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1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
【学习目标】
1.在空间向量基本定理的基础上，知道空间直角坐标系的概念.
2.结合简单几何体，能写出有关点和向量的坐标.
知识点一 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
定义：如图，在空间选定一点 和一个单位正交基底｛
，,｝.以点为原点，分别以,, 的方向为正方向、以
它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、 轴，
它们都叫作________.这时我们就建立了一个空间直角坐
坐标轴
原点
坐标向量
坐标平面
标系，叫作______，,, 都叫作__________，通过每两条坐标轴的平面叫
作__________，分别称为平面，平面， 平面.
2.空间直角坐标系的画法
（1）空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系时，一般使
________________， ____.
（或）
（2）右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，
食指指向 轴的正方向，如果中指指向_____________，则称这个坐标系为右手
直角坐标系.
轴的正方向
知识点二 空间向量的坐标
1.空间中点的坐标
如图,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组 ,
使____________.在单位正交基底{,,}下与向量
对应的有序实数组,叫作点 在空间直角坐标系中
的坐标,记作__________,其中叫作点的横坐标, 叫作点
的纵坐标,叫作点 的竖坐标.
2.空间中向量的坐标
如图,在空间直角坐标系中,给定向量,作 .由空间向量基本定理,存在
唯一的有序实数组,使.有序实数组________叫作 在空间
直角坐标系 中的坐标,可简记作___________.
【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） 既可以表示向量,也可以表示点.( )
√
[解析] 空间中的点和向量都可以用有序实数组表示,符号 具有双
重意义,它既可以表示向量,也可以表示点,在表述时要注意区分.
（2）点在空间直角坐标系中的 轴上.( )
×
[解析] 点在空间直角坐标系中的 平面上.
（3）点在空间直角坐标系中的 平面上.( )
×
[解析] 点在空间直角坐标系中的 轴上.
（4）已知，，分别是空间直角坐标系中轴、轴、 轴的正方向上的
单位向量，且，则点的坐标一定是 .( )
×
[解析] 由只能确定向量，而向量的起点 的
坐标未知，故终点 的坐标不确定.
探究点一 求空间点的坐标
例1 已知在正四棱锥中， 为底面中心，底面边长和高都是2，
，分别是侧棱， 的中点．
①
（1）如图①，以为坐标原点，分别以，，的方向为
轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点,,, ,
,, 的坐标；
解：设，，分别是与轴、轴、 轴的正方向方向相同的单位坐标向量．
连接，因为点在平面内，且底面正方形的中心为 ，边长为2，
所以，所以向量的坐标为，即点的坐标为 ，
同理可得点的坐标为，点的坐标为，点 的坐标为
．
因为点在轴的正半轴上，正四棱锥的高为2，所以 ，所以
向量的坐标为，即点的坐标为 ．
连接，因为为侧棱 的中点，所以
，所以向量 的坐标为
，即点的坐标为 ，
同理可得点的坐标为 .
综上可知，，，，， ，
， .
（2）如图②，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、 轴
的正方向，建立空间直角坐标系，写出点,,,,,, 的坐标.
②
[解] 因为底面正方形的中心为，边长为2，所以，又因为点
在轴的正半轴上，所以，即点的坐标为，
同理可得点 的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 .
因为点在轴的正半轴上，正四棱锥的高为2，所以 ，所以
向量的坐标为，即点的坐标为 .
连接，因为为侧棱 的中点，所以
，
所以向量的坐标为，即点的坐标为，同理可得点 的坐标
为 .
综上可知，，，，， ，
， .
变式（1） （多选题）在棱长为1的正方体中,建立如图所
示的空间直角坐标系,则下列各点在正方体内或正方体表面
上的是( )
ACD
A. B.
C. D.
[解析] 由已知可得,若 为正方体内或正方体表面上的一个点,则
,, .分析四个选项,A,C,D中点的坐标均符合上述条件,
只有B中点的坐标不符合上述条件.故选 .
（2）如图,棱长为的正四面体的三个顶点,, 分
别在空间直角坐标系的,,轴的正半轴上,则顶点 的坐标为
( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 棱长为的正四面体 可以放到棱长为1的正
方体中,且D,两点的连线是正方体的体对角线,故点D的坐标为 ,故选A.
［素养小结］
（1）建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则:①让尽可能多的点落在坐标轴
上或坐标平面内;②充分利用几何图形的对称性.
（2）求某点的坐标的方法:作垂直于平面,垂足为,求的横坐标 ,
纵坐标,即点的横坐标,纵坐标,再求点在轴上射影的竖坐标,即为点 的
竖坐标,于是得到点的坐标 .
探究点二 求空间向量的坐标
例2 如图，在空间直角坐标系 中有一长方体
，且，， .
