共面,此方程组无解,,, 不共面,,, 能构成空间的一个基底.变式(1) (多选题)设{,,是空间的一个基底,若 ,, ,则下列向量可以构成空间的一个基底的是( )BCDA.,, B.,, C.,, D.,,[解析] ,,,共面,故,, 不能构成空间的一个基底,故A错误;假设,,共面,则存在 ,,使得 ,即,所以 方程组无解,所以假设不成立,即,,不共面,所以,, 可以构成空间的一个基底,故B正确;同理可得,,可以构成空间的一个基底,,, 也可以构成空间的一个基底,故C,D正确.故选 .(2)已知空间四点,,,,若,, }是空间的一个基底,则下列说法不正确的是( )BA.,,, 四点不共线B.,,, 四点共面,但不共线C.,,, 四点不共面D.,,, 四点中任意三点不共线[解析] 因为,,}是空间的一个基底,所以非零向量,, 不共面,即 ,A,B,C四点不共面,所以A,C,D中说法正确,B中说法错误.故选B.[素养小结]基底的判断思路:判断给出的三个向量能否构成基底,关键是要判断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量中是否有零向量,其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断,可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程,若方程的解唯一,则三个向量共面;否则,三个向量不共面.探究点二 用基底表示空间向量例2 如图所示,在四面体中,, 分别是,的中点,,是 的两个三等分点(点靠近点,点靠近点 ).(1)用基底,,}表示向量 ;解:连接 ,则.(2)若,求实数,, 的值.解: 由题意得为的中点, ,又,,, .变式(1) 如图所示,已知四棱锥 的底面为平行四边形,,分别为棱, 上的点,,是 的中点,若向量,则( )BA., B., C., D.,[解析] 因为,所以 ,所以,又,所以, .故选B.(2)[2024·广东东莞高二期中] 如图,在平行六面体 中,底面是边长为1的正方形,, .设 ,,,试用,,表示,并求 .解:因为,,,, ,所以 .因为底面是边长为1的正方形,, ,所以.[素养小结]用基底表示向量的步骤:(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.(3)下结论:利用空间的一个基底{,, }可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有,, ,不能含有其他形式的向量.探究点三 空间向量基本定理的应用角度一 垂直平行关系的证明例3 如图所示,在三棱柱中,, 分别是,上的点,且 ,.用空间向量解决如下问题:(1)若,,证明: ;证明:由题意得,且, ,所以,所以,即 .(2)证明:平面 .[证明] 由题意得,所以,, 共面,又 平面,, 平面, 平面 ,所以平面 .变式 在四棱锥中,底面 是正方形,侧面 底面,且 ,若,分别为, 的中点,用向量方法证明:(1)平面 ;证明:连接 ,则,所以向量,, 共面,又 平面, 平面, 平面 ,所以平面 .(2) 平面 .证明:因为底面是正方形,所以 ,又侧面 底面,侧面 底面, 平面 ,所以 平面,又 平面,所以 .因为,所以 ,所以 ,,所以,,又 平面, 平面, ,所以 平面 .角度二 求两直线的夹角例4 如图,在平行六面体中,以顶点 为端点的三条棱的长度都为1,且两两夹角为 ,求与 所成角的余弦值.解:设,, ,这三个向量不共面,可构成空间的一个基底.由题意得,,,, ,所以 .易知, ,所以 ,,所以, ,又 ,所以,,故与所成角的余弦值为 .变式 已知正四面体的棱长为1,,分别是, 的中点.解:记,,,这三个向量不共面,则{,, }为空间的一个基底,且,,,, ,所以 .(1)证明: ;证明:因为 ,,所以 ,所以,即 .(2)求异面直线与 所成角的余弦值.解:因为 ,所以 .又因为 ,所以,又因为,所以,,故异面直线与 所成角的余弦值为 .[素养小结]用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤:首先根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底,如果存在三个两两垂直的空间向量,那么可以确定一个单位正交基底;然后根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底(或已知基底)表示目标向量;最后把空间向量的运算转化为基向量的运算.涉及异面直线所成的角时,可用已知向量代入公式求解,其中, 用基向量表示.1.空间向量基本定理的三个关注点(1)空间向量的任意性:用空间三个不共面的向量,, 可以线性表示空间中任意一个向量,而且表示的结果是唯一的.(2)基底选取的任意性:空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.(3)基底的顺序性:空间中任意一个向量在基向量上的分向量是唯一确定的,即若基底为{,,,,则在该基底下与 对应的有序实数组为.2.单位正交基底的特点(1)位置:三个向量两两垂直且有公共起点 .(2)模长:每个向量的模都等于1.(3)记法:一般记作{,,,,, }等.1.空间向量基本定理的应用:要用,, 表示所给的向量,需要结合图形,充分运用空间向量的加、减法和数乘运算,再结合空间向量的基本定理即可.例1 如图,在平行六面体 中,,,,,,分别是, ,的中点,点在上,且 ,用空间的一个基底{,, }表示下列向量:(1) ;解: ,.(2) ;[答案] 连接,, ,.(3) ;[答案] .(4) .[答案] .2.利用向量解几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表达式,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算去计算或证明.例2 如图,在棱长为2的正方体中,是的中点,若,分别是,的中点,求异面直线与 所成角的余弦值.解:设,,,这三个向量不共面且两两垂直,则{,, }是空间的一个单位正交基底.因为 ,,所以 ,又,,所以 ,,故异面直线与所成角的余弦值为 .例3 如图,在平行六面体 中,,, ,,为与的交点.若 ,, .(1)用,,表示 ;解:由题意得.(2)求 的长;解:由题意得 ,,,, ,所以 .(3)求与 所成角的余弦值.解:因为,所以 ,所以, ,所以与所成角的余弦值为 . 展开更多...... 收起↑ 资源预览