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黑龙江省大庆市实验中学实验二部2024-2025学年高三上学期10月阶段性考试数学试卷
说明：1.请将答案填涂在答题卡的指定区域内。
2.满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题（本题型共8小题，第小题5分，共40分）
1.设全集，则( )
A. B.[1,2] C. D.
2.复数满足,则的虚部为( )
A. B.1 C. D.-1
3.已知平面向量满足:,且在上的投影向量为,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知一组数据：3,5,x,7,9的平均数为6，则该组数据的分位数为( )
A.4.5 B.5 C.5.5 D.6
5.已知函数,对于任意实数a,b,则是的( )
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.函数在区间上恰有2个极值点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知的定义域为,则关于的方程的实数根个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.已知数列的前项和为,满足,则( )
A.1 B. C. D.
二、多项选择题（本题型共3小题，每小题6分，共18分）
9.关于函数,其中正确命题是( )
A.是以为最小正周期的周期函数
B.的最大值为
C.将函数的图象向左平移个单位后,将与已知函数的图象重合
D.在区间上单调递减
10.已知等差数列的首项为,公差为,其前项和为,若,则下列说法正确的是( )
A. B.当时,最大
C.使得成立的最大自然数 D.数列中的最小项为
11.已知,则下列结论正确的是( )
A.当时,若有三个零点,则的取值范围是
B.当且时,
C.对于任意满足
D.若存在极值点,且,其中,则
三、填空题(本题型共3小题,每小题5分,共15分)
12.设等比数列的前项和为,则___________.
13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线,则___________.
14.在锐角三角形中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足,若存在最大值,则的取值范围是___________.
四、解答题（本题型共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15(13分).已知数列的前项和为,且满足.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)已知,求数列的前2n项和.
16(15分).如图,在四棱锥P-ABCD中,,底面ABCD为正方形,分别为AD,PD的中点.
(1)证明:PA//平面MNC;
(2)求平面MNC与平面PBC所成二面角的正弦值.
17(15分).已知双曲线的左、右焦点分别为,点在上,且离心率.
(1)求双曲线的方程;
(2)记点在轴上的射影为点,过点的直线与交于M,N两点.探究:是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
18(17分).为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解,某学校高三年级组织举办了知识竞赛.选拔赛阶段采用逐一答题的方式,每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰.初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛,组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答,每位选手抢到每道试题的机会相等,得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分,对方选手得5分,2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰,得分多者进入决赛(若分数相同,则同时进入决赛).
（1）已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率;
（2）已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立,求初赛中甲的得分的分布列与期望;
（3）进入决赛后,每位选手回答4道试题,至少答对3道试题胜出,否则被淘汰,已知选手甲进入决赛,且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为,若甲4道试题全对的概率为,求甲能胜出的概率的最小值.
19(17分).已知函数.
(1)若,求函数的值域;
(2)若
①判断函数的单调性,并求出其单调区间
②已知,且当,都有恒成立,求的所有可能取值.
大庆实验中学实验二部2022级高三上学期阶段性考试
数学学科试题参考答案：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D B C C D B B ABD BCD ACD
12.1 13. 14.
11题：选项
若,
由得
,其中代入得
14题:
,即
15.解:(1)当n=1时,,解得,
当时,由,可得,
两式相减得,所以,
又因为,所以是首项为-3,公比为2的等比数列.
（2）由（1）可知,
所以
设数列的前项和为
所以
即
令
可知
所以
16.证明：（1）因为M,N分别为AD,PD的中点,
所以,
因为平面平面MNC,
所以平面MNC.
(2)设,
在中,由余弦定理得,,
即
所以,即,同理可得,
因为平面,
所以平面PAB,又平面PAB,
所以,同理,又平面,
所以平面ABCD,又平面ABCD,
所以,又,
则以点为原点,以BC,BA,BP所在直线为x,y,z轴,建立如图空间直角坐标系,
在Rt中,,
则,
所以,
设平面MNC的法向量,
则,取,得,
由图可知,平面PBC的法向量为,
则,
所以平面MNC与平面PBC所成二面角的正弦值.
17.(1)设双曲线的焦距为,
由题意得,,
解得,故双曲线的方程为.
(2)
由题意得,,
当直线MN的斜率为零时,则
当直线MN的斜率不为零时,设直线MN的方程为,点,
联立,整理得,
则,解得且,
所以,
所以
综上,,为定值.
18.解：（1）设为甲的答题数,则可能取3,4,5.
所以甲进入初赛的概率为.
(2)可能取0,5,10,15,20.
；
；
；
；
的分布列为
0 5 10 15 20
所以.
（3）因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为,
所以甲能胜出的概率,
即.
因为,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以.
19.解(1)由题设,
令
即原函数为
又
且,所以
而函数在单调递增,所以函数的值域为
(2)(i)因为,且
又
所以
即单调递增,又,
所以当时,,函数单调递减
当时,,函数单调递增
所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为
(ii)由,则,令,则,且,
当(舍);
当,则,故,
令,则,
由(2)可知恒成立,
所以,即在上递增,
又,则,所以在上递增,
又,即,符合题意;
当,令,则,
所以(舍);
综上，正整数的取值集合为.

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