（1）写出点的坐标，并将用单位正交基底{, ,
}表示；
解：因为，， ，
所以点的坐标为，从而 .
（2）求 的坐标.
[解] 因为在坐标平面内，，，所以点的坐标为 ，
所以 .
变式 如图，在棱长为1的正方体中,,分别是, 的中
点,在棱上,且,为的中点.建立适当的空间直角坐标系,写出
和 的坐标.
解：以为原点,,,的方向分别为轴、轴、 轴
的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 .
因为,分别是,的中点,所以 ,
,
所以 ,
所以 .
因为,所以 ，
又因为为的中点,所以 ,所以
.
［素养小结］
用坐标表示空间向量的步骤：
探究点三 空间中点的对称问题
例3 在空间直角坐标系中，点 ．
（1）求点关于轴的对称点 的坐标；
解：因为点关于 轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相
反数，所以对称点的坐标为 ．
（2）求点关于平面的对称点 的坐标；
[解] 因为点关于 平面对称后，它的横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原
来的相反数，所以对称点的坐标为 ．
（3）求点关于点的对称点 的坐标．
[解] 设，连接，则点为线段 的中点，所以
，， ，所
以 ．
变式 关于空间直角坐标系中的一点,有下列说法:① 的坐标为
;②点关于轴对称的点的坐标为;③点 关于原点对称的点
的坐标为;④点关于平面对称的点的坐标为 .其中正确说法
的个数是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 在①中,的坐标为,故①正确;
在②中,点关于 轴对称的点的坐标为,故②错误;
在③中,点关于原点对称的点的坐标为 ,故③错误;
在④中,点关于平面对称的点的坐标为 ,故④正确.故选B.
［素养小结］
在空间直角坐标系中，点 关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点
如下：
（1）关于坐标原点的对称点的坐标为 ；
（2）关于横轴（轴）的对称点的坐标为 ；
（3）关于纵轴（轴）的对称点的坐标为 ；
（4）关于竖轴（轴）的对称点的坐标为 ；
（5）关于平面的对称点的坐标为 ；
（6）关于平面的对称点的坐标为 ；
（7）关于平面的对称点的坐标为 ．
其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于横轴（ 轴）的对称点，
横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于 平面的对称点，横
坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．
1.对空间直角坐标系的理解
（1）在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向 轴的正方向,
如果中指指向 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
（2）在数轴上确定一个点的位置只需一个实数,在平面直角坐标系中需一对有
序实数来确定一个点的位置,在空间直角坐标系中则需要三个实数组成的有序实
数组 才能确定一个点的位置.
（3）确定空间某个点的坐标除了利用点到坐标平面的距离外,还可用几何图形
的特点.比如中点坐标:在空间直角坐标系中,已知点和 ,
则的中点的坐标为 .
（4）若四边形是平行四边形，则向量与 的坐标相同.
2.坐标平面与坐标轴上的点的坐标特征
（1）坐标平面上的点的坐标特征: 平面上的点的竖坐标为0,即坐标为
;平面上的点的横坐标为0,即坐标为; 平面上的点的纵坐标
为0,即坐标为 .
（2）坐标轴上的点的坐标特征: 轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0,即坐标为
;轴上的点的横坐标、竖坐标都为0,即坐标为; 轴上的点的横坐标、
纵坐标都为0,即坐标为 .
1.空间直角坐标系中点的坐标的确定方法:垂面法与垂线法.遇到中点可直接用公式.
例1 在长方体中,, ,
点是的中点,点是 的中点.建立如图所示的空间直
角坐标系，写出点,, 的坐标.
解：因为是原点,所以 .
由, ,
得,,, .
因为是的中点,所以 .
同理可得 .
2.求关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标可按“关于谁对称谁不变,其余的符号
均相反”的规律写出.如关于 轴对称的点,其横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原
来的相反数;关于 平面对称的点,其横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相
反数.特别地,若关于原点对称,则横坐标、纵坐标、竖坐标均变为原来的相反数.
例2 （多选题）已知正方体 的棱长为2，建
立如图所示的空间直角坐标系 ，则( )
BCD
A.点的坐标为
B.
C.的中点坐标为
D.点关于轴的对称点的坐标为
[解析] 根据题意可知点的坐标为，故A错误；
,故B正确；
的中点坐标为，故C正确；
点的坐标为，则点 关于轴的对称点的坐标为，故D正确.
故选 .
3.空间向量坐标的求解
根据题设条件，建立适当的坐标系，然后进行向量的运算，再写出向量的坐标.
例3 在直三棱柱中,, ,
,,为 的中点,在如图所示的空间直角坐
标系中,求, 的坐标.
解：设,,为空间的一个单位正交基底,则,, .
连接 ,则
,
所以 .
连接 ,则
,所以
.

